Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

70
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu đề tài là nhằm nâng cao chuyên môn, khả năng sư phạm và quan trọng hơn đó là mong muốn làm sao truyền tải được đến các em học sinh phần kiến thức này một cách dễ hiểu nhất, giúp các em hiểu bài, tự làm được bài tập, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập và nâng cao khả năng tự học. Sáng kiến còn là tài liệu cần thiết trong quá trình dạy học của bản thân, là tài liệu để học sinh có thể tự học vì có nhiều ví dụ có lời giải dễ hiểu, và còn là tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất

1
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu “Phương pháp tính Tổ hợp Xác suất” là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học trung học phổ thông nói chung và toán 11 nói riêng. Đây là một phần có nhiều khái niệm toán học liên quan đến thực tiễn. Hơn nữa với thời lượng kiến thức trong sách giáo khoa rất hạn chế, chỉ dừng lại ở một số ví dụ nhất định cho từng phần, cô đọng. Nên đa số học sinh nhận xét đây là một phần khó, học sinh không nắm được hết các khái niệm và việc áp dụng các khái niệm đó vào bài toán cụ thể còn gặp nhiều khó khăn. Chính vì điều này đã thôi thúc tôi cần phải không ngừng học tập, nghiên cứu làm sao có thể truyền tải được phần kiến thức này tới các em học sinh một cách đơn giản và nhẹ nhàng nhất, làm sao cho các em có hứng thú học với phần này, từ đó các em sẽ chăm chỉ hơn và quan trọng nhất là các em còn có thể tự học tập ở nhà. Điều đó giúp các em tiến bộ hơn, nắm được hết các công thức, các kiến thức hình học phẳng có liên quan và các kĩ năng trình bày, đạt kết quả học tập cao hơn, giúp các em tự tin hơn trong các kì thi quan trọng. Từ đó tôi mạnh dạn viết đề tài: “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” với mong muốn một phần nào đó giải quyết được vấn đề trên. 2. Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔ HỢP – XÁC SUẤT 3. Tên tác giả sáng kiến: Họ và Tên: Hoàng Trung Hiếu Giới tính: Nam Ngày sinh: 15.06.1983 Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán – Tin Chức vụ: Giáo viên Điện thoại: 0973363938 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn–Sông Lô–Vĩnh Phúc. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Thông qua giảng dạy, đối tượng là học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi THPT quốc gia. 2
6. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 11, năm học 2017 – 2018. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: + Trong đề tài “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” này có một sự cải biến mới, thay vì các cách trình bày cũ với các công thức được trình bày trình tự, các dạng toán có ít ví dụ minh họa, như vậy chỉ phù hợp với những học sinh có học lực khá trở lên, còn như vậy đối với học sinh có học lực yếu hơn sẽ không nắm được hết các công thức, các kĩ năng tính toán. Trong đề tài này thì các dạng bài tập được trình bày theo dạng, có phân tích kỹ khi sử dụng công thức. Sáng kiến trình bày những nội dung chính sau: Kiến thức cơ bản về qui tắc đếm gồm có qui tắc cộng và qui tắc nhân Kiến thức cơ bản hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các dạng bài tập cơ bản và nâng cao Sáng kiến này có thể áp dụng rộng rãi đối với nhiều đối tượng học sinh với những điều kiện học tập khác nhau. + Với mục đích viết sáng kiến nhằm nâng cao chuyên môn, khả năng sư phạm và quan trọng hơn đó là mong muốn làm sao truyền tải được đến các em học sinh phần kiến thức này một cách dễ hiểu nhất, giúp các em