Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 3

Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 3. Hàm nhiều biến

Nguyễn Phương

Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Ngày 12 tháng 12 năm 2022

1

NỘI DUNG

1 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Giới hạn Liên tục

2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Định nghĩa Đạo hàm riêng cấp cao Hàm khả vi và vi phân toàn phần Đạo hàm của hàm hợp Đạo hàm của hàm ẩn

3 CỰC TRỊ

Cực trị không có điều kiện ràng buộc Cực trị có điều kiện ràng buộc 3 3 8 15 17 17 19 21 25 29 31 31 39

4 Ứng dụng trong kinh tế Ý nghĩa biên tế Hệ số co dãn Tối ưu trong kinh tế

46 46 47 48

2

HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Cho D ⊆ Rn. Ánh xạ

Rn f : D −→ (x1, . . . , xn) 7−→ z = f (x1, . . . , xn)

Hình 1.1: Hàm n biến.

được gọi là hàm số n biến.

Ví dụ 1.1.

1 f (x1, x2) = x1 + x1x2 + 3 ←− hàm 2 biến. 2 f (x1, x2, x3) = px2

3 ←− hàm 3 biến.

2 + x2

←− hàm 4 biến.

3 f (x1, x2, x3, x4) =

3

1 + x2 x1 + x3 x2 + x4

HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

y z

z = f (x, y)

(x, y)

0 x O D (a, b)

f (a, b)

4

HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

Định nghĩa 1.2. Đồ thị của hàm hai biến là tập hợp các điểm trong không gian 3–chiều được xác định như sau:

Gf = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D}.

Ví dụ 1.2. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = sin(x + y).

0.5

−1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0

5

HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

Ví dụ 1.3. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2.

5 0 0 −4 −2 0 2 4 −5

6

HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

Ví dụ 1.4. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 − y2.

5 −20

0 −4 −2 0 2 4 −5

7

HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Định nghĩa 1.3. Cho z = f (x, y) là hàm hai biến và M0(x0, y0) thuộc miền xác định của f . Giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (x0, y0) là L, ký hiệu

f (x, y) = L, lim (x,y)→(x0,y0)

nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi điểm M (x, y) thuộc đĩa mở có tâm (x0, y0), bán kính δ và (x, y) ̸= (x0, y0), thì

|f (x, y) − L| < ϵ.

Hàm số z = f (x, y) có giới hạn là L khi (x, y) dần đến (x0, y0) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến M0(x0, y0) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến L.

8

HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

9

HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

khi (x, y) → (0, 0).

Ví dụ 1.5. Xét giá trị của hàm số f (x, y) =

sin (cid:0)x2 + y2(cid:1) x2 + y2

y −1, 0 −0, 5 −0, 2 0, 2 0, 5 1, 0 0

0, 841 0, 990 1, 000

Bảng 1: Bảng giá trị của hàm số f (x, y) =

x −1, 0 −0, 5 −0, 2 0 0, 2 0, 5 1, 0 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829 1, 000 0, 990 0, 841 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829

0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 sin (cid:0)x2 + y2(cid:1) x2 + y2

= 1. Vậy lim (x,y)→(0,0) sin (cid:0)x2 + y2(cid:1) x2 + y2

10

HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Ví dụ 1.6. Xét giá trị của hàm số g(x, y) =

x2 − y2 x2 + y2 khi (x, y) → (0, 0).

y −1, 0 −0, 5 −0, 2 0, 2 0, 5 1, 0 0

x 0, 600 0, 000 −1, 0 −0, 5 −0, 600 0, 000 −0, 2 −0, 923 −0, 724 1, 000 1, 000 1, 000

Bảng 2: Bảng giá trị của hàm số g(x, y) =

x2 − y2 x2 + y2

0, 923 0, 724 0, 000 0 −1, 000 −1, 000 −1, 000 0, 000 0, 724 0, 923 0, 2 −0, 923 −0, 724 0, 000 0, 5 −0, 600 0, 600 0, 000 1, 0 1, 000 1, 000 1, 000 0, 000 0, 600 0, 923 0, 000 −0, 600 0, 724 0, 000 −0, 724 −0, 923 −1, 000 −1, 000 −1, 000 −0, 724 −0, 923 0, 000 −0, 600 0, 000 0, 724 0, 000 0, 600 0, 923

Vậy lim (x,y)→(0,0) x2 − y2 x2 + y2 không tồn tại.

