T.S Trần Ngọc BÀI GIẢNG VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1
Chương 3
ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC VẬT
RẮN
Ụ
ọ
M C TIÊU ả Sau bài h c này, SV ph i :
ượ ồ ố ị Xác đ nh đ ấ c kh i tâm các VR đ ng nh t
ượ ủ Tính đ c mômen quán tính c a VR
ể ộ ơ ả Gi ả ượ i đ c bài toán chuy n đ ng đ n gi n
ủ c a VR
NỘI DUNG
Ố 3.1 – KH I TÂM
Ộ Ủ Ậ Ắ Ể 3.2 – CHUY N Đ NG C A V T R N
3.3 – MÔMEN QUÁN TÍNH
ƯƠ Ọ Ộ Ự 3.4 – PH NG TRÌNH Đ NG L C H C VR
Ọ Ộ Ự Ả 3.5 – GI I BÀI TOÁN Đ NG L C H C VR
Ố 3.1 – KH I TÂM
ị
2
1
=
2
1
M G P m = 2 M G P m 1 Suy ra m1.M1G – m2.M2G = 0 Hay
1 Đ nh nghĩa: Ta có hệ thức:
=
+
m .M G m .M G 0
1
1
2
2
(cid:0) (cid:0)
G- gọi là vị trí của khối tâm
Ố 3.1 – KH I TÂM
ị 1 Đ nh nghĩa:
ủ ệ ấ ỏ ể
n
M1
m2
G
0GMm i
i
ể m1 (cid:0) ố Kh i tâm c a h ch t đi m là đi m G th a mãn: (cid:0) (cid:0)
1i
M2
(cid:0)
ố ủ (cid:0)
m3
dmMG
0
M3
M
VR
G
Kh i tâm c a VR là G, th a: ỏ (cid:0) (cid:0)
ủ ế ố ố ượ Trong đó: ị M: là v trí c a y u t kh i l ng dm
dm = (cid:0) dV = (cid:0) dS = (cid:0) dl
3.1 – KHỐI TÂM
ị 1 Đ nh nghĩa:
Đ c đi m c a G:
ủ ư ọ ủ ệ ể ặ – Đ c tr ng cho h ; là đi m rút g n c a
– N m trên các y u t
ố
ể ặ h .ệ ằ ệ Phân bi ọ
ớ ọ ự ế ế ố ố ứ đ i x ng. ọ t kh i tâm và tr ng tâm: – Tr ng tâm là đi m đ t c a tr ng l c ự ọ ặ ủ ể – Trên th c t G trùng v i tr ng tâm
3.1 – KHỐI TÂM
ố ị 2 Xác Đ nh Kh i Tâm G:
ự ụ
ủ Tìm giao c a các tr c đx. ả ọ Th c hành: Dùng qu r i.
m1
ạ ộ Lý thuy t:ế PP to đ .
n
m2
(cid:0)
rm i i
1r
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
OG
G
r G
1i n
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
m
Gr
i
2r
m3
(cid:0)
1i
O
3r
(cid:0) (cid:0)
3.1 – KHỐI TÂM ể ủ ệ ấ
n
ọ ộ ố ậ
xdm
(cid:0)
m x i
i
T a đ kh i tâm c a h ch t đi m – v t r n:ắ (cid:0) (cid:0) (cid:0)
vat ran
=
=
x
G
(cid:0)
= i 1 n
dm
(cid:0)
m
i
vat ran
= i 1
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ (xi ,yi ,zi) là t a ọ ộ ủ ấ đ c a ch t ể đi m th i (cid:0)
ydm
(cid:0)
m y i
i
vat ran
=
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
G
= i 1 n
(cid:0)
dm
m
i
vat ran
= i 1
ầ ử ọ ộ (x,y,z) là t a đ ủ c a ph n t dm (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
(cid:0)
zdm
(cid:0)
m z i
i
vat ran
=
=
z
G
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
= i 1 n
(cid:0) ố
dm
m
i
vat ran
= i 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (xG,yG,zG) là t a ọ ộ ủ đ c a kh i tâm G (cid:0) (cid:0)
3.1 – KHỐI TÂM
x
Ví d 1:ụ ấ Ba ch t đi m
m1
A
ể m1 =
ỉ
m2
m3
O
C
B
ả ố ượ ủ
2mo; m2 = 3mo ; m3 = ặ ạ i ba đ nh 3mo đ t t ủ A,B,C c a tam giác ề ạ ị đ u c nh a. Xác đ nh ủ ệ ố kh i tâm G c a h . ầ C n ph i tăng hay ả ng c a gi m kh i l 1 đi bao nhiêu đ ể v t mậ ớ ọ G trùng v i tr ng tâm tam giác ABC?
3.1 – KHỐI TÂM
Bài gi
+
x
1 1
3
3
=
x
G
+
1
3
m
0
A
=
=
x
G
ả ụ i ví d 1: + m x m x m x 2 2 + m m m 2 + + +
+
2m a 3 / 2 0 0 2m 3m 3m
a 3 8
0
0
0
1
ể
a
ủ ớ ọ Đ G trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC thì m1 = m2 = m3
G
ố ượ
ng m
1
m3
ả ậ V y ph i tăng kh i l thêm (cid:0) m = m0
O
C
m B 2
3.1 – KHỐI TÂM
Ví d 2:ụ
x
r
dx
ườ
h
G
?
