Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 1. Hàm một biến số
Nguyễn Phương
Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Ngày 7 tháng 2 năm 2023
1
NỘI DUNG
1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
3
2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
11
3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
30
4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
36
5 ĐẠO HÀM CẤP CAO
50
6 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
52
7 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Tìm giới hạn của hàm có dang vô định Công thức Taylor - Maclaurin Sự biến thiên của hàm số Cực trị của hàm số 59 59 64 74 75
8 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Giá trị biên tế (Marginal quantity) Độ co dãn (Elasticity) Tối ưu trong kinh tế 83 83 89 92
2
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Từ hàm thường được sử dụng khi đàm luận về tác động liên đới, như được thấy trong các câu phản hồi sau đây khi tìm kiếm trên Google cụm từ "là hàm của": "Hiểu biết là một hàm của kinh nghiệm." "Dân số loài người là một hàm của lượng cung thực phẩm." "Tự do là một hàm của trạng thái kinh tế của một quốc gia."
Điểm chung của các phát biểu trên là một đại lượng hay đặc tính nào đó (hiểu biết, dân số, tự do) phụ thuộc vào một đại lượng khác (kinh nghiệm, lượng cung thực phẩm, trạng thái kinh tế của một quốc gia). Đây chính là bản chất của khái niệm hàm trong toán học.
Nói một cách đơn giản, một hàm gồm có hai tập hợp và một quy tắc liên kết các phần tử của tập hợp này với các phần tử của tập hợp kia.
3
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu f : X → Y ) là một phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y ∈ Y , phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f (x).
Y f : X → x 7→ y = f (x)
f x f (x)
1 X được gọi là tập hợp nguồn. 2 Y được gọi là tập hợp đích. 3 y được gọi là ảnh của x qua f .
4
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
5
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Với mỗi y ∈ Y , tập con của X gồm các phần tử có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của phần tử y qua f , ký hiệu là f −1(y) f −1(y) = {x ∈ X|f (x) = y}
Với mỗi tập con A ⊂ X, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của x ∈ A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f (A)
f (A) = {f (x)|x ∈ A}
Với mỗi tập con B ⊂ Y , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh f (x) ∈ B được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của tập B ký hiệu là f −1(B)
f −1(B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B}
6
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
7
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Định nghĩa 1.2. Cho D ⊆ R. Ánh xạ
f : D −→ R x 7−→ y = f (x)
được gọi là hàm số 1 biến.
- Miền xác định: ? - Miền giá trị: ?
8
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Ví dụ 1.1. Cho hàm số f (x) = x3 + x2. Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1).
Ví dụ 1.2. - Hàm cung: QS = f (P ) = cP + d - Hàm cầu: QD = f (P ) = aP + b
9
Hình: Các cách hiểu về hàm số
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
10
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2.1. Xét hàm số f (x) = x2 − x + 2 và cho giá trị của x gần 2.
11
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.1. Nếu f (x) ngày càng gần tới số L khi x ngày càng gần a từ cả hai phía thì số L được gọi là giới hạn của hàm f (x) khi x tiến gần đến a (nhưng không bằng a). Ký hiệu
f (x) = L, lim x→a
Nếu không có số L như vậy, ta nói rằng giới hạn của f (x) khi x tiến về a là không tồn tại.
12
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.2. Cho y = f (x) và L, a là hai số thực. L là giới hạn của hàm y = f (x) khi x tiến về a, ký hiệu
f (x) = L, lim x→a
nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| ≤ ϵ.
13
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
y
y = f (x)
ϵ <
|
L + ϵ
L − ) x ( f |
L
L − ϵ
x ( a − δ a ) a + δ
0 < |x − a| < δ
14
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
g(x) tồn tại thì Tính chất 2.1. Nếu lim x→a f (x) và lim x→a
1
g(x) f (x) ± lim x→a
2
[f (x) ± g(x)] = lim x→a f (x) với c là hằng số [cf (x)] = c lim x→a
3
g(x) lim x→a lim x→a lim x→a f (x). lim x→a i
4
lim x→a lim x→a h
= g(x) ̸= 0 h f (x) g(x) lim x→a [f (x)g(x)] = lim x→a f (x) g(x) với lim x→a in
5
f (x) với n là số nguyên dương lim x→a
6
[f (x)]n = lim x→a q npf (x) = n f (x) với n là số nguyên dương lim x→a lim x→a
7
c = c với c là hằng số
8
x = a
9
n
xn = an với n là số nguyên dương √
10
√ x= n a với n là số nguyên dương lim x→a lim x→a lim x→a lim x→a
15
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2.2. Áp dụng các tính chất của giới hạn
4 lim x→5
(2x2 − 3x + 4) = lim x→5 = 2 lim x→5 (2x2) − lim x→5 x2 − 3 lim x→5 3x + lim x→5 4 x + lim x→5 = 2(52) − 3(5) + 4 = 39
(x3 + 2x2 − 1) lim x→−2 = lim x→−2 x3 + 2x2 − 1 5 − 3x (5 − 3x) lim x→−2 1 lim x→−2 = x2 − lim x→−2 x x3 + 2 lim x→−2 5 − 3 lim x→−2
= − = lim x→−2 (−2)3 + 2(−2)2 − 1 5 − 3(−2) 1 11
16
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
h(x) = L f (x) = lim x→a Định lý 2.1. Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x và lim x→a thì g(x) = L. lim x→a
17
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng
= 0. x2 sin lim x→0 1 x
18
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.3. Nếu f (x) tiến gần đến L khi x tiến gần đến a từ bên trái (khi x < a ) ta viết f (x) = L, lim x→a−
Tương tự, nếu f (x) tiến gần đến L khi x tiến gần đến a từ bên phải (khi x > a ) ta viết f (x) = L, lim x→a+
19
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
g(x), g(x), g(x), g(x). lim x→2+ lim x→5+ Ví dụ 2.4. Tính các giới hạn lim x→2− lim x→5−
20
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định lý 2.2.
f (x) = L. lim x→a f (x) = lim x→a+ f (x) = L ⇐⇒ lim x→a−
Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng
|x| = 0. lim x→0
21
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2.6. Cho (√ f (x) = 8 − 2x x − 4 khi x > 4, khi x < 4.
f (x). Tính lim x→4
22
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2.7. Chứng minh rằng
lim x→0 |x| x
không tồn tại.
