Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 3 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
lượt xem 9
download
Bài giảng "Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc" cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc, cách xác định dấu của các ma trận Hessian,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 3 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
- Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG 03: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC Thời lượng: 3 tiết
- 2 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc f x , x x1 , x2 , , xn Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa” (Saddle points) của hàm. T f f f Giải hệ phương trình f x 0 Gradient = 0: x1 x2 xn x1 x1 x 1 1 T xn 1 2 Giả sử có m nghiệm m m m m T x x x xn 1 2
- 3 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc 2 f 2 f 2 f x1 2 x1x2 x1xn 2 f 2 f 2 f Tính ma trận Hessian tại một điểm bất kz x2x1 H x22 x2xn 2 f 2 f f 2 x x xn x2 xn2 n 1 Tính ma trận Hessian tại m H x ; H x ; 1 2 ; H x m điểm nghiệm ở bước 1. Dựa vào dấu của các ma trận Hessian tại các điểm để xác định cực trị hay điểm yên
- 4 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc a11 a12 a1n Giả sử ma trận Hessian tại a a22 a2 n điểm nghiệm i có dạng H x i 21 ; i 1..m an1 an 2 ann Tính định thức của n ma trận thành phần: a11 a12 a1n a11 a12 a13 a a11 a12 a22 a2 n A1 a11 A2 A3 a21 a22 a23 An 21 a21 a22 a31 a32 a33 an1 an 2 ann 1. Nếu tất cả A1, A2, …, An > 0 thì ma trận [H] > 0 x(i) – cực tiểu 2. Nếu dấu của Aj là (–1)j (j=1..n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại 3. Nếu một vài Aj > 0 và 1 vài cái Aj < 0 hoặc = 0 x(i) – Điểm yên
- 5 Điểm yên (Saddle Point)
- 6 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng lần lượt là k1, k2, k3. Các lò xo ở vị trí tự nhiên (không co – giãn) khi P=0. Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2 theo nguyên l{ cực tiểu thế năng. Năng lượng biến dạng công của Thế năng của hệ = – của lò xo ngoại lực 1 2 1 1 U k1 x2 k2 x1 k3 x2 x1 P x2 2 2 2 2 2
- 7 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U. 1 2 1 1 U x U x1 , x2 k1 x2 k2 x12 k3 x2 x1 P x2 2 2 2 2 U k3 x k x k x x x 1 k k k k k k P U x 1 2 1 3 2 1 0 1 2 2 3 3 1 U k1 x2 k3 x2 x1 P x k 2 k3 x P 2 2 k1k2 k2 k3 k3k1 Có một nghiệm duy nhất, có nghĩa là chỉ có 1 vị trí cân bằng và ổn định
- 8 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tính ma trận Hessian 2U 2U x 2 x1x2 k2 k3 k3 H 2 1 k2 k3 U U k3 2 2 x2 x1 x2 Tính định thức của 2 ma trận thành phần: H 1 k2 k3 0 k 2 k3 k3 H 0 x* Là điểm cực tiểu H 2 k3 k 2 k3 k1k2 k2 k3 k3k1 0 k3 k k k k k k P Với: x * 1 2 2 3 3 1 k 2 k3 k k k k k k P 1 2 2 3 3 1
- 9 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau: f x f x1 , x2 x13 x23 2 x12 4 x22 6 1 1 f x 0; x2 0 2 1 x 3 x 2 4 x 2 x 0; x 2 8 3 Có 4 điểm f x 2 0 3 1 1 1 1 f 3 x2 8 x2 1 x 4 3; x 3 2 0 dừng (m=4) x 4 2 4 1 x 4 3; x 2 8 3 Tính ma trận Hessian một điểm bất kz 2 f 2 f x 2 x1x2 6 x1 4 0 H 2 1 f f 2 0 6 x 8 2 x2 x1 x22
- Tính ma trận Hessian tại 4 điểm nghiệm ở bước 1. 10 1 x1 1 x2 0 0 1 T T 1) Điểm số 1: x 4 0 A1 x1 4 0 H x Tất cả các định thức thành phần đều >0 Cực tiểu 6 f x 1 0 8 A2 x1 32 0 1 2 x1 2 x2 0 8 3 2 T T 2) Điểm số 2: x Trình tự âm – dương của 4 0 A1 x 2 40 H x 2 0 8 A2 x 2 32 0 các định thức thành phần không tuân theo quy tắc f x 2 418 27 cực đại Điểm yên 3 x1 3 x2 4 3 0 3 T T 3) Điểm số 3: x 4 0 A1 x 2 4 0 Toàn bộ các định thức H x 2 0 8 A2 x 2 32 0 thành phần đều âm f x 3 194 27 Điểm yên 4 x1 4 x2 4 3 8 3 4 T T 4) Điểm số 4: x 4 0 A1 x 4 4 0 Các định thức thành phần H x 4 0 8 A2 x 4 32 0 tuân theo quy luật cực đại f x 4 50 3 Cực đại
- 11 Xanh lam Cực tiểu Đỏ Cực đại 2 điểm xanh lá cây còn lại Điểm yên