R
O
ố ị Xác đ nh kh i ố ủ tâm c a kh i hình nón đ ng ồ ấ ng nh t, có đ cao h.
3.1 – KHỐI TÂM
ả
ụ
Gi
x
xdm
2 r dx
x
2 xr dx
VR
VR
VR
=
=
=
x
G
r p
2 r dx
dm
2 r dx
r p
i ví d 2: � � � � � �
VR
VR
VR
(cid:0)
r
=
=
-
�
r
(h x)
-
Mà:
dx
r R
h x h
R h
h
h
2
G
x(h x) dx
?
0
=
=
x
- (cid:0)
Nên:
R
G
h
h 4
O
2
(h x) dx
0
- (cid:0)
ụ
3.1 – KHỐI TÂM ậ
Ví d 3 (Bài t p B3.4):
b
a
b
a
Xác định vị trí khối tâm của thước dẹt đồng chất có dạng hình bên. Áp dụng số: a = 10cm; b = 50cm.
3.1 – KHỐI TÂM
ả
Gi
x
2
=
b
x
G
ụ i ví d 3: + m x m x 1 1 2 + m m 1
2
O2
ậ
ướ
a
ộ c m t
G
=
x
G
V y G cách chân th kho ng:ả + a 3b 4
O1
b
ớ
V i a = 10cm, b = 50cm
thì xG = 40cm.
O
a
ụ
3.1 – KHỐI TÂM ậ
Ví d 4 (Bài t p B3.5):
d
r
R
• Một đĩa tròn đồng nhất bán kính R, bị khoét một lỗ cũng có dạng hình tròn bán kính r. Tâm của phần khoét cách tâm đĩa một khoảng d. Xác định G của phần còn lại.
• Xét trường hợp: r = d = R/2.
• Hỏi tương tự đối với khối
cầu đặc đồng chất.
3.1 – KHỐI TÂM
ả
ụ
Gi
i ví d 4:
ọ
x
d
O’
r
O
G
i.
ẽ ư ụ Ch n tr c Ox nh hình v . G i mọ là kh i l ầ ố ượ ng ban đ u, ị ố ượ ng b khoét và m1 là kh i l ạ ầ ố ượ ng ph n còn l m2 là kh i l
R
Lúc ch a khoét thì:
2
=
=
x
0
O
ư + m x m x 1 1 2 + m m 1
2
2
= -
=
=
�
x
2
r 2
2
m x 1 1 m
m 1 m
S 1 S
R
r
2
2
2
-
3.1 – KHỐI TÂM
ả
ụ
Gi
i ví d 4:
= -
V y:ậ
x
2
2 r d 2
ấ ượ
ỏ ớ ỗ
-
ằ G n m khoét)
(R
2 r )
ừ ứ (d u tr ch ng t c phía v i l ng r = d =R/2
x
d
O’
= -
x
2
r
R 6
O
G
R
ươ
ự
ố ầ
ị
ng t
, ta
ớ V i kh i c u b khoét, t có:
r = d = R/2
= -
= -
x
x
2
2
3 r d 3
3
R
r
R 14
-
BÀI TẬP B3.2
y
2a
a
O
a
x
2a
Hình 3.33
Một tấm gỗ phẳng, đồng chất, hình vuông, cạnh 2a, bị cắt một góc hình vuông cạnh a như hình 3.33. Xác định tọa độ khối tâm G của phần còn lại của tấm gỗ theo a.
Đs: G(5a/6; 7a/6)
3.1 – KHỐI TÂM
n
n
ể ộ ủ 3 – Chuy n đ ng c a kh i tâm G:
(cid:0) (cid:0)
m v i
i
m v i
i
= i 1
=
=
v
G
= i 1 n
(cid:0) (cid:0)
d r G dt
m
i
ậ ố ủ V n t c c a G: ố � � = m
n
= i 1 n
(cid:0) (m là ượ k/l ng ủ ệ c a h )
(cid:0) (cid:0)
i
m a i
=
=
=
a
G
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
= i 1 n
� � F i = = i 1 m
F m
d v G dt
m
i
ố ủ
= i 1
(cid:0) Gia t c c a G:
ố
ể ộ ậ Kh i tâm G chuy n đ ng nh ư ố ằ ố ượ ấ ng b ng kh i ủ ế K t lu n: ể ộ m t ch t đi m có kh i l ệ ượ ng c a toàn h . l
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
ế ị 1) VR t nh ti n:
ề ạ
ế
ị
Khi VR t nh ti n, m i đi m trên VR đ u v ch ra ọ ể
ộ ậ ố
ố
ớ
ạ
các qũi đ o gi ng nhau v i cùng m t v n t c.
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
v
v
v
M
N
G
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)
Ch.động của VR được qui về cđ của G
GamF
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
ụ ố ị 2 – Quay quanh tr c c đ nh :
ề ạ
ọ ể ườ ụ ớ ồ
(cid:0) (cid:0) M i đi m trên VR đ u v ch ra các đ ậ ố cùng v n t c góc ng tròn đ ng tr c v i .
R
(cid:0) (cid:0)
v
(cid:0) ậ ố ủ ộ ể ấ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) V n t c dài c a m t đi m b t kì là:
v
Rx
v
R
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ạ ộ ề
(cid:0) (cid:0) ờ ể T i m t th i đi m, m i đi m trên VR đ u có ậ ố và góc quay cùng v n t c góc ọ ể ố , gia t c góc
(cid:0) .