23
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.4. Nếu các giá trị của hàm số f (x) tiến gần đến số L khi x tăng không bị chặn thì ta viết f (x) = L lim x→+∞
Tương tự, nếu các giá trị của hàm số f (x) tiến gần đến số M khi x giảm không bị chặn thì ta viết f (x) = M lim x→−∞
24
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1
lim x→+∞
2
lim x→+∞ Ví dụ 2.8. Tính các giới hạn sau: x2 1 + x + 2x2 2x2 + 3x + 1 3x2 − 5x + 2
3
. lim x→∞ x4 − x x2 + 1
4
. lim x→∞ x − 1 x2 + x + 1
25
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.5. Nếu f (x) tăng không bị chặn khi x → a ta viết
f (x) = +∞. lim x→a
Tương tự, nếu f (x) giảm không bị chặn khi x → a ta viết
f (x) = −∞. lim x→a
26
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Một vài dạng vô định thường gặp
, , ∞ − ∞, 0.∞. 0 0 ∞ ∞
Ví dụ 2.9. Tính các giới hạn sau:
1
. lim x→1
2
x2 − 1 x − 1 x3 − x + 1 2x3 + 1 . √ (cid:0)√
3
x − 1 − x(cid:1). lim x→∞ lim x→∞
27
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
= 1; lim x→0 sin x x
= 1 Nếu lim x→a α(x) = 0 thì lim x→a sin α(x) α(x)
28
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1 x = e
(1 + x) lim x→0
(cid:18) (cid:19)x 1 + = e lim x→∞ 1 x
Ví dụ 2.10. Tính các giới hạn sau:
1 x .
; a) lim x→0 (cid:19)2x ; b) lim x→∞ sin(5x) sin(x) (cid:18) x + 3 x + 1
(1 + sin 2x) c) lim x→0
29
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Theo từ điển, liên tục là một "sự nối tiếp không bị gián đoạn hay không bị ngắt quãng".
Theo cách nói thông thường, hàm liên tục là hàm có đồ thị được vẽ mà không nhấc bút lên khỏi mặt giấy, nghĩa là một đường cong liền nét.
30
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa 3.1. Hàm f (x) được gọi là liên tục tại a nếu
f (x) = f (a). lim x→a
Nếu f (x) không liên tục tại a thì hàm số được gọi là gián đoạn tại a.
31
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ví dụ 3.1. Cho
khi x ̸= 0, f (x) = 1 x2 1 khi x = 0.
Hỏi f (x) có liên tục tại 0 hay không ?
Ví dụ 3.2. Cho
khi x ̸= 2, f (x) = x2 − x − 2 x − 2 1 khi x = 2.
Hỏi f (x) có liên tục tại 2 hay không ?
32
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa 3.2.
1 Hàm f (x) được gọi là liên tục trái tại a nếu
f (x) = f (a). lim x→a−
2 Hàm f (x) được gọi là liên tục phải tại a nếu
f (x) = f (a). lim x→a+
Định lý 3.1.
f (x) = f (a). f (x) = lim x→a+ f liên tục tại a ⇐⇒ lim x→a−
Định nghĩa 3.3. f liên tục trên khoảng I khi và chỉ khi f tại mọi điểm x ∈ I.
33
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ví dụ 3.3. Chứng minh rằng
f (x) = khi x < −1, khi − 1 ≤ x < 1, x2 x 1/x khi x ≥ 1,
gián đoạn tại −1 và liên tục tại 1.
Ví dụ 3.4. Chứng minh rằng
( f (x) = 1 − x2 khi x ≤ 1, khi x > 1. ln x
liên tục trên R.
34
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ví dụ 3.5. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho
( f (x) = mx2 + 2x khi x < 2, x3 − mx khi x ≥ 2.
liên tục trên R.
Ví dụ 3.6. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho
khi x < 2, f (x) =
x2 − 4 x − 2 ax2 − bx + 3 khi 2 ≤ x < 3, 2x − a + b khi x ≥ 3,
liên tục trên R.
35
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 4.1. Nghiên cứu thực nghiệm một đoàn tàu cao tốc chạy trên đường ray thẳng. Bằng dữ liệu thu thập thực tế, thì kỹ sư đã xác được quãng đường (đơn vị là feet) di chuyển của đoàn tàu từ điểm gốc tại thời điểm t (đơn vị là giây) được xác định bởi công thức sau:
s = f (t) = 4t2, t ∈ [0, 30],
trong đó f là quy tắc xác định vị trí của đoàn tàu.