hiểu bài, tự làm được bài tập, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập và nâng cao khả năng tự học. Sáng kiến còn là tài liệu cần thiết trong quá trình dạy học của bản thân, là tài liệu để học sinh có thể tự học vì có nhiều ví dụ có lời giải dễ hiểu, và còn là tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp. MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tổ hợp xác suất là một phần học đòi hỏi sự tư duy cao, học sinh cần phân biệt rõ từng khái niệm, phân biệt sự khác nhau khi sử dụng từng khái niệm đó vào bài tập. Đây là phần tương đối khó. Đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt về cả hai phần là phần khái niệm và áp dụng . Vì vậy học sinh học phần này cảm thấy rất khó khăn. Đặc biệt đối với học sinh có học lực chỉ từ trung bình khá trở xuống. Để khắc phục tình trạng trên khi dạy phần này giáo viên cần có những phương pháp cụ thể như: chia các dạng toán hợp lý, đưa ra những phân tích, so sánh và nhận xét cho từng phần, có ví dụ tương ứng với các dạng toán. Với các 3
ví dụ phù hợp, có lời giải chi tiết giúp học sinh nắm được kiến thức một cách nhẹ nhàng. Để học tốt phần này thì học sinh cần phải nắm được các phần chính sau: Các khái niệm Các công thức Các dạng bài tập Sáng kiến “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” này sẽ phần nào giải quyết được các vấn đề trên và nó còn phù hợp với nội dung chương trình giảm tải. Thống kê kết quả trước khi áp dụng sáng kiến qua bài kiểm tra, giảng dạy trên lớp 11A1, 11A2 trong năm học 2017 – 2018 như sau: Lớp Ss Số điểm Số điểm Số điểm Số điểm 9, 10
d) Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp k phần tử khác nhau của A (1 k n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Khi k = n thì = Pn = n! e) Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A (1 k n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Qui ước: = 1 1.2. Các dạng bài tập Sau đây là một số dạng bài tập sử dụng các qui tắc cộng, qui tắc nhân và các khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Bài tập được phân thành một số dạng sau: 1.2.1. Bài toán lập số, lập mã số a) Một số ví dụ đơn giản. Ví dụ 1: Trên thẻ nạp tiền của mạng vinaphone có 12 chữ số xếp thứ tự được lấy từ các chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu thẻ nạp tiền như vậy? Giải: Gọi mã số cần lập có dạng: a1 a2… a12, ai Để lập mã số ta cần thực hiện liên tiếp các hành động Chọn a1 có 10 cách Chọn a2 có 10 cách … … … 5
Chọn a12 có 10 cách Theo qui tắc nhân có 1012 =1.000 000 000 000 (mã số) Ví dụ 2: Một cánh cửa phòng được thiết kế đóng mở tự động bằng một bảng điều khiển gồm 10 phím số từ 0 đến 9. Nếu muốn cửa mở thì cần nhập một mật khẩu gồm 3 phím số khác nhau được nhấn liên tiếp. Hỏi có bao nhiêu cách để nhập một mật khẩu như vậy? Giải: Mỗi mật khẩu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử Số mật khẩu lập được là (mật khẩu) Nhận xét: Nếu lập mã số thì chữ số đứng đấu có thể bằng 0 Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên a) gồm 3 chữ số b) gồm 3 chữ số khác nhau Giải: a) Gọi số tự nhiên cần lập Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực hiện 3 hành động liên tiếp sau: Chọn a có 5 cách Chọn b có 6 cách Chọn c có 6 cách Theo qui tắc nhân có tất cả: 5.6.6 = 180 (số) b) Gọi số tự nhiên cần lập , a,b,c đôi một khác nhau Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực hiện 3 hành động liên tiếp sau: Chọn a có 5 cách Chọn b có 5 cách, (b khác a đã được chọn) 6
