Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

1.Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng:

yyyxF

)",'

,(

,

0

y  "

yyxf

,(

,

)'

hay

xy ('

),

xy )("

Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và

là các đạo hàm của nó.

y 

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

là hàm Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 21 ccx ,( , )

 Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các hằng số c1, c2 những giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng.

2. Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của

y  "

yyxf

,(

,

)'

phương trình vi phân cấp 2 thỏa

mãn điều kiện đầu:

;

,

, bax 0

 

a b

)( xy 0 xy )(' 0

  

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

là các số cho trước.

3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được

3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y

yyxF

)",'

,(

0

a- Dạng:

xz )(

y '

b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt

y " 

y '

xx (

)1

x

1 

1 Nhận xét: Phương trình nay không chứa y

VD1: Giải phương trình vi phân

nên ta

xz )(

y '

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

đặt

z ' 

z 

xx (

)1

1 

1

x

Phương trình đầu

Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần

)(xz

1 dx x 1 

1 dx x 1 

xz )(

e

xx (

e ).1

[

dx

]

c 1

tìm là

xz )(

(

x

)[1

xx (

dx

]

1c

1).1 x 

1

2

xz )(

(

x

)(1

)

c 1

x 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

3

2

 y

'

 cxc 1 1

2

 y

1

xc 1

c 1

x 2 4 x 8

x 2 3 x 6

xc 2

là nghiệm tổng quát của phương trình.

 ).1'(2" y

cotg

x

y

 Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt

xz )(

VD2: Giải phương trình vi phân:

y '  z

(2'

z

).1

cotg

x

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Phương trình đầu

cotg

xdx

:ÐK(

Z



)01

.2

2

cotg

dxx

dz  z 1 dz   1  z  z ln 1

ln2

sin

x

c 1

2

1  z

x

1 sin c

2

x

1'

 y

 y

x

x )2sin

1

c 2

1 4

1 sin c xc ( 2 tổng quát của phương trình.

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

là nghiệm

3.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa x

yyyF

)",'

,(

0

a- Dạng:

yz )(

y

'

 " y

 z

dz dx

dz dy

dy dx

dz dy

b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt

yy ".

 y

2 

'

0

VD1: Giải phương trình vi phân:

y 1)0(  )0(' y 2 

  

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

thoả điều kiện

Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta

yz )(

y '

 " y

z

dz dy

đặt

z 

2 

z

0

dzy dy

(

ĐK

:

y

,0

z

)0

;

dy  y ln

y

ln

z

dz z 1  c

1 z yc

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Từ phương trình đầu ta có:

' y

yc 1

dxc

dy 1 y

ln

y

c 2

1

xc  1 xcec

2 y

,2

1

c Từ điều kiện đầu ta tính được 1

c 2

là nghiệm tổng quát của phương trình.

y

2 xe

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là

y

0

Trường hợp:

y 0' 

  

loại vì không thoả mãn điều kiện đầu

yy "

yy )1'(' 

VD2: Giải phương trình vi phân

Nhận xét: Phương trình này không chứa x

yz )(

y '

 " y

z

dz dy

nên ta đặt

z 

zz ( 

)1

y

dz dy

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Từ phương trình đầu ta có:

(

zĐK

:

,0

z



;01

y

)0

dz  1  z

dy y

 z

ln

1

ln

y

c 1

1  z

yc 1

z 

1

yc 1 

y 

'

1

yc 1 

dx

dy 

1

yc 1

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2



1

x

yc 1

c 2

ln1 c 1

x

1 c 1)1

 ( yc 1

ec 2

là nghiệm tổng quát của phương trình.

y 0  y 0' 

y

'

1 

    

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Trường hợp:

y y

 

0 c

y

x 

c

    

thoả mãn phương trình đầu nên ta nhận các nghiệm

4. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là:

xf )(

 "  ' yayay 1

2

ia là các hằng số thực.

