intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 3 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

65
lượt xem
9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc" cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc, cách xác định dấu của các ma trận Hessian,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 3 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

  1. Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG 03: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC Thời lượng: 3 tiết
  2. 2 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc f  x  , x  x1 , x2 , , xn Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa” (Saddle points) của hàm. T  f f f  Giải hệ phương trình f  x     0 Gradient = 0:  x1 x2 xn  x1   x1 x 1 1  T xn    1 2  Giả sử có m nghiệm    m  m  m  m  T  x   x x xn    1 2
  3. 3 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc  2 f 2 f 2 f     x1 2 x1x2 x1xn   2 f 2 f 2 f  Tính ma trận Hessian tại   một điểm bất kz    x2x1 H  x22 x2xn       2 f 2 f  f  2  x x xn x2 xn2   n 1 Tính ma trận Hessian tại m  H  x  ;  H  x  ; 1 2 ;  H  x m  điểm nghiệm ở bước 1. Dựa vào dấu của các ma trận Hessian tại các điểm để xác định cực trị hay điểm yên
  4. 4 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc  a11 a12 a1n  Giả sử ma trận Hessian tại a a22 a2 n  điểm nghiệm i có dạng  H  x  i   21   ; i  1..m    an1 an 2 ann  Tính định thức của n ma trận thành phần:  a11 a12 a1n  a11 a12 a13 a a11 a12 a22 a2 n  A1  a11 A2  A3  a21 a22 a23 An   21 a21 a22   a31 a32 a33    an1 an 2 ann  1. Nếu tất cả A1, A2, …, An > 0 thì ma trận [H] > 0 x(i) – cực tiểu 2. Nếu dấu của Aj là (–1)j (j=1..n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại 3. Nếu một vài Aj > 0 và 1 vài cái Aj < 0 hoặc = 0  x(i) – Điểm yên
  5. 5 Điểm yên (Saddle Point)
  6. 6 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng lần lượt là k1, k2, k3. Các lò xo ở vị trí tự nhiên (không co – giãn) khi P=0. Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2 theo nguyên l{ cực tiểu thế năng. Năng lượng biến dạng công của Thế năng của hệ = – của lò xo ngoại lực 1 2 1 1 U k1 x2  k2 x1  k3  x2  x1   P  x2 2 2 2 2 2
  7. 7 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U. 1 2 1 1 U  x   U  x1 , x2   k1 x2  k2 x12  k3  x2  x1   P  x2 2 2 2 2  U    k3  x   k x  k  x  x   x   1 k k k k k k P U  x    1    2 1 3 2 1   0   1 2 2 3 3 1  U   k1 x2  k3  x2  x1   P   x  k 2  k3  x  P  2  2 k1k2  k2 k3  k3k1 Có một nghiệm duy nhất, có nghĩa là chỉ có 1 vị trí cân bằng và ổn định
  8. 8 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tính ma trận Hessian   2U  2U   x 2 x1x2   k2  k3  k3   H    2 1   k2  k3  U U   k3 2  2   x2 x1 x2  Tính định thức của 2 ma trận thành phần:  H 1  k2  k3  0 k 2  k3  k3  H   0  x* Là điểm cực tiểu  H 2   k3 k 2  k3  k1k2  k2 k3  k3k1  0  k3  k k  k k  k k P Với: x *   1 2 2 3 3 1   k 2  k3  k k  k k  k k P  1 2 2 3 3 1 
