Bài giảng môn học "Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 8: Hệ thống điều khiển phi tuyến" cung cấp cho người học các khái niệm về hệ phi tuyến, đặc điểm của hệ phi tuyến, các khâu phi tuyến đơn giản, mô tả toán học hệ phi tuyến, các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóa, phương pháp hàm mô tả, phương pháp Lyapunov. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Moân hoïc Moân hoïc
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
1
Chöông 8 Chöông 8
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
2
(cid:145) Khaùi nieäm
(cid:142) Ñònh nghóa (cid:142) Ñaëc ñieåm cuûa heä phi tuyeán (cid:142) Caùc khaâu phi tuyeán ñôn giaûn (cid:142) Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán (cid:142) Caùc phöông phaùp khaûo saùt heä phi tuyeán
(cid:145) Phöông phaùp tuyeán tính hoùa (cid:145) Phöông phaùp haøm moâ taû (cid:145) Phöông phaùp Lyapunov
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
3
Noäi dung chöông 9 Noäi dung chöông 9
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
4
(cid:145) Heä phi tuyeán laø heä thoáng trong ñoù quan heä vaøo – ra khoâng theå moâ
Khaùi nieäm veà heä phi tuyeán Khaùi nieäm veà heä phi tuyeán
(cid:145) Phaàn lôùn caùc ñoái töôïng trong töï nhieân mang tính phi tuyeán.
(cid:142) Heä thoáng thuûy khí (TD: boàn chöùa chaát loûng,…), (cid:142) Heä thoáng nhieät ñoäng hoïc (TD: loø nhieät,…), (cid:142) Heä thoáng cô khí (TD: caùnh tay maùy,….), (cid:142) Heä thoáng ñieän – töø (TD: ñoäng cô, maïch khueách ñaïi,…) (cid:142) Heä thoáng vaät lyù coù caáu truùc hoãn hôïp,…
(cid:145) Tuøy theo daïng tín hieäu trong heä thoáng maø heä phi tuyeán coù theå
taû baèng phöông trình vi phaân/sai phaân tuyeán tính.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
5
chia laøm hai loaïi: (cid:142) Heä phi tuyeán lieân tuïc (cid:142) Heä phi tuyeán rôøi raïc. Noäi dung moân hoïc chæ ñeà caäp ñeán heä phi tuyeán lieân tuïc.
(cid:145) Heä phi tuyeán khoâng thoûa maõn nguyeân lyù xeáp choàng.
(cid:145) Tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán khoâng chæ phuï thuoäc vaøo caáu truùc,
Tính chaát cuûa heä phi tuyeán Tính chaát cuûa heä phi tuyeán
(cid:145) Neáu tín hieäu vaøo heä phi tuyeán laø tín hieäu hình sin thì tín hieäu ra ngoaøi thaønh phaàn taàn soá cô baûn (baèng taàn soá tín hieäu vaøo) coøn coù caùc thaønh phaàn haøi baäc cao (laø boäi soá cuûa taàn soá tín hieäu vaøo).
(cid:145) Heä phi tuyeán coù theå xaûy ra hieän töôïng dao ñoäng töï kích.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
6
thoâng soá cuûa heä thoáng maø coøn phuï thuoäc vaøo tín hieäu vaøo.
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu relay 2 vò trí Khaâu relay 2 vò trí Khaâu relay 3 vò trí Khaâu relay 3 vò trí
y y
Ym Ym
u u D −D
sgn( u
)
(
|
sgn(u
)
y
=
Yy m=
(
| Du ≥ | Du <
neáu | neáu
) )
Y m 0
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
7
−Ym −Ym
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa Khaâu khueách ñaïi coù mieàn cheát Khaâu khueách ñaïi coù mieàn cheát
y y
Ym Ym K
u u −D −D
D D
(
sgn( u
))
(
|
DuK −
)
sgn( u
(
|
y
=
y
=
(
| Du ≥ Du | <
0
neáu | neáu
) )
(
| Du > | Du ≤
neáu | neáu
) )
/
)
Y m Ku ( DYK m=
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
8
−Ym
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu relay 2 vò trí coù treå Khaâu relay 2 vò trí coù treå Khaâu relay 3 vò trí coù treå Khaâu relay 3 vò trí coù treå
y y
Ym
Ym
u u −D
-D D D
−Ym
sgn( u
)
(
|
y
=
)
(
| Du ≥ | Du <
neáu | neáu
) )
u sgn( &
Y m Y − m
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
9
−Ym
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa coù treå Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa coù treå
y
Ym Ym
u −D
D
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
10
−Ym
(cid:145) Quan heä vaøo – ra cuûa heä phi tuyeán lieân tuïc coù theå bieåu dieãn döôùi
Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân
n
1 −
d
g
tu )(,
,
,
,
ty (
),
,
,
=
ty )( n 1 −
L
L
tdy )( dt
tdu )( dt
n tyd )( n dt
dt
m tud )( m dt
daïng phöông trình vi phaân phi tuyeán baäc n:
trong ñoù: u(t) laø tín hieäu vaøo,
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
11