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

với

a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ

số hằng số:

0

yayay "   ' 1

2

2

(*)

k

0

aka  1

2

Phương trình được gọi là

phương trình đặc trưng của phương trình (*).

 Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực

k 1 , k

2

phân biệt

xk 1

xk 2

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình

y

ec 1

ec 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

(*) là:

 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép

k

k  1

2

1

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*)

y

(

xkexc )

1  c

2

là:

 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức i   i

 

k  1  k  2

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*)

y

 x e

(

cos

 x

sin

 x

)

c 1

c 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

là:

y

y 3'4" 

y

0

VD1: Giải phương trình vi phân:

k

42  k



03



,1

k



3

k có nghiệm 1

2

Ta có: Phương trình đặc trưng:

3

x

y

  x

ec 1

ec 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

y  "

10

y

'

25

y

0

2

VD2: Giải phương trình vi phân:

k

 k 10



05

Ta có: Phương trình đặc trưng:

 k

5

k 1

2

có nghiệm kép

y

(  c 1

xexc 5 ) 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

y

y 4'2" 

y

0

VD3: Giải phương trình vi phân:

k

22  k



04

Ta có: Phương trình đặc trưng:

k 1 k

1   1

3 3

i i

2

  

có nghiệm phức:

x

y

  e

(

cos

.3

x

sin

x ).3

c 1

c 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

xf )(

 "  ' yayay 1

2

với hệ số hằng số:

y

 y y

y

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

0

2

thuần nhất: là nghiệm tổng quát của phương trình yayay "   ' 1

*y

  Với   

là nghiệm riêng của phương trình

xf )(

 "  ' yayay 1

2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

không thuần nhất:

Cách tìm nghiệm riêng y*

xf )(

x

xPe )( n

Nếu α không phải là nghiệm của phương trình

2

k đặc trưng:

0

aka  1

2

*

Trường hợp

y

x

xHe . )(

n

Nếu α là nghiệm bội h của phương trình đặc

2

Lúc này:

k

0

aka  1

2

*

trưng:

y

h  x xHex . )( .

n

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Lúc này:

3

x

2

 2'3"  y y

y

e

(

x

x

)

VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y

 y y

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Bước 1: Tìm y

k

32  k



02

x

2

x

có Phương trình đặc trưng

,1

k



2

y

k 1

2

ec 1

ec 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

nghiệm

3

x

2

Bước 2:

e

(

x

x

)

Ta có: Tìm y* xf  )(

α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc 2 Ax

x 3 e .(

Bx

C )

* y

trưng nên là nghiệm

A= ½ , B=-1, C=1

x

2

x

3

x

2

riêng của phương trình đầu. Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được:

y

(

)

e

x

x 

)1

ec 1

ec 2

1( 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Vậy

 4'4" y y

y

2 xxe

VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y

 y y

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Bước 1: Tìm y

k

42  k



04

có Phương trình đặc trưng

k



2

y

(

k 1

2

c 1

xexc 2 ) 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

nghiệm kép

Bước 2: Tìm nghiệm y*

)( xf

x2 xe

α=2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

Ta có:

nên y* = x2e2x.(Ax + B) là nghiệm riêng của phương trình đầu.

A

,

B

0

2

x

2

2

x

Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được

1 6 y

(

x

). ex

c 1

) exc 2

1( 6

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Vậy

xQx

sin).

(

(

 x xPe [ n

m

 x )(cos ]  Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương

Trường hợp xf )(

*

y

 x [ xHe )(

cos

xKx

sin)(

 x

]

l

l

l 

max{ nm },

 Nếu α ± iβ là nghiệm bội h của phương trình

*

trình đặc trưng thì

.

cos

]

l

xKx sin)( l l 

 x max{ nm },

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

đặc trưng thì  x h y xHex [ )(

y

y

18

3cos

x

30

3sin

x

 9" Bước 1: Tìm y

VD3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

,3 i

k



092 k 3 i

k phức là: 1

2

ox

 y

(

3cos

x

x )3sin

c 1

c 2

Phương trình đặc trưng có nghiệm

e *y 18(

xf )(

3cos

x

30

x )3sin

 (  ,0

,3

m

,0

n

)0

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Bước 2: Tìm

  i

3 i

ox

y *

xe

(

A

3cos

 Bx

x )3sin

là nghiệm của phương trình Ta có:

*y

A

,5

B

3

thế vào phương trình đầu ta tính được đặc trưng nên Lấy

y



3cos

x )3sin

x

5(

3cos

x

x )3sin3

*yy c ( 1

 cx 2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là:

xf )(

xf )( 1

xf )( 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

 Trường hợp

),

x )(xPe n

xf ( 1

xf )( 2

cos

xQx

sin)(

 x

]

 x xPe [ )( n

m

*

có dạng Với hay

y

y

* y 1

* 2

Khi đó: Nghiệm riêng

* y 1

là nghiệm riêng của phương trình:

 "  ' yayay 1

2

xf )( 1

y

Với

* 2

    

 "  ' yayay 1

2

xf )( 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

là nghiệm riêng của phương trình:

x

VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi

 y " y

5' e

2sin

x

phân:

y

 y y

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

2

Bước 1: Tìm y

k Phương trình đặc trưng

 k

0

1

k 1

 k ,0 2

ox

x

 y

ec 1

ec 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

có nghiệm

Bước 2: Tìm

xf )(

*y xf )( 1

xf )( 2

với

* y



2sin

x

xe  ,5)(1 xf * *  y y 1 2

)(2 xf

. Vậy

* 1y

y " y 

x  (

e 5'

 )5)(

,1

Với là nghiệm riêng của phương trình

xP n 1 là nghiệm của phương trình đặc

Ta có:

*

x. . Aex

1  y

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

trưng nên:

 " yy

5'

xe

* 1y thế vào phương trình

Lấy ta tính

được

5A * 2y là nghiệm riêng của phương trình:

 y " y '

2sin

x

 (

,0

,2

,0



)1

xnP )(

xmQ )(

Với

  i

2 i

không phải là nghiệm của Ta có:

y

A

cos

2

 Bx

2sin

x

* 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

phương trình đặc trưng nên:

*

 " y ' y

2sin

x

2y thế vào phương trình

Lấy

A



,

B

1 10

1 5

ta tính được

ox

 5)

xe

2cos

x

x )2sin

ec 1(

ec 2

* *  yyy 1 y 2 x x 1(  10

1 5

Vậy

5. Phương trình Euler

2  " xyayx

 '

xf )(

1

ya 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

a) Dạng:

t

, trong miền

t

Đổi biến:

0x 0x

e

, trong miền

e   t e

ln t

x

y

' x

' ty . t

' y t

1  x

y



)

" xx

' y t

" y tt

" y tt

' y t

2

(1 x

)1 x

    

1 2 x

(1 x

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Giả sử đặt b) Cách giải: x   x  x

VD: Giải phương trình Euler:

"2 yx

 ' xy

y

ln

x

(trong miền x>0)

ln t

x

x 

te

y

' x

' y t

1  x

y

)

" xx

" y tt

' y t

2

    

(1 x

y

,

y

Đặt:

" xx

' x

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

Thế vào phương trình đầu ta được:

2

 y

t

" y tt

' y t

 y

y

*y

k  Phương trình đặc trưng

22  k



01

Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng

 k

k 1  y

(

tetc ). 2

có nghiệm kép

tf )(

  t (

,0

 12 1  c n  tP )( t )

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

0 không phải là nghiệm của phương trình đặc

ot e .(

B )

(*)

2

 y

t

 y * " y phương trình tt

At ' y t

là nghiệm riêng của trưng

A

 B ,1

 2 y (* t 

)2

t

y 

(

t ( 

)2

c 1

etc ) 2

y 

(

ln

xx )

(ln

x

)2

c 1

c 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2

thế vào phương trình (*) ta tính được Lấy *y

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2