➤ Trong khoảng thời gian t = 0, 1, 2, . . . , 10 thì vị trí của đoàn tàu so với điểm gốc là f (0) = 0, f (1) = 4, f (2) = 16, f (3) = 36, . . . , f (10) = 400
36
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
. s t
➤ Bây giờ, giả sử chúng ta muốn tính vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm t = 2 ?. Nếu đoàn tàu di chuyển thằng đều, tốc độ và chiều chuyển động không thay đổi theo thời gian thì ta có vận tốc là v = ➤ Trong thực tế, đoàn tàu di chuyển với tốc độ thay đổi theo thời gian t. Nên việc xác định vẫn tốc của đoàn tàu tại một thời điểm t là rất khó khăn, kể cả dựa vào phương trình quãng đường trên. ➤ Nhưng dựa vào phương trình s = f (t) = 4t2, t ∈ [0, 30] ta có thể tính được vị trí của đoàn tàu tại bất kỳ thời điểm nào. Vì vậy, ta có thể tính vận tốc trung bình của đoàn tàu. Chẳng hạn trong khoảng thời gian [2, 4] được tính như sau:
= = = 24, f (4) − f (2) 4 − 2 64 − 16 2 Quãng đường đi được Thời gian đi
tức là đoàn tàu đi chuyển với vận tốc trung bình 24 (feet/s)
37
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
➤ Ta thấy rằng, vận tốc trên không phải là vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm t = 2, nhưng nó cho ta thấy vận tốc gần đúng của đoàn tàu tại gần thời điểm t = 2. ➤ Nếu ta quan sát vận tốc trung bình của đoàn tàu trong khoảng thời gian [2, t] với t > 2, thì ta có
Bảng: Vận tốc trung bình của đoàn tàu khi t tiến về 2 (bên phải)
= v(t) = f (t) − f (2) t − 2 4t2 − 16 t − 2
t 2.1 2.09 2.08 2.07 2.06 v(t) 16.4 16.36 16.32 16.28 16.24 t 2.05 2.04 2.03 2.02 2.01 v(t) 16.2 16.16 16.12 16.08 16.04
38
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Nhận xét: Từ bảng trên, ta thấy khi cho giá trị của t "gần" 2 thì giá trị của f (t) "gần" 16. Nói cách khác, hàm số f (t) có "giới hạn" bằng 16 khi t tiến gần tới 2. ➤ Ta có thể viết lại như sau:
= 16 lim t→2 v(t) = lim t→2 = lim t→2 f (t) − f (2) t − 2 4t2 − 16 t − 2
➤ Trong trường hợp tổng quát, vận tốc trung bình của đoàn tàu trong khoảng thời [t, t + h] được tính như sau:
= . Vận tốc TB = f (t + h) − f (t) h Quãng đường đi Thời gian đi
Mặc khác, nếu ta cho h tiến gần về 0 thì ta có vận tốc tức thời của đoàn tàu tại thời điểm t được tính như sau:
. v(t) = lim h→0 f (t + h) − f (t) h
39
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
➤ Cho hàm số y = f (x). Nếu x thay đổi từ x0 đến x0 + h, h > 0, thì số gia (biến số) ∆x của x (lượng thay đổi của x từ x0 đến x) được tính như sau:
∆x = x0 + h − x0 = h
và tương ứng với nó là số gia (hàm số) ∆y của y (lượng thay đổi của f (x) khi x thay đổi lượng ∆x)
∆y = y2 − y1 = f (x0 + h) − f (x0)
➤ Tỷ số
= = ∆y ∆x y2 − y1 h f (x0 + h) − f (x0) h
được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên khoảng [x0, x0 + h]. ➤ Tốc độ thay đổi tức thời được xác định như sau:
= lim h→0 = lim h→0 lim h→0 ∆y ∆x y2 − y1 h f (x0 + h) − f (x) h
40
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
f (x)
P2
f (x0 + h) − f (x0)
P1 f (x0 + h) h f (x0)
x h x0 x0 + h
41
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 4.1. Đạo hàm của hàm f tại điểm x, ký hiệu f ′(x), là
f ′(x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) h
nếu giới hạn trên tồn tại.
Ký hiệu đạo hàm thường gặp
f ′(x) = y′ = = = f (x) = Df (x) = Dxf (x) dy dx df dx d dx
Ví dụ 4.2. Dùng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số
y = f (x) = x2
Ví dụ 4.3. Cho p = f (q) = , tìm . 1 2q dp dq
42
−(x0),
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 4.2. Đạo hàm bên trái của hàm số f tại điểm x0, ký hiệu f ′ được định nghĩa như sau:
, f ′ −(x0) = lim h→0− f (x0 + h) − f (x0) h f (x) − f (x0) x − x0 = lim x→x− 0
+(x0),
nếu các giới hạn tồn tại.
Định nghĩa 4.3. Đạo hàm bên phải của hàm số f tại điểm x0, ký hiệu f ′ được định nghĩa như sau:
, f ′ +(x0) = lim h→0+ f (x0 + h) − f (x0) h f (x) − f (x0) x − x0 = lim x→x+ 0
−(x0) = f ′
+(x0).
nếu các giới hạn tồn tại.
−(x0) = f ′
+(x0).
Định lý 4.1. Hàm số f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f ′ Hơn nữa, khi đó f ′(x0) = f ′
43
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 4.4. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, biết
( f (x) = 0 x2 nếu x ≤ 0, nếu x > 0.
Ví dụ 4.5. Xác định các điểm có đạo hàm của hàm f (x) = |x|.
Ví dụ 4.6. Cho hàm số
nếu x ̸= −1 f (x) = ex+1 − x − 2 x + 1 a nếu x = −1
i) Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = −1. ii) Tìm đạo hàm f ′(−1) ứng với a vừa tìm được trong câu i).
44
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Định lý 4.2. Hàm số f (x) có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x
Ngược lại, chưa chắc đúng. ➤ Ta xét f (x) = |x|. Rõ ràng f (x) liên tục tại x = 0, nhưng f (x) không có đạo hàm tại x = 0.
f ′(x)
f (x) O
O
Định lý 4.3.
1 Hàm số f (x) có đạo hàm trái tại x thì f liên tục trái tại x. 2 Hàm số f (x) có đạo hàm phải tại x thì f liên tục phải tại x.
Định nghĩa 4.4. Hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng mở I nếu f (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc I.
45
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
1 x ln a
6) (loga x)′ = 7) (sin x)′ = cos x 8) (cos x)′ = − sin x
9) (tan x)′ =
5) (ln x)′ = 1) (C)′ = 0, với C là hằng số 2) (xα)′ = αxα−1 3) (ax)′ = ax ln a 4) (ex)′ = ex 1 x 10) (cot x)′ = − 1 cos2 x 1 sin2 x
46
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Tính chất 4.1.
1
2
3
(cid:17)′
4
= , v ̸= 0. (u + v)′ = u′ + v′. (ku)′ = ku′ với k là hằng số. (uv)′ = u′v + uv′. u′v − uv′ (cid:16) u v2 v
5 Cho y = f (u), u = u(x) và tồn tại u′(x), y′(u), khi đó y′
x = f ′
u(u).u′ x.
