LTĐH A-B bằng bài tập hay và khó 2013
Chọn lọc và sưu tập : Trương Tấn Tài
Facebook: Siêu Quấy Rối Kute
Hotmail: taitt@hotmail.com.vn
Bài Tập LTĐH 2013- Tổ hợp xác xuất
Câu 1: Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển Niutơn của biểu thức :
2 10
(1 2 3 )P x x
Giải:
Ta có
10 10
2 10 2
10 10
0 0 0
(1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 )
k
k k k i k i i k i
k
k k i
P x x C x x C C x

Theo giả thiết ta có
40 1 2
0 10 432
,
ki i i i
ik k k k
i k N

Câu 2:
Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn
2
0 1 2
2 2 2 121
...
2 3 1 1
nn
n n n n
C C C C
nn

Giải:
Xét khai triển
0 1 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C C x C x C x
Lấy tích phân 2 vế cân từ 0 đến 2 , ta được:
1 2 3 1
0 1 3
3 1 2 2 2
2 ...
1 2 3 1
nn
n
n n n n
C C C C
nn


2 1 1
0 1 2
1
2 2 2 3 1 121 3 1
...
2 3 1 2( 1) 1 2( 1)
3 243 4
n n n
n
n n n n
n
C C C C
n n n n
n


Vậy n=4.
Câu 3: Tính giá trị biểu thức:
2 4 6 100
100 100 100 100
4 8 12 ... 200A C C C C
.
Giải:
Ta có:
100 0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
1 ...x C C x C x C x
(1)
100 0 1 2 2 3 3 100 100
100 100 100 100 100
1 ...x C C x C x C x C x
(2)
Lấy (1)+(2) ta được:
100 100 0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 100
1 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
99 99 2 4 3 100 99
100 100 100
100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x
Thay x=1 vào
=>
99 2 4 100
100 100 100
100.2 4 8 ... 200A C C C
Câu 4: Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi
vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?
Giải:
Số cách chọn 9 viên bi tùy ý là :
9
18
C
.
LTĐH A-B bằng bài tập hay và khó 2013
Chọn lọc và sưu tập : Trương Tấn Tài
Facebook: Siêu Quấy Rối Kute
Hotmail: taitt@hotmail.com.vn
Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là:
+ Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng chỉ là 8.
+ Không có bi xanh: có
9
13
C
cách.
+ Không có bi vàng: có
9
15
C
cách.
Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì có
9
10
C
cách chọn 9 viên
bi đỏ được tính hai lần.
Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là:
9 9 9 9
10 18 13 15 42910C C C C
cách.
Câu 5: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau:
4 3 2
1 1 2
43
11
5
4
7
15
n n n
n
nn
C C A
CA


(Ở đây
,
kk
nn
AC
lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử)
Giải:
Điều kiện:
1 4 5nn
Hệ điều kiện ban đầu tương đương:
1 2 3 4 1 2 3 523
4.3.2.1 3.2.1 4
1 1 2 3 711
5.4.3.2.1 15
n n n n n n n nn
n n n n n n n n
2
2
9 22 0
5 50 0 10
5
nn
n n n
n
Câu 6: Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5
bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
2 2 1
3
1
9 19
22
720
m
m n m
n
C C A
P
Giải:
720 2
19
2
9
1
12 3
2
n
mn
m
m
P
AcC
Từ (2):
761!6720)!1( nnn
(3)
Thay n = 7 vào (1)
)!1(
!
.
2
19
9
!8!2
!10
)!2(!2
!
m
m
m
m
LTĐH A-B bằng bài tập hay và khó 2013
Chọn lọc và sưu tập : Trương Tấn Tài
Facebook: Siêu Quấy Rối Kute
Hotmail: taitt@hotmail.com.vn
09920
19990
2
19
2
9
45
2
)1(
2
2
mm
mmm
m
mm
119 m
vì
10 mm
Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy được ít nhất
3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
1575. 2
10
3
7CC
cách
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
350. 1
10
4
7CC
cách
TH3: 5 bông hồng nhung có:
21
5
7C
cách
có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách.
Số cách lấy 4 bông hồng thường
%45,31
6188
1946
6188
5
17
P
C
Câu 7: Năm đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm, 10cm. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn
thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Tìm xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam
giác.
Giải:
Gọi A là biến cố: “ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác”
Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác
{4;6;8}, {4;8;10}, {6;8;10}
Vậy: n() =
3
510C
; n(A) = 3 ==> P(A) =
3
10
Câu 8:Tìm các giá trị x trong khai triển nhị thức Newton:
5
lg(10 3 ) ( 2)lg3
22
xn
x
biết
rằng số hạng thứ 6 của khai triển bằng 21 và
1 3 2
2
n n n
C C C
Giải:
Điều kiện: n nguyên dương và n ≥ 3
Ta có
1 3 2
2
n n n
C C C
! ! !
2
1!( 1)! 3!( 3)! 2!( 2)!
n n n
n n n
n2 – 9n + 14 = 0 n =
7
Ta có số hạng thứ 6 :
25
5
5 lg(10 3 ) ( 2)lg3
722
xx
C
= 21 21.2
lg(10 3 )
x
2(x – 2)lg3 = 21
lg(10 – 3x) + lg3(x – 2) = 0 (10 – 3x)3x – 2 = 1
32x - 10.3x + 9 = 0
0
2
x
x
Câu 9: Với
n
là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
LTĐH A-B bằng bài tập hay và khó 2013
Chọn lọc và sưu tập : Trương Tấn Tài
Facebook: Siêu Quấy Rối Kute
Hotmail: taitt@hotmail.com.vn
113210 2).2().1(.....4.3.2 nn
n
n
nnnnn nCnCnCCCC
.
Giải:
Khai triển
1n
x
ta có:
... .
0 1 2 2 3 3 1 1
1nn n n n
n n n n n n
x C C x C x C x C x C x

Nhân vào hai vế với
x
, ta có:
... .
0 1 2 2 3 3 4 1 1
1nn n n n
n n n n n n
x x C x C x C x C x C x C x

Lấy đạo hàm hai vế ta có:
... 1
0 1 2 2 3 3 1 1
2 3 4 1 1 1
nn
n n n n
n n n n n n
C C x C x C x nC x n C x n x x x

.
1
11
n
x nx x
Thay
1x
, ta có
. . . ... . ( ). . .
0 1 2 3 1 1
2 3 4 1 2 2
n n n
n n n n n n
C C C C n C n C n

Câu 10: Chứng minh rằng
0 2 4 6 98 100 50
100 100 100 100 100 100
... 2 .C C C C C C
Giải:
Chứng minh rằng
0 2 4 100 50
100 100 100 100
... 2 .C C C C
Ta có
100 0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
0 2 4 100 1 3 99
100 100 100 100 100 100 100
1 ...
... ...
i C C i C i C i
C C C C C C C i
Mặt khác
2 100 50
2 50
1 1 2 2 1 2 2i i i i i i
Vậy
0 2 4 100 50
100 100 100 100
... 2 .C C C C