Bài giảng Toán trong công nghệ: Chương 2 - Nguyễn Linh Trung, Trần Thị Thúy Quỳnh

Chương 2:

Các khái niệm cơ bản của xác suất

Nguyễn Linh Trung Trần Thị Thúy Quỳnh

Đại học Công nghệ, ĐHQGHN

Nội dung

(cid:73) 2.1. Thực nghiệm ngẫu nhiên (cid:73) 2.2 Các định lý của xác suất (cid:73) 2.3 Xác suất có điều kiện (cid:73) 2.4 Chuỗi các thực nghiệm

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

2 / 24

Thực nghiệm ngẫu nhiên

(cid:73) Thực nghiệm ngẫu nhiên là thực nghiệm mà kết quả

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

đạt được biến đổi một cách không thể dự đoán khi lặp lại thực nghiệm nhiều lần trong cùng một điều kiện.

(cid:73) Ví dụ

(cid:73) E1: Chọn một quả bóng từ bình chứa 50 bóng được

đánh số từ 1 đến 50. Ghi lại số trên quả bóng.

(cid:73) E3: Tung một đồng xu ba lần và ghi lại tuần tự trạng

thái mặt sấp và mặt ngửa.

(cid:73) E7: Nhặt ngẫu nhiên một số trong khoảng 0 và 1. (cid:73) E12: Nhặt ngẫu nhiên 2 số trong khoảng 0 và 1.

3 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) I

(cid:73) Kết quả (Outcome): là kết quả của một thực nghiệm

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

ngẫu nhiên.

(cid:73) Khi tiến hành thực nghiệm, chỉ có một và chỉ một kết

quả xuất hiện.

(cid:73) Các kết quả có thể nhận được loại trừ lẫn nhau (độc

lập).

(cid:73) Không gian mẫu (Sample space) S: là một tập tất cả các kết quả (điểm mẫu - sample point) có thể nhận được.

4 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) II

(cid:73) Phân loại các không gian mẫu:

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) Không gian mẫu có thể là hữu hạn đếm được, vô hạn

đếm được, hoặc vô hạn không đếm được.

đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn)

(cid:73) Không gian mẫu rời rạc: là không gian mẫu S có thể

hạn).

(cid:73) Không gian mẫu liên tục: S không thể đếm được (vô

(cid:73) S có thể có một chiều hoặc nhiều chiều, phụ thuộc vào

số phép đo.

(cid:73) Ví dụ:

(cid:73) E1: Chọn một quả bóng trong bình chứa 50 bóng được đánh số từ 1 đến 50. Ghi lại số của quả bóng được chọn. Không gian mẫu sẽ là:

S1 = {1, 2, . . . , 50}

⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.

5 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) III

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) E3: Tung một đồng xu ba lần và ghi lại tuần tự mặt xấp và mặt ngửa của đồng xu. Không gian mẫu sẽ là:

S3 = {HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}

⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều. (cid:73) E7: Nhặt một số ngẫu nhiên trong khoảng 0 và 1.

Không gian mẫu sẽ là:

S7 = {x : 0 ≤ x ≤ 1}

⇒ không gian mẫu liên tục, một chiều.

(cid:73) E12: Nhặt 2 số ngẫu nhiên trong khoảng 0 và 1.

S12 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 and 0 ≤ y ≤ 1}

6 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) IV

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

⇒ không gian mẫu liên tục, hai chiều.

7 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) V

(cid:73) Bài tập:

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) E2: Chọn một quả bóng trong bình chứa 4 quả bóng

được đánh số từ 1 đến 4. Giả thiết rằng quả bóng đánh số 1 và quả bóng đánh số 2 là màu đen, quả bóng đánh số 3 và quả bóng đánh số 4 là màu trắng. Ghi lại số và màu của quả bóng được chọn.

(cid:73) E4: Tung đồng xu ba lần và ghi lại số mặt ngửa của

đồng xu.

(cid:73) E5: Đếm số gói tin chỉ chứa thông tin "im lặng" được

tạo ra bởi nhóm N người trong khoảng thời gian 10-ms. (cid:73) E6: Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát lại.

