Bài tập đạo hàm

minhnguyen249@yahoo.com

Nguy n Vũ Minh

ễ

1

Ậ

t BÀI T P Đ O HÀM Ạ ố i xạ 0 = 5 ị ằ ủ 2x 1-

Gi i: T p xác đ nh D = ậ ả ị 1 2 D thì ố + D - x) 1 D y = 2(5 Bài 1: B ng đ nh nghĩa, hãy tính đ o hàm c a hàm s : y = ạ � �(cid:0)� x : x � � ủ 0 = 5 sao cho 5+ D x (cid:0) • V i ớ D x là s gia c a x - 10 1- •

+ D -

(

)

• Ta có:

D D - 9 = = Khi đó: y’(5)= D (cid:0) D (cid:0) lim x 0 lim x 0 D D D D y x y x 9 2 x 3 ( + D + 9 2 x 3 ) x

) ( + D + 9 2 x 3

+ D 9 2 x x

• =

+ D - D (cid:0) D (cid:0) = = lim x 0 lim x 0 D

)

(

)

9 2 x 9 ( + D + 9 2 x 3 x 2 + D + 9 2 x 3 1 3

= liên t c t i x y Bài 2 : Ch ng minh hàm s ố ứ ụ ạ 0 = 0, nh ng không có đ o hàm t ư ạ ạ i đi m đó. ể x + x 1

(cid:0) (cid:0) x ,ne�u x 0 (cid:0) HD: Chú ý đ nh nghĩa: x = ị (cid:0) -x ,ne�u x<0

D x Cho x0 = 0 m t s gia ộ ố

D D y = f(x0+ D x) –f(x0) = f( D x) –f(0) = x D + x 1

) x 1

D D = D D x ( D + x y x

+

+

• Khi D x (cid:0)

(

D D 0+ ( thì D x > 0) Ta có: = = =1 D (cid:0) D (cid:0) lim x 0 lim x 0 D D (cid:0) lim x 0 D x ( ) D + x 1 x 1 ) D + x 1 y x+

2x

(cid:0) - (cid:0) , ne�u x 0 (cid:0) Bài 3: Cho hàm s y = f(x) = ố , (cid:0) x ne�u x<0

2

a) Cm r ng hàm s liên t c t i x = 0 b) Hàm s này có đ o hàm t i đi m x = 0 hay không ? T i sao? ụ ạ ằ ố ạ ố ạ ể ạ

2 -x

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (x 1) , n e�u x 0 (cid:0) không có đ o hàm t i x = 0. T i x = 2 Bài 4: Ch ng minh r ng hàm s y = f(x) = ằ ứ ố ạ ạ ạ (cid:0) , n (cid:0) e�u x<0

2

hàm s đó có đ o hàm hay không ? ạ ố

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) ne�u x 0 (cid:0) không có đ o hàm t i x Bài 5: Ch ng minh r ng hàm s y = f(x) = ằ ứ ố ạ ạ 0 = 0, nh ngư (cid:0) (x 1) , ,2 (cid:0) (x+1) ne�u x<0

liên t c t i đó. ụ ạ

D D D D (cid:0) HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; = -2; = 2 (cid:0) (cid:0) hàm s không có ố - - D (cid:0) D (cid:0) D (cid:0) D (cid:0) lim x 0 lim x 0 lim x 0 lim x 0 D D D D y x+ y x y x+ y x i x đ o hàm t ạ ạ 0 = 0

+

+

0

0

0

0

lim f (x) lim f (x) lim f (x) - - =1; f(0) = 1 (cid:0) = f(0) = 1 D (cid:0) D (cid:0) D (cid:0) D (cid:0) b) Vì x =1; x lim f (x) x = x