3.2.1. Chuyển động quay VR
Ta có:
n F F t
FF ||
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Chỉ thành phần lực Ft gây ra chuyển động quay đối với trục .
Momen lực:
(cid:0)M
tFr
(cid:0)
Hình 3.6: Phân tích lực
3.2.2. Phương trình ch. động quay VR
Chứng minh:
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
F ti Fr ti i r M i
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
M
i
i rm i
(cid:0) am i ti a rm i ti i ((cid:0) rm i i i (cid:0)2 i (cid:0)2
(cid:0)
M
i rm i
i
i
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Lấy tổng:
(cid:0)I
M
Kết quả: I - momen quán tính (cid:0)
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
ố ề ộ (cid:0)
r1
VÍ D :Ụ ộ ụ ố ụ
(cid:0) ố ỏ
t trên
ố ụ
iả
ế
1r1 = (cid:0)
2r2
M t dây cuaroa truy n đ ng, vòng qua kh i tr I và bánh xe II. Bán kính kh i tr và bánh xe là r1 = 30cm và r2 = 75cm. Bánh xe b t ắ r2 ớ ầ rad/s2. H i sau đ u quay v i gia t c góc 0,4 ớ ậ ố ố ụ ẽ bao lâu, kh i tr I s quay v i v n t c 300 ượ vòng/phút? (dây cuaroa không tr kh i tr và bánh xe). Gi ớ ể Vì các đi m ti p xúc v i dây cuaroa luôn có cùng 1 = v2 , hay (cid:0) ậ ố v n t c dài, nên v
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
2
=
Do đó:
t =�
w b
30 75
1
r 1 r 2
1
w w
r2
r1
(cid:0)
w p
Vậy:
=
=
=
t
10s
12 5
2.10 5.0, 4
b p
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR ứ ạ
3 – Ph c t p :
Phân tích cđ phức tạp thành 2 cđ đồng thời: • Tịnh tiến của G. • Quay quanh trục qua G.
Do đó vận tốc của điểm M bất kì trên vật rắn là:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
v
v
Rx
M
G
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Tổng quát: nếu chọn điểm N trên VR là điểm cơ bản thì:
(cid:0) (cid:0)
v
v
'Rx
M
N
= R ' NM
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
D
O
ov
C
B
A
(cid:0)
Ví dụ: Bánh xe bán kính R lăn không trượt trên đường ngang với vận tốc vo. Xác định : a) vận tốc của các điểm A, B, C, D. b) Qũi đạo của điểm M bất kì trên vành bánh xe và quãng đường nó đi được sau 2 lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường.
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
ậ ố ủ ể V n t c c a đi m C:
CRx
v
v
Rx
C
G
C
D
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
=
v
2
C
| v | v C
0
(cid:0)
O
ov
C
B
A
(cid:0)
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
ậ ố ủ ể V n t c c a đi m A:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
v
v
Rx
A
o
A
D
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
0
vA
(cid:0) (cid:0)
O
C
ov
B
A
(cid:0)
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
ậ ố ủ ể V n t c c a đi m D:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
v
v
Rx
D
o
D
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
v
v2
D
o
D
O
(cid:0)
C
ov
B
A
(cid:0)
3.2 – CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
=
+ w
Mv
v
v
x R
M
G
y
Mv
ạ ủ ậ ố ể V n t c – qũi đ o c a đi m M: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
Rx
Đi qua đi m Dể ườ Đ ng cong cycloid
D
(cid:0)
G
ov
M
O
A
x
(cid:0)
t)
x
0
w =
(cid:0) - w (cid:0) p w
v
=� v
2v | sin(
) |
M
M
0
V iớ
= =
2 T
0v = R
v v
v (1 cos v sin t
t 2
y
0
T
T
(cid:0) w (cid:0)
=
=
s
2v
) | dt
8R
0
= � � � v dt | sin( M
t 2
0
0
w
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
ch t đi m
ị : 1 – Đ nh nghĩa:
(cid:0)
ủ
ộ
ể
ấ
I C a m t ch t đi m:
2mr
n
(cid:0) ố ớ ụ (cid:0) Mômen quán tính đ i v i tr c ừ ấ ể r: k/c t ụ (cid:0) ế đ n tr c
I
2 irm i
ụ
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
