Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2

BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK -------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 4

CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI

PHAÂN • BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (5/2006)

NOÄI DUNG -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2. TRÖÔØNG HÔÏP

GIAÛM CAÁP

2 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁ

HAÈNG 3 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁ

HAØM

GIAÛM CAÁP PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phöông trình vi phaân caáp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0

= (cid:236) y ,

( yyxf , =

)

) ' ( xy ' 0

(cid:237) BT Coâsi: PT chuaån hoaù + ÑK = y , (cid:238) '' ( xy 0 y 1

ñaàu

Giaûm caáp cô baûn: Phöông trình F(x, y’, y’’) =

(

)

(

)

( uuxFxy "

0Nguyeân taéc: Ñaët u(x) = ñaïo haøm caáp thaáp nhaát ) = = = (cid:222)

) cuûa aån y yyxF , ''

( xu '

( xy '

( xu

(cid:222)= 0 ,' : , , ' 0

= + y '' x cos x VD: Giaûi phöông trình vi phaân caáp

= + + - sin x x cos ' y x x 2: Ñaùp soá: CxCy 1

Nghieäm Nghieäm toång quaùt PT vi phaân caáp 2 chöùa 2 haèng soá

C1, C2

PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN TUYEÁN TÍNH CAÁP 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(

x 2 ye

Heä soá haøm, k0 thuaàn nhaát (veá phaûi): y’’ + p(x)y’ + q(x)y + = - xy + '' y sin' x x sin x cos x = f(x)Ví

duï:

Tuyeán PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0

(

x 2 ye

= - tính xy + '' y sin' x 0 Ví duï: Töông öùng

(linear):

(1): PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + py’ + qy = y,y’,y’’ –

(

= - + y 4'3'' y y 0 0Ví duï: Töông öùng baäc 1

(3):

Heä soá haèng, k0 thuaàn nhaát (coù veá phaûi): y’’ + py’ + qy

(

= + - + 4'3'' y y y cos x x sin x = f(x)Ví

duï:

xk 2

xk 1 ,

xk 1

xk 2

D GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH C2 THUAÀN NHAÁT HEÄ SOÁ HAÈNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- e nghieäm cô 2 R PTVPC2 thuaàn > 0: k1 „ k2 ˛

. tn

e sôû + = (cid:222) y eC 1 eC 2 nhaát heä soá

haèng y’’ + py’ +

qy = 0

kx xe e ,

D 2 nghieäm cô sôû R = 0: k1 = k2 ˛

. tn

PTrình ñaëc tröng = + (cid:222) y eC 1 xeC 2

k2 + pk + q = 0

2 nghieäm cô sôû

Phaûi tìm ñuû 2 D < 0: N0 b b (thöïc) (cid:222)x , ex sin e nghieäm phöông =D (cid:222)

]x

22 im b

y cos [ a x Ce 1 trình ñaëc tröng –= a (cid:222) i k 2,1

SÔ ÑOÀ GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH THUAÀN NHAÁT CAÁP n ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PTVP t/tính thuaàn nhaát L[y] = 0 PT ñaëc tröng (ñaïi soá) aån

)

( xyC i

= 1

= y (cid:229) n haøm cô sôû y1 ﬁ Tìm ñuû n ng. k1 ﬁ kn

(cid:222) y’’ – 5y’ + 6y = 0 yn k2 – 5k + 6 = 0: N0 2, 3 (cid:222) ytq = C1e3x + C2e2x

(cid:222) y’’ – 4y’ + 4y = 0 k2 – 4k + 4 = 0: 2 (keùp) (cid:222) ytq = C1e2x + C2xe2x

(cid:222) y’’ – 2y’ + 5y = 0 k2 – 2k + 5 = 0 (cid:222) 2i: a =1, b = 2 k1,2 = 1 –

(cid:222) Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.tn = ex(C1cos2x + C2sin2x)

(cid:222) N0 CS ex, xex … ? y’’’ –y = 0 k3 – 1 = 0 (cid:222) 1 Nghieäm k = 1 (cid:222)

xk 1

1 nghieäm cô sôû R: Nghieäm ñôn k1 ˛

. tn

= (cid:222) NGHIEÄM (HAØM) CÔ SÔÛ TÖÔNG ÖÙNG N0 PT ÑAËC TRÖNG ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ xke 1 + y eC 1

- x

r :NCS e , xe k ˛ R: boäi caáp Tìm

1 e +

+ (cid:222) r = eCy 1 xeC 2 PTÑT kn+p1kn-1 + … pn = 0 ﬁ n nghieäm thöïc

– phöùc.