8 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) VI

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) E8: Đo thời gian giữa các yêu cầu phục vụ trong một

máy chủ Web.

(cid:73) E9: Đo tuổi thọ của một chíp nhớ máy tính trong môi

trường nhất định.

(cid:73) E10: Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại thời

điểm t1.

(cid:73) E11: Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại các thời

điểm t1 và t2.

(cid:73) E13: Nhặt một số ngẫu nhiên X trong khoảng 0 và 1,

sau đó nhặt một số ngẫu nhiên Y trong khoảng 0 và X.

(cid:73) E14: Một phần tử của hệ thống được lắp đặt tại thời

điểm t = 0. Trong khoảng thời gian t ≥ 0, đặt X(t) = 1 tương đương với phần tử đang hoạt động, và X(t) = 0 khi phần tử không hoạt động.

9 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) VII

(cid:73) Kết quả:

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) E2: Chọn một quả bóng trong bình chứa 4 quả bóng

được đánh số từ 1 đến 4. Giả thiết rằng quả bóng đánh số 1 và quả bóng đánh số 2 là màu đen, quả bóng đánh số 3 và quả bóng đánh số 4 là màu trắng. Ghi lại số và màu của quả bóng được chọn.

S2 = {(1, b), (2, b), (3, w), (4, w)}

⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, hai chiều.

(cid:73) E4: Tung đồng xu ba lần và ghi lại số mặt ngửa của

đồng xu.

S4 = {0, 1, 2, 3}

⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.

10 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) VIII

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) E5: Đếm số gói tin chỉ chứa thông tin "im lặng" được

tạo ra bởi nhóm N người trong khoảng thời gian 10-ms.

S5 = {0, 1, 2, · · · , N }

⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.

(cid:73) E6: Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát.

S6 = {1, 2, · · · }

⇒ không gian mẫu rời rạc, vô hạn, một chiều.

(cid:73) E8: Đo thời gian giữa các yêu cầu phục vụ trong một

máy chủ Web.

S8 = {t : t ≥ 0}

⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.

11 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) IX

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) E9: Đo tuổi thọ của một chíp nhớ máy tính trong môi

trường nhất định.

S9 = {t : t ≥ 0}

⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều. (cid:73) E10: Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại thời

điểm t1.

S10 = {v1 : −∞ ≤ v1 ≤ +∞}

⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.

(cid:73) E11: Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại các thời

điểm t1 và t2.

S11 = {(v1; v2) : −∞ ≤ v1 ≤ +∞; −∞ ≤ v2 ≤ +∞}

⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, hai chiều.

12 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) X

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung (cid:73) E13: Nhặt một số ngẫu nhiên X trong khoảng 0 và 1,

sau đó nhặt một số ngẫu nhiên Y trong khoảng 0 và X.

S13 = {(X; Y ) : 0 ≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ X}

⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, hai chiều.

(cid:73) E14: Một phần tử của hệ thống được lắp đặt tại thời

điểm t = 0. Trong khoảng thời gian t ≥ 0, đặt X(t) = 1 tương đương với phần tử đang hoạt động (ứng với t < t0), và X(t) = 0 khi phần tử không hoạt động.

S14 = X(t), X(t) = 1 với 0 ≤ t ≤ t0, X(t) = 0 với t ≥ t0

⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.

13 / 24

Biến cố (Events) I

(cid:73) Biến cố là tập con của không gian mẫu với các kết quả

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

(cid:73) Ví dụ: Gọi Ak là biến cố của thực nghiệm Ek

(cid:73) E1: "bóng chẵn được chọn"; A1 = {2, 4, . . . , 50} (cid:73) E3: "Ba lần tung cho cùng kết quả";

A3 = {HHH, TTT}

(cid:73) Biến cố có thể là:

(cid:73) E7: "Số được chọn không âm"; A7 = S7

(cid:73) một kết quả trong số không gian mẫu (rời rạc) và được

gọi là biến cố sơ cấp (elementary event)

(cid:73) Hai biến cố đặc biệt là:

(cid:73) kết hợp một số kết quả (cid:73) toàn bộ kết quả trong không gian mẫu (cid:73) không chứa kết quả nào trong không gian mẫu

(cid:73) Biến cố chắc chắn (Certain Event): S chứa tất cả các kết quả của thực nghiệm và do đó luôn luôn xuất hiện.