y(t) laø tín hieäu ra, g(.) laø haøm phi tuyeán
Thí duï 1 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân –– Thí duï 1 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân
qin
u(t)
y(t) qout
t )(
=
−
(cid:145) Phöông trình caân baèng:
tq )( in
q out
tku )(
=
a: tieát dieän van xaû A: tieát dieän ngang cuûa boàn g: gia toác troïng tröôøng k: heä soá tæ leä vôùi coâng suaát bôm CD: heä soá xaû
tyA )( & tqin )(
t )(
aC
2
tgy )(
=
q out
D
trong ñoù:
aC
2
tgy
=
−
⇒ (heä phi tuyeán baäc 1)
D
ty )( &
1 A
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
12
Thí duï 2 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân –– Thí duï 2 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân
l
m
J: moment quaùn tính cuûa caùnh tay maùy M: khoái löôïng cuûa caùnh tay maùy m: khoái löôïng vaät naëng l: chieàu daøi caùnh tay maùy lC : khoaûng caùch töø troïng taâm tay maùy ñeán truïc quay B: heä soá ma saùt nhôùt g: gia toác troïng tröôøng u(t): moment taùc ñoäng leân truïc quay cuûa caùnh tay maùy θ(t): goùc quay (vò trí) cuûa caùnh tay maùy
2
ml
J
(
(
ml
cos
tu )(
)
(cid:145) Theo ñònh luaät Newton + +
+
+
θ
=
)() t θ &&
tB )( θ &
u θ
t )(
cos
tu )(
g
−=
−
θ
+
)( t θ &&
θ &
2
2
)
(
J
ml ( ( J
)
(
J
gMl C Ml ) C 2 ml )
B ml +
+ +
1 ml +
⇒
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
13
(heä phi tuyeán baäc 2)
Thí duï 3 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân –– Thí duï 3 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân
δ: goùc baùnh laùi ψ: höôùng chuyeån ñoäng
Höôùng chuyeån ñoäng
δ(t)
ψ(t)
cuûa taøu
(cid:145) Phöông trình vi phaân moâ taû ñaëc tính ñoäng hoïc heä thoáng laùi taøu
t )(
t )(
t )(
t )(
t )(
+
+
+
−
−=
k: heä soá τi: heä soá
ψ &&&
ψ &
1 1 + ττ 2
1
1 ττ 21
k ττ 21
ψ &&
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
14
(heä phi tuyeán baäc 3)
(cid:145) Heä phi tuyeán lieân tuïc coù theå moâ taû baèng phöông trình traïng thaùi:
Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùii Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaù
tut ), ( )) ( tut ), ))
= =
trong ñoù: u(t) laø tín hieäu vaøo,
y(t) laø tín hieäu ra,
x(t) laø vector traïng thaùi,
x(t) = [x1(t), x2(t),…,xn(t)]T
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
15
f(.), h(.) laø caùc haøm phi tuyeán
(cid:145) PTVP:
Thí duï 1 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi –– Thí duï 1 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi
aC
2
tgy
=
−
qin
D
ty )( &
1 A
u(t)
(cid:145) Ñaët bieán traïng thaùi:
ty )(
=
tx )(1
(cid:145) PTTT:
y(t) qout
tut ), ( )) tut ), ( ))
= =
aC
)( t
D
gx 1
trong ñoù:
tu )(
),( u
−=
+
2 A
k A
h
tut ), (
))
=
1 tx )(
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
16
(cid:145) PTVP:
Thí duï 2 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi –– Thí duï 2 Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi
t )(
g
cos
tu )(
+
−=
−
θ
)( t θ &&
θ &
2
2
l
)
(
J
ml ( ( J
Ml ) C 2 ) ml
)
(
J
+ +
1 ml +
B ml +
m
)( t
=
θ
(cid:145) Ñaët bieán traïng thaùi:
)( t
=
θ &
)( tx 1 )( tx 2
(cid:145) PTTT:
u θ
tut ), ( )) ), tut ( ))
= =
trong ñoù:
u ),(
=
tu )(
cos
−
+
−
tx )( 1
tx )( 2
2
2
J
J
)
(
gMl C 2 ml
tx )( 2 ml ( J (
) )
)
(
+ +
B ml +
1 ml +
h
tut ), (
))
=
1 tx )(
17
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
(cid:145) Khoâng coù phöông phaùp naøo coù theå aùp duïng hieäu quaû cho moïi heä
Caùc phöông phaùp khaûo saùt heä phi tuyeán Caùc phöông phaùp khaûo saùt heä phi tuyeán
(cid:145) Moân hoïc ñeà caäp ñeán moät soá phöông phaùp thöôøng duøng sau ñaây:
(cid:142) Phöông phaùp tuyeán tính hoùa
(cid:142) Phöông phaùp haøm moâ taû
(cid:142) Phöông phaùp Lyapunov
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
18
phi tuyeán.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
19
(cid:145) Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT phi tuyeán:
Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán
tut ), ( )) ), tut ( ))
= =
u
(cid:145) Ñieåm traïng thaùi ñöôïc goïi laø ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán neáu nhö heä ñang ôû traïng thaùi vaø vôùi taùc ñoäng ñieàu khieån coá ñònh, khoâng ñoåi cho tröôùc thì heä seõ naèm nguyeân taïi traïng thaùi ñoù.
