Nguy n Vũ Minhễminhnguyen249@yahoo.com
BÀI T P Đ O HÀMẬ Ạ
Bài 1: B ng đ nh nghĩa, hãy tính đ o hàm c a hàm s : y =ằ ị ạ ủ ố
2x 1−
t i xạ0 = 5
Gi i: T p xác đ nh D =ả ậ ị
1
x : x 2
� �
� �
�
•V i ớ
∆
x là s gia c a xố ủ 0 = 5 sao cho 5+
∆
x
∆
thì
•
∆
y =
2(5 x) 1+ ∆ −
-
10 1−
•Ta có:
y
x
∆
∆
=
9 2 x 9
x
+ ∆ −
∆
Khi đó: y’(5)=
x 0
y
lim x
∆
∆
∆
=
( ) ( )
( )
x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3
∆
+ ∆ − + ∆ +
∆ + ∆ +
•=
( )
x 0
9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3
∆
+ ∆ −
∆ + ∆ +
=
( )
x 0
2
lim
9 2 x 3
∆
+ ∆ +
=
1
3
Bài 2 : Ch ng minh hàm s ứ ố
x
yx 1
=+
liên t c t i xụ ạ 0 = 0, nh ng không có đ o hàm t i đi m đó.ư ạ ạ ể
HD: Chú ý đ nh nghĩa: ị
x
=
x,ne�u x 0
-x ,ne�u x<0
Cho x0 = 0 m t s gia ộ ố
∆
x
∆
y = f(x0+
∆
x) –f(x0) = f(
∆
x) –f(0) =
x
x 1
∆
∆ +
y
x
∆
∆
=
( )
x
x x 1
∆
∆ ∆ +
•Khi
∆
x
0+ ( thì
∆
x > 0) Ta có:
x 0
y
lim x
+
∆
∆
∆
=
( )
x 0
x
lim x x 1
+
∆
∆
∆ ∆ +
=
( )
x 0
1
lim x 1
+
∆
∆ +
=1
Bài 3: Cho hàm s y = f(x) =ố
2
x ,
,
−
ne�u x 0
x ne�u x<0
a) Cm r ng hàm s liên t c t i x = 0ằ ố ụ ạ b) Hàm s này có đ o hàm t i đi m x = 0 hay không ? T i sao?ố ạ ạ ể ạ
Bài 4: Ch ng minh r ng hàm s y = f(x) =ứ ằ ố
2
(x 1) , n
, n
−
2
e�u x 0
-x e�u x<0
không có đ o hàm t i x = 0. T i x = 2ạ ạ ạ
hàm s đó có đ o hàm hay không ?ố ạ
Bài 5: Ch ng minh r ng hàm s y = f(x) =ứ ằ ố
2
(x 1) ,
,
2
ne�u x 0
(x+1) ne�u x<0
−
không có đ o hàm t i xạ ạ 0 = 0, nh ngư
liên t c t i đó.ụ ạ
HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1;
x 0
y
lim x
+
∆
∆
∆
= -2;
x 0
y
lim x
−
∆
∆
∆
= 2
x 0
y
lim x
+
∆
∆
∆
x 0
y
lim x
−
∆
∆
∆
hàm s không cóố
đ o hàm t i xạ ạ 0 = 0
b) Vì
x 0
lim f (x)
+
∆
=1;
x 0
lim f (x)
−
∆
=1; f(0) = 1
x 0
lim f (x)
+
∆
=
x 0
lim f (x)
−
∆
= f(0) = 1
hàm s liên t c t i xố ụ ạ 0 = 0
1
1
Nguy n Vũ Minhễminhnguyen249@yahoo.com
Bài 6: Cho hàm s y = f(x) =ố
cos x,
sin x
Ne�u x 0
Ne�u x<0
−
a) Ch ng minh r ng hàm s không có đ o hàm t i x = 0.ứ ằ ố ạ ạ
b) Tính đ o hàm c a f(x) t i x =ạ ủ ạ
4
π
HD:a) Vì
x 0
lim f (x)
+
=
x 0
lim cos x
+
=1 và
x 0
lim f (x)
−
=
x 0
lim ( sin x)
−
−
= 0; f(0) = cos0 = 1
x 0
lim f (x)
+
x 0
lim f (x)
−
hàm s không liên t c t i xố ụ ạ 0 = 0 (hàm s gián đo n t i xố ạ ạ 0 = 0)
Bài 7: Tính đ o hàm các hàm s sau:ạ ố
1. y = (
2
x
-3x+3)(
2
x
+2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9