14 / 24

Biến cố (Events) II

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất (cid:73) Biến cố không thể (Impossible/Null Event): ∅; không N. Linh-Trung

bao giờ xảy ra.

15 / 24

Lý thuyết tập hợp

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

Các phép toán tập hợp

Các tính chất của tập hợp:

1. Phép giao hoán A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

2. Phép kết hợp

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. Phép phân phối

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

4. Quy tắc DeMorgan

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

16 / 24

Bài tập

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

1. Thực nghiệm E6: Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát. ⇒ Xác định không gian mẫu.

2. Gọi A là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lớn hơn 9", B là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lại là số chẵn", và C là biến cố số khối thông tin được yêu cầu phát lại lớn hơn 19. ⇒ Xác định các biến cố A, B, và C

3. Xác định biến cố nào là tập con của biến cố nào? 4. Xác định các biến cố A ∪ B, A ∩ B, Ac, Bc, A − B và

B − A

17 / 24

Kết quả

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

1. Thực nghiệm E6: Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát. ⇒ Không gian mẫu là S6 = {1, 2, · · · }

2. Gọi A là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lớn hơn 9", B là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lại là số chẵn", và C là biến cố số khối thông tin được yêu cầu phát lại lớn hơn 19. ⇒ A = {10, 11, · · · }, B = {2, 4, · · · }, và C = {20, 21, · · · }

3. Xác định biến cố nào là tập con của biến cố nào?

⇒ C ⊂ A

18 / 24

Kết quả

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

4. Xác định các biến cố A ∪ B, A ∩ B, Ac, Bc, A − B và

B − A ⇒ A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 11, · · · } A ∩ B = {10, 12, 14, · · · } Ac = {1, 2, 3, · · · , 9} Bc = {1, 3, 5, · · · } A − B = A ∩ Bc = {11, 13, · · · } B − A = B ∩ Ac = {2, 4, 6, 8}

19 / 24

Lớp biến cố F

(cid:73) Lớp biến cố F (set of sets) chứa tập các biến cố, trong

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

đó mỗi biến cố là tập của kết quả. F = {A1, A2, · · · , Ak}

(cid:73) Trong không gian mẫu hữu hạn S = {1, 2, · · · , k}, mỗi kết quả có khả năng xuất hiện hoặc không xuất hiện trong tập con, như vậy có thể có 2k tập con được tạo thành từ không gian mẫu (các biến cố). Lớp các biến cố chứa tất cả tập của các biến cố, được gọi là "power set of S", và nó có 2k phần tử.

20 / 24

Bài tập

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

Cho S = {T, H} là không gian mẫu chứa các kết quả của thực nghiệm tung 1 đồng xu.

(cid:73) Xác định tất cả các biến cố có thể = "power set of S"

21 / 24

Kết quả

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

Cho S = {T, H} là không gian mẫu chứa các kết quả của thực nghiệm tung 1 đồng xu.

(cid:73) Xác định tất cả các biến cố có thể = "power set of S"

⇒ S = {∅, {T }, {H}, {H, T }}

22 / 24

Bài tập

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

Ghi lại kết quả mặt sấp/ngửa sau ba lần tung một đồng xu.

(cid:73) Xác định không gian mẫu (cid:73) Xác định S =power set of S (cid:73) Xác định số phần tử trong S

23 / 24

Kết quả

Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất N. Linh-Trung

Ghi lại kết quả mặt sấp/ngửa sau ba lần tung một đồng xu.

(cid:73) Xác định không gian mẫu

S = {T T T, T T H, T HT, T HH, HT T, HT H, HHT, HHH}

(cid:73) Xác định S =power set of S

S = {∅, {T T T }, {T T H}, · · · , {T T T, T T H}, · · · , {T T T, T T H, T HT, T HH, HT T, HT H, HHT, HHH}}

(cid:73) Xác định số phần tử trong S

Số phần tử: 28

24 / 24