Chọn c có 4 cách, (c khác a,b đã được chọn) Theo qui tắc nhân có tất cả: 5.5.4 = 100 (số) Nhận xét: Nếu lập số tự nhiên thì chú ý chữ số đứng đầu phải khác 0 để đảm bảo số chữ số theo yêu cầu bài toán và phải xem các chữ số đó có yêu cầu khác nhau không. Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên a) gồm 7 chữ số khác nhau b) gồm 4 chữ số khác nhau c) gồm 4 chữ số khác nhau và chữ số bên phải lớn hơn chữ số bên trái của số đó. Giải: a) Mỗi số tự nhiên cần lập là một hoán vị của 7 phần tử Số các số cần tìm là b) Mỗi số tự nhiên cần lập là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử Số các số cần tìm là c) Để lập số tự nhiên thỏa mãn đề bài ta thực hiện liên tiếp các hành động sau: Chọn 4 chữ số khác nhau trong 7 chữ số đã cho có cách Sắp xếp 4 chữ số đã cho sao cho chữ số bên phải lớn hơn chữ số bên trái có 1 cách Theo qui tắc nhân có tất cả (số) Nhận xét: Các ý sử dụng hoán vị hoặc chỉnh hợp để đếm thì vẫn có thể sử dụng qui tắc nhân để tính nhưng sẽ dài dòng hơn. Học sinh muốn sử dụng hoán vị, chỉnh hợp thì cần phải hiểu rõ khái niệm và điều kiện để áp dụng được các khái niệm đó. b) Lập số chia hết cho một số Nhận xét: Một số dấu hiệu chia hết cho một số thường gặp 7
Dấu hiệu chia hết cho 2: Số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 Dấu hiệ số chia hết cho 5: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 Dấu hiệu chia hết cho 3: Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 Dấu hiệu chia hết cho 6: Số chia hết cho 2 và 3. Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu a) số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau b) số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. Giải: a) Gọi số tự nhiên cần lập là Để lập số thỏa mãn yêu cầu ta thực hiện liên tiếp các hành động sau : Chọn c có 4 cách Chọn a có 7 cách Chọn b có 7 cách Theo qui tắc nhân ta có : 4.7.7 = 196 (số) b) Gọi số tự nhiên cần lập là TH 1: Nếu c = 0, (số có dạng ) ta thực hiện liên tiếp các hành động sau Chọn a có 8 cách Chọn b có 7 cách Theo qui tắc nhân có tất cả 8.7 = 56 (số) TH2 : Nếu ta thực hiện liên tiếp các hành động sau Chọn c có 4 cách Chọn a có 7 cách 8
Chọn b có 7 cách Theo qui tắc nhân có tất cả 4.7.7 = 196 (số) Vậy có tất cả 56 + 196 = 252 (số) Chú ý: Phần b) còn có thể tính theo cách khác như sau: +) Đếm tất cả các số có thể lập được gồm 3 chữ số khác nhau là (số) +) Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là: 448 – 196 = 252(số) Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3? Giải: Gọi số tự nhiên cần lập là Vì Ta có các bộ ba số có tổng chia hết cho 3 là: {1, 2, 3}, {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 3, 8}, {1, 4, 7}, {1, 5, 6}, {1, 6, 8}, {2, 3, 4}, {2, 3, 7}, {2, 4, 6}, {2, 5, 8}, {3, 4, 5}, {3, 4, 8}, {4, 5, 6}, {5, 6, 7}, {6, 7, 8}. Mỗi bộ số có thể lập được 3! số chia hết cho 3 Vậy số các số lập được là 16.3! = 96 (số). Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 6? Giải: Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3 +) Ta có các bộ 3 số khác nhau có tổng chia hết cho 3 là : {1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5} +) Mỗi bộ số {1, 2, 3}, {3, 4, 5} lập được 2 số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau +) Bộ số {2, 3, 4} lập được 4 số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau +) Bộ số {1, 3, 5} không lập được số tự nhiên chẵn. Vậy có tất cả 2.2 + 4 = 8 (số chia hết cho 6) 9