√ x2 + m √ Ví dụ 4.7. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 2x4 + 3x3 − 5x2 − 2 b) y = x3 ln x (x > 0) x2 + m)
d) y = e) y = ln(x + e) y = (1 + x2)ln x c) y = ln x x4
47
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Đạo hàm của hàm hợp
6) (sin u)′ = cos u.u′ 7) (cos u)′ = − sin u.u′ 1) (uα)′ = αuα−1.u′ 2) (au)′ = au ln a.u′ 3) (eu)′ = eu.u′ .u′ 8) (tan u)′ = .u′ 4) (ln u)′ =
.u′ 9) (cot u)′ = − 1 cos2 u 1 sin2 u .u′ 1 u 5) (loga u)′ = 1 u ln a
48
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
(y0) = Định lý 4.4. Giả sử f là một hàm số đơn điệu và f ′(x0) ̸= 0 . Khi đó, hàm ngược f −1 khả vi tại y0 = f (x0) và (cid:0)f −1(cid:1)′ 1 f ′(x0)
Công thức tính đạo hàm hàm ngược
√ x ̸= ±1 1) (arcsin x)′ = 3) (arctan x)′ =
√ x ̸= ±1 2) (arccos x)′ = − 4) (arccot x)′ = − 1 1 + x2 1 1 + x2 1 1 − x2 1 1 − x2
√ .u′ u ̸= ±1 1) (arcsin u)′ = 3) (arctan u)′ =
√ .u′ u ̸= ±1 2) (arccos u)′ = − 4) (arccot u)′ = − 1 1 + u2 .u′ 1 1 + u2 .u′ 1 1 − u2 1 1 − u2
49
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Trong các ứng dụng, đôi khi ta phải tính tốc độ thay đổi của một hàm số, mà bản thân nó lại là tốc độ thay đổi. Chẳng hạn, gia tốc của một chiếc ô tô là tốc độ thay đổi vận tốc của nó theo thời gian, trong khi vận tốc là tốc độ thay đổi của quãng đường xe đi được theo thời gian.
Các phát biểu về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi cũng được sử dụng khá phổ biến trong kinh tế học. Chẳng hạn, trong thời kỳ lạm phát, bạn có thể thấy một chuyên gia kinh tế nói rằng, mức giá chung mặc dù vẫn tăng, song tốc độ tăng của nó giảm dần. Điều này ngụ ý rằng, mức giá chung hiện vẫn tăng lên, nhưng không tăng nhanh như thời gian trước đó. Tốc độ thay đổi của hàm f (x) theo x là đạo hàm f ′(x). Tương tự, tốc độ thay đổi của f ′(x) theo x là đạo hàm (f ′(x))′ . Để đơn giản ký hiệu, ta viết đạo hàm của đạo hàm của f (x) là f ′′(x) và gọi đó là đạo hàm cấp hai của f (x).
50
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Định nghĩa 5.1. - Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x thì ta nói f (x) có đạo hàm cấp 1 tại x. Kí hiệu f ′(x). - Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f (x) tại x. Kí hiệu f ′′(x). Đạo hàm cấp hai của một hàm số biểu thị tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số đó. - Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của f (x) được gọi là đạo hàm cấp n của f (x). Kí hiệu f (n)(x)
f (n)(x) = (f (n−1)(x))′
Ví dụ 5.1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = ln(1 + x2).
n X
Công thức Leibniz Giả sử các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tiếp đến cấp n. Khi đó, ta có
nu(n−k).v(k),
n =
k=0
C k (uv)(n) = trong đó C k và u(0) = u, v(0) = v n! k!(n − k)!
51
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 6.1. Cho hàm số α(x),
1 Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a nếu
α(x) = 0. lim x→a
2 Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → a nếu
|α(x)| = ∞. lim x→a
1 Tổng hai VCB là một VCB;
2 Tích một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB;
3 Tích hai VCL là một VCL;
4 Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL;
5 Nếu α(x) ̸= 0 là một VCB thì
là một VCL. 1 α(x)
là một VCB. Ngược lại, nếu α(x) ̸= 0 là một VCL thì 1 α(x)
52
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 6.2. Cho α(x), β(x) là hai VCB khi x → a. Xét giới hạn
= L. lim x→a α(x) β(x)
i) Nếu L = 0, ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x). Kí hiêu: α(x) = o(β(x));
ii) Nếu L = 1, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương. Kí hiệu: α(x) ∼ β(x); iii) Nếu L ̸= 0, L hữu hạn, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc. Kí hiệu: α(x) = O(β(x)).
53
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
thì Định lý 6.1. Giả sử khi x → a, ta có các cặp VCB tương đương α(x) ∼ α∗(x); β(x) ∼ β∗(x) và nếu tồn tại lim x→a α∗(x) β∗(x)
. = lim x→a lim x→a α(x) β(x) α∗(x) β∗(x)
Chú ý:
Khi x → 0, ta có các cặp VCB tương đương sau:
arctan x ∼ x ax − 1 ∼ x ln a sin x ∼ x; arcsin x ∼ x ex − 1 ∼ x; tan x ∼ x ln(1 + x) ∼ x (1 + x)a ∼ 1 + ax, (a ̸= 0).
54
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 6.3. Hàm f được gọi là khả vi tại x ∈ I nếu và chỉ nếu tại x số gia ∆y có thể phân tích thành tổng của một đại lượng tỷ lệ với số gia ∆x và một đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x khi ∆x → 0. Hơn nữa,
∆y = f (x + ∆x) − f (x) = A∆x + o(∆x), khi ∆x → 0.
với A là hằng số và o(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x khi ∆x → 0. Khi đó, A∆x được gọi là vi phân của f tại x, ký hiệu dy(x) hoặc df (x)
Định lý 6.2. - Hàm số khả vi tại x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó, A = f ′(x0). - Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì biểu thức vi phân của f (x) là df = f ′(x0)dx
Đặc biệt, nếu y = f (x) = x, thì dy = dx = f ′(x)dx = ∆x, nên ta có thể viết vi phân của f tại x về dạng sau: dy = f ′(x)dx. Vì vậy, ta có thể biểu diễn đạo hàm qua ký hiệu sau: f ′(x) = dy dx .
