VẬT LÍ CHẤT RẮN
Phạm Đỗ Chung Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2019
Lớp Y20 – Sư phạm Vật lí
Chương 4
Electron trong trường thế tuần hoàn của tinh thể
Kim loại, bán dẫn và điện môi
Lí thuyết dải năng lượng 1. 2. Mô hình electron liên kết yếu (định tính) 3. Mô hình electron liên kết mạnh (định tính) 4. 5. Hàm Bloch 6. Mô hình electron liên kết yếu (định lượng) 7. Mô hình electron liên kết mạnh (định lượng) 8.
Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống
2
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2019
Electron
Mạng không gian
Mạng tinh thể
Gốc
Các cấu trúc xếp chặt
Các loại tinh thể (ion,…)
Gốc hình cầu cứng
Gốc tương tác lẫn nhau
Gốc dao động
Dải năng lượng
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
3
5. Hàm Bloch
2
! ! )r(E)r( ψ=
2 +∇
Phương trình Schrödinger qui định hàm sóng (trạng thái) của electron − ! " )r(V m2
⎤ ψ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
Nếu trường thế tuần hoàn 𝑉 𝑟⃗ + 𝑅 = 𝑉 𝑟⃗ , thì hàm riêng của phương trình sóng là hàm Bloch:
𝜓( 𝑟⃗ = 𝑢( 𝑟⃗ 𝑒+(,⃗ ở đó: 𝑢( 𝑟⃗ = 𝑢( 𝑟⃗ + 𝑅 (tuần hoàn theo chu kỳ mạng tinh thể)
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
4
5. Hàm Bloch
Chứng minh: định lí Bloch cho mạng 1 chiều (dài L=Na) với điều kiện hàm sóng không suy biến:
Thế tuần hoàn (chu kỳ a): 𝑈 𝑥 + 𝑠. 𝑎 = 𝑈 𝑥 Từ điều kiện tuần hoàn tịnh tiến của hàm sóng 𝜓 x + 𝑎 = 𝐶𝜓 x Áp dụng điều kiện biên tuần hoàn
𝜓 x + 𝑁𝑎 = 𝜓 x = 𝐶6 𝜓 x C = 𝑒+89:/6; s =0, 1, …, N-1 𝜓 x = 𝑢((x)𝑒+89:@/6A
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
5
5. Hàm Bloch
Các tính chất của hàm Bloch • •
Là dạng chung của mọi electron trong tinh thể. Là hệ quả trực tiếp của tính tuần hoàn của tinh thể.
Xác suất để tìm thấy electron trong tinh thể: 8
𝜌 = 𝜓 𝑟⃗ 𝜓∗ 𝑟⃗ = 𝑢( 𝑟⃗ 𝑢(
∗ 𝑟⃗ = 𝑢( 𝑟⃗
Do 𝑢( 𝑟⃗ là hàm tuần hoàn nên kết quả này cho thấy electron không định xứ tại một nút mạng cụ thể mà nó thuộc về toàn bộ tinh thể.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
6
6. Mô hình electron liên kết yếu
Electron chuyển động trong trường thế tuần hoàn chu kỳ a và biên độ nhỏ (𝑈 𝑥 + 𝑎 = 𝑈 𝑥 )
; 𝑈W =
1 𝑉Y
Z 𝑒 [+W⃗,⃗𝑈 𝑟⃗ dr ]^__
𝑈 𝑟⃗ = V 𝑈W 𝑒 +W⃗,⃗ W
Do điều kiện biên tuần hoàn nên ta có thể giả sử rằng tinh thể đối xứng qua gốc và 𝑼𝟎 = 𝟎.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
7
6. Mô hình electron liên kết yếu
Xét hàm thế của tinh thể tại vị trí: x+a
= V 𝑈W𝑒+W@𝑒+Wc
𝑈 𝑥 + 𝑎 = V 𝑈W𝑒+W(@bc) W
W
