Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 Nguyễn Văn Tiến (2017)

18/10/2017

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

TÍCH PHÂN HÀM MỘT

BIẾN & ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 4

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa nguyên hàm

•Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x)

là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:

•Ví dụ:

     

, ,F x f x x a b

  

 

laø moät nguyeân haøm cuûa

treân

laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R.

tan 1 tan

\ 2 1 2

x x

R n

a a



 

 

 



 

 

 



Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tích phân bất định

•Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

•Được xác định như sau:

•F(x) là một nguyên hàm của f(x).

•C: hằng số tùy ý.

 

f x dx



   

f x dx F x C 



Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

   

       

)

) .

)

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx



  

 

  

 

  

 

 



 

  

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức nguyên hàm cơ bản

1. 2.

3. 4.

5. 6.

x x

k dx x dx

dx dx

a dx e dx







 

 

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Tính các tích phân sau

 

2 1

. . 3

3 1

x x

a dx b e e dx

x x

c dx







 

 



18/10/2017

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Tính các tích phân sau

 

3 4

2 5

. cos 2 . 2 1

. 1 .

a x x dx b x dx

c x x dx

 



 



Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Tính các tích phân sau

2 1

0 0

1 2

) 4 ) 1

) )

a x dx b dx

dx dx

c d

x x







 

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Tính các tích phân sau

 

) ln ) 2 1 sin

) cos ) arctan

a x xdx b x xdx

c x xdx d x xdx



 

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tích phân hàm mũ

•Công thức:

•Ví dụ. Tính các tích phân sau:

 

x x

ax b ax b

u u

i e dx e C

ii e dx e C

iii e du e C

 

 



4 3

) 3 ) 4

) ) D a .

x x

x Tx

a A e dx b B e x dx

c C xe dx d e dx

 

 

 

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi

qua điểm (1;0) và:

•Đáp án:

dy e





 

3 2

y e e



 

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua

điểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi

điểm.

2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị

sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x

+2x. Biết chi phí

cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và

tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm.

18/10/2017

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến

dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người

nghe hàng ngày.

•Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1

ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người

nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là:

S’(t)=60t

1/2

người mỗi ngày.

•Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu

chiến dịch.

•Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát

thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng

lên đến 41.000 người.

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu

thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế

p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi

tuần cho bởi:

•Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá

là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp.

•Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$

•Đáp số:

 

0,01

' 0, 015

p x e



 

 

0,01

1, 5 3, 44

p x e



 

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân

•Tăng trưởng giới hạn

•Tăng trưởng không giới hạn

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân

•Khái niệm

•Nghiệm của PTVP là hàm số???

2 0,01

6 4 ' 400

" ' 5 2

x x y e

dy dy

ky y xy x xy

dx dx



   

    

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân

•Bài toán lãi kép liên tục

•Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu

•A là số tiền có được sau thời gian t

•Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t

bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời

gian đó.

•Ta có mô hình:

•R: hằng số phù hợp

 

. 0 , 0

r A A P A P

dt   

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phương trình vi phân

•Ta có mô hình:

•Mặt khác:

•Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r

và t là thời gian đầu tư.

 

1 1

ln .

rt C

dA dA dA

r A r dt rdt

dt A dt A dt

dA rt A rt C A t e e

    

      

 



   

0 . .

r C rt

A e e P A t P e   

18/10/2017

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Luật tăng trưởng theo hàm mũ

•Định lý. Nếu





=  và (0) = 

thì  = 





•Trong đó:

•Q

: khối lượng tại t=0

•r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối

•t: thời gian

•Q: khối lượng tại thời điểm t

•Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Phân rã phóng xạ

•Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải

Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn

sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không

đổi trong mô của nó.

•Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ

giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với

lượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238

•Ví dụ. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa

điểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng xạ

cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương

(làm tròn đến 100 năm). Đ/S: 18.600 năm

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài toán tăng trưởng

•Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010

(t=0). Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm sau

năm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ gia

tăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian.

•A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng trưởng

của dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% là

tốc độ tăng trưởng lien tục.

•B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030?

•Đáp số:

•a) P=1,2.e

0,0015t

b) 1,6 tỷ người.

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Bài toán tăng trưởng

•Nếu quy luật tăng trưởng mũ có thể áp dụng

được cho dân số Việt Nam. Hãy tìm tốc độ tăng

trưởng để sau 100 năm nữa dân số Việt Nam

tăng gấp đôi?

•Đáp số: 0,69%.

•Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi

suất r (%/năm). Sau bao nhiêu năm thì số tiền

gửi tăng lên gấp đôi?

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tăng trưởng giới hạn

•Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy …) ta

luôn giả sử có một mức kỹ năng tối đa có thể

đạt được M.

•Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu

của mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa

•Ta có mô hình

   

0 0

k M y y

dt   

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tăng trưởng giới hạn

•Một cách tương tự ta có:

 

y M e



 

 

0 0

kt C C kt

dy dy

k M y kdt

dt M y

kdt M y kt C

M y

M y e M y e e

y M e

   



   



      



     

  

 

18/10/2017

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

•Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà

người đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện

tập được xấp xỉ bởi:

•Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?

•Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập

 

0,04

50 1

y e



 

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Một số mô hình tăng trưởng mũ

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tăng trưởng mũ

Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng không

giới hạn

Tốc độ tăng trưởng tỷ

lệ với lượng hiện tại



 = 

,  > 0;

 0 = 

 = . 



Tăng trưởng ngắn hạn

(người, vi khuẩn)

Tăng trưởng của tiền khi

tính lãi liên tục

Phân rã theo hàm mũ

Tốc độ phân rã tỷ lệ

với ượng hiện tại



 = −

,  > 0

 0 = 

 = . 



Cạn kiệt tài nguyên thiên

nhiên

Phân rã phóng xạ

Hấp thụ ánh sáng (trong

nước)

Áp suất khí quyển (t là chiều

cao)

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tăng trưởng mũ

Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng giới hạn

Tốc độ tăng trưởng tỷ

lệ với hiệu của lượng

hiện tại và một giá trị

cố định



 = ( − )

,  > 0;

 0 = 

 = (1 − 



)Bán hàng thời trang

Khấu hao thiết bị

Tăng trưởng công ty

Học tập

Tăng trưởng Logistic

Tốc độ phân rã tỷ lệ

với lượng hiện tại và

hiệu của lượng hiện

tại và một giá trị cố

định



 = ( − )

,  > 0

 0 = 

1 + 

 = 

1 + 



Tăng trưởng dân số

dài hạn

Bán hàng mới

Sự lan truyền của

tin đồn

Tăng trưởng công ty

Bệnh dịch

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Sự lan truyền tin đồn

•Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan

truyền với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số

người chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng số người.

Một một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe

được tin đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và:

•Gọi t là thời gian tính theo phút.

•A) Tìm công thức x(t)

•B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn.

•C) Tìm giới hạn:

   

0, 001 400 0 1

x x x

dt   

 

lim

x t



Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Sự lan truyền tin đồn

•Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX

nghe được tin đồn?

   

 

0,4

0, 001 400 0 1

400

1 399

x x x

x t



  





 

0,4*5

0,4*20

400

5 7, 272889

1 399

400

20 352, 7805

1 399

lim 400

x t





 



 





Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi