Bài giảng Động lực học công trình

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

powerpoint.vn

PGS. TS Dương Văn Thứ

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG 1.1.1 Khái niệm về chu kỳ và tần số

ộ ậ ủ ự

ể ằ

ỏ ị ấ ị ộ ầ

dao đ ngộ t doự ồ

P(t)

Dao đ ng c a v t thu n túy do l c lò xo sinh ầ ra khi M d ch chuy n kh i v trí cân b ng ban đ u (do m t nguyên nhân b t kỳ nào đó gây hay c g i là ra r i m t đi) đ ọ ượ ấ . là dao đ ng riêng ộ

ậ ạ ể ị ủ ượ ạ

Hình 1.1

ế c g i là ọ ộ

ng b c ưỡ ộ

d ng dao đ ng D ng chuy n v c a v t M đ ộ riêng. N u trong quá trình dao đ ng luôn luôn t n t i l c ồ ạ ự đ ng P(t), ta có bài toán ứ . L c đ ng ộ ự P(t) còn đ dao đ ng c ộ l c kích thích. ự c g i là ọ ượ

ộ ệ ữ ự ủ ế

ế ạ bài toán dao đ ng tuy n tính hay dao ế ế ộ

Tuỳ thu c vào quan h gi a l c lò xo và bi n d ng c a lò xo là tuy n tính , hay phi tuy n, mà ta có đ ng phi tuy n.ế ộ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

 Số các dao động toàn phần của khối lượng thực hiện trong một đơn vị thời gian, chỉ phụ thuộc vào các đặc trưng cơ học của hệ, gọi là

tần số dao động riêng hay tần số dao động tự do, và được ký hiệu là

 Thời gian để thực hiện một dao động toàn phần được gọi là chu kỳ

dao động, và được ký hiệu là T.

 Nếu T đo bằng giây (s) (trong Động lực học công trình thời gian

thường được đo bằng giây), thì thứ nguyên của f là 1/s. Về trị số f và

T là nghịch đảo của nhau.

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay

ộ ạ

ọ ơ ả ượ ườ ặ ộ

ặ

Sau đây ta xét m t d ng dao đ ng quan tr ng đ c g i là dao ộ ọ . Đây là d ng dao đ ng c b n th đ ng đi u hòa ng g p trong ạ ề ộ c h c, m t khác, các dao đ ng có chu kỳ luôn luôn có th ể ộ ơ ọ phân tích thành các d ng dao đ ng đi u hòa đ n gi n. ề ạ ả ộ ơ

S t ( )

sin

ề ộ (1-1) Xét dao đ ng đi u hòa,

v t ( )

A cw

w os t

= -

Có v n t c ậ ố (1-2)

a t ( )

w A

w sin

(1-3) và gia t cố

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay

ể

r a

Acosωt

ị ằ

ωt

w ộ ụ này quay quanh đi m c đ nh O ố ị ể .(xem hình 1.2).

Asinω t

ượ

r v

w biên độ dao đ ng, ượ

p c g i là ọ ố ệ ủ

Hình 1.2

2 f

nên

do đó

p= 2

p 2 w

1 f

chuy n đ ng này nh Có th miêu t ư ộ ả ể chuy n d ch c a đi m mút véc t OA (có ể ể ủ đ l n b ng A) lên m t tr c S nào đó khi ộ ớ véc t ơ v i v n t c góc ớ ậ ố Tr s A đ c g i là ộ ọ ị ố t n sầ còn v n t c góc ố đ ậ ố vòng c a dao đ ng – là s dao đ ng ộ ộ ủ toàn ph n c a h th c hi n trong 2 ệ ự ầ giây. Theo đ nh nghĩa, ị

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

(1-4)

= p 2 f

p 2 T

(1-5)

1 T

p 2

(1-6)

p 2 w

1 f

Tóm l i, trong dao đ ng đi u hòa ta có các quan h sau, ạ ề ệ ộ

w Sau này trong tính toán th c t , ng i ta hay dùng ự ế ườ h n f.ơ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

t0=

T 4

j w

)

S t

( ) Asin(

= ( ) Asin

S t

= ( ) Asin

S t

j = p 2 ( w j t-

p w� � t- � � 2 � �

Kh o sát ba dao đ ng đi u hòa cùng biên đ A và chu kỳ T ề ả ộ ộ

Hình 1.3

, ộ ệ

Ta nói t0 là đ l ch pha còn j là góc l ch pha ệ dao đ ng (a) có góc pha là (hay góc pha). p /2. ộ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

quay nh trên ộ ề ễ ể ư ơ

ệ ề ậ ộ

i d ng véc t ướ ạ ợ ệ ề ụ ủ ầ ố

sin

Cách bi u di n dao đ ng đi u hòa d hình 1.2, giúp ta th c hi n thu n ti n vi c h p các dao đ ng đi u ệ ự hòa. Ví d , xét h p c a hai dao đ ng đi u hòa cùng t n s (có th ể ộ khác biên đ và l ch pha). ợ ệ ộ

S t ( ) 1

A 1

+ j

(

)

sin

S t ( ) 2

A 2

(a)

(b)

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1 và

1 và S2 chính là h p c a hai véc t ợ OA có đ l n , theo qui t c hình bình hành, là

H p c a hai dao đ ng S OA ủ ợ ộ ủ ơ

(

)

(

)

= OA A

j sin

ộ ớ ắ ơ OA2 cho ta véc t

+ A A c 1 2

A 2

(1-7)

(

)

A sin 2 + A A c 1 2

b , mà: và góc l ch pha ệ (1-8)

ủ ầ ộ ố ộ ợ

ư ậ h p c a hai dao đ ng đi u hòa cùng t n s là m t dao ề c tính theo (1-7) và góc ố, có biên đ A đ ượ ộ

(

)

b đ cùng t n sầ c tính theo (1-8) Nh v y, đ ng đi u hòa ề ộ l ch pha ượ ệ

S t ( )

= ( ) Asin

b t+

S t ( ) 1

S t 2

(c)

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ộ ế ủ ầ ầ ố ợ

ữ ề ộ ộ ỉ

n u hai dao đ ng thành ph n khác t n s , thì h p c a chúng không còn là dao đ ng đi u hòa n a, mà ch là dao đ ng có chu kỳ

A2 sinφ A2

A2 cosφ

ωt

Hình 1.4

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.1.3 Lực cản và các mô hình lực cản

ả

ữ ; s c c n c a môi tr ự ế ư ả ườ ủ ứ ả

l c c n ma sát ự ự ề ọ ấ ỏ ả ộ ọ

L c c n do nhi u nguyên nhân gây ra nh : ma sát gi a các m t ặ ng nh ti p xúc mà ta g i là ư l c c n không khí, ch t l ng …hay l c n i ma sát mà ta g i chung là ự nh tớ .

i ta th ơ ọ ườ ườ ng chia l c c n thành ba ả ự

Trong chuy n đ ng c h c, ng ộ ể nhóm chính:

1 Lực cản ma sát được xác định theo định luật Culong

= cR C N

(1-9)

ệ ố

ế

Trong đó: C1 là h s ma sát, ầ ế ủ ự ộ ể

N là thành ph n pháp tuy n c a l c sinh ra gi a hai m t ti p xúc khi chuy n đ ng (nó ph ụ ặ thu c vào v n t c chuy n đ ng) ậ ố ử ộ ể ộ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

2 - L c c n nh t tuy n tính Newton t l b c nh t v i v n t c ự ả ỷ ệ ậ ấ ớ ậ ố ớ ế

= cR C v 2.

chuy n đ ng ộ ể

(1-10)

ệ ố ả

n = Ś(t) Trong đó: C2 là h s c n nh t ớ n là v n t c chuy n đ ng, ậ ố ể ộ

3- L c c n t l b c cao v i v n t c (th ng là b c hai). L c ả ỷ ệ ậ ớ ậ ố ự ườ ự ậ

c n này th ng x y ra khi v t chuy n đ ng trong môi tr ng ả ườ ộ ể ậ ẩ ườ

ng đ i l n ch t l ng hay ch t khí v i v n t c t ấ ớ ậ ố ươ ấ ỏ ố ớ

cR C va = 3.

(1-11)

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.2 PT VI PHÂN DAO Đ NG NGANG T NG QUÁT C A H 1 B C T DO

Ậ Ự

Ộ

Ổ

Ủ

Ệ

thi

ồ

do g m d m đàn h i gi ả ầ ụ

ng, trên đó có i kh i ố

ặ ạ

ng theo ph

H m t b c t ệ ộ ậ ự đ t kh i l ố ượ ặ l ng và có ph ượ

ng t p trung M, ch u tác d ng c a t ị ươ

t không có kh i l ố ượ ế ộ ủ ả ọ ng chuy n đ ng c a kh i l ố ượ ộ

i tr ng đ ng P(t) đ t t ủ

ậ ươ

ể

P(t)

Rđh

yđ(t)

P(t)

yđ(t)

P=1

P(t)

Mô hình tính

Hình 1.6

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

 Do ở đây ta chỉ xét ảnh hưởng của lực động P(t), đồng thời do giả thiết biến dạng bé, nên trạng thái cân bằng tĩnh ban đầu có thể coi gần đúng như trường hợp chưa có biến dạng (Hình 1.6b). Tất nhiên, khi xác định một đại lượng nghiên cứu nào đó, ta phải kể tới giá trị do M gây ra theo nguyên lý cộng tác dụng.

 Xét hệ dao động chịu lực cản nhớt tuyến tính Newton, thì dao động của hệ trên hình 1.6b có thể được mô hình hóa như trên hình 1.6d; gồm khối lượng M được treo vào lò xo có độ cứng K , và gắn vào pít tông chuyển động trong chất lỏng nhớt có hệ số cản C.

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Xét hệ ở thời điểm t nào đó đang chuyển động hướng xuống cùng chiều với lực P(t). Khi đó hệ chịu tác dụng của các lực sau: lực động P(t); lực đàn hồi sinh ra trong lò xo phụ thuộc độ dịch chuyển y của khối lượng, Rđh(y) = K.y(t), có chiều hướng lên; lực quán tính Z(t) = M ÿ(t) có chiều hướng xuống cùng chiều với chuyển động; và lực cản nhớt tuyến tính Rc = C ỳ(t) có chiều hướng lên ngược với chiều chuyển động (xem hình 1.6f). Hệ ở trạng thái cân bằng động, nên:

Rđh + Rc – Z(t) – P(t) = 0 (1-12)

+ My t Cy t ( )

( )

Ky t ( )

P t ( )

hay

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Rđh + Rc – Z(t) – P(t) = 0 (1-12)

+ My t Cy t ( )

( )

Ky t ( )

P t ( )

hay

Phương trình (112) là phương trình vi phân (PTVP) dao động ngang tổng quát của hệ đàn hồi tuyến tính một bậc tự do chịu lực cản nhớt tuyến tính.

Trong đó, C là hệ số cản có thứ nguyên là [ lực · thời gian / chiều dài];

K là độ cứng của hệ, là giá trị lực đặt tĩnh tại khối lượng làm cho khối lượng dịch chuyển một lượng bằng đơn vị, và có thứ nguyên là [lực / chiều dài ].

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Phương trình (112) cũng có thể được thiết lập dựa vào biểu thức chuyển vị. Thật vậy, nếu ký hiệu d là chuyển vị đơn vị theo phương chuyển động tại nơi đặt khối lượng (hình 1.6c) – còn gọi là độ mềm của hệ một bậc tự do thì dịch chuyển y(t) của khối lượng tại thời điểm t do tất cả các lực tác dụng trên hệ gây ra, theo nguyên lý cộng tác dụng sẽ là:

y t ( )

P t ( )

d && My t ( )

& Cy t ( )

- -

+ My t Cy t ( )

( )

Ky t ( )

P t ( )

Hay chính là (1-12)

1 d

(1-13) Trong đó

đ đ c ng ượ c g i là ọ ộ ứ c a h . ủ ệ

c ph ả ị ươ ậ ố

ng -> xác đ nh đ i (1-12) xác đ nh đ Gi ượ chuy n đ ng c a kh i l ố ượ ủ ể ộ ng trình chuy n đ ng, v n t c, và gia t c ố ng nghiên c u ứ ể ộ c các đ i l ượ ạ ượ ị

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.3 DAO ĐỘNG TỰ DOTẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO ( HAY TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG ) 1.3.1 Dao động tự do không có lực cản

ng hóa, vì trong th c t l c c n luôn t n ưở ả ồ ườ

i. PTVP dao đ ng lúc này có d ng đ n gi n [cho C và P(t) trong ạ ơ ự ế ự ả ng h p lý t ợ ộ

+ My t Ky t

( )

= ( ) 0

Đây là tr t ạ (1-12) b ng không]. ằ

&& y t ( )

= ( ) 0 y t

Hay là (1-14)

)

1 K = d M M

g d G

g ( M y t

Trong đó (1-15)

powerpoint.vn

(M) , về mặt ý nghĩa, nó là chuyển vị tĩnh của

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

= yt

y t ( )

w os t+A sin

Ở đây, ta ký hiệu Gd khối lượng M do trọng lượng của khối lượng, G , đặt tĩnh theo phương chuyển động gây ra (xem hình 1.6a); còn g là gia tốc trọng trường. Phương trình vi phân (114) có nghiệm tổng quát là:

A c 1

(a)

c xác đ nh t ượ ừ ệ

1và A2 đ ộ 0

ờ ằ ạ ị ả ử ệ các đi u ki n ề s h có chuy n v ị ể

;

v 0

= -

v t ( )

& y t ( )

w sin

+ w t

os t

Các h ng s tích phân A ố đ u: T i th i đi m b t đ u dao đ ng (t=0), gi ắ ầ ể ầ ầ n ban đ u ầ yo và v n t c ban đ u ậ ố = (1-16)

A 1

w A c 2

Thay (1-16) vào (a) v i chú ý ta đ c: ớ ượ

0 (b)

A1 = y0 ; và w A2 = n

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

c ph ng trình dao đ ng t do không có l c ượ ươ ộ ự ự

ủ

w sin

y c 0

v w

y t ( )

sin

w sin

Thay (b) vào (a) ta đ c n c a h m t b c t ả = ệ ộ ậ ự y t ( ) do: w os t+ (1-17)

v w

p � � w + t+ � � � �

Hay (1-17)’

(

)

= ( ) Asin y t

b t+

Điều này có nghĩa là, dao động tự do không cản của khối lượng là hợp của hai dao động điều hòa cùng tần số w và lệch pha p /2. Sử dụng khái niệm véc tơ quay, theo (17) và (18) , phương trình (117)’ có dạng đơn giản:

arctg

(1-18)

2 0

w� � y 0 � � v � � 0

2 v � � 0 � � w � �

Trong đó và (1-19)

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Như vậy, dao động tự do của hệ một bậc tự do (BTD), khi không có lực cản, là một dao động điều hòa, có tần số w được tính theo (115) , có biên độ và góc lệch pha được tính theo (119), còn chu kỳ dao động được tính theo (16). (M), cũng tức là phụ thuộc d Nhìn vào (115) ta thấy w chỉ phụ thuộc yt hay K, nghĩa là chỉ phụ thuộc vào độ đàn hồi của hệ. Nên tần số dao động tự do w còn được gọi là tần số dao động riêng của hệ; Nó là một đặc trưng của hệ dao động.

ả ự do không c n có d ng nh trên hình 1-3; Ph thu c ư ộ

ề ộ ệ ụ ụ

ạ ị

p ộ 0 = 0), thì góc /2, d ng dao đ ng nh trên hình 1.3a; Còn d ng dao ạ

Dao đ ng t ạ đi u ki n ban đ u mà có d ng (hình 1.3a, b, hay c). Ví d , khi ạ ầ 0 = 0), thì b = 0, nên d ng dao đ ng không có chuy n v ban đ u (y ầ ể ầ n nh trên hình 1.3b; Khi không có v n t c ban đ u ( pha b ng ằ đ ng trên hình 1.3c t ậ ố ư ng ng v i khi c y ớ ộ ứ ươ ề ộ ạ 0 đ u khác không. ả 0 và n

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ả ự do không c n có d ng nh trên hình 1-3; Ph thu c ư ộ

ề ộ ệ ụ ụ

ạ ị

p ộ 0 = 0), thì góc /2, d ng dao đ ng nh trên hình 1.3a; Còn d ng dao ạ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

α2

α1

P(t)

= (cid:0)

Chú ý: Khi khối lượng được liên kết bằng nhiều lò xo mắc song song hay nối tiếp như trên hình 1.7, khi đó độ cứng tổng cộng được tính như sau:

sini

= (cid:0)

1 k

k k = (cid:0) (1-20)

Hình 1.7

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

 VÍ DỤ 1.1

G=Mg

Trên dầm đơn giản hai đầu khớp, đặt tại C một khối lượng tập trung M có trọng lượng G = 0,75 kN như trên hình 1.8a; Biết E = 2,1.104 kN/cm2;

10 12

;

l=1m. P=1

ầ ố ị

δ P=1

ủ ệ ỏ

Yêu c uầ : Xác đ nh t n s vòng và chu kỳ dao đ ng riêng c a h . B qua kh i l ng d m, và l y g = 981 cm/s ố ượ ộ ầ ấ

Hình 1.8

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

 Giải:

1 2 3 2 3 16

m 3 256

1 EJ

3 4

1 � � + m � � 4 � �

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (a) Chuyển vị đơn vị tai C, theo phương chuyển động, do lực P=1 gây ra, theo công thức Maxwell – Mohr là (xem hình 1.8b): 3 16

)

Chuy n v tĩnh t i n i đ t kh i l ng do tr ng l ng c a kh i l ng gây ra: ể ị ạ ơ ặ ố ượ ọ ượ ố ượ ủ

d= G .

0, 75

( y t

m 3 256

2, 25 256

kNm EJ

(cid:0) (b)

T n s dao đ ng riêng c a h , theo (1-15) là: ủ ệ ầ ộ ố

256 2,1 10

981

70, 6

4 3

2, 25 12 100

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (c) (cid:0) (cid:0)

ộ

0, 089

(cid:0) (d)

2 3,1416 70, 6

Chu kỳ dao đ ng riêng tính theo (1-6) là: p 2 w

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

 VÍ DỤ 1.2

Trên khung ba khớp có đặt vật nặng trọng lượng G (hình 1.9a). Bỏ qua ảnh hưởng của khối lượng khung, lực cắt , và lực dọc tới diến dạng. Hãy xác định tần số dao động riêng theo phương đứng và phương ngang của hệ.

(EJ=h ng s ) ố ằ

(hình 1.9a).

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ng t

d d i:ả ể ng đ ng ứ ị ơ ươ ươ

đg, và ph ứ

ng ngang ừ ố ượ

1 2

Gi Chuy n v đ n v theo ph đ t kh i l đ mô men đ n v trên hình 1.9b, và c, ta đ i n i ạ ơ c tính theo công th c Maxwell – Mohr. T các bi u ể c: ng đ ơ ị ượ ị ặ ồ ượ

đg

l 48

l l � � 4 2 2 3 4 �

1 � � EJ �

P=1

d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (a)’

2 h l

2 3

h l . 2

2 3

h h . � � 2 �

1 � � EJ �

d (cid:0) (cid:0) (b)’

c ượ

ng ngang là Thay (a)’ và (b)’ vào (1-15) ta đ t n s dao đ ng riêng theo ộ ầ ố ng đ ng và ph ph ươ ươ ứ

đg =

g d G

EJg 3 Gl

1 s

Hình 1.9b, 1.9c

ng =

g d G

3 EJg ( 3 + hG

1 ) slh

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.3.2 Dao động tự do có lực cản

+ My t Cy t ( )

( )

Ky t

= ( ) 0

Khi coi lực cản tỷ lệ với vận tốc, PTVP dao động tự do tổng quát có dạng:

+ w

& y t ( )

= ( ) 0 y t

(1-21)

Hay (1-21)’

a = 2

+ a && y t ( ) 2 c M

(1-22) đây ta đã đ t Ở ặ

cũng đ h s c n ượ c g i là ọ ệ ố ả

= - a

Ph ng trình đ c tr ng c a PTVP (1-21)’ có nghi m là ươ ủ ư ệ ặ

1,2

(cid:0) - (a)

A e 1

l A e 2

nên nghi m t ng quát c a (1-21)’: ệ ổ s có d ng: ẽ ạ

)

y t ( ) (

)

- - - ủ (

y t ( )

A e 2

� � �

- � a t A e � 1 �

(1-23)

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

y(t)

ng, theo (1-23), ể

ụ

ng h p ta th y: Chuy n đ ng c a kh i l ố ượ ộ ủ ệ ố a . ph thu c vào h s ộ Phân tích t ng tr ợ ườ ừ ấ

1- Khi a 2 ‡ w 2; hay C ‡ 2 KM

Hình 1.10

Khi a > w = w ta g i là l c ta g i là ọ l c c n l n ự ả ớ ; còn khi a ọ ả

l a (hay l c c n gi là m t s th c; H n n a, vì nên ự ả ộ ố ự ữ ơ

a i h n). Lúc này ớ ạ < a , (b ng không khi = w tính ằ ự c n trung bình w ‡ ệ l ). Do đó c hai nghi m ả α - 2 ω

theo (a) đ u âm. Nh v y, chuy n đ ng c a kh i l ng khi l c c n l n ư ậ ố ượ ủ ể ề ộ ả ớ ự

và trung bình , theo (1-23), là t ng c a hai hàm s mũ âm. H không ủ ệ ố ổ

giao đ ng mà chuy n đ ng ti m c n d n t ể ệ ầ ậ ộ ộ ớ ị i v trí cân b ng nh trên ằ ư

hình 1.10;

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

2- Khi a 2 < w 2:

a 2

= w

Tr ng h p này đ ườ ợ l c c n bé ả ự . Lúc này nghi m ệ l là ph c. ứ

2 1

- ượ ( c g i là ọ ) (1-24) Đ t ặ

= - a

ng trình đ c tr ng (xem (a ) s là: Khi đó nghi m c a ph ệ ủ ươ ư ẽ ặ

1,2

(cid:0) (b)

Và ph ươ ng trình chuy n đ ng (1-23) tr thành: ộ ể ở

w i

y t ( )

A e 2

- � A e � 1

w i

(1-23)’

w i

cos =

� � w i sin w sin

cos

- (1-25) S d ng công th c Euller ử ụ ứ -

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

thay vào (1-23)’ ta có:

)

y t ( )

-= e

cos

w sin

+ A A 1 2

( i A A 1 2

t 1

� �

]

( � � [

y t ( )

-= e

cos

w sin

+ t B 1 2

t 1

B 1

hay là, (1-23)’’

1, B2 xác đ nh đ

Các h ng s B ằ ố ị c t ượ ừ các đi u ki n đ u (1-16) ệ ề ầ

(d) B1 = y0 ; B2 = ( v0 + a y0 ) / w

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

i áp d ng khái ni m véc t ụ ệ ạ

ơ c ph quay đ h p hai ể ợ ng trình dao ươ

ượ do khi l c c n bé là: Thay (d) vào (1-23)’’, và l dao đ ng đi u hòa trong d u móc vuông, ta đ ề ộ ấ do c a h m t b c t đ ng t ệ ộ ậ ự ủ ự ự ả ộ

+ b

y t ( )

w sin(

)

t 1

- (1-26)

αy

2 0

ω 1

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) Trong đó, (cid:247) (cid:231) (1-27) ł Ł

arctg(

)

ωy 0 +

1 αy

và

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ng h p này đ c th hi n trên hình 1.11 D ng dao đ ng trong tr ộ ạ ườ ợ ượ ể ệ

y(t)

A yn+1

yn A

Hình 1.11 : Dao đ ngộ t ự do khi l c c n bé ự ả

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ừ ừ ự ộ

do c a h m t b c t ệ ộ ậ ự w 1 ố ủ ầ ả ộ ộ

hình 1-11 ta th y, dao đ ng t T (1-26), hay t ấ do khi l c c n bé, cũng là m t dao đ ng đi u hòa có t n s vòng ề ự tính theo (1-24), và chu kỳ T1 tính theo (1-28)

T1 =

2π 1ω

-a

(1-28) -

2π 2 αω ậ

song biên đ dao đ ng gi m d n theo lu t hàm s mũ âm : Ae ầ ả ố ộ ộ

ể ứ ộ ắ ầ ủ

ộ ộ

i th i đi m ề ể t nào đó là An, còn t ể ạ ờ

Đ nghiên c u đ t s gi a hai biên đ t d n c a dao đ ng, ta xét t ộ ỷ ố ử dao đ ng li n k nhau (cách nhau m t chu kỳ T1). Ký hi u biên đ đ t ộ ạ ệ i th i đi m ( t + T1) là A n+1, đ thì t ộ c t ượ ạ ừ

T 1

e a

(

)

- -

+ Tt 1

Ae ( + Tt 1

) )

]

+ t 1 + Tt 1

- - = h ng s ố ằ

+ 1

ề ờ (1-26) ta có: A n A n

a T1 = ln (

A A

+ 1n

( sin [ ( w sin 1 ) = c

Suy ra, (1-29)

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

s gi a hai biên đ li n k nhau là m t h ng s ; Còn ề ố

ự ộ ề , ký hi u là ệ

, hay là ộ ằ c , là m t đ i l ộ ộ ạ ượ ng nhiên là c ω1 c a h , dùng đ đánh giá ệ ủ ệ ố ả s này ủ ỷ ố ươ ộ ộ ắ ầ

Nh v y, t ỷ ố ử ư ậ ng ph thu c logarit t nhiên c a t ụ vào h s c n α và đ ể ả h s c n logarit i ta g i là đ t ọ ườ do có c n bé Dekremen logrit c a dao đ ng t ả ự ệ ố ả t d n c a dao đ ng , ng ủ ủ ộ

ọ

ệ ố ả ị c đóng vai trò quan tr ng trong th c t ự ế nh thí nghi m đo biên đ dao đ ng A ộ ệ ờ ộ

H s c n logarit ệ ố ả a đ nh h s c n ộ ố ế . Nó giúp xác n và A n+1. Sau c cho m t s lo i k t c u xây ộ ố ạ ế ấ ệ ả ượ

đây là m t s k t qu thí nghi m tìm đ d ng.ự

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

0,08)2p » 0,1 ~ 0,15 a T1 = (0,016 ~ 1, Đ i v i các k t c u thép ế ấ ố ớ

a T1 = (0,005 ~ 0,022)2p » 0,03 ~ 0,15 2, Đ i v i k t c u g ố ớ ế ấ ỗ

3, Đ i v i các k t c u bê tông c t thép ế ấ ố ớ ố

a T1 = (0,016 ~ 0,032)2p » 0,08 ~ 0,2

ố ố ớ

0,032)2p » 0,08 ~ 0,2

0,15 ); trung bình 0,28 4, Đ i v i c u thép ố ớ ầ

5, V i c u bê tông c t thép: ớ ầ ố

6, V i d m bê tông c t thép: 0,39 ); trung bình 0,28 ớ ầ ố

3, Đ i v i các k t c u bê tông c t thép ế ấ a T1 = (0,016 ~ a T1 = (0,01 ~ a T1 = 0,31 a T1 = (0,17 ~ a T1 = (0,08 ~ 7, V i khung bê tông c t thép: 0,16 ); trung bình 0,12 ố ớ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

So sánh hai ph ng trình dao đ ng t do không c n (1-18) và có c n ươ ộ ự ả ả

1< w

w bé (1-26) ta th y, t n s riêng khi có c n bé ấ ả ầ ố khi không có c n, ả

ậ ả ơ ộ còn chu kỳ T1 > T; Có nghĩa là, khi có c n bé, dao đ ng ch m h n so

v i không có l c c n. Tuy nhiên, s sai khác này cũng r t nh . Do đó ự ớ ự ấ ả ỏ

trong xây d ng, do ch y u là c n bé, ng i ta th ủ ế ả ườ ườ ng coi g n đúng ầ

1 »

w w T trong tính toán ự , và T1 »

Xét m t tr ng h p dao đ ng t t khá nhanh ộ ườ ộ ợ ắ

Ví d , ụ An / A n+1 = 0,5.

Khi đó c = ln(A n/A n+1) = ln0,5 = 0,693. suy ra,

1 / 2p = 0,11w

1 hay

a = 0,693 / T1 = 0,693w

(

2 αω -

ω -

0,11ω 1

1 =

w = » w .

powerpoint.vn

) 2 = 0,994w 37

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

2. Lúc này,

Tr l ng h p l c c n trung bình (c n gi i tr ở ạ ườ ợ ự ả ả ớ ạ a 2 = w i h n)

A = 2p ; Do đó: A

+ 1n

2π ω

c = a T = w . = e a T = e 2p = 529.