55
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 6.1.
a) Với y = x3 thì dy = y′dx = (x3)′dx = 3x2dx b) Với f (x) = ex thì df (x) = f ′(x)dx = (ex)′dx = exdx
Tính chất 6.1 (Vi phân của tổng, tích và thương). Từ công thức tính đạo hàm tổng, tích và thương của hai hàm số, ta có:
1) d(ku) = kdu 2) d(u + v) = du + dv 3) d(u.v) = udv + vdu
= , v ̸= 0 4) u v vdu − udv v2
Ví dụ 6.2.
a) d(x3 + ex) = d(x3) + d(ex) = 3x2dx + exdx = (3x2 + ex)dx; b) d(x3ex) = exd(x3) + x3d(ex) = 3x2exdx + x3exdx = x2ex(x + 3)dx
56
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 6.4 (Vi phân cấp cao). Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của f (x), kí hiệu là dnf (x).
dny = d(dn−1y)
dnf (x) = d(dn−1f (x)) = f (n)(x)dxn
Một số quy tắc tính vi phân cấp cao
1) dn(cu) = cdnu 2) dn(u + v) = dnu + dnv
ndn−ku.dkv (d0u = u, d0v = v)
n P k=0
C k 3) dn(uv) =
Nếu ∆x → 0 thì f (x0 + ∆x) − f (x0) và f ′(x0)∆x là 2 VCB tương đương. Do đó, khi |∆x| khá nhỏ, ta có công thức gần đúng
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f ′(x0)∆x
57
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
15, 8 √ Ví dụ 6.3. Tính gần đúng 4
√ Lời giải Xét hàm số f (x) = 4 x và x0 = 16, ∆x = −0, 2. Ta có
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f ′(x0)∆x = f (16) + f ′(16)(−0, 2) = 1, 9938
15, 8 ≈ 1, 9938 √ Suy ra, 4
√ Ví dụ 6.4. Sử dụng vi phân xấp xỉ 26, 5.
58
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
có dạng vô định hoặc . i) Giới hạn lim x→a ∞ ∞ 0 0
tồn tại ii) Giới hạn lim x→a Định lý 7.1 (Quy tắc L’Hospital). Cho các hàm số f (x) và g(x) có đạo hàm trong lân cận của điểm a và g′(a) ̸= 0. Nếu: f (x) g(x) f ′(x) g′(x)
. thì lim x→a = lim x→a f (x) g(x) f ′(x) g′(x)
Chú ý:
1 Quy tắc vẫn đúng khi thay x → a bởi x → a+, x → a−, x → ∞.
2 Trường hợp lim x→a
không tồn tại, ta không có kết luận về lim x→a f ′(x) g′(x) f (x) g(x)
59
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ 7.1. Tính giới hạn của các hàm số sau:
1) lim x→0 x ln x 5) lim x→0+ 2) lim x→1 6) lim x→∞ x + sin x x (cid:19) 3) lim x→0 − 7) lim x→1 (cid:18) 1 ln x 1 x − 1 4) lim x→+∞ sin x x x3 − 2x + 1 3x2 − 4x + 1 x − sin x x3 ln x x
60
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Chú ý
1 Trước khi áp dụng quy tắc l’Hôpital cần kiểm tra Điều kiện thứ nhất
của định lý trên. (cid:19)
2 Nếu gặp dạng (0 × ∞), ta có thể chuyển về dạng
để áp dụng , (cid:18) 0 0 ∞ ∞ quy tắc l’Hôpital.
(cid:27) (cid:19) : f × g = → f → 0 g → ∞ (cid:18) 0 0 f 1 g
(cid:27) (cid:17) → : f × g = f → 0 g → ∞ (cid:16) ∞ ∞ g 1 f
3 Dạng ∞ − ∞:
1
g − 1
f
1 f g
(cid:27) (cid:19) : f − g = → f → ∞ g → ∞ (cid:18) 0 0
61
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Các dạng vô định thường gặp (tiếp theo)
1∞; 00; ∞0, . . .
Phương pháp khử dạng vô định tổng quát:
(cid:16) y = f (x)g(x) ⇐⇒ ln y = ln f (x)g(x)(cid:17) (cid:16) ln f (x)g(x)(cid:17) ln y = lim x→x0 ⇐⇒ lim x→x0 (cid:18) (cid:19) ⇐⇒ ln y g(x) ln f (x) = A = lim x→x0
lim x→x0 y = eA. ⇐⇒ lim x→x0
[f (x)−1]g(x)
lim x→x0
Trong trường hợp (1∞) có thể áp dụng trực tiếp kết quả sau:
f (x)g(x) = e lim x→x0
62
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ 7.2. Tính giới hạn của các hàm số sau:
1
xx lim x→0+
2
x
x 1 lim x→∞
3
x
(ex + x) 1 lim x→0
63
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Định nghĩa 7.1. Giả sử f có đạo hàm cấp n tại điểm c.
1 Đa thức Taylor bậc n của f tại c là
(x − c)2 + (x − c)3 pn(x) = f (c) + f ′(c)(x − c) + f ′′(c) 2! f ′′′(c) 3!
+ · · · + (x − c)n f (n)(c) n!
2 Trong trường hợp c = 0 thì đa thức Taylor được gọi là đa thức
Maclaurin. Tức là đa thức Maclaurin bậc n của f là
x2 + x3 + · · · + xn pn(x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) 2! f ′′′(0) 3! f (n)(0) n!
64
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ 7.3. Cho hàm số f (x) = ex. Hãy xác định
1 Đa thức Maclaurin bậc n của f . 2 Sử dụng p5(x) để tính xấp xỉ e.