2. y = (
3
x
-3x+2)(
4
x
+
2
x
-1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đ o hàm c a hàm s : y =ạ ủ ố
( )
23x x 1
x
� �
+ −
� �
� �
Gi i: y’ =ả
( )
23x ' x 1
x
� �
+ −
� �
� �
+
( )
23x x 1 '
x
� �
+ −
� �
� �
=
( )
2
23 x 1
x
� �
− + −
� �
� �
=
2 1
3x
x2 x
� �
� �
+
� �
� �
� �
� �
=
( )
2
23 x 1
x
� �
− + −
� �
� �
+
1 3x
x x 2 x
+
3. y =
( )
1
x 1 1
x
� �
+ −
� �
� �
4. y =
( )
()
32
3
x 2 1 x 3x+ + +
5. y = (
2
x
-1)(
2
x
-4)(
2
x
-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+
x
)(1+
2x
)(1+
3x
)
7. y =
1 x
1 2x
+
+
8. y =
3
3
1 2x
1 2x
−
+
9. y =
x 1
x 1
+
−
; Đs:-
3
1
(x 1)(x 1)+ −
10.y =
2
2
1 x
1 x
−
+
; Đs:-
2 2 3
2x
(1 x )(1 x )− +
11.y = cos2
1 x
1 x
� �
−
� �
� �
+
� �
; Đs:
2
1 1 x
sin 2
x (1 x ) 1 x
� �
−
� �
� �
+ +
� �
12.y = (1+sin2x)4; Đs:
2 3
(1 sin x) sin 2x+
13.y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
14.y =
sin x cos x
sin x cos x
−
+
; Đs:
2
2
(sin x cos x)+
15.y =
2
sin 3x
sin x.cos x
2
2
Nguy n Vũ Minhễminhnguyen249@yahoo.com
518) y = f(x) =
x
1 cos x−
; y’ =
( )
2
1 cos x x sin x
1 cos x
− −
−
519) y = f(x) =
tan x
x
; y’ =
2 2
x sin x cos x
x cos x
−
522) y = f(x) =
sin x
1 cos x+
; y’ =
1
1 cos x+
523) y = f(x) =
x
sin x cos x+
; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x)
1 sin 2x
+ + −
+
526) y = f(x) =
4
1tan x
4
; y’ = tan3x.
2
1
cos x
527) y = f(x) = cosx
3
1cos x
3
−
; y’ = -sin3x
528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ =
3sin 2x(2 sin x)
2−
529) y = f(x) =
1
3
tan3x –tanx + x; y’ = tan4x
535) y = f(x) = tan
x 1
2
+
; y’ =
2
1
x 1
2 cos 2
+
539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x
544) y = f(x) =
1
1 tan x x
� �
+ +
� �
� �
; y’ =
2
2 2
x 1
1 1
2x cos x 1 tan x
x x
−
� � � �
+ + +
� � � �
� � � �
672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ =
3
2
sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) =
2
2sin x
cos 2x
; y’ =
2
2sin 2x
cos 2x
684) y = f(x) =
x x
tan cot
2 2
x
+
; y’ =
2 2
2(x cos x sin x)
x sin x
+
−
685) y = f(x) =
2
x x
sin cot
3 2
; y’ =
1 x 2x
cot sin
3 2 3
2
1 x
sin
2 2
−
….
689) y = f(x) =
2 4
1 tan x tan x+ +
; y’ =
2
2 2 4
tan x(1 2 tan x)
cos x 1 tan x tan x
+
+ +
694) y = f(x) =
6 8
1 1
sin 3x sin 3x
18 24
−
; y’ = sin53xcos33x
705) y = f(x) = cosx.