,( ux
)
(cid:145) Neáu laø ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán thì:
tut ), (
))
0
uu ,
==
(cid:145) Ñieåm döøng coøn ñöôïc goïi laø ñieåm laøm vieäc tónh cuûa heä phi tuyeán
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
20
(cid:145) Cho heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT:
( ). )( txtx u + 2 1 )(2)( tx tx + 2 1
=
)( tx & 1 )( tx & 2
Thí dụ Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán –– Thí dụ Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán
tu )(
1
== u
(cid:145) Giaûi:
Xaùc ñònh ñieåm döøng cuûa heä thoáng khi
Ñieåm döøng laø nghieäm cuûa phöông trình:
tut ( ),
))
0
uu ,
==
. 01 xx =+ 1 2 0 2 x x = + 1 2
2
=
−=
x 1
x 1
⇔
−=
+=
x 2
x 2
2 2
2 2 2
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
21
⇔ hoaëc
(cid:145) Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT phi tuyeán:
t )(
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh
tut ), (
))
=
h
tut ), (
))
=
,( ux
)
(cid:145) Khai trieån Taylor f(x,u) vaø h(x,u) xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh ta coù theå moâ taû heä thoáng baèng PTTT tuyeán tính:
+
=
(*)
+
=
t )(
=
trong ñoù:
)( tu ty )(
− u y
= =
− −
(
y
h
u
))
=
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
22
(cid:145) Caùc ma traän traïng thaùi cuûa heä tuyeán tính quanh ñieåm laøm vieäc
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh
L
tónh ñöôïc tính nhö sau:
=
L
=
f ∂ 1 u ∂ f ∂ 2 u ∂ M f ∂ n u ∂
(
)
K
f ∂ 1 x ∂ 1 f ∂ 2 x ∂ 1 M f ∂ n x ∂ 1
f f ∂ ∂ 1 1 x x ∂ ∂ 2 n f f ∂ ∂ 2 2 x x ∂ ∂ 2 n MOM f f ∂ ∂ n n x x ∂ ∂ 2 n
(
)
=
=
K
h ∂ u ∂
)
h ∂ x ∂ 1
h ∂ x ∂ 2
h ∂ nx ∂
(
)
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
23
Thí duï 1 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 1 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán
2
2
a
A
cm
cm 1
,
100
=
=
Thoâng soá heä boàn chöùa :
3
qin
k
cm
150
/
sec
CV . ,
8.0
=
=
D
u(t)
2
g
cm
981
/
sec
=
t )(
y(t) qout
tut ), (
))
=
(cid:145) PTTT:
h
tut ), (
))
=
aC
)( t
gx 1
D
trong ñoù:
tu )(
.0
3544
.0
9465
tu )(
),( u
−=
+
−=
+
tx )( 1
k A
h
tut ), (
))
=
2 A 1 tx )(
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
24
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 1 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán (tt) Thí duï 1 (tt)
(cid:145) Xaùc ñònh ñieåm laøm vieäc tónh:
20
9465
.0=u⇒
1 =x uxf ,(
)
.0
3544
u 5.1
0
−=
+
=
x 1
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
25
Tuyeán tính hoùa heä boàn chöùa quanh ñieåm y = 20cm:
(cid:145) Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
g
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 1 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán (tt) Thí duï 1 (tt)
.0
0396
=
−=
−=
5.1
=
=
=
aC 2
k A
f ∂ 1 u ∂
2 D xA 1
(
)
(
)
f ∂ 1 x ∂ (1
)
(
)
0
=
=
1
=
=
h ∂ u ∂
(
)
h ∂ x ∂ (1
)
(cid:145) Vaäy PTTT moâ taû heä boàn chöùa quanh ñieåm laøm vieäc y=20cm laø:
0396
t
aC
)( t
D
gx 1
tu )(
),( u
−=
+
2 A
k A
h
tut ), (
))
=
1 tx )(
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
26
Thí duï 2 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 2 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán
,2.0
mm
1.0
kg
=
=
=
lm ,5.0 C
Thoâng soá caùnh tay maùy : l l
2
02.0
M
,5.0 kg
J
. mkg
=
=
m
2
B
,005.0
g
81.9
m
/
sec
=
=
t )(
u θ
tut ( ),
))
=
(cid:145) PTTT:
h
tut ( ),
))
=
trong ñoù:
u ),(
=
tu )(
cos
−
+
−
tx )( 1
tx )( 2
2
2
J
J
)
(
gMl C 2 ml
tx )( 2 ml ( J (
) )
)
(
+ +
B ml +
1 ml +
h
tut ), (
))
=
1 tx )(
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
27
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 2 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán (tt) Thí duï 2 (tt)
(cid:145) Xaùc ñònh ñieåm laøm vieäc tónh:
6/
1 π=x
0
=
x 2 (
Tuyeán tính hoùa heä tay maùy quanh ñieåm laøm vieäc y = π/6 (rad):
,
)
0
u
=
=
cos
x
u
−
+
−
.1
2744
x 2 =
x 1
2
2
2
u
) )
)
(
)
(
J
J
ml ( J
gMl C 2 ml
+ +
B ml +
1 ml +
⇒
=
x 1 x 2
=
2744
.1=u
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
28
Do ñoù ñieåm laøm vieäc tónh caàn xaùc ñònh laø: 6/ π 0
(cid:145) Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 2 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán (tt) Thí duï 2 (tt)
=
a 11 a 21
a 12 a 22
0
=
=
a 11
1
=
=
a 12
)
f ∂ 1 x ∂ (1
f ∂ 1 x ∂ (2
)
sin
=
=
tx )( 1
a 21
ml ( ( J
Ml ) C 2 ml )
+ +
(
)
f ∂ 2 x ∂ (1
)
=
−=
a 22
2
)
(
J
B ml +
(
)
f ∂ 2 x ∂ (2
)
),( u
=
cos
)( tu
−
−
+
)( tx 1
)( tx 2
2
2
) )
)
(
)( tx 2 ( ml ( J
gMl C 2 ml
)
(
J
J
+ +
B ml +
1 ml +
29
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
(cid:145) Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 2 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán (tt) Thí duï 2 (tt)
=
b 1 b 2
0
=
=
b 1
f ∂ 1 u ∂
(
)
=
=
b 2
2
f ∂ 2 u ∂
J
1 ml +
(
)
u ),(
=
cos
tu )(
−
+
−
tx )( 1
tx )( 2
2
2
) )
)
(
)
(
J
J
tx )( 2 ml ( J (
gMl C 2 ml
+ +
B ml +
1 ml +
30
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
(cid:145) Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
0
=
=
c 2
1
=
=
c 1
[ c=C 1
]2 c
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán –– Thí duï 2 Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán (tt) Thí duï 2 (tt)
h ∂ x ∂ (2
)
h ∂ x ∂ (1
)
0
=
=
d 1
1d=D
h ∂ u ∂
(
)
+
=
(cid:145) Vaäy phöông trình traïng thaùi caàn tìm laø:
+
=
0=D
=
=
]01=C [
0 a 21
1 a 22
0 b 2
h
=
1 tx )(
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
31
(cid:145) Ñöa heä phi tuyeán veà mieàn xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh (ñôn
(cid:145) Xung quanh ñieåm laøm vieäc, duøng boä ñieàu khieån kinh ñieån thieát keá döïa vaøo moâ hình tuyeán tính (phoå bieán nhaát laø boä ñieàu khieån PID).