Từ điều kiện (𝑈 𝑥 + 𝑎 = 𝑈 𝑥 , ta có:
𝑒+Wc = 1 ⟹ 𝐺𝑎 = 2𝜋𝑛 ⟹ 𝐺 =
𝑛
2𝜋 𝑎
như vậy G chính là vector mạng đảo.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
8
6. Mô hình electron liên kết yếu
Thay hàm thế 𝑈 𝑟⃗ vào phương trình ℋ𝜓 = 𝜖𝜓:
(−
)𝜓 𝑟⃗ = 𝜖𝜓 𝑟⃗
ℏ8 2𝑚
𝛻8 + V 𝑈W𝑒+W@ W
Hàm sóng 𝜓 𝑟⃗ có dạng:
𝜓 𝑟⃗ = V 𝐶( 𝑒+(,⃗ ( • Do điều kiện biên tuần hoàn nên: 𝑘opq = 2π𝑛opq/L
(𝑛o, 𝑛p , 𝑛t là số nguyên dương hoặc âm)
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
• Không phải lấy tổng theo mọi vector sóng mà chuỗi Fourier chỉ chứa các vector sóng dạng k+G với G là vector mạng đảo
9
6. Mô hình electron liên kết yếu
+ V V 𝑈W𝐶( 𝑒+((bW⃗),⃗
= 𝜖 V 𝐶( 𝑒+(,⃗
Thay 𝜓 𝑟⃗ vào phương trình Schrodinger ta có: ℏ8 2𝑚
V 𝑘8𝐶( 𝑒+(,⃗ (
(
(
= 0
W ℏ8𝑘8 2𝑚
V 𝑒 +(,⃗ (
− 𝜖 𝐶( + V 𝑈W𝐶([W W
Với mỗi giá trị của k ta có phương trình trung tâm:
= 0
(𝜆( − 𝜖)𝐶( + V 𝑈W𝐶([W
W
với 𝜆( =
ℏw(w 8x
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
10
6. Mô hình electron liên kết yếu
= 0
Nghiệm của phương trình trung tâm: (𝜆( − 𝜖)𝐶( + V 𝑈W𝐶([W
W • Để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường thì định thức phải bằng 0 • Xét mạng 1 chiều có chu kỳ a nên vector cơ sở của mạng đảo là g=2𝜋/a • Giả thiết hàm thế chỉ có 1 thành phần của chuỗi Fourier: U(x)=U-g= Ug=U • Tổng theo G có thể là chuỗi vô hạn nên định thức sẽ có vô số bậc Nghiệm của phương trình trung tâm ứng với mỗi k là tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng có vector sóng dạng 𝒌 ± 𝒏𝒈
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
11
6. Mô hình electron liên kết yếu
𝜓( 𝑟⃗ = V 𝐶([W 𝑒+(([W⃗),⃗
W
𝜓( 𝑟⃗ = 𝑢( 𝑟⃗ 𝑒+(,⃗ với 𝑢( 𝑟⃗ = V 𝐶([W 𝑒[+W⃗,⃗
W 𝑢( 𝑟⃗ + 𝑇 = V 𝐶([W 𝑒 [+W⃗ ,⃗b(cid:129) = 𝑒 [+W⃗(cid:129) V 𝐶([W 𝑒 [+W⃗,⃗
W
W
𝑢( 𝑟⃗ + 𝑇 = 𝑒 [+W⃗(cid:129) 𝑢( 𝑟
Hàm sóng của electron có vector sóng k:
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
Do 𝑒 [+W⃗(cid:129)=0 nên hàm sóng 𝜓( 𝑟⃗ có dạng hàm Bloch
12
6. Mô hình electron liên kết yếu
Các tính chất quan trọng của hàm sóng có dạng Bloch 𝜓( 𝑟⃗ + 𝑇 = 𝑢( 𝑟⃗ + 𝑇 𝑒 +( ,⃗b(cid:129) 𝜓( 𝑟⃗ + 𝑇 = 𝑒 +((cid:129)𝑢( 𝑟⃗ 𝑒+(,⃗ = 𝑒 +((cid:129)𝜓( 𝑟⃗ • Khi tịnh tiến theo mạng tinh thể thì hàm sóng chỉ thay
đổi thừa số pha 𝑒 +((cid:129)
• Khi thế năng trường tinh thể bằng 0 thì hàm sóng của
electron từ dạng Bloch trở về dạng sóng phẳng
• Xung lượng của electron trong tinh thể là 𝑝⃗ = ℏ𝑘 • Hàm sóng ứng với vector sóng k’=k+G là tương
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
đương.
