intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Tích phân đường - Tăng Lâm Tường Vinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST
Báo xấu
11
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Tích phân đường, cung cấp cho người học những kiến thức như Tích phân đường loại I; Tích phân đường loại II; Các ví dụ. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Tích phân đường - Tăng Lâm Tường Vinh

  1. Tích phân đường Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 05/2020 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 1 / 66
  2. Nội dung 1 Tích phân đường loại I 2 Tích phân đường loại II 3 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 2 / 66
  3. 1.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Đặt vấn đề các ví dụ mục bài Diện tích “hàng phân đường loại một 1.1 Tích rào” f (x, y) ≥ đề Cho hàm số z =1.1.1 Đặt vấn0 và đường cong C trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy tính diện tích của “hàng rào” dọc theo đường zC f (x,có chiềuđường congmỗi điểm (x, y) là f (x,Hãy tính diện tích Cho hàm số = và y) 0 và cao tại C trong mặt phẳng tọa độ Oxy. y). của "hàng rào" dọc theo đường C và có chiều cao tại mỗi điểm (x, y) là f (x, y). TĂNG LÂM TƯỜNG VINH 1.1: Diện tích của "hàng rào" dọc theo đường C và cóphân đường mỗi điểm (x, y) là f (x, y). Hình Tích chiều cao tại 3 / 66
  4. Đặt vấn đề các ví dụ mục bài Cho đường cong trơn C =AB xác định trong mặt phẳng Oxy. Ta sẽ chia cung AB thành những cung nhỏ Ai−1 Ai bởi những điểm A0 = A, A1 , . . . , An = B. Độ dài của những cung nhỏ Ai−1 Ai được kí hiệu là ∆ i và λ = max ∆ i . Ta chọn 1.1 Tích phân đường loại một i (xi , yi ) trên cung Ai−1 Ai . bất kì tương ứng M 3 i Hìnhn Chia cung AB thành những cung nhỏ Ai−1 Ai 1.2: Diện tích của “hàng rào” cần tìm là S ≈ f (xi , yi )∆ i . Đây là tổng Riemann và khi lấy giới hạn tổng này với Diện tích của "hàng rào" cần tìm là i=1 n λ → 0 ta được tích phân đường loại I. S≈ f (xi , yi ).∆ i i=1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 4 / 66
  5. Tích phân đường loại I các ví dụ mục bài Định nghĩa 1 Nếu f (x, y) là hàm số xác định trên đường cong trơn C =AB thì tích phân đường loại I của f dọc theo C là n f (x, y) d = lim f (xi , yi )∆ i (1) λ→0 AB i=1 Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại I không phụ thuộc hướng của đường cong C vì việc chọn hướng của C không ảnh hưởng đển tổng Riemann. f (x, y) d = f (x, y) d (2) AB BA TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 5 / 66
  6. Tích phân đường loại I các ví dụ mục bài Định lý 1 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên cung AB. Khi đó b 2 2 f (x, y) d = f x(t), y(t) x (t) + y (t) dt (3) AB a Chú ý: Khi lấy tích phân theo cung AB chúng ta không quan tâm đến việc điểm A hay B là điểm đầu hay điểm cuối của cung, mà chỉ quan tâm đến giá trị của t ∈ [a, b]. Khi đó tích phân sẽ luôn được tính bằng cách lấy cận từ cận nhỏ a đến cận lớn b. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 6 / 66
  7. Tích phân đường loại I xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 1 Tính I = (2 + x2 y) d với C là nửa đường tròn x2 + y 2 = 1, y ≥ 0. C TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 7 / 66
  8. Giải Ví dụ 1 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 1 Tính I = (2 + x2 y) d với C là nửa đường tròn x2 + y 2 = 1, y ≥ 0. C  x = cos t    x (t) = − sin t Đặt y = sin t ⇒ . Khi đó   y (t) = cos t  0≤t≤π π π 2 2 I = (2 + cos t · sin t) (− sin t)2 + (cos t)2 dt = (2 + cos2 t · sin t) dt = 2π + . 3 0 0 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 8 / 66