Nghĩa là biên đ dao đ ng sau m t chu kỳ đã gi m đi 529 l n, hay ộ ả ầ ộ ộ

nói cách khác, khi h ch u l c c n trung bình, h g n nh không dao ệ ầ ị ự ư ệ ả

đ ng mà ch chuy n đ ng ti m c n d n t ầ ớ ị i v trí cân b ng ban đ u. ằ ệ ể ầ ậ ộ ộ ỉ

Đi u này nh t quán v i k t lu n đã đ c đ c p t m c ớ ế ề ậ ấ ượ ề ậ ớ ở ụ a. i

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.4 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CHỊU LỰC KÍCH THÍCH ĐIỀU HOÀ

P(t)=P0sinrt HỆ SỐ ĐỘNG

ng h p này, theo ươ ng trình vi phân dao đ ng t ng quát trong tr ộ ổ ườ ợ

& My t Cy t Ky t ( )

( )

s inrt

Ph (1-12) s là:ẽ

P 0

+ w

+ a && y t ( ) 2

& y t ( )

y t ( )

s inrt

(1-30)

P � � 0 � � M � �

Hay là (1-30)’

t là biên đ và t n s c a l c kích thích; ượ ố ủ ự ầ ộ

a và w c đây. Trong đó, P0 và r làn l ư ệ

ế ề ả ộ

nh đã ký hi u tr ậ ổ ướ ế ủ ẩ ằ ủ ổ

0(t), c ng v i m t nghi m riêng ký hi u là y y(t) = y0(t) + y1(t) (a)

ệ ệ ệ ệ ầ ộ ộ Đây là PTVP b c hai tuy n tính chu n có v ph i là m t hàm đi u hòa. Nghi m t ng quát c a (1-30)’ b ng nghi m t ng quát c a PTVP ệ 1(t). thu n nh t ký hi u là y ớ ấ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.4.1 Xét trường hợp lực cản bé:

ệ ị

0(t) tính theo (1-26), còn nghi m riêng y ế ề i b ng ph

ng pháp bi n ằ ụ

1(t) có th xác đ nh ể thiên h ng s ố ằ ng pháp n a ươ

ươ đây ta gi ả ằ ệ ậ ử

Nghi m yệ b ng nhi u cách, ví d ph Lagrange.Song thu n ti n h n, ơ ở ng c nh sau ư ượ

Gi thi t nghi m riêng d i d ng t ng quát sau ả ế ệ ướ ạ ổ

y1(t) = A1sinrt + A2cosrt

(1-31) y1(t) = A0 sin(rt - j )

ầ ế

t, còn A t. Rõ ràng là n u ta tìm đ Hay là Trong đó r là t n s l c kích thích đã bi ố ự góc l ch pha ch a bi ế ư ế

j ươ ệ ỏ ệ ể

0 và j là biên đ và ộ 0, và m t ộ c m t A ộ ượ ng trình (1-30), thì (1-31) là m t nghi m ộ 1(t) và các đ o hàm c a nó ạ

riêng c a (1-30). Th t v y, thay y ủ đ (1-31) th a mãn ph ậ ậ ủ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ệ ị

0(t) tính theo (1-26), còn nghi m riêng y ế ề i b ng ph

ng pháp bi n ằ ụ

1(t) có th xác đ nh ể thiên h ng s ố ằ ng pháp n a ươ

ươ đây ta gi ả ằ ệ ậ ử

Nghi m yệ b ng nhi u cách, ví d ph Lagrange.Song thu n ti n h n, ơ ở ng

= -

j os(rt-

)

sin(

)

rA c 0

&& y t ( ) 1

2 r A 0

c nh sau ư = - và (b) ượ & y t ( ) 1

+ j

vào ph ng trình (1-30) ta đ c, ươ ượ

sin(

a ) 2

w j os(rt-

j sin(

)

s inrt

2 r A 0

rA c 0

A 0

- - - (c)

P � � 0 � � M � � ứ

ố ạ ồ

os +2 rA sin

os -

a sin

j w 2

j os -

sin

A c 0

j A c 0

A 0

rA c 0

A 0

j 2 � c osrt r �

= � �

P 0 M

� sinrt -r � �

� + � �

Khai tri n sin(rt- ể sinrt và cosrt ta đ c: j ) và cos(rt-j ), r i nhóm các s h ng có ch a ượ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ọ t tùy ý; Mu n v y, các bi u ố ể ậ

Bi u th c (d) ph i b ng không v i m i ớ ả ằ th c h s c a sinrt và cosrt ph i b ng không. T đó suy ra: ả ằ ứ ệ ố ủ ể ứ ừ

)

[ ( ωM

P 0 j cos

a 2r

sin

A0 = (1-32) -

2rα 2 rω

(1-32)’ tgφ = -

1(t); R i l

ồ ạ ệ

i thay c nghi m t ng quát c a PTVP dao ượ ủ ệ ổ

+ b

Thay (1-32) và (1-32)’ vào (1-31) ta có nghi m riêng y (1-26) và (1-31) vào (a) ta đ đ ng (1-30) là: ộ

y t ( )

w sin(

)

sin(

j rt

)

t 1

A 0

- (1-33)

Trong đó: A, b tính theo (1-27) ch a các đi u ki n đ u ứ ề ệ ầ y0 và n

tính theo (1-32) ch a biên đ ứ ầ ố r c a ủ ộ P0 và t n s

A0, j l c kích thích đi u hòa. ự ề

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Phân tích (1-33) ta th y:ấ

S h ng th nh t liên quan t i dao đ ng t do c a h . Trong th c t ố ạ ứ ấ ớ ộ ự ự ế ủ ệ

luôn luôn t n t ồ ạ ự i l c c n. Nh ng cho dù l c c n là bé, thì ph n dao ự ư ả ầ ả

đ ng t ộ ự do này, s m hay mu n, cũng s m t đi sau m t kho ng th i ờ ẽ ấ ả ộ ớ ộ

c coi là đã n đ nh, và gian nào đó. Dao đ ng c a h lúc này đ ộ ủ ệ ượ ổ ị

đ c bi u di n ượ ễ b ng s h ng th hai trong (1-33) ố ạ ứ ể ằ

y t ( )

sin(

)

y t ( ) 1

A 0

- (1-34)

Nh v y, ng b c - l c c n bé - c a h m t b c t do ư ậ dao đ ng c ộ ưỡ ệ ộ ậ ự ứ ủ ự ả

0 sin rt, khi đã n đ nh, là m t dao đ ng ị

ch u l c kích thích đi u hòa P ị ự ề ộ ổ ộ

đi u hòa có cùng t n s và chu kỳ v i t n s và chu kỳ c a l c kích ủ ự ớ ầ ề ầ ố ố

c tính theo (1-32). ượ thích, còn biên đ Aộ 0 và góc pha φ đ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

0 cũng th

Biên đ dao đ ng A ng đ c bi u di n d ng khác ti n ộ ộ ườ ượ ễ ở ạ ể ệ

2 – r2)sinφ]/ cosφ, r i thay vào (1-32) đ ồ

i h n nh sau: T (1-32)’ ta có, 2αr = [(ω c: l ợ ơ ừ ượ

(f ) A0 = P0 cosφ / M(ω2-r2)

1 2δω

Thay φ tính theo (1-32)’ vào (f ) v i chú ý: ớ M =

1 j+

P 0

và Cos(artgφ) = (g)

)

P 0 ( 2 ωM

)

(

)

( ωM

2rα 2 r

2 rω (

( + 2rα ) 22

A0 = Ta đ - c,ượ - (cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) - ł Ł -

δP 0 2

P 0 22

)

( ωM

2 α4r

+(cid:247)

r ω

2 α4r 4 ω

hay A0 = - (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (cid:231) ł Ł

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

0( P ) y Ký hi u: là chuy n v tĩnh t t

P 0.

i n i đ t kh i l ể ệ ị ạ ơ ặ ố ượ ng do l c có ự

i đó gây ra, và tr s b ng biên đ l c đ ng P0 đ t tĩnh t ộ ự ị ố ằ ặ ộ ạ

1 2

+(cid:247)

r ω

2 α4r 4 ω

Kđ = (1-35) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (cid:231) ł Ł

A 0

0( .P ) y t

(1-32)’’ Thì ta đ c ượ

ề ụ ệ ị

ể

i tr ng đ ng đi u Đi u này có nghĩa là, khi h ch u tác d ng c a t ủ ả ề ộ ọ đ l n so v i hòa P0sinrt, thì biên đ chuy n v đ ng A 0 l n g p K ớ ầ ấ ớ h s đ ng. c g i là chuy n v khi P ệ ố ộ ọ ượ ể ặ ị ộ 0 đ t tĩnh gây ra. K ị ộ đ đ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.4.2 Xét tr ườ ự ả ng h p khi không có l c c n ợ

H s đ ng trong tr ệ ố ộ ườ ng h p này có d ng đ n gi n h n (cho α = 0 ơ ạ ả ợ ơ

trong công th c 1-35) ứ

1 r ω

(1-36) Kđ = (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (cid:247) (cid:231) ł Ł

c nh gi ờ ả ự ể ế

th c hi n ượ ng b c không có l c c n. Sinh viên có th t ả i tr c ti p PTVP dao ệ ể ự ự ự

K t qu này cũng có th tìm đ ế ả đ ng c ứ ưỡ ộ đi u này. ề

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.4.3 Phân tích h s đ ng – Hi n t ệ ố ộ ệ ượ ng c ng h ộ ưở ng

Nhìn vào công th c (1-35) và (1-36) ta th y, h s đ ng ph thu c ệ ố ộ ứ ụ ấ ộ

vào t s r/ω. ỷ ố

a) Xét tr ng h p không có l c c n: ườ ự ả ợ

s r/ω v đ ồ ị ỷ ố ẽ ượ c nh trên ư

Đ th quan h gi a h s đ ng và t ệ ố ộ hình (1.12a) v i chú ý là h s đ ng ch l y giá tr d ng ệ ữ ớ ệ ố ộ ỉ ấ ị ươ

đ → 1

Ta th y r ng, ấ ằ Khi t s → 0 thì K ỷ ố

→ ∞ thì Kđ → 0

r ω r ω r ω

→ 1 thì Kđ → ∞

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ng, nghĩa là dao đ ng c a kh i l ươ ố ượ ủ ộ ng và l c kích ự

Khi r<ω, Kđ d thích cùng pha.

ấ ớ ệ ấ ộ ộ

Trong th c t ng này đ hi n t , khi t ng. Khi r ≈ ω, Kđ tăng lên r t l n, biên đ dao đ ng tăng r t nhanh. Hi n t ỷ ng c ng h ộ c g i là ọ ệ ượ ự ế ưở ượ ượ

s r/ω n m trong kho ng t ố ả ằ ừ 0,75 đ n 1,25 , Kđ đã r t l n. Vùng nh ư ấ ớ ế

v y đ ậ ượ c g i là ọ vùng c ngộ h ngưở ( vùng g ch chéo trên hình 1.12). ạ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

γ=0 Kđ Kđ

3 4

0,2 3 2 0,3 0,5

0,4 0,6 1

γ=1 0 0

0,5 1 1,5 2 0,5 0,75

1,5 1,7 5 b) L c c n bé ự ả 1 1,2 5 a) Không l c c n ự ả

đ và

r w

Hình 1.12: Quan h gi a K ệ ữ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

b) Xét tr ườ ng h p l c c n bé: ợ ự ả

Trong tr ng h p này, Kđ không nh ng ph thu c t s r/ω, mà còn ườ ộ ỷ ố ụ ữ ợ

ph thu c vào h s c n α. Trên hình 1.12b cho ta các đ ng cong ệ ố ả ụ ộ ườ

quan h này ng v i các h s c n khác nhau, và th y r ng: ệ ố ả ấ ằ ứ ệ ớ

b1- H s c n càng l n thì Kđ càng nh ; Th m chí khi ệ ố ả ậ ỏ ớ

K 2M

C ≥2 , cũng t c là α ≥ (1-37) ứ

ợ ộ

ỏ ơ ứ ườ ượ ằ

h s c n lý t ệ ố ả t b đo dao đ ng. ng h p riêng khi h s c n l y ệ ố đ luôn luôn nh h n m t. Tr h s K ệ ố ả ấ c g i là d u b ng trong công th c (1-37) đ ngưở ; và ọ ấ có ý nghĩa quan tr ng khi ch t o các thi ế ị ế ạ ộ ọ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

b2- Khác v i tr ng h p không c n, khi có l c c n, h s đ ng có ớ ườ ệ ố ộ ự ả ả ợ

giá tr l n nh t không ph i khi r/ω b ng m t, mà khi t ị ớ ả ằ ấ ộ ỷ ố s này nh ỏ

h n m t. Th t v y, kh o sát bi u th c Kđ theo t s r/ω, t (1-35) hay ậ ậ ứ ể ả ộ ơ ỷ ố ừ

(1-35)’ ta có Kđ đ t c c tr khi : ạ ự ị

1 = 0 suy ra < 1 (1-37)’

r w

- -

α ω

c 2 ω2M

(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231)

dK đ r ω

ł Ł

Tuy nhiên s sai khác này là nh , nên th c t ự ế ẫ v n coi g n đúng K ầ ự ỏ

đ t giá tr l n nh t khi r/ω ≈ 1 ị ớ ấ ạ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.5 H M T B C T DO CH U T I TR NG KÍCH Đ NG – Ệ Ộ Ậ Ự Ọ Ộ Ả Ị

HÀM Đ NG L C VÀ TÍCH PHÂN DUHAMEL Ộ Ự

0 là giá tr l n nh t mà t

i tr ng đ t đ c, f(t) là hàm bi u Ký hi u Pệ ị ớ ấ ả ọ ạ ượ ể

i tr ng theo th i gian, còn g i là hàm ch t t i di n lu t bi n đ i c a t ế ổ ủ ả ọ ễ ậ ờ ọ ấ ả .

Khi đó có th bi u di n t i tr ng kích đ ng d ể ể ễ ả ọ ộ ướ ạ i d ng t ng quát nh ư ổ

sau (hình 1.13).

P(t)

P(t) = P0f(t) f(t) P0

PTVP dao đ ng t ng quát có d ng: ổ ạ ộ

&& My t ( )

Ky t ( )

t ( )

(1-39)

&& y t ( )

y t ( )

t ( )

P f 0 P � � 0 f � � M � �

0 (1-39)’ hay

Hình 1.13: T i tr ng kích đ ngđ ng ả ọ ộ ộ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Có th gi i ph đây ta gi i theo ể ả ươ ng trình này b ng nhi u cách. ằ ề Ở ả

cách h d n b c đ o hàm b ng các phép bi n đ i t ng đ ạ ầ ổ ươ ế ạ ằ ậ ươ ng nh ư

]

c h t nhân hai v c a (1-39)’ v i sinωt, c ng và tr vào v trái hàm ế ủ ừ ế ộ ớ

+ w

w 2

ta đ sau Tr ướ ế [ w w & y t c ( ) os(

(

) =

&& y

sin

w & yc

os t

w y

sin

& yc

os t

t ( ) sin

P w� � 0 f � � M � �

- ượ ) w c: (

(

)

) =

& y

sin

w y c

os t

w ( ) sin t

d dt

P 0 M

- Hay (a)

c: ượ ậ ừ t0 t

( w

)

(

t = (cid:0) t

wt - Tích phân hai v c a (a) theo c n t ế ủ ( i ớ t ta đ ) wt y c os sin & y wt f t ( ) sin d (b)

P 0 M

ả ộ i ớ t (do c n ậ ừ t0 t

t ) Trong đó t là m t th i đi m nào đó trong kho ng t ể ờ tích phân là t nên bi n tích phân ph i là ế ả

powerpoint.vn

t ( )

& y

t ( )

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

v 0

, S d ng đi u ki n đ u ề ử ụ ệ ầ

thì ph ng trình (b) tr thành: ươ ở

& y

sin

w sin

w y c

os t+y

t f

( ) sin(

)

v 0

= t os t c 0

P wt 0 M

- - (cid:0)

ạ ệ

ế ư ự ế ủ i th c hi n các phép tính theo đúng th t ứ ự ừ ộ

ử ụ ệ ề ồ

đ u (c); Ta l (1-40) ng t nh trên Ti p theo, ta l ư nh ng nhân hai v c a (1-39)’ v i cosωt; Sau c ng và tr vào v trái ế ớ ế ớ ậ ừ t0 t i ớ t, và s d ng đi u ki n hàm , r i tích phân hai v v i c n t ể i đ ạ ượ ự ầ ộ

& yc

w os

t f

c ( ) os(

)

sin t-y

sin t

v c 0

+ w 0

t 0

- (1-40)’ c m t bi u th c có d ng t ứ ạ t = (cid:0) t 0 ươ P wt 0 M

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Bây gi ta l i nhân hai v c a (1-40) v i cosωt, và v i (1-40)’ là sinωt; ờ ạ ế ủ ớ ớ

sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb

ng giác: r i tr hai ph ồ ừ ươ ng trình cho nhau, v i chú ý các quan h l ớ ệ ượ

cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb

(d)

t t

Ta đ cượ

+ ( ) y t

w sin ( t

w f

t ( ) sin (

)

v 0

+ w ) t 0

w y c 0

= - os (t-t ) 0

P 0 M

t 0

- - - (cid:0)

t t

Suy ra

y t ( )

w sin (

+ )

t ( ) sin (

)

y c 0

+ w os (t-t ) 0

v � �= 0 � � w � �

t 0

- - (cid:0)

Hay

y t ( )

w sin ( t

+ )

t w ( ) sin (

)

y c 0

os (t-t ) 0

w P y 0 t

v � � 0 � � w � �

)

- - (1-41) (cid:0)

� � � � ự

P 0 M � t � � � ủ

Pd=

Trong đó, là chuy n v tĩnh c a kh i l ố ượ ể ị ng do l c có tr s ị ố

0( P ty ặ

0 đ t tĩnh gây ra.

b ng P ằ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

(1-41) là nghi m t ng quát c a PTVP (1-39), có ch a tích phân ứ ủ ệ ổ

K t ( )

t f

t w ( ) sin ( t

)

- (1-42) (cid:0)

Đ c g i là tích phân Duhamel. ượ ọ

ng trình chuy n ươ ệ ể

0 =0, và v0 =0; thì ph ầ i s h ng th ba trong (1-41).

N u đi u ki n đ u y ề đ ng ch còn l ạ ố ạ ế ộ ỉ

y t ( )

(1-43) ứ 0( P ) y K t ( ) t

i (1-41), hay (1-43) là l ả ổ

i tr ng kích đ ng nh trình bày ữ trên, mà cho t i t ng quát không nh ng i ả ở

d ng (1-38). Chú ý: L i gi ờ ả cho tr ng h p t ợ ả ọ ườ tr ng đ ng b t kỳ có th bi u di n đ ấ ộ ọ i gi ờ ư c ượ ở ạ ể ể ộ ễ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ụ ưở ủ

ả hàm nhân t ờ c g i là ọ ượ

ng c a tác d ng đ ng, nó là hàm c a ộ ự . Giá tr ị tính toán, ta ố ộ hay là hàm đ ng l c Trong th c t ủ đ ng h s đ ng. ệ ố ộ ộ ự ế

Hàm K(t) đóng vai trò nh h th i gian, đ l n nh t c a K(t) chính là ấ ủ ớ c n xác đ nh giá tr l n nh t này. ấ ị ầ ị ớ

i tr ng kích đ ng th ng g p, v i gi ộ ố ạ ườ ặ ớ

Sau đây ta xét m t s d ng t thi t ban đ u h ầ ệ ở ạ ế ả ộ ả ọ 0 = 0, và v0 = 0. Lúc này tr ng thái tĩnh, nghĩa là y

ph ng trình chuy n đ ng c a h là (1-43). ươ ủ ệ ể ộ

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1) L c không đ i tác đ ng đ t ng t vào kh i l ộ ố ượ . ng ự ộ ổ ộ

Đ th hàm ch t t i nh trên hình 1.14a; ồ ị ấ ả ư

Lúc này có:

P = P0

f(t) = 1 (t ≥ 0) (a)

(cid:242)

Nên, K(t) = ω sinω(t-t ) dt

= 1 – cosωt (b)

Đ th hàm K(t) này nh trên hình 1.14b, và ta có ồ ị ư

powerpoint.vn

58 Kđ = max K(t) = 2

t1 2

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

2- T i tr ng kích đ ng d ng ch nh t ( ộ ả ọ ậ nh trên hình 1.15a) ữ ạ ư

♦ Khi 0 ≤ t ≤ t1, có P = P0, và f(t) = 1; nên theo (b) ta có: K(t) = 1 – cosωt (c1)

♦ Khi t1 ≤ t , có P = 0 , và f(t) = 0; nên theo (1-42) ta có:

ωt1 2

K(t) =2sin( ) sinω(t- ) (c2)

t1 2 i. ấ ả

k(t)

max k(t)

P(t)

0,2

4t1

5t1

0,6 Quan h gi a K

0,4 ệ ữ

0,8 đ v i ớ

ổ ủ

D ng ch t t

i ấ ả

ạ

Bi n đ i c a K(t) ng ế v i các t ớ

Trong đó t1 là th i gian ch t t ờ

Hình 1.15

ứ 1 khác nhau

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Trong tr ng h p này, s bi n đ i c a hàm đ ng l c , cũng nh giá ườ ự ế ổ ủ ự ư ộ ợ

đ) ph thu c t

tr l n nh t c a nó (K ấ ủ ị ớ ự ế ụ ộ 1. S bi n đ i c a K(t) theo th i ờ ổ ủ

1 khác nhau, đ

gian, ng v i các t c th hi n trên hình 1-15b; Còn ứ ớ ượ ể ệ

quan h gi a maxK(t) = Kđ v i t c th hi n trên hình 1.15c. ệ ữ s đ ớ ỷ ố ượ ể ệ

ng h p này s tr v tr ớ ườ ẽ ở ề ườ ợ ng h p (1). ợ

1 ≥ là đã có th coi nh tr

Và trong th c t , khi t ng h p (1) – ự ế ư ườ ể ợ Rõ ràng là, khi t1 càng l n, tr T 2

ớ Ở ầ ớ ố xem hình 1.5c; Lúc này Kđ ≈ 2. Còn t1 càng l n thì t n s càng l n.

đây, T là chu kỳ dao đ ng t do. ộ ự

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

ả ọ ồ ế ổ (nh trên hình ư

3- T i tr ng tăng tuy n tính r i sau đó không đ i 1.16a.)

t 1t

♦ Khi 0 ≤ t ≤ t1, có P = P0( ); Còn f(t) = ;

Thay vào (1-42) ta đ cượ

T p 1 t2

hàm đ ng l c trong tr ộ ự ườ ợ

t 1t

ng h p này là: t w sin K(t) = - = – ( )sinωt (d1) w 1t 1t

♦ Khi t1 ≤ t, có P = P0; Còn f(t) = 1;

T K(t) = 1 + ( )[sinω(t-t1) – sinωt] (d2) p 1 t2

Nên trong tr ườ ng h p này ợ

2π ω

Trong đó, T= là chu kỳ dao đ ng t do. ộ ự

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1 khác nhau, nh ư

Đ th bi n đ i c a K(t) theo th i gian, ng v i các t ồ ị ế ổ ủ ứ ờ ớ

t1 T

đ v i t

trên hình 1.16b; Còn quan h gi a maxK(t) = K s nh trên ệ ữ ớ ỷ ố ư

1 càng nh (tỏ 1→ 0) , nó ti n d n t

hình 1.16c. Ta th y, khi t i tr ng h p ấ ầ ớ ườ ế ợ

k(t)

max k(t)

P(t)

2t1

3t1

4t1

(1): Kđ → 2.

Hình 1.16

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

(nh trên hình 1.17a.) 4 - T i tr ng kích đ ng d ng tam giác ộ ả ọ ạ ư

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1 khác nhau nh trên hình 1.7b; Còn

S bi n đ i c a K(t) ng v i các t ự ế ổ ủ ứ ớ ư

t1 T

đ v i nh trên hình 1.17c. Và ta th y K

quan h gi a maxK(t) = K ệ ử ư ấ ớ

k(t)

max k(t)

P(t) P

2t1

3t1

4t1

luôn luôn nh h n hai. ỏ ơ

Hình 1.17

powerpoint.vn

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

M t s nh n xét quan tr ng. ộ ố ọ ậ

a, Khi ch u tác d ng c a t ủ ả ọ i tr ng kích đ ng, h s đ ng có giá tr nh ỏ ệ ố ộ ụ ộ ị ị

h n , ho c b ng hai. ằ ặ ơ

b, Khi th i gian ch t t i kích đ ng t1 là nh so v i chu kỳ dao đ ng ấ ả ờ ớ ộ ỏ ộ

riêng, ta có th gi i g n đúng bài toán v i gi thi t: kh i l ng ch b t ể ả ầ ớ ả ế ố ượ ỉ ắ

đ u chuy n đ ng sau th i gian t1. Nh v y, d a vào nguyên lý đ ng ư ậ ự ể ầ ộ ờ ộ

( )

ng ta có: l ượ

v 0

P t dt Mv 0

J M

Suy ra (cid:0)

ể ệ

ị ả ầ ể ề ộ

Nghĩa là, có th thay bài toán h ch u t toán h chuy n đ ng có v n t c ban đ u v0 gi gi ậ ố i lo i bài toán này có th tìm th y trong các tài li u. ể i kích đ ng có t1 nh , b ng bài ộ ỏ ằ i đ n gi n h n nhi u. L i ờ ơ ả ả ơ ệ ệ ạ ấ ả

powerpoint.vn

Chương 2: Chương 2:

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

powerpoint.vn

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2.1 KHÁI NIỆM BAN ĐẦU

Như đã trình bày ở chương 1; hệ một BTD được đặc trưng bằng . Tương tự như vậy, dao một dạng dao động riêng với tần số động tự do của hệ nhiều bậc tự do cũng được đặc trưng bằng các tần số dao động riêng, và ứng với mỗi tần số riêng hệ có một dạng dao động riêng tương ứng. Hay nói cách khác như sau này sẽ chứng minh, hệ có bao nhiêu bậc tự do sẽ có bấy nhiêu tần số dao động riêng, và trong các điều kiện nhất định, ta có thể làm cho tất cả các khối lượng – tại một thời điểm nào đó chỉ thực hiện dao động tương ứng với một tần số nào đó trong số các tần số riêng. Những dạng dao động như vậy được gọi là những dạng dao động riêng chính, hay dạng dao động chuẩn. Tất nhiên dao động tự do của hệ là tổng hợp của tất cả các dạng dao động riêng này.

powerpoint.vn

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG NGANG TỔNG QUÁT CỦA

HỆ CÓ n BẬC TỰ DO

Xét hệ có n BTD, n khối lượng tập trung M1,M2,...,Mn, như trên hình

2.1(bỏ qua khối lượng kết cấu). Hệ dao động dưới tác dụng của hệ lực

động P1(t), P2(t), ...,Pn(t), trong trường hợp tổng quát, giả thiết đặt tại

tất cả các khối lượng, và có phương theo phương chuyển động. Trường

hợp có các tải trọng không đặt tại khối lượng, thì ta phải chuyển tương

đương về đặt tại khối lượng

P1(t) P2(t) Pn(t)

z M Mn M2

Hình 2.1

y yn(t)

y1(t) .... .. .... .. y2(t)

powerpoint.vn

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Khi dao động, tại mỗi khối lượng đều chịu tác dụng của các ngoại lực như sau,

 Ng ai l c đ ng (n u có) P ộ ự ế ọ

k(t); k(t) = - Mkÿk(t)

 L c quán tính Z ự

k(t)

F t ( ) k

P t ( ) R t Z t ( ) ( ) k k k (a) ng th

 L c c n R ự ả

ng ộ ờ

ể t đang xét, kh i l ố ượ ư ứ k chuy n đ ng h ể m c 1.2, bi u ở ụ ướ ể ớ ự

= -

Ở đây, k là khối lượng thứ k;( k = 1, 2, …,n); Còn lực đàn hồi Rđh(t) không phải là ngoại lực. Hợp của các ngoại lực này , ký hiệu là Fk(t), thì: i th i đi m Gi xu ng cùng chi u v i l c P(t), thì nh đã phân tích ề th c (a) có d ng: s t ả ử ạ ố ứ ạ

F t ( ) k

&& M y t ( ) k

+ ( ) R t k

P t ( ) k

- (b)

powerpoint.vn

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

D i tác đ ng c a h l c này, d m s th c hi n dao đ ng . PTVP dao ẽ ự ệ ự ướ ủ ệ ầ ộ ộ

đ ng ngang t ng quát c a h cũng có th thi t l p đ đi u ki n c t ủ ể ệ ổ ộ ế ậ ượ ừ ề ệ

cân b ng đ ng vi i t ng kh i l t t ng. ằ ộ ế ạ ừ ố ượ

Rđhk(t) – Fk(t) = 0 (c) ( k = 1, 2, …,n)

Song trong tr ng h p này, s d ng bi u th c chuy n v t ra thu n ườ ử ụ ị ỏ ứ ể ể ợ ậ

ti n h n. ệ ơ

ng t i th i đi m nào đó, gi Chuy n v c a các kh i l ị ủ ố ượ ể ạ ể ờ ả ử s xét kh i ố

ng th l ượ ứ k,

yk(t) = δk1 F1(t) + δk2 F2(t) +…..+ δkn Fn(t) (d)

powerpoint.vn

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

c h ượ ệ n PTVP chuy n đ ng ể ộ

+ d

( k = 1, 2, …, n); ta đ Cho k bi n thiên t ế ừ ể t là: i th i đi m ng t c a ủ n kh i l ạ ố ượ ờ

11 1

(cid:0)

+ d

F t ( ) F t ( )

d .... d ....

F t ( ) 2 F t ( ) 2

21 1

(cid:0) (cid:0) (f) (cid:0)

(cid:0)

+ d

d ....

F t ( ) y t ( ) 1 n F t ( ) y t ( ) 2 22 n ................................................................ F t ( ) y t ( ) n n

F t ( ) 1 1 n

F t ( ) 2

(cid:0) (cid:0)

n 1

Hay d ng ma tr n, ở ạ ậ

n 2 ....

22 ....

d .... d .... .... d ....

F t ( ) �� 1 �� F t ( ) � � � 2 � � � .... � � � � � ( ) F t n

(f’)

d y t ( ) � � � 11 1 � � � d y t ( ) � � � = 21 2 � � � .... .... � � � d � � y t ( ) �� 1 n n Trong đó, δkj, (k, j = 1,2,…,n) là chuy n v đ n v t ị ơ ng th j gây ra. do l c b ng đ n v đ t t

i kh i l ng th k ể ị ạ ố ượ ứ

i kh i l ị ặ ạ ố ượ ứ ự ằ ơ

powerpoint.vn

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

....

n 1

[

]

[

]

[

]

Ký hi u các ma tr n và các véc t ệ ậ ơ nh sau: ư

2 ....

....

22 ....

n 2 ....

C 22 .... C

.... .... ....

C 1 n C n 2 .... C

d .... d .... .... d ....

n 1

� � � � � �

M � � � � � �

C � � C � 21 � .... � C �

� � � � � �

d � 11 � d � 21 � .... � d � n 1

(2-1) ;

� � � ; � � �

{

} y t ( )

} & y t ( )

} && y t ( )

} P t ( )

&& ( ) y t � � 1 � � && ( ) y t � � 2 ; � � .... � � � � && y t ( ) n

P t ( ) � � 1 � � P t ( ) � � 2 � � .... � � � � P t ( ) n

& y t ( ) � � 1 � � & y t ( ) � � 2 ; � � .... � � � � & y t ( ) n

y t ( ) � � 1 � � y t ( ) � � 2 ; � � .... � � � � y t ( ) �� n

ọ ma tr n đ m m ậ

ậ

i n i đ t các kh i l

ủ ng , theo ph

c g i là ượ ố ứ là các chuy n v đ n v t ị ạ ơ ặ ể

ị ơ

ộ ề c a h , g m có các ố ượ

ệ ồ ươ

ng chéo. Các ph n t

trên đ

ậ

ườ

ầ ử

ườ

c a [C] khá ph c t p..

ố ượ , là ma tr n đ ng t là các kh i l ậ ố ượ ả . Vi c xác đ nh các ph n t ị

ng t p trung đ t trên h . ệ ặ ầ ử ủ

ứ ạ

Trong đó, [N] là ma tr n đ i x ng, và đ ph n t ầ ử chuy n đ ng. ộ ể  [M] là ma tr n kh i l ậ chéo chính l n l ầ ượ [C] là ma tr n c n ậ

ệ

( 2-2)

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Trong tính toán th c t , ng i ta th ng coi g n đúng [C] t v i ma l ự ế ườ ườ ầ ỷ ệ ớ

} y t ( ) ;

} && y t ( )

ậ

tr n c ng [K]. ứ } { { { & , l n l y t ( ) ; t là véc t chuy n v , véc t v n t c, và véc ầ ượ ơ ể ị ơ ậ ố

t gia t c chuy n đ ng c a h , mà các ph n t c a nó, l n l t là ơ ầ ử ủ ầ ượ ủ ệ ể ố ộ

chuy n v , v n t c, và gia t c chuy n đ ng c a các kh i l ng ị ậ ố ố ượ ủ ể ể ố ộ

{P(t)} là véc t ngo i l c đ ng, có các ph n t là các ngo i l c đ ng ơ ạ ự ầ ử ộ ạ ự ộ

[

....

] { } C y t ( )

ng.. tác d ng t ụ

R t ( ) 1

R t ( ) 2

} R t ( ) n

(2-3) i các kh i l ố ượ ạ } { { = R t ( ) c Còn

là véc t b c m t v i v n t c ). l ơ ự l c c n nh t tuy n tính (t ớ ế ả ỷ ệ ậ ộ ớ ậ ố

c: ể ớ ượ

[

] { } N M y t ( )

] { } N C y t ( )

] { } E y t ( )

] N P t ( )

(f)’’ Thay (b) k t h p v i (2-3) vào (f)’ và chuy n v , ta đ ] [ ế ợ [ ] [ ế [

đây, [E] là ma tr n đ n v c p Ở ị ấ n. ậ ơ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

[

]

[

]

k 12 k 22 .... k

.... .... .... ....

k 1 k n 2 .... k

k � 11 � k � 21 � .... � k � n 1

� � � � � �

- (2-4) Nhân bên trái (f)’’ v iớ

ta đ c PTVP dao đ ng ngang t ng quát c a h có ượ ủ ệ ổ ộ n BTD , c n ả

{

[

] { } M y t ( )

] { } & C y t ( )

] { } K y t ( )

} P t ( )

nh t tuy n tính,d ế ớ ướ ạ i d ng ma tr n nh sau: ậ ư

(2-5)

{

} y t ( ) ;

} & y t ( ) ;

} && y t ( )

Ma tr n [K] đ i x ng, và đ ma tr n đ c ng ố ứ ậ ượ c g i là ọ ộ ứ ậ c a h . ệ ủ

là các véc t hàmơ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

NG Ộ Ậ Ự Ệ ƯƠ

2.3 DAO Đ NG T DO C A H CÓ n B C T DO –PH Ủ Ự TRÌNH T N SẦ Ố 2.3.1 T n s và ph ng trình t n s ươ ố ố ầ ầ

do ta th y r ng, khi l c c n Khi nghiên c uứ dao đ ng h m t b c t ệ ộ ậ ự ộ ấ ằ ự ả

do, khi bé, t n s riêng ố ầ ở ậ ố ớ ệ ậ ự ề

nghiên c u dao đ ng t ω1 ≈ ω; B i v y, đ i v i h nhi u b c t i tr do, ta quan tâm ch y u t ứ ủ ế ớ ườ ự ộ ng h p gi ợ ả

thi t không có l c c n. ế ự ả

Ph ng trình vi phân dao đ ng t do lúc này có d ng đ n gi n: ươ ộ ự ạ ả ơ

{

[

] { } M y t ( )

] { } K y t ( )

} 0

+ = && (2-6)

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Gi thi t dao đ ng t do là đi u hòa, nên ph ng trình dao đ ng t ả ế ộ ự ề ươ ộ ự

+ l

sin(

)

do không l c c n c a kh i l ố ượ ự ủ ả ng th k, cũng nh (1-18), có d ng: ư ứ ạ

y t ( ) k

A k

= -

w sin(

+ l t

)

(2-7)

&& y t ( ) k

A k

(2-8) và gia t cố

ng th k, ủ ộ ố ượ ứ ω và λ là t n ầ

Trong đó, Ak là biên đ dao đ ng c a kh i l ộ s và góc l ch pha c a dao đ ng. ủ ố ệ ộ

Thay (2-8) và (2-7) vào (2-6), r i khai tri n v i (k = 1, 2,…,n); và đ t ể ặ ớ ồ

{

[

]{

} + A

+ l t

= )

} 0

ố w - sin(ωt+λ) làm th a s chung, ta đ ượ ừ ) ( [ ] { } K A c: w sin(

Do ph i t n t ωt+λ) ≠ 0; ả ồ ạ i dao đ ng, sin( ộ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

{

[

] {

[

]

[

]

(

) =

(

) {

} K A M

} A

[ ] w K M

} = A

} 0

- - (2-9) nên,

c t ch a các biên đ dao ơ ộ ứ ộ

Trong đó, {A} = {A1, A2, …,An}T là véc t đ ng c a các kh i l ố ượ ủ ộ ng th nh t, th hai, ..., th ứ ứ n, và đ ứ ấ ượ c g i là ọ

véc t biên đ dao đ ng t i dao đ ng, ơ ộ ộ ự do c a h . Do ph i t n t ả ồ ạ ủ ệ ộ

ị

]

[

] [ K M w

nghĩa là {A} ≠ {0}. T đó suy ra đ nh th c ứ ừ = 2 - (2-10)

Hay ở ạ ể

(

....

k M 11

w 1

k 12

k 1

- d ng khai tri n: )

(

)

....

k M 22

w 2

....