1i
(cid:0)
ủ ệ ấ C a h ch t đi m:ể
(cid:0)
I
2dmr
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ủ
ộ C a m t VR:
ế
ừ ế ố y u t ng dm đ n
vr
ố ượ
ừ ấ ri : k/c t ch t ế ứ ể đi m th i đ n tr c r : k/c t kh i l tr c ụ (cid:0) ư
ứ
ể ộ
ặ Ý nghĩa: mômen quán tính đ c tr ng cho m c quán tính trong chuy n đ ng quay
kgm2
ơ ị Đ n v đo:
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
VÍ D 1:Ụ
ấ
m1
A
ỉ
ng cao AH
m2
m3
H
C
B
ể Ba ch t đi m m 1 = mo, m2 = 2mo , m3 = 3mo đ t ặ ủ ạ i ba đ nh A, B, C c a t ề ạ tam giác đ u c nh a. Tính momen quán tính ủ ệ ố ớ ụ c a h đ i v i tr c quay: ứ ườ Ch a đ ứ ạ Ch a c nh AB ứ ạ Ch a c nh BC ọ Đi qua tr ng tâm tam giác ABC và vuông góc mp(ABC)
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
i:ả
1:
1
(cid:0)
2
=
(cid:0)
2 1 1
m1
A
2
2
=
+
+
=
3m
I m .0 2m . 1 o
o
0
2 2 2 2 a 4
a 4
5m a o 4
Gi ố ớ (cid:0) Mômen quán tính đ i v i + + 2 I m r m r m r 1 3 3
ố ớ (cid:0) Mômen quán tính đ i v i
a
2:
2
=
I
m2
2
m3
H
C
B
3 3:
2
=
I
3
(cid:0)
9m a o 4 ố ớ (cid:0) Mômen quán tính đ i v i 3m a o 4
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
VÍ D 2:Ụ
ố
ủ
ố ố ớ ụ
ỏ ng m, bán kính R đ i v i tr c
ủ
h
dm
2
Tính momen quán tính c a kh i ụ ỗ tr r ng, thành m ng, kh i ượ l ố ứ đ i x ng c a nó. Gi =
=
=
iả 2 2 r dm R dm mR
I
� �
Vr
Vr
ố ượ
ố ụ
ủ
m: kh i l
ng c a kh i tr
R: bán kính đáy
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
VÍ D 3:Ụ
ộ
ồ
ả
ấ
ố ớ ụ
ng m, chi u dài L đ i v i tr c quay đi ủ
ố ượ ố
ớ
ủ Tính momen quán tính c a m t thanh m nh, đ ng ề ch t kh i l qua kh i tâm c a thanh và vuông góc v i thanh. Gi
iả
dx
L / 2
x
=
=
I
L 2
L 2
= l � � � 2 2 2 r dm x dx x dx
- l
Vr
Vr
L / 2
=
=
I
2 mL
3 m 1 L . . L 3 4
1 12
-
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH ố ớ ụ
ủ
ồ
2 Mmqt đ i v i tr c quay qua G c a các VR đ ng ch t:ấ
2
=
ố ụ ặ
I
mR
Kh i tr đ c, đĩa tròn:
1 2
2
ố ụ ỗ
Kh i tr r ng, vành tròn:
I mR=
=
I
2 mL
ả Thanh m nh dài L:
1 12
2
=
ố ầ
ặ
I
mR
Kh i c u đ c:
2 5
2
=
I
mR
ả ầ ỗ Qu c u r ng:
2 3
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
N u ế (cid:0)
// (cid:0)
G thì:
I (cid:0) = IG + md2
ị 3 – Đ nh lý Huygens – Steiner:
G
(cid:0)
Ví d :ụ
2/
=
+
=
I
2 m
m
2 m
1 12
1 3
2 � � � � 2 � �
(cid:0)
ườ ủ
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH ặ ng g p:
Mômen quán tính c a các VR th
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
ộ
ứ ườ
ố ượ ng m, ủ ng kính c a vành
ố ớ ụ
ế ủ
ế
y
Gi
i:ả
dm
y
Ta có: =
I
2 r dm
2 y dm
x
=� �
vtron
vtron
O
x
x
=
I
2 r dm
2 x dm
y
=� �
vtron
vtron
=
=
=
+
I
I
I
(I
x
y
x
I ) y
1 2
2
Ví d 1:ụ ủ Tính mômen quán tính c a m t vành tròn kh i l ố ớ ụ bán kính R đ i v i tr c quay ch a đ tròn và đ i v i tr c quay là ti p tuy n c a vành tròn.
ố ứ Do tính đ i x ng, nên: + 2
=
=
2
�
y )dm
(x
I
2 R dm
=� I
mR
1 2
1 2
1 2
vtron
vtron
(cid:0) (cid:0)
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
y
:
2
2
=
=
+ 2 mR mR
I
+ I md G
(cid:0)
O
2
=� I
mR
3 2
d
2
Ví d 1:ụ ố ớ ụ (cid:0) Mômen quán tính đ i v i tr c 1 2
mR=
L u ý:ư
GI
G
R
(cid:0)
2
D =
I
mR
1 2
(cid:0)
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
ộ
ủ
ố ượ ng m, ủ ng kính c a đĩa
(cid:0)
ủ
ớ ụ ớ
ủ
y
dm
r
Ví d 2:ụ Tính mômen quán tính c a m t đĩa tròn kh i l ố ớ ụ ứ ườ bán kính R đ i v i tr c quay ch a đ ẳ ặ ằ n m trong m t ph ng c a đĩa, vuông và v i tr c quay ể ạ i trung đi m c a R. góc v i bán kính R t i:ả Gi ữ
ề ộ
Chia đĩa tròn thành nh ng hình vành khăn, bán kính r, b r ng dr.
