VẬT LÝ CHẤT RẮN
TS. Ngô Văn Thanh Viện Vật Lý
Hà Nội - 2016
2
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
Tài liệu tham khảo
[1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds. (John Wiley & Sons, 2005)
[2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).
[3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB
KHKT Hà Nội, 1984).
[4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).
[5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP. HCM, 2002)
Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/
Email : nvthanh@iop.vast.ac.vn
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
3 CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
2. Cơ sở tối giản có hai nguyên tử
3. Lượng tử hoá sóng đàn hồi
4. Xung lượng của phonon
5. Tán xạ không đàn hồi bởi phonon
4
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Ký hiệu các loại kích thích
5
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Sóng dọc (longitudinal wave)
6
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Sóng ngang (transverse wave)
7
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Xét tinh thể có 1 nguyên tử trong một ô tối giản
Giả thiết: • Phản ứng đàn hồi của tinh thể là hàm tuyến tính của lực • Năng lượng đàn hồi là hàm bậc 2 của độ dịch chuyển tương đối giữa 2 nút mạng
trong tinh thể. Năng lượng bằng zero khi hệ ở trạng thái cân bằng
lực này tỷ lệ với hiệu của 2 dịch chuyển :
• Sự dịch chuyển của mặt phẳng thứ (s + p) gây ra một lực tác dụng lên mặt phẳng s Xét trường hợp lực tác dụng giữa các mặt phẳng lân cận gần nhất : • Ta có dạng định luật Hooke :
• C : hằng số lực. Để cho đơn giản, ta có thể xem như C là hằng số lực của một nguyên tử • Phương trình chuyển động của nguyên tử trong mặt phẳng
• Nghiệm của phương trình này có dạng
8
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Nghiệm của phương trình vi phân có dạng sóng chạy
• a : khoảng cách giữa các mặt phẳng; là vector sóng • Viết lại biểu thức :
• Sử dụng đồng nhất thức:
• Rút gọn biểu thức trên, ta thu được
• Ta thu được hệ thức tán sắc
• Vùng Brillouin thứ nhất có biên tại :
• Độ dốc của tần số bằng zero tại biên :
9
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Tiếp tục biến đổi biểu thức
10
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Vùng Brillouin thứ nhất
Xét tỷ số của độ dịch chuyển của hai mặt phẳng kế tiếp nhau
Vùng Brillouin thứ nhất • Khoảng các giá trị riêng biệt của K
Giả thiết rằng vector sóng K nằm ngoài vùng Brillouin thứ nhất Định nghĩa một vector K’ nằm trong vùng
Biến đổi tỷ số :
• Hàm e mũ có giá trị riêng biệt trong khoảng này của hệ số pha • Giá trị cực đại của vector sóng trong vùng Brillouin thứ nhất :
11
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Chú ý : là vector mạng đảo nên cũng là vector mạng đảo • Hiệu của vector sóng K và vector mạng đảo cho ta một vector sóng tương đương trong
Xét tại biên vùng :
• Nghiệm của độ dịch chuyển :
vùng Brillouin thứ nhất K’.
• Độ dịch chuyển này thể hiện “sóng dừng” mà không phải là sóng lan truyền Tại các biên vùng khác thoả mãn điều kiện :
• Độ dịch chuyển :
• Dấu (+) và (-) thể hiện phương truyền sóng sang phải hoặc sang trái Hiện tượng này tương đương với sự phản xạ Bragg của tia X. • Khi điều kiện phản xạ Bragg được thoả mãn, sóng không thể truyền qua mạng tinh thể
mà nó bị phản xạ toàn phần và đi ra dưới dạng sóng đứng.