Lời giải. ➣ Ta có
f (x) = ex =⇒ f (0) = 1 f ′(x) = ex =⇒ f ′(0) = 1 f ′′(x) = ex =⇒ f ′′(0) = 1
... ... f (n)(x) = ex =⇒ f (n)(0) = 1
➣ Khi đó, ta được
x2 + x3 + · · · + xn f n(0) n!
x2 + f ′′(0) 2! x3 + f ′′′(0) 3! x4 + · · · + xn. = 1 + x + pn(x) = f (0) + f ′(0)x + 1 6 1 2 1 n! 1 24
65
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
➣ Sử dụng kết quả trên với n = 5, ta có
x2 + x3 + x4 + x5 p5(x) = 1 + x + 1 2 1 6 1 24 1 120
+ + + = ≈ 2.71667 p5(1) = 1 + 1 + ➣ Ta chú ý rằng e = e1 = f (1) ≈ p5(1). Do đó 1 120 1 24 1 2 1 6 163 60 y
f (x) = ex
x 0
66
p5(x)
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ 7.4. Cho hàm số f (x) = ln(x). Hãy xác định
1 Đa thức Taylor bậc n của f tại x = 1. 2 Sử dụng p6(x) để tính xấp xỉ ln(1, 5).
Lời giải. ➣ Ta có
=⇒ f (1) = 0 =⇒ f ′(1) = 1 f (x) = ln x f ′(x) =
=⇒ f ′′(1) = −1
f ′′′(x) = =⇒ f ′′′(1) = 2
=⇒ f (4)(1) = −6 6 x4
...
1 x 1 f ′′(x) = − x2 2 x3 f (4)(x) = − ... f (n)(x) = =⇒ f (n)(1) = (−1)n+1(n − 1)! (−1)n+1(n − 1)! xn
67
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
➣ Khi đó, ta có
(x − c)2 + · · · + (x − c)n pn(x) = f (c) + f ′(c)(x − c) + f ′′(c) 2! f n(c) n!
(x − 1)2 + · · · + (x − 1)n = 0 + (x − 1) − 1 2 (−1)n+1 n
➣ Sử dụng kết quả trên với n = 6, ta có
(x − 1)2 + (x − 1)3 − (x − 1)4 p6(x) = (x − 1) − 1 2
(x − 1)5 − (x − 1)6 + 1 3 1 5 1 4 1 6
➣ Vì ln(x) ≈ p6(x) tại x gần điểm c = 1, nên ta suy ra ln(1.5) ≈ p6(1.5):
(1.5 − 1)2 + (1.5 − 1)3 − (1.5 − 1)4 p6(1.5) = (1.5 − 1) − 1 4
1 2 (1.5 − 1)5 − 1 3 (1.5 − 1)6 = ≈ 0.404688 + 1 6 1 5 259 640
68
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
y f (x) = ln(x)
p2(x)
x
p4(x)
p6(x)
(x − 1)2 + (x − 1)3 − (x − 1)4 p6(x) = (x − 1) − 1 2
(x − 1)5 − (x − 1)6 + 1 4 1 6 1 3 1 5
69
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Định lý 7.2. Giả sử f có đạo hàm cấp n là f (n) liên tục trên I và f có đạo hàm cấp n + 1 trên khoảng I, c là một điểm nằm giữa I. Thì với mỗi x ∈ I, tồn tại zx giữa x và c sao cho
(x − c)2 f (x) = f (c) + f ′(c)(x − c) + f ′′(c) 2!
+ · · · + (x − c)n + Rn(x), f (n)(c) n!
trong đó
(x − c)(n+1) [phần dư dạng Lagrange] Rn(x) = f (n+1) (zx) (n + 1)!
hoặc [phần dư dạng Peano] Rn(x) = o(cid:0)(x − c)n(cid:1)
Chú ý: Trong trường hợp c = 0, thì công thức Taylor của f được gọi là công thức Maclaurin của f .
70
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ 7.5. Xác định khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = sin x.
Lời giải ➤ Ta có
=⇒ f (0) = 0 f (x) = sin x f ′(x) = cos x =⇒ f ′(0) = 1 f ′′(x) = − sin x =⇒ f ′′(0) = 0 f ′′′(x) = − cos x =⇒ f ′′′(0) = −1 =⇒ f (4)(0) = 0 f (4)(x) = sin x
➤. Khi đó, ta được
x2 + x3 + · · · x + f (x) = f (0) + f ′′(0) 2! f ′′′(0) 3!
∞ X
+ − + · · · = x −
n=0
= f ′(0) 1! x3 x5 x7 3! 5! 7! (−1)n x2n+1 (2n + 1)!
71
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
CÔNG THỨC MACLAURIN THƯỜNG GẶP
+ + · · · + + o(xn) 1) ex = 1 + x + xn n! x2 2! x3 3!
+ o(xn+1) 2) ln(1 + x) = x −
+ + o(x2n+1) 3) sin x = x − x3 − · · · + (−1)n−1 xn + 3 n − · · · + (−1)n x2n+1 (2n + 1)!
+ + o(x2n+2) 4) cos x = 1 − x2 2 x5 5! x4 4! x3 3! x2 2! − · · · + (−1)n x2n (2n)!
xn + o(xn) 5) (1 + x)α = 1 + αx + · · · + α (α − 1) · · · (α − (n − 1)) n!
= 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)nxn + o (xn) 6) 1 1 + x
72
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ 7.6. Khai triển Taylor tới cấp n của các hàm số sau:
1 f (x) = ex tại x0 = 1 2 f (x) = ln(1 + x) tại x0 = 2.
3 f (x) =
tại x0 = 0. 1 3x + 4
Ví dụ 7.7. Khai triển Maclaurin của các hàm số sau:
2 f (x) = ln
tới cấp n
1 f (x) = (x + 5)e2x tới cấp n 3 + x 2 − x
3 f (x) = ln(cos x) tới cấp 4
Ví dụ 7.8. Cho f (x) = x3 cos 2x. Tính f (7)(0).
xn = αxn =⇒ f (n)(0) = αn! Gợi ý: f (n)(0) n!
73
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Định lý 7.3 (Điều kiện cần). Nếu hàm số f (x) không giảm trên (a; b) (không tăng trên (a; b)) và f (x) khả vi thì f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0).