13
6. Mô hình electron liên kết yếu
Định thức:
Từ định thức sẽ rút ra được phương trình bậc n của 𝜖, một cách tổng quát 𝜖 sẽ có n nghiệm ứng với một giá trị của k. Bộ nghiệm được ký hiệu 𝜖(cid:131)( k tuần hoàn với chu kỳ mạng đảo nên mỗi vùng năng lượng (𝝐𝒏𝒌) cũng tuần hoàn theo chu kỳ mạng đảo
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
14
6. Mô hình electron liên kết yếu
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
15
6. Mô hình electron liên kết yếu
𝜖( =
• Giả sử thế năng trường tinh thể là rất nhỏ, và electron có vector sóng k: ℏ8𝒌8 2𝑚 • Tại vector sóng k’=k+G, nằm ngoài vùng Brillouin thứ nhất, thoả mãn điều kiện:
𝜖 𝑘@, 𝑘(cid:135), 𝑘t = 𝜖((cid:133) − 𝜖( >> 𝑈 𝑟⃗ ℏ8(𝒌 + 𝑮)8 2𝑚
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
= (𝑘@ + 𝐺@ )8+(𝑘(cid:135) + 𝐺(cid:135) )8+(𝑘t + 𝐺t)8 ℏ8 2𝑚
16
6. Mô hình electron liên kết yếu
𝜖 =
(𝑘@ + 𝐺@)8+(𝑘(cid:135) + 𝐺(cid:135))8+(𝑘t + 𝐺t)8
ℏ8 2𝑚
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
• Phổ năng lượng phụ thuộc vector sóng k vẽ dọc theo phương [111] của mạng đảo
17
6. Mô hình electron liên kết yếu
𝑮 8
9 A
= ta có:
• Để đơn giản xét trường hợp: 𝒌 = 𝒌𝒙 = 𝒌8 = 𝑮/2 8; 𝒌(cid:133)8 = 𝒌 − 𝑮 8 = 𝑮/2 − 𝑮 8 = 𝑮/2 8
= 0 = 0 • Như vậy ở biên vùng Brillouin hai thành phần của sóng có có cùng năng lượng. Xét hàm sóng ở k=G/2 ở gần đúng bậc 1 của hàm sóng và gần đúng bậc 2 của năng lượng: (𝜆 − 𝜖)𝐶(cid:138)/8 + 𝑈 𝐶[W/8 (𝜆 − 𝜖)𝐶[(cid:138)/8 + 𝑈 𝐶W/8
8
= 0 𝜆 − 𝜖 𝑈
𝜖 = 𝜆 ± U = 𝑮 ± 𝑈
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
𝑈 𝜆 − 𝜖 ℏ8 1 2 2𝑚
18
6. Mô hình electron liên kết yếu
• Tại biên vùng Brillouin xuất hiện khe năng lượng Eg=2U
= = ±1
𝐶[W/8 𝐶W/8
𝜖 − 𝜆 𝑈 𝜓 𝑥 = 𝑒+(cid:138)o/8 ± 𝑒[+(cid:138)o/8
• Khi k ở gần biên vùng Brillouin sao cho
𝜖(bW − 𝜖( ≤ 𝑈 𝑟⃗
𝜓 𝑥 = 𝐶( 𝑒+(@+𝐶([W 𝑒+ ([W @
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
• Khi đó hàm sóng có dạng
19
6. Mô hình electron liên kết yếu
• Ta có hệ phương trình
(𝜆( − 𝜖)𝐶( + 𝑈 𝐶([W = 0 (𝜆([W − 𝜖)𝐶([W + 𝑈 𝐶( = 0
(cid:142)/8
= 0 𝜆( − 𝜖 𝑈
±
8 + 𝑈8
𝜖 = 𝜆([W + 𝜆( 𝜆([W + 𝜆( 𝑈 𝜆([W − 𝜖 1 4 1 2
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
• Để biết dáng điệu của phổ năng lượng gần biên vùng Brillouin, ta viết lại phương trình năng lượng theo: 𝐾(cid:144) ≡ k − G/2 (độ lệch giữa vector sóng k và biên vùng)
20
6. Mô hình electron liên kết yếu
8
ℏw(cid:148)(cid:144)w 8x
8(cid:149) (cid:150)
ℏw 8x
(cid:142) 8
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
1 ± với 𝜆 = 𝑮 𝜖(cid:148)(cid:144) ± = 𝜖 ± +
21
6. Mô hình electron liên kết yếu
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
22