R
O
ỗ
dr
ố ớ ụ
=
ớ
r dm
dI
v i dm =
(cid:0) dS = (cid:0) 2(cid:0) rdr
ư ộ M i hình vành khăn đó coi nh m t vòng tròn và mômen quán tính c a ủ nó đ i v i tr c Oy là: 21 2
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
y
Gi
i:ả
dm
s� = p dI
3 r dr
r
ủ ả
R
O
4
= p
dr
Suy ra, mômen quán tính c a c đĩa tròn là: R = I
= p 3 r dr
R
dI
s s
� �
1 4
diatron
0
y
2
=
I
mR
Do m = (cid:0) S = (cid:0)
(cid:0) R2, nên:
1 4
d
vuông góc v i R ớ
O
2
2
+
=
=
2 mR m
I
mR
+ I md G
(cid:0)
ố ớ ụ (cid:0) Đ i v i tr c ể ạ i trung đi m: t 1 4
1 2
2 R � � = � � 2 � �
3.3 – MOMEN QUÁN TÍNH
2
=
I
mR
1 2
2
=
I
mR
=
2
=
I
m
2
1 4
I
m
1 3
1 12
I 0=
L u ý:ư
3.4 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG
1 – Động lượng của hệ chất điểm Động lượng của một hệ chất điểm là tổng động lượng của các chất điểm trong hệ:
=
p
p
m v i
i
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
=� � = p m v G
hay:
=
=
2 – Định luật bảo toàn động lượng Tổng động lượng của một hệ cô lập (hay hệ kín) được bảo toàn: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
p
p
const
i
(cid:0)
3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
1 – Mômen động lượng của hệ chất điểm Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O là tổng mômen động lượng của các chất điểm trong hệ:
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
L
i
r p i
i
= � �
i
i
(cid:0)
=
w = w
=
L
I
i
i
= w � � � I I i
i
i
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
=
I
I
i
m r i i
=� �
i
i
với
(cid:0) (cid:0)
3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 2 – Định lý về mômen động lượng Lấy đạo hàm mômen động lượng theo thời gian, ta có:
=
=
=
= M M
i
i
d L dt
d dt
d � � � i dt
i
i
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Với
=
M
M
i
r F i i
= � �
i
i
(cid:0)
là tổng các mômen ngoại lực tác dụng lên hệ
3 – Định luật bảo toàn mômen động lượng: Nếu tổng mômen ngoại lực bằng không thì mômen động lượng hệ là đại lượng không đổi.
3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
Ví dụ:
Hình 3.11: (a) Tàu không gian chứa bánh đà. Nếu bánh đà quay theo chiều kim đồng hồ thì tàu sẽ quay theo chiều ngược kim đồng hồ. (b) Nếu bánh đà ngừng quay tàu cũng dừng lại và như thế hướng của tàu đã được thay đổi.
3.4 – PHƯƠNG TRÌNH ĐLH VR
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
;F
M
pd dt
Ld dt
(cid:0) (cid:0) ổ 1 – T ng quát:
(cid:0) (cid:0)
ủ
ề
Qui v cđ c a G
(cid:0) ế ỉ ị 2 – VR ch t nh ti n: (cid:0)
ỉ
GamF ụ (cid:0) 3 – VR ch quay quanh tr c
D= b M I
: D (cid:0)
(cid:0) ộ ng:
Mômen đ ng l Mômen l c:ư M(cid:0) ượ L = I(cid:0) = Fd = FRsin(cid:0)
ứ ạ phân tích v ề
ể ộ 4 – VR chuy n đ ng ph c t p: ể ộ hai chuy n đ ng trên
VD về tính mômen lực
F
(cid:0) (cid:0)
d
F = 10N; d = 20cm. Tính momen ố ớ ụ (cid:0) ủ ự c a l c F đ i v i tr c .
= Fd = 10.0,2 = 2 Nm
M(cid:0)
A
B
+
MO = F2.OA.sin300 – F1.OB
= 12.2.0,5 – 8.5 = 28 Nm
ạ ố ổ T ng đ i s momen ạ ự ố ớ ủ c a ngo i l c đ i v i ụ tr c O:
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR c:ướ
Các b
ụ ự B1: Phân tích các l c tác d ng lên VR.
ế ị t các PTĐLH cho chuy n đ ng t nh
B2: Vi ế ể ộ ể ộ ế ti n và chuy n đ ng quay (n u có).
ơ ụ lên các tr c
ng trình vect ế ươ ế B3: Chi u ph ọ ộ ầ t a đ c n thi t.
ả ệ ệ ế ậ ả i h pt và bi n lu n k t qu . B4: Gi
3.5.1. Động lực học của ch.động lăn:
Ví dụ 0:
M Một bánh xe đang quay quanh trục O với moment lực 0 (bởi một động cơ). Ta đặt bánh xe này xuống mặt đường. Nếu không có ma sát giữa bánh xe và mặt đường thì bánh xe tiếp tục quay tại chỗ. Tại điểm tiếp xúc P sẽ xuất hiện lực ma sát nghỉ có khuynh hướng giữ chặt điểm P của bánh xe không cho nó trượt trên mặt đường, tức là có chiều từ trái sang phải như trên Hình vẽ. Lực này sẽ tạo ra cho bánh xe một gia tốc chuyển động tịnh tiến tới phía trước.