(2-10)’

(

)

....

n 1

k M nn

w n

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Ph ươ ng trình t n s (2-10) cũng có th bi u di n qua ma tr n đ ộ ể ể ễ ậ ầ ố

m m. Mu n v y, ta nhân bên trái hai v c a (2-9) v i [N]( ) đ c: ế ủ ề ậ ớ ố ượ

{

]

] [ N K

] [ N M

} = A

} 0

� { �

1 � � [ � � w 2 � �

1 � � � [ � � � 2 � � �

{

[

] [

] } = N M A

} 0

� { �

1 � � � - ] [ E � � � w 2 � ��

(2-9)’ Hay

u đây, [E] là ma tr n đ n v c p n, và ký hi u: ơ

1 2

(2-11)’’ Ở ị ấ ệ ậ

(2-9)’ ta suy ra ph ươ ng trình t n s bi u di n qua ma tr n đ ộ ố ể ễ ầ ậ

Thì t ừ m m:ề

[

]

[

] =

D u E

] [ N M

[

] [

[

] =

] N M u E

- (2-11) Hay

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

hay d ng khai tri n: ở ạ ể

(

)

....

n 1

)

(

....

d M d M

....

n ....

(2-11’

(

)

....

d M

d 1 11 d M 1 21 .... d 1

n 1

d M 2 12 d M 2 22 .... d M 2

n nn

ng trình t n s có th bi u di n qua ma tr n c ng Nh v y, ph ư ậ ươ ể ể ứ ễ ậ ầ ố

ho c qua ma tr n m m. Tuy nhiên trong th c t , ng i ta hay ự ế ề ậ ặ ườ

dùng ma tr n m m h n, vì các ph n t c a nó đ ầ ử ủ ề ậ ơ ượ c xác đ nh d ễ ị

dàng h n nh công th c tính chuy n v Maxwell- Mohr quen ứ ể ờ ơ ị

thu c.ộ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

VÍ D 2.1 Ụ

Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng c a d m cho trên hình 2-2a. Bi t ủ ầ ầ ộ ố ị ế

d m có E J = h ng s , M1 =M2 =M, khi tính b qua kh i l ố ượ ằ ầ ố ỏ ng d m. ầ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Bài gi iả

Bài toán này có hai BTD, nên ph ng trình t n s là đ nh th c c p hai ươ ứ ầ ấ ố ị

(

)

(

uMδ 11 1 Mδ 21

Mδ 12 uMδ 2

(a) -

D m đã cho là siêu tĩnh, công th c Maxwell- Mohr đ tính chuy n v là ứ ể ể ầ ị

(

MM i

0 k

0 MM i

ơ ọ ( ) (Xem giáo trình c h c k t c u) )( ế ấ )( ) (b) δik =

đây, bi u đ mô men đ n v có thêm ch s ‘0’ là trên h tĩnh đ nh ỉ ố ệ ồ ị ị

ơ t o). ể Ở ( ng v i tr ng thái gi ớ ạ ứ ả ạ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Các bi u đ mô men đ n v v đ ị ẽ ượ ể ồ ơ c nh ư

trên hình 2-2b,c,d,e; Th c hi n nhân các ự ệ

bi u đ ta có: ồ ể

= d

;

d 12

l 23 EJ 1536

l 3 EJ 512

(c)

Thay (c) vào (a) và gi i ph ả ậ

Ml 48

6,9282

ng trình b c 3 = ươ u 1 hai này đ i v i u ta đ c: ố ớ ượ

w = 1

EJ 3

48 Ml

EJ 3 Ml

1 u 1

suy ra

Ml 7 768

và

10, 4745

w = 2

1 u

109, 72 3 Ml

EJ 3 Ml

suy ra

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

D ng dao đ ng ng v i ộ ứ ạ ố ứ ư ả ạ ớ ω1 có d ng ph n đ i x ng (px) nh trên

hình 2-2f; còn ng v i ứ ố ứ ư ạ ộ ớ ω2 là d ng dao đ ng đ i x ng (đx) nh trên

hình 2-2g.

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2.2.3 D ng dao đ ng riêng và tính ch t tr c giao c a ấ ự ủ ộ ạ

các d ng dao đ ng riêng . ộ ạ

A. D ng dao đ ng riêng ộ ạ

N u ta thay l n l t các t n s dao đ ng riêng ω ầ ượ ế ầ ộ ố

1, ω2, ...., ω nvào s biên đ dao đ ng ộ ộ

ph ng trình (2-9), s xác đ nh đ c t ươ ẽ ị ượ n véc t ơ ỷ ố

1}, {a2}, ....,{an} ng v i t ng t n s riêng. Ví d , ng v i t n ầ

ký hi u là{a ệ ớ ừ ớ ầ ụ ứ ứ ố

i} có các ph n t

biên đ dao đ ng {a ký s riêng th ố ứ i ta có véc t ơ ộ ộ ầ ử

1i, a2i, ....aki, ....ani); là biên đ dao đ ng c a các kh i l ộ

hi u là (a ng ệ ố ượ ủ ộ

{

}

{

ứ

a 1 i

a i

th (1, 2, ...,k, ...,n) ng v i t n s riêng ω i: ứ } T a ố .... ớ ầ a .... ki (2-12)

ng trình (2-9)’’ sau đây, ủ ệ ươ Các aki (k = 1, 2, …, n) là nghi m c a ph

2){ai} = {0} (2-9)’’

([K]-[M]ωi

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ở ầ ằ ủ ộ

ộ ộ ầ

ộ ư ậ ươ ầ

ế ệ ị

c d ng c a các dao đ ng ạ ượ ị s (quan h ) gi a các c t ữ ệ ượ ỷ ố ị ng ng v i m t t n s c th . S dĩ ố ụ ể ở ớ ố ượ ng trình đ i s tuy n tính thu n nh t, s ẽ ả i n t (n-1) ấ ả ẽ ả ố ơ ở; Sau đó s gi ố t tr ế ướ ộ ệ ế ệ ộ ế

bi n còn l i qua bi n c s a ế ơ ở ế ế ạ đây ta ch xác đ nh đ C n chú ý r ng, ỉ riêng, hay nói cách khác, ch xác đ nh đ ỉ biên đ dao đ ng c a các kh i l ứ ủ nh v y là vì, (2-9)’’ là ph ạ ố có vô s nghi m. Mu n xác đ nh m t h nghi m nào đó, ta ph i gi ố ki nào đó làm bi n c s c m t bi n a thi ơ ở ki này. Rõ ràng, khi cho bi n c s các tr ị

khác nhau ta s đ c các véc t {a s gi a ẽ ượ ậ ỷ ố ử

các ph n t trong véc t này v i bi n c s ch n tr c luôn không đ i. ầ ử ơ i} khác nhau. Tuy v y, t ớ ơ ở ướ ế ọ ơ ổ

N u ch n n c s ban đ u a s này chính là các ph n ầ ế ơ ở ọ ẩ ỷ ố ầ

ơ ọ ẩ

(

{

....

a ki

a 2

) 1 ủ

a 1 i ệ

i ta th ườ ộ ớ ầ ứ ầ

ki = 1, thì các t trong véc t t (2-12). Trong th c t ng ch n n c s , ng ử ơ ở ự ế ườ } biên đ dao đ ng ng v i t n s 1i = 1, khi đó véc t ban đ u là a ố ơ ộ } { T (2-12)’ a a .... ni i riêng ωi s là:ẽ ng trình (2-9)’’ ng v i a aki (k = 2, 3, ...n) là nghi m c a ph ươ

ứ ớ 1i =1

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ủ ạ ộ

biên đ (2-12)’ cho ta d ng dao đ ng c a h ệ ộ ơ c g i là d ng dao đ ng riêng th i (hay ộ ứ ượ

ứ do s có ẽ ậ ự ọ ư ậ ạ ệ ứ

Các ph n t ứ ớ ầ d ng dao đ ng chính th i). Nh v y, h có bao nhiêu b c t b y nhiêu d ng dao đ ng riêng. c a véc t ầ ử ủ ng v i t n s riêng th i đ ố ạ ấ ộ ạ ộ

t c các véc t bi u di n các d ng dao đ ng riêng vào ế ễ ạ

c g i là ma tr n các ặ ấ ả ậ ộ ơ ể ệ ộ ọ ượ ậ

(

) 1

....

) 1

....

a 1 n a

[

]

[

]

....

N u ta đ t t trong m t ma tr n vuông, ký hi u là [A], thì [A] đ d ng dao đ ng riêng c a h . ệ ủ ạ ộ

a 1

a n

a 12 a 22 ....

....

n 2 ....

21 ....

....

a n

a nn

a n 1

� � � � � �

( a � 11 � a � � � �

(2-13)

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

B - Tính ch t tr c giao gi a các d ng dao đ ng riêng ữ ấ ự ộ ạ

Các d ng dao đ ng riêng c a h nhi u b c t do có tính ch t tr c ậ ự ủ ệ ề ạ ộ ấ ự

giao. Th t v y, xét hai d ng dao đ ng th ậ ậ ạ ộ ứ i và th ứ k. Thay ωi và ωk vào

}

{

}

ồ

[

]

] { K a i

2 i

a i

}

{

}

[

]

] { K a

2 k

(2-9) r i chuy n v , ta có: [ (a) ể ế V i ớ ωi có:

(b) V i ớ ωk có:

T = [M]; [K]T = [K] thì (a) tr thành,

{

}

{

[

]

a i

} [ a M i

2 i

Chuy n trí (a) và chú ý r ng, [M] ể ằ ở

(c)

{a ả ơ k} vào(c), nhân bên trái véc t {aơ i}T vào (b) ta

}

{

}

{

] {

[

a i

] { K a k

[ a M a i k

2 i

}

{

}

{

] {

[

Nhân bên ph i véc t đ c:ượ (c)’

a i

] { K a k

[ a M a i k

2 k

(b)’

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

}

] {

(

) {

c ( ) '

= ( ) ' b

2 i

2 k

[ } = a M a i k

{

}

[

] { a M a =

- - Tr hai ph ng trình cho nhau: ừ ươ

(2-14) Vì ωi ≠ ωk, ta suy ra:

V m t toán h c c a hai véc t {a ề ặ ọ , (2-14) là đi u ki n tr c giao ề ự ệ ủ ơ i} và

ứ ủ ạ ộ ứ i và th ứ k. Đây là

ứ

d ng {ak}, cũng t c là c a hai d ng dao đ ng riêng th đi u ph i ch ng minh. Th c hi n phép nhân ma tr n, đi u ki n (2-14) có th vi ậ ề ự ả ệ ệ ề t ể ế ở ạ

{

}

.....

....

a M a

a 1 i

a ni

a M a 1 i 1 1

a M a 2 2 2

n nk

....

M 2 ....

....

a �� 1 k �� a � � � = 2 k � � �� .... ��

M a n

M � � � � � ��

a M a

khai tri n nh sau ư ể

= 1

(cid:0) (2-14)’

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

C- Chu n hóa các d ng dao đ ng riêng ạ ộ ẩ

i} b ng véc t

N u ta thay véc t d ng dao đ ng riêng th i, {a ế ơ ạ ứ ộ ằ ơ i} {b

th a mãn đi u ki n ề ệ ỏ

bi u di n d ng dao đ ng riêng th i thì véc t {bi}T[M] {bi} = 1 (2-15) c g i là véc t ễ ơ ể ứ ạ ộ ọ ượ

véc t chu n hóa d ng ơ ạ ẩ {bơ i} đ c chu n hóa, hay g i ng n g n là ẩ ắ ọ ọ

đã đ dao đ ng riêng ượ ộ th i.ứ

....

[

]

[

]

....

N u đ t các véc t {b ế ặ ệ ộ ơ i} vào trong m t ma tr n vuông, ký hi u là [B], ậ

b 1

b 2

b n

b 12 b 22 ....

....

b 1 n b 2 n ....

....

b nn

� � � � � �

(2-13)’

b 2 n ọ ma tr n chu n hóa các d ng dao đ ng riêng

b � 11 � b � 21 � .... � b � n 1 ẩ

c g i là ạ ậ ộ c a ủ ượ

thì [B] đ h . ệ 89

] [

[

]

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

[ E=

(2-15)’ Lúc này theo (2-15) ta có: [ ] TB M B

ơ ậ ị ấ

ạ ế ợ ủ ẩ ạ

n ể ẽ ả

ộ i ề ả n bài toán có m t BTD đ n gi n h n nhi u đã đ ộ ệ ơ ượ ả ơ

Trong đó [E] là ma tr n đ n v c p n S d ng d ng chu n hóa c a các d ng dao đ ng riêng k t h p ử ụ i bài toán có v i h t a đ chính s cho phép ta chuy n vi c gi ớ ệ ọ BTD v gi c ề trình bày chi ti ộ ng 1. t trong ch ươ ế

{

}

ậ ậ ị

b i

i}, ta đ tặ Th t v y, đ xác đ nh {b ể 1 } = a i d

(2-16)

{

}

] {

Trong đó di là m t h s . ộ ệ ố

2 i

[ a M a i i

Thay (2-16) vào (2-15) ta rút ra: (2-16)’

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

W =

Ký hi u ma tr n ệ ậ

2 2 ....

....

.... w 2 n

w 2 � 1 � � � .... � � �

� � � � � � �

(2-17)

đ c g i là ượ ọ ma tr n các t n s dao đ ng riêng, ầ ậ ố ộ hay ma tr n t n s . ố ậ ầ

Thay (2-16) vào ma tr n [A] (2-13), r i thay vào (2-9) ta đ c: ậ ồ ượ

[

]

[

] [

]

] [ K B

] [ M B

W (a)

T và chú ý t

Nhân bên trái c hai v c a (a) v i [B] i (2-15)’ ta có: ế ủ ả ớ ớ

[

]

[

]

[ ] [ ] TB K B = W

(2-18)

[

h t a đ chính , Ký hi u véc t ệ ơ c g i là ọ ệ ọ ộ

} y t ( )

{q(t)} nh sau – đ ượ ư ] { } { B q t ( ) (2-19)

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

{

[

] [

[

] [

] { } M B q t ( )

] { } K B q t ( )

} 0

Thay (2-19) vào PTVP dao đông t do (2-6) ta đ c, ự ượ

(b)

{

c: ớ ượ

T, k t h p v i (2-15)’ và (2-18) ta đ ] {

} 0

Nhân bên trái (b) b i [B] [ + W ớ } && q t ( ) ế ợ } = q t ( ) (2-20)

(2-20) là m t h g m ng trình đ c l p có d ng sau đây- là ộ ệ ồ n ph ươ ộ ậ ạ

d ng PTVP dao đ ng c a h ủ ạ ộ ộ ự ả

&& q t ( ) i

2 i

q t i

(2-21) ệ m t BTD không có l c c n(1-14): = ( ) 0

( i = 1,2, ...., n)

Gi i (2-21) (Xem ch ng 1- h m t BTD) ta đ c các nghi m ả ươ ệ ộ ượ ệ

i gi i c a bài toán. ồ c l ượ ờ ả ủ qi(t), r i thay vào (2-19) ta đ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

VÍ D Ụ 2.2 Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng và các d ng dao đ ng t ng ầ ạ ộ ộ ố ị ươ

ng c a d m conson trên đó có đ t hai kh i l ứ ố ượ ủ ặ ầ ng t p trung nh ư ậ

trên hình 2-3a. D m có EJ không đ i và b qua kh i l ố ượ ầ ỏ ổ ng d m khi ầ

ml 4

tính. Cho M = ( m là c ườ ng đ kh i l ộ ố ượ ng phân b ) ố

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Bài gi i:ả

H có hai BTD. Các chuy n ể ệ

c theo v đ n v tính đ ị ị ơ ượ

công th c Maxwell- Mohr và ứ

l 24

cho k t qu nh sau: ả ư ế

l 3 EJ

= d

5 3 l 48 EJ

(a)

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

1, Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng ộ ố ầ ị

Cũng nh ví d 2-1, thay (a) vào ph ng trình t n s (2-11) ta đ c ư ở ụ ươ ầ ố ượ

ng trình b c hai đ i v i u, gi i ph ng rình này ta đ m t ph ộ ươ ố ớ ậ ả ươ ượ c (b ỏ

qua tính toán chi ti t):ế

0,1004

u 1

w = 1

ml EJ

3,156 EJ m

suy ra (b)

0, 0043

w = 2

ml EJ

16, 258 EJ m

suy ra và

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2, Xác đ nh các d ng dao đ ng riêng ạ ộ ị

Thay l n l t ng trình (2-9)’ (là h hai ệ ươ ệ ầ ượ ω1,ω2 (hay u1,u2) vào h ph

ph ng trình hai n) , r i gi thi t tr ươ ẩ ồ ả ế ướ ẩ c n th nh t b ng 1, ta s gi ấ ằ i ẽ ả ứ

ng th nh t và ra n th hai là các biên đ chuy n đ ng c a kh i l ộ ố ượ ủ ứ ể ẩ ộ ứ ấ

ộ ạ ứ ươ ng ng.C ụ ứ

ạ ứ ươ ng trình th nh t (ho c ứ ấ ặ

th hai, các d ch chuy n này cho ta d ng dao đ ng t ị th :ểD ng dao đ ng th nh t: ộ th hai) c a (2-9)’ và cho a ng trình ch a m t ứ ủ ươ ứ ộ

(

)

M a

= d 2 12 21

d 1 11

u 1

bi n aế - (cid:0) c m t ph ộ ượ ) + 1

21 = 3,05472; Véc t

i ta đ c, a biên ượ ồ ơ

{

a 1

ứ ộ ạ } = ấ } 1, 0 3, 05472

ể ấ Thay u1 vào ph 11 =1 ta đ ( 21 nh sau, ư = a 11 Thay M1, M2, δ11, δ12, u1 vào r i gi ả đ dao đ ng cho ta d ng dao đ ng riêng th nh t là: ộ ộ } T a 21 11

D ng dao đ ng này nh trên hình 2-3b. ư ạ ộ

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2 vào (2-9)’

D ng dao đ ng riêng th hai hoàn toàn t ng t , thay u ứ ạ ộ ươ ự

12 = 1, ta s gi

22 = -0,655. Do đó véc t

i đ c a r i cho a ồ ẽ ả ượ ơ biên đ ộ

ạ

{

}

{

1, 0

} 0, 65472

a 12

a 22

a 2

ứ T - cho ta d ng dao đ ng riêng th hai là: ộ } =

D ng dao đ ng riêng th hai nh trên hình 2-3c. ứ ư ạ ộ

Ma tr n các d ng dao đ ng riêng c a bài toán này là: ậ ộ

1,0

=œ

ø Ø ø Ø ạ a ủ 1,0

3,05472

0,65472

Œ œ Œ [A] = (c) - ß º ß º

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

3, Chu n hóa các d ng dao đ ng riêng ạ ộ ẩ

ị ể ạ ậ ẩ ộ

Đ xác đ nh ma tr n chu n hóa các d ng dao đ ng riêng [B] ta ph i ả tính các h s ệ ố di. Theo (2-16)’ta có:

1,0

(cid:252) (cid:236) ø Ø

2 = {a1}T[M]{a1} = {1,0 3,05472} = 11,33133M

3,05472

(cid:253) (cid:237) œ Œ d1 (cid:254) (cid:238) ß º

Suy ra d1 = 3,3662 M

1,0

(cid:252) (cid:236) ø Ø

2 = {1,0 -0,65472}

0,65472

(cid:253) (cid:237) œ Œ = 2,42866M, d2 (cid:254) (cid:238) ß º

suy ra d2 = 1,55842

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

c ma tr n chu n hóa [B] nh sau: ẽ ượ ư ẩ ậ Thay d1,d2 vào (2-16) s đ

1,0

0,2971

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236)

3,05472

0,90747

(cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237)

1 3,3662

1 M

1 {b1} = {a1} = 1d

(cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238)

1,0 0,65472

0,64168 0,42012 -

1 1,55842

1 M

1 {b2} = {a2} = 2d

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238)

c ma tr n chu n hóa các d ng dao ượ ậ ẩ ạ bơ 1 và b2 , ta đ

Ghép hai véc t đ ng riêng c a h : ệ ủ ộ

0,29707

0,641677

ø Ø

0,90747

0,42012

1 M

[B] = (d) œ Œ - ß º

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2.3.3 Phân tích t ả ọ i tr ng theo các d ng dao đ ng riêng ạ ộ

n b c t do , n kh i l ng M Xét h có ệ ậ ự ố ượ i ệ ả

1, M2, ...., Mn; Trên đó có h t i tr ng

i các kh i l ng l p thành véc t t ộ ụ ạ ố ượ ơ ả ọ ậ

{

} P t ( )

tr ng đ ng tác d ng t đ ng nh trong (2-2): ọ ộ ư

P t ( ) � � 1 � � ( ) P t � � 2 � � .... � � .... � � = � � ( ) P t � � k � � .... � � .... � � � � P t ( ) � n

(a)

ệ ả ọ t c i t ặ ạ ấ ả ầ

ng ng v i các d ng dao đ ng riêng, nghĩa là: ng t Ta s phân tích h t ẽ các kh i l ố ượ i tr ng này thành các thành ph n đ t t ứ ươ ạ ộ ớ

100

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ệ ả ọ t c i t ặ ạ ấ ả ầ

....

' P t ( ) 12 ' P t ( ) 22

' P t ( ) 1 i ' P t ( ) 2 i

' ' P t P t ( ) ( ) 1 11 n ' ' P t P t ( ) ( ) n 21 2 .......................................................

...

ng ng v i các d ng dao đ ng riêng, nghĩa là: ng t Ta s phân tích h t ẽ các kh i l ố ượ i tr ng này thành các thành ph n đ t t ứ ươ ạ ớ ộ

....

' P t ( ) k 2

' P t ( ) ki

.......................................................... + ' ' P t P t ( ) ( ) k 1 kn ...........................................................

.......................................

� � � � � � � � � � � �

.................... + +

....

' P t ( ) n 2

' P t ( ) ni

' P t ( ) nn

P t ( ) � � 1 � � P t ( ) � � 2 � � .... � � .... � �= � � P t ( ) � � k � � .... � � .... � � � � P t ( ) � n

� � � � � � � � � � � � ' P t ( ) � n 1

(b)

{

hay vi t ơ

.....

} ' P t ( ) 1

} ' P t ( ) 2

} ' P t ( ) i

} ' P t ( ) n

d ng véc t ế ở ạ } { P t ( ) (2-22)

101

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

i kh i l ng th ng ầ ự ụ ạ ố ượ ứ k t ươ Trong đó, P’ki(t) là thành ph n l c tác d ng t

ng v i t n s ω ứ ớ ầ ạ ứ i). Nh v y theo (2-19), ta đã phân ư ậ

tích véc t t ố i (d ng chính th i tr ng {P(t)} thành t ng c a i tr ng t t ơ ả ọ ổ ủ n véc t ơ ả ọ ươ ng ng ứ

....

' P t ( ) 11

' P t ( ) 21

' P t ( ) k 1

} ' P t ( ) n 1

ộ { là h t i v i ớ n d ng dao đ ng riêng . ạ { } ' P t ( ) Véc tơ 1 ệ ả

tr ng tác d ng t i ng t ng ng v i d ng chính th nh t. ụ ọ ạ n kh i l ố ượ ươ ớ ạ ứ ứ ấ

Véc t là h t i ng t ơ ụ ạ n kh i l ươ

....

} ' P t ( ) 2

' P t ( ) 12

ệ ả ọ { chính th hai. i tr ng tác d ng t { ' P t ( ) 22 ố ượ ' P t ( ) k 2 ng ng v i d ng ứ ớ ạ } T ' P t ( ) n 2 ứ

T ng t , ta có các véc t i tr ng tác d ng t t i các kh i l ng t ng ươ ự ơ ả ọ ụ ạ ố ượ ươ

, v.v. , th k, v.v., th n: ứ ớ ứ ứ ư ứ

{

....

' P t ( ) 2 n

' P t ( ) n 1

' P t ( ) kn

ạ { ng v i các d ng chính th ba, th t } ' P t ( ) n ứ } ' P t ( ) nn

102

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ki(t)

Đ xác đ nh n véc t này, ta ph i xác đ nh (n×n) thành ph n P’ ể ị ơ ầ ả ị

i kh i l ng th ớ ố ượ ứ k, và d ng ạ

(k, i = 1,2,…,n). Vì P’ki(t) liên quan t ứ i, nên ta đ t:ặ dao đ ng th ộ

' ( ) P t M a H t ( ) ki

(2-23)

Trong đó:

ố ượ ứ k ng th Mk là kh i l

ng th ố ượ ủ ộ ộ ứ k t ươ ng ng v i d ng dao ớ ạ ứ aki là biên đ dao đ ng c a kh i l

đ ng th ứ i [xem (2-12)’] ộ

ng ng v i d ng chính th t mà ta ph i xác ươ ớ ạ ứ i, ch a bi ư ứ ế ả Hi(t) là hàm t

đ nh. ị

103

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

t c các kh i l ng, ta đ ụ ạ ự ơ

ấ ả i các kh i l ng t ngo i l c c véc t ng ng v i d ng dao đ ng th Áp d ng (2-23) cho t đ ng tác d ng t ụ ạ ộ ố ượ ố ượ ươ ượ ớ ạ ứ ộ ứ i.

( )

i 1 1

(cid:0)

( )

(cid:0)

' P t M a H t ( ) i 1 ' P t M a H t ( ) 2

(cid:0)

2 2 ..........

(cid:0)

.......... =

( )

(cid:0)

' P t M a H t ( ) ki ki k .......... ........... =

( )

' P t M a H t ( ) ni

n ni

(cid:0) (cid:0)

104

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

....

{

} ' P t ( ) i

H t ( ) i

....

a �� 1 i �� a �� 2 i �� ... � � � � � a � � � ki � � � ... � � � M a �� ni n

' M � � � P t ( ) i 1 � � � ' P t ( ) � � � i 2 � � � .... � � = � � � ' P t ( ) � � � ki � � � .... � � � ' P t ( ) � � � �� ni

hay d ng ma tr n ở ạ ậ

[

] {

{

Hay thu g n,ọ

} ' ( ) P t i

} M a H t ( ) i

(2-24)

105

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

đây, [M] là ma tr n kh i l ng, còn {a (2-12)’ cho ta d ng ố ượ ậ ơ ạ

i} là véc t ớ

{

}

[

] {

[

] {

[

] {

} P t ( )

[ + M a H t M a H t ( )

( )

....

} M a H t ( ) i

} M a H t ( ) n

Ở dao đ ng th ộ ứ i . Thay (2-24) vào (2-22), v i (i = 1, 2, …, n); ta có:

(c)

{

}

{

}

{

}

{

}

[

} P t ( )

....

a i

] { a M a H t ( ) i

{

}

[

+ + ....

Nhân bên trái hai v c a (c) v i véc t {a ế ủ ớ c:ượ ơ i}T, ta đ

] { a M a H t ( ) i

(d)

ấ ự

ứ ố ạ ứ i là khác ố ạ ỉ ề ằ

{

}

{

}

[

} P t ( )

a i

] { a M a H t ( ) i

Do tính ch t tr c giao (2-14), nên các s h ng th 1, 2, ...,(i-1), (i+1), (i+2),....,n trong (d) đ u b ng không; ch có s h ng th không. T đó suy ra ừ

106

{

}

{

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

H t ( ) i

a i }

{

}

} P t ( ) ] {

[ a M a i i

hay (2-25)

c véc t i tr ng t t ng ng v i d ng ượ ơ ả ọ ươ ớ ạ ứ

�

{

}

[

(

)

{

} ' P t ( ) i

] { M a i

Thay (2-25) vào (2-24) ta đ ứ i dao đ ng th ộ

}

} P t ( ) ] {

[ a M a i i

} { � a i �� { } T � �

� �

(2-24)’

107

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ứ ừ ố

ấ

ơ có ố ượ ừ ỗ ừ ộ ơ

ả ầ ử ơ ố ộ

ng ng v i d ng dao đ ng th t Chú ý: 1- Khi s d ng công th c (2-24)’ c n l u ý: (2-24)’ có hai th a s , ầ ư ử ụ (m i th a s đ c đ t trong d u ngo c đ n), và ph i tính riêng t ng ừ ặ ừ ặ n ph n t th a s ; Th a s th nh t là m t véc t ; th a s th hai ố ứ ấ ố ứ ố ừ cho ta m t con s ; Tích hai th a s này là m t véc t n ph n t có ố ầ ử ộ ứ i. i tr ng t chính là véc t ộ ươ ơ ả ọ ừ ứ ớ ạ

ượ n véc t ị

ng ng v i ủ ứ ạ

ự

L n l ầ ượ tr ng t ươ ọ h t ệ ả ọ phân tích t t cho ( i= 1, 2, ..., n) vào (2-24)’; ta xác đ nh đ i c t ơ ả ớ n d ng dao đ ng riêng c a h , đ c tách ra t ừ ệ ượ ộ i tr ng đã cho ban đ u. Có th ki m tra s đúng đ n c a phép ủ ắ ể ể ầ công th c (b), ho c (2-22). ừ ứ ặ

ng t , ta cũng có th phân tích chuy n v theo các ằ ể ể ự ươ ị

ộ ạ

ệ ả ọ ạ ộ

ờ ề

ộ do, ta cũng có th chuy n vi c gi ể ị ậ ự ứ ể ả

i tr ng đã cho theo các d ng dao đ ng riêng, và ng ưỡ i bài toán ệ ư ệ ộ ậ ự ứ ệ

2- B ng cách t d ng dao đ ng riêng. Nh phân tích h t nhi u khi c chuy n v , mà sau này, khi nghiên c u dao đ ng c ả ể b c c a h nhi u ệ ủ h nhi u b c t ậ ự ề do đ n gi n đã đ ề ch ng 1. i nhi u bài toán nh h m t b c t ỹ ở ề b c t do ph c t p v gi ứ ạ ượ ề ả c nghiên c u k ứ ươ ả ơ 108

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Ể ƯƠ ƯƠ Ọ

NG CÁC T I TR NG Ả Ấ Ấ NG Đ Ị Ặ Ạ Ế Ề

2.4 CÁCH CHUY N T Đ NG Đ T T I CÁC V TRÍ B T KỲ TRÊN K T C U V Đ T T I CÁC KH I L NG Ộ Ặ Ạ Ố ƯỢ

ng, ký hi u ặ ạ ệ

{

ự s có i các kh i l ố ượ : ả ử m l c, l p thành véc t ơ ự ậ ế ấ ụ Khi trên k t c u có các l c không đ t t là P*k(t) tác d ng, gi

} * P t ( )

....