1

(cid:0) hàm s liên t c t ụ ạ 0 = 0 i x ố

minhnguyen249@yahoo.com

Nguy n Vũ Minh

ễ

2

(cid:0) (cid:0) cos x, Ne�u x 0 (cid:0) Bài 6: Cho hàm s y = f(x) = ố - sin x (cid:0) Ne�u x<0

a) Ch ng minh r ng hàm s không có đ o hàm t i x = 0. ứ ằ ạ ố ạ

p b) Tính đ o hàm c a f(x) t i x = ủ ạ ạ 4

+

+

+

0

0

0

0

0

- (cid:0) lim f (x) lim cos x lim f (x) lim ( sin x) - - = 0; f(0) = cos0 = 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x =1 và x = x lim f (x) x

0

- (cid:0) HD:a) Vì x lim f (x) x

(cid:0) i x ụ ạ 0 = 0 (hàm s gián đo n t ạ ạ 0 = 0) i x ố ố ố

Bài 7: Tính đ o hàm các hàm s sau: 1. y = ( 2. y = ( hàm s không liên t c t ạ 2x -3x+3)( 3x -3x+2)(

2x +2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9 4x + 2x -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x ) x 1

- 3. Tìm đ o hàm c a hàm s : y = ủ ạ ố

( �+ 3x � �

- - - -

) x 1 '

3

) x 1

�+ 3x

) x 1

= = Gi i: y’ = + ả 2 + 2 x � � �

( � � �

2 � � x � 1 � � �� � 2 x �� �

+ - -

( �+ 3x ' � � ) x 1

3 = + 2 � � x � ( 2 �+ � 3x � � x � � 3x 2 x 1 x x 2 � � x � ( � � �

3

2

- 1 1 � � x �

3 x

� � � + + + 2 1 3x x

)

2x -1)(

2x -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x

7. y =

2 � + � 2 x � ) 3. y = ( + x 1 ) ( 4. y = ( 2x -4)( 5. y = ( 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x )

3

+ 1 + 1 x 2x

8. y =

3

-

+ 1 1

9. y =

3

2

1 ; Đs:- + - - (x 1)(x 1) 2x 2x + x 1 x 1

10.y =

2

2 3 (1 x )(1 x )

- ; Đs:- 2x + 2 - 1 x + 1 x

2

- -

11.y = cos2

2

3

1 + x x x (1 x ) � � 1 x � � �+� � 1 x �; Đs: � 1 sin 2 � � +� 1 � � � �

12.y = (1+sin2x)4; Đs: 13.y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x

+ (1 sin x) sin 2x

14.y =

2

15.y =

- ; Đs: 2 + (sin x cos x)

2

sin x cos x + sin x cos x sin 3x 2 sin x.cos x

minhnguyen249@yahoo.com

Nguy n Vũ Minh

ễ

3

(

) 2

- - 1 cos x x sin x 518) y = f(x) = ; y’ = - - 1 cos x

2

2

- 519) y = f(x) = ; y’ =

4 tan x

522) y = f(x) = ; y’ = + x sin x cos x x cos x 1 1 cos x + - 523) y = f(x) = ; y’ = + + x 1 cos x tan x x sin x + 1 cos x x + sin x cos x sin x cos x x(sin x cos x) 1 sin 2x

526) y = f(x) = ; y’ = tan3x. 1 2 cos x 1 4

3 cos x

- 527) y = f(x) = cosx ; y’ = -sin3x 1 3

- sin 2x(2 sin x) 528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = 3 2

529) y = f(x) = tan3x –tanx + x; y’ = tan4x 1 3 1

2

2

535) y = f(x) = tan ; y’ = 2 cos + x 1 2 + x 1 2 539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x - x 1

2

2 2x cos

+ 1 tan x 544) y = f(x) = ; y’ = + x 1 tan x 1 � � + � � x � � 1 � � + � � x � � 1 � � + � � x � �

2

672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = sin2x(cosx-2)

682) y = f(x) = ; y’ = 3 2 2sin 2x 2 cos 2x

2

2

2

+ + cot tan - 684) y = f(x) = ; y’ = x 2 2sin x cos 2x x 2 2(x cos x sin x) x sin x x

2 x 3

2

4

2

- sin cot cot sin sin 685) y = f(x) = ; y’ = …. x 2 1 3 x 2 x 2 1 2

2

4

+ + 689) y = f(x) = ; y’ = 1 tan x tan x 2x 3 + tan x(1 2 tan x) 2 + + cos x 1 tan x tan x