  9. 9 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau: f  x   f  x1 , x2   x13  x23  2 x12  4 x22  6  1 1  f  x  0; x2 0   2 1  x   3 x 2  4 x    2  x 0; x 2  8 3 Có 4 điểm f  x      2   0    3 1 1 1 1  f  3 x2  8 x2   1 x   4 3; x  3 2 0 dừng (m=4)  x    4  2    4  1 x 4 3; x 2  8 3 Tính ma trận Hessian một điểm bất kz  2 f 2 f   x 2 x1x2  6 x1  4 0   H    2 1      f  f 2  0 6 x 8    2  x2 x1 x22 
  10. Tính ma trận Hessian tại 4 điểm nghiệm ở bước 1. 10  1   x1 1 x2    0 0 1  T T 1) Điểm số 1: x  4 0   A1 x1  4  0  H  x     Tất cả các định thức thành  phần đều >0  Cực tiểu  6 f x 1  0 8   A2 x1  32  0 1  2   x1  2 x2    0 8 3  2 T T 2) Điểm số 2: x Trình tự âm – dương của  4 0   A1 x 2 40  H  x 2      0 8  A2 x 2  32  0  các định thức thành phần không tuân theo quy tắc   f x 2  418 27 cực đại  Điểm yên  3   x1  3 x2    4 3 0  3  T T 3) Điểm số 3: x  4 0   A1 x 2  4  0 Toàn bộ các định thức  H  x 2     0 8   A2 x 2  32  0  thành phần đều âm    f x 3  194 27 Điểm yên  4   x1  4 x2    4 3 8 3  4 T T 4) Điểm số 4: x  4 0   A1 x 4  4  0 Các định thức thành phần  H  x  4     0 8  A2 x 4  32  0  tuân theo quy luật cực đại   f x 4  50 3  Cực đại
  11. 11 Xanh lam Cực tiểu Đỏ  Cực đại 2 điểm xanh lá cây còn lại Điểm yên
  12. 12 Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc Tìm tất cả các điểm cực trị và điểm yên của hàm sau: f  x   f  x1 , x2   0.7 x14  8 x12  6 x22  cos  x1 x2   8 x1  f   x   2.8 x 3  16 x  x sin  x x   8 0  1 f  x       1 1 1 2 1 2  f   12 x2  x1 sin  x1 x2   0   2  x   2 Giải hệ phương trình này 1) Trường hợp 1: Nếu x1=0 thì PT (1) vô nghiệm  Suy ra x1≠0 2) Trường hợp 2: Nếu x2=0 thì PT (2) thỏa mãn, ta cần giải PT (1) lúc này 2.8 x13  16 x1  8  0
  13. Vẽ đồ thị hàm: f  x1   2.8 x13  16 x1  8 online: 13 https://rechneronline.de/function-graphs/
  14. Dựa vào đồ thị ta thấy có 3 nghiệm nằm trong 3 khoảng sau14 đây: - Khoảng 1 là [-2.1; -1.8] trong đó nghiệm rất gần với -2.1 - Khoảng 2 là [-0.6; -0.3] trong đó nghiệm rất gần với -0.5 - Khoảng 3 là [2.4; 2.7] trong đó nghiệm rất gần với 2.55  Sử dụng phương pháp số như bisection ra sẽ ra được 3 nghiệm này lần lượt là:  x11  2.084068332  2  x1  0.5253777475  3  x1  2.609446079 Khảo sát tính chất cực đại, cực tiểu và điểm yên của điểm dừng
  15. 1  a) Xét điểm dừng số 1: x  2.084068332; x  0 1 2 15  20.48406282 0    H1    Tất cả các định thức thành  0 phần đều >0  Cực tiểu  0 7.656659188  f  x1   3.86895325 2  b) Xét điểm dừng số 2: x  0.5253777475; x  0 1 2 Toàn bộ các định thức  13.68141707 0   H2     thành phần đều âm   0 11.72397822  Điểm yên  f  x2   3.048179374 3  x c) Xét điểm dừng số 3: 1  2.609446079; x2 0  41.19735425 0    H3    Tất cả các định thức thành  phần đều >0  Cực tiểu  0 5.190791161  f  x3   41.89351183
  16. 3) Trường hợp 3: x1≠0, x2≠0: 16 2.8 x13  16 x1  x2 sin  x1 x2   8  0 7 x14  40 x12  20 x1 Ta vẽ đồ thị   x2  để xem 12 x2  x1 sin  x1 x2   0 30 điểm đồ thị   cắt trục 7 x14  40 x12  20 x1 7 x14  40 x12  20 x1  12   x1 sin  x1 0 hoành ở 30  30  đâu:  
  17. Như vậy là không có nghiệm nào x1≠0, x2≠0 của véc 17 tơ Gradient. Chúng ta chỉ có 2 điểm cực trị (màu xanh dương) và một điểm yên (màu xanh lá cây)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2