11

HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Tính chất 1.1. Cho b, x0, y0, L và K là các số thực, cho n là số nguyên dương, và f , g thoả mãn

g(x, y) = K. f (x, y) = L và lim (x,y)→(x0,y0) lim (x,y)→(x0,y0)

Thì ta có

1

x = x0; y = y0 lim (x,y)→(x0,y0) lim (x,y)→(x0,y0)

2

(cid:0)f (x, y) ± g(x, y)(cid:1) = L ± K

3

b · f (x, y) = bL

4

f (x, y) · g(x, y) = LK

5

f (x, y)/g(x, y) = L/K, (K ̸= 0)

6

f (x, y)n = Ln lim (x,y)→(x0,y0) lim (x,y)→(x0,y0) lim (x,y)→(x0,y0) lim (x,y)→(x0,y0) lim (x,y)→(x0,y0)

Các định lý về giới hạn của hàm hai biến cũng tương tự của hàm một biến.

12

HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Ví dụ 1.7. Chứng minh rằng

= 0. (x2 + y2) sin lim (x,y)→(0,0) 1 xy

Giải Ta nhận thấy rằng

−(x2 + y2) ⩽ (x2 + y2) sin ≤ (x2 + y2). 1 xy

Mà (x2 + y2) = (x2 + y2) = 0. lim (x,y)→(0,0) lim (x,y)→(0,0)

Do đó ta được

= 0. (x2 + y2) sin lim (x,y)→(0,0) 1 xy

13

HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Ví dụ 1.8. Chứng minh không tồn tại

lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 .

Giải

x→0

+) Với y = x thì xy . lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 = lim x2 2x2 = 1 2

+) Với y = −x thì

x→0

xy . lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 = lim −x2 2x2 = − 1 2

xy Vì giá trị của hai giới khác nhau nên giới hạn lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 không tồn tại.

14

HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục

Định nghĩa 1.4. Cho hàm số f (x, y) với miền xác định D chứa điểm (x0, y0).

1 Hàm số f liên tục tại (x0, y0) nếu

f (x, y) = f (x0, y0). lim (x,y)→(x0,y0)

2 Hàm số f liên tục trên D nếu f liên tục tại tất cả các điểm thuộc D.

Hàm số z = f (x, y) liên tục tại (x0, y0) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến M0(x0, y0) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến giá trị của hàm số tại điểm M0(x0, y0).

Các tính chất liên tục của hàm hai biến giống như hàm một biến.

Ví dụ 1.9. Hàm f (x, y) = sin(x2 + xy − y) là hàm liên tục vì f (x, y) là hợp của hai hàm liên tục u(x, y) = x2 + xy − y2, g(x) = sin(x).

15

HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục

Ví dụ 1.10. Cho hàm số

  khi (x, y) ̸= (0, 0); f (x, y) =  xy2 x2 + y2 a khi (x, y) = (0, 0).

Tìm a để f (x, y) là hàm liên tục tại (0, 0).

Giải Với (x, y) ̸= (0, 0), ta có:

≤ |x| 0 ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Mà |x| = 0 nên = 0 , suy ra lim (x,y)→(0,0) lim (x,y)→(0,0) (cid:12) xy2 (cid:12) (cid:12) x2 + y2 (cid:12) xy2 x2 + y2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

lim (x,y)→(0,0) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) xy2 x2 + y2 = 0. Vậy f (x, y) liên tục tại (0, 0) khi a = 0.

Định lý 1.1 (Định lý Weierstrass). Hàm số f liên tục trên một tập D đóng và bị chặn thì f bị chặn và đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D.