giaûn nhaát coù theå duøng boä ñieàu khieån ON-OFF)
PID
+ −
r(t) e(t) u(t) y(t)
Ñoái töôïng phi tuyeán
ON-OFF
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
32
Choïn boä ÑK
PID
+ −
r(t) e(t) u(t) y(t)
Ñoái töôïng phi tuyeán
ON-OFF
(cid:145) Thuaät toaùn choïn boä ñieàu khieån:
<
khieån
-ON
OFF
e max te )(
> ≤
e choïn min ñieàu boä
boä ñieàu khieån
PID
te )( Neáu e Neáu min
te )( hoaëc e ≤ choïn max
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
33
Choïn boä ÑK
PID
+ −
r(t) e(t) u(t) y(t)
Ñoái töôïng phi tuyeán
ON-OFF
(cid:145) Thuaät toaùn ñieàu khieån ON-OFF:
te )(
u
>
=
Neáu
thì
te )(
u
<
=
Neáu
max
e tu )( max e tu )( thì min
min
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
34
Choïn boä ÑK
PID
+ −
r(t) e(t) u(t) y(t)
Ñoái töôïng phi tuyeán
ON-OFF
(cid:145) Thuaät toaùn ñieàu khieån PID:
)( tu
K
=
+
)( d ττ
+
)( teK P
D
)( tde dt
t eK ∫ I 0
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
35
Choïn boä ÑK
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
36
(cid:145) Phöông phaùp haøm moâ taû môû roäng gaàn ñuùng haøm truyeàn ñaït cuûa heä
Phöông phaùp haøm moâ taû Phöông phaùp haøm moâ taû
(cid:145) Phöông phaùp haøm moâ taû laø phöông phaùp khaûo saùt trong mieàn taàn soá coù theå aùp duïng cho caùc heä phi tuyeán baäc cao (n>2) do deã thöïc hieän vaø töông ñoái gioáng tieâu chuaån Nyquist.
(cid:145) Chæ aùp duïng ñöôïc ñeå khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán goàm coù khaâu phi tuyeán noái tieáp vôùi khaâu tuyeán tính theo sô ñoà khoái nhö sau:
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
37
tuyeán tính sang heä phi tuyeán.
tu )(
...
=
+
+
sin(
)
Mte )( =
t ω
tu )( 1
tu )( 2
ty )(
sin(
t
)
≈
Y 1
ϕω + 1
(cid:145) Ñeå khaûo khaû naêng toàn taïi dao ñoäng tuaàn hoaøn khoâng taét trong heä,
sin(
)
t ω
Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin
(cid:145) Tín hieäu ra khaâu phi tuyeán khoâng phaûi laø tín hieäu hình sin. Phaân tích Fourier ta thaáy u(t) chöùa thaønh phaàn taàn soá cô baûn ωvaø caùc thaønh phaàn haøi baäc cao 2ω, 3ω...
sin(
)
B
cos(
)]
tu )(
=
tk ω
+
tk ω
+
A k
k
A 0 2
∞ ∑ [ k 1 =
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
38
ôû ñaàu vaøo khaâu phi tuyeán ta cho taùc ñoäng soùng ñieàu hoøa: Mte )( =
Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin
π
)
t ω
=
A 0
∫
1 π
dtu ()( π − π
sin(
)
=
dtk t () ωω
Ak
∫
1 π
tu )( π −
π
cos(
)
=
dtn t () ωω
Bk
∫
1 π
tu )( π −
(cid:145) Giaû thieát G(s) laø boä loïc thoâng thaáp, caùc thaønh phaàn haøi baäc cao ôû ngoõ ra cuûa khaâu tuyeán tính khoâng ñaùng keå so vôùi thaønh phaàn taàn soá cô baûn, khi ñoù tín hieäu ra cuûa khaâu tuyeán tính gaàn ñuùng baèng:
ty )(
sin(
t
)
≈
Y 1
ϕω + 1
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
39
Caùc heä soá Fourier xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc sau:
...