6 sin 3x

8 sin 3x

3

2

- 694) y = f(x) = ; y’ = sin53xcos33x 1 18 1 24

+ - 1 sin x

)

705) y = f(x) = cosx.( ; y’ = 2sin x + 2 1 sin x

2 � � � sin 2x

+ - - cos sin 0.8x cos 0.8x 706) y = f(x) = 0.4 ; y’ = -0.8 sin 0.8x cos + 2x 1 2 + 2x 1 2 + 2x 1 2 � � � � � � � sin � � � � � � � �

2

2

1 - 713) y = f(x) = ; y’ = +

(

) 3

+ 2 1 sin x 1 sin x

3

721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2)

minhnguyen249@yahoo.com

Nguy n Vũ Minh

ễ

4

722) y = f(x) = ; y’ = 2 cos x cos 2x 2sin x cos 2x cos 2x

BÀI T P Đ O HÀM B SUNG Ổ Ậ Ạ

2xcosx+cos2x

- 1.Tìm đ o hàm c a hàm s : y = i: y’ = ( cot2x ủ ạ ố ả x cot2x Gi x )cot2x+ x (cot2x)’ = 1 2 x 2 x 2 sin 2x ạ ố

2. Tìm đ o hàm c a hàm s : y = 3sin ủ y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’ = 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx)

2

2

2

3

2

2

3. Cho hàm s : y = ố x ạ + ố 2(x + + - x 1 x. x x + + x 1 Tìm TXĐ và tính đ o hàm c a hàm s ? TXĐ: D = R ủ + 2x 1 2 + + y’ = = =… x 1 + + + + - ( x 1) x(2x 1) ) x 1 x + + 2 x x 1 x

ố ạ ằ ứ ụ ộ

Bài : Ch ng minh r ng các hàm s sau có đ o hàm không ph thu c x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x; HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x = [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x = 1 (cid:0) y’ = 0 (đpcm)

Cách 2: y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’] = 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)

2(6x-1)

p� 2 � 3 � �- x � �-2sin2x. p� �+ x � � 3 � �+cos2 p� 2 � 3 � 2(4x-1) �- x � �+cos2 ậ ố

2

ố ng trình : ậ ằ ố ỏ

2

p� �- x � � 3 � �+cos2 b) y = cos2 Bài : Cho hàm s y = f(x) = 2cos ố a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) ị ủ Bài : Cho hàm s y = f(x) = 3cos ố a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) ị ủ Bài : Ch ng minh r ng các hàm s sau th a mãn ph a) y = ươ ; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0 ứ 2x x-

+ + x x 1 d) y =

) 2

3x [cos(lnx)+sin(lnx)];

2x y"-5xy'+10y = 0. e) y =(

; (1+ 2x )y"+xy'-4y = 0

p đó tính f’(0) và f”( ). 2/. Gi i ph ng trình f”(x) = 0. 1/. Tính f’(x) và f”(x), t ả ươ - Bài : Cho hàm s y = f(x) = cos2x ố Bài : Cho hàm s ố y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. ừ x 1 2 i ph ả a) Tính f'(x) Bài : Gi ả b) Gi ươ ế ằ

4

+ - f(x) = 3x+ b) f(x) = +5; +cosx- 3 cos 3x 3 ươ ng trình f’(x) = 0 bi 64 3 x ng trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 t r ng: sin 3x 3 i ph 60 x � sin x � � � � � Gi i: ả

minhnguyen249@yahoo.com

Nguy n Vũ Minh

ễ

5

2

- - - f’(x) = 3 + == 3 + == 3 20 + 2 x 64 4 x 60 2 x 60 2 x 64.3 4 x � 1 � � � � �

} 2; 4

5

- (cid:0) (cid:0) f’(x) = 0 (cid:0) x4-20x2+64 = 0 (x (cid:0) 0) (cid:0) …{ 64.3x 6 x 20 + 2 x 64 4 x � 1 � � � = 0 (cid:0) � �