16

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trên miền D và (x0, y0) ∈ D.

tồn tại và hữu hạn thì i) Nếu giới hạn lim ∆x→0

x(x0, y0) hay fx(x0, y0) hay

. f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) ∆x giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của f (x, y) tại (x0, y0). Kí hiệu: f ′ ∂f (x0, y0) ∂x

tồn tại và hữu hạn thì ii) Nếu giới hạn lim ∆y→0

y(x0, y0) hay fy(x0, y0) hay

. f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) ∆y giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến y của f (x, y) tại (x0, y0). Kí hiệu: f ′ ∂f (x0, y0) ∂y

Ký hiệu tương đương:

f (x, y), , , và fx, zx. f ′ x, z′ x,

f (x, y), , , và fy, zy. f ′ y, z′ y, ∂ ∂x ∂ ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y

17

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Định nghĩa

Quy tắc tìm đạo hàm riêng

1 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến x, ta coi z = f (x, y) là

hàm một biến x, biến còn lại y là hằng số.

2 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến y, ta coi z = f (x, y) là

hàm một biến y, biến còn lại x là hằng số.

1 z = f (x, y) = x2y3 − 2x + 3y + 1; tìm f ′

Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: x(1, 0), f ′

y(1, 2).

2 z =

x y

3 f (x, y) =

. x px2 + y2

4 z = xy

18

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa 2.2.

Hình 2.1: Đạo hàm riêng cấp cao

19

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng cấp cao

Định lý 2.1 (Định lý Schwarz). Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng f ′′

yx và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm (x, y) thì

xy và f ′′

xy = f ′′ f ′′ yx.

Ví dụ 2.2. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:

3 f (x, y) =

+ + 1.

1 f (x, y) = x4 − 5x3y2 + 2y4. 2 f (x, y) = x3y2 − 5x4y. y x

x y

20

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

Định nghĩa 2.3. Cho hàm z = f (x, y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định. Hàm f được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần

∆f (x0, y0) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0)

có thể biễu diễn được ở dạng

∆f (x0, y0) = A∆x + B∆y + ε1∆x + ε2∆y

∂x , ∂f = A, ∂f (x0,y0)

∂y liên tục = B.

trong đó A, B là các hằng số, ε1 và ε2 → 0 khi (∆x, ∆y) → (0, 0).

Định lý 2.2. Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng ∂f tại (x0, y0) thì z = f (x, y) khả vi tại (x0, y0) và ∂f (x0,y0)

∂x

∂y

x(x0, y0)∆x + f ′

y(x0, y0)∆y gọi là

Định nghĩa 2.4. Đại lượng df (x0, y0) = f ′ vi phân của hàm z = f (x, y) tại (x0, y0).

Vì dx = ∆x, dy = ∆y nên

x(x0, y0)dx + f ′

y(x0, y0)dy

df (x0, y0) = f ′

21

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

1 df = f ′ 2 df = f ′

Công thức vi phân cần nhớ xdx + f ′ xdx + f ′

ydy ←− Vi phân cấp 1 hàm 2 biến. ydy + f ′

zdz ←− Vi phân cấp 1 hàm 3 biến.

Ví dụ 2.3. Tính vi phân các hàm số sau:

1 f (x, y) = x4 − 5x3y2 + 2y4.

2 f (x, y) =

+ + 1. y x

x y 3 f (x, y) = e−xy2 .

4 f (x, y, z) =

z px2 + y2

22

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

x(x0, y0)dx + f ′

y(x0, y0)dy

∆z ≈ f ′

Công thức tính gần đúng giá trị của hàm hai biến bằng vi phân toàn phần

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0) + df (x0, y0)

Ví dụ 2.4. Tính gần đúng 1, 023,01.

Giải: Chọn hàm z = xy ta có

dz = yxy−1∆x + xy.lnx∆y.

Với x = 1, ∆x = 0, 02, y = 3, ∆y = 0, 01 ta có

dz = 3 × 1 × 0, 02 + 1 × ln 1 × 0, 01 = 0, 006.

Do đó,

1, 023,01 = z(1 + ∆x, 3 + ∆y) = z(1, 1) + dz ≈ 11 + 0, 06 = 1, 06.