* P t ( ) 1

* P t ( ) 2

} * P t ( ) m

(2-26)

ể ở

ng đ ươ ả ph n trên, ầ ng) h l c này ệ ự

Lúc này, đ có th áp d ng các k t qu đã trình bày ụ ta ph i thay th t ng đ ươ i các kh i l thành h l c đ t t ệ ự ả ế ng (chuy n t ể ươ ng ố ượ ể ế ươ ặ ạ

ng đ ề ươ ư ậ

t g n đúng cho r ng: ự ả ậ

ng nh v y, song ch là g n ầ ng nh ư ng đ ươ ng b ng nhau. ng ỉ ng đ ể ươ ươ Hai h l c t ệ ự ươ ằ ố ượ ệ ự

ng là , Có nhi u cách chuy n t ể ươ đúng. Sau đây là m t trong các cách chuy n t ộ v y d a trên gi thi ế ầ là hai h l c gây ra chuy n v tĩnh t ể Ký hi u véc t h l c thay th đ t t ơ ệ ự ệ ằ i các kh i l ị ạ ế ặ ạ n kh i l i ố ượ

109

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Có nhi u cách chuy n t ng đ ng nh v y, song ch là g n đúng. ể ươ ề ươ ư ậ ầ ỉ

Sau đây là m t trong các cách chuy n t ng đ ng nh v y d a trên ể ươ ộ ươ ư ậ ự

gi thi t g n đúng cho r ng: Hai h l c t ng đ ng là hai h l c gây ả ế ầ ằ ệ ự ươ ươ ệ ự

i các kh i l ng b ng nhau. h l c ra chuy n v tĩnh t ể ị ạ ố ượ ằ Ký hi u véc t ệ ơ ệ ự

{

thay th đ t t ng là ,

....

} ( ) T

P t ( ) 1

P t ( ) 2

P t n

(2-27) ế ặ ạ n kh i l i ố ượ } { P t ( )

110

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

i kh i l ng th ị ơ ị ạ ể ố ượ ứ i do l c b ng đ n v đ t ị ặ ự ằ ơ  δ*ik là chuy n v đ n v t

k(t) gây ra;

t i l c P* ạ ự

i kh i l ng th ị ơ ị ạ ố ượ ứ i do l c b ng đ n v đ t t i ị ặ ạ ự ằ ơ  δij là chuy n v đ n v t ể

kh i l ng th i các kh i l ố ượ ứ j gây ra. Khi đó, chuy n v t ị ạ ể ố ượ ng th (1, ứ

+ d

2, …, n ) do h l c {P*(t)} gây ra, b ng chuy n v này, do h l c thay ằ ệ ự ệ ự ể ị

+ + d ...

P t ( )

12 2

(cid:0)

+ d

+ + d ...

c ( )

+ + d ...

P t P t ( ) ( ) 11 1 n n ................................................ d P t ( ) P t ( ) 2 2

P t ( ) 1 1 i

in n

* * P t ( ) 1 1 i

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

+ d

(cid:0)

+ d

+ + d ...

. ................................................ d P t P t ( ) ( ) 2 2

P t ( ) 1 1 n

nn n

* * P t ( ) 2 2 i ............................................ d * * * * P t P t ( ) ( ) 1 1 n n 2 2

* * ( ) P t im m ....... * * P t ( ) nm m

(cid:0) (cid:0) th {P(t)} gây ra, nghĩa là: ế + + d * * * * * * y t ( ) P t P t P t ( ) ( ) ( ) ... 1 11 1 12 2 m m 1 .... ................................................... d y t ( ) i .... y t ( ) n

111

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Ký hi u ma tr n sau, ệ ậ

d .... d .... .... d ....

* 12 * 22 .... * n 2

* m 1 * m 2 .... * nm

d * � 11 � d * � � �= 21 N � � � .... � d * � � n 1

� � � � � � �

(2.28)

[

i d ng ma tr n: ể ể ễ ướ ạ ậ

Lúc này có th bi u di n h ệ n đ ng th c (c) d } *( ) P t (c)’

{

[

]

{ * � � N � � } P t ( )

Suy ra, (2-29) ứ ẳ ] { } ( ) N P t } { * * � � P t N ( ) � �

c tính theo (2-1). Trong đó, [N] là ma tr n đ m m c a h đ ậ ộ ề ệ ượ ủ

112

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2.4 DAO Đ NG C Ộ ƯỠ NG B C C A H NHI U B C T DO, KHÔNG Ề Ậ Ự Ứ Ủ Ệ

L C C N CH U L C KÍCH THÍCH ĐI U HOÀ: P(t)=P Ị Ự Ự Ả Ề

0sinrt

2.5.1 Bi u th c n i l c đ ng và chuy n v đ ng

ộ ự

ị ộ

ứ

ộ

ể

Xét h nhi u b c t do ch u tác d ng c a các l c kích thích đi u ậ ự ề ệ ủ ự ụ ề ị

hòa cùng t n s . Cũng nh h m t b c t do, trong th c t luôn t n ư ệ ộ ậ ự ầ ố ự ế ồ

t ạ ự i l c c n; nên dù l c c n r t nh , thì sau m t kho ng th i gian ỏ ả ấ ự ả ả ờ ộ

nào đó, dao đ ng t do cũng s m t đi. Dao đ ng c a h lúc này ộ ự ẽ ấ ủ ệ ộ

hoàn toàn ph thu c l c kích thích đi u hòa, nên n i l c, ng su t, ộ ự ứ ộ ự ụ ề ấ

v.v. cũng thay đ i đi u hòa cùng chu kỳ v i chu kỳ c a l c kích ủ ự ề ớ ổ

thích.

113

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

n BTD, s có Khi h có ệ ẽ n t n s dao đ ng riêng. Khi m t trong s ố ầ ộ ố ộ

các t n s riêng x p x b ng t n s l c kích thích s xu t hi n hi n ố ự ỉ ằ ệ ệ ẽ ấ ầ ấ ầ ố

t ng. Th c t , t n s l c kích thích th ng nh h n ượ ng c ng h ộ ưở ự ế ầ ố ự ườ ỏ ơ

nhi u so v i t n s dao đ ng riêng (r << ng ớ ầ ề ố ộ ộ ưở ωi), nên c ng h

th ng x y ra v i ng, ườ ẩ ở ậ ứ ể ộ ưở ớ ω1, ho c ặ ω2. B i v y, đ nghiên c u c ng h

ta th ng quan tâm t i hai t n s nh nh t này. Các t n s riêng là ườ ớ ấ ầ ầ ỏ ố ố

nghi m c a ph ng trình t n s (2-10) ho c (2-11) ủ ệ ươ ặ ầ ố

Đ ph c v bài toán ki m tra và bài toán thi t k , ta ph i bi ụ ụ ể ể ế ế ả ế t bi u ể

đ biên đ n i l c đ ng và chuy n v đ ng. ộ ộ ộ ự ị ộ ể ồ

114

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Khi dao đ ng đã n đ nh (ph n dao đ ng t ị ầ ộ ộ ổ ự do đã m t), h dao ấ ệ

đ ng do tác d ng c a các l c sau: ự ụ ủ ộ

0sin rt đ t t

Các l c kích thích đi u hòa P(t) = P i các kh i l ng; ự ề ặ ạ ố ượ

Các l c quán tính bi n đ i đi u hòa cùng t n s v i t n s c a l c ố ủ ự ố ớ ầ ự ế ề ầ ổ

kích thích, đ t t i các kh i l ặ ạ ố ượ

s inrt

Z t ( ) i

ng : Z= (a)

( i = 1, 2, …, n)

ể ị

ả ộ ự c tính theo nguyên lý ng nghiên c u S (có th là n i l c, chuy n v , ph n ể ứ t di n K nào đó trên h đ ệ ượ

t ( )

+ + ...

S Z t ( )

S t ( ) K

S Z t ( ) 1 1

S Z t ( ) 2

Khi đó, đ i l ạ ượ l c, v.v.) t i ti ạ ế ự c ng tác d ng nh sau: ụ ộ ệ ư

(b)

115

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Vì dao đ ng đã n đ nh, nên các đ i l ạ ượ ổ ộ ị ng nghiên c u đ u bi n đ i ổ ứ ế ề

đi u hòa theo cùng m t t n s v i t n s c a l c kích thích. B i ở ố ớ ầ ố ủ ự ộ ầ ề

v y, khi t i tr ng đ t biên đ , thì các đ i l ng nghiên c u cũng ậ ả ọ ạ ượ ạ ộ ứ

ạ

+ + ...

P 0 K

S Z 1 1 K

S Z 2 K

S Z Kn

(2-30) đ t biên đ , nghĩa là: ộ S

K do biên đ l c đ ng P ộ ự

Trong đó, 0P KS  là tr s c a S ị ố ủ ộ ặ

0 đ t tĩnh gây ra, và c trình bày trong giáo

đ c xác đ nh b ng các ph ng pháp đ ượ ằ ị ươ ượ

ơ ọ ế ấ

K do l c quán tính Z

i = 1 đ t tĩnh gây ra. (i = 1, 2,

trình c h c k t c u. S ự ặ  ki là giá tr Sị

…,n)

i(t)

ộ ủ ự  Zi là biên đ c a l c quán tính Z

k ta ph i xác đ nh đ

Nh v y, đ xác đ nh đ c S ư ậ ể ị ượ ả ị ượ c các biên đ ộ

l c quán tính Z ự 116

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2.5.2 Xác đ nh biên đ c a các l c quán tính ộ ủ ự ị

ng th ỏ ươ ủ ự ộ ố ượ ứ i,

+ d

+ D

+ + d ...

t ( )

Khi b qua l c c n, ph ể theo nguyên lý c ng tác d ng , có d ng: ng trình chuy n đ ng c a kh i l ụ ả ộ ạ

y t ( ) i

Z t ( ) 1 1 i

Z t ( ) 2

Z t ( ) n

(c)

ng th ố ượ ị ủ ể ứ i do các l c đ ng P(t) ự ộ

Trong đó, ∆iP(t) là chuy n v c a kh i l gây ra. Sau khi dao đ ng đã n đ nh, c y ộ ổ ị ề ế ả i(t), Zi(t), và ∆iP(t) đ u bi n

đ i đi u hòa v i t n s ề ổ

s inrt

iP 0

D (d)

r= -

ố r c a l c kích thích. Nghĩa là: = D ( ) t s inrt 2 D ủ ự và s inrt đ ng th i ờ ồ ớ ầ y t = D ( ) i && y t ( ) i

D ng th ị ộ ố ượ ủ ể ộ ứ i đang tính. Trong đó, là biên đ chuy n v đ ng c a kh i l

0iP

là chuy n v c a kh i l ng th ị ủ ố ượ ể ủ ứ i do biên đ Pộ 0 c a các

đ ng P(t) đ t tĩnh gây ra. l c ự ộ

ặ 117

= -

Z t ( ) i

&& M y t ( ) i i

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

M t khác, l c quán tính ự ặ

( )

s inrt=M

= Z t M r i

2 r y t ( ) i

D Thay (d) vào (f) ta đ c:ượ

y t ( ) i

Z t ( ) i

1 M r i

Hay rút ra: (2-31)

ể ế ồ ặ sinrt làm th a s ố ừ

+ d

Thay (a), (d), và (2-31) vào (c), r i chuy n v và đ t chung, ta đ c:ượ

+ + d ...

sin

= rt

+ D n

iP 0

1 M r i

� � ii �

� + + d ... Z � i �

� d Z � i 1 1 �

� � �

- (g)

118

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Vì sinrt khác không (do t n t i dao đ ng), nên t (g) ta rút ra đ ồ ạ ộ ừ ượ c h ệ

ph ươ ng trình dùng đ xác đ nh biên đ c a các l c quán tính, khi h ệ ộ ủ ự ể ị

ch u tác d ng c a các l c kích thích đi u hòa và không có l c c n, ự ủ ụ ự ề ả ị

nh sau: ư

* ii

d + d (2-32) Z + + d ... Z + + d ... Z 0 Z 1 1 + D = iP 0

( i = 1, 2, …, n)

* ii

1 iM r

d� -� ii �

� � �

(2-33) Trong đó ta đã ký hi uệ

( i = 1, 2, …, n)

Gi i h ph ng trình (2-32) ta đ c biên đ c a các l c quán tính. ả ệ ươ ượ ộ ủ ự

ng, thì chi u gi thi t ban đ u c a l c là N u k t qu tính ra d ả ế ế ươ ề ả ế ủ ự ầ

đúng; N u k t qu tính ra âm, thì chi u gi thi ế ề ế ả ả ế t là sai và ph i đ i ả ổ

ng i. c l ượ ạ

119

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

VÍ D 2. Ụ 3 Cho d m dài l = 6m, trên đó đ t hai mô t , tr ng l là ặ ầ ơ ọ ượ ng m i mô t ỗ ơ

G = 10 kN. Khi mô t th nh t quay v i v n t c n = 450 v/phút t o ơ ứ ớ ậ ố ấ ạ

0 = 5 kN. Xem hình 2.5a.

ra l c ly tâm P ự

Yêu c u :ầ Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng, và v bi u đ biên ẽ ể ầ ồ ộ ố ị

đ mô men đ ng, và bi u đ mô men t ng c ng c a d m. Bi t d m ủ ể ầ ộ ộ ồ ổ ộ ế ầ

2 và b qua ỏ

có: J = 8880 cm4; E = 2,1. 104 kN/cm2; L y g = 981cm/s ấ

kh i l ng và tr ng l ng c a d m trong tính toán. ố ượ ọ ượ ủ ầ

120

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

GI IẢ

1, Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng ộ ố ầ ị

H có hai b c t do, nên ph ng trình t n s , theo (2-11)’ có d ng ậ ự ệ ươ ạ ầ ố

)

(

d 1 11 d M 1 21

d M 2 12 d M 2 22

( � � �

� = �- ) u �

(a)

c theo ừ ể ơ ồ ượ

= d

;

T các bi u đ mô men đ n v trên hình 2.5c và d; ta tính đ ị Maxwell-Mohr

d 12

l 4 243

l 7 486

(b)

;

u 1

Ml 486

Ml 5 162

Thay (b) vào (a) và gi i, ta đ c: ả ượ

121

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

;

2 1

2 2

EJ 3

1 u

162 Ml 5

486 Ml

1 u 1

Nên (c)

1, 02

;

G g

kNs 10 m 9,81

kNs m

Thay và EJ vào (c), ta đ cượ

52,5s

203s

- - và

122

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

2, Xác đ nh biên đ các l c quán tính ộ ự ị

1 và Z2,

ng trình đ xác đ nh biên đ hai l c quán tính Z ự ươ ị

ộ ng h p này là, H ph ể ệ theo (2-32), trong tr ườ ợ

+ d

+ D

* Z 11 1

= P 0

+ d

+ D

(cid:0) (cid:0) (d) (cid:0)

Z 21 1

* 22

= P 0

-1; đ ng th i thay l, E, J vào (b)

(cid:0) (cid:0)

ầ ố ự ồ ờ

T n s l c kích thích r = 2πn/60 = 50 s ta tính đ cượ

m kN

(b)’ δ12 = δ21 = 1,67. 10-4 δ11 = δ22 = 1,908.10-4

11 = δ*22 = - 2,013.10-4

m kN

c: δ* (f) ượ Thay M, r, δ11 vào (2-25) đ

ik trong (b)’ và (f) đ

(Đ n v c a δ c gi i thích ị ủ ơ ượ ả ở ví d 4- 1) ụ

123

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

01P

0PM

D D các bi u đ mô men đ n v trên Còn , và có th tính đ 02P ể c t ượ ừ ể ơ ồ ị

đây có các hình 2.5c và d, và bi u đ trên hình 2.5b; Tuy nhiên ồ ể ở

th tính đ n gi n h n, b i vì: ả ể ở ơ ơ

d .

.1,908

9,54.10

P 0

= 11

= P 0

m = kN

- D

d .

.1, 67

8,35.10

P 0

= 21

= P 0

m = kN

- D (g)

Thay (f), (g) vào (d) và gi i h ph ng trình này ta đ c: ả ệ ươ ượ

Z1 = 25,98 kN; Z2 = 25,65 kN (h)

powerpoint.vn

124

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ầ 3, V các bi u đ n i l c yêu c u ồ ộ ự ể ẽ

Có hai cách v bi u đ biên đ mô men đ ng ồ ẽ ể ộ ộ

ế a, Cách v tr c ti p: ẽ ự

Theo cách này, ta đ t vào h các l c có tr s b ng biên đ các ị ố ằ ự ệ ặ ộ

ngo i l c đ ng và biên đ các l c quán tính, r i tính toán nh v i ư ớ ự ạ ự ồ ộ ộ

bài toán tĩnh d ướ i tác d ng c a các l c này. ủ ụ ự

b, Cách v theo nguyên lý c ng tác d ng: ụ ộ ẽ

c v theo (2-30) ể ộ ộ ượ ẽ

M Z M Z M

P 0

Theo cách này , bi u đ biên đ mô men đ ng đ ồ

Mđ

K t qu cho trên hình 2.5e; ế ả

powerpoint.vn

125

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

126

)P 0

(

)

M(cid:0)

( t

P 0

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

đ và ta th y r ng, trong tr

So sánh hai bi u đ : M ng h p ể ồ ấ ằ ườ ợ

i các ti t ng quát, h s K ổ ạ ế t di n khác nhau là khác nhau. Nh ư ệ ệ ố đ t

v y, khác v i h m t b c t do, đ i v i h nhi u b c t do, ta không ớ ệ ộ ậ ự ậ ố ớ ệ ậ ự ề

có m t h s K t c các ti t di n ; cũng nh không có ấ ả ế ư ệ ộ ệ ố đ chung cho t

m t h s K t c các đ i l ấ ả ạ ượ ng nghiên c u. Tuy nhiên ứ ộ ệ ố đ chung cho t

nh sau này s th y, đ đ n gi n trong tính toán , đ ng th i thiên v ề ẽ ấ ể ơ ư ả ồ ờ

ng nghiên c u ta cũng có th dùng m t an toàn, đ i v i m t đ i l ố ớ ộ ạ ượ ứ ể ộ

t di n có tr s K ế ụ ở ệ ấ ớ ủ ị ố đ l n nh t. Ví d

ệ ố đ chung, đó là Kđ c a ti h s K tr ợ ườ ị ố ớ ệ ố ộ ấ ố ớ

t ệ i ti ạ ế ố ượ t di n đ t kh i l ặ ng M Max Kđ = = 16,4

ề ộ ệ ố đ chung cho t

ườ ng. Lúc này h s đ ng đ ệ ố ộ

1 đ tính toán.

do, mà ng h p đang xét, h s đ ng có tr s l n nh t đ i v i mô men là 58,855 3,335 i ta còn dùng m t h s K ượ ấ ầ t c ấ ả c tính theo công th c (1-36) đ i ố ấ ứ đó ta l y t n s riêng bé nh t ω ố Th m chí, nhi u khi ng ậ các đ i l ạ ượ v i h m t b c t ớ ệ ộ ậ ự ể

powerpoint.vn

ở 127

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

c, Bi u đ mô men t ng c ng: ồ ổ ộ ể

Tr c khi đ ng c đ t t i kh i l ướ ơ ặ ạ ộ ố ượ ng th nh t ho t đ ng, trong d m ạ ộ ứ ấ ầ

đã có n i l c do tr ng l ng c a hai đ ng c gây ra. Bi u đ mô ộ ự ọ ượ ủ ể ộ ồ ơ

(M)). Rõ ràng, khi t

men này v đ c nh trên hình 2.6f. (ký hi u là M ẽ ượ ư ệ

đ ng c làm vi c, mô men l n nh t xu t hi n trong d m s là t ng ấ ệ ệ ẽ ấ ầ ớ ổ ộ ơ

(M) (k)

bi u đ mô men t ng c a hai bi u đ này, và ta g i nó là ủ ể ọ ồ ổ c ng.ộ ể ồ

Mtc = Mđ + Mt

K t qu nh trên hình 2.5g. ư ế ả

Chú ý:

Ta cũng có th gi i bài toán b ng cách phân tích t ể ả ằ ả ọ i tr ng đi u hòa đã ề

cho ra n h t i tr ng t ng ng v i các d ng dao đ ng riêng (v i bài ệ ả ọ ươ ứ ạ ộ ớ ớ

toán đang xét n=2) r i gi i bài toán nh h m t b c t do. Cách làm ồ ả ư ệ ộ ậ ự

này s đ c trình bày m c ti p theo đây. ẽ ượ ở ụ ế

powerpoint.vn

128

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

Ộ Ủ Ề Ệ

2.6 DAO Đ NG C NG B C C A H NHI U B C T DO, Ứ KHÔNG L C C N, CH U L C KÍCH THÍCH B T KỲ P(t) Ị Ự Ậ Ự Ấ ƯỠ Ả Ự

Trong tr ng h p này, ta có th gi i bài toán b ng nhi u cách. ườ ể ả ợ ề ằ

ấ

ề c trình bày ạ i tr ng b t kỳ thành các hàm đi u hòa d ả ọ ng giác, r i gi ồ ư ả i ướ m c ở ụ

ộ

Cách 1: Ta phân tích t i bài toán nh đã đ d ng chu i l ổ ượ ượ i tr ng đ ng P(t) có chu kỳ T, thì có th phân tích thành 2.5. Khi t ể ả ọ ng giác nh sau: chu i l ổ ượ ư

P t ( )

s inrt+a s in2rt+...+a sin

krt

....

osrt+b os2rt+...+b oskrt+...

a 0

a 1

b c 1

(2-34)

c g i là t n s c b n c a l c kích thích) ố ơ ả ủ ự ầ ọ

( tP

0 T

)

( tP

Trong đó, r = (đ ượ )dt (cid:242)

(cid:242)

0 T

)

( tP

ak = sinkrt dt (2-34)’

π T 1 T a0 = T k T k T

(cid:242)

bk = coskrt dt

powerpoint.vn

129

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ử ụ

ệ n BTD v ề n bài toán ng h p không l c c n, PTVP dao đ ng t ng ể ư ả ự ệ ọ ườ ộ ợ ệ ộ ộ ổ

{

[

] { } M y t ( )

] { } K y t ( )

} P t ( )

Cách 2: S d ng h t a đ chính đ đ a h h m t BTD. Xét tr quát có d ng:ạ

(2-35)

T , và chú ý t

{

[

] {

[

] {

[

]

] [ ] } B M B q t ( )

] [ ] } B K B q t ( )

} P t ( )

{

{ + W

} {

{

[

]

} && q t ( )

} = ( ) q t

} P t ( )

Nhân bên trái (2-35) v i [B] i (2-19) ta đ c: ớ ớ ượ

Hay (2-35)’

ng trình đ c l p có ươ ộ ệ ồ n ph ộ ậ

Ph d ng nh d ng PTVP dao đ ng c a h m t BTD (1-39)’ ộ ạ ng trình (2-35)’ là m t h g m ủ ươ ệ ộ ư ạ

c nói t do ớ i khi nghiên c u dao đ ng t ứ ộ ự ở

ề ể

....

2 i

q t ( ) i

&& q t ( ) i

B P t ( ) 1 1

B P t ( ) 2 2

B P t ( ) in n

[Đi u này cũng đã đ ượ đi m (c) c a m c 2.3.2] ủ = ụ w+ (2-36)

( i = 1, 2, ...., n)

powerpoint.vn

130

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ầ ử ủ c a ma tr n chu n ậ ẩ

c bi u di n qua tích phân ươ ượ ủ ể

i(t) vào

ễ m c (1- 5). Thay các nghi m q ệ

ng trình (2-36) đ t ế ở ụ i c a bài toán. i gi Trong đó, Bij (i, j = 1,2,....,n) là các ph n t hóa . Nghi m c a ph ệ Duhamel (1- 41) nh đã bi c l (2-19) ta đ ượ ờ ư ả ủ

powerpoint.vn

131

Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO

ự

ạ

Cách 3: D a vào (2-24)’ ta phân tích véc t các d ng chính, sau đó gi ch trình bày i tr ng {P(t)} theo c t): t ơ ả ọ i n bài toán nh h m t BTD đã đ ư ệ ộ ng m t.C th là: ( B qua các bi n đ i chi ti ỏ ả ụ ể ượ ế ươ ế ổ ở ộ

ng trình chuy n đ ng c a kh i l ố ượ ủ ể ộ ng th k d ứ ướ i tác d ng c a ụ ủ

= (cid:0)

a S t ( ) ki i

y t ( ) (2-37) k

= 1

Ph h l c đ ng {P(t)} là: ươ ệ ự ộ

Trong đó Si(t) là nghi m c a PTVP sau: w+ = S t H t ( ) ủ ( ) ệ 2 i && S t ( ) i (2-38)

c tính theo công th c (2- 25), còn a đây H ứ ượ ầ

i(t) đ Ở ơ ộ ạ ộ

ki là thành ph n th ứ ứ i. (xem 2-12)’; ệ

ủ ươ biên đ dao đ ng c a d ng chính th ệ ộ ủ ạ ư ủ

ng trình vi phân (2-38) có d ng nh c a h m t BTD, nghi m ư ượ ủ ễ ể

powerpoint.vn

c trình bày trong m c 1-5. k c a véc t ph t ng quát c a nó đ ổ đ ượ c bi u di n qua tích phân Duhamel (1-41) nh đã ụ

132

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Chương 3 Chương 3

DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ

HẠN BẬC TỰ DO HẠN BẬC TỰ DO

powerpoint.vn powerpoint.vn

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

NG TRÌNH VI PHÂN T NG QUÁT DAO Đ NG NGANG ƯƠ Ổ Ộ

C A THANH TH NG 3.1 PH Ủ Ẳ

ự ế ạ

ạ c đ t trong h t a đ (yz). Xét tr luôn luôn có vô h n b c t ệ ọ

ộ ố ượ ổ ớ ị

M t h k t c u th c t ộ ệ ế ấ th ng đ ặ ượ ẳ có ti t di n thay đ i v i kh i l ệ ế d ng c a h l c ngang phân b c ụ do. Xét đo n thanh ậ ự ng h p t ng quát thanh ợ ổ ng đ m(z), ch u tác ộ ng đ q(z,t) nh trên hình 3.1a. ư ườ ng phân b c ố ườ ộ ố ườ ệ ự ủ

ộ ủ

ng ể

ủ

ọ ộ

Dao đ ng ngang c a h t i th i ệ ạ ờ đi m nào đó, chính là v trí đ ị ườ đàn h i c a nó t i th i đi m ạ ể ồ ủ ờ ng đàn h i ng trình đ xét. Ph ươ ồ ườ khi h ch u tác d ng c a t i ả ụ ị ệ tr ng đ ng, ph thu c hai bi n là ế ụ ộ z và t, nghĩa là:

powerpoint.vn

y = y(z,t) (a)

134

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ng đàn h i c a tr c thanh có ti ệ ữ ồ ủ ườ ụ ệ

ố ườ t di n thay i tr ng ọ ả

M i quan h gi a đ đ i v i t tĩnh, đã đ c nghiên c u trong giáo trình S c b n v t li u: ố i tr ng ngang phân b trên thanh, tr ổ ớ ả ọ ứ ượ ứ ế ng h p t ợ ậ ệ ề

)

( zEJ

( zy

)zq (

-=œ

ø Ø

d dz

Œ (b) ß º

ng, còn t i tr ng h ng lên là ả ọ ướ

V i qui d ướ ng. Tr ụ y h ng h p t ớ ươ c tr c ườ ướ ợ ả ọ ng xu ng là d ươ ố i tr ng đ ng thì: ộ

y z t ( , )

p z t ( , )

(cid:0) (cid:0)

� ( ) EJ z � (cid:0)�

� = - � �

powerpoint.vn

(3-1) (cid:0)

135

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

đây, p(z,t) là t ng t ng ổ ề

ả ọ ộ ầ ệ

ướ ng). Khi dao đ ng, gi ể t h đang chuy n ể ng xu ng cùng chi u v i tr c y, ngoài l c kích thích q(z,t), i tr ng ngang tác d ng trên d m (chi u h ụ i th i đi m ờ ự s t ả ử ạ ớ ụ ươ ướ ề ộ ố

Ở lên là d đ ng h thanh còn ch u tác d ng c a h l c quán tính phân b : ố ủ ệ ự ụ ị

= -

(cid:0)

Z z t ( , )

m z ( )

y z t ( , )

Z(z,t)

powerpoint.vn

136

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

(d) Và l c c n phân b : R(z,t) ự ả ố

(ng c chi u chuy n đ ng) ượ ề ể ộ

Do đó ta có:

P z t ( , )

q z t ( , )

+ ( , ) Z z t

R z t ( , )

- (3-2)

hay là

P z t ( , )

+ q z t m z ( )

( , )

y z t ( , )

R z t ( , )

(cid:0)

powerpoint.vn

(cid:0)

137

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ế ồ

Thay (3-2) vào (3-1) r i chuy n v , ta đ ộ ượ ngang t ng quát c a thanh th ng có ti t di n thay đ i là: ế ủ c PTVP dao đ ng ệ ể ẳ ổ ổ

= -

y z t ( , )

m z ( )

y z t ( , )

R z t ( , )

q z t ( , )

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

� EJ z ( ) � �

� + � �

(3-3) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ng trình ườ ế ằ ố ươ

ng h p riêng, khi ti Tr ệ (3-3) có d ng đ n gi n h n: t di n thanh là h ng s , thì ph ơ ợ ạ ả ơ

ø Ø ¶ ¶ ¶

tzy ),(

tzR ),(

tzq ),(

+œ

(3-3)’ Œ ¶ ¶ ¶ ß º

ng h p dao đ ng t ườ ả ủ ự ế ằ

powerpoint.vn

Tr ộ ợ không. Sau đây ta gi do thì v ph i c a (3-3) hay (3-3)’ b ng ng h p riêng. i PTVP (3-3) trong m t s tr ộ ố ườ ả ợ

138

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Ự Ộ Ự Ủ

Ẳ Ả Ấ Ự Ằ Ế Ệ

Ộ Ủ Ạ

ng trình vi phân dao đ ng t do không có l c c n 3.2.1 Ph 3.2 DAO Đ NG T DO KHÔNG CÓ L C C N C A THANH TH NG TI T DI N H NG S - TÍNH CH T TR C GIAO Ố C A CÁC D NG DAO Đ NG RIÊNG ự ự ả ươ ộ

Ph ng trình vi phân dao đ ng trong tr ng h p này, theo (3-3)’ là ươ ộ ườ ợ

y z t ( , )

y z t ( , ) 0

(cid:0) (cid:0)

m EJ t

(3-4) (cid:0) (cid:0)

ủ ệ ấ ầ

Đây là PTVP đ o hàm riêng c p b n thu n nh t, nghi m c a nó có ố th đ ạ c bi u di n d ể ượ ư ế ể ễ

y z t ( , )

y z ( )

s t ( )

ấ i d ng tách bi n nh sau ướ ạ = (cid:0) (3-5)

)

( tS

( zy

Thay (3-5) vào (3-4) ta có:

)

( 4 zyd1 ( 4 zy dz

EJ m

1 ( tS

( 2 tSd 2 dt

( 4 zyd 4 dz

EJ m

( 2 tSd 2 dt

powerpoint.vn

c: (f) chuy n v đ ể ế ượ

139

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ộ ế ủ

ị ằ ố s ả ử

ừ

ộ ằ (f) ta có th bi u di n PTVP đ o hàm ễ ng (ch ph thu c m t ụ ể ể ườ ạ ộ ằ ấ ộ ỉ

= ( ) 0

S t

2 d S t ( ) 2 dt

)

Hai v c a (f) ph thu c hai bi n khác nhau nên chúng ch b ng ỉ ằ ế ụ nhau khi c hai v cùng có giá tr b ng m t h ng s nào đó, gi ả ế ký hi u là ω2. Nh v y, t ư ậ ệ riêng c p b n (3-4) b ng hai PTVP th ố bi n).ế (3-6)

( 2 zyω

( 4 zyd 4 dz

m EJ

- và (3-7)

ộ ứ ạ ạ

powerpoint.vn

Nh đó, thay cho gi ờ i hai PTVP th gi ườ ả ả ng (3-6) và (3-7) đ n gi n h n nhi u. ơ i m t PTVP đ o hàm riêng (3-4) ph c t p, ta ả ề ơ

140

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3.2.2 Gi i PTVP (3-6)-Xác đ nh quy lu t dao đ ng t do ả ộ ậ ị ự

Ph ng trình vi phân (3-6) chính là PTVP dao đ ng t do, không l c ươ ộ ự ự

do (1-14) đã đ c trình bày trong ch ng 1, c n, c a h m t b c t ả ệ ộ ậ ự ủ ượ ươ

w ( ) Asin( s t

l t+ )

s t ( )

w sin(

l t+ )

nên nghi m t ng quát c a nó theo (1-18) s là: ủ ệ ẽ ổ

Hay (3-8)

đây ta đã cho A = 1; S dĩ làm đ c nh v y, b i vì t (3-5) ta th y Ở ở ượ ư ậ ở ừ ấ

biên đ dao đ ng chính là hàm y(z). B i v y sau này ta g p A n m ở ậ ằ ộ ộ ộ

trong y(z) luôn [xem(3-5)’]. Theo (3-8), dao đ ng t do c a h có vô ộ ự ủ ệ

powerpoint.vn

h n BTD cũng là dao đ ng đi u hòa. ề ạ ộ

141

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3.2.4 Xác đ nh t n s dao đ ng riêng c a các d m m t nh p ủ ộ ố ộ ầ ầ ị ị