3.5.1. Động lực học của ch.động lăn:
Chúng ta giới hạn chỉ khảo sát trường hợp bánh xe lăn không : trượt, tức là điểm P không trượt trên mặt đường. Như vậy lực ma sát tác dụng lên bánh xe là lực ma sát nghỉ. f
msn
a
(cid:0)
fR
M
0
msn
0
msn
0M mRRI
/
0M
,
<
=
Tuy vậy không phải cứ tăng moment lực của động cơ là có thể tăng được gia tốc, vì để cho bánh xe có thể lăn không trượt, tức là để điểm tiếp xúc không trượt trên mặt đường, cần có điều kiện là lực ma sát nghỉ phải nhỏ hơn lực ma sát m nghỉ cực đại
f
f
N
;
0
m
0
=
<
m
a
g
max msn msn < mg ma Như vậy:
0
M 0 + I R Rm
/
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ma (cid:0) MM(cid:0) I (cid:0)
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
Ví d 1:ụ
ố ụ ặ ồ
ộ
M t kh i tr đ c đ ng
(cid:0)
ấ
ượ
N
(cid:0)
ch t lăn không tr ẳ
ặ
t trên ướ
m t ph ng ngang d
F
ụ
i ặ
ư
ủ ự tác d ng c a l c kéo đ t ạ ụ t
i tr c quay nh hình
(cid:0)
(cid:0)
ố ủ
ố
ẽ v . Tính gia t c c a kh i
msF
P
ụ ỏ
ả
tr . B qua ma sát c n
lăn.
Gi
iả
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
N
(cid:0) Ví d 1:ụ
ể ộ
ị
ng trình ĐLH cho chuy n đ ng t nh
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ươ ế ủ
ố
Ph ti n c a kh i tâm:
F
=
ms
+ + + P N F F
(1)
(cid:0)
ươ
m a ể ộ
(cid:0)
ố
Ph quanh kh i tâm:
P
(2)
ng trình ĐLH cho chuy n đ ng quay msF = b msF .R I
-
ế
ươ
ể ộ
Chi u (1) lên ph
ng chuy n đ ng:
ma
(3)
= ms
ượ
ậ
t, nên:
F F a = at = (cid:0) R
F
i (2), (3), (4) ta
=
=
a
Vì v t lăn không tr (4) Gi đ
ả c:ượ
2F 3m
+
m
2
I R
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
Ví dụ 3.13: Một quả cầu đặc đồng chất, bán kính R, khối lượng phân bố đều, bắt đầu lăn không trượt từ đỉnh dốc nghiêng một góc (cid:0) so với phương ngang xuống chân dốc. Lúc đầu, khối tâm của quả cầu ở độ cao h so với mặt phẳng ngang ở chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc, vận tốc của khối tâm quả cầu khi nó xuống đến chân dốc.
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
ma
(6)
a - (cid:0) Ta có 2 pt: = F mg sin ms (cid:0)
=
b =
mR
ma
(7)
(cid:0)
F ms
2 5
2 5
=
(cid:0) (cid:0)
a
g sin
5 7
a Kết quả:
=
=
-
v
2as
2. g sin .
g(h R)
a -
5 7
h R = sin
10 7
a
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
(cid:0)
N
Ví d 2:ụ
ẹ
ọ ộ ợ ắ
ấ ố
2'T
1'T
(cid:0) (cid:0)
ậ
(cid:0) (cid:0)
1T
P
(cid:0)
2T
ầ ng m. Hai đ u dây 1 và m2 (m1 > ậ ố ủ ỏ ứ
m
m
ọ
2
1 1P
2P
tr c ròng r c. ố m1 = 6kg ; m2 = (cid:0) (cid:0)
M t s i dây nh , không co giãn, v t qua ròng r c có ạ d ng đĩa tròn đ ng ch t, ố ượ kh i l ộ bu c hai v t m m2). Tính gia t c c a các v t và s c căng dây. B qua ả ở ụ mômen c n ụ Áp d ng s : 3kg ; m = 2kg. Gi iả
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
2'T
1'T
(cid:0) (cid:0) Ví d 2:ụ
Ta có:
1T
2T
P1 – T1 = m1a1 T2 – P2 = m2a2
m1
m2
(cid:0) (cid:0)
(1) (2) (3)
1P
2P
(cid:0) (cid:0)
ượ
ọ
T’1.R – T’2.R = I(cid:0) Vì dây không giãn và không tr
t trên ròng r c, nên: (4)
ẹ
m m 1
a = a1 = a2 = at = (cid:0) R T1 = T’1 ; T2 = T’2 (5) =
a
g
+
-
m
+ m m 1
2
-
Vì dây nh nên: ả ệ ươ i h ph ng trình, ta Gi = = ượ c: đ T m (g a) 42 (N) 1 1
2 1 2
=
=
+ T m (g a) 39 (N) 2
2
=
= a 10
2 3 (m / s )
6 3 + + 6 3 1
-
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
ẽ Ví d 3:ụ
N
ẹ ơ ệ ư ố ấ (cid:0)
A
1T
1T '
(cid:0) (cid:0) ấ ố ạ ố
C
ầ (cid:0)
2'T
(cid:0) ậ
msF
2T
1P
B
(cid:0) (cid:0)
ố ỏ 1 và m2. B qua ả ở ụ tr c ròng
2P
(cid:0)
ứ
ể ộ Cho c h nh hình v . Dây n i r t nh , không co ọ giãn, ròng r c C có d ng đĩa tròn đ ng ch t, kh i ượ ng m. Hai đ u dây l ộ bu c hai v t A và B kh i ượ ng m l mômen c n r c.ọ ố ủ Xác đ nhị gia t c c a các v tậ ; s c căng dây ; đi u ề ệ ủ ệ ố ki n c a h s ma sát k ể ệ đ h chuy n đ ng.