23

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

Định nghĩa 2.5. Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dz của hàm số z = f (x, y) được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z = f (x, y) và được ký hiệu là d2z hoặc d2f .

Kí hiệu dx2 = (dx)2, dy2 = (dy)2, ta có:

xxdx2 + 2z′′

xydxdy + z′′

yydy2

d2z = z′′

Ví dụ 2.5. Tìm vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số sau:

z = f (x, y) = 2x2 − 3xy − y2

24

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

Định nghĩa 2.6.

Hình 2.2: Hàm hợp

25

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

Trường hợp 1. (Đạo hàm hàm hợp)

x = f ′

uu′

x + f ′

vv′

x hoặc

  = + . ⇒ f ′ df dx ∂f ∂u du dx ∂f ∂v dv dx  f = f (u, v), u = u(x), v = v(x),

Ví dụ 2.6. Cho f = f (u, v) = u3v + ln(uv), u = ex, v = sin2x. Tính f ′ x.

26

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

Trường hợp 2. (Đạo hàm hàm hợp)

∂u

∂v

∂u

uu′ uu′

x + f ′ y + f ′

vv′ vv′

x hoặc ∂f y hoặc ∂f

∂x = ∂f ∂y = ∂f

∂u

∂x + ∂f ∂y + ∂f

∂v

∂v ∂x . ∂v ∂y .

"   ⇒ f ′ x = f ′ y = f ′ f ′  f = f (u, v), u = u(x, y) v = v(x, y),

Ví dụ 2.7. Cho f = f (u, v) = euv, u(x, y) = x2 + y2, v(x, y) = xy. Tính f ′

x, f ′ y.

27

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

Trường hợp 3. (Đạo hàm hàm hợp)

⇒ = + . (cid:26) f = f (x, y) y = y(x) df dx ∂f ∂x ∂f ∂y dy dx

√ 1 + x2(cid:1).

Ví dụ 2.8. Cho f = f (x, y) = exy + x2y, y = y(x) = ln (cid:0)x + Tính

. ∂f ∂x df dx

28

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm ẩn

Định nghĩa 2.7. Cho phương trình F (x, y) = 0. Nếu tồn tại một ánh xạ y = y(x) sao cho F (x, y(x)) = 0 thì ta nói y = y(x) là hàm ẩn xác định bởi F . Đạo hàm của hàm ẩn

. y′ x = − F ′ x F ′ y

Ví dụ 2.9. Tìm y′

x biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình

ey = x + y.

x = −1,F ′

y = ey − 1 nên

Giải: Ta có: ey = x + y hay F (x, y) = ey − x − y = 0 suy ra F ′

= = . y′ x = − 1 ey − 1 1 x + y − 1 F ′ x F ′ y

29

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm ẩn

Định nghĩa 2.8. Cho phương trình F (x, y, z) = 0. Nếu tồn tại một ánh xạ z = z(x, y) sao cho F (x, y, z(x, y)) = 0 thì ta nói z = z(x, y) là hàm ẩn xác định bởi F . Đạo hàm của hàm ẩn

, . z′ x = − z′ y = − F ′ x F ′ z F ′ y F ′ z

, , dz.

Ví dụ 2.10. Cho z = z(x, y) xác định bởi xyz = x + y + z. Tìm

∂z ∂x ∂z ∂y

Giải: Ta có: xyz = x + y + z hay F (x, y, z) = xyz − x − y − z = 0.

= yz − 1, = xz − 1, Do đó = xy − 1 và ta được ∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z

= − = − ∂z ∂x yz − 1 xy − 1

∂F ∂x ∂F ∂z ∂y ∂F ∂z ∂

= − = − ∂z ∂y xz − 1 xy − 1

30

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.1. Cho (x0, y0) thuộc miền xác định D ⊆ R2 của z = f (x, y). 1 f (x, y) đạt cực tiểu (địa phương) tại (x0, y0) nếu tồn tại lân cận V ⊆ D

sao cho f (x, y) > f (x0, y0) ∀(x, y) ∈ V \{(x0, y0)}

2 f (x, y) đạt cực đại (địa phương) tại (x0, y0) nếu tồn tại lân cận V ⊆ D

sao cho f (x, y) < f (x0, y0) ∀(x, y) ∈ V \{(x0, y0)}

Hàm f (x, y) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm (x0, y0) thì ta nói hàm đạt cực trị tại điểm (x0, y0).