b a e cos , ex sin – ib : Nghieäm boäi

2 = b x ) + y cos + Cx sin x NCS ( a x Ce 1 phöùc lieân « caáp r r

nghieäm ñôn b b a e 2 hôïp, ñôn ib : –

a xex , +

truøng nhau r = cos b cos b x ]+ y xCx cos x cos :NCS [ a x Ce 1 boäi caáp

ﬁ 2r n0 ñôn r

PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH KHOÂNG THUAÀN NHAÁT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Giaûi ptrình y’’ – 3y’ + 2y = 2 baèng caùch chæ ra 1

nghieäm rieâng yr keát hôïp vôùi nghieäm toång quaùt

thuaàn nhaát

(

)

(

Nghieäm rieâng yr = 1 (cid:222) ytq = C1ex + C2e2x + 1

)

(

)

(

( xf

) yxayx n

- + + + =  PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát caáp n (heä soá )E + ' a -

) ( tuyø yù): yxa 0

( ) yxa 1

(

)

(cid:222)

(

)

(

)

) -  +

) yxa

) yxayx n

( ) yxa 1

PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát caáp n töông ( = + + öùng:( + ' 0 a E -

Nghieäm toång quaùt (E) = Toång quaùt (E0)+ Nghieäm

rieâng.Kho

âng

thuaàn

nhaát

quaùt.Khoâ

thuaàn

toång

quaùt.Thua àn

y y = nhaát + nhaát y rieâng (E) toång

TÌM NGHIEÄM RIEÂNG VÔÙI VEÁ PHAÛI ÑAËC BIEÄT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Veá phaûi: ea x[Pn(x)cosb x + Qm(x)sin b x], Pn, Qm – ña thöùc

1/ Veá phaûi chöùa ña thöùc (cid:222) yr chöùa ña thöùc (heä soá

chöa xaùc ñònh) baäc cao nhaát. Haèng soá ﬁ Ña thöùc

2/ Veá phaûi chöùa ea x (cid:222) baäc 0 yr chöùa

yr chöùa 2 haøm: sin

(veá phaûi) ” + ib nghieäm boäi caáp r cuûa phöông

ea x 3/ Veá phaûi chöùa löôïng giaùc (cid:222) b x, cos b x (duø veá phaûi chæ coù 1 loaïi haøm!) 4/ a trình ñaëc tröng (cid:222) Nhaân theâm xr vaøo yr caàn tìm.

= 0; Khoâng coù löôïng giaùc a

(cid:219) Khoâng coù haøm muõ (cid:219) Toùm laïi: Ba cuøng – Cuøng daïng, cuøng baäc, truøng b = 0

nghieäm

(

BA TRÖÔØNG HÔÏP HAY GAËP ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

)mn,

= max

y’’+py’+qy=ea x[Pn(x)cosb x+Qm(x)sinb x], 

NÑT: nghieäm ñaëc

VP: ña thöùc VP: Veá phaûi: Löôïng

)

(

( xP n

b + b giaùc ) cos sin x

(cid:222) a a + b (cid:222) tröng; H: ña thöùc baäc )xP : ( Veá phaûi a b + 0= i (cid:222)= 0 xQx i = b i muõ )xPe xa= ( 0=

)

(

)

(

Ø + Ø Ø xHx cos

a x xHe a

(

)

) *

)

(

) *

Œ Œ Œ b coù b ] x ( º Ng.rieâng ) ( xH yr: ( r xHx Ng. rieâng yr: ) ( º Nghieäm rieâng yr ( b sin xR daïng: [ b r Rx + Hx cos sin x º

(*) khi 0 ”

x xHex ” (*) khi a

NÑT caáp NÑT caáp Baäc R = Baäc H. (*) khi ib NÑT boäi ”

r. r caáp r

NGUYEÂN LYÙ CHOÀNG CHAÁT (SGK, trang 150) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nghieäm toång quaùt ytq phöông trình vi phaân tuyeán tính

coù veá phaûi: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) bieåu dieãn qua: Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.0: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0  Nghieäm rieâng yr.1 cuûa pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x)

 Nghieäm rieâng yr.2 cuûa pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y =

f2(x) Coâng thöùc choàng chaát: ytq = ytq.0 + yr.1 +

yr.2

YÙ nghóa: Taùch phöông trình coù veá phaûi daïng toång

phöùc taïp thaønh toång caùc phöông trình coù veá phaûi ñôn

giaûn

VEÁ PHAÛI TOÅNG QUAÙT ﬁ BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Veá phaûi: y’’ + py’ + qy = f(x) (cid:222) Tìm yr töø ytq.tn:

Bieán thieân haèng soá C1 = C1(x), C2 = C2(x)

VD: y’’ – 3y’ + 2y = lnx

PTVP tuyeán tính k0 thuaàn nhaát y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)

& nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.tn = C1y1(x) +

Ng. rieâng yr = C1(x)y1 +

)

( xC ' 2

( xC ' 1

)

( xf

y D

2 '

= (cid:236) 0 D = = (cid:222) (cid:222) (cid:237) C , 1 = (cid:238) D x D C2y2(x). Tìm nghieäm rieâng phöông trình khoâng thuaàn nhaát: Xem C1 = C1(x), C2 = C2(x) (cid:222) ) ( ) ( + yxCyxC ' ' C2(x)y2 1 1 ( ) ) ( + yxCyxC ' ' 1

PTVP TUYEÁN TÍNH C2 HEÄ SOÁ HAØM (THAM KHAÛO) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PTVPC2 thuaàn Tìm nghieäm ñaëc bieät y1: Ñoaùn

nhaát: y’’ + daïng (xa , ña thöùc) hoaëc ñöôïc gôïi

p(x)y’+q(x)y = 0 yù

)

( xp

)

( xC '

2 y 1

PTVPC2TT toång N0 cô sôû thöù nhì: y2(x) = C(x)y1(x) - (cid:242) quaùt heä soá haøm e = = (cid:222) y + yCyC

y’’ + p(x)y’ + q(x)y =

f(x)

Nghieäm Ng. rieâng pt k0 tn:

= (cid:236) ' ' 0

)

2 '

( xf

(cid:237) tq y = Bieán thieân haèng soá = (cid:238) ' + yCyC 1 + ' yCyC 1

C1y1 + C2y2 C1 = C1(x), C2 = C2(x)

+ yr

PHÖÔNG TRÌNH EULER - COÂSI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y(k) (0 £

PT heä soá haøm: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x) (cid:222) Deã tìm nghieäm cô sôû thuaàn nhaát hoaëc ñöa veà heä Daáu hieäu: Heä soá xk cuûa ñaïo haøm caáp k « soá haèng k £ n) Thuaàn nhaát ax2y’’ + bxy’ + cy = 0 (cid:222) 2 nghieäm cô sôû y =

m 1

2 nghieäm thöïc phaân bieät m1 „ = + y xC 1 xC 2

(

) mab

m2 + 2 - Nghieäm keùp m = + y ln x xC 1 xC 2

0 ˛ ´

(

) + Cx

– ib = b b am =+ c Phöùc: m1,2 = a cos ln sin

]x )

[ a Cx 1

ytq

PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a/ x2y’’–xy’–8y = 0 b/ 4x2y’’+y = 0 c/x2y’’–3xy’+13y = 0

m ˛ R: ñôn (cid:222) NCS y =xm anxny(n) + … + a0y = 0

y =

m ˛ R: boäi r (cid:222) xm,xmlnx

PTÑT theo m: g(m) = 0 ﬁ

(cid:236) = b x y ln n nghieäm (thöïc, phöùc) … a b ﬁ – (cid:237) i

( cos (

) x )

= b ﬁ (cid:238) x y sin x ln n nghieäm (haøm) cô

sôû PTrình Euler: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x). Ñoåi bieán x = et (cid:222) y’(x) = y’(t).t’(x), y’’(x) = …

VD: Giaûi phöông trình x2y’’ – 2xy’ + 2y = ln2x + ln(x2)

BAØI TOAÙN BIEÂN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

= £ £ (cid:236) y '' , bx

(cid:237) Baøi toaùn bieân: Tìm y = y(x) ,( a ),' ) = a b (cid:238) )( ay yyxf ( = by ,

thoaû

‡ (cid:236) , a

) ,' )

( yyxf , ( = a ay '

(cid:237) Phaân bieät vôùi baøi toaùn Coâsi = ) x = a (cid:238) y " ( ay ,

caáp 2:

£ £ £ £ - (cid:236) (cid:236) bx bx

(cid:237) (cid:237) VD: VD: =+ " y y ( ) = = " y ( = y ) = = (cid:238) (cid:238) 0 y 0,0 ( ) by ,0 B y 0 0,0 ) ( by ,0 B

„ (cid:219) „ Ø b p k : sin b 0 1 nghieäm

Œ = „ (cid:222) (cid:222) =)( by B sin b ,0 B :0 C = Bb voâ sin2 Œ

= = Œ sin b ,0 B :0 º soá voâ nghieäm

nghieäm Voâ soá Baøi toaùn bieân caáp 2, nghieäm cô sôû sin, cos ﬁ

nghieäm

Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2