CHƯƠNG IV: Tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng
A.Trường hợp bài toán có một biến lựa chọn
I. Đặt bài toán
SX: TƯ 1 hàm Y= f(x). πmax, Qmax, TCmin, tmin,…
TD: Umax, chi tiêu ít nhất...
1.Bài toán sản xuất
+ DN SX Q, với TC= B0(đã xác định), Q→Max
Sử dụng nđầu vào với khối lượng đầu vào thứ j là Xj(j=1,n)
Giá đầu vào thứ j là Pj(j = 1,n).
Chi phí SX: P1X1+P2X2+⋯+PnXn=σj=1
nPjXj≤B0
HMT: Q=Q X1,X2,…,Xn→Max
RB: σj=1
nPjXj=gX1,X2,…,Xn=B0
+ Sản xuất Q = Q0, sao cho chi phí SX B →min
𝐇𝐌𝐓:B=෍
j=1
nPjXj=gX1,X2,…,Xn→min
RB: Q X1,X2,…,Xn=Q0
→2 mặt của bài toán chi phí -hiệu quả.
CHƯƠNG IV: Tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng
A.I.2. Bài toán tiêu dùng
+ Chi tiêu B= B0(đã xác định), U →Max
Tiêu dùng nhàng hóa với khối lượng hàng hóa thứ j là Xj(j=1,n)
Giá hàng hóa thứ j là Pj(j = 1,n).
Chi tiêu: P1X1+P2X2+⋯+PnXn=σj=1
nPjXj≤B0
HMT: U=U X1,X2,…,Xn→Max
RB: σj=1
nPjXj=gX1,X2,…,Xn=B0
+ U= U0(đã xác định), chi tiêu Bmin
HMT: B= σj=1
nPjXj=gX1,X2,…,Xn→min
RB: U0=U X1,X2,…,Xn
→Kinh tế:BT CĐ và CT hoá được gọi là BT tối ưu hoá.
CHƯƠNG IV: Tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng
A.II.Cực trị địa phương,kiểm tra cực trị bằng đạo hàm
1. Cực trị địa phương
Y = f(X) xđ và lt (a,b), Y = f(X) đạt CĐ (CT) tại X0thuộc (a,b)
nếu tồn tại > 0 đủ nhỏ sao cho f(X) < f(X0) thì X0là CĐ ;
f(X) > f(X0) thì X0là CT luôn thoả mãn khi 0 < X – X0<.
2. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm
Hàm số: Y = f(X)
+ĐK cần: f '(X) = 0 →X0
+ĐK đủ:cực đại tại X0khi f''(X0) < 0
cực tiểu tại X0khi f''(X0) > 0
VD: TC = Q2- 4Q + 10
CHƯƠNG IV: Tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng
A.III.Ứng dụng trong phân tích kinh tế
1. Bài toán sản xuất
Giả sử 1DN sản xuất 1loại sản phẩm với khối lượng là Q, biết TR(Q),
TC(Q). Tìm Q = ? để (Q) →Max
(Q)= TR(Q)- TC(Q) →Max
+ĐK cần:'(Q) = 0
'(Q) = TR'(Q) - TC '(Q) = MR –MC = 0 →MR = MC
+ĐK đủ:Để (Q) →Max thì "(Q) < 0
"(Q) = MR' - MC' < 0 →MR' < MC'
KL:ĐK cần và đủ để DN đạt max là sản xuất ra Qmà tại đó
MR= MC và tốc độ tăng của MR nhỏ hơn tốc độ tăng của MC.
2. Ví dụ
Giả sử 1DN sản xuất ở TT CTHH 1 loại sản phẩm với khối lượng là
Q, có: P0=12 (đv tiền tệ)
TC(Q) = - Q3+54Q2-93Q +1
Tìm Q= ?Để max
CHƯƠNG IV: Tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng
B. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn
DN đa dạng hoá sản phẩm?
I. Bài toán có 2 biến lựa chọn
1. Bài toán 1 biến lựa chọn, sử dụng vi phân tìm cực trị
Hàm số: Y = f(x)
+ ĐK cần: dy =0
𝑑𝑦=𝑑𝑓
𝑑𝑥𝑑𝑥= f ’(x).dx
dy = 0 →f '(x) = 0 vì dx 0 →X=?
+ ĐK đủ:
Cực đại: d2y < 0 khi f''(X) < 0
Cực tiểu: d2y > 0 khi f''(X) > 0
d2y = d(dy) = d(f ’(x) dx) = f "(x).dx2với dx2≥ 0