Định nghĩa 3.2. Cho (x0, y0) thuộc miền xác định D ⊆ R2 của z = f (x, y).

1 f (x, y) đạt cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) tại (x0, y0) nếu

f (x, y) ≥ f (x0, y0) ∀(x, y) ∈ D

2 f (x, y) đạt cực đại toàn cục (giá trị lớn nhất) tại (x0, y0) nếu

f (x, y) ≤ f (x0, y0) ∀(x, y) ∈ D

31

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.3 (Điểm dừng). Điểm (x0, y0) ∈ R2 được gọi là điểm dừng của hàm số z = f (x, y) nếu z = f (x, y) có tất cả các đạo hàm riêng cấp một bằng 0 tại (x0, y0).

Định lý 3.1 (Điều kiện cần của cực trị). Nếu hàm số z = f (x, y) đại cực trị tại (x0, y0) và có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) thì (x0, y0) là điểm dừng của hàm số z = f (x, y).

Định lý 3.2 (Điều kiện đủ của cực trị). Nếu hàm số z = f (x, y) có đạo hàm cấp 2 liên tục trong một lân cận của điểm dừng (x0, y0). Đặt A = f ′′

xx (x0, y0) , B = f ′′

xy (x0, y0) , C = f ′′

yy (x0, y0) ., khi đó:

1 Nếu ∆ = AC − B2 > 0 và A < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại của hàm số

z = f (x, y).

2 Nếu ∆ = AC − B2 > 0 và A > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu của hàm số

z = f (x, y).

3 Nếu ∆ = AC − B2 < 0 thì (x0, y0) không là điểm cực trị của hàm số

z = f (x, y).

32

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Các bước tìm cực trị tự do của z = f (x, y)

1 Xác định điểm dừng của f (x, y):

⇔ Q(x0, y0) (cid:26) f ′ x (x0, y0) = 0 f ′ y (x0, y0) = 0

2 Tính , với

xx (x0, y0) , B = f ′′

xy (x0, y0) , C = f ′′

yy (x0, y0) .

A = f ′′

3 Kết luận

1

: Hàm số đạt cực tiểu tại Q(x0, y0) .

2

: Hàm số đạt cực đại tại Q(x0, y0) .

(cid:26) ∆ > 0 A > 0 (cid:26) ∆ > 0 A < 0

3 ∆ < 0: Hàm số không có cực trị tại Q(x0, y0). 4 ∆ = 0: chưa thể xác định hàm số có cực trị tại Q(x0, y0) hay không, cần

kiểm tra thêm.

33

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Ví dụ 3.1. Khảo sát cực trị tự do của hàm

1 f (x, y) = x2 + xy + y2 − 2x − y. 2 f (x, y) = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2. 3 f (x, y) = 1 + px2 + y2.

34

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.4 (Tập lồi). Cho D ⊆ R2. D được gọi là tập lồi nếu với mọi x và y thuộc D và với mọi t trong khoảng [0, 1], điểm

tx + (1 − t)y

cũng thuộc D , tức là,

Hình 3.1: Tập lồi

Hình 3.2: Tập không lồi

∀x, y ∈ D, ∀t ∈ [0, 1] ⇒ tx + (1 − t)y ∈ D

35

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.5. Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lồi trên tập lồi D ⊆ R2 nếu

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) ∀x, y ∈ D, ∀t ∈ [0, 1]

Định nghĩa 3.6. Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lồi chặt (lồi ngặt) trên tập lồi D ⊆ R2 nếu

Hình 3.3: Đồ thị hàm số y = x2 + xy + y2

f (tx + (1 − t)y) < tf (x) + (1 − t)f (y) ∀x, y ∈ D, ∀t ∈ (0, 1)

36

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.7. Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lõm trên tập lồi D ⊆ R2 nếu

f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y) ∀x, y ∈ D, ∀t ∈ [0, 1]

Định nghĩa 3.8. Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lõm chặt (lõm ngặt) trên tập lồi D ⊆ R2 nếu

f (tx + (1 − t)y) > tf (x) + (1 − t)f (y) ∀x, y ∈ D, ∀t ∈ (0, 1)

37

CỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định lý 3.3. Cho hàm số z = f (x, y) và miền xác định D là tập lồi. Đặt

xx (x, y) ,B(x, y) = f ′′

xy (x, y) , C(x, y) = f ′′

yy (x, y) .