7. Mô hình electron liên kết mạnh
• Electron liên kết chặt chẽ với lõi nguyên tử, mặc dù vẫn chịu tác dụng của thế của trường tinh thể. Trong trường hợp này, trạng thái của electron gần với trạng thái trong nguyên tử hơn là trạng thái electron tự do. • Phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh phù hợp để nghiên cứu tính chất của electron lớp ngoài đã được điền đầy của nguyên tử. • Phù hợp để nghiên cứu tinh thể có liên kết ion
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
23
7. Mô hình electron liên kết mạnh
• Xét 1 electron trong nguyên tử tự do
(−
𝛻8 + 𝑉(cid:151)(cid:152)(r⃗))𝜙(cid:151)(cid:152) 𝑟⃗ = 𝜖(cid:131)𝜙(cid:151)(cid:152) 𝑟⃗
ℏ8 2𝑚
• Vnt(r) thế năng tương tác giữa electron và lõi nguyên tử với r là khoảng cách đến tâm nguyên tử. • 𝜙(cid:151)(cid:152) 𝑟⃗ hàm sóng đã chuẩn hoá của electron trong nguyên tử tự do • 𝜖(cid:131) là năng lượng của electron ở trạng thái lượng tử n
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
24
7. Mô hình electron liên kết mạnh
• Thế năng V(r) của electron trong tinh thể là chồng chất của các thế năng Vnt(r) của nguyên tử.
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
25
7. Mô hình electron liên kết mạnh
• Electron ở gần hạt nhân thứ j (𝒓 ≈ 𝑹𝒋) ít chịu ảnh hưởng của các nguyên tử khác. • Hàm sóng của electron là tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng nguyên tử • Năng lượng của electron gần với năng lượng của electron trong nguyên tử tự do
1
𝜓𝒌(cid:131) 𝒓 =
𝜙(cid:131) 𝒓 − 𝑹
N
V 𝑒+𝒌𝑹 𝑹 • Trong đó 𝜙(cid:131) 𝒓 − 𝑹 là hàm sóng của electron trong nguyên tử tự do ở trạng thái n .
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
26
7. Mô hình electron liên kết mạnh
• Electron nằm trong trường tuần hoàn của tinh thể, nên hàm sóng là hàm Bloch:
𝜓𝒌(cid:131) 𝒓 + 𝑹 = 𝑒+𝒌𝑹𝜓𝒌(cid:131) 𝒓 • Thay hàm sóng vào phương trình Schrodinger:
∗ 𝒓 − 𝑹𝟏 𝑯¢𝜙(cid:131) 𝒓 − 𝑹 d𝑟
𝑹𝟏
• Đây là tích phân 3 tâm, để viết lại phương trình năng lượng đơn giản hơn, ta đặt
𝒓 = 𝒓𝟏 + 𝑹; 𝒉 = 𝑹 − 𝑹𝟏
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
𝐸(cid:131) 𝒌 = 1 𝑁 V V 𝑒 +𝒌(𝑹[𝑹𝟏) Z 𝜙(cid:131) 𝑹
27
7. Mô hình electron liên kết mạnh
∗ 𝒓𝟏 + 𝒉 𝑯¢ 𝜙(cid:131) 𝒓𝟏 d𝒓𝟏
𝒉
𝐸(cid:131) 𝒌 = 1 𝑁 V V 𝑒 +𝒌𝒉 Z 𝜙(cid:131) 𝑹
• Vì biểu thức trong dấu tổng bây giờ không còn phụ thuộc R nên có thể đưa ra ngoài. 1 𝑁
= 𝟏
V 1 𝑹
𝐸(cid:131) 𝒌 = V 𝑒 +𝒌𝒉𝜀(cid:131)(𝒉) 𝒉
∗ 𝒓 + 𝒉 𝑯¢𝜙(cid:131) 𝒓 d𝒓 < 𝟎
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
𝜀(cid:131) 𝒉 = Z 𝜙(cid:131)
28
7. Mô hình electron liên kết mạnh
• 𝜙(r) là hàm sóng nguyên tử (định xứ mạnh
quanh khu vực các nguyên tử).