Ả
V t Aậ
- Ví d 3:ụ
N
- (cid:0)
(3)
-
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR = (1) T F m a 1 1 1 ms = 1P N 0 (2) = P T m a 2 2 2 2 = b T ' .R T ' .R I
(4)
A
1
2
1T
1T '
V t Bậ Rr c Cọ C
(cid:0) (cid:0) -
t ượ
(cid:0)
2'T
(cid:0)
msF
=
= b
2T
a
.R (5)
t
1P
B
O
(cid:0) (cid:0)
x
=
=
(6)
Dây không dãn, không tr trên r r c:ọ = = a a a 1 2 K/l dây = 0: T ' 1
T 2
2
2P
T ;T ' 1 =
y
kN (7)
msF
(cid:0)
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
Đáp s :ố Ví d 3:ụ
2
=
g
a
N
+
m
+ m m 1
2
- (cid:0)
m km 1 1 2
A
1T
1T '
+
+
C
km)
m g(m km 2
1
2
(cid:0) (cid:0)
1 2
=
(cid:0)
T 1
2'T
(cid:0)
+
msF
m
+ m m 1
2
2T
1 2
1P
B
+
+
m)
O
m g(m km 1 1
2
(cid:0) (cid:0)
x
1 2
=
T 2
2P
+
m
+ m m 1
2
y
1 2
(cid:0)
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
Ví d 4:ụ
(cid:0) ế t kh i
T
m
ướ ủ ụ
ế gia t c t nh ti n
(cid:0) ố ị ủ
ả ụ ỗ Th cho tr r ng lăn ố ố xu ng d i. Bi ụ ượ ng c a tr là m, bán l kính tr là R. Dây không giãn và không có kh i ố ượ ng. l Xác đ nhị ụ ố và gia t c góc c a tr , ứ s c căng dây .
P
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
(1)
Ta có: - = P T ma
(2)
(cid:0)
T
= b T.R I = b =
R (3)
m
a Gi đ
a t ả ệ i h (1), (2), (3) ta c:ượ
(cid:0)
P
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
=
a
(cid:0)
T
=
m
T
mg
b =
g 2 1 2 g 2R
(cid:0)
P
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
Ví d 4:ụ
ơ ệ ư ố ấ
ố
ẹ ọ ấ
m
ố ượ
ng m
2
ậ ng m; hai v t A và B có 1 và m2. B ỏ ả ở ụ
tr c ròng
m
1
ứ
ẽ Cho c h nh hình v . Dây n i r t nh , không co ạ giãn, các ròng r c có d ng ố đĩa tròn đ ng ch t, kh i ượ l kh i l qua mômen c n r c.ọ Xác đ nhị v t,ậ s c căng dây
ố ủ gia t c c a các .
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
O
(1)
2 +
+
- (cid:0) Ví d 4:ụ = m g T m a 2 2 2 (cid:0)
1'T
(m m)a
(2)
1
1
1
- - (cid:0)
2'T 2T
(3)
= (m m)g T T 3 1 = b (T ' T ' )R I 1
2
2 2
x2
3T
1T
m
(cid:0) (cid:0) -
x1
2
2P
m
(cid:0)
= + P P P 1 1 r r
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ả
3.5 – GI I BÀI TOÁN ĐLHVR
O
Ví d 4:ụ
+
2
=
g
a
1
1'T
(cid:0) (cid:0) -
1 +
+
m m 2m m 4m 3,5m 2
1
(cid:0)
2'T 2T
+
(cid:0) (cid:0)
x2
3T
1T
2
= -
a
2g
2
m
1 +
+
-
m m 2m m 4m 3,5m 2
1
x1
2
2P
(cid:0)
m = + P P P 1 1 r r
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
REVIEW
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
;F
M
pd dt
Ld dt
P
h
(cid:0) (cid:0)
ứt
ạ
p
c
y a u Q
n h ị T nế ti
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) M
I
v
v
Rx
GamF
M
G
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
BÀI TẬP LDB N3-4
Một xe chở đầy cát, có khối lượng là m2 = 10 kg chuyển động không ma sát trên mặt đường nằm ngang với vận tốc v2 = 1 m/s. Một viên đạn khối lượng m1 = 2 kg bay theo chiều ngược lại với vận tốc v1 = 7 m/s. Sau khi gặp xe, viên đạn nằm ngập trong cát. Hỏi sau đó xe chuyển động theo chiều nào, với vận tốc bằng bao nhiêu?
BÀI GIẢI
=
+ m v m v 1
1
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
-
ụ
ế
Chi u lên tr c Ox:
2 m v m v
1 (m m )v
1 1
2
= 2
+ (m m ) v + 1
2
2
=
=
=
v
m / s
2.7 10.1 + 2 10
1 3
m v m v 1 1 2 + m m 1
2
- -
BÀI TẬP B3.15
m0
T
m
=
=
a
4
;
P
m 2 s
+
Đs:
m
Hình 3.37
Một dây mảnh, nhẹ, không dãn, quấn quanh một trụ đặc đồng chất khối lượng m0 = 3kg. Đầu kia của dây nối với vật m = 1kg (hình 3.37). Bỏ qua ma sát ở trục quay, lấy g = 10m/s2. Tính gia tốc của vật m, lực căng dây và áp lực mà trục ròng rọc phải chịu. mg m 0 2
=
=
+ =
=
T
N Q m g T
N
6 ;
36
0
m a 0 2
BÀI TẬP B3.16
A
1T
1T '
C
(cid:0) (cid:0)
2'T
(cid:0)
2T
B
(cid:0)
2P
(cid:0)
Cho cơ hệ như hình 3.38. Ròng rọc C có dạng đĩa tròn đồng nhất, khối lượng 2kg. Khối lượng của vật A là 3kg, vật B là 2kg. Bỏ qua ma sát trượt giữa A và mặt bàn và ma sát cản lăn ở trục ròng rọc. Biết dây rất nhẹ, không dãn và không trượt trên ròng rọc. Lấy g = 10m/s2. Tính gia tốc của B, các lực căng dây và áp lực của trục ròng rọc.