A(x, y) = f ′′

∆(x, y) = A(x, y)C(x, y) − B2(x, y)

1 Nếu ∆(x, y) > 0, A(x, y) > 0 ∀x, y ∈ D thì z = f (x, y) lồi chặt trên D. Khi đó, điểm cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên D. 2 Nếu ∆(x, y) > 0, A(x, y) < 0 ∀x, y ∈ D thì z = f (x, y) lõm chặt trên D. Khi đó, điểm cực đại địa phương cũng là cực đại toàn cục trên D.

Ví dụ 3.2. Một công ty kẹo sản xuất hai loại kẹo A và B, và có chi phí trung bình lần lượt là $2 và $3 trên một cân. Số lượng (tính theo cân) của sản phẩm loại A và B bán được mỗi tuần lần lượt là qA và qB và được xác định bởi

qA = 400 (pB − pA) và qB = 400 (9 + pA − 2pB)

trong đó pA và pB lần lượt là giá bán (USD trên 1 cân) của A và B. Hãy xác định giá bán của mỗi sản phẩm để tối đa hóa doanh thu P của công ty.

38

CỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.9. Cực trị của hàm số z = f (x, y) với điều kiện là các biến x, y phải thỏa mãn ràng buộc cho bởi phương trình ϕ(x, y) = a được gọi là cực trị có điều kiện (hay cực trị có ràng buộc).

Tìm cực trị của z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = a bằng phương pháp khử

1 Chuyển hàm ϕ(x, y) = a về hàm theo biến x (hoặc y) và thay vào hàm z = f (x, y). Khi đó, z = f (x, y) trở thành hàm 1 biến theo x (hoặc y). 2 Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm 1 biến, ta tìm được cực trị

Nếu f ′′(x0) < 0 =⇒: f (x) đạt cực đại tại x0. Nếu f ′′(x0) > 0 =⇒: f (x) đạt cực tiểu tại x0.

của f (x) (hoặc f (y)). Giả sử f (x) có đạo hàm cấp 1,2 trên (a, b) chứa điểm dừng x0 với f ′(x) = 0.

3 Kết luận cực trị của hàm 2 biến.

Ví dụ 3.3. Khảo sát cực trị các hàm số sau: f (x, y) = xy với điều kiện x + y = 1.

39

CỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Tìm cực trị của z = f (x, y) với điều kiện φ(x, y) = a bằng phương pháp Lagrange

1 Lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) = f (x, y) + λ(φ(x, y) − a)

′

 

2 Tìm điểm dừng:

x(x0, y0, λ) = 0 y(x0, y0, λ) = 0 λ(x0, y0, λ) = 0

⇔ Q(x0, y0, λ0) 

3 Tính L′′

yy(x0, y0), và φ′

x(x0, y0), φ′

y(x0, y0).

L L′ L′ xy(x0, y0), L′′ xx(x0, y0), L′′

xydxdy + L′′

yydy2,

(1)

xxdx2 + 2L′′ xdx + φ′

ydy = 0

d2L = L′′ dφ = φ′ (2)

4 Kết hợp (1) và (2), ta kết luận

d2L < 0: Hàm số đạt cực đại tại Q(x0, y0, λ0). d2L > 0: Hàm số đạt cực tiểu tại Q(x0, y0, λ0). d2L = 0: chưa thể xác định hàm số có cực trị tại Q(x0, y0, λ0) hay không, cần kiểm tra thêm.

40

CỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Ví dụ 3.4. Tìm cực trị của f (x, y) = xy thoả mãn x + y = 1.