ủ ẽ ộ

ệ ạ ộ ế ủ ệ

t di n không đ i, nên ệ ệ ố ệ ố ổ ổ ườ ố

y z ( )

Nghi m c a (3-7) là hàm y(z) s cho ta biên đ dao đ ng, cũng chính là d ng dao đ ng riêng c a h . Do thanh có ti ộ ng c p b n có h s là g ng s ; Nghi m t ng quát (3-7) là PTVP th ằ ấ có d ngạ

a e 1

b a e 2

a e 3

b a e 4

(g)

1, β2, β3, β4 là

ằ

Trong đó a1, a2, a3, a4 là các h ng tích phân, còn β nghi m c a ph ng trình đ c tr ng c a PTVP (3-7) nh sau ủ ươ ư ủ ư ệ ặ

2ω ệ k4 = (3-9)

m EJ

β4 – k4 = 0, v i ký hi u ớ

powerpoint.vn

Nên ta có: β1,2 = ± k; và β3,4 = ± ik (h)

142

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Thay (h) vào (g) ta có nghi m c a PTVP (3-7) là: ủ ệ

ikz

y z ( )

a e 1

a e 2

a e 3

a e 4

- - (i)

S d ng quan h ử ụ ệ

Shx

Chx

e-� x e �

� �

e-� + x e �

� �

1 2

- và (k)

Achkz Bshkz Cc

oskz+Dsinkz

Thì (i) tr thành: ở y z ( ) (3-10)

c xác đ nh t các ằ ượ ị ừ

powerpoint.vn

Trong đó, A, B, C, D, là các h ng tích phân, đ đi u ki n biên nh sau ư ề ệ

143

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

)

a, T i g i t a kh p có ạ ố ự ớ ộ

)

( zyd dz

)

mô men M(z) = 0 => = 0 : Đ võng y(z) = 0; và ( 2 zyd 2 dz

)

b, T i ngàm c ng có: y(z) = 0 và góc xoay θ(z) = = 0 (3-11) ứ ạ

( 2 zyd 2 dz ( 3 zyd 3 dz

c, T i đ u t do có: Mô men M(z) = 0 => = 0; và ạ ầ ự

L c c t Q(z) = 0 => = 0 ự ắ

- -

+ CC 2 2

CC 1 2

CC 2 2

+ CC 1 2

powerpoint.vn

Đ thu n ti n cho tính toán sau này , ta đ t: ệ ể ặ ậ

A = ; B = ; D = (3-12) ; C = 144

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

y z ( )

Khi đó nhi m (3-10) có d ng: ệ ạ

C A 1 kz

C B 2 kz

C C 3

C D 4 kz

(3-13)

ệ

sin

Trong đó ta đã ký hi u các hàm nh ư sau:

cos 2

; Akz = ; Bkz =

(3-14)

sin

cos 2

- - ; Ckz = ; Dkz =

còn đ các hàm nh h ng t. ượ c g i là ọ ả ưở có m t s tính ch t đ c bi ấ ặ ộ ố ệ

H n n a, giá tr c a b n hàm này ng v i các giá tr khác nhau c a ứ ị ủ ữ ủ ố ơ ớ ị

c (kz) bi n thiên t ế ừ [0,0] đ n [6,5] ( là kho ng bi n đ i th c t ) đã đ ả ự ế ế ế ổ ượ

powerpoint.vn

tính s n và l p thành b ng tra s n. ậ ả ẵ ẵ

145

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

1, Tính hoán v vòng quanh c a các đ o hàm. ủ ạ ị Akz

A’kz = k Dkz

(m) Bkz Dkz

Ckz

ấ ể ẽ ấ

ự ạ

ạ ế z. D a vào tính ch t này, các đ o hàm ấ ả

)

z ( )

( k C D C A kz kz

C B 3 kz

C C 4

= -

)

( k C C

y z ''( )

+ kz

+ + C D C A kz kz

C B 4 kz

�

(cid:0) B’kz = k Akz Có th minh h a tính ch t này trên hình v bên c nh. D u (’) là ký ọ C’kz = k Bkz hi u phép đ o hàm theo bi n ạ ệ c a y(z) có d ng r t đ n gi n. ấ ơ ạ ủ D’kz = k Ckz = = q y z '( ) (cid:0) (cid:0)

(3-15) (cid:0)

= -

)

z '''( )

(cid:0)

( + k C B kz

C C 2

+ kz

+ C D C A kz kz

( ) M z = EJ ( ) Q z = EJ

powerpoint.vn

(cid:0)

146

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

2, T i t a đ z = 0, giá tr các hàm đã bi t: ạ ọ ộ ị ế

A(0) = 1, còn B(0) = C(0) = D(0) = 0; (n)

+ l

(

)

y z t ( , )

sin(

)

Nh v y, nghi m t ng quát c a PTVP đ o hàm riêng (3-4) nh sau: ư ậ ủ ư ệ ạ ổ

C A 1 kz

C B 2 kz

C C 3

C D 4 kz

(3-5)’

ị ằ ể

ế ệ ề ng h p t ng ợ ổ ế ự

Đ xác đ nh các h ng tích phân trong (3-13), ta s d ng các đi u ki n biên (3-11) n u đã bi quát, ta có các đi u ki n t c gi ế ệ ạ ọ i t a đ z = 0 đ ộ ượ ề ả

- y(0) = y0; y’(0) = y’0; y’’(0) = ; y’’’(0) =

M 0 J E

0, y’0, M0, Q0), đ

(3-16) ử ụ t các liên k t t a; Còn trong tr ườ t nh sau thi ư ế Q 0 J E

i h b n ph c g i là ọ ớ ượ ế ợ các thông s ban đ u ố ả ệ ố ầ . Thay (3- ng trình ươ ồ

Các giá tr (yị 16) vào (3-13) và (3-15), k t h p v i (n), r i gi này ta đ c:ượ

M 2 k

0 EJ

Q 3 k

0 EJ

y' 0 k

powerpoint.vn

- - (3-17)’ C1 = y0 ; C2 = ; C3 = ; C4 =

147

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Thay các h ng tích phân tính theo (3-17)’ vào (3-13) và (3-15) , ta ằ

đ c các bi u th c bi u di n d ng dao đ ng (biên đ dao đ ng) c a ượ ứ ủ ể ể ễ ạ ộ ộ ộ

chuy n v , góc xoay, mô men, và l c c t t i ti t di n có t a đ ắ ạ ế ự ể ị ộ z b t ấ ệ ọ

kỳ trên k t c u. ế ấ

y z ( )

a ( )

y A 0 kz

B kz

D kz

' y 0 k

- - (cid:0)

(cid:0)

y z '( )

b ( )

y kD 0 kz

' y A 0 kz

B kz

M 0 2 k EJ M 0 kEJ

Q 0 3 k EJ Q 0 2 k EJ

(cid:0) - - (cid:0)

�

(3-17)

= -

(cid:0)

M z ( )

c ( )

EJy k C 0

+ + EJy kD M A kz kz

' 0

B kz

Q 0 k

- (cid:0)

(cid:0)

= -

Q z ( )

d ( )

EJy k B 0 kz

EJy k C M kD Q A kz

+ kz

' 0

powerpoint.vn

(cid:0) -

148

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ượ ạ ượ t đ ế ể

ộ ủ ự ng c n thi ầ i dao đ ng, y(z) ộ

ố ả

ươ

ề ể ồ ệ ờ ằ ể c các đ i l Rõ ràng, (3-17) cho phép ta xác đ nh đ ị tính dao đ ng t do c a thanh . M t khác, đ t n t ể ồ ạ ặ ph i khác không, cũng có nghĩa là, b n thông s ban đ u trong (3-16) ố ng không th đ ng th i b ng không. Hay nói cách khác, h b n ph trình đi u ki n biên đ xác đ nh b n h ng s C ứ ị ằ ố ị

ươ ề

ệ ố ệ ể

ng trình ng trình đ xác ủ

ươ ng trình t n s s có vô s nghi m (k ầ ệ ố ố 1,C2,C3 C4, có đ nh th c các h s ph i b ng không. Đi u ki n này d n t ệ ẫ ớ t dùng đ xác đ nh thông s siêu vi ứ ị ph đ nh ầ hàm siêu vi ươ ả ằ ể ị ω -, mà ta g i là ọ t, nên ph ệ ng trình t n s ầ ố ẽ ố

i m t ph ộ ố k – cũng t c là ph ươ ố. Do tính ch t chu kỳ c a các ấ 1, k2, v.v… ệ c vô s ố ượ ẽ ị

k∞ ); Thay các ki vào (3-9) ( i = 1, 2, …, ∞ ), ta s xác đ nh đ các t n s dao đ ng riêng ầ ố ộ

. ư ậ , h có vô s ệ

ẽ ng trình (3-17) ta l …). Nh v y L i thay các ωi, ( tuân theo ký hi u: ệ ω1 < ω2 < … < ωi < ố b c t ố ầ ậ ự ạ ươ do s có vô s t n s dao đ ng riêng c vô s ố ố i xác đ nh đ ị ộ ượ ạ ωi, (ki), vào ph

ng ng. T t nhiên, dao đ ng t do c a h là ấ ộ ự ủ ệ ươ ứ

powerpoint.vn

d ng dao đ ng riêng t ộ ạ t ng c a các dao đ ng riêng này. ổ ủ ộ 149

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Nghĩa là (3-13) có d ng chi ti ạ ế t nh sau: ư

(cid:0) (cid:0)

y z ( )

C B 2 i

C C 3 i

C D 4 i

k z i

� � � y z ( ) C A � i 1 i

� �

= 1

(3-13)’

y z t ( , )

= (cid:0)

y z s t ( ) ( ) i

(cid:0)

= 1

Lúc này,

+ l

(cid:0)

y z t ( , )

sin(

)

C B 2 i

C C 3 i

C D 4 i

k z i

� C A � 1 i

� �

= 1

(3-5)’’ (cid:0) hay

c tính theo các bi u th c (3-17)’, trong đó ượ ứ ể

Các [C1i, C2i, C3i, C4i ] đ k b ng các ph i thay ng t , có các bi u th c y’(z,t); M(z,t); Q(z,t) ằ ả ươ ự ứ ể ki. T

ố ầ ầ ơ ố

ỉ ứ , ch có t n s riêng bé nh t, hay h n n a là t n s riêng ầ ữ ơ ố

ể ả

ư ặ

powerpoint.vn

Chú ý : Th c t ấ ự ế th hai, th ba là có ý nghĩa . Các t n s cao h n không có ý nghĩa ứ , vì có th nó không hình thành do b n thân chúng gây nhi u th c t ễ ự ế lo n cho nhau; ho c chúng có hình thành nh ng gây ra biên đ r t ộ ấ ạ nh .ỏ 150

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

i PTVP (3-7) – Xác đ nh t n s dao đ ng riêng và ầ ộ ố ị

d ng dao đ ng riêng 3.2.3 Gi ả ạ ộ

Tr ướ c h t, ta xét dao đ ng c a d m đ n ộ ủ ế ầ ơ

gi n có m t đ u ngàm c ng và m t đ u ộ ầ ộ ầ ứ ả

t do, ti ự ế t di n h ng s , nh trên hình ố ư ệ ằ

3.2a (d m conson) ầ

1, Xác đ nh các thông s ban đ u: ầ ố ị

T i đ u ngàm (z = 0) ta có: ạ ầ

ω1

y0 = 0; y’0 = 0;

powerpoint.vn

t (a) ư ế còn M0 ≠ 0; Q0 ≠ 0; ch a bi

151

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

2, Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng. ố ầ ộ ị

ω2

T i đ u t do (z = l) ta có: ạ ầ ự

Ml = 0; Ql = 0 (b)

(cid:0)

(m là ký hi u c ệ ườ ng đ ộ (cid:0)

(cid:0)

Q ồ � �+ 0 B � � k k � � + Q A 0 k

kh i l ố ượ ng phân b ) ố (cid:0) (cid:0) Thay (b) vào (3-17c,d), đ ng th i ờ = M A 1 0 k 1 s d ng các thông s ban đ u (a) ta có ầ ố ử ụ = kM D 0 k ng trình sau: h ph ệ ươ

{ }0

1 k A

powerpoint.vn

ø Ø (cid:252) (cid:236) œ Œ (cid:253) (cid:237) (c) hay d ng ma tr n ậ ạ œ Œ (cid:254) (cid:238) ß º

152

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

0, và Q0 ph i khác không. Do đó t

Do ph i t n t i dao đ ng, nên M ả ồ ạ ộ ả ừ

B kl k A kl

D =

c: Thay các bi u th c (3-14) vào ta đ ứ ể

(

( D chk 1

) c osk1

2 sh k

1 sin

) = 1 k

ượ + - -

D chk c

1. osk1+1=0

hay (d)

(d) là ph ng trình t n s c a bài toán đang xét, là ph ng trình siêu ươ ố ủ ầ ươ

vi t nên s có vô s nghi m. Nh đã nói ch ệ ư ệ ẽ ố ở ươ ng hai, đ i v i h ố ớ ệ

powerpoint.vn

nhi u BTD, quan tr ng nh t là hai, hay ba t n s đ u tiên. ố ầ ề ấ ầ ọ

153

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

đây ta gi i g n đúng ph ng trình (d) xác đ nh đ c ba nghi m Ở ả ầ ươ ị ượ ệ

515,3 2l

EJ m

đ u tiên nh sau ư ầ

22 2l

EJ m

k1 ≈ 0,6π ≈ 1,88; suy ra ω1 =

7,61 2l

EJ m

k2 ≈ 1,49π ≈ 4,68; suy ra ω2 =

powerpoint.vn

t ng t ta có ươ ự ω3 =

154

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3, Xác đ nh các bi u th c biên đ dao đ ng, biên đ n i l c đ ng ộ ộ ộ ự ứ ể ộ ộ ị

ươ ệ ề

t các ị ệ 0, và Q0. L i thay M ạ

ầ ị ωi vào h ph c M ượ ứ ể

ng trình (c), k t h p v i đi u ki n ớ ế ợ 0, Q0 vào (3-17) s xác c các bi u th c biên đ dao đ ng, biên đ góc xoay đ ng, ộ ắ ộ ộ ạ ộ ộ

powerpoint.vn

Thay l n l ầ ượ đ u , s xác đ nh đ ẽ ẽ đ nh đ ộ ộ ượ biên đ mô men đ ng ,biên đ l c c t đ ng. Ba d ng dao đ ng ộ ự ộ đ u tiên cho trên hình 3.2b, c, d. ầ

155

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Đ i v i các d m m t nh p khác, cách làm hoàn toàn t ng t , và ta ố ớ ầ ộ ị ươ ự

th y các t n s dao đ ng riêng có th đ c bi u di n b ng m t ể ượ ầ ấ ố ộ ể ễ ằ ộ

công th c chung có tính ch t t ng quát nh sau: ấ ổ ư ứ

B i 2l

EJ m

(3-18) ωi =

ộ ệ ố ụ ụ

ứ ộ

Trong đó Bi là m t h s . Trong ph n ph l c có b ng (3-1) cho ng ng v i i (i= 1, 2, 3, 4) và các d ng dao đ ng t các giá tr Bị ớ b n t n s c b n đ u tiên c a m t s d m m t nh p hay g p. ầ ạ ộ ố ầ ả ươ ị ố ơ ả ố ầ ủ ầ ặ ộ

powerpoint.vn

B ng 3.1 ( xem ph n ph l c ). ả ở ụ ụ ầ

156

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3.2.5 Tính ch t tr c giao c a các d ng dao đ ng riêng ủ ấ ự ộ ạ

ư ệ ủ ệ ạ ộ

Cũng nh h có h u h n BTD, các d ng dao đ ng riêng c a h vô ạ ữ h n BTD cũng có tính ch t tr c giao. ấ ự ạ

do (3-4), xét tr ng h p t ng quát ừ ự ườ ợ ổ

Th t v y, t ậ ậ khi ti ệ ế PTVP dao đ ng t t di n thay đ i, có d ng: ổ ộ ạ

EJ z ( )

y z t ( , )

m z ( )

y z t ( , )

� � �

� = � �

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (3-19) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ng trình dao đ ng t ng ứ i và th ứ k. Ph ươ ộ ươ

+ l

w ( ) sin(

)

ng, theo (3-5)’’ là, Xét hai dao đ ng riêng th ộ ứ

y z t ( , ) i

y z i

+ l

w ( ) sin(

)

(a)

y z t ( , ) k

y z k

powerpoint.vn

(b)

157

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

c, Thay (a) vào (3-19) , r i chia hai v cho sin( ồ ế ượ ωit+λi) ta đ

)

( zEJ

( zm

)zy (

=œ

ø Ø

( zy i

2 i

d dz

Œ (c) ß º

ớ ạ ứ k,[ yk(z)], r i tích phân ồ

ế ủ ộ

)

(

)

(

( zEJ

)dzzyωzmzy )

( zy k

2 i

d dz

ø Ø ộ c ượ ) (c)’ œ Œ (cid:242) (cid:242) Nhân hai v c a (c) v i d ng dao đ ng th trên toàn b chi u dài thanh, ta đ ề d ( zy i dz ß º

ng pháp tích phân phân đo n ta ằ ươ ạ

(

)

(

)

Tính tích phân bên trái b ng ph đ c, ượ

( zEJ

)dzzy (

( dzzyzyzmω k

2 i

( zy k

d dz

powerpoint.vn

(d) (cid:242) (cid:242)

158

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ứ k, nghĩa là thay (b)

ộ c quan h cũng có d ng , ta đ ự ớ ạ ng t ự v i d ng dao đ ng th ệ ượ ạ ổ ươ

(

)

(

)

( zEJ

)dzzy (

ng t Làm hoàn toàn t ươ vào (3-19) r i bi n đ i t ế ồ nh (d): ư

( dzzyzyzmω k

2 k

( zy k

d dz

(cid:242) (cid:242) (f)

Tr hai ph ng trình (d) và (f) cho nhau, và chú ý ừ ươ ωi ≠ ωk, ta rút ra:

m z y z y z dz = ( )

( )

(3-20) (cid:0)

ả ệ là đi u ki n tr c giao ệ ự ề

ứ i và th ứ k. Thay (3-20) vào (d)

)

( zEJ

) ( dzzy

Đây là đi u ph i ch ng minh: quan h (3-20) ứ ề c a hai d ng dao đ ng riêng th ộ ạ ủ ho c (f) ta còn rút ra, ặ

( zy i

d dz

(cid:242) (3-21)

)

( zEJ

(3-21)’ ø Ø

( zy i

( zy k

d dz

powerpoint.vn

œ Œ (cid:242) ß º

159

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Còn tr ng h p đ c bi t khi, i = k, ta có: ườ ặ ợ ệ

)

[

]

( ) ( zyzmω

( zEJ

) dz

ø Ø

= (cid:242)

2 k

( zy k

d dz

œ Œ (3-21)’’ (cid:242) ß º

D a vào tính ch t tr c giao này, ta có th phân tích t i tr ng q(z,t), ấ ự ự ể ả ọ

chuy n v y(z,t) theo các d ng dao đ ng riêng. Nh đó, có th ể ể ạ ờ ộ ị

chuy n bài toán dao đ ng c ng b c c a h vô h n BTD v gi i các ể ộ ưỡ ề ả ứ ủ ệ ạ

bài toán dao đ ng c ng b c h m t BTD nh s nghiên c u các ộ ưỡ ệ ộ ư ẽ ứ ở ứ

powerpoint.vn

ph n sau ầ

160

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3.2.5 Phân tích t ả ọ i tr ng theo các d ng dao đ ng riêng ạ ộ

i tr ng q(z,t) thành các thành ph n ư ầ

ng ng v i các d ng dao đ ng riêng nh sau: Cũng nh (2-15), ta phân tích t t ươ ứ ạ ớ ư ả ọ ộ

(cid:0)

q z t ( , )

= (cid:0)

q z t ( , ) i

= 1

(3-22)

i tr ng t ầ ả ọ ươ

ứ i yi(z). Do đó ta có th bi u di n ộ ng ng v i d ng dao ớ ạ ể ể ễ

( , )

( ).

q z t m z y z H t ( ) ( ). i

Trong đó, qi(z,t) là thành ph n t đ ng th i, nên nó liên quan t ớ qi(z,t) d i d ng sau, ứ ướ ạ

powerpoint.vn

(3-23)

161

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

i(t) là hàm ch a bi

ư ả

ồ

Ở ở ụ theo ta tích phân hai v trên toàn b chi u dài thanh đ t c n ph i tìm. Cách làm hoàn toàn nh ư ế ớ i(z). Ti p ế c: đây H ế ầ m c 2.3.3; Thay (3-23) vào (3-22), r i nhân hai v v i y ượ ề ế ộ

( , )

( )

(cid:0)

� q z t y z dz i

� y z ( ) i

� � � = i 1

� m z y z H t dz ( ) � �

(cid:0)

ể ế

( )

+ + ...

( )

(cid:0) (3-22)’ (cid:0) khai tri n v bên ph i ta có � m z y z y z dz ( ) ả � m z y z y z dz ( )

+ + ...

� m z y z y z dz ( ) m z y z y z dz ( )

( )

+ (cid:0) ...

H t ( ) i

￹ (cid:0) ￻

t c các s h ng trong (3-22)’ đ u ấ ự ề

( , )

( )

Do tính ch t tr c giao (3-20), t b ng không, tr s h ng th ố ạ (3-22)’ ta đ ừ ố ạ ấ ả ứ i; nên t ằ ừ c ượ

q z t y z dz i

H t ( ) i

[

]

m z ( )

(cid:0)

y z ( ) i

powerpoint.vn

(cid:0)

162

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ừ i = 1, 2, ... ∞ ta đ ế c ượ

( , )

( )

Thay (3-24) vào (3-23), và cho i bi n thiên t i tr ng t các thành ph n t ng ng v i các d ng dao đ ng riêng. ạ ầ ả ọ ươ ứ ộ ớ

q z t y z dz i

( , )

( )

( ).

= q z t m z y z i

(cid:0)

[

]

m z ( )

(3-23)’

y z ( ) i

powerpoint.vn

(cid:0)

163

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3.2.7 D ng chu n c a các dao đ ng riêng ủ ộ ạ ẩ

Nhìn vào (3-23)’ ta th y hàm t i tr ng q ấ ả ọ ổ ế

i(z,t) không thay đ i n u ta ọ

ộ ố ấ ư ậ ế

nhân vào hàm yi(z) m t s b t kỳ. Nh v y, n u ta ch n m t s ộ ố thích h p nhân v i y c hàm m i ký hi u là , đ sao cho m u ệ ể ẫ ớ ợ ượ

* ớ i(z) đ s c a (3-23)’ b ng m t, nghĩa là ằ ố ủ ] ) 2 ộ ( (3-20)’

[ ( ) zyzm

(cid:242)

ộ ạ ể c g i là ọ

. T ượ ng ng v i d ng chu n, hàm c bi u di n b ng hàm này đ ằ ượ ớ ạ ươ ộ ứ ẩ

( )

* i

* y z q z t dz ( ) ( , ) i

thì d ng dao đ ng đ ễ d ngchu n c a dao đ ng riêng ủ ẩ ạ i tr ng có d ng đ n gi n: t ạ ả ọ = (3-23)’’ ả ( , ) (cid:0) ơ q z t m z y z ( ) i

= (cid:0)

H t ( ) i

* y z q z t dz ( ) ( , ) i

powerpoint.vn

0 164

Và hàm (3-24)

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Chú ý:

a, Tr ng h p trên thanh có các l c t p trung P ợ ườ ự ậ

j(t) tác d ng. Lúc ụ này ta có th làm g n đúng b ng cách thay l c t p trung b ng h ệ ằ ể l c phân b t ự ờ ậ ố ươ c hàm H đ ượ

ng. Nh v y,(b qua bi n đ i chi ti ằ t) ta ế ự ậ ế ổ ỏ

)

(

( ) zytP

ầ ng đ ươ i(t) nh sau: ư

= 1j

(cid:229)

(

)

]

[ ( ) zyzm

(3-25) Hi(t) =

(cid:242)

Còn ng v i d ng chu n ớ ạ ẩ , ứ

* (3-25)’

)

(

( ) ytP

= 1j

(cid:229) Hi(t) =

j(t);

powerpoint.vn

đây, n là s l c t p trung, còn Ở ố ự ậ ặ ự ậ ộ ủ ể ọ zj là t a đ c a đi m đ t l c t p trung P

165

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

j(t) tác

ệ ố

i(t) đ

c xác đ nh theo nguyên lý c ng tác d ng. b, Khi trên h có c l c phân b q(z,t), và các l c t p trung P d ng, thì hàm H ụ ị ự ậ ộ ả ự ượ ụ

ạ ể ễ ế

do, n u ta phân tích biên đ ộ ự ư

i d ng tách bi n và L i bi u di n nghi m c a PTVP (3-27) d ướ ạ ủ ệ cũng nh khi nghiên c u dao đ ng t ế ứ dao đ ng theo các d ng dao đ ng riêng, thì ạ ộ (cid:0)

y z t ( , )

y z S t ( ) ( ) i

= 1

(3-28) ộ ộ = (cid:0)

i(t) mà ta c n tìm, còn đ ầ

Ở đây, hàm ch ph thu c th i gian S ụ ộ ờ ỉ ượ c g i ọ

i(t), ta thay (3-28) vào (3-27); sau

là t a đ khái quát. Đ xác đ nh S ọ ộ ể ị

đó nhân hai v v i y ồ ề ộ

)

(

)

(

)

( ) zmzy

( ) tSzy

¥ ¥ ø Ø ø Ø

( zy k

( zy i

d dz

d dt

d dz

= 1i

(

)

)dztfzqzy ) (

(cid:229) (cid:229) œ Œ œ Œ (cid:242) (cid:242) ế ớ k(z) , r i tích phân trên toàn b chi u dài thanh l ( ) ( tS zEJ i ß º ß º

(cid:242)=

powerpoint.vn

(3-27)

166

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ớ i tính ch t tr c giao (3-20) và (3-21), cùng v i các quan h ệ

bi n t ớ ng trình (a) tr thành (đ c gi ở ộ ươ ả ự ế

)

Chú ý t ấ ự (3-21)’ , và (3-21)’’, ph đ i):ổ ø Ø

( ( dzzyzq i

)tS (

œ Œ (cid:242) œ Œ

)tf ( 2 Si(t) = hay = Ki f(t) (3-29)

d dt

œ Œ + ωi

(

)

]

[ ( ) zyzm

)

œ Œ (cid:242) œ Œ ß º

( ( dzzyzq i

(cid:242)

(

)

[ ) ( zyzm

] dz

(3-30) Trong đó ký hi u h s ệ ố ệ Ki =

(cid:242)

)

( ( dzzyzq i

l Ki = 0

powerpoint.vn

* (3-30)’ Khi d ng dao đ ng là chu n thì: ẩ ạ ộ (cid:242)

167

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ư ộ

ả

ng 1. Xét tr ự ườ ươ

c bi u di n qua Ph ươ ủ ạ h m t BTD, không có l c c n, ch u l c kích thích b t kỳ đã nghiên ệ ộ ch c u ệ ở ứ ở tr ng thái tĩnh (y ạ ng trình vi phân (3-29) có d ng nh PTVP dao đ ng (1-39)’c a ị ự ng h p, tr ướ ợ ệ ấ c khi ch u l c kích thích, h ượ ủ ễ ể ị ự 0 = v0 = 0), thì nghi m c a (3-29) đ

tích phân Duhamel t ng t (1-41) nh sau, ươ ự ư

w t ( ) sin

t ( t

)

S t ( ) i

K w

- (cid:0) (3-31)

powerpoint.vn

( i = 1, 2, …∞)

168

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

K t lu n: ế ậ

Đ gi i bài toán dao đ ng c c h t ph i gi i bài toán ể ả ộ ưỡ ng b c, tr ứ ướ ế ả ả

do đ xác đ nh các t n s riêng ωi và các d ng dao dao đ ng t ộ ự ể ầ ố ị ạ

đ ng riêng yi(z). Sau đó thay vào (3-30) đ xác đ nh các Ki, r i l i ồ ạ ể ộ ị

thay vào (3-31) đ xác đ nh các Si(t). Cu i cùng, thay các Si(t) tính ể ố ị

theo (3-31) vào (3-28), ta s nh n đ i gi i c a bài toán. ẽ ậ c l ượ ờ ả ủ

(cid:0)

y z t ( , )

w t ( ) sin

t ( t

)

y z ( ) i

K w

= 1

- (cid:0) (cid:0) (3-28)’

Có y(z,t) ta có th xác đ nh đ c các đ i l ể ị ượ ạ ượ ng nghiên c u khác nh : ứ ư

góc xoay, mô men u n, l c c t, b ng cách đ o hàm y(z,t) theo bi n ằ ự ế ạ ắ ố

powerpoint.vn

z. 169

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3.3 DAO Đ NG C Ộ ƯỠ Ự Ủ Ả

Ứ Ệ

ng h p l c kích thích phân b b t kỳ q(z,t) 3.3.1 Tr NG B C KHÔNG CÓ L C C N C A THANH TH NG TI T DI N KHÔNG Đ I Ổ Ế ố ấ Ẳ ợ ự ườ

i tr ng m t thông s , nghĩa là có th bi u di n t ườ ể ể i ễ ả ố ộ

Xét tr ng h p t tr ng theo (1-38) nh sau, ọ ợ ả ọ ư

q z t ( , )

q z f ( )

t ( )

(3-26)

Trong đó:

ỉ ụ ộ ế

ễ hàm t i tr ng c s q(z) ch ph thu c t a đ không gian ộ ọ i tr ng theo chi u dài thanh, đ c a t ượ ề ủ ả ọ z, bi u di n qui lu t bi n đ i ể ổ ơ ở. c g i là ọ ậ ả ọ

ỉ ượ ư ụ ộ ờ hàm ch t ấ

f(t) ch ph thu c th i gian iả . Lúc này, PTVP dao đ ng (3-3), khi b qua l c c n, s là: t t, nh trong (1-38), đ ự c g i là ọ ả ẽ ộ ỏ

= -

y z t ( , )

m z ( )

y z t ( , )

q z f ( )

t ( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

� EJ z ( ) � �

� + � �

powerpoint.vn

(3-27) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

170

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ng h p l c kích thích phân b đ u quy lu t đi u ợ ự ố ề ề ậ

3.3.2 Tr ườ hoà q(z,t) = q0sinrt

0 = v0 = 0; thì đây

N u th i đi m ban đ u ế ở ờ ầ h đ ng yên, nghĩa là, y ệ ứ ể

( ) dzzy

là tr ng h p riêng c a l i gi i (3-28)’, trong đó ta ch vi c thay ườ ủ ờ ợ ả ỉ ệ

(cid:242)

(

[ ) ( zyzm

hàm f(τ) b ng hàm sinr ằ τ; Còn Ki = . Tuy nhiên, đây là ] ) (cid:242)

ng g p trong th c t , nên s đ c trình bày chi ườ ự ế ặ ẽ ượ

tr ti ng h p th ợ ườ t h n đây. ế ơ ở

ng h p l c kích thích đi u hòa, thì dao đ ng cu h khi đã n ườ ợ ự ả ệ ề ộ

ủ ự ề ổ

y z t ( , )

powerpoint.vn

ớ = Tr ổ đ nh cũng thay đ i đi u hòa v i chu kỳ b ng chu kỳ c a l c kích ị thích. Nghĩa là, ằ y z ( ) s inrt (3-32)

171

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Hàm biên đ dao đ ng y(z) do t i tr ng đ ng gây ra, hoàn toàn xác ộ ộ ả ọ ộ

đ nh đ ph ng trình (3-13)’. Song đây ta s gi i tr c ti p ị c t ượ ừ ươ ở ẽ ả ự ế

t i t ra đ n gi n h n. ừ PTVP dao đ ng c a h l ộ ệ ạ ỏ ủ ả ơ ơ

Th t v y, thay (3-32) và đ o hàm b c hai c a nó vào PTVP (3-3), ậ ậ ủ ậ ạ

)

( 4 zyk

( zy

4 r i chia hai v cho EJsinrt, b qua l c c n, ta đ ồ 4

q ả 0 EJ

d dz

ế ỏ ượ ự ) - c PTVP sau, (3-33)

mr 2 EJ

(3-34) Trong đó ký hi uệ k4 =

q 0 4 EJ k

y z ( )