• 𝜙(r) và 𝜙(r+h) phủ nhau rất ít và sự phủ của chúng giảm nhanh khi khoảng cách h giữa hai nguyên tử tăng lên.
• Chỉ xét các số hạng ứng với h=0 và h=h1 là vector nối nút đang xét với các nút lân cận gần nhất.
𝐸(cid:131) 𝒌 = 𝜀(cid:131) 𝟎 + V 𝑒+𝒌𝒉𝟏𝜀(cid:131)(𝒉𝟏)
𝒉𝟏
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
29
7. Mô hình electron liên kết mạnh
𝐸(cid:131) 𝒌 = 𝜀(cid:131) 𝟎 − 2𝛾cos𝑘@𝑎 𝛾=|εn(a)| ; -1 ≤ cos 𝞪 ≤ 1
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
Mang một chiều • Phối vị 2 • Lưu ý: 𝜀(cid:131) 𝑎 < 𝟎 𝐸(cid:131) 𝒌 = 𝜀(cid:131) 𝟎 + 𝜀(cid:131) 𝑎 (𝑒+(ƒA + 𝑒[+(ƒA)
30
7. Mô hình electron liên kết mạnh
a
+𝑒+('A + 𝑒[+('A + 𝑒+(“A + 𝑒[+(“A) 𝐸(cid:131) 𝒌 = 𝜀(cid:131) 𝟎 − 2𝛾 cos𝑘@𝑎 + cos𝑘(cid:135)𝑎 + cos𝑘t𝑎
𝛾=|εn(a)| ; -1 ≤ cos 𝞪 ≤ 1
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
Mạng tinh thể lập phương đơn giản • Phối vị 6, ta có 6 vector h1 có tọa độ: (±a,0,0), (0,±a,0), (0.0, ±a) • Hàm sóng của nguyên tử có tính đối xứng cầu (không có phương ưu tiên). • Lưu ý: 𝜀(cid:131) 𝑎 < 𝟎 𝐸(cid:131) 𝒌 = 𝜀(cid:131) 𝟎 + 𝜀(cid:131) 𝑎 (𝑒+(ƒA + 𝑒[+(ƒA
31
7. Mô hình electron liên kết mạnh
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
32
• Năng lượng của dải được phép:
𝐸" 𝒌 = 𝜀" 𝟎 − 2𝛾 cos𝑘.𝑎 + cos𝑘1𝑎 + cos𝑘2𝑎
𝛾=|εn(a)| ; -1 ≤ cos 𝞪 ≤ 1
;
• Khi 𝑘𝑎 ≪ 1: cos𝑘.𝑎 = 1 −
𝑘.𝑎 <
<
𝐸" 𝑘 = 𝜀" 0 + 6𝜀" 𝑎 − 𝜀" 𝑎 a<𝑘<
PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018
8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống
3
8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống
Khối lượng hiệu dụng • Quy luật tán sắc gần tâm vùng Brillouin có dạng parabol:
𝐸" 𝑘 = 𝜀" 0 + 6𝜀" 𝑎 +
ℏEFE
Với 𝑚∗ = − ℏ<
2a<𝜀" 𝑎 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 1
*
m 2
Ed
dk dk 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống αβ α β ⎞
=⎟
⎠ ⎛
⎜
⎝ 2 2 2 3 2 1
*
m 1
2
! 3 1 ⎞
=⎟
⎠ ⎛
⎜
⎝ E
∂
kk
∂∂
1
2
E
∂
kk
∂∂
2
2
E
∂
2
k
∂
3 E
∂
2
k
∂
1
2
E
∂
kk
∂∂
2
2
E
∂
kk
∂∂
3 E
∂
kk
∂∂
1
2
E
∂
2
k
∂
2
2
E
∂
kk
∂∂
3 2 1 • Tensor khối lượng hiệu dụng:
1
2
! ⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠ PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 • Trong trường hợp 3 chiều và mặt đẳng năng không
đẳng hướng, ta có:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝ 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống = −2𝜀" 𝑎 sin𝑘.𝑎 𝜕𝐸" 𝑘
𝜕𝑘. • Mặt đẳng năng vuông góc với biên vùng Brillouin • Ở các góc của vùng khối lượng hiệu dụng của
electron ngược dấu với khối lượng hiệu dụng tại
tâm. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống ! ! n k( + − + )k(E)k(E
=
0 n n )k
0 α Mặt đẳng năng:
Năng lượng E của electron trong tinh thể là một hàm
phức tạp theo vectơ sóng k.