Ả
Ậ
3.5 – GI I BÀI T P B3.16 Đáp s :ố
Gi i:ả
=
=
a
10 / 3
;
A
1T
m g B +
+
1T '
m 2 s
/ 2
A
m m m C
C
(cid:0) (cid:0)
2'T
=
=
N 10 ;
(cid:0)
T 1
/ 2
A
O
2T
x
B
B
=
=
N
13,3
T 2
y
+ +
( +
(cid:0)
/ 2) / 2
B m m g A B + + m m m B C m g m m C A m m m C
A
B
2P
(cid:0)
BÀI TẬP B3.17 Trên một trụ rỗng, thành mỏng, khối lượng 4kg, có quấn một sợi dây mảnh, rất nhẹ, không dãn. Đầu kia của sợi dây buộc chặt vào điểm cố định. Thả nhẹ cho trụ lăn xuống dưới (hình 3.39). Bỏ qua lực cản không khí, lấy g = 9,8 m/s2. Tính gia tốc tịnh tiến của trụ, lực căng dây.
Hình 3.39
=
=
a
g
/ 2
4,9
;
Đs:
m 2 s
= T mg
N
= / 2 19, 6
BÀI TẬP B3.18
ố ượ i có kh i l
ứ
ụ ớ ố ủ ố
ườ ế ộ i này d i vào tâm c a bàn. Bi
ủ
Đs: 3 vòng/giây
ư ố ớ ấ ở ứ ườ ộ 70 kg đ ng M t ng ng ộ 1m. Bàn đang mép m t bàn tròn bán kính ẳ quay theo quán tính quanh tr c th ng ộ 2 ủ đ ng đi qua tâm c a bàn v i t c đ vòng/giây. Tính t c đ quay c a bàn khi ủ ờ t ng I = 140 kgm2; mômen quán tính c a bàn là ườ ượ ủ c tính i đ mômen quán tính c a ng ỏ ể nh đ i v i ch t đi m; b qua ma sát.
BÀI TẬP B3.20
R
F
h
Hình 3.40
(cid:0)
Bánh xe dạng đĩa tròn đồng nhất, bán kính R, khối lượng m đứng trước một bậc thềm có chiều cao h (hình 3.40). Phải đặt vào trục của bánh xe một lực F bằng bao nhiêu để nó có thể lên được thềm?
)hR2(h
(cid:0)
mg
(cid:0) Đs: F
hR
(cid:0)
BÀI TẬP TN 3.21A
m
2'T
1'T
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)
1T
2T
m1
m2
(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
Cho cơ hệ như hình 3.42. Biết dây nhẹ, không dãn và không trượt trên ròng rọc; ròng rọc có dạng điã tròn đồng chất, khối lượng m = 800g; m1 = 2,6kg và m2 = 1kg; bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc; g = 10 m/s2. Tính lực căng dây treo vật m2 .
1P
2P
B) 14 N
BÀI TẬP TN 3.21
Vô lăng có khối lượng m = 60kg phân bố đều trên vành tròn bán kính R = 0,5m. Vô lăng có thể quay quanh trục thẳng đứng đi qua khối tâm. Tác dụng lực F = 48N luôn theo phương tiếp tuyến của vô lăng thì nó bắt đầu quay và sau khi quay được 4 vòng, vận tốc góc của nó là 4rad/s. Tính mômen của lực cản.
A) 19,2 Nm C) 24 Nm B) 21,6 Nm D) 28,7 Nm
BÀI TẬP LDB N3-20
A
u 1T
1T
C
(cid:0)
2T
(cid:0)
2T
B
(cid:0)
2P
(cid:0)
Một hệ gồm một trụ đặc khối lượng MA = 2,54 kg và vật nặng mB = 0,5 kg được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua ròng rọc C (hình vẽ). Bỏ qua khối lượng của dây, của ròng rọc C và khung gắn với trụ. Tìm gia tốc vật nặng B và sức căng dây.
=
=
=
=
a
T
N
1,14(
);
4,34
m 2 s
mg + m M 3
/ 2
Ma 3 2
Đs:
BÀI TẬP TN 3.20
Một vô lăng hình đĩa tròn đồng chất, có khối lượng 10 kg, bán kính 20 cm, đang quay với vận tốc 240 vòng/phút thì bị hãm đều và dừng lại sau 20 giây. Độ lớn của mômen hãm là :
A) 0,13 Nm C) 0,25 Nm B) 0,50 Nm D) 1 Nm
BÀI TẬP TN 3.28
Gọi I1, I2, I3 lần lượt là mômen quán tính đối với trục quay qua khối tâm của quả cầu đặc, trụ đặc, vành tròn có cùng khối lượng m và bán kính R. Quan hệ nào sau đây là đúng?
A) I1 > I2 > I3. C) I2 > I1 > I3. B) I1 < I2 < I3. D) I3 > I1 > I2.