tu )(
=
+
+
sin(
)
Mte )( =
t ω
tu )( 1
tu )( 2
ty )(
sin(
t
)
≈
Y 1
ϕω + 1
(cid:145) Ñieàu kieän ñeå trong heä coù dao ñoäng oån ñònh vôùi taàn soá ωlaø:
M
sin(
)
te )(
ty )(
sin(
t
)
t ω
=
−=
−≈
Y 1
+ ϕω 1
(cid:145) Suy ra:
Ñieàu kieän coù dao ñoäng oån ñònh trong heä phi tuyeán Ñieàu kieän coù dao ñoäng oån ñònh trong heä phi tuyeán
1 MY = = πϕ1
Phöông trình caân baèng bieân ñoä
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
40
Phöông trình caân baèng pha
(cid:145) Xeùt khaâu phi tuyeán :
sin(
)
(cid:145) Do khi tín hieäu vaøo cuûa khaâu phi tuyeán laø tín hieäu hình sin: Mte )( =
t ω
cos(
tu )(
sin(
)
) t ω +
t ω
=
≈
Khaùi nieäm haøm moâ taû Khaùi nieäm haøm moâ taû
B 1
A 1
tín hieäu ra u(t) xaáp xæ thaønh phaàn taàn soá cô baûn (do ta boû qua caùc thaønh phaàn haøi baäc cao) tu )( 1
A 1
jB 1
MN (
)
=
+ M
(cid:145) Toång quaùt N(M) laø moät haøm phöùc neân ta goïi laø heä soá khueách ñaïi phöùc cuûa khaâu phi tuyeán. Vì quan heä vaøo ra cuûa khaâu phi tuyeán coù theå moâ taû gaàn ñuùng baèng heä soá khueách ñaïi phöùc N(M) neân N(M) coøn ñöôïc goïi laø haøm moâ taû cuûa khaâu phi tuyeán.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
41
neân ta coù theå coi khaâu phi tuyeán nhö laø moät khaâu khueách ñaïi coù heä soá khueách ñaïi laø:
(cid:145) Haøm moâ taû (hay coøn goïi laø heä soá khueách ñaïi phöùc) laø tæ soá giöõa thaønh phaàn soùng haøi cô baûn cuûa tín hieäu ra cuûa khaâu phi tuyeán vaø tín hieäu vaøo hình sin.
A 1
jB 1
)
( MN
=
+ M
sin(
)
=
dt t () ωω
cos(
)
=
dt t () ωω
A 1
B 1
1 π
1 π
π tu )( ∫ π −
π tu )( ∫ π −
(cid:145) Trong caùc coâng thöùc treân u(t) laø tín hieäu ra cuûa khaâu phi tuyeán khi
Ñònh nghóa haøm moâ taû Ñònh nghóa haøm moâ taû
π
tu )(
sin(
)
=
dt t () ωω
0
A 1
1 =B
2 ∫ π 0
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
42
tín hieäu vaøo laø Msin(ωt). Neáu u(t) laø haøm leû thì:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
43
Khaâu relay 2 vò tríí Khaâu relay 2 vò tr
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
(tt) Khaâu relay 2 vò tríí (tt) Khaâu relay 2 vò tr
π
π
π
)( tu
sin(
)
V
sin(
)
cos(
)
=
=
=
=
() dt t ωω
() dt t ωω
t ω
A 1
m
∫
∫
2 π
2 V m π
4 V m π
2 π
0
=
t ω
0
0
0
1 =B
Do u(t) laø haøm leû neân:
A 1
jB 1
MN (
)
=
=
+ M
V 4 m M π
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
44
Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
45
Khaâu relay 3 vò tríí Khaâu relay 3 vò tr
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
0
Khaâu relay 3 vò tríí Khaâu relay 3 vò tr
− απ
π
sin(
)
sin(
)
cos(
)
cos
1 =B − απ V
)( tu
() dt t ωω
() dt t ωω
t ω
α
=
=
=
=
A 1
m
∫
∫
2 π
2 V m π
4 V m π
2 π
t = αω
0
α
2
D
sin
sin
cos
1
α
α
α
MD =
⇒
=
−
Do u(t) laø haøm leû neân
2
D ⇒= M
M
2
1
=
−
Theo ñoà thò ta coù:
A 1
2
4 V m π
D M
⇒
2
D
A 1
jB 1
MN (
)
1
=
=
−
2
+ M
V 4 m M π
M
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
46
Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 3 vò trí laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
47
Khaâu khueáách ch ññaaïïi baõo ho Khaâu khue i baõo hoøøaa
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu khueáách ch ññaaïïi baõo ho Khaâu khue a (tt) i baõo hoøøa (tt)
1 =B
)( tu
sin(
)
sin(
)
() dt t ωω
() dt t ωω
=
=
A 1
2
sin
sin(
)
)
() ( dt t ωω
() dt t ωω
=
+
MV m D
0 2/ 4 π )( tu ∫ π 0 2/ π V ∫ m α
π 2 ∫ π 0 α 4 ∫ π 0
2/
α
π
cos(
)
() dt t ωω
=
−
−
V m
MV m 2 D
t )2 sin( ω 2
4 π
0
t ω
=
t ω
t αω =
sin(
)2 α
=
+
cos
=
−
( 2 α
V m
sin( )2 α 2
4 π
)
VM m π D
α
+
MV m 2 D
α
Do u(t) laø haøm leû neân
A 1
jB 1
)
sin(
( MN
=
=
+
=
αsin
[ 2 α
])2 α
+ M
V m D π
D M
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
48
Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu khueách ñaïi baõo hoøa laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
49
ng cheáátt Khaâu khueáách ch ññaaïïi coi coùù vuvuøøng che Khaâu khue
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu khueáách ch ññaaïïi coi coùù vuvuøøng che Khaâu khue t (tt) ng cheáát (tt)
0
1 =B
π
π
2/ MK [
sin(
]
sin(
)
=
ω
Dt ) −
() dt t ωω
tu )(
sin(
)
=
() dt t ωω
A 1
∫
∫
4 π
2 π
α
0
2/
4
cos(
)
t ω
=
−
)2 sin( t ω 2
D M
KM π
+
t ω
π α
2 α
)2 α
+
KM
1
=
−
sin( π
Do u(t) laø haøm leû neân
2 α
α
A 1
jB 1
K
MN (
)
1
=
=
−
=
αsin
+ M
2sin + π
D M
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
50
Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu khueách ñaïi coù vuøng cheát laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
51
Khaâu relay 2 vò tríí cocoùù tretreåå Khaâu relay 2 vò tr