C A 1 kz

C B 2 kz

C C 3

C D 4 kz

Nghi m riêng c a (3-33) là ( ); Nên nghi m t ng quát c a (3-33) là: ủ ủ ệ ệ ổ

q 0 4 k EJ

powerpoint.vn

(b)

172

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ạ ủ ố ạ

ố ư ề ệ ằ ố

c: ượ ị

q 0 3 EJ k

M 0 ; C2 = ; C3 = ; C4 = (c) 2 k EJ

0y k

- -

Còn các đ o hàm c a y(z) v n hoàn toàn nh (3-15) [do s h ng ẫ cu i trong (b) là h ng s ]. L i s d ng các đi u ki n biên (3-16) , ạ ử ụ ta xác đ nh đ q 0 C1 = y0 – 4 EJ k

ượ ứ ể ộ ộ

ứ ị ự

d ( 1)

(

y A 0 kz

A kz

- - - - ậ B kz Thay (c) vào (b) và (3-15) ta đ c bi u th c biên đ dao đ ng, và bi u th c biên đ n i l c đ ng khi thanh ch u l c kích thích phân ể b đ u theo lu t đi u hòa ố ề ' y = 0 y z ( ) k

y z '( )

d ( 2)

B kz

ky D 0 kz

' y A 0 kz

D kz

Q 0 2 k EJ

= -

- - - (3-33) ộ ộ ự ề M 0 2 k EJ M 0 kEJ ộ q0sinrt là: q 0 Q D 0 kz 4 k EJ q 0 3 k EJ

M z ( )

= - ''( ) EJy z

k EJy C

d ( 3)

+ kEJy D M A 0 kz kz

+ ' 0

+ B kz

Q 0 k

= -

Q z ( )

EJy

= - '''( ) z

k EJy C

d ( 4)

k EJy B kz

' 0

z k

kM D 0 kz

Q A 0 kz

B kz

q 0 2 k q 0 k

powerpoint.vn

Trong đó h s c tính theo (3-34). ệ ố k đ ượ

173

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Đ th c a các hàm trong (3-35) cho ta các bi u đ biên đ chuy n v ị ồ ị ủ ể ể ộ ồ

kz,Bkz,Ckz,Dkz) ng ứ

và n i l c đ ng c a thanh . Giá tr c a các hàm (A ộ ự ị ủ ủ ộ

v i các tr khác nhau c a c cho trong các b ng tra s n ủ kz đã đ ớ ị ượ ẵ ở ả

ph n ph l c, s giúp ta v các bi u đ này ụ ụ ẽ ẽ ể ầ ồ

Tr ng h p t ườ ợ ả ọ i tr ng phân b trên nhi u đo n khác nhau, các ề ạ ố

ph ng trình (3-35) ch áp d ng cho đo n đ u tiên. Các ph ng ươ ụ ầ ạ ỉ ươ

trình c a các đo n ti p theo có th vi c d a vào ph ng t đ ể ế ượ ủ ế ạ ự ươ

pháp truy h i ki u “ thông s ban đ u” quen thu c trong s c b n ồ ể ứ ề ầ ộ ố

powerpoint.vn

v t li u. ậ ệ

174

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

c phân chia t ứ n và (n+1) đ ạ i t a đ z = a. ộ

Xét hai đo n thanh th Trên m i đo n có l c đ ng phân b đ u ộ ạ ượ ố ề ự ỗ ạ ọ qn sinrt, và q(n+1) sinrt tác

i gi a hai đo n có l c t p trung d ng. T i ranh gi ạ ụ ớ ự ậ ữ ạ

t p trung ậ ụ ớ Pasinrt, và mô men ng lên ướ c: l c h ự ướ Masinrt tác d ng (xem hình 3.3), v i qui

ươ ồ ồ

powerpoint.vn

là d ậ công th c truy h i có d ng nh (3-36) ng khi quay thu n chi u kim đ ng h . Khi đó ề ươ ạ ng, mô men d ứ ư ồ

175

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

' a

+ D

z ( )

f ( 1)

y z ( ) n

y A a

+ ) k z a

(

k z a

(

)

k z a

(

)

k z a

(

)

(

)

� A � k z a

� 1 �

y k

D D - - - - - - - - -

+ D

z ( )

f ( 2)

' n

' y z ( ) n

k y D a

k z a

(

+ D )

' y A a

k z a

(

)

k z a

(

)

k z a

(

)

k z a

(

)

M a 2 k EJ M a kEJ

P a 3 k EJ P a 2 k EJ

q a 4 k EJ q a 3 k EJ

D - - - - - - - -

= M z M z ( )

( )

k EJ y C

kEJ y D

f ( 3)

k z (

)

(

)

(

)

(

)

(

' a

k z a

+ k z a

M A a

P a k

D - D - D - - - - -

= Q z Q z ( )

( )

3 k EJ y B

f ( 4)

k z a

(

)

+ k EJ y C ( k z a

)

' a

+ kM D ( k z a a

+ P A ( k z a a

k z a

)

(

)

D - D - D - - - - -

ủ

ư ườ

q a 2 k q a k c nh y c a biên đ đ v ng, góc xoay, ộ ộ ỏ ậ ệ ); ộ z = a ( nh trong s c b n v t li u ề ứ c trình bày ẽ ượ

ng pháp này s đ ươ

ng. ụ cu i ch ươ ố

đây và ch ấ ằ ươ ượ ở ộ ở

ườ ạ ể

ẽ ơ ấ ơ ả ế

c k t qu nh các bi u th c (3-35) và (3-36) (v i h vô ng hai ta th y r ng, i tr ng theo các ả ọ ng h p l c ả ợ ự ườ i tr ng, mà có t ph i phân tích t ả ọ ớ ệ ứ ợ ự ộ ề ượ ể ế ả ậ

powerpoint.vn

Trong đó, Δya, Δy’a, Δqa, là b ướ ả i t a đ và c ng đ l c phân b t ố ạ ọ ộ ự Các ví d minh h a cách áp d ng ph ụ ọ ở c trình bày Qua n i dung đã đ ng h p l c kích thích b t kỳ, ta nên phân tích t tr ấ d ng dao đ ng riêng đ tính s đ n gi n h n; Còn tr kích thích đi u hòa, ta không nh t thi th nh n đ h n BTD), hay (2-22) k t h p v i (2-24) (v i h h u h n BTD). ớ ớ ệ ữ ể ạ ạ

ờ ế ợ 176

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

3.3.3 Tr ng h p l c t p trung P(t) ườ ợ ự ậ

a , đ

Gi s trên thanh có l c đ ng t p trung đ t t ả ử ặ ạ ọ i t a đ , z = ộ ự ậ ộ c ượ

bi u di n ể

t ( )

(a) d ng: ễ ở ạ = Pf P t ( )

nh trên hình 3.4a, thay th t ng ế ươ ư

đ ng l c t p trung b ng đo n t ươ ự ậ i ạ ả ằ

tr ng phân b đ u c ng đ q(z) trên ố ề ọ ườ ộ

đo n thanh dài Δz nh trên hình 3.4b. ư ạ

D = z

q z dz ( )

H p c a hai h l c b ng nhau, nên: ệ ự ủ ằ ợ

q z lim ( ) z 0

powerpoint.vn

(b) D (cid:0)

177

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

(

)

Thay (b) vào (3-30) ta đ c: ượ

a )

]

(3-37) Ki =

Py [ ( zym i

(cid:242)

ng h p riêng, khi P(t) là l c đi u hòa: ự ề ườ ợ

Tr P(t) = P sin rt (b)

s inrt

S t ( ) i

2 i

S t ( ) i

Lúc này PTVP dao đ ng (3-29) s là, ẽ ộ

d dt

powerpoint.vn

(3-38)

178

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Ph ng trình (3-38) có d ng nh PTVP (1-30)’ khi b qua l c c n, ươ ư ự ả ạ ỏ

P0 M

c tính theo (3-37) đóng vai trò c a ( ), nên ẫ ượ ủ trong đó Ki v n đ

nghi m t ng quát c a nó, khi dao đ ng đã n đ nh, có d ng hoàn toàn ộ ủ ệ ạ ổ ổ ị

nh (1-34); nghĩa là, ư

K i ( )đ K i

Si(t) = sin rt (3-39)

(đ) = ( ) (3-40)

r ω

Trong đó ký hi u,ệ Ki

c ph ạ ươ ổ

ị ự ộ ậ ủ ề ệ ạ

2 i ng trình dao đ ng t ng L i thay (3-39) vào (3-28), ta đ ượ quát c a h vô h n BTD ch u l c kích thích đi u hòa t p trung Psinrt là:

= 1i

K ( ) i zy ( )đ i K i

(cid:229) y(z,t) = sin rt (3-41)

r trùng ố ự

powerpoint.vn

Hi n t ẽ ẩ v i m t t n s dao đ ng riêng ng c ng h ộ ố ệ ượ ớ ộ ầ ng s x y ra khi t n s l c kích thích ầ ưở ωi b t kỳấ ộ

179

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Chú ý :

a, Tr t di n thanh thay đ i thì, EJ và m, trong các công ườ ng h p ti ợ ế ệ ổ

th c trên ph i đ c thay b ng EJ(z) và m(z). ả ượ ứ ằ

b, Tr i bài toán: ườ ng h p l c đ ng bi n đ i đi u hòa, có hai cách gi ổ ợ ự ề ế ộ ả

Cách th nh t: ứ ấ S d ng công th c truy h i (3-36) k t h p v i (3-35) ế ợ ử ụ ứ ớ ồ

t ra r t có hi u qu nh có các b ng tra s n các hàm nh h ng. ỏ ệ ả ả ả ẵ ấ ờ ưở

Cách th hai: Phân tích t ứ ả ọ i tr ng theo các d ng dao đ ng riêng đ ể ạ ộ

tính. Lúc này s d ng công th c (3-28)’ n u t i tr ng là phân b , còn ử ụ ế ả ọ ứ ố

powerpoint.vn

t i tr ng t p trung ta dùng công th c (3-41). ả ọ ứ ậ

180

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

VÍ D 3-1: Ụ

7 kNcm2 =

Cho d m đ n gi n hai đ u kh p dài 2m, có EJ = 16 .10 ả ầ ầ ớ ơ

h ng s ; tr ng l ng b n thân q = 1kN/m. D m ch u l c đ ng ố ọ ằ ượ ị ự ầ ả ộ

P(kN)sinrt đ t gi a nh p nh trên hình 3.5a. ( đây ư ữ ặ ở ị m là đ m v đo ơ ị

chi u dài- mét) ề

Yêu c u: V bi u đ biên đ chuy n v đ ng ,và mô men đ ng. Khi ể ẽ ể ị ộ ầ ộ ồ ộ

2 ; π2 = 10 và r = 400 s-1.

powerpoint.vn

tính l y g n đúng: g = 10m/s ầ ấ

181

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Bài gi iả : B n t n s riêng đ u tiên cùng v i b n d ng dao đ ng ố ầ ớ ố ầ ạ ộ ố

t ng ng đã cho trong b ng 3.1 i t ng quát ươ ứ ả ở ph n ph l c. L i gi ụ ụ ầ ờ ả ổ

cho k t qu : ế ả

2 πi 2 l

EJ m

(a) ωi =

πi l

(b) yi(z) = fi sin

Do l c đ ng bi n đ i đi u hòa, nên có th gi ể ả ự ề ế ộ ổ i bài toán b ng hai cách ằ

nh đã chú ý trên. Song đây ch trình bày cách gi i áp d ng công ư ở ở ỉ ả ụ

powerpoint.vn

th c truy h i (3-35) và (3-36). ứ ồ

182

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

yđ (đx)

Cách gi i bài toán d a vào t i tr ng đã đ c phân tích ra các d ng ả ự ả ọ ượ ạ

chính, đ c gi có th t th c hi n ộ ả ể ự ự ệ

cm � � � � kN � �

1, Thi ế ậ t l p bi u th c c a y(z) và M(z). ủ ứ ể

(đx)

dM m

 Xét đo n th nh t AC ấ ạ

có (0 ≤ z ≤ = 1m)

ứ l 2 Các thông s ban đ u: ố ầ

y0 = 0; y’0 = =?; M0 = 0; Q0 = ? q0 = 0 (c)

cượ

y z ( ) 1

D kz

B kz

0 k

= -

M z ( ) 1

+ q kEJ D kz

B kz

Q 0 k

powerpoint.vn

Thay (c) vào (3-35) d1, d3 đ Q 0 3 k EJ (d)

183

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

yđ (đx)

l có (1m = ) ≤ z ≤ (l = 2m) 2

cm � � � � kN � �

 Xét đo n th hai CB ứ ạ

1, f-3 đ

(đx)

dM m

Áp d ng (3-36) f c: ụ ượ

l � �-� � k z 2 � �

= + D y z ( ) 2 y z ( ) 1 P 3 k EJ

(f) - = M z M z ( ) ( ) B

l � �-� � k z 2 � �

powerpoint.vn

P k

184

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Thay (d) vào (f) và s d ng các đi u ki n biên: ử ụ ệ ề

l = y2(z=l) = 0; và Ml = M2(z=l) = 0; (g)

T i B (z = l) có: y ạ

i h hai Ph ng trình đi u ki n biên này,và ký hi u r i gi ồ ả ệ ươ ệ ệ

ề l =

DB λ

λ 2

ta đ c,ượ - (3-42) BD λ

P 2 EJ

2 λ

λ 2 2 λ

θ0 = y’0 -

DDBB

λ 2

(h) -

2 λ

λ 2 2 λ

powerpoint.vn

Q0 = -

185

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ạ ị ộ ượ ứ ể

ể ợ ủ ộ

L i thay (h) vào (d) và (f) ta đ mô men đ ng c a đo n m t và hai. Tuy nhiên ạ do tính đ i x ng, ta ch c n vi ỉ ầ c bi u th c biên đ chuy n v đ ng và ộ tr ng h p đang xét, ở ườ t cho đo n m t là đ ạ ộ ố ứ ủ ế ộ

ADCB

λ 2

P 2 EJ

λ 2 2 CA λ 2

2 λ 2

y1(z) = -

(i)

AB kz

CD kz

λ 2

P 2k

λ 2 2 λ 2

2 λ 2

powerpoint.vn

M1(z) = -

186

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

2, V bi u đ biên đ chuy n v đ ng và mô men đ ng. Th c ch t là ị ộ ẽ ể ự ể ấ ộ ồ ộ

v đ th c a các hàm trong (i). ẽ ồ ị ủ

4 = = 10 -8( ), suy ra

1 4cm

mr 2 EJ

T các s li u đã cho ta tính đ c, k ố ệ ừ ượ

K = 10-2 cm -1, nên λ = kl = 2 và = 1.

2 λ/2 = A1 = 1,04169; Bλ/2 = 1,00833;

Tra b ng các hàm Kp ылoь đ c: A ả ượ

Cλ/2 = 0,50139; Dλ/2 = 0,16686;

c, Thay các giá tr này vào (i) ta đ ị ượ

cm � � � � kN � �

y1(z) = 0,00374823P[0,50139B 0,01z – 1,04169D 0,01z]

powerpoint.vn

M1(z) = 59,97174P[1,04169B 0,01z – 0,50139D 0,01z] (cm) (j)

187

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

Đ v đ th c a (j), ta tính giá tr c a hàm t i m t s m t c t – càng ể ẽ ồ ị ủ ị ủ ạ ộ ố ặ ắ

nhi u càng chính xác. ề

đây ta tính cho ba m t c t: ặ ắ

: y(z=0) = 0; và M(z=0) = 0; ạ ớ

c: ả ạ ượ Ở T i z = 0 (kh p A) có l T i z = = 50cm, nghĩa là kz = 0,01z = 0,5; tra b ng đ 4

A = 1,00261; B = 0,50026; C = 0,12502; D = 0,02484;

l 4

y1(z= ) = 0,00086 P cm/kN; M1(z= ) = 30, 625576 P cm; thay vào (i) có: l 4

l 2

T i z = = 100cm, nghĩa là kz = 0,01z = 1; Tra b ng đ c: ả ạ ượ

A = 1,04169; B = 1,00833; C = 0,50139; D = 0,16686;

l 2

Thay vào (i) có:

powerpoint.vn

y1(z= ) = 0,001243476 P cm/kN; M1 (z= ) = 57,974992 P cm;

188

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

D a vào các giá tr c a trên, ta v đ ị ủ y và M tính đ ự c ượ ở ẽ ượ c bi u đ ồ ể

biên đ chuy n v đ ng và mô men đ ng nh trên hình 3.5 b, và c. ị ộ ư ể ộ ộ

Đ ti n so sánh đ võng và n i l c mô men l n nh t phát sinh trong ể ệ ộ ự ấ ớ ộ

d m hai tr ng h p:ch t t i tĩnh và ch t t i đ ng, trên hình 3.5d, và ầ ở ườ ấ ả ợ ấ ả ộ

ng tr c võng, và bi u đ mô men do biên đ c a l c f, ta v thêm đ ẽ ườ ộ ủ ự ụ ể ồ

đ ng , P , đ t tĩnh gây ra . T đó đ c gi có th t rút ra các nh n xét ừ ặ ộ ộ ả ể ự ậ

powerpoint.vn

quan tr ng và c n thi t. ầ ọ ế

189

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

t ộ ứ ộ ầ ị

ộ

ng b c không c n c a d m m t nh p, ti 3.3.2 Dao đ ng c ế ủ ả ưỡ di n không đ i, ch u tác đ ng c a t i tr ng và d ch chuy n ị ổ ể ị ủ ả ọ g i t a bi n đ i đi u hoà. ề ổ ệ ố ự ế

Sau đây ta s tính dao đ ng c a các d m m t nh p ch u tác d ng c a ủ ụ ủ ẽ ầ ộ ộ ị ị

các nguyên nhân khác nhau bi n đ i theo qui lu t đi u hòa. T n s ố ế ề ậ ầ ổ

do c a d m m t nh p đã đ c nghiên c u m c 3.2.4; dao đ ng t ộ ự ủ ầ ộ ị ượ ứ ở ụ Ở

đây ch y u trình bày cách v bi u đ biên đ n i l c đ ng ph c v ụ ộ ộ ự ẽ ể ủ ế ụ ồ ộ

t k các d m; Đ ng th i chúng cũng là các bài toán ki m tra và thi ể ế ế ầ ồ ờ

ph n t m u đ tính dao đ ng c a các khung và d m nhi u nh p, ch u ầ ử ẫ ủ ể ề ầ ộ ị ị

t ng pháp chuy n v s đ c trình ả ọ i tr ng đ ng đi u hòa, b ng ph ề ằ ộ ươ ị ẽ ượ ể

powerpoint.vn

bày ch ng 5 ở ươ

190

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ầ ụ ủ ớ ầ ả ị

1- D m đ n gi n hai đ u kh p ch u tác d ng c a M(t) = M sinrt đ t ơ ặ ở đ u trái d m ầ ầ

Bài toán ch m t đo n, nên ch c n dùng ph ng trình (3-35) là đ . ỉ ộ ỉ ầ ạ ươ ủ

Các thông s ban đ u g m: ố ồ

(a)

y z ( )

B kz

D kz

0 k

M 2 k EJ

= -

M z ( )

+ + kEJ D MA kz kz

B kz

- - ầ y0 = 0; y’0 = θ0 = ?, M0 = M; Q0 = ? ; q0 = 0; Thay (a) vào (3-35) đ c:ượ q C (b)

(b)’

Q 0 3 k EJ Q 0 k ị

0 , và Q0 là:

Các đi u ki n biên đ xác đ nh y’ ệ ể ề

T i z = ạ l có: yl = 0; và Ml = 0; (c)

DACD DB

DACB DB

EJk

λ 2 λ

ả ệ ươ - - ng trình này ta đ λ λ Thay (c) vào (b) và (b)’ r i gi M λ c, ượ (3-43) θ0 = y’0 = i h hai Ph kM Q0 = - - ồ λ 2 λ

powerpoint.vn

L i thay (3-43) vào (b) và(b)’ ta đ c ph ng trình c a y(z) và M(z). ạ ượ ươ ủ

191

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

2- D m hai đ u ngàm , ngàm bên trái xoay góc φ(t) = φsin rt. ầ ầ

Các thông s ban đ u: T i z = 0 ạ ầ ố

y0 = 0; yo’ = θ0 = φ; M0 = ?; Q0 = ? (a)

Các đi u ki n biên cu i d m, ệ ề ở ố ầ

l = 0; và y’l = 0. (b)

T i z = l có: y ạ

Thay (b) vào (3-35) r i gi ồ i ả

λ C

EJ l

2 λ C

2 λ

λ DB λ

2 λ

DA λ DB λ

- - c: j - ươ DACB λ (3-44) h hai ph ệ M0 = ng trình này ta đ Q0 = - - ượ EJ 2 l

ạ c các hàm biên đ chuy n v , góc ộ ể ị

L i thay (3-44) vào (3-35) ta s đ ẽ ượ xoay, mô men, l c c t c a bài toán. ự ắ ủ

Dλ

ta có: ế ả ươ ự

EJ l

λ DB λ

2 λ

λ DB λ

2 λ

powerpoint.vn

ng t 2 Cλ - - - M0 = Q0 = N u ngàm bên ph i xoay, làm t EJ j 2 l

192

Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Chương 3:

CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

ầ ớ ể ả ị

3. D m ngàm bên trái, kh p bên ph i; Ngàm trái d ch chuy n th ng đ ng ứ ẳ

Các thông s ban đ u: ố ầ

T i z = 0 có, ạ

y0 = Δ; y’0 = θ0 = 0; M0 = ?; Q0 = ? (a)

Các đi u ki n biên ệ ề ở cu i d m ố ầ

0, và Q0 là:

đ xác đ nh M ể ị

l = 0 và Ml = 0; (b)

T i z = l có: y ạ

2 λ

DCBA λ Δλ M0 = DACB

EJ 2 l

2 AC λ DACB

ạ ẽ ả - - L i thay (b) vào (3-35) ta s gi λ c: ượ 3 Δλ (3-46) Q0 = - - i ra đ EJ 3 l

powerpoint.vn

Thay (3-46) vào (3-35) ta s vi c các bi u th c c n tìm. t đ ẽ ế ượ ứ ể ầ

193

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Chương 4 Chương 4

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG TRONG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG TRONG

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

powerpoint.vn powerpoint.vn

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

ng pháp năng l ng pháp ươ

c phát ấ là các ph ự ượ ả

ng. Các ph ượ ươ ứ ng c h c đ ng d a vào nguyên lý b o toàn năng l ơ ọ ượ ế ộ ệ ể ạ ọ ổ ờ

Nhóm th nh t năng l ượ bi u nh sau: T i m i th i đi m c a h dao đ ng. t ng th năng và ủ ể ư đ ng năng c a h luôn luôn là m t h ng s : ố ộ ằ ộ ủ ệ

T + U = h ng s (4-1) ằ ố

Trong đó: T là đ ng năng c a h . ệ ủ ộ

U là th năng c a h . ệ ủ ế

i bài toán b ng cách áp d ng tr c ti p ph ng trình (4-1), ự ụ ế ươ

ng trình Lagrange, hay nguyên lý Hamilton. Có th gi ể ả ho c d a vào các ph ự ặ ằ ươ

ả ầ ượ ế ả ả

powerpoint.vn

Các ph ươ t tr thi ế ướ ng pháp năng l ở c d ng dao đ ng c a h ệ ộ ng s dĩ cho k t qu g n đúng vì ph i gi ủ ạ

195

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Nhóm th hai là nhóm các ph ng pháp chuy n h vô h n b c t do ứ ươ ậ ự ể ệ ạ

v h có s b c t do h u h n đ gi i. Các ph ng pháp chính thu c ố ậ ự ề ệ ể ả ữ ạ ươ ộ

nhóm này là: Ph ng pháp kh i l ng t p trung, ph ng pháp bi n ươ ố ượ ậ ươ ế

d ng t p trung và ph ng pháp ph n t h u h n (PTHH). ạ ậ ươ ầ ử ữ ạ

là nhóm các ph ng pháp gi i g n đúng ph ng trình vi Nhóm th baứ ươ ả ầ ươ

ng pháp sai phân h u phân dao đ ng c a h , mà đi n hình là ph ệ ủ ể ộ ươ ữ

h n, ph vi phân, hay ph ng pháp ạ ươ ng pháp r i r c hóa toán t ờ ạ ử ươ

Butnop-Galookin.

Ph ng pháp sai phân h u h n, ph vi ươ ữ ạ ươ ng pháp r i r c hóa toán t ờ ạ ử

phân và ph ng pháp ph n t c g i chung là ph ng ươ ầ ử ữ h u h n còn đ ạ ượ ọ ươ

powerpoint.vn

pháp số-vì k t qu tính toán là các con s . ố ế ả

196

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

NG PHÁP NĂNG L NG: ƯỢ

ƯƠ ng pháp Rayleigh: 4.1 CÁC PH 4.1.1 Ph ươ

Ph ng pháp Rayleigh áp d ng tr c ti p nguyên lý b o toàn năng ươ ụ ự ế ả

l ng (4-1) đ xác đ nh t n s dao đ ng riêng c a h dao đ ng. Ta ượ ủ ể ệ ầ ộ ố ộ ị

thi t dao đ ng t do là đi u hoà, thì khi h dao nh n th y r ng, v i gi ấ ằ ậ ớ ả ế ộ ự ề ệ

đ ng t i v trí cân b ng ban đ u, th năng c a h b ng không, còn ộ ớ ị ệ ằ ủ ế ằ ầ

v n t c đ t c c đ i; còn khi h ậ ố ạ ự ệ ở ị v trí biên đ chuy n đ ng thì v n t c ể ậ ố ạ ộ ộ

chuy n đ ng b ng không-cũng t c là đ ng năng b ng không, còn th ế ứ ể ằ ằ ộ ộ

T m

năng đ t c c đ i. Đi u này có nghĩa là: ạ ự ề ạ

powerpoint.vn

(4-2)

197

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

A- Xét tr ng h p h có s b c t do): ườ ố ậ ự ợ ệ do h u h n (n b c t ạ ậ ự ữ

Ph ng pháp Rayleigh áp d ng tr c ti p nguyên lý b o toàn năng ươ ụ ự ế ả

l ng (4-1) đ xác đ nh t n s dao đ ng riêng c a h dao đ ng. Ta ượ ủ ể ệ ầ ố ộ ộ ị

thi t dao đ ng t do là đi u hoà, thì khi h dao nh n th y r ng, v i gi ấ ằ ậ ớ ả ế ộ ự ề ệ

đ ng t i v trí cân b ng ban đ u, th năng c a h b ng không, còn ộ ớ ị ệ ằ ủ ế ầ ằ

v n t c đ t c c đ i; còn khi h ậ ố ạ ự ệ ở ị v trí biên đ chuy n đ ng thì v n t c ể ậ ố ạ ộ ộ

chuy n đ ng b ng không-cũng t c là đ ng năng b ng không, còn th ế ứ ể ằ ằ ộ ộ

T m

năng đ t c c đ i. Đi u này có nghĩa là: ạ ự ề ạ

powerpoint.vn

(4-2)

198

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

A- Xét tr do): ườ ệ ợ ữ do h u h n (n b c t ạ ậ ự

}

{

...

a 1 k

a k

ng h p h có s b c t { N u ký hi u ố ậ ự } (xem 2-12) nk ệ ế

là véc t ch a biên đ dao đ ng c a các kh i l ng th 1, 2,...., n ơ ố ượ ủ ứ ộ ộ ứ

t ng ng v i t n s dao đ ng riêng th k (d ng dao đ ng riêng th k) ươ ớ ầ ứ ứ ứ ạ ộ ộ ố

{

}

ớ ậ ệ ế ồ

thì v i v t li u đàn h i tuy n tính ta có: [ T (1) Th năng c c đ i b ng: ự ạ ằ ế

a k {

}

T m

2 k

] { K a k ] { [ } M a (2) k

(4-3)

Đ ng năng c c đ i b ng: ự ạ ằ ộ

1 = ax 2 1 w= 2 ủ

Trong đó: là ma tr n đ c ng c a h , còn là ma tr n kh i l ng. ộ ứ ố ượ ệ ậ ậ

2 k

Thay (4-3) vào (4-2) ta đ ứ

] { K a k ] { M a k

{

}

(4-4) ượ ầ { a k { c t n s dao đ ng riêng th k: ộ } } ố [ T [

} } a k ộ

ế ẽ ị

powerpoint.vn

Rõ ràng là n u bi đ c t n s riêng t ố ượ ầ t d ng dao đ ng riêng th k, , ta s xác đ nh ứ ế ạ ươ

ng ng. ứ 199

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

B- Tr ng h p kh i l ng phân b -h có vô h n b c t do: ườ ố ượ ợ ố ệ ậ ự ạ

thi t dao đ ng t do là đi u hoà, thì ph ng trình dao đ ng V i gi ớ ả ế ộ ự ề ươ ộ

+ l

)

ứ

y z k

w ( )sin(

chính th c th k có d ng: ạ ứ y z t ( , ) k (4-5)

Theo S c b n v t li u, v i c u ki n ch u u n khi b qua nh h ng ậ ệ ớ ấ ứ ề ệ ả ố ỏ ị ưở

c tính theo công th c ượ ứ ắ ự ế ế ạ ọ

2 ( ) M z i EJ

l i

sau: (cid:0) c a l c c t và l c d c, th năng bi n d ng đ ủ ự 1 = (cid:0) 2

= (cid:0)

w sin(

)

w ( ) sin(

)

kt + k

= - '' '' ( , ) EJy z EJy z t Theo (4-5) dao đ ng đ t biên đ khi . ạ ộ k k = '' EJy z ( ) k

= - M z ( ) ộ k M z ( ) k

(4-6)

M t khác, , nên khi dao đ ng đ t ặ ạ ộ

2 (xét v tr s ) '' � � y z ( ) � � k

1 2

l i

ề ị ố biên đ thì ộ U (cid:0) (cid:0) (a) (4-7)

powerpoint.vn

nên 200

v z t ( , ) k

w ( ) y z k

l w os( t c ) k k

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

T i v trí cân b ng v n t c đ t c c đ i; mà ậ ố ạ ị ằ

[

( )

ạ ự = V nên (b)

T m

] 2 y z m z dz k

2 k

l i

(cid:0) (cid:0) (4-8) ạ Lúc này đ ng năng c c đ i ự ộ ạ y z w ( ) k 1 w= 2

Trong đó: m(z) là c ng phân b theo chi u dài thanh. ườ ng đ kh i l ộ ố ượ ề ố

Khi trên h , ngoài kh i l ng phân b m(z), còn có các kh i l ố ượ ệ ố ượ ố ng t p ậ

)

ng t p trung ố ượ ủ ộ ậ trung Mj (j=1, 2,...., n), thì t ng đ ng năng c a các kh i l ổ

T m

2 k

2 � � M y z ( � � j

1 2

(cid:0) (4-9) s là ẽ

j là kh i l

k(zj) là biên đ dao đ ng ộ

đây M ng t p trung th j, còn y Ở ố ượ ứ ậ ộ

powerpoint.vn

ng th j t ng ng v i t n s riêng th k. c a kh i l ủ ố ượ ứ ươ ớ ầ ứ ứ ố

201

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Thay (4-7), (4-8), (4-9) vào (4-2) ta đ c:ượ

'' � �� y z ( ) k

l i

2 k

(cid:0) (cid:0)

[

]

( )

)

(4-10)

2 y z m z dz k

�

2 � � ( M y z � � j

l i

(cid:0) �

Trong đó i là đo n th i có chi u dài là l ứ ề ạ

i gi ả ổ ụ ị

ờ ứ ể ả ấ

t di n thay đ i. Th c t ng ứ

ở ậ ổ ế

ầ là d ng dao đ ng riêng th nh t th i ta ả ng dùng công th c (4-10) đ xác đ nh t n s c b n Công th c (4-10) là l i t ng quát có th áp d ng đ xác đ nh t n ầ ứ s dao đ ng riêng th k cho d m, vòm,.. th m chí c t m v ...k c ể ả ộ ố khi ti ườ ạ ự ế ệ ế tĩnh t r t g n v i d ng bi n d ng gi ấ ầ ạ ớ ạ th ể ườ ng ng. B i v y, ng ươ ị ể ậ ộ ứ ầ ứ ỏ ấ ườ ố ơ ả ω1, lúc này ta

ườ ể ả

thi c m t d ng dao t đ ế ượ ộ ạ

powerpoint.vn

tĩnh đ tính toán. ể ả c tính theo (4-10). ấ , nên ít đ l y đ ấ V i các t n s b c cao, do r t khó đ gi ớ đ ng g n sát v i th c t ộ ng bi n d ng gi ạ ế ố ậ ầ ớ ự ế ượ ầ

202

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

VÍ D 4-1: Ụ

ố ộ

t di n ệ ế

Xác đ nh t n s dao đ ng riêng th ầ ứ nh t c a d m conson có ti ầ h ng s và chi u dài l . ị ấ ủ ố ề ằ

ng i bài toán trong hai tr ả ườ

ườ ồ ủ

ụ i tr ng phân b đ u đ t ầ ặ

y z ( ) 1

A 0

� � �

'' y z ( ) 1

A 0

ng đàn h i c a tr c ố ề ộ = - (a) ứ ấ

Khi đó: (b)

Ta gi h p.ợ 1) L y d ng đ ạ ấ d m do t ả ọ tĩnh gây ra làm d ng dao đ ng riêng ạ � z 4 z +� th nh t. 1 l 3 l 3 � Theo hình (4-1) ta có: 2 � � 4 z = � � 4 l � �

Trong đó: A0 là m t h s . ộ ệ ố

ườ ng đ kh i ố ộ Thay (a); (b) vào (4-10) và chú ý là Mj=0, và ký hi u ệ m là c

powerpoint.vn

0 b tri 203

l ng phân b đ u và A t tiêu, r i ti n hành tích phân ta có: ượ ố ề ồ ế ị ệ

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

2 1

EJ m

162 EJ 4 13 ml

(cid:0)

2 2 � � z 4 � � 4 l � � 0 4 � z z 4 +� 1 l 3 l 3 �

16 � � � � 3 EJ l 5 � � 2 104 m � � � � � � � � 405 �

- (cid:0)

w = 1

3,5301 EJ m

Suy ra: (c)

w = 1

3,516 EJ m

powerpoint.vn

So sánh v i l i gi i chính xác: sai s 0,4%. ớ ờ ả ố

204

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

2) L y d ng đ ng đàn h i c a tr c d m do l c t p trung đ t tĩnh ạ ấ ườ ự ậ ồ ủ ụ ầ ặ

t i đ u t ạ ầ ự do gây ra làm d ng dao đ ng riêng th nh t ấ ứ ạ ộ

Theo hình (4-2) ta có:

y z ( ) 1

A 0

z 3 l

� z 3 +� 2 l �

� � �

'' y z ( ) 1

A 0

- (d)

z 6 � � � � 3 l � �

(f) và

L i thay (d); (f) vào (4-10) r i tích phân ta đ ạ ồ l

2 6 z � � � � 3 l � �

2 1

EJ m

140 EJ 4 11 ml

(cid:0)

z 3 l

� 3 z +� 2 l �

- (cid:0)

c: ượ 12 � � � � 3 EJ l � � 2 33 m � � � l � � � � � 35 �

1, 48%

w = 1

3,568 2 l

JE m

powerpoint.vn

(cid:0) hay , Sai số

205

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

4.1.2 Ph ng pháp Rayleigh-Ritz: ươ

y z ( )

+ j z C ( )

z ( )

+ + j ... C

z ( )

= (cid:0)

Theo Ritz hàm bi u di n d ng dao đ ng riêng có d ng: ạ ễ ể ạ ộ

j 1 1

n j = 1 i

(4-11)

Trong đó:Ci là các h sệ ố

ủ ề ệ ả φi-(z) là các hàm tho mãn các đi u ki n biên c a bài toán.