c) Lập số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số cho trước Ví dụ 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100? Giải: +) Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 có một chữ số lập được là 6 (số) +) Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 có hai chữ số khác nhau lập được là 6.5 = 30 (số) Vậy có tất cả 30 + 6 = 36 (số) Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 5400? Nhận xét: Giáo viên cần phân tích rõ cho học sinh các trường hợp có thể có của a để chia trường hợp cho hợp lý. Giải: Gọi số tự nhiên cần lập là ; a,b,c,d thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} TH1: a = 5. Ta thực hiện liên tiếp các hành động sau Chọn b có 3 cách Chọn c có 5 cách Chọn d có 4 cách Theo qui tắc nhân có 3.5.4 = 60 (số) TH2: a
Vậy có tất cả: 60 + 480 = 540 (số) Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số trong nửa khoảng [3000; 4000) biết rằng a) các chữ số của nó không nhất thiết phải khác nhau b) các chữ số của nó khác nhau. Giải: Gọi số tự nhiên thuộc [3000;4000) có dạng Đề lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán thực hiện liên tiếp các hành động sau: Chọn a có 5 cách Chọn b có 5 cách Chọn c có 2 cách Theo qui tắc nhân ta có 5.5.2 = 50 (số) b) Để lập được số dạng này ta cần thực hiện liên tiếp các hành động sau : Chọn c có 2 cách Chọn a có 3 cách Chọn b có 2 cách Theo qui tắc nhân có tất cả 2.3.2 = 12 (số) d) Lập số bắt đầu từ chữ số cho trước; có mặt chữ số yêu cầu; chữ số đứng cạnh nhau Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bằng chữ số 23? Giải: Gọi số tự nhiên cần lập có dạng Mỗi số tự nhiên cần lập là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử Vậy số các số lập được là: (số) 11
Ví dụ 2: Biển số đăng kí xe máy của các tỉnh trong cả nước hiện nay ngoài 2 chữ số kí hiệu mã tỉnh đầu tiên thì nó gồm 2 nhóm, nhóm 1 gồm 1 chữ cái trong 26 chữ cái (không dùng chữ cái I và O) và một số trong các số từ 1 đến 9, nhóm 2 gồm 4 chữ số trong các số từ 0 đến 9 (ví dụ: 34 M4 2578). Hỏi trong một tỉnh số xe máy được đăng kí nhiều nhất theo biển xe kiểu này là bao nhiêu? Giải: Để tạo được một biển số xe như vậy ta phải thực hiện liên tiếp các hành động sau: Chọn chữ cái trong nhóm 1 có 24 cách (26 chữ cái không dùng hai chữ I và O) Chọn chữ số trong nhóm 1 có 9 cách (từ 1 đến 9) Chọn 4 chữ số ở nhóm 2 có 104 cách Theo qui tắc nhân có tất cả 24.9.104 = 2 160 000 (xe) Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? Giải: Đặt nhóm 2 chữ số 2,3 là x +) Ta tìm các số có 6 chữ số khác nhau có dạng có chữ số 2 và số 3 đứng cạnh nhau, trong đó chữ số a có thể bằng 0 hoặc khác 0 Hoán vị x và các chữ số 0, 1, 4, 5 có 5! cách Hoán vị chữ số 2, 3 có 2 cách Vậy có 2.5! = 240 (số) +) Tiếp theo ta tìm các số có 6 chữ số khác nhau có dạng trong đó a = 0 Hoán vị x và các chữ số 1, 4, 5 có 4! cách Hoán vị chữ số 2, 3 có 2 cách Vậy có 2.4! = 48 (số) Vậy cần tìm là: 240 – 48 = 192 (số) 1.2.2. Bài toán liên quan đến đội, nhóm người 12
Ví dụ 1: Một đội học sinh giỏi của một trường THPT có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 học sinh đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn? Giải: Tổng số học sinh giỏi là 18 (học sinh) Nhận xét: Khi chọn ra 8 học sinh bất kì có thể xảy ra 3 trường hợp: Thuộc cùng một khối, hoặc thuộc 2 khối, hoặc thuộc cả 3 khối. Nhưng trường hợp 8 hs thuộc cùng một khối không xảy ra nên ta có cách làm sau. +) Số cách chọn ra 8 học sinh bất kì là cách +) số cách chọn ra 8 học sinh thuộc hai khối 10 và 11 là cách +) số cách chọn ra 8 học sinh thuộc hai khối là 10 và 12 là cách +) số cách chọn ra 8 học sinh thuộc hai khối 11 và 12 là cách Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là (++) = 41811 (cách) Ví dụ 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 23 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính số cách gọi sao cho 4 học sinh được gọi có số nam nhiều hơn số nữ? Giải: Nhận xét: Giáo viên cần phân tích các trường hợp có thể xảy ra khi chọn 4 học sinh bất kỳ từ đó sẽ xuất hiện trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán. Các trường hợp chọn thỏa mãn: Chọn 4 nam, 0 nữ có cách Chọn 3 nam, 1 nữ có cách Theo qui tắc cộng ta có + = 38 962 (cách) Ví dụ 3 : Một đội có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Có bao nhiêu cách chọn một đoàn công tác gồm 3 người trong đó có cả nam và nữ và cần có cả nhà toán học và vật lý học. Giải : Tổng số người trong đội là 5 + 3 + 4 = 12 (người) Các trường hợp thỏa mãn là 13
Chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý nam có cách Chọn 1 nhà toán học nữ, 1 nhà toán học nam, 1 nhà vật lý nam có cách Chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam có cách Theo qui tắc cộng ta có ++ = 90 (cách) Ví dụ 4 : Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Giải : Đội có 15 người chia đều cho 3 đội thì mỗi đội có 5 người Gọi tên ba tỉnh là A, B, C. Để thực hiện công việc ta thực hiện liên tiếp các hành động sau Chọn 4 nam về tỉnh A có cách Chọn 4 nam về tỉnh B có cách Chọn 4 nam về tỉnh C có cách Chia 3 nữ mỗi nữ về một tỉnh có 3! cách Theo qui tắc nhân ta có : ...3 ! = 207 900 (cách) 1.2.3. Bài toán liên quan đến hình học Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH, hỏi có tất cả bao nhiêu vecto khác vecto không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho ? Giải : +) Mỗi vecto là một chỉnh hợp chập 2 đỉnh của 8 đỉnh đã cho. +) Vậy số vecto là (vecto) Vậy có 56 vecto Ví dụ 2: Tính số đường chéo của lục giác đều ABCDEF. Giải: 14
+) Số tất cả các đoạn thẳng có thể tạo ra từ 6 đỉnh của hình lục giác đều là (đoạn) +) Số cạnh của hình lục giác đều là 6 (cạnh) +) Vậy số đường chéo của hình lục giác đều là – 6 = 9 (đường chéo) Chú ý : Công thức tính số đường chéo của một đa giác n cạnh là (đường chéo) Ví dụ 3: Một đa giác có số đường chéo là 35. Tính số cạnh của đa giác đó ? Giải : Gọi số cạnh đa giác là n, . Ta có . Giải phương trình ta được n = 10 (cạnh) Ví dụ 4 : Cho đường thẳng d1 .Ta lấy 6 điểm phân biệt thuộc d1 và 7 điểm phân biệt không thuộc d1 sao cho không 3 điểm nào thẳng hàng (trừ 6 điểm thuộc d1). Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác từ các điểm đã cho ? Giải: TH1: Số tam giác được tạo bởi 2 điểm trên d1 và 1 điểm không thuộc d1 là tam giác TH2: Số tam giác được tạo bởi 1 điểm trên d1 và 2 điểm không thuộc d1 là tam giác TH3: Số tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng từ 7 điểm phân biệt không thuộc d1 là tam giác Vậy tổng số tam giác có thể tạo được là ++=266 (tam giác) Ví dụ 5: Cho 5 đường thẳng song song và 8 đường thẳng vuông góc với 5 đường thẳng song song đã cho đó. Hỏi các đường thẳng đó tạo nên tất cả bao nhiêu hình chữ nhật? Giải: Mỗi hình chữ nhật được tạo bởi 4 đường thẳng là 2 đường thẳng song song và hai đường thẳng vuông góc. Vậy số hình chữ nhật có thể tạo thành là: (hình chữ nhật) 15
Ví dụ 6. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Giải : Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật. Vậy có hình chữ nhật. Ví dụ 7. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật. Giải : +) Lý luận tương tự câu 65 ta có hình chữ nhật. +) Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là . +) Từ giả thiết ta có: . Vậy có hình chữ nhật. 1.2.4. Bài toán liên quan đến nhóm bi, thẻ số và một số bài toán khác Ví dụ 1: Từ một hộp đựng 8 bi xanh, 7 bi đỏ, 6 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 bi. Tính số cách chọn để a) 3 bi cùng màu. b) 3 bi có 2 màu. Giải : a) Chọn 3 bi cùng màu có thể là cùng màu xanh hoặc cùng đỏ, hoặc cùng vàng. Vậy số cách chọn 3 bi cùng màu là: (cách) b) Số cách chọn 3 bi bất kì là cách 16
số cách chọn được 3 bi khác màu nhau là cách. Vậy số cách chọn 3 bi có hai màu là (cách) Ví dụ 2: Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử của X. Giải: +) Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là . +) Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là +) Số tập hợp con chứa 6 phần tử của X là +) Số tập hợp con chứa 8 phần tử của X là . +) Số tập hợp con chứa 10 phần tử của X là 1. Vậy có ++++1 = 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợp. Ví dụ 3: Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu. Giải: + TH1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có cách. + TH2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng có cách. + TH3 chọn 4 bi trắng và vàng có cách. Vậy có ++= 126 + 209 + 310 = 645 cách. Cách khác: +) Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 15 viên bi có cách. +) Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trường hợp sau: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách. Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng có 240 cách. Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách. 17
Vậy có 1365 – 720 = 645 cách. Ví dụ 4: Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải. Giải: Do thi đấu vòng tròn 1 lượt nên 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là . +) Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23 = 46. +) Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là 3.68 = 204. Vậy số điểm trung bình của 1 trận là điểm. Ví dụ 5: Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Tính số cách lấy ngẫu nhiên 5 thẻ sao cho tổng số ghi trên 5 thẻ đó là một số chẵn. Giải: TH1: Chọn được 1 thẻ ghi số chẵn và 4 thẻ ghi số lẻ có cách TH2: Chọn được 3 thẻ ghi số chẵn và 2 thẻ ghi số lẻ có cách TH1: Chọn được 5 thẻ ghi số chẵn và 0 thẻ ghi số lẻ có 1 cách Vậy có ++1 = (cách) 1.2.5. Bài toán giải phương trình, bất phương trình tổ hợp Công thức: 1) Pn = n!, 2) 3) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: +) Điều kiện: 18
+) Phương trình đã cho tương đương Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là (x;y) thỏa mãn , . Ví dụ 2: Giải phương trình : Giải: +) Điều kiện: n6, n +) Biến đổi phương trình đã cho n2 – n = 30n –150 n2 – 31n + 150 = 0 +) Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của PT đã cho là n = 6; n = 25 Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: Giải: +) Điều kiện: (*) +) Biến đổi bất phương trình về dạng: +) Kết hợp với Điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình là: Ví dụ 4: Giải phương trình sau: Giải: +) Điều kiện: +) Biến đổi phương trình tương đương +) Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 3. 19
2. BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTON 2.1. Kiến thức cơ bản Công thức nhị thức Niuton Chú ý: +) Trong khai triển trên có n +1 số hạng +) Số hạng gọi là số hạng tổng quát +) Hệ số của các số hạng đứng cách đều hai số hạng đầu và cuối là bằng nhau. 2.2. Các dạng bài tập 2.2.1. Sử dụng công thức nhị thức Niuton để khai triển, tìm số hạng, tìm hệ số. Ví dụ 1: Cho . Tìm hệ số của x10 trong dạng khai triển thành đa thức của P(x). Giải: Vậy hệ số của x10 là Ví dụ 2: Khai triển và rút gọn đa thức: ta được đa thức: . Xác định hệ số a9 . Giải: +) +) +) +) +) 20