  9. Cung AB có phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b các ví dụ mục bài Định lý 2 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên cung AB. Khi đó b 2 f (x, y) d = f x, y(x) 1 + y (x) dx (4) AB a Chú ý: Trong trường hợp đặc biệt khi y = y(x) = 0 thì b f (x, y) d = f (x, 0) dx AB a TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 9 / 66
  10. Tích phân đường loại I xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 2 y x2 Tính I = d với C là cung của parabol y = nối hai điểm A(1, 1/2) và x 2 C B(2, 2). TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 10 / 66
  11. Giải Ví dụ 2 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 2 y x2 Tính I = d với C là cung của parabol y = nối hai điểm A(1, 1/2) và B(2, 2). x 2 C 2 √ Ta có d = 1 + y (x) dx = 1 + x2 dx, 1 ≤ x ≤ 2. Khi đó 2 √ √ y x2 /2 5 5−2 2 I= d = 1+ x2 dx = . x x 6 C 1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 11 / 66
  12. Cung AB có phương trình x = x(y), c ≤ y ≤ d các ví dụ mục bài Định lý 3 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên cung AB. Khi đó d 2 f (x, y) d = f x(y), y 1 + x (y) dy (5) AB c Chú ý: Trong trường hợp đặc biệt khi x = x(y) = 0 thì b f (x, y) d = f (0, y) dy AB a TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 12 / 66
  13. Tích phân đường loại I xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 3 Tính I = xy d với C là cung của parabol x = y 2 nối hai điểm A(0, 0) và √ C B(2, 2). TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 13 / 66
  14. Giải Ví dụ 3 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 3 √ Tính I = xy d với C là cung của parabol x = y 2 nối hai điểm A(0, 0) và B(2, 2). C 2 √ Ta có d = 1 + x (y) dy = 1 + 4y 2 dy, 0 ≤ y ≤ 2. Khi đó √ 2 149 I= xy d = y2 · y 1 + 4y 2 dy = . 60 C 0 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 14 / 66
  15. Cung AB cho trong hệ tọa độ cực các ví dụ mục bài Định lý 4 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên cung AB . Khi đó β 2 2 f (x, y) d = f r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ r(ϕ) + r (ϕ) dϕ (6) AB α TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 15 / 66
  16. Tích phân đường loại I xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 4 Tính I = x2 + y 2 d với C là đường cong xác định trong hệ tọa độ cực bởi C phương trình r 2 = cos 2ϕ, ϕ ∈ [−π/4, π/4]. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 16 / 66
  17. Giải Ví dụ 4 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 4 Tính I = x2 + y 2 d với C là đường cong xác định trong hệ tọa độ cực bởi phương trình r 2 = cos 2ϕ, C ϕ ∈ [−π/4, π/4]. Ta có 2 2 sin2 2ϕ 1 r(ϕ) + r (ϕ) = cos 2ϕ + = . cos 2ϕ cos 2ϕ Khi đó π/4 π/4 1 π I = cos 2ϕ · √ dϕ = dϕ = . cos 2ϕ 2 −π/4 −π/4 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 17 / 66
  18. Trong không gian các ví dụ mục bài Định lý 5 Cho hàm số f (x, y, z) liên tục trên cung AB . Khi đó b 2 2 2 f (x, y, z) d = f x(t), y(t), z(t) x (t) + y (t) + z (t) dt (7) AB a TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 18 / 66
  19. Tích phân đường loại I xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 5 Tính I = y sin z d với C : x = cos t, y = sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π. C TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 19 / 66
  20. Giải Ví dụ 5 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 5 Tính I = y sin z d với C : x = cos t, y = sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π. C Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x (t) = − sin t, y (t) = cos t, z (t) = 1. Theo công thức tính tích phân đường loại I trong không gian, ta có 2π 2π √ √ I = sin t · sin t (− sin t)2 + (cos t)2 + 12 dt = 2 sin2 t dt = 2π. 0 0 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 20 / 66
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2