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
sin(
)
2 + απ tu )(
dt t () ωω
=
sin(
)
dt t () ωω
=
cos
α
=
A 1
∫
∫
1 π
2 π
4 mV π
α
απ + Vm α
2 + απ tu )(
cos(
)
dt t () ωω
=
cos(
)
dt t () ωω
=
sin
α
−=
B 1
∫
∫
1 π
2 π
4 mV π
α
απ + Vm α
(tt) Khaâu relay 2 vò tríí cocoùù tretreåå (tt) Khaâu relay 2 vò tr
A 1
jB 1
αsin
=
)
(cos
j
sin
( MN
=
=
α
−
) α
D M
+ M
4 V m M π
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
52
Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí coù treå laø:
(cid:145) Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau:
(cid:145) Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán
jG (
) −=ω
1
(
(
0
ωjGMN ) )
+
=
1 MN (
)
(cid:145) Phöông trình treân ñöôïc goïi laø phöông trình caân baèng ñieàu hoøa. Phöông trình naøy seõ ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá cuûa dao ñoäng ñieàu hoøa trong heä phi tuyeán.
(cid:145) Neáu (M*, ω*) laø nghieäm cuûa phöông trình (*) thì trong heä phi
⇔ (*)
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
53
tuyeán coù dao ñoäng vôùi taàn soá ω* , bieân ñoä M*.
(cid:145) Veà maët hình hoïc, nghieäm (M*, ω*) laø nghieäm cuûa phöông trình (*) chính laø giao ñieåm cuûa ñöôøng cong Nyquist G(jω) cuûa khaâu tuyeán tính vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) cuûa khaâu phi tuyeán.
(cid:145) Dao ñoäng trong heä phi tuyeán laø oån ñònh neáu ñi theo chieàu taêng cuûa ñaëc tính − 1/N(M) cuûa khaâu töø tuyeán, chuyeån phi vuøng khoâng oån ñònh sang vuøng oån ñònh cuûa khaâu tuyeán tính G(jω) .
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
54
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán (tt)) Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán (tt
Trình töï khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Trình töï khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
B1: Xaùc ñònh haøm moâ taû cuûa khaâu phi tuyeán (neáu khaâu phi tuyeán
khoâng phaûi laø caùc khaâu cô baûn).
B2: Ñieàu kieän toàn taïi dao ñoäng trong heä: ñöôøng cong Nyquist G(jω)
vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) phaûi caét nhau.
jG (
) −=ω
B3: Bieân ñoä, taàn soá dao ñoäng (neáu coù) laø nghieäm cuûa phöông trình:
1 MN (
)
( jG
π
−=
∠
(*)
Neáu N(M) laø haøm thöïc thì: • Taàn soá dao ñoäng chính laø taàn soá caét pha ω−π cuûa khaâu tuyeán tính G(jω). − ) ωπ
jG (
)
=
πω−
1 MN (
)
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
55
• Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình:
(cid:145) Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau:
Thí duï 1 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán -- Thí duï 1 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
Haøm truyeàn cuûa khaâu tuyeán tính laø
sG )(
=
s
2.0(
s
s
)1
10 2)(1 +
+
f(e)
Vm
e
Khaâu phi tuyeán laø khaâu relay 2 vò trí coù Vm=6.
−Vm
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
56
Haõy xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá dao ñoäng töï kích trong heä (neáu coù).
Thí duï 1 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán -- Thí duï 1 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
)
( MN
=
(cid:145) Haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí laø:
4 V m M π
(cid:145) Do ñöôøng cong Nyquist G(jω) vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) luoân luoân caét nhau (xem hình veõ) neân trong heä phi tuyeán luoân luoân coù dao ñoäng.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
57
Lôøi giaûi Lôøi giaûi
(cid:145) Taàn soá dao ñoäng laø taàn soá caét pha cuûa G(jω) :
( jG
)
arg
∠
=
π
ω − π
2.0(
2)(1
)1
+
10 +
j ω − π
j ω − π
j ω − π
−=
arctan(
arctan(
⇔
)2.0 ω
+
)2 ω
=
arctan(
arctan(
−−⇔
)2.0 ω
−
)2 πω −=
π 2
)
⇔
∞=
/
sec)
rad( 58.1=
2.0(1
)
0
−⇔
=
⇔ −πω
2).( π ωω − π
−
) )
π 2 2.0( 2( ω ω + − π π − 2).( 2.0(1 ωω − − π
π −
(cid:145) Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình:
10
(
)
82.1
=
=
=
−πωjG
2
2
)
58.1
)58.12.0(1 ×
+
)58.12(1 ×
+
82.1
⇒
=
90.13=⇒ M
1 MN ( Mπ mV 4
ty )(
90.13
sin(
t )58.1
=
(cid:145) Keát luaän: Trong heä phi tuyeán coù dao ñoäng
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
58
Thí duï 1 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán -- Thí duï 1 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
(cid:145) Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau:
Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán -- Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
Haøm truyeàn cuûa khaâu tuyeán tính laø
sG )(
=
s
2.0(
s
s
)1
10 2)(1 +
+
f(e)