• Giá trị tới hạn thoả mãn điều kiện phản xạ Bragg :
12
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Vận tốc nhóm
Vận tốc truyền sóng :
Tại biên vùng:
Giới hạn bước sóng dài
Điều kiện sóng dài :
• Đây chính là vận tốc truyền năng lượng trong môi trường Thay biểu thức của tần số vào ta có:
Ta có hệ thức tán sắc :
• Khai triển
=> tần số tỷ lệ thuận với vector sóng
13
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử
Hằng số lực Tổng quát hoá hệ thức tán sắc Xét p mặt phẳng lân cận gần nhất
Nhân hai vế cho , lấy tích phân trên tất cả các giá trị riêng biệt của K
Tích phân này chỉ xác định khi và chỉ khi • Suy ra:
14
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
2. Cơ sở tối giản có hai nguyên tử
Xét trường hợp ô tối giản có 2 nguyên tử
Ví dụ : NaCl hoặc các tinh thể có cấu trúc kim cương Mỗi mode phân cực, hệ thức tán sắc tách thành hai nhánh Nhánh phonon âm (acoustic) : tách ra tại K = 0 • mode dao động âm dọc LA (longitudinal); mode dao động âm ngang TA (transverse) Nhánh phonon quang (optic) : tách ra tại K = (2/a)(1/2,1/2,1/2) • mode dao động quang dọc LO; mode dao động quang ngang TO
15
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
2. Cơ sở tối giản có hai nguyên tử
Xét các phương trình chuyển động
Nghiệm của các phương trình này có dạng sóng chạy (traveling wave)
• a : khoảng cách ngắn nhất giữa hai mặt cùng loại Thay vào phương trình chuyển động, ta có
16
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
2. Cơ sở tối giản có hai nguyên tử
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khi định thức bằng 0
Suy ra
• Phương trình bậc 4 nên có 4 nghiệm Xét trường hợp giới hạn
Khai triển :
• Nhánh quang
Cuối cùng ta có các hệ thức tán sắc
Tại biên vùng Brillouin thứ nhất, a là khoảng cách lặp lại của mạng
• Nhánh âm
17
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
2. Cơ sở tối giản có hai nguyên tử
Nhánh quang tại K = 0
Thay hệ thức tán sắc vào hệ phương trình chuyển động • Giống như điện trường của sóng ánh sáng
Nhánh âm tại K = 0
• Các nguyên tử cùng chuyển động với nhau (chuyển động khối tâm) : sóng đàn hồi
18
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
3. Lượng tử hoá sóng đàn hồi
Phonon
Phonon là lượng tử năng lượng của dao động mạng, tương tự như photon của
sóng điện từ. Năng lượng của mode đàn hồi với tần số góc
Đây là năng lượng ở mode kích thích có số lượng tử n, nghĩa là mode gồm có n
phonon.
là năng lượng mode 0.
Dao động mạng tương đương với dao động tử điều hòa với tần số và năng
lượng riêng của nó là
Xét mode sóng đứng có biên độ
• u0 : độ dịch chuyển của một yếu tố thể tích quanh vị trí cân bằng tại x Tương tự như dao động tử điều hòa, năng lượng bao gồm :
½ năng lượng là động năng và ½ năng lượng là thế năng
19
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
3. Lượng tử hoá sóng đàn hồi
Mật độ động năng :
; là mật độ khối lượng
Động năng của thể tích V của tinh thể
Động năng trung bình theo thời gian
chú ý :
Bình phương biên độ
Năng lượng của phonon phải là một số dương. Ta quy ước tần số > 0 Nếu cấu trúc của tinh thể không bền vững : 2 < 0 là số ảo
20
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
4. Xung lượng của phonon
Phonon momentum
Phonon của vector sóng K sẽ tương tác với các hạt (photon, electron, neutron)
nếu như nó có xung lượng • Chú ý : phonon không mang theo xung lượng vật lý thông thường. Phonon của mạng tinh thể chỉ mang xung lượng khi K = 0 • Do K là tọa độ của phonon mà nó bao gồm tọa độ tương đối của các nguyên tử Quy tắc chọn vector sóng đối với tán xạ đàn hồi của photon tia X bởi tinh thể
Trong quá trình phản xạ, tinh thể dường như bị giật lùi với xung lượng
tuy nhiên, đây là xung lượng của mode tầm thường.
Xét quá trình tán xạ không đàn hồi
Sinh ra phonon có vector sóng
Nếu như photon được hấp thụ trong quá trình tán xạ
<=> định luật bảo toàn xung lượng
21
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016
5. Tán xạ không đàn hồi bởi phonon
Quá trình tán xạ của chùm neutron bởi tinh thể
Viết lại biểu thức quy tắc chọn vector sóng dưới dạng tổng quát
• Dấu (+) và (-) : sinh ra hoặc hấp thụ phonon Ta hoàn toàn có thể chọn vector sao cho vector nằm trong vùng Brillouin
thứ nhất
Động năng của chùm neutron tới :
Xung lượng :
Viết lại động năng của chùm neutron tới :
Năng lượng của chùm tia neutron tán xạ :
Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
• Dấu (+) và (-) : sinh ra hoặc hấp thụ phonon