Lời giải.

  ⇐⇒ x = y = và λ = − . 1 2 1 2 

3 Các đạo hàm riêng L′′

1 Xây dựng hàm Lagrange: L(x, y, λ) = xy + λ(x + y − 1). 2 Tìm tất cả các x, y và λ sao cho: Lx(x, y; λ) = y + λ = 0, Ly(x, y; λ) = x + λ = 0, Lλ(x, y; λ) = x + y − 1 = 0. xx = 0,L′′

xy = 1 và φ′

yy = 0, L′′

x = 1, φ′

y = 1.

4 Kết hợp

xxdx2 + 2L′′

xydxdy + L′′

yydy2 = 2dxdy

d2L = L′′

xdx + φ′

ydy = 0 ⇐⇒ dx = −dy

và dφ = φ′

(cid:17) , ; − ➤ Ta được d2L = −(dx)2 < 0 =⇒ f đạt cực đại tại . (cid:16) 1 2 1 2 1 2

41

CỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Ví dụ 3.5. Tìm cực trị của f (x, y) = x + y thoả x2 + y2 = 1.

Lời giải.

1 Xây dựng hàm Lagrange: L(x, y, λ) = x + y + λ(x2 + y2 − 1). 2 Tìm tất cả các x, y và λ sao cho:

, x = −   ⇐⇒ y = − ,     1 2λ 1 2λ x2 + y2 − 1 = 0. Lx(x, y; λ) = 1 + 2λx = 0, Ly(x, y; λ) = 1 + 2λy = 0, Lλ(x, y; λ) = x2 + y2 − 1 = 0. √ √ √  =⇒ x = , y = λ = − 2 2 ⇐⇒ √ 2 2 √ 2 2 √     λ = =⇒ x = − , y = − 2 2 2 2 2 2

3 Các đạo hàm riêng L′′

xx = 2λ, L′′

yy = 2λ, L′′

xy = 0 và φ′

x = 2x, φ′

y = 2y.

42

CỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

4 Ta có

xxdx2 + 2L′′

xydxdy + L′′

yydy2 = 2λdx2 + 2λdy2

d2L = L′′ √

, ta được ➤ Với λ = − 2 2

d2L = 2λ(cid:0)dx2 + dy2(cid:1) < 0

√ √ √ √ (cid:16) (cid:17) , ; − 2 =⇒ f đạt cực đại tại và fCĐ = 2 2 2 2 2 2 √

, ta được ➤ Với λ = 2 2

d2L = 2λ(cid:0)dx2 + dy2(cid:1) > 0 √ √ √ √ (cid:16) (cid:17) − , − ; 2 =⇒ f đạt cực tiểu tại và fCT = − 2 2 2 2 2 2

43

CỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

 

H =   φ′ φ′ 0 y x xx L′′ x L′′ φ′ xy xy L′′ y L′′ φ′ yy

Định lý 3.4.

i) Nếu định thức

ii) Nếu định thức (cid:12) (cid:12)H(cid:12) (cid:12)H(cid:12) (cid:12) (cid:12) > 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại. (cid:12) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu

44

CỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số z = f (x, y) trên miền đóng và bị chặn D

1 Giả sử P1, P2, . . . là các điểm dừng của z = f (x, y). Loại các điểm không

nằm trong D và tính các giá trị của z = f (x, y) tại các điểm còn lại.

2 Tìm cực trị của z = f (x, y) trên biên của D bằng phương pháp

Lagrange hoặc phương pháp khử.

3 So sánh giá trị z = f (x, y) ở hai bước trên và kết luận.

Ví dụ 3.6.

1 f (x, y) = (x − 6)2 + (y + 8)2 trên miền x2 + y2 ≤ 25. 2 f (x, y) = x2 − y2 trên miền x2 + y2 ≤ 2x. 3 f (x, y) = x2 − xy + y2 trên miền |x| + |y| ≤ 1. 4 f = x2 − y2 + 2xy trên miền [0, 2] × [1, 3].

45

Ứng dụng trong kinh tế Ý nghĩa biên tế

Cho z = f (x, y).

