Bài giảng Toán 4 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp hai

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán 4 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp hai" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được, phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 4 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp hai

Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: F (x, y, y' , y" )  0 hay y"  f ( x, y, y ' ) Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y' (x), y" (x) là các đạo hàm của nó. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm y  (x, c1, c2) Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
 Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các hằng số c1, c2 những giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. 2. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 y"  f ( x, y, y ' ) thỏa mãn điều kiện đầu:  y(x0)  a  ; x0 , a , b là các số cho trước. y' (x0)  b Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: F (x, y' , y" )  0 b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z(x)  y' VD1: Giải phương trình vi phân y" 1 y'  x(x  1) x 1 Nhận xét: Phương trình nay không chứa y nên ta đặt z(x)  y' Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
Phương trình đầu  z' 1  z  x(x  1) x 1 Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là z(x) 1   1 dx  x 1dx x 1  z ( x)  e [  x( x  1).e dx  c1 ]  z ( x)  ( x  1)[  x( x  1). 1 dx  c1 ] x 1 2 x  z ( x)  ( x  1)(  c1 ) 2 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
3 2  y '  x  x  c1 x  c1 2 2 4 3 2  y  x  x  c1 x  c1 x  c1 8 6 2 là nghiệm tổng quát của phương trình. VD2: Giải phương trình vi phân: y"  2( y '1). cotg x Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt z(x)  y' Phương trình đầu  z '  2( z  1).cotg x Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
 dz  2.cotg xdx ( ÐK : Z  1  0) z 1   dz   2 cotg xdx z 1  ln z  1  2 ln sin x  c1 2  z  1  c1 sin x 2  y '  1  c1 sin x x 1  y  x  c1 (  sin 2 x)  c2 là nghiệm 2 4 tổng quát của phương trình. Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
3.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa x a- Dạng: F ( y, y' , y" )  0 b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z( y)  y' dy  y"     z  dz dz dz dx dy dx dy 2 VD1: Giải phương trình vi phân: y. y" y '  0  y(0)  1 thoả điều kiện  y' (0)  2 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt z( y)  y'  y"  dz  z dy Từ phương trình đầu ta có: y dz 2 zz 0 dy dy dz   ; ( ĐK : y  0, z  0) y z  ln y  c1  ln z  z  c1 y Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
 y ' c1 y dy   c1dx y  ln y  c1 x  c2 c1 x  y  c2e là nghiệm tổng quát của phương trình. Từ điều kiện đầu ta tính được c1  2 , c2  1 Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là 2x ye Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
 y0 Trường hợp:  loại vì không thoả mãn  y'  0 điều kiện đầu VD2: Giải phương trình vi phân yy"  y ' ( y '1) Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt z( y)  y'  y"  dz  z dy Từ phương trình đầu ta có: y  dz  z  z(z  1) dy Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
dz dy   ( ĐK : z  0, z  1  0; y  0) z 1 y  ln z  1  ln y  c1  z  1  c1 y  z  c1 y  1  y '  c1 y  1 dy   dx c1y  1 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
 1 ln c1 y  1  x  c2 c1 1 c1 x  (c1 y  1)  c2e là nghiệm tổng quát của phương trình. Trường hợp: y0   y'  0  y '  1  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
thoả mãn phương trình đầu nên ta nhận các nghiệm y 0  y  c  y  x  c  4. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là: y"a1y'a2 y  f (x) với ai là các hằng số thực. Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: y" a1 y ' a2 y  0 (*) 2 Phương trình k  a1k  a2  0 được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (*).  Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt k1 , k 2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình k1x k2 x (*) là: y  c1e  c2e Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1  k2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) k1 x là: y  (c1  c2 x)e  Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức k1    i  k2    i Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) x là: y  e (c1 cos x  c2 sin  x) Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
VD1: Giải phương trình vi phân: y"4 y '3 y  0 Ta có: Phương trình đặc trưng: 2 k  4k  3  0 có nghiệm k1  1, k2  3 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: x 3 x y  c1e  c2 e Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
VD2: Giải phương trình vi phân: y"10 y '25 y  0 2 Ta có: Phương trình đặc trưng: k  10k  5  0 có nghiệm kép k1  k 2  5 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: 5x y  (c1  c2 x)e Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
VD3: Giải phương trình vi phân: y"2 y '4 y  0 2 Ta có: Phương trình đặc trưng: k  2k  4  0 có nghiệm phức:  k1  1  3 i  k2  1  3 i Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: x y  e (c1 cos 3.x  c2 sin 3.x) Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2
b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y" a1 y ' a2 y  f ( x) Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:  y  y y y là nghiệm tổng quát của phương trình  thuần nhất: y" a1 y ' a2 y  0 Với   * y là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: y" a y ' a2 y  f ( x) 1 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2