Nh đã nói, l i gi i c a ph ng pháp năng l ng cho k t qu l n h n ư ờ ả ủ ươ ượ ả ớ ế ơ

giá tr th c. Đ gi m b t sai s , Ritz ki n ngh làm c c ti u hoá t n s ố ể ả ị ự ự ế ể ầ ớ ố ị

ằ ọ ệ ố i trong (4-11) sao cho ω tính theo (4-10) b ng cách ch n các h s C w(cid:0)

(cid:0) (4-12) ω đ t c c ti u, nghĩa là ể ạ ự

powerpoint.vn

(i=1, 2,...., n)

206

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Đây là m t h ph ộ ệ ươ ng trình đ i s tuy n tính ch a n là và các h s ệ ố ạ ố ứ ẩ ế

i bài toán tr riêng này, ta s xác đ nh đ c các ω. ả ẽ ị ị ượ Ci. Gi

Ví d , đ xác đ nh t n s dao đ ng riêng c a d m ch u u n, ta thay (4- ụ ể ủ ầ ầ ố ố ộ ị ị

11) vào (4-10), khi đó ph ng trình (4-12) có d ng: ươ ạ

� �� ( ) EJ y z

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

C i

]

[ m y z ( )

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

ng, ta có: Th c hi n phép đ o hàm c a m t th ạ ủ ự ệ ộ ươ

]

= dz

[ � m y z ( )

2 � � � EJ y z ( ) � �

[ � m y z ( )

C i

(cid:0) (cid:0) - (b) (cid:0) (cid:0)

2 � � � EJ y z ( ) � �

] [ � m y z ( )

M t khác, t (4-10) ta có: ặ ừ

powerpoint.vn

(c)

207

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Thay (c) vào s h ng th hai c a (b) ta đ c: ố ạ ứ ủ ượ

]

= dz

[ � m y z ( )

2 � � - � EJ y z ( ) dz � �

[ � m y z ( )

C i

[ m y z ( )

] 2 ta đ

(cid:0) (cid:0) (b’) (cid:0) (cid:0)

l 0

Chia hai v c a (b’) cho ế ủ c:ượ (cid:0)

]

[ m y z ( )

= dz

(cid:0)

)

(

2 � �- ( ) EJ y z � �

C i

(cid:0) (4-13) (cid:0)

(i= 1, 2, ...., n)

ng trình (4-12) ươ ủ ạ ắ ươ

H ph ệ ệ khi hàm bi u di n d ng dao đ ng l y theo (4-11). ng trình (4-13) là d ng chính t c c a h ph ộ ể ễ ạ ấ

ệ

ng trình tuy n tính ế i dao đ ng, ự ầ ấ ớ ẩ ươ ệ ồ ạ

1, C2,..., Cn và ω. T đi u ki n t n t ệ ố ế ng trình b c n đ i v i ω

ộ ệ ừ ề ả

2. Gi

c ph ng trình t n s là ph ầ ượ ươ i ả

powerpoint.vn

ố ớ c n t n s dao đ ng riêng. Th c hi n phép vi phân, (4-13) cho ta m t h ph thu n nh t v i n là C ộ hay nói cách khác, ma tr n các h s ph i không suy bi n, ta thu đ ươ ph ầ ậ ố ng trình này ta s đ ẽ ượ ậ ộ ươ ố

208

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

ầ ố

ươ ị ủ

ộ ề ộ ơ ị

ề

VÍ D 4-2: Ụ S d ng ph ng pháp Rayleigh- ử ụ Ritz đ xác đ nh các t n s dao ể đ ng riêng c a d m conson dài l, ầ b r ng không đ i b ng đ n v , ổ ằ còn chi u cao bi n đ i theo quy ổ ế lu t b c 1 (hình 4-3) ậ ậ

Bài gi i c a Timoshenko.1937 ả i ( L i gi ờ ả ủ

F z ( )

b 2 l

Xét m t c t ngang t i to đ z, có: ặ ắ ạ ạ ộ

J z ( )

Trong đó:

1 2 12 g

m z ( )

ng riêng c a v t li u d m. γ là tr ng l ọ ượ ậ ệ ủ ầ

3 bz � � � � l � � g ( ) b 2 F z gl g

powerpoint.vn

ng. g là gia t c tr ng tr ố ọ ườ

209

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

V i h to đ ch n nh trên hình v , t i ngàm (z=l) có góc xoay và ớ ệ ạ ộ ẽ ạ ư ọ

đ võng đ u b ng không, nên ta ch n hàm bi u di n d ng dao đ ng ễ ể ề ằ ạ ộ ọ ộ

nh sau (các hàm φ ư ả ệ ề

y z ( )

C 1

z n l

z l

- - - (d) -

i(z) đ u tho mãn đi u ki n biên) 2 z � � + + 1 ... � � l � �

2 z � � 1 � � l � �

ề 2 z � � + 1 � � l � �

1) N u ch l y m t hàm trong (d), gi ộ ỉ ấ ế ả ử ố ạ s s h ng th nh t- ta có l ứ ấ i ờ

gi i Rayleigh và tính đ ả

Eg g 3

ượ =

c: 48,5 2 l

2) N u trong (d) ta l y hai s h ng tr lên, ta s có nghi m Rayleigh- ố ạ ẽ ế ệ ấ ở

Ritz, gi ả ử ấ

y z ( )

C 1

z l

(f) ố ạ = - -

2 z � � 1 � � l � �

powerpoint.vn

s ta l y hai s h ng đ u: ầ 2 z � � + 1 � � l � �

210

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

2 +

Thay y(z) và t ừ (f) vào (4-13) r i tích phân ta có: ồ

)

C 2

) 6

C C ( 2 1

+ C 2 2

2 2

b 3 l

24 5

g w b l 2 Eg

C C 2 + 1 105

2 C = 2 280

� ( C � 1 �

� � �

2 � C + 1 � 30 �

� � � � � � �

(cid:0) � � 2 � C 3 � � i

- - - (cid:0)

c: Ti n hành đ o hàm ta đ ạ ế

(...)

Eg b g l 3

105

C 1

(cid:0)�

� Eg b � g l 3 �

ượ 2 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0)

� � 2 + C � � 1 5 � � 2

� = C � 2 � 2

(...)

105

Eg b g l 3

� � 2 + C � � 1 5 � �

� = C � 2 �

Eg b g l 3 i dao đ ng, nghĩa là C

C 2 Do ph i t n t ả ồ ạ

� 2 � 5 � ộ

280 ồ

(cid:0) (g) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1, C2 không đ ng th i b ng không,

ờ ằ

c đ nh th c các h s trong (g) ph i b ng không, đây chính là ả ằ ứ ị ệ ố

ượ ng trình t n s c a bài toán ta đ ph ươ ố ủ ầ

105

� Egb � g 4 l 3 �

- -

� � 2 Egb � � g 4 5 3 l � � 2

(h)

105

280

� Egb 2 � g 4 5 3 l �

� � Egb 2 � � g 4 5 3 l � �

� � �= � � �

powerpoint.vn

- -

211

2. Gi

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

i ph ng trình này ta đ c ố ớ ậ ả ươ ượ

5,319 2 l

b Eg g 3

(h) là ph ng trình b c hai đ i v i ω ươ nghi m nh nh t: ỏ ệ ấ

5,315 2 l

b Eg g 3

i d a vào hàm Bessel (đ c coi là chính xác) cho k t qu là: L i gi ờ ả ự ượ ế ả

ố ớ ầ So sánh ta th y:ấ Đ i v i t n s c b n ω ố ơ ả ệ

ố

1- khi dùng m t hàm (nghi m ộ Rayleigh) sai s 3%; Khi dùng hai hàm ( nghi m Rayleigh-Ritz) sai s ố 1 ta ch c n dùng m t hàm là đ , ch khi c n 0,1%. Nh v y, đ i v i ω ư ậ

ố ớ ệ ộ ỉ ầ ủ ầ ỉ

ị ầ ố ậ ớ ầ ề

i bài toán dao đ ng c ng pháp này đ gi ng ể ả ưỡ

powerpoint.vn

ươ có th xem chi ti xác đ nh các t n s b c cao thì m i c n dùng nhi u hàm trong (4- 11).Chú ý: Cũng có th dùng ph ể b c. Đ c gi ả ộ t trong các tài li u tham kh o. ả ệ ứ ế ể ộ

212

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

4.2 PH NG PHÁP KH I L NG T P TRUNG: ƯƠ Ố ƯỢ Ậ

ng phân b v đ t t i m t s đi m, ta ph i gi Khi chuy n kh i l ể ố ượ ố ề ặ ạ ộ ố ể ả i ả

quy t hai v n đ c b n: ấ ề ơ ả ế

1- Kh i l ng t p trung đ t đâu? ố ượ ặ ở ậ

2- Tr s m i kh i l ị ố ỗ ng t p trung b ng bao nhiêu? ằ ậ

ố ượ ng i ta đ a ra m t s h ng d n chung ự ế ườ ộ ố ướ ư ẫ

Qua các tính toán th c t nh sau: ư

ề ị ố ượ

ng t p trung: ậ ng phân b còn có các kh i ố ố ượ ố

ể ố ượ ng v các n i có các kh i ố ơ ề

l ượ l ượ

ề ị ớ

1- V v trí đ t kh i l ặ - Khi trên h , ngoài kh i l ệ ng t p trung, thì nên chuy n kh i l ậ ng t p trung này. ậ - Nên chuy n kh i l ể - Nên đ t kh i l ặ ng v các n i có chuy n v l n. ơ ố ượ i các t ng sàn i các nút c a h hay t ng t ầ ệ ủ ạ ể ạ

powerpoint.vn

c a các khung cao t ng. ủ ố ượ ầ

213

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

2- V đ l n c a các kh i l ề ộ ớ ố ượ ủ ng thay th : ế

Th ng có 2 cách phân b kh i l ng-song tuỳ thu c t ng ườ ố ượ ố ộ ừ

bài toán mà ch n cách thích h p. ợ ọ

- Chia kh i l ố ượ ng phân b thành nhi u kho ng, r i t p trung ề ồ ậ ả ố

kh i l ố ượ ng v trung tâm c a t ng kho ng. Xem hình 4-4b, 4-5b, 4-6b. ả ủ ừ ề

- Chia kh i l ố ượ ng phân b thành nhi u kho ng, r i t p trung ề ồ ậ ả ố

kh i l ng trên m i kho ng ra hai đ u. Xem hình 4-4c, 4-5c, 4-6a, b. ố ượ ầ ả ỗ

Cách phân th hai đ c dùng nhi u h n, vì nó th ng cho l i gi ứ ượ ề ơ ườ ờ i ả

powerpoint.vn

đ n gi n h n ả ơ ơ

214

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

powerpoint.vn

Hình 4-4 Hình 4-5

215

powerpoint.vn

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

216

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

1, thì ta

Trong nhi u tr ng h p, khi ch c n xác đ nh t n s c b n ω ề ườ ố ơ ả ỉ ầ ầ ợ ị

có th thay các kh i l ng phân b b ng ch m t kh i l ố ượ ể ố ằ ỉ ộ ố ượ ng t p ậ

tđ). Trong tr

trung t ng đ ng (M ng h p này, kh i l ươ ươ ườ ố ượ ợ ng thay th ế

t ng đ ng nên đ t t i n i có chuy n v l n nh t, còn đ l n c a ươ ươ ặ ạ ơ ộ ớ ị ớ ủ ể ấ

c xác đ nh trên c s gi thi ể ượ ơ ở ả ị ế t cho r ng: Hai h (h ệ ệ ằ Mtđ có th đ

ng đ ng v đ ng năng thì cũng t ng th c và h thay th ) t ệ ế ươ ự ươ ề ộ ươ

(4-14) đ ươ ng v t n s . ố ề ầ Tth cự =Tthay thế

Xét h có kh i l ố ượ ệ ng phân b m(z), trên đó có đ t thêm các kh i ố ặ ố

j t

ng t p trung M i các to đ z s ph ng trình chuy n l ượ ậ ạ ả ử ươ ể ạ ộ j. Gi

đ ng c a h đ ủ ệ ượ ộ ể ế

powerpoint.vn

ướ ạ = (a) c bi u di n d ễ y z t ( , ) i d ng tách bi n: y z S t ( ) ( )

217

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

v z t ( , )

y z t ( , )

& ( ) ( ) y z S t

(cid:0)

(b) (cid:0) Khi đó v n t c: ậ ố

m z ( )

& ( ) ( ) y z S t

T ng đ ng năng c a h đã cho s là: ủ ẽ ệ ổ ộ

�

� �

2 � �

& � ) ( ) M y z S t ( �

2 � �

1 2

j ế ả ử ặ ạ

i l i ng đ Kh i l ố ượ thì đ ng năng h thay th s là ệ ộ

ng t ng thay th gi s đ t t i đi m có to đ (z ươ ươ ể ạ ộ a),

ế ẽ

& � ) ( ) ay z S t ( �

2 � �

1 2

(d)

Tthay th ế = Mtđ Thay (c); (d) vào (4-14) ta tính đ ng thay th t ng đ ng: ố ượ ế ươ ươ

y z ( )

m z ( )

M y z (

)

�

2 � � � � j

l i

ượ [ c kh i l ] (cid:0)

[

]

)

y z (

(4-15) Mtđ

ng ng v i h m t b c t do, ta ươ ớ ệ ộ ậ ự ứ ứ

powerpoint.vn

Thay Mtđ này vào công th c (1-15) t c ω s xác đ nh đ ẽ ượ ị

218

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

1 c a d m đ n gi n hai đ u kh p, chi u dài

ị ủ ề ả ầ ầ ớ ơ

VÍ D 4-3: Ụ Xác đ nh t n s c b n ω l và kh i l ố ơ ả ng phân b ầ ố ượ ố m = h ng s . Hình 4-7a ố ằ

z m=h ng ằ số

a )

Bài gi i:ả

bài toán này, d ng dao đ ng riêng th nh t là d ng đ i x ng, Ở ố ứ ứ ấ ạ ạ ộ

gi a d m, nên khi đ a kh i l chuy n v l n nh t ị ớ ấ ở ữ ố ượ ư ể ầ ng c a h v ệ ề ủ

i m t đi m thì ta đ a v gi a d m. Ta xét bài toán trong t p trung t ậ ạ ề ữ ư ể ầ ộ

powerpoint.vn

hai tr ng h p. ườ ợ

219

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

tđ tính theo (4-15).

1) Thay th kh i l ng c a h thành m t M ố ượ ế ủ ệ ộ

Tr c h t ta gi thi t d ng dao đ ng riêng th nh t là d ng đ ng ướ ế ả ế ạ ứ ạ ấ ộ ườ

đàn h i c a tr c d m do m t l c P đ t tĩnh gi a d m gây ra. Dùng ồ ủ ộ ự ụ ầ ặ ở ữ ầ

ph ng pháp c a s c b n tính đ c ph ng trình này có d ng: Hình ươ ủ ứ ề ượ ươ ạ

4-7b

y z ( )

2 � 3 l z = � A 0 l �

� � �

(a)

gi a d m: ộ ệ ố ể ị ở ữ ầ Trong đó A0 là m t h s . Lúc này chuy n v

� l -� l 3 2 � �

3 �� l �� 2 � � � � =

y z (

)

A 0

l 2

powerpoint.vn

(b)

220

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

2 mA 0

2 � � �

(cid:0)

+ 6 z

0, 486

m 2 l

24 2 l

16 4 l

� 9 � �

� = dz � �

2 � l z 3 � l � 2 A 0

- - (c) (cid:0) Mtđ

w = 1

c:ượ thay Mtđ vào (1-15) ta đ

9,92 EJ m

Sai s 0,6%ố

ủ ạ ồ ậ ỗ

ộ

powerpoint.vn

2) Chia d m làm 2 đo n r i t p trung ầ ng v hai đ u c a m i đo n kh i l ề ạ ầ ta đ c 3 kh i l ng t p trung. Hai ậ ố ượ hai đ u d m không ng đ t kh i l ầ ầ ặ ở ng dao đ ng-H ch còn m t kh i l ố ượ ỉ ệ đ t gi a d m dao đ ng (xem 4-7c). ố ượ ượ ố ượ ộ ữ ặ ầ ộ

221

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

l 2

(d) Mthay thế=

Thay (d) vào (1-15) ta có:

w = 1

9, 798 EJ m

Sai s 0,7%ố

Dùng công th c (4-15) đ xác đ nh kh i l ố ượ ứ ể ị ng thay th cho k t qu ả ế ế

chính xác h n. N u chuy n h v hai 2, 3 hay nhi u b c t do h n, ệ ề ậ ự ể ế ề ơ ơ

thì k t qu t ế ả ấ t nhiên cũng s chính xác h n ẽ ơ

Ví d , cũng bài toán này, song khi ta đ a h v hai b c t ệ ề ậ ự ư ụ do nh ư

trên hình (4-4c), s tính đ c (xem ch ng 2). ẽ ượ ươ

w = 1

9,86 EJ m

powerpoint.vn

Sai s 0,1%ố

222

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Chú ý:

ph ng pháp kh i l ng pháp bi n ự ươ ố ượ ậ

ng t ươ ậ ươ ạ

ng t p trung, ph ộ ệ ể ươ ng c a ph ủ ố ậ ự ữ ạ

1- T ế do v h d ng t p trung cũng cho phép chuy n m t h vô h n b c t ề ệ ậ ự ạ ng pháp là t p trung bi n có s b c t ế ậ ư ưở d ng phân b trên toàn h v m t s đi m nào đó mà ta ch n tr c. ệ ề ộ ố ể do h u h n. T t ố ướ ạ ọ

vi ạ ữ ươ

ử ng ọ ệ ươ

ng pháp PTHH ( còn g i chung là các ph ng pháp g n đúng có hi u qu đ gi ng pháp r i r c hóa toán t ờ ạ ươ i bài ầ ả ể ả

t là ph ữ ọ ự ọ

ấ ớ ươ

ố ủ ệ ầ

ượ c trình bày chi ti ượ

ng pháp PTHH g n ắ ng pháp r t l n. t b ng c vi ế ằ ề t ế ế ấ ươ ươ

ữ ề ệ i thi u tóm t t n i dung c b n c a ph đây ch gi ng pháp. 2- Ph ng pháp sai phân h u h n, ph ươ phân, đ c bi ặ pháp s ) là nh ng ph ệ ươ ố toán tĩnh l c h c và đ ng l c h c công trình. Ph ươ ộ ự li n v i máy tính đi n t ớ ệ ử ề H u h t các ph n m m tính toán k t c u hi n nay đ u đ ế ề ầ ph ng pháp PTHH. Nh ng ph ươ trong các tài li u riêng v các ph Ở (MTĐT), vì n s c a ph ẩ ế ấ ng pháp này đ ng pháp s trong tính toán k t c u. ươ ố ủ ơ ả ỉ ớ ệ

ắ ộ 223

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

t trong tĩnh l c h c, ph ng pháp ế ư ự ươ ng trình c b n c a ph ơ ả ủ ươ

} D =

{

}

ể ị

] {

[

Nh đã bi ọ PTHH mô hình chuy n v là: [ (4-16)

Trong đó: ]K c xây d ng t các ma tr n c ng ủ ự ừ ứ ậ

{

c l p s n.  là ma tr n đ c ng c a h , đ ậ c a các ph n t ủ ộ ứ h u h n đã đ ạ ệ ượ ượ ậ ầ ử ữ ẵ

l c nút, bao g m các l c nút có s n và các l c tác d ng ồ ẵ ự ự ụ

ể ơ ự chuy n v các nút. ề

{

D ơ ị ị

ươ ng ng su t, bi n d ng, ủ c tr chuy n v nút là n c a ph ườ ị ượ ượ ừ ấ

}F  là véc t trên ph n t ầ ử }  là véc t c t đ ạ chuy n v trong k t c u. Còn v i k t c u h thanh, ta s v đ ể bi u đ n i l c.

c các ng pháp. Sau khi xác đ nh ế ứ ẽ ẽ ượ ớ ế ấ ệ

ẩ ể (4-16), ta s xác đ nh đ ẽ ế ấ ị ồ ộ ự ể

224

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

ộ ố ớ ươ ự ọ

ủ ấ ư ể ị

}

{

}

[

]{ & D +

} && D +

]{

}

ng trình c b n c a ph ng pháp Đ i v i bài toán đ ng l c h c, ph ơ ả ươ PTHH mô hình chuy n v cũng có d ng nh (2-5). T t nhiên cách xác ạ đ nh t ng đ i l ừ ạ ượ ị

ng là hoàn toàn khác. ] { [ D = K (4-17)

ứ

]K } }F } D &

Trong đó: [ { { { là ma tr n c ng c a h nh trong (4-16) ủ là véc t ị ộ là véc t } { D&& và l n l ể ạ ự t là véc t ư ệ ậ chuy n v đ ng c a các nút ơ ủ ngo i l c nút đ ng. ơ ầ ượ ộ ơ ậ ố v n t c và gia t c chuy n v đ ng ố ị ộ ể

ả

c a các nút. ủ ]C [ ]M [ là ma tr n c n ậ là ma tr n kh i l ậ ượ ạ

ượ ậ ng c a t ng ph n t c t p trung t ủ ừ i các nút và đ c h u h n đã ạ ầ ử ữ

ố ượ các ma tr n kh i l ậ c l p s n nh đ i v i ma tr n c ng. ư ố ớ ng đ ố ượ ậ ậ ừ ẵ thành l p t đ ượ ậ ứ

225

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG Chương 4: TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

}

{

[

Còn ph do: ươ ự

]{ & D +

]{

] { D = K

ng trình vi phân dao đ ng t } && D + ộ } (4-18)

do h u h n, thay cho vi c gi ố ậ ự ươ ữ ệ ạ

i ph ả ầ ứ ấ ộ

ng trình 3- Đ i v i h có s b c t t n s ph c t p, S.A.Pestel đã đ xu t m t công th c g n đúng đ ể ề ứ ạ ầ xác đ nh nh sau: ư ố ớ ệ ố ị

2 1

1 B 2

(cid:0) (cid:0) (4-19)

B 1

B 2 B 1

� � � �

� 1 � � �

đ c g i là công th c S.A. Pestel ượ ứ ọ

M d

= (cid:0)

B 1

= 1

trong đó,

B 2

2 ii

d M M k i

2 ik

+� d 2 M i

�

= 1

i k ,

= 1

(i≠k)

226

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Chương 5 Chương 5

ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU

HỆ THANH PHẲNG HỆ THANH PHẲNG

powerpoint.vn powerpoint.vn

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

5.1 CÁCH TÍNH G N ĐÚNG Ầ

ng là ph ng pháp g n đúng ng pháp t p trung kh i l ươ ố ượ ầ

ụ ủ ươ ể ệ ẳ

ậ ộ ệ ủ ấ ả

ứ ạ ế ấ ậ

ớ ả ậ i h ả ệ ả ậ ươ ư ầ

Có th nói ph ể thông d ng đ tính dao đ ng c a các k t c u h thanh ph ng nh ư ế ấ d m, khung, dàn, vòm, h liên h p nh s đ n gi n c a nó. T t nhiên, ầ ờ ự ơ ợ ng t p trung khá l n, thì ng các kh i l v i các k t c u ph c t p, s l ố ượ ớ ố ượ vi c tính toán cũng khá ph c t p và t n nhi u th i gian do ph i l p và ứ ạ ệ ờ ề ố i m t ph ng trình t n s b c cao, cũng nh ph i l p và gi gi ố ậ ộ ả ng trình đ xác đ nh biên đ các l c quán tính. ph ể ươ ự ộ ị

c đây, khi ch a có MTĐT, ng ng t p trung kh i l i ta th ư ườ ườ

ố ượ ố ặ ờ ị

ể ả ể ộ ờ

Tr ướ v 1, 2, ho c 3 v trí đ gi ề l ượ gi c tăng lên. ng ậ i. Còn ngày nay, nh có MTĐT mà s kh i ố ng t p trung có th tăng lên nhi u, nh đó mà đ chính xác c a l i ủ ờ ề ậ i đ ả ượ

228

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Đ i v i k t c u nhà nhi u t ng ch u t ố ớ ế ấ ề ầ i ị ả

tr ng đ ng theo ph ng ngang nh t ộ ọ ươ i ư ả

i ta tr ng gió bão, đ ng đ t vv... ng ộ ấ ọ ườ

th ng đ a v s đ thanh conson ườ ề ơ ồ ư

(hình 5-1) đ gi i. ể ả

229

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

ố ớ ế ấ ố ượ ủ

ệ c t p trung t ợ i các nút dàn và đ c bi t chú ý t ng c a các thanh dàn i ớ ệ ạ

Đ i v i k t c u dàn hay h liên h p, kh i l và d m th ượ ậ ườ ầ các nút dàn n m trên đ ặ ng biên xe ch y (hình 5-2). ạ ng đ ằ ườ

(hình 5-2)

ng v m t s đi m, đ đ n gi n ố ớ ề ộ ố ể ố ượ ậ

ả ng ố ượ

c. Đ i v i vòm, sau khi t p trung kh i l ể ơ tính toán, ta có th thay các đo n thanh cong n i gi a các kh i l ữ ạ ể thành các thanh th ng mà k t qu v n ch p nh n đ ượ ả ẫ ố ậ ế ấ ẳ

230

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

i m t s đi m, t c ộ ố ể

ng phân b v t p trung t ố ề ậ ậ ự ứ do ố ậ ự

do v m t h có s b c t ng 2. c trình bày Sau khi đã thay kh i l ố ượ là ta đã chuy n m t h có vô h n b c t ộ ệ i h này đã đ h u h n. Vi c gi ả ệ ạ ề ộ ệ ch ươ ở ạ ượ ể ệ ữ ạ

ượ ươ ử ụ ấ

ễ

ng ít đ ị ứ ạ ng trình bi u di n ạ ườ ấ

ng pháp năng l ề ầ ộ ờ ệ ệ

ạ ồ ờ ẫ

ng h p này hàm th c s d ng đ tính khung, nh t là các Ph ể ượ khung nhi u t ng nhi u nh p ph c t p, do ph ươ ứ ạ ề d ng dao đ ng là r t ph c t p vì th ng ph i vi ả ế đ ng th i vi c th c hi n các tích phân trong (4-10) cũng t n r t nhi u ự th i gian. Còn đ i v i d m và dàn, ng ố ớ ầ này đ xác đ nh t n s riêng ω ầ ể t trên nhi u đo n, ề ề ố ấ ng pháp ươ ng ườ i ta v n dùng ph ợ ườ ể ố ị

tĩnh t ng ng và th ng cũng không ph c t p l m. l y d ng gi ạ ấ ả ươ ứ ứ ạ ắ ườ 1, trong tr ườ

ng pháp g n ụ ươ ầ

Sau đây ta xét vài ví d minh ho cách áp d ng các ph đúng đ gi ạ ụ i các bài toán c th : ụ ể ể ả

231

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

VÍ D 5-1: Ụ

Cho dàn có kích th c và ch u tác d ng c a các t ướ ủ ụ ị ả ọ i tr ng đ ng đi u ộ ề

t EF = h ng s ; ,trong đó hoà cùng t n s nh trên hình 5-3a. Bi ư ầ ố ế ằ ố

0, 07

(

)

= r

EF và dàn có đ M

- ng xe ch y d i ( t c a t t ườ ạ ướ m là vi ế ắ ủ

ủ ầ ộ ị

mét). Yêu c uầ : Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng c a dàn và biên đ n i ộ ộ ố l c đ ng trong các thanh dàn. ự ộ

232

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

233

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Bài gi i:ả

Ta dùng ph ng pháp kh i l ng t p trung đ gi i bài toán. ươ ố ượ ể ả ậ

1) Xác đ nh các kh i l ng t p trung. ố ượ ị ậ

Theo đ ra, dàn có đ ng xe ch y d i nên ta s t p trung kh i l ng ề ườ ạ ướ ẽ ậ ố ượ

c a dàn ch vào các nút A, 1, 2, 3, B thu c biên d ủ ộ ỉ ướ i, nên bài toán ch ỉ

có ba kh i l ố ượ ng th c hi n dao đ ng. Chi u dài các thanh biên trên và ề ự ệ ộ

d ướ i là 6m; c a các thanh xiên là 5m (do dàn cao 4m). Ta chuy n kh i ố ủ ể

ng thanh A-4 và m t n a thanh A-1 vào nút A; c a thanh B-7 và l ượ ộ ử ủ

ng ph n dàn còn l c a n a thanh B-3 vào nút B. Nh v y kh i l ủ ư ậ ố ượ ử ầ i ạ

ng t chuy n v 3 nút 1, 2, 3 s có giá tr nh nhau (kh i l ẽ ố ượ ư ề ể ị ạ i m i nút ỗ

ng c a hai thanh biên và hai thanh xiên). Ký hi u b ng t ng kh i l ổ ố ượ ằ ủ ệ

kh i l ố ượ

= M M M M

ng này là M thì (xem hình 5-3b): =

234

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Đ gi i ph ể ả ươ ng trình t n s (2-11)’ và ph ố ầ ng trình xác đ nh biên đ ộ ị

D ươ d l c quán tính (2-24), ta ph i xác đ nh các và , là các chuy n v ị ị ự ể ả

đ n v , và chuy n v do các biên đ l c đ ng đ t tĩnh gây ra t i các ộ ự ể ặ ơ ộ ị ị ạ

kh i l ng. Ta s xác đ nh các chuy n v này theo công th c Maxwell- ố ượ ứ ể ẽ ị ị

Mohr áp d ng cho dàn tĩnh đ nh. ụ ị

D 2) Xác đ nh và ị

ố ứ ứ ớ ỉ

,N N 1

0PN

Do bài toán đ i x ng, nên ta ch tính bài toán ng v i các d ng dao Z = ạ Z = 1 1 đ ng đ i x ng. Các bi u đ n i l c và do các l c ; ố ứ ự ể ộ

P và do các biên đ l c đ ng đ t tĩnh gây ra tính đ 0

ồ ộ ự = ộ ự ặ ộ ượ c nh trên ư

hình 5-3c, d, e.