Vm
Khaâu phi tuyeán laø khaâu relay 3 vò trí. e −D
D
1. Haõy tìm ñieàu kieän ñeå trong heä phi tuyeán coù dao ñoäng.
−Vm
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
59
2. Haõy xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá dao ñoäng khi Vm=6, D=0.1.
Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán -- Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
2
(cid:145) Haøm moâ taû cuûa khaâu relay 3 vò trí laø:
MN (
)
1
=
−
2
V 4 m M π
D M
(cid:145) Ñieàu kieän ñeå
jG (
)
Lôøi giaûi Lôøi giaûi
≤
πω−
1 MN (
)
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
60
trong heä thoáng coù dao ñoäng laø ñöôøng cong Nyquist G(jω) vaø tính −1/N(M) ñöôøng ñaëc phaûi caét nhau. Ñieàu naøy xaûy ra khi: −
(cid:145) Taàn soá caét pha cuûa G(jω) (xem caùch tính ôû thí duï 1)
/
sec)
rad( 58.1=−πω
(cid:145) Ñeå dao ñoäng xaûy ra ta phaûi coù ñieàu kieän: 10
(
)
82.1
−
≤
=
=
−πωjG
2
2
)
1 ( MN
58.1
)58.12.0(1 ×
+
)58.12(1 ×
+
(
55.0)
⇒ MN
≥
Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán -- Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
(cid:145) Theo baát ñaúng thöùc Cauchy
2
2
2
MN (
)
1
1
−
=
−
≤
=
2
2
D M
V 4 m M π
V 2 m D π
V 2 m D π
D M
D M
2 +
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
61
(*)
(cid:145) Do ñoù ñieàu kieän (*) ñöôïc thoûa maõn khi:
864
55.0
≥
Vm .0≥⇔ D
2 Vm D π
(cid:145) Vaäy ñieàu kieän ñeå trong heä coù dao ñoäng töï kích laø:
864
.0≥
Vm D
(cid:145) Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình:
2
(
)
82.1
−
=
=
1
55.0
⇔
−
=
(
)
55.0
⇔ MN
=
−πωjG
2
1 MN (
)
Vm 4 M π
D M
90.13=M
(cid:145) Khi Vm=6, D=0.1, giaûi phöông trình treân ta ñöôïc:
ty )(
90.13
sin(
t )58.1
=
(cid:145) Vaäy dao ñoäng trong heä laø:
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
62
Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán -- Thí duï 2 Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
63
Phöông phaùp Lyapunov Phöông phaùp Lyapunov
(cid:145) Phöông phaùp Lyapunov cung caáp ñieàu kieän ñuû ñeå ñaùnh giaù tính oån
Giôùi thieäu Giôùi thieäu
(cid:145) Coù theå aùp duïng cho heä phi tuyeán baäc cao baát kyø.
(cid:145) Coù theå duøng phöông phaùp Lyapunov ñeå thieát keá caùc boä ñieàu khieån
ñònh cuûa heä phi tuyeán.
(cid:145) Hieän nay phöông phaùp Lyapunov laø phöông phaùp ñöôïc söû duïng
phi tuyeán.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
64
roäng raõi nhaát ñeå phaân tích vaø thieát keá heä phi tuyeán.
(cid:145) Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi sau:
),( uxf
Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán
(cid:145) Moät ñieåm traïng thaùi xe ñöôïc goïi laø ñieåm caân baèng neáu nhö heä ñang ôû traïng thaùi xe vaø khoâng coù taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi thì heä seõ naèm nguyeân taïi ñoù.
u ),(
=
u ,
0
=
(cid:145) Heä phi tuyeán coù theå coù nhieàu ñieåm caân baèng hoaëc khoâng coù ñieåm caân baèng naøo. Ñieàu naøy hoaøn toaøn khaùc so vôùi heä tuyeán tính , heä tuyeán tính luoân luoân coù 1 ñieåm caân baèng laø xe = 0.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
65
(cid:145) Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTVP:
Thí dụ Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán –– Thí dụ Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán
ml
mgl
sin
tu )(
+
+
=
θ
)(2 t θ &&
tB )( θ &
u
l
(cid:145) Xaùc ñònh caùc ñieåm caân baèng (neáu coù)
θ
m
t )(
=
θ
(cid:145) Thaønh laäp PTTT. Ñaët:
t )(
=
θ &
tx )( 1 tx )( 2
(cid:145) PTTT moâ taû heä con laéc laø:
t )(
+− 0
tut ), (
))
=
uxf ),(
=
sin
tu )(
−
−
+
tx )( 1
tx )( 2
2
2
trong ñoù:
B ml
1 ml
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
66
(cid:145) Ñieåm caân baèng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình:
Thí dụ Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán –– Thí dụ Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán
u ),(
=
u ,
0
=
0
=
2
=
ex
sin
0
−
=
−
x 1 e
e
x 2
2
2 πk 0
B ml
e g l =
e
⇒
=
0 πk
⇒
(cid:145) Keát luaän: Heä con laéc coù
2(
=
ex
uxf ),(
=
=
ex
sin
tu )(
−
−
+
tx )( 1
tx )( 2
2
2
πk 0
tx )( 2 g l
B ml
1 ml
)1 πk + 0
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
67
voâ soá ñieåm caân baèng:
OÅn ñònh taïi ñieåm caân baèng OÅn ñònh taïi ñieåm caân baèng
(cid:145) Thí duï:
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
68
Ñieåm caân baèng oån ñònh Ñieåm caân baèng khoâng oån ñònh
(cid:145) Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi PTTT:
=
ònh Lyapunov OOÅÅn n ññònh Lyapunov
uuxf ),(
(1)
0 = Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
)0(
t
0
⇒<
δ
t ε )( , ≥∀<
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
69
(cid:145) Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi PTTT:
=
OOÅÅn n ññònh tie n Lyapunov ònh tieääm cam caään Lyapunov
uuxf ),(
(1)
0 = Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
)0(
tx
⇒<
δ
0)( =
lim t ∞→
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
70
So saùùnh onh oåån n ññònh Lyapunov va So sa ònh Lyapunov vaøø ooåån n ññònh tie n Lyapunov ònh tieääm cam caään Lyapunov
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
71
OÅn ñònh Lyapunov OÅn ñònh tieäm caän Lyapunov
(cid:145) Cho heä phi tuyeán phöông trình traïng thaùi:
),( uxf
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov
(1)
u~
Giaû söû xung quanh ñieåm caân baèng xe , heä thoáng (1) coù theå tuyeán tính hoùa veà daïng:
+
(cid:145) Ñònh lyù:
(cid:142) Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) oån ñònh thì heä phi tuyeán (1) oån
(2)
(cid:142) Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) khoâng oån ñònh thì heä phi tuyeán
ñònh tieäm caän taïi ñieåm caân baèng xe.