Định lý 7.4 (Điều kiện đủ). Cho hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a; b). Nếu tại mọi x ∈ (a; b) mà đạo hàm:
f ′(x) > 0 thì f (x) tăng trong (a; b) f ′(x) < 0 thì f (x) giảm trong (a; b) f ′(x) = 0 thì f (x) là hàm hằng trong (a; b)
74
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Định nghĩa 7.2. Cho x0 thuộc miền xác định D của y = f (x). Ta nói
1 f (x) đạt cực tiểu (địa phương) tại x0 nếu tồn tại lân cận V sao cho
f (x) > f (x0) ∀x ∈ V \{x0}
2 f (x) đạt cực đại (địa phương) tại x0 nếu tồn tại lân cận V sao cho
f (x) < f (x0) ∀x ∈ V \{x0}
Định nghĩa 7.3. Cho x0 thuộc miền xác định D của y = f (x). Ta nói
1 f (x) đạt cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) tại x0 nếu
f (x) ≥ f (x0) ∀x ∈ D
2 f (x) đạt cực đại toàn cục (giá trị lớn nhất) tại x0 nếu
f (x) ≤ f (x0) ∀x ∈ D
75
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
y = f (x) cực đại địa phương 3
2 cực tiểu địa phương /toàn cục 1 cực tiểu địa phương
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
76
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Định lý 7.5 (Định lí Fermat - Điều kiện cần của cực trị). Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 ∈ (a; b) và có đạo hàm tại x0 thì f ′(x0) = 0.
Định nghĩa 7.4. Điểm tới hạn của hàm số là các điểm thuộc một trong hai loại sau: i) Điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 (gọi là điểm dừng) ii) Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Ví dụ 7.9. Tìm điểm tới hạn của các hàm số √ a) y = 3
(x − 1)2 x2 q b) y = x 3
77
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Định lý 7.6 (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất). Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số f (x) và hàm số có đạo hàm trong khoảng (x0 − δ, x0), (x0, x0 + δ) với δ > 0. Khi đó: i) Nếu đạo hàm f ′(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) khi qua x0 thì f (x) đạt cực đại tại x0. ii) Nếu đạo hàm f ′(x) đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) khi qua x0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x0. iii) Nếu đạo hàm f ′(x) không đổi dấu khi qua x0 thì x0 không là điểm cực trị của f (x).
Ví dụ 7.10. Tìm cực trị của các hàm số sau: √ a) y = 3
(x − 1)2 x2 q b) y = x 3
78
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Định lý 7.7. Cho hàm số y = f (x) khả vi cấp n tại các điểm gần x0 và thoả mãn f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 và f (n)(x0) ̸= 0. Khi đó,
1 Nếu n chẵn và f (n)(x0) > 0 thì f (x) đạt cực tiểu địa phương tại x0. 2 Nếu n chẵn và f (n)(x0) < 0 thì f (x) đạt cực đại địa phương tại x0. 3 Nếu n lẻ thì f (x) không đạt cực trị địa phương tại x0.
Ví dụ 7.11. Tìm cực trị của hàm số f (x) = x3 − 3x2 + 1 (nếu có).
79
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Lời giải. Ta có
1 Hàm số f (x) liên tục trên R.
2 f ′(x) = 3x(x − 2)
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 3x(x − 2) = 0 ⇐⇒ (cid:20) x = 0 x = 2
3 f ′′(x) = 6x − 6
Với x = 0 : f ′′(0) = −6 < 0 Với x = 2 : f ′′(2) = 6 > 0
4 Hàm số f (x) đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.
81
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên miền [a, b]
1 Kiểm tra tính liên tục của hàm f (x) trên [a, b]. 2 Giả sử x1, . . . , xn ∈ [a, b] là nghiệm của f ′(x) = 0. 3 Tính f (a), f (x1), . . . , f (xn), f (b). 4 Kết luận:
min [a,b]
f (x) = min (cid:8)f (a), f (x1), . . . , f (xn), f (b)(cid:9) f (x) = max (cid:8)f (a), f (x1), . . . , f (xn), f (b)(cid:9). max [a,b]
Ví dụ 7.13. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
√
1 f (x) = 2x3 + 3x2 − 1 trên đoạn [−1/2, 1]. 2 f (x) =
4 − x2.
81
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ 7.14. Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau:
f (x) = x3 − 3x2 + 1, −1 ⩽ x ⩽ 1
Lời giải. Ta có
1 Hàm số f (x) liên tục trên −1 ⩽ x ⩽ 1.
2 f ′(x) = 0 ⇐⇒ 3x(x − 2) = 0 ⇐⇒
(cid:20) x = 0 ∈ [−1, 2] x = 2 /∈ [−1, 2]
3 f (−1) = −3, f (0) = 1 và f (1) = −1 4 Suy ra
fmin = min{f (−1), f (0), f (1)} = −3
và fmax = max{f (−1), f (0), f (1)} = 1
82
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Đạo hàm là đại lượng đo tốc độ của sự thay đổi
1 Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x (trong khoảng từ x0 đến
x0 + ∆x) là
∆y ∆x
2 Tốc độ thay đổi tức thời (tốc độ thay đổi) của y theo x tại x0 là
y′(x0) = lim ∆x→0 = lim ∆x→0 ∆y ∆x f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x
∆x ≈ y′(x0). Do đó,
Khi ∆x khá nhỏ thì ∆y
∆y ≈ y′(x0).∆x
1 Nếu x thay đổi một lượng ∆x thì y sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng
y′(x0) lần lượng thay đổi của x.
2 Đặc biệt, nếu x thay đổi một lượng ∆x = 1 tại x0 thì y sẽ thay đổi một
lượng xấp xỉ bằng y′(x0).
83
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Ví dụ 8.1. Tìm tốc độ thay đổi của hàm y = x2 theo x và ước lượng nó khi x = 2 và x = −1. Hãy giải thích kết quả nhận được.
Ví dụ 8.2. Hàm cầu của một loại sản phẩm là P = 50 − Q2. Tìm tốc độ thay đổi giá với mỗi đơn vị sản phẩm Q. Giá sẽ tăng như thế nào tại Q = 3. Giả sử P được tính bằng đô la ($).