Trong vùng Brillouin, E(k) có một số cực trị (VD: k=k0)
3 E
∂
k
∂ 1
=α α 0 2 3 3 k( k k)( ... + − − + 0 α α β )k
0
β 1
2 ∂
k
∂ E
k
∂ 1
=α α β 0 2 3 3 1
=β
" " k( k k)( + − − )k(E)k(E
=
0 n n 0 α α β )k
0
β ∑∑ !
2 1
*
m 1
=α 1
=β n, αβ ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 • Xét trong hệ tọa độ mà tenxơ nghịch đảo khối
lượng hiệu dụng có dạng chéo 2 3 " " 2 k( + − )k(E)k(E
=
0 n n α )k
0
α 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống !
2 1
*
m 1
=α n, α ⎞
⎟
⎠ 2 2 2 k( − k( k( y z x 1 + = + −
a −
a a ⎛
⎜
⎝
)k
y0
2
y )k
z0
2
z )k
x0
2
x PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 ψ !
!!
rki
)r(ue
!
k !
k 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống = !
)r(u
!
k !
k v = • Phương trình chuyển động của electron
!
)r(
=
!
!
)Rr(u
+ v = dE1
dk
! =ω E
! grad !
v E E = !
k !
k Vận tốc của electron
d
ω
dk 1
" PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 Trong trường hợp ba chiều:
!
1
∇=
" Phương trình chuyển động của electron
• Khi có trường ngoài, công δE mà điện trường
thực hiện trên electron trong khoảng thời gian δt E
tve
δξ−=δ E
=δ k
=δ kv
δ ! ξ−= e ! !
F = " k
−=δ t
δ dk
dt !
kd
dt dE
dk
e
ξ
! !
BE " k !
kd
dt !
kd
dt Trong từ trường không đổi (đủ nhỏ)
!
!
e
!
! ∧∇−=
Bve
∧−=
2
" PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống = 0 Phương trình chuyển động của lỗ
trống, khi có và không có điện
trường: ≠ 0 kh j =-evel. lẻ đôi
=+evel. đáng lẽ có mặt ở chỗ trống PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 j = − e.vi
∑
i • Trạng thái trống nằm ở vị trí cao nhất trong tập
hợp các electron có khối lượng hiệu dụng âm.
• Khi có điện trường tác dụng thì có dòng điện
chạy.
• Dòng điện này như được gây nên bởi một chuẩn
hạt có điện tích +e và có vận tốc bằng vận tốc của
electron đáng lẽ có mặt ở chỗ trống. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống • Lỗ trống có điện tích dương, có vận tốc: vh = vel. đáng lẽ có mặt ở chỗ trống = -vel. lẻ đôi Chuẩn xung lượng của lỗ trống là chuẩn xung lượng tổng cộng của toàn bộ các electron trong dải hoá trị: !kh = el. lẻ đôi 1
* !kh
mh ∑ = !k
!ki
i * = −m* > 0 mh PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 Khối lượng hiệu dụng của lỗ trống là dương Năng lượng của lỗ trống càng lớn khi càng đi
theo trục năng lượng của
xuống phía dưới
electron.
Ở đỉnh dải hoá trị, lỗ trống có năng lượng thấp
nhất.
Cần phân biệt m* và m*e
(nói chung là khác nhau) 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống mh !
v !
(e
+ξ= ∧ " !
!
F)B
=
h h m* !
kd
h
dt ∇kEh 1
! 1
! PHẠM Đỗ Chung-HNUE-20184
5
Mặt đẳng năng:
• Xét vector sóng ở biên vùng khi 𝑘. 𝑎 = 𝜋:
6
∑
∑∑
7
∑
8
9
10
j = − e.vi
∑
i
11
Thay cho trạng thái bị trống, ta đưa vào chuẩn
hạt gọi là lỗ trống
12
vh =
13
*
* me
vh =
gradk Eh (kh ) =
14