()
2
1 sin x+
; y’ =
3
2
2sin x
1 sin x
−+
706) y = f(x) = 0.4
2
2x 1
cos sin 0.8x
2
+
� �
−
� �
� �
; y’ = -0.8
2x 1
cos sin 0.8x
2
+
� �
−
� �
� �
2x 1
sin cos 0.8x
2
+
� �
+
� �
� �
713) y = f(x) =
2
1
1 sin x+
; y’ =
( )
3
2
sin 2x
2 1 sin x
−+
721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2)
3
3
Nguy n Vũ Minhễminhnguyen249@yahoo.com
722) y = f(x) =
2cos x
cos 2x
; y’ =
2sin x
cos 2x cos 2x
BÀI T P Đ O HÀM B SUNGẬ Ạ Ổ
1.Tìm đ o hàm c a hàm s : y = ạ ủ ố
x
cot2x Gi i: y’ = (ả
x
)cot2x+
x
(cot2x)’ =
1
2 x
cot2x
2
2 x
sin 2x
−
2. Tìm đ o hàm c a hàm s : y = 3sinạ ủ ố 2xcosx+cos2x
y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’
= 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx)
3. Cho hàm s : y =ố
2
x
x x 1+ +
Tìm TXĐ và tính đ o hàm c a hàm s ? TXĐ: D = Rạ ủ ố
y’ =
2
2
2
2x 1
x x 1 x.
2 x x 1
x x 1
+
+ + − + +
+ +
=
( )
2
3
2
2(x x 1) x(2x 1)
x x 1
+ + − +
+ +
=…
Bài : Ch ng minh r ng các hàm s sau có đ o hàm không ph thu c x:ứ ằ ố ạ ụ ộ
a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x;
HD:
Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x
= [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x
=[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x
= 1
y’ = 0 (đpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’]
= 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx]
= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)
b) y = cos2
x
3
π
� �
−
� �
� �
+cos2
x
3
π
� �
+
� �
� �
+cos2
2x
3
π
� �
−
� �
� �
+cos2
2x
3
π
� �
−
� �
� �
-2sin2x.
Bài : Cho hàm s y = f(x) = 2cosố2(4x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x)ậ ị ủ ố
Bài : Cho hàm s y = f(x) = 3cosố2(6x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x)ậ ị ủ ố
Bài : Ch ng minh r ng các hàm s sau th a mãn ph ng trình :ứ ằ ố ỏ ươ
a) y =
2
2x x−
; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0
d) y =
3
x
[cos(lnx)+sin(lnx)];
2
x
y"-5xy'+10y = 0. e) y =
()
2
2
x x 1+ +
; (1+
2
x
)y"+xy'-4y = 0
Bài : Cho hàm s ố
y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x.
1/. Tính f’(x) và f”(x), t đó tính f’(0) và f”(ừ
π
). 2/. Gi i ph ng trình f”(x) = 0.ả ươ
Bài : Cho hàm s y = f(x) = ố
x 1
2
−
cos2x
a) Tính f'(x) b) Gi i ph ng trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0ả ươ
Bài : Gi i ph ng trình f’(x) = 0 bi t r ng:ả ươ ế ằ
f(x) = 3x+
60
x
3
64
x
−
+5; b) f(x) =
sin 3x
3
+cosx-
3
cos3x
sin x 3
� �
+
� �
� �
Gi i: ả
4
4
Nguy n Vũ Minhễminhnguyen249@yahoo.com
f’(x) = 3
2
60
x
−
+
2
6
64.3x
x
== 3
2
60
x
−
+
4
64.3
x
== 3
2 4
20 64
1x x
� �
− +
� �
� �
f’(x) = 0
2 4
20 64
1x x
� �
− +
� �
� �
= 0
x4-20x2+64 = 0 (x
0)
…
{ }
2; 4
5
5
![Bài tập so sánh hơn và so sánh nhất của tính từ [kèm đáp án/mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250808/nhatlinhluong27@gmail.com/135x160/77671754900604.jpg)
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Tài liệu Lý thuyết và Bài tập Tiếng Anh lớp 6 [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250802/hoihoangdang@gmail.com/135x160/18041754292798.jpg)