(cid:142) Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) ôû bieân giôùi oån ñònh thì khoâng keát luaän ñöôïc gì veà tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán taïi ñieåm caân baèng xe.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
72
(1) khoâng oån ñònh taïi ñieåm caân baèng xe.
Thí dụ Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov –– Thí dụ Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov
(cid:145) Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTTT: t )( ))
tut ), (
u
=
),( uxf
=
l trong ñoù: θ
sin
)( tu
−
−
+
)( tx 1
)( tx 2
2
2
)( tx 2 g l
B ml
1 ml
m
(cid:145) Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng taïi ñieåm caân baèng:
+− 0
=
ex
=
ex
0 0
π 0
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
73
(a) (b)
(cid:145) Moâ hình tuyeán tính quanh ñieåm caân baèng
[ 00=x
]T
e
u~
Thí dụ (tt) Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov –– Thí dụ (tt) Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov
+
1
=
=
0
=
=
a 12
a 11
f ∂ 1 x ∂ (2
)0
=
)0
f ∂ 1 x ∂ (1
=
=
−=
cos
=
−=
−=
a 22
a 21
)( tx 1
2
B ml
g l
g l
(
)0
=
=
f ∂ 2 x ∂ (2
)0
u =0,
=
)0
f ∂ 2 x ∂ (1
=
=
=
−
−
2
0 g l
1 B ml
−
2
s
0
+
+
=
det(
det
sI A ) −
=
s g l
1 B s + uxf ),( 2 ml
=
sin
tu )(
+
−
−
B 2 ml tx )( 2
tx )( 1
2
tx )( 0 2 g l
s B ml
=
g l 1 2 ml Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh (theo heä quaû tieâu chuaån Hurwitz)
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
74
⇒ PTÑT ⇔
(cid:145) Moâ hình tuyeán tính quanh ñieåm caân baèng
[ 0π=x
]T
e
u~
Thí dụ (tt) Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov –– Thí dụ (tt) Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov
+
1
=
=
0
=
=
a 12
a 11
f ∂ 1 x ∂ (2
)0
=
f ∂ 1 x ∂ (1
)0
=
−=
=
cos
−=
=
=
a 22
)( tx 1
a 21
2
B ml
g l
g l
(
)0
=
f ∂ 2 x ∂ (2
)0
=
f ∂ 2 x ∂ (1
)0
=
=
−
2
0 g l
1 B ml
−
2
0
s
=
−
+
det(
det
sI A ) −
=
−
s g l
1 B s + uxf ),( ml
= 2
sin
+
−
−
tx )( 1
B 2 ml tx )( 2
2
2
s B ml
g l 1 ml
tx )( 0 = 2 g l
tu )( Keát luaän: Heä thoáng khoâng oån ñònh (PTÑT khoâng thoûa ñieàu kieän caàn)
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
75
⇒ PTÑT ⇔
(cid:145) Ñònh lyù oån ñònh Lyapunov: Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ
Ñònh lyù oån ñònh Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov –– Ñònh lyù oån ñònh Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov
uuxf ),(
0
=
taû bôûi phöông trình traïng thaùi: = (1)
Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
Neáu toàn taïi haøm V(x) sao cho:
≥ ,0)(V
V
0
)0( =
,0)( <
i) ii) iii)
0 Thì heä thoáng (1) oån ñònh Lyapunov taïi ñieåm 0.
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
76
Chuù yù: Haøm V(x) thöôøng ñöôïc choïn laø haøm toaøn phöông theo bieán traïng thaùi.
(cid:145) Ñònh lyù khoâng oån ñònh: Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû
=
Ñònh lyù khoâng oån ñònh Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov –– Ñònh lyù khoâng oån ñònh Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov
uuxf ),(
0
=
(1) bôûi phöông trình traïng thaùi: x&
Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
Neáu toàn taïi haøm V(x) sao cho:
≥ ,0)(V
V
0
)0( =
,0
0
>
i) ii) iii)
8 May 2006
© H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM
77