235

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Dùng công th c Maxwell-Mohr ta tính đ c: ứ ượ

(

) 52, 75

N N )( 1 1

(cid:0)

(

) 105,5

N N )( 2

(cid:0)

m EF m EF

(cid:0)

= d

(cid:0) (cid:0)

(

) 66, 25

N N )( 1

m EF

(cid:0)

(

= )

2380

(cid:0)

D = 1 P

N N )( 1

P 0

(cid:0)

(

= ) 3435

= P

N N )( 2

P 0

kNm EF kNm EF

(cid:0) D (cid:0) (cid:0)

236

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Chú ý:

c bi u di n ủ ượ ể ễ

iN ậ

Th nguyên c a là [ chi u dài ], song theo (b), nó đ ề ứ m � � qua � � EF � � không cho ta chi u dài, v y là không đúng v th nguyên. S dĩ ề ứ ề ở

nh v y, b i vì đúng ra, khi v ta ph i gi thi c đ n v c a ư ậ ẽ ả ở ả ị ủ ơ

t tr ế ướ iN biên đ l c quán tính, nó là [ l c ] ( trong bài toán này, ngo i l c đ c ạ ự ự ượ

kNm � � ơ � � EF � �

ộ ự d D đo b ng kN, nên nó cũng s là kN). Khi đó đ n v c a s là kN, và ị ủ ẽ ẽ ằ

do đó tính đ c s đ c bi u di n qua gi ng nh , song ượ ẽ ượ ư ễ ể ố

vì m t trong hai bi u đ c a phép nhân bi u đ là thu c tr ng thái gi ồ ủ ể ể ạ ộ ồ ả

t o do l c không th nguyên gây ra, cho nên đ ti n d ng, khi v ạ ể ệ ứ ụ ẽ ộ iZ = ự

ta l y không th nguyên, b i v y trong bi u th c c a thi u m t ở ậ ứ ứ ủ ể ế ấ ộ

i. Cũng vì lý do không có đ n v l c trong Z

i, nên

k t đ n v l c c a Z ị ự ủ ơ ị ự ơ ở ế

i là [ l c ] (trong bài toán này là kN). Nh v y, cách làm nh th này cũng cho k t qu đúng khi ư ế

qu cu i cùng s xu t hi n th nguyên c a Z ố ả ứ ủ ự ẽ ệ ấ

ư ậ ế ả

237 tính ph n l c và n i l c. ả ự ộ ự

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

3) Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng: ố ộ ầ

M M M

ị = Thay và các tính đ trên vào ph ng trình t n s (2-11)’ c ượ ở ươ ầ ố

Ta có:

(

)

52, 75

66, 25

M u 1

M 2

m EF

M m EF 2

� � � � � �

� � � � � � =

- -

(c)

(

)

66, 25

105,5

M 22 2

m EF

M m EF 2

� � � � � �

� � � = �- u � �

� d � � d � � �

� � � � � �

là ph ng trình b c 2 đ i v i u, gi i (c) ta đ c: ươ ố ớ ậ ả ượ

(

0,1002

99,58

u 1

EF M

m EF

1 u 1

suy ra

5,92

(

0, 4105

m EF

1 u

EF M

và suy ra

238

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

4) Xác đ nh biên đ n i l c đ ng trong các thanh dàn: ộ ộ ự ộ ị

m � � � � EF � �

D Thay , vào ph ng trình (2-24) r i gi n c hai v cho ta ươ ả ướ ồ ế

đ ng trình đ xác đ nh biên đ l c quán tính nh sau: ượ c h ph ệ ươ ộ ự ư ể ị

151,33

66.25

2380

- (cid:0)

66, 25

+ Z 1 302, 66

3435

= kN = kN

Z 1

+ Z 2 + 2

(d) (cid:0) - (cid:0)

Trong đó ta đã tính đ c các và trong (2-24) nh sau: ượ ư

151,33

* 11

1 0, 07

m = - EF

m � � � � EF � �

1 M r 1

� � �

� d � �

� � = 52, 75 � � � �

- -

302, 66

* 22

2 0, 07

m = - EF

m � � � � EF � �

� � �

M 2

� � d � � �

� � � = 105,5 � � � � �

- -

239

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

22,90

Z 1 Z

16, 40

Gi i (d) ta đ c: ả ượ (cid:0) (e) (cid:0)

(cid:0)

Biên đ n i l c đ ng trong các thanh dàn có th tính theo hai cách: ộ ộ ự ể ộ

a) Tính tr c ti p: Đ t các biên đ l c quán tính theo (e) và biên đ các ộ ự ự ế ặ ộ

i các kh i l ng r i tính nh bài toán tĩnh( hình 5- l c đ ng đ t tĩnh t ự ặ ộ ạ ố ượ ư ồ

3f).

1 1

P 0

ụ b) Áp d ng nguyên lý c ng tác d ng. + ộ ụ + N Z N Z

K t qu nh trên hình (5-3g) ư ế ả

240

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

VÍ D 5-2: Ụ

Xác đ nh t n s dao đ ng riêng và bi u đ biên đ mômen đ ng c a ủ ể ầ ộ ộ ộ ố ồ ị

khung cho trên hình 5-4a. Bi t khung có EJ=h ng s , ế ố l= 6mét = h ng s , ằ ằ ố

ng m i thanh là m l=M. Khung ch u tác d ng c a các l c t ng kh i l ổ ố ượ ỗ ủ ự ụ ị

P t ( )

(60

) s inrt

q t ( )

kN m

� 30 � �

� s inrt � �

kích thích đi u hoà cùng t n s : ố ề ầ

(

0,319

Khi tính b qua l c c n. ự ả ỏ -

EJ M

Trong đó:

(m là vi t t ế ắ ủ mét) t c a

241

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Bài gi i:ả

Chia khung thành 5 đo n và t p trung kh i l ng c a m i thanh v hai ố ượ ạ ậ ủ ề ỗ

đ u thanh, ta đ c 11 kh i l ng t p trung (hình 5-4b). Gi thi t các nút ầ ượ ố ượ ậ ả ế

ng đ t t khung không có chuy n v th ng, nên h ch còn 5 kh i l ị ẳ ố ượ ệ ể ỉ i ặ ạ

đi m gi a các thanh th c hi n các dao đ ng ngang (hình 5-4c). Đây là ữ ự ệ ể ộ

m t h đ i x ng ch u tác d ng c a các l c đ ng đ i x ng, nên ta ch ỉ ộ ệ ố ứ ố ứ ụ ủ ự ộ ị

c n xét các dao đ ng có d ng đ i x ng. Nh v y h ch có ba b c t ố ứ ầ ư ậ ậ ự ệ ạ ộ ỉ

D do.1) Xác đ nh các và : ị

D Cũng nh ư ở ví d 5-1, tr ụ ướ c h t ta ph i xác đ nh các và . Đây là h ệ ế ả ị

siêu tĩnh, nên tr ng thái gi t o khi tính chuy n v theo công th c ạ ả ạ ứ ể ị

Maxwell-Mohr có th t o ra trên h tĩnh đ nh b t kỳ suy ra t h siêu ể ạ ệ ấ ị ừ ệ

tĩnh đã cho.

242

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Nghĩa là, n u b qua nh h ế ả ỏ ưở ắ ự ọ

0 i

D = iP

ng c a l c c t và l c d c, ta có: ( ủ ự ) M M P (a)

i tr ng đã cho gây ra trong h siêu ồ ả ọ ệ

Trong đó Mp là bi u đ mômen do t ể 0 iM tĩnh đang xét. là bi u đ mômen tr ng thái gi t o đ c t o ra trên ể ồ ở ạ ả ạ ượ ạ

h tĩnh đ nh. ệ ị

ụ

)

(

) ( 0 M M i

) ( M M i

= d Áp d ng (a) đ tính ta có: ể )0 ho cặ

Các bi u đ mômen đ n v do không th nguyên (xem chú ý ứ ể ồ ơ ị ở ví d 5- ụ

0 và q0) đ t tĩnh gây ra trong

ự ộ ộ ặ 1) gây ra, còn MP do biên đ các l c đ ng (P

h siêu tĩnh đã cho, dùng ph ng pháp chuy n v v đ c nh trên các ệ ươ ị ẽ ượ ể ư

hình (5-4 d, e, f, g).

243

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

= -

= d

1,13

1,88

5, 63

= -

= d

0, 75

m EJ 3 m EJ 3

3, 00

= d

1,13

m EJ 3 m EJ 3 m EJ

m EJ

Áp d ng (a) và (b) sau khi “nhân” các bi u đ ta đ c: ụ ể ồ ượ

123, 7

;

202,5

3 D = - ;

22,5

D = 1 P

= 2 P

kNm EJ

244

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

2) Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng: ộ ố ầ ị

Áp d ng ph ụ ươ ng trình t n s (2-11)’ ta có ố ầ

)

(

d d - M u 1 M 2 � d � 12 �

(

)

d = M 0

M 2 M 2 � d � �

(

)

d - M u

M 2 M 2 � d � � M � � � � � � 13 2 � � � � � �- d u � � � � � � � � d � � � � � � �

M M M

Thay các tính trên và các kh i l ng t p trung ở ố ượ ậ

M 2

(d) và ký hi u là M ệ

vào (c) r i khai tri n đ nh th c (c) ta đ ể ứ ồ ị ượ c m t ph ộ ươ ng trình b c 3 đ i ố ậ

v i u. Gi i ph ng trình này ta đ c (b qua tính toán chi ti t) ớ ả ươ ượ ỏ ế

245

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

(

0,531

3,546

u 1

EJ * M

m EJ

1 u 1

suy ra

(

0,816

1,502

1 u

EJ * M

m EJ

suy ra

(

0,937

u 3 1,139

EJ * M

m EJ

1 u 3

và suy ra

246

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

3) V bi u đ biên đ mô men đ ng: ẽ ể ồ ộ ộ

trên vào ph ng trình (2-24), r i gi n c hai v ở ươ ả ướ ồ ế

ng trình đ xác đ nh biên đ các l c quán ượ c h ph ệ ươ ự ộ ị

0 0

Z 1,13 2 + Z 14, 01 2

0, 75

3 Z

= kN 123, 7 = kN 202,5 = 22,5 kN

1,13

7,94 Z 1 Z 1,13 1 + Z 1

- - - (cid:0) Thay và tính 3m cho ta đ EJ tính là: (cid:0) - - (cid:0) ể + 0, 75 Z 3 + Z 1,13 (f) (cid:0) - - - (cid:0)

= d

Trong đó ta đã tính đ ng trình (2-24) nh sau: ượ ư

7,94

* 11

= )

(

)

(

1 * 2 M r

0,319

3 � � m � � EJ � �

16, 64 * c các trong ph ươ ii � � 3 m = - 1,88 � � EJ � � � �

= d

- -

14, 01

* 22

1 *

(

)

0,319

3 � � m � � EJ � �

� 3 m = - � EJ � �

� = 5, 63 � � � � � �

� M � 2 �

= d

- -

16, 64

* 33

1 *

(

)

0,319

3 � � m � � EJ � �

� 3 m = � EJ � �

� = 3, 00 � � � � � �

� M � 2 �

- -

247

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Gi i h ph ng trình (f) ta đ c: ả ệ ươ ượ

= = = - 13,9 kN Z ; 13, 27 kN Z ; 1, 08 kN Z 1

c theo nguyên lý c ng tác ồ ộ ộ ự ộ ẽ ượ ộ

M Z M Z M Z M 2

1 1

(

)

Bi u đ biên đ n i l c mômen đ ng v đ ể d ng:ụ

P q , 0 0

Mđ=

K t qu cho trên hình (5-4 l). ế ả

248

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

hình (5-4).

249

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

hình (5-4).

250

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

hình (5-4).

251

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

5.2 PH NG PHÁP TÍNH CHÍNH XÁC ƯƠ

ộ ệ ế ấ

ch ng 3. ở ọ ế ộ ụ

ạ ươ ơ ả

ươ ự c trình bày ng pháp tính c b n: ươ

ự ng pháp l c dùng đ ể ự ng pháp ươ ộ

ớ

ng tính toán l n nên r t ít ớ ng pháp chuy n v , nh đã bi ể ứ ạ ươ ư ế ị

. Ph ng pháp dùng đ tính chuy n v cho k t c u ể

ể ặ ể ộ

ị ễ ả ơ

c áp d ng nhi u c trong tĩnh l c h c và đ ng l c h c ng pháp tính đ n gi n, đ ượ ộ ự ả ượ ụ ự ọ

ụ ứ ệ ẳ ỉ

ng pháp này. Đ tính chính xác đ ng l c h c c a m t h k t c u th c (có vô h n ể ủ ự do), ta áp d ng lý thuy t tính toán đã đ b c t ượ ậ ự Tuỳ thu c vào cách v n d ng mà ta có hai ph ươ ụ ậ ộ ng pháp l c và ph Ph ng pháp chuy n v . Ph ể ươ ự ị tính đ ng l c h c các k t c u siêu tĩnh b t kỳ. Đây là m t ph ấ ế ấ ọ ộ tính t ng quát song r t ph c t p v i kh i l ổ ố ượ ấ ấ c dùng trong th c t đ t trong tĩnh ự ế ượ l c h c k t c u, là ph ế ấ ự ươ ọ ế ấ b t kỳ (h siêu đ ng)-có th tĩnh đ nh ho c siêu tĩnh-mi n là có đ các ủ ị ệ ấ c coi là m u liên quan. Đây là ph ph n t ươ ầ ử ẫ chính xác, và đ ọ ề k t c u h thanh th ng. Trong m c này chúng ta ch nghiên c u ế ấ ph ươ

252

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

5.2 PH NG PHÁP TÍNH CHÍNH XÁC ƯƠ

m u (đ ng l c h c d m m t nh p) ph c v cho ph ộ ụ ụ ị

ộ ệ ọ ự ự ộ ị ể ẳ

c trình bày ng ươ ể ng 3 -k t qu ả ế ẳ ch ở ươ ế

Các ph n t ầ ử ẫ ầ pháp chuy n v đ tính đ ng l c h c h thanh th ng, ph ng có th xây ọ ể c d a vào lý thuy t đã đ d ng đ ượ ự cho ự b ng ph l c. ượ ở ả ụ ụ

ng pháp chuy n v đ gi ị ể ả ể

ụ ng t ự

ự nh trong bài toán tĩnh. Nghĩa là, n s c a ph ươ ủ i bài toán đ ng l c h c ọ ộ ng ố ủ ộ ậ ẩ ị ẳ ươ ư ể ể

Vi c áp d ng ph ệ cũng t ươ pháp là các chuy n v góc xoay và chuy n v th ng đ c l p c a các nút, ị iZ t ( ) mà ta ký hi u là . ệ

S n s c a bài toán: (5-1) ố ủ ố ẩ n = ng + nt

Xét k t c u trên hình 5-5a: ế ấ H có: ệ ng = 2; nt = 1; nên n = 3

253

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

H c b n nh trên hình 5-5b. Khi t i tr ng đ ng là đi u hoà , thì ệ ơ ả ư ả ọ ề ộ

chuy n v góc xoay và chuy n v th ng c a các nút c a k t c u khi dao ế ấ ị ẳ ủ ủ ể ể ị

đ ng đã n đ nh cũng bi n đ i đi u hoà v i t n s là t n s c a l c ề ố ủ ự ớ ầ ế ầ ố ổ ộ ị

s inrt

Z t ( ) i

ổ Z= (a) kích thích đi u hoà: ề

254

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Ph n l c đ ng sinh ra trong các liên k t đ ả ự ế ượ ộ c thêm vào trong h c ệ ơ

b n (HCB) cũng bi n đ i đi u hoà cùng t n s r. ổ ề ế ầ ả ố

s inrt

R t ( ) iK

(b)

L p lu n hoàn toàn nh trong bài toán tĩnh, đi u ki n đ HCB làm vi c ư ệ ề ệ ể ậ ậ

nh h th c là các ph n l c trong các liên k t m i thêm vào trong HCB ư ệ ự ả ự ế ớ

ả ằ ứ ế

+ + ...

R t ( ) i

iZ t ( ) 1

iZ t ( ) n

iZ t ( ) 2

ph i b ng không. Xét liên k t thêm vào th i: +

( ) iP t +

R +

R + + ...

R t ( ) i

r Z t ( ) 1 1 i

r Z t ( ) i 2

r Z t ( ) in n

iP t ( )

(c)

ik là biên đ ph n l c đ ng trong liên k t thêm vào th i do liên

(

đây r Ở ả ự ế ộ ộ

) ng gây ra

ứ 1.s inrt ng b c m t l k t thêm vào th k d ch chuy n c ứ ể ế ị ưỡ ộ ượ ứ

trong h c b n. ệ ơ ả

255

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Thay (a), (b) vào (c) r i gi n c hai v cho sinrt (do ph i t n t i dao ả ướ ồ ả ồ ạ ế

đ ng nên sinrt≠0), ta đ ng trình chính t c c a ph ng pháp ộ ượ c h ph ệ ươ ủ ắ ươ

chuy n v đ tính đ ng l c h c các k t c u h thanh th ng, có d ng ế ấ ị ể ự ệ ể ạ ẳ ọ ộ

hoàn toàn nh bài toán tĩnh. Khi bài toán có n n: ư ở ẩ

+ + ...

r Z 1 1 i

r Z 2 i

R iP

(cid:0)

r Z in n n 1, 2,..., )

2 i (

(cid:0) (5-2) (cid:0)

ị ộ ủ ể ể ộ Trong đó: Z1, Z2,..., Zn là biên đ chuy n v đ ng c a các nút (chuy n v ị

iP (i=1, 2,..., n) là biên đ ph n l c đ ng t

góc, chuy n v th ng). R i liên ị ẳ ể ả ự ộ ộ ạ

k t thêm vào th i do ngo i l c đ ng đi u hoà gây ra trên HCB. ạ ự ứ ề ế ộ

256

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

ụ ụ ự ự ể Các riK và RiP có th tra tr c ti p

iM ồ

b ng ph l c, tuy nhiên trong th c ế ở ả 0 PM , ta hay tra b ng các bi u đ , r i dùng đi u ki n cân b ng t ể ề ế ệ ả ằ ồ

iK và RiP s thu n ti n h n. Trong đó là bi u đ mômen

iM (

)

đ xác đ nh r ể ệ ẽ ể ậ ồ ơ

iZ =

P 0 s inrt

ị 1s inrt

do gây ra, còn là do ngo i l c đ ng gây ra trên ạ ự ộ

h c b n (các bi u đ này đ u tra b ng). ệ ơ ả ể ề ả ồ

257

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

do 5.2.1 Xác đ nh t n s dao đ ng t ầ ộ ố ị ự

ng trình bi u di n dao đ ng t do theo ph ng pháp chuy n H ph ệ ươ ể ễ ộ ự ươ ể

v có đ (5-2): ị c t ượ ừ

+ + ...

r Z 1 1 i

(cid:0)

r Z R Z 2 i 2 in = i ( n 1, 2,..., )

(cid:0) (5-3) (cid:0)

Đây là h ph ng trình tuy n tính thu n nh t. Đ t n t i dao đ ng, ệ ươ ể ồ ạ ế ấ ầ ộ

ờ ằ ứ ộ ồ ị nghĩa là các Zi không đ ng th i b ng không, bu c đ nh th c các h s ệ ố

...

ph i b ng không-Đây là ph ng trình t n s c a bài toán: ả ằ ươ ố ủ ầ

Det

r 12 r 22 ...

...

r 1 n r 2 n ...

r 11 r 21 ...

...

r n

r nn

r n 1

(5-4)

258

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

5.2.2 Bi u đ biên đ n i l c đ ng ộ ộ ự ồ ộ ể

1, Z2,..., Zn. Bi u đ biên

Gi i h ph ng trình (5-2) s xác đ nh đ c Z ả ệ ươ ẽ ị ượ ể ồ

+ ZMZM

MZM n

0 p

++ ... n 2

đ mô men đ ng v đ c theo nguyên lý c ng tác d ng: ẽ ượ ộ ộ ụ ộ

(5-5)

Bi u đ Q c suy ra t M c suy ra t Q ồ đ đ ể ượ ừ đ; còn Nđ đ ượ ừ đ nh v n ư ẫ

th ng làm trong bài toán tĩnh. ườ

259

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

VÍ D 5-3: Ụ

P t = ( )

s inrt

Xác đ nh t n s dao đ ng riêng và v bi u đ biên đ n i l c mô men ộ ộ ự ẽ ể ầ ố ồ ộ ị

P i tr ng đ ng đi u hoà 2

= (cid:0)

4 10

kNm

đ ng c a khung ch u tác d ng c a t ủ ả ọ ụ ủ ộ ị ề ộ

EJ t khung có: = h ng s ; ế

40 3

kN m

nh trên hình (5-6a). Bi ư ằ ố

= = q r và . ng trên m t mét dài là: ộ

1 s

tr ng l ọ ượ

260

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Bài gi i:ả

Ta dùng ph ng pháp chuy n v đ gi i bài toán ươ ị ể ả ể

1) Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng ộ ố ầ ị

g --=1; nt = 0 nên n = ng + nt = 1

H có n ệ

nên ph (a) ươ ng trình t n s là: ầ ố r11 = 0

H c b n và bi u đ c nh trên hình (5-6b) ệ ơ ả ồ đ tra b ng đ ể ả ượ ư

261

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

đ ta đ

1M Xét cân b ng nút 1 trên bi u đ

)

(

)

ể ằ ồ c:ượ

r 11

m l ( 1

b 1

EJ m l l

EJ l

(b)

262

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

= l l

;

Trong đó, theo (3-42) ta có:

Kl 1 a

Kl 1 b

b 1

l 2

ch 2

Thay (c), (b) vào (a) đ c ph ượ ươ ng trình t n s : ố ầ

(

)

l ch

l sin (

l l sh c ) l l 1-ch cos

sin

� � � � c os � � � � � � � � = l l � � � � � � � � � os c sh � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ch � �

ổ

l l sh c 2

os -sh +sin =0

- (a)’ Sau khi bi n đ i ta đ ế ượ l ch c: l sin

263

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

(a)’ là ph ng trình siêu vi t, s có vô s nghi m; b ng cách gi i g n ươ ệ ẽ ệ ằ ố ả ầ

đúng ta xác đ nh đ c hai nghi m bé nh t ( ng v i hai t n s bé nh t) ị ượ ấ ứ ệ ầ ấ ố ớ

3,56

nh nhau: ư

K 1

l = 1

K l 1

7, 43

suy ra

l = 2

K l 2

3,56 l 7, 43 l

và suy ra

w = i

2 i

EJ m

(m là c ng phân b đ u) (f) ườ ng đ kh i l ộ ố ượ ố ề Theo (3-9):

264

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

2 2 và EJ vào (f) s m

2 kNs m

q g

kN 40 3 10

4 3

- - ng ố ượ (cid:0) Thay l=6 mét; kh i l ta có:

4 10 s 4

1 60, 7 ; s

(cid:0) (cid:0)

4 10 s 4

1 265,5 ; s

2 3,56 � � � � 6 � � 2 7, 43 � � � � 6 � �

(cid:0) (cid:0)

w w 3

Ta có th tính ti p các t n s b c cao h n ố ậ ế ể ầ ơ

265

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

2) V bi u đ biên đ n i l c mô men đ ng: ộ ộ ự ẽ ể ộ ồ

T các s li u c a bài toán, ta tính đ c thông s k theo (3-34) là: ố ệ ừ ủ ượ ố

40 3 10

0, 24(

)

(cid:0) - (cid:0)

mr EJ

4 10

(cid:0)

0, 24

1, 44

a 1

- nên (cid:0)

0, 24

m 3

0, 72

l 2

5,588652

- (cid:0)

r 11

EJ l

c: r i thay vào (b) ta tính đ ồ ượ

266

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Chú ý:

Đ tính r c: ể ượ

(1, 44) 0,989515

11 ta tra b ng ph l c đ ả m l ( 1 a 1 (0, 72)

m= )

b 1

m l ( 8

(cid:0) ụ ụ m= )

Còn không có trong b ng tra, nên ta ph i tra tr c ự ả ả

ti p theo công th c: ứ ế

2 l

l m l 8 ( )

A C l A B C D

Tra b ng A, B, C, D (λ) (v i λ=0,72) r i thay vào và ta tính đ c: ả ồ ớ ượ

A C l

= -

= 8(0, 72) 0,81573 ) ( = -

0, 75730

R 1

C A l K (

)

P K A B C D 2 l

còn -

267

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

trên vào ph ở ươ ng trình chính t c c a bài toán: ắ ủ

r Z 11 1

Thay r11 và R1P tính R+ 0

5,588652

0, 7573

= P

Z 1

EJ l

Z 1

hay

Pl EJ

0,12865 (m là vi t t (g) ế ắ ủ mét) t c a

Đ v bi u đ biên đ mô men đ ng (luôn luôn là đ ng cong) ta ể ẽ ể ộ ồ ộ ườ

ph i vi t bi u th c bi u di n s bi n đ i c a biên đ mô men đ ng ả ế ự ế ổ ủ ứ ễ ể ể ộ ộ

cho t ng thanh d a vào công th c thông s ban đ u (3-35). ứ ự ừ ầ ố

268

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

y (0)

' y (0)

* Xét thanh a-1: Ch n g c to đ đ u a, các thông s ban đ u g m: ạ ộ ở ầ ầ ố ố ồ ọ

(0)

(1, 44)

1, 0155 0,12865

0, 26129

Z 1

Pl EJ

= -

(cid:0) (cid:0)

(0)

(1, 44)

1, 02241 0,12865

0,13153

= - Z 1

EJ l EJ 6 2 l

EJ l EJ l

Pl = - EJ

(cid:0) (cid:0)

Thay các thông s ban đ u này vào (3-35) đ c: ầ ố ượ

[

]

M z ( )

0, 26129

0,54805

269

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

0,12865

y (0)

' (0)

Z 1

Pl EJ

* Xét thanh 1-b: Ch n g c to đ t i nút 1, có các thông s ban đ u: ạ ộ ạ ố ọ ầ ố

(0, 72)

0, 7573

= - P

0,50929

(0)

M Z M 1 1

0 P

Z 1

EJ l

)

(

)

D C l

(0, 72)

(0)

0 Q Z Q P

1 1

Z 1

B A l K (

)

A B C D

EJ )

(

9 (0, 72)

Tra b ng và các hàm A(0,72); B(0,72) vv... r i thay vào ta ả ồ

0,51335

(0)

tính đ c:ượ

270

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

L i thay các thông s v a tìm đ c vào (3-35) ta đ c ph ng trình ố ừ ạ ượ ượ ươ

= -

M(z) c a thanh 1-b nh sau: ư ủ

M z ( )

KEJ

0,50929

0,51335

+ PA KZ

1 K

(i)

( = -

)

M z ( )

0,18526

0,50929

2,1389

0,12865 EJ D

+ A KZ

V đ th hàm (h) và (i) ta đ ẽ ồ ị ượ c bi u đ biên đ mô men đ ng nh ư ể ồ ộ ộ

trên hình (5-6c).

271

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

VÍ D 5-4: Ụ

Xác đ nh t n s dao đ ng riêng c a d m liên t c cho trên hình (5-7a). ủ ụ ầ ầ ố ộ ị

Bi t d m có l, EJ, kh i l ế ầ ố ượ ng m = h ng s . ố ằ

Bài gi i:ả

D m đã cho có d ng đ i x ng, nên s có d ng dao đ ng riêng đ i ố ố ứ ẽ ạ ạ ầ ộ

x ng và d ng dao đ ng riêng ph n đ i x ng. ố ứ ứ ả ạ ộ

Ph ng trình dao đ ng t do-theo ph ươ ộ ự ươ ng pháp chuy n v -có d ng ể ạ ị

r Z =

11 1

nh sau: ư

272

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

Đây là ph ng trình tích, nên có th x y ra 2 tr ng h p. ươ ể ả ườ ợ

ạ ộ 1) Khi Z1=0, nghĩa là nút 1 không xoay, đây là d ng dao đ ng đ i ố

x ng. Lúc này d ng dao đ ng c a d m t ủ ứ ầ ạ ộ ươ ng ng v i m t n a h ệ ộ ử ứ ớ

nh trên hình (5-7b). Đây là d m 1 nh p m t đ u ngàm m t đ u kh p, ộ ầ ộ ầ ư ầ ớ ị

ng ng đã cho nh trong các t n s , ầ ộ ươ ứ ư ố ω4 và các d ng dao đ ng t ạ

b ng 3.1. ả

ố ứ ư ả ạ ộ 2) Khi r11=0, d ng dao đ ng có d ng ph n đ i x ng nh trên hình (5- ạ

7c).

( )

= ( ) 0

r 11

m l 5

EJ l

EJ m l l

V i d m đã cho, tra b ng có: ớ ầ ả

273

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

= =

( ) 0

m l 5

)

(

l sh 4 l sin

l sin l l sh c

l ch

suy ra -

Do m u s khác không nên sin λ=0 ẫ ố

p= =

i (

i 1, 2,...,

)

(cid:0) (i) (cid:0) Suy ra: (cid:0) (cid:0)

Thay λ tính theo (j) vào (3-9) ta đ c công th c t ng quát đ xác ượ ứ ổ ể

đ nh các t n s dao đ ng riêng t ầ ộ ố ị ươ ng ng v i dao đ ng ph n đ i ố ứ ả ộ ớ

p 2

x ng:ứ

w = i

EJ m

(k)

(i=1, 2,..., ∞ )

274

Chương 5: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Chương 5:

275

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 BÀI TẬP CHƯƠNG 5

1 c a các k t c u cho trên hình b ng

ố ủ ộ

ằ ầ ng pháp: Tính chính xác và tính g n đúng theo công th c ươ ế ấ ầ ứ

1) Tính t n s dao đ ng riêng ω hai ph c a S.A.Pestel. V bi u đ biên đ mô men đ ng. ủ ẽ ể ộ ộ ồ

276

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 BÀI TẬP CHƯƠNG 5

2) Xác đ nh t n s dao đ ng riêng bé nh t và v bi u đ biên đ mô ẽ ể ấ ầ ộ ồ ố ộ ị

men đ ng c a k t c u trên hình 2 b ng hai ph ng pháp: g n đúng ế ấ ủ ằ ộ ươ ầ

và chính xác.

Bi ng phân b trên 1 mét dài), b ng h ng s , ế ằ ằ ố ố

0, 25

(

met

)

P=20kN, t: EJ, m (là kh i l ố ượ EJ = ml

0, 25

(

met

)

m= 4

EJ ml

Cho: EJ, m = h ng s ằ ố

277

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 BÀI TẬP CHƯƠNG 5

t: EJ, 3) V bi u đ biên đ mômen đ ng, k t c u cho trên hình 3. Bi ộ ẽ ể ế ấ ộ ồ ế

m= h ng s ; K ằ ố ab=0,6 m-1; Kac=0,3 m-1; Kad=0,5 m-1.

278

Bài giảng Động lực học công trình - PGS. TS. Dương Văn Thứ

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG 1.1.1 Khái niệm về chu kỳ và tần số

Hình 1.1

powerpoint.vn

powerpoint.vn

1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay

powerpoint.vn

1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay

Hình 1.2

powerpoint.vn

powerpoint.vn

Hình 1.3

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

1.1.3 Lực cản và các mô hình lực cản

powerpoint.vn

powerpoint.vn

1.2 PT VI PHÂN DAO Đ NG NGANG T NG QUÁT C A H 1 B C T DO

Ậ Ự

Ộ

Ổ

Ủ

Ệ

Hình 1.6

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

1.3 DAO ĐỘNG TỰ DO­TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO ( HAY TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG ) 1.3.1 Dao động tự do không có lực cản

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

Hình 1.7

powerpoint.vn

Hình 1.8

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

Hình 1.9b, 1.9c

powerpoint.vn

powerpoint.vn

Hình 1.10

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

powerpoint.vn

Hình 1.15

powerpoint.vn

1.3 DAO ĐỘNG TỰ DOTẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO ( HAY TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG ) 1.3.1 Dao động tự do không có lực cản