Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Công nghệ Cơ khí
CHƯƠNG 03: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC Thời lượng: 3 tiết
2
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa” (Saddle points) của hàm.
Giải hệ phương trình Gradient = 0:
Giả sử có m nghiệm
3
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Tính ma trận Hessian tại một điểm bất kz
Tính ma trận Hessian tại m điểm nghiệm ở bước 1.
Dựa vào dấu của các ma trận Hessian tại các điểm để xác định cực trị hay điểm yên
4
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Giả sử ma trận Hessian tại điểm nghiệm i có dạng
Tính định thức của n ma trận thành phần:
1. Nếu tất cả A1, A2, …, An > 0 thì ma trận [H] > 0 x(i) – cực tiểu 2. Nếu dấu của Aj là (–1)j (j=1..n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại 3. Nếu một vài Aj > 0 và 1 vài cái Aj < 0 hoặc = 0 x(i) – Điểm yên
5
Điểm yên (Saddle Point)
6
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng lần lượt là k1, k2, k3. Các lò xo ở vị trí tự nhiên (không co – giãn) khi P=0. Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2 theo nguyên l{ cực tiểu thế năng.
Thế năng của hệ = Năng lượng biến dạng
–
công của ngoại lực
của lò xo
7
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U.
Có một nghiệm duy nhất, có nghĩa là chỉ có 1 vị trí cân bằng và ổn định
8
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Tính ma trận Hessian
Tính định thức của 2 ma trận thành phần:
Là điểm cực tiểu
Với:
9
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau:
Có 4 điểm dừng (m=4)
Tính ma trận Hessian một điểm bất kz
10
Tính ma trận Hessian tại 4 điểm nghiệm ở bước 1.
1) Điểm số 1:
Tất cả các định thức thành phần đều >0 Cực tiểu
2) Điểm số 2:
Trình tự âm – dương của các định thức thành phần không tuân theo quy tắc cực đại Điểm yên
3) Điểm số 3:
Toàn bộ các định thức thành phần đều âm Điểm yên
4) Điểm số 4:
Các định thức thành phần tuân theo quy luật cực đại Cực đại
11
Xanh lam Cực tiểu Đỏ Cực đại 2 điểm xanh lá cây còn lại Điểm yên
12
Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc
Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau:
Giải hệ phương trình này
1) Trường hợp 1: Nếu x1=0 thì PT (1) vô nghiệm Suy ra x1≠0 2) Trường hợp 2: Nếu x2=0 thì PT (2) thỏa mãn, ta cần giải PT (1) lúc này
13
Vẽ đồ thị hàm:
online: https://rechneronline.de/function-graphs/
14
Dựa vào đồ thị ta thấy có 3 nghiệm nằm trong 3 khoảng sau đây: - Khoảng 1 là [-2.1; -1.8] trong đó nghiệm rất gần với -2.1 - Khoảng 2 là [-0.6; -0.3] trong đó nghiệm rất gần với -0.5 - Khoảng 3 là [2.4; 2.7] trong đó nghiệm rất gần với 2.55 Sử dụng phương pháp số như bisection ra sẽ ra được 3 nghiệm này lần lượt là:
Khảo sát tính chất cực đại, cực tiểu và điểm yên của điểm dừng
15
a) Xét điểm dừng số 1:
Tất cả các định thức thành phần đều >0 Cực tiểu
b) Xét điểm dừng số 2:
Toàn bộ các định thức thành phần đều âm Điểm yên
c) Xét điểm dừng số 3:
Tất cả các định thức thành phần đều >0 Cực tiểu
16
3) Trường hợp 3: x1≠0, x2≠0:
Ta vẽ đồ thị để xem điểm đồ thị trục cắt ở hoành đâu:
17