84
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Độ thay đổi tuyệt đối, độ thay đổi tương đối
1 Độ thay đổi tuyệt đối: Khi đại lượng x tăng lên ∆x đơn vị thì ∆x được
tính bằng % được gọi là độ thay đổi
2 Độ thay đổi tương đối: Tỉ số
gọi là độ thay đổi tuyệt đối của x. Đô thay đổi tuyệt đối của x phụ thuộc vào đơn vị đo của x và mang ý nghĩa khác nhau tùy theo biến x. ∆x x
tương đối của đại lượng x. Độ thay đổi tương đối không phụ thuộc vào đơn vị đo.
Ví dụ 8.3. Giá một căn nhà là 500 triệu đồng, hiện nay giá nhà tăng lên 600 triệu đồng.
1 ∆x = 600 − 500 = 100 triệu đồng ←− độ thay đổi tuyệt đối
2
.100% = = 20% ←− độ thay đổi tương đối ∆x x 100 500
85
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Định nghĩa 8.1. Cho hàm số y = f (x). Giá trị biên tế của y theo x tại x0, kí hiệu là Mxy(x0), là lượng thay đổi tuyệt đối của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x thay đổi 1 đơn vị.
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f ′(x0)∆x
khi ∆x rất nhỏ, ∆y chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của y, ∆x chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của x.
Khi ∆ = 1, giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là
Mxy(x0) ≈ f ′(x0)
86
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Định nghĩa 8.2. Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu là M Q, là đại lượng đo sự thay đổi của sản lượng khi lao động hay vốn tăng thêm 1 đơn vị.
√ L. Tìm Ví dụ 8.4. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = f (L) = 5 M Q khi L = 100
L =
= 0, 25 M Q = (Q)′ ⇒ M Q(100) = 5 √ 100 2 5 √ 2 L
Định nghĩa 8.3. Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu là M C(Q), là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị.
Q = 0, 0003Q − 0, 04Q + 5
Ví dụ 8.5. Hàm chi phí sản xuất của một sản phẩm là T C = 0, 0001Q3 − 0, 02Q2 + 5Q + 100. Tìm M C khi Q = 50.
M C = (T C)′ M C = 3, 75
87
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Định nghĩa 8.4. Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu là M R, là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
Ví dụ 8.6. Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q = 1000 − 14P . Tìm M R khi P = 30 và P = 40.
Hàm doanh thu: T R = P Q = P (1000 − 14P ) = 1000P − 14P 2. M R = (T R) , P = 1000 − 28P ⇒ M R(30) = 160; M R(40) = −120
Hàm lợi nhuận: π = T R − T C = P Q − (F C + V C).
Định nghĩa 8.5. Lợi nhuận biên là đại lượng đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thêm 1 đơn vị hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
Ví dụ 8.7. Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 − 2Q. - Hàm chi phí là T C = 0, 2Q2 + 28Q + 200. Tìm M π khi sản lượng Q = 150.
88
Giải. Ta có: T R = P Q = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2. Hàm lợi nhuận: π = T R − T C = −0, 2Q2 + 572Q − 200 M π = −0, 4Q + 572 ⇒ M π(150) = 512
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Định nghĩa 8.6. Cho hàm số y = f (x). Hệ số co dãn của y theo x, kí hiệu là εyx, là
εyx = ∆y/y ∆x/x
trong đó ∆y/y chỉ lượng thay đổi tương đối của y, ∆x/x chỉ lượng thay đổi tương đối của x.
Ý nghĩa:
Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) của y khi x thay đổi 1%.
Khi ∆x rất nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là
= f ′(x) εyx ≈ dy/y dx/x x y
89
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Định nghĩa 8.7. Độ co dãn của cầu theo giá, kí hiệu là ED, là đại lượng đo sự thay đổi tương đối (%) của lượng cầu khi giá tăng 1%.
= = . ED = ∆QD/QD ∆P/P ∆QD ∆P P QD % lượng thay đổi của lượng cầu % lượng thay đổi của giá
ED ≈ f ′(P ). với QD = f (P ) P QD
Trong trường hợp hàm cầu, QD = f (P ) = aP + b với a < 0, b > 0, thì
ED = a P QD
Ví dụ 8.8. Hàm cầu của một sản phẩm là QD = f (P ) = 30 − 4P − P 2.
. = (−4 − 2P ) P QD
90
Hệ số co dãn của cầu theo giá là ED = f ′(P ) P QD Tại mức giá P = 3, ta có: ED = (−4 − 6) 3 9 = −3, 33 Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 3, nếu tăng giá lên 1% thì lượng cầu giảm 3, 33%.
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Định nghĩa 8.8. Độ co dãn của cung theo giá, kí hiệu là ES, là đại lượng đo sự thay đổi tương đối (%) của lượng cung khi giá tăng 1%.
= = . ES = ∆QS/QS ∆P/P ∆QS ∆P P QS % lượng thay đổi của lượng cung % lượng thay đổi của giá
ES ≈ f ′(P ). với QS = f (P ) P QS
Trong trường hợp hàm cầu, QS = f (P ) = cP + d với c > 0, d > 0, thì
ES = c P QS
Ví dụ 8.9. Hàm cung của một sản phẩm là QS = f (P ) = 100P − 5.
100P −5 .
100.0,9−5 = 1, 06
= 100P
91
Hệ số co dãn của cầu theo giá là ED = f ′(P ) P QS Tại mức giá P = 0, 9, ta có: ED = 100.0,9 Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 0, 9, nếu tăng giá lên 1% thì lượng cung tăng 1, 06%.
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Các bài toán trong kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa một hàm mục tiêu y = f (x), tức là chọn x để y đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất.
Lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận π = T R − T C đạt giá trị cực đại.
Ví dụ 8.10. Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 − 2Q. - Hàm chi phí là T C = 0, 2Q2 + 28Q + 200. a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu?
b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi ấy lợi nhuận là bao nhiêu?
92
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất Giá sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là QD = D(P ), hàm tổng chi phí là C = C(Q). Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại.
Ví dụ 8.11. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa với
P và hàm chi phí C(Q) = Q3 − 77Q2 + 1000Q + 100. Tìm mức QD = 656 − 1 2 sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất.