1

= là lượng thay đổi tuyệt đối của z khi x tăng 1 đơn vị.

2

= là lượng thay đổi tuyệt đối của z khi y tăng 1 đơn vị. dz dx dz dy df dx df dy

Ví dụ 4.1. Cho hàm sản xuất Q = f (K, L).M PK = dQ

dK , M PL = dQ dL .

Ví dụ 4.2. Cho hàm sx Cobb − Douglas Q = AK αL1−α A > 0, 0 < α < 1.

1 M PK = dQ

L )1−α ( K

(cid:1)α

2 M PL = dQ

dK = αAK α−1L1−α = αA dL = (1 − α)AK αL−α = (1 − α)A(cid:0) K

Cho hàm hữu dụng U = f (x1, x2, . . . , xn). Quy luật hữu dụng biên giảm dần được mô tả bằng công thức:

≤ 0 ∀i = 1, n ∂2f ∂x2 i

46

Ứng dụng trong kinh tế Hệ số co dãn

Gọi y là đại lượng kinh tế phụ thuộc vào các biến kinh tế khác x1, x2, . . . , xn biểu diễn qua hàm số y = f (x1, x2, . . . , xn). Khi đó, độ co dãn của y theo biến xj được định nghĩa là:

. Exj y = xj y ∂y ∂xj

Ví dụ 4.3. Cho hàm sản xuất Cobb - Douglas Q = AK αL1−α với A > 0, 0 < α < 1.

(cid:19) . = αAK α−1L1−α. = = α EK = dQ dK K Q (cid:18) K Q αAK αL1−α Q

(cid:19) = . = (1 − α)AK αL−α. = 1 − α EL = dQ dL L Q (cid:18) L Q (1 − α)AK αL1−α Q

47

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

1 + Q1Q2 + Q2

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (tức là nhà sản xuất phải bán hết sản phẩm với giá thị trường quyết định) với các mức giá P1, P2, . . . , Pn. Hàm chi phí C = C(Q1, Q2, . . . , Qn) với Qi là mức sản lượng của sản phẩm thứ i mà doanh nghiệp sản xuất. Tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Ví dụ 4.4. Doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá P1 = 60, P2 = 75. Hàm chi phí C = Q2 2. Tìm mức sản lượng (Q1, Q2) để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.

48

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện sản xuất độc quyền

Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất n loại sản phẩm (giá cả do nhà sản xuất quyết định). Biết hàm cầu của n loại sản phẩm này là QDi = Di(P1, P2, . . . , Pn). Hàm tổng chi phí là C = C(Q1, Q2, . . . , Qn). Tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Ví dụ 4.5. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại sản phẩm này và hàm tổng chi phí như sau:

QD1 = 40 − 2P1 + P2; QD2 = 15 + P1 − P2

1 + Q1Q2 + Q2 2

C = Q2

Tìm mức sản lượng (Q1, Q2) để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.

49

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Lập kế hoạch phân phối cho nhiều thị trường tiêu thụ tách biệt

Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất 1 loại sản phẩm và phân phối trên n thị trường tách biệt. Biết hàm cầu trên n thị trường là QDi = Di(Pi). Hàm tổng chi phí là C = C(Q) với Q = Q1 + Q2 + . . . + Qn. Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

Ví dụ 4.6. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm và kinh doanh trên 2 thị trường tách biệt với hàm cầu:

QD1 = 840 − 2P1; QD2 = 1230 − 3P2

Hàm chi phí C = 20 + 150Q + Q2 với Q = Q1 + Q2. Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.

50

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Bài toán tối ưu của người tiêu dùng

Giả sử một người tiêu dùng định dùng số tiền là I để mua n loại sản phẩm. Biết rằng giá của các loại sản phẩm này là P1, P2, . . . , Pn. Hàm hữu dụng cho n loại sảm phẩm này là u = u(x1, x2, . . . , xn) trong đó xi là số lượng của loại sản phẩm thứ i mà người đó mua. Hãy xác định số lượng phải mua sao cho giá trị sử dụng lớn nhât.