- 12 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau: f x f x1 , x2 0.7 x14 8 x12 6 x22 cos x1 x2 8 x1 f x 2.8 x 3 16 x x sin x x 8 0 1 f x 1 1 1 2 1 2 f 12 x2 x1 sin x1 x2 0 2 x 2 Giải hệ phương trình này 1) Trường hợp 1: Nếu x1=0 thì PT (1) vô nghiệm Suy ra x1≠0 2) Trường hợp 2: Nếu x2=0 thì PT (2) thỏa mãn, ta cần giải PT (1) lúc này 2.8 x13 16 x1 8 0
- Vẽ đồ thị hàm: f x1 2.8 x13 16 x1 8 online: 13 https://rechneronline.de/function-graphs/
- Dựa vào đồ thị ta thấy có 3 nghiệm nằm trong 3 khoảng sau14 đây: - Khoảng 1 là [-2.1; -1.8] trong đó nghiệm rất gần với -2.1 - Khoảng 2 là [-0.6; -0.3] trong đó nghiệm rất gần với -0.5 - Khoảng 3 là [2.4; 2.7] trong đó nghiệm rất gần với 2.55 Sử dụng phương pháp số như bisection ra sẽ ra được 3 nghiệm này lần lượt là: x11 2.084068332 2 x1 0.5253777475 3 x1 2.609446079 Khảo sát tính chất cực đại, cực tiểu và điểm yên của điểm dừng
- 1 a) Xét điểm dừng số 1: x 2.084068332; x 0 1 2 15 20.48406282 0 H1 Tất cả các định thức thành 0 phần đều >0 Cực tiểu 0 7.656659188 f x1 3.86895325 2 b) Xét điểm dừng số 2: x 0.5253777475; x 0 1 2 Toàn bộ các định thức 13.68141707 0 H2 thành phần đều âm 0 11.72397822 Điểm yên f x2 3.048179374 3 x c) Xét điểm dừng số 3: 1 2.609446079; x2 0 41.19735425 0 H3 Tất cả các định thức thành phần đều >0 Cực tiểu 0 5.190791161 f x3 41.89351183
- 3) Trường hợp 3: x1≠0, x2≠0: 16 2.8 x13 16 x1 x2 sin x1 x2 8 0 7 x14 40 x12 20 x1 Ta vẽ đồ thị x2 để xem 12 x2 x1 sin x1 x2 0 30 điểm đồ thị cắt trục 7 x14 40 x12 20 x1 7 x14 40 x12 20 x1 12 x1 sin x1 0 hoành ở 30 30 đâu:
- Như vậy là không có nghiệm nào x1≠0, x2≠0 của véc 17 tơ Gradient. Chúng ta chỉ có 2 điểm cực trị (màu xanh dương) và một điểm yên (màu xanh lá cây)
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình Tối ưu phi tuyến: Phần 1 - Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy
183 p | 583 | 114
-
Bài giảng Tối ưu: Chương 2 - ThS. Trần Thị Thùy Nương
27 p | 250 | 59
-
Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Toán tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng
48 p | 681 | 45
-
Bài giảng Tối ưu hóa: Chương 1 - ThS. Phạm Trí Cao
26 p | 132 | 15
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 1 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
52 p | 159 | 13
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 9 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
60 p | 53 | 9
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 8 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
56 p | 46 | 9
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 4 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
26 p | 61 | 9
-
Công nghiệp thực phẩm và quá trình tối ưu hóa: Phần 2
86 p | 86 | 9
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 2 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
48 p | 66 | 8
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 5 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
36 p | 49 | 8
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 6 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
27 p | 39 | 8
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 7 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
37 p | 60 | 8
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 11 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
51 p | 44 | 7
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Hướng dẫn làm bài tập về trọng tâm vật rắn phức hợp (không dùng tích phân) - ĐH Công nghiệp TP.HCM
41 p | 58 | 7
-
Bài giảng Tối ưu hóa: Chương 2 - Trần Gia Tùng
7 p | 132 | 6
-
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 10 - ĐH Công nghiệp TP.HCM
57 p | 42 | 6
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn