Bài tập phương pháp tính ứng dụng chuyên ngành kĩ thuật

Chia sẻ: Nguyễn Thị Thúy Thúy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

610
lượt xem 132
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Tài liệu này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập phương pháp tính ứng dụng chuyên ngành kĩ thuật

Chương 2 Bài 1 a. Tìm khoảng phân li nghiệm Đặt f(x) = x – sinx – 0,25 Có f’(x) = 1 – cosx mà -1
Qui tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết x – 1.17 = (x – x7 + x7 -1.17) |x – 1.17| ≤ |x – x7| + |x7 – 1.17| = 0,001248178 + 0,009942 = 0,001348 |x – 1.17| ≤ 0,001348 ≤ 0.2.10-2 < 0.5.10-2  Cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin Vậy có x = 1,17 ± 0,002 Bài 2: a. Tìm khoảng phân li nghiệm Đặt f(x) = 1,8x2 - sin10x (*) Ta có: f’(x) = 3,6x – 10cos10x f’’(x) = 3,6 + 100sin10x Thay (*) bằng phương trình 1,8x2 = sin10x Sử dụng phương pháp đồ thị ta thấy: f(π/20) = 18π2/400 – 1 ≈ - 0,96 < 0 f(π/10) = 18π2/100 ≈ 0,18 > 0 Vậy [π/20; π/10] là khoảng phân li nghiệm của phương trình y 18x2 1 0,44 π/5 π/10 x π/20 sin10x b. Tìm nghiệm Vì f’’(x) > 0, ∀x ∈ [π/20; π/10] nên để phương pháp hội tụ ta chọn x0 = π/10 vì f(π/10) > 0 cùng dấu với f’’(x0)
Ta có công thức lặp 1,8 x n −1 − sin 10 x n −1 2 f ( x n −1 ) x n = x n −1 − = x n −1 − 3,6 x n −1 − 10 cos10 x n −1 f ' ( x n −1 ) π x0 = voi 10 Sai sốđược tính theo công thức f ( xn ) α − xn ≤ m trong đó π π f ' ( x) ≥ m = 0.5 > 0 ≤x≤ 20 10 Với sai số tuyệt đối không quá 10-5 ta có kết quả tính như sau Sai số i xi 0 0,314 1 0.298198201 0.002252 2 0.298095328 2.07E-07 Ta có |x – x2| ≤ 2,07.10-7 < 10-5 nên quá trình tính dừng lại Vậy nghiệm dương của phương trình tìm được là: x = 0,29809 ± 10-5
Bài 3.b a. Tìm khoảng phân li nghiệm Đặt f(x) = x2 - cosπx Ta có f’(x) = 2x + πsinπx Lập bảng biến thiên -∞ +∞ 0 x f’(x) + 0 + +∞ +∞ f(x) -1 Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm => phương trình có 2 nghiệm thực Ta có f(-0,5) = 1 + 0 = 1 > 0 f(0) = -1 < 0 Vậy khoảng [-0,5; 0] chứa nghiệm của phương trình Ta có f(0,5) = 1 + 0 = 1 > 0 f(0) = -1 < 0 Vậy khoảng [0 ; 0,5] chứa nghiệm thứ hai của phương trình b. Tìm nghiêm • Tìm nghiệm trong khoảng [-0,5 ; 0] f’’(x) = 2 + π2cosπx > 0 ∀∈[-0,5 ; 0] Để phương pháp hội tụ ta chọn x0 = 0,5 vì f(0,5) > 0 cùng dấu với f’’(x0) |f’(x)| >= m = 0,1>0 Sai số i xi 0 -0,5 -0.439806 0.047609 1 -0.438605 2.79E-05 2 -0.438604 9.7E-12 3 Ta có |x – x3| ≤ 9,7.10-12 < 10-5 nên quá trình tính dừng lại Vậy nghiệm thứ nhất của phương trình tìm được là: x = -0,438604 ± 10-5 Bài 3.c
a. Tìm khoảng phân li nghiệm Từ phương trình trên => logx = (x-2)/4 (x-2)/4 1 logx 0,5 1 2 3 4 5 Sử dụng phương pháp đồ thị ta thấy f(4) ≈ 0,2 > 0 f(5) ≈ -0,1 < 0 Vậy [4, 5] là khoảng phân li nghiệm của phương trình b. Tìm nghiệm 2 1 f ' ( x) = − x ln 10 2 2 f ' ' ( x) = − 2 x ln 10 Ta thấy f’’(x) < 0 ∀x ∈[4; 5]. Để phương pháp hội tụ ta chọn x = 5 vì f(5) < 0 cùng dấu với f’’ Ta có công thức lặp x 2 lg x − + 1 f ( x n −1 ) 2 x n = x n −1 − = x n −1 − 2 1 f ' ( x n −1 ) − x ln 10 2 x0 = 5 voi Sai sốđược tính theo công thức f ( xn ) α − xn ≤ m trong đó f ' ( x) ≥ m = 0.2 > 0 4≤ x≤5
Sai số i xi 0 5 4.687203 0.00887 1 4.681566 3.14E-06 2 4.681564 3.96E-13 3 Ta có |x – x3| ≤ 3,96.10-13 < 10-5 nên quá trình tính dừng lại Vậy nghiệm của phương trình tìm được là: x = 4.681564± 10-5
Chương 3 Bài 3 Đưa hệ về dạng x = Bx + g ta có : x1 = 0,795 - 0,02x1 + 0,05x2 + 0,1x3 x2 = 0,849 +0,11x1 - 0,03x2 +0,05x3 x3 = 1,398 +0,11x1 +0,12x2 - 0,04x3 Với − 0,02 0,05 0,1  0,795  0,11 − 0,03 0,05  G = 0,849 B=     0,11 0,12 − 0,04 1,398      Kiểm tra điều kiện hội tụ : 3 ∑b = 0,02 + 0,05 + 0,1 = 0,17 1j j =1 3 ∑b = 0,11 + 0,03 + 0,05 = 0,19 2j j =1 3 ∑b = 0,11 + 0,12 + 0,04 = 0,27 3j j =1 Do đó ||B||0 = max {0,17 ; 0,19 ; 0,27} = 0,27 < 1 Vậy ta có phương pháp lặp đơn x(m) = Bx(m-1) + g hội tụ với mọi x(0) chọn trước Chọn x(0) = { 0,795 ; 0,849 ; 1,398} ta có kết quả tính như sau : m 0 1 2 3 x1(m) 0.96135 0.977958 0.981555 0,795 x2(m) 0.98088 1.001893 1.004528 0,849 (m) 1.53141 1.560198 1.563395 x3 1,398 Tính sai số : ||x(3) – x(2)||0 = max {|xi(3) – xi(2)|}, i = 1,2,3
= max {0.003597; 0.002636; 0.003197} = 0.003597 || B || p − α || p ≤ || x ( m ) − x ( m −1) || p (m) Áp dụng công thức || x 1− || B || p 0,27 || x ( 3) − α ||≤ 0,003597 ≤ 0.00133 Ta có 1 − 0,27 Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1,4.10 -3 Bài 4 Đưa hệ về dạng x = Bx + g ta có: x1 = 1.25 – 0.1x2 – 0.16x3 x2 = 1.30 – 0.07x1 – 0.05x3 x3 = 1.49 – 0.12x1 - 0.17x2 Với − 0.1 − 0.16 0 1.25 − 0.07  G =  1.3  B= − 0,05 0    − 0.12 − 0.17 0 1,49      Kiểm tra điều kiện hội tụ : 3 ∑b = 0 + 0,1 + 0,16 = 0,26 1j j =1 3 ∑b = 0,07 + 0 + 0,05 = 0,12 2j j =1
3 ∑b = 0,12 + 0,17 + 0 = 0,29 3j j =1 Do đó ||B||0 = max {0,26 ; 0,12 ; 0,29} = 0,29 < 1 Vậy ta có phương pháp lặp đơn x(m) = Bx(m-1) + g hội tụ với mọi x(0) chọn trước Chọn x(0) = { 1.25 ; 1.3 ; 1,49} ta có kết quả tính như sau : m 0 1 2 3 4 5 6 7 x1(m) 1.25 0.8816 0.95716 0.941247 0.944791 0.94405 0.94421 0.944178 x2(m) 1.138 1.182338 1.173461 1.175406 1.174987 1.175076 1.175057 1.3 (m) 1.119 1.190748 1.174143 1.177562 1.176806 1.176966 1.176932 x3 1.49 0.371 0.07556 0.01660 0.003544 0.00075 0.000162 3.47E-05 Sai 4 5 số Tính sai số : ||x(7) – x(6)||0 = max {|xi(7) – xi(6)|}, i = 1,2,3 = max {3,46.10-5; 1,94.10-5; 3,47.10-5} = 3,47.10-5 < 0,5.10-4
CHƯƠNG 4 Bài 1 Cho hàm số y = 2x với các giá trị trong bảng: x 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 2x 33,115 34,813 36,598 38,475 40,477 Các nút xi cách đều với h = 0,1 Lập bảng sai phân 2x ∆y ∆ 2y ∆ 3y ∆ 4y i x 0 3.5 33.115 1.698 1 3.55 34.813 0.087 1.785 0.005 2 3.6 36.598 0.092 0.028 1.877 0.033 3 3.65 38.475 0.125 2.002 4 3.7 40.477 ∇y ∇ 2y ∇ 3y ∇ 4y 2x i x Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = 3,5 với h = 0,05 t (t − 1) t (t − 1)(t − 2) t (t − 1)(t − 2)(t − 3) = 33,115 + t.1.698 + .0.087 + .0,005 + p ( x) .0,028 x =3, 5+ 0 , 05t 2! 3! 4!
Bài 2 Các nút xi cách đều với h = 0,1 Lập bảng sai phân x y 1 0.8427 0.0375 1.1 0.8802 -0.0074 0.0301 0.001 1.2 0.9103 -0.0064 -1.11022E-16 0.0237 0.001 -1E-04 1.3 0.934 -0.0054 -1E-04 0.0002 0.0183 0.0009 1E-04 -0.0003 1.4 0.9523 -0.0045 1.11022E-16 -0.0001 3.33067E-16 0.0138 0.0009 -2.22045E-16 -0.0003 0.0016 1.5 0.9661 -0.0036 -1.11022E-16 -0.0004 0.0016 -0.0062 - 0.0102 0.0009 -0.0004 0.0013 0.0046 1.6 0.9763 -0.0027 -0.0004 0.0009 -0.003 0.0075 0.0005 0.0005 -0.0017 1.7 0.9838 -0.0022 0.0001 -0.0008 0.0053 0.0006 -0.0003 1.8 0.9891 -0.0016 -0.0002 0.0037 0.0004 1.9 0.9928 -0.0012 0.0025 2 0.9953 Vì 1,4 < 1,43 < 1,5 nên ta dùng đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = 1 với h = 0,1 Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = 1 với h = 0,1
t (t − 1) t (t − 1)(t − 2) t (t − 1)(t − 2)(t − 3) .1,11022.10 −16 = 0,8427 + t.0.0375 − .0.0074 + .0,001 + p ( x) x =1+ 0,1t 2! 3! 4! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4) − 4 t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5) − .10 + .0.0002 5! 6! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6) t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6)(t − 7) 3,33067.10 −16 − 0.0003 + 7! 8! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6)(t − 7)(t − 8) 0,0016 9! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4)(t − 5)(t − 6)(t − 7)(t − 8)(t − 9) − 0,0062 10! Ứng với x = 1,4 ta có 1,43 = 1 + 0,1t => t = 4,3 Thay t = 4,3 vào hệ ta được : Φ(1,43) ≈ p(1 + 0,1 x 4,3) = 0.956874399 Bài 4 xi 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 yi 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28 Giải Lập bảng số xi2 xi3 xi4 xi2yi xi yi xiyi 0.78 2.5 0.6084 0.474552 0.370151 1.95 1.521 1.56 1.2 2.4336 3.796416 5.922409 1.872 2.92032 2.34 1.12 5.4756 12.8129 29.9822 2.6208 6.132672 n=5 3.12 2.25 9.7344 30.37133 94.75854 7.02 21.9024 55.3063 3.81 4.28 14.5161 4 210.7172 16.3068 62.12891 Σ 11.61 11.35 32.7681 102.7615 341.7505 29.7696 94.6053 Ta có hệ phương trình: 5a + 11.61b + 32.7681c = 11.35 11.61a + 32.7681b + 102.7615c = 29.7696 32.7681a + 102.7615b + 341.7505c = 94.6053 Giải hệ này ta được: a = 5.022148; b = -4.01426; c = 1.002341
Vậy có quan hệ: y = 5.022148 - 4.01426x + 1.002341x2
CHƯƠNG 5 Bài 1 xi 50 55 60 65 yi 1.699 1.7404 1.7782 1.8129 Cách 1 : Dùng đa thức nội suy ( x − 55)( x − 60)( x − 65) ( x − 50)( x − 60)( x − 65) p3 ( x) = 1,699 + 1,7404 (50 − 55)(50 − 60)(50 − 65) (55 − 50)(55 − 60)(55 − 65) ( x − 50)( x − 55)( x − 65) ( x − 50)( x − 55)( x − 60) + 1,7782 + 1,8129 (60 − 50)(60 − 55)(60 − 65) (65 − 50)(65 − 55)(65 − 60) p3 ( x) = 6,66667.10 −7 x 3 − 0,00018 x 2 + 0,021873x + 0.977 p3 ( x) = 2.10 −6 x 2 − 0,00036 x + 0,021872 ' Thay x = 50 vào công thức trên ta được y’(50) = 0,008673 Kết quả tính trực tiếp y’(50) = 0.008686 Cách 2 : Áp dụng công thức Taylo : f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x) ≈ h Với h = 5 ta có 1,7404 − 1,699 f ' (50) ≈ = 0,00828 5
Bài 2 Chia [0,1] thành 10 đoạn bằng nhau ta tính ra bảng sau : x f(x) = 1/(1+x) 0 1 0.1 0.909091 0.2 0.833333 0.3 0.769231 0.4 0.714286 0.5 0.666667 0.6 0.625 0.7 0.588235 0.8 0.555556 0.9 0.526316 1 0.5 a. Tính theo công thức hình thang  y + yn  I T = h 0 + y1 + .... + y n −1  2  I T = 0.693771 Tính sai số Với 2 f ' ' ( x) = => M = max|f’’(x)| = 2 (1 + x) 3 |I – IT| ≤ 0.001667 ≤ 0.002 Vậy I ≈ 0.693771 ± 0.002
b. Tính theo công thức simson IS = 0.69315 Tính sai số 24 f 4 ( x) = (1 + x) 5 M = max | f 4 ( x ) |= 24 h4 | I − I S |≤ M (b − a ) = 0,00001333 ≤ 0,00002 180 Vậy I ≈ 0.69315 ± 0,00002
Thông thường trong ước lượng sai số ta phải tính max|fk(x)|. Công việc này đòi hỏi tính toán phức tạp, vì vậy thường tiến hành tính toán 2 lần để kiểm tra độ chính xác được gọi là tính kép. Trước tiên tính tích phân theo công thức chọn trước với bước chia h nào đó, sau đó tính lại công thức đó với bước chia h/2 (tăng n gấp đôi). Ký hiệu In và I2n là các kết quả tương ứng. Nếu |In – I2n| < ε, (ε là sai số cho phép) thì lấy I ≈ I2n. Nếu |In – I2n| ≥ ε thì quá trình lặp với h/4. Bước h đầu tiên thường chọn cỡ m ε , trong đó m = 2 với công thức hình thang và m = 4 với công thức simsơn (vì trong công thức sai số đó có chứa tương ứng h2 và h4). Phương pháp trên được sử dụng rộng rãi để chọn bước tự động trên máy tính điện tử. Để ước lượng sai số người ta còn dùng các công thức gần đúng sau (nguyên lý Runghe) 1 ∆ = | I n − I 2 n | với công thức hình thang 3 1 ∆ = | I n − I 2 n | với công thức simsơn 15 π dx ∫ x + cos x với độ chính xác ε = 3.10-3 bằng công thức Ví dụ: Tính gần đúng tích phân 0 simson Giải Vì ε = 3.10-3 nên có thể chọn h ≈ 4 3.10 −3 . Để đơn giản ta tính kép theo bước h đầu π π tiên là h1 = và sau đó lấy h2 = sau đó tính toán độ chính xác 8 16 π 1 Lập bảng giá trị y = với bước h2 = x + cos x 16 Hệ số Hệ số π  π  mi1   mi2    16  8 xi cos xi xi + cos xi yi 0 0 1 1 1.00000 1 1 1 0.19635 0.98079 1.17714 0.84950 4 2 0.39270 0.92388 1.31658 0.75950 2 4 3 0.58905 0.83147 1.42052 0.70400 4 4 0.78540 0.70711 1.49251 0.67000 2 2 5 0.98175 0.55557 1.53732 0.65050 4 6 1.17810 0.38268 1.56078 0.64070 2 4 7 1.37445 0.19509 1.56954 0.63710 4 8 1.57080 0 1.5708 0.63660 2 2 9 1.76715 -0.19509 1.57206 0.63610 4 10 1.96350 -0.38269 1.58081 0.63260 2 4 11 2.15985 -0.55557 1.60428 0.62330 4 12 2.35620 -0.70711 1.64909 0.60640 2 2 13 2.55255 -0.83147 1.72108 0.58100 4 14 2.74890 -0.92388 1.82502 0.54790 2 4 15 2.94525 -0.98079 1.96446 0.50900 4 16 3.14160 -1 2.1416 0.46690 1 1
Σ 31.2163 15.6157 π h Từ bảng trên ta thấy với n = 8, h1 = ≈ 0.3927, ≈ 0,130090 8 3 I8 = 0,130090 * 15,6157 = 2.0314 π h với n = 16, h1 = ≈ 0,19635, ≈ 0,06545 16 3 I16 = 0,6545 * 31,2163 = 2,04311 1 ⇒| I 8 − I16 |= 0.01166 ⇒ ε = .0,01166 = 0,000777 < 3.10 −3 15 Vậy ta có thể lấy I ≈ I16 = 2.04311 Các bạn có thể áp dụng bài trên để giải bài 3 chương 5