Tham khảo tài liệu Bài tập thiết lập phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng dưới đây là tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả. Chúc các em thành công!
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÌNH Đ
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
ƯỜ
Ặ
Ẳ
t ph ẳ (
) M x y và có vect
o
ng trình đ ng th ng đi qua đi m ng th ng ;o ườ ể ươ ẳ chơ ỉ
o
(
(
- - x ắ ủ y y x o = = ươ ) a b (cid:0) ; 0 r u a b ; , ph ng là ươ a
) M x y và có vect
o
Ph ng trinh tham s ng th ng đi qua đi m ;o ươ ườ ể ẳ chơ ỉ
2
2
(
)
(
(cid:0) at x = (cid:0) r u a b ; ph ng , ươ a b+ > là 0 + = bt y (cid:0) b c a đ ố ủ + = x o y o
) M x y và có vect
o
2
2
Ph ;o ẳ ườ ể chơ ỉ
)
(
( a x
2
2
( = -
)
- - = ủ ) + ươ ) ng trinh t ng quát c a đ ( b y r n a b ; ph ng , ươ a + + > Ph ng th ng đi qua đi m = y 0 = ; 0 ươ 0 B+
)
ổ > là b+ x 0 o Ax By C ng trình t ng quát là ổ r ) ( = n A B ; r u B A ; Ph ng trình này nh n làm VTCP. ươ ậ
và có h s Đ ng th ng đi qua đi m góc k có ph ể ẳ ệ ố ươ ạ ng trình d ng A 0 làm VTPT và nh n ậ ( M x y o ;o
)
- - y y ườ ( k x = 0
x o Ph i A(a;0), B(0;b) vói ạ ụ ắ ẳ ắ ạ
+ = a b (cid:0) ; 0 1 có d ng ạ ươ x a ng trình theo đo n ch n: Đ ng th ng c t 2 tr c Ox, Oy t ườ y b
)
=
)
r u
;o
ng trình đ ể ế ườ ươ
)
)
ườ ợ ặ t ph ng h p đ ợ ng th ng. r t ấ ẳ ể ng th ng đi qua 2 đi m ẳ ườ
A
A
nhi u bài toán quy v tr ề ( ( B x A x y y ; ; ;
. B ư ậ ế ố ầ ủ ườ
ng th ng. Khi đó VTCP
ị ng th ng. Ta hay xác đinh VTCP nh sau ư r uuur u AB= ẳ ng th ng c n tìm có song song hay vuông góc v i đ 1. a. b.
ườ ị c n xác đ nh là ẳ t thu c đ ộ ườ ầ ớ ườ ng th ng cho ẳ tr ướ ng th ng c n tìm đ c xác đ nh: ượ ẳ c hay không. ể ầ ng th ng bi ẳ ộ ườ ủ Đi m M thu c đ Giao đi m c a 2 đ ườ ể Đi m có 1 tính ch t nào đó (Trung đi m c a đo n th ng, hình chi u c a 1 đi m nào ủ ấ ị c nào đo. ạ t tr ế ướ ể ế ủ ể ẳ 2. a. b. đó trên đ ườ VÍ D MINH H A ể ng th ng,…) ẳ Ọ Ụ ể Ví d 1: ụ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung đi m ớ ệ ọ ộ ặ ng tr ình là ươ ườ 0= ẳ c a ủ c nh AB. Đ ng trung tuy n và đ ườ ạ 0= 7x – 2y – 3 .Vi ế và 6x – y – 4 t ph ườ ươ t có ph ầ ượ ng th ng AC. ẳ ng cao qua đ nh A l n l ỉ ình đ ng tr ế GI IẢ – 2y – 3 = 0 ườ ng trung tuy n AD : 7x ế
ng cao AH : 6x ọ ườ = A AH AD A =� G i đ Ta có
� ể
) (cid:0) BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 (cid:0)
M là trung đi m AB BC qua B và vuông góc v i AH x + 6y + 9 = 0
D = �� D BC AD
Trang 2
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
(cid:0) – y – 4 = 0 và đ )1; 2 ( ( B 3; 2- ớ -� � 3 0; � � 2 � � C (- 3; - 1) D là trung đi m BC ể
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
Ặ
Ẳ
- 4; 3 3x – 4y + 5 = 0
NG TRÌNH Đ uuur ( AC = - ọ ộ
NG TH NG – Đ ƯỜ Ẳ ) nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 (cid:0) ể
ặ ẳ ữ ậ AC qua A (1; 2) có VTCP Ví d 2: ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có đi m I (6, 2) là giao đi m c a ủ ẳ ng chéo Ac và BD. Đi m M (1; 5) thu c đ ể ủ ộ ườ ng trình đ : x + y – 5 = 0. Vi t ph ể ộ ng th ng AB và trung đi m E c a canh CD thu c ể ườ ườ ẳ D ng th ng ươ ế 2 đ đ ườ ng th ng AB. ẳ Gi iả
I
N
E y
N
E
)
ủ ủ ể = (cid:0) Ta có I (6; 2); M (1; 5) E D� : x + y – 5 = 0 (cid:0) E(m; 5 – m); G i N là trung đi m c a đo n AB. ạ ể ọ Khi đó I là trung đi m c a NE + x 2 x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) N (12 – m; m – 1) + y (cid:0)
= ( 11 – m; m – 6
)
) m – 6; 5 – m – 2
= y 2 I uuuur MN =� uur ( IE = �
Ta có MN vuông góc v i IE nên ớ 0 (cid:0)
)
( m – 6; 3 – m uuuur uur MN IE = . (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0 ( m 0
) ( 6 14 2
- - = m
)5;0
( nên pt AB là y = 5 nên pt AB x – 1 – 4(y – 5) = 0 (cid:0)
� (cid:0) m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 (cid:0)
x – 4y + 19 = 0.
ng trình là y = 5 và x – 4y + 19 = 0. * V i m = 6 uuuur MN =� ẳ ậ ườ *m = 7 V y đ Ví d 3:ụ Trong h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC có đ nh A(1;2), đ ỉ + + = 2 x y 1 0; x ườ + - = y 1 0 ng ng là ng trung tuy n BM và ng trình t ph . Vi m = 6 hay m = 7 uuuur MN =� ớ )4;1 ( ng th ng AB có 2 ph ươ ộ ng trình t ươ ươ ứ ế ươ ế đ đ ệ ụ ọ ng phân giác trong CD có ph ng th ng BC ẳ ườ ườ iả Gi i E. ạ ẻ ườ ng vuông góc v i CD c t BC t ớ ắ
+ +
1
- + x = y m x 0 ủ ng trình ng trình ươ ươ ắ ng vuông góc này c t CD t i I. ạ IA IE= nên đ ườ = m 0 ng AE có ph = -� m ạ y- x Qua A k đ Gi s đ ả ử ườ Vì CD là phân giác c a góc C nên y+ - = Do CD có ph i qua A(1;2) nen ta có Mà AE l - = ng trình V y AE có ph ươ ậ
(
) 0;1
E
(
)
I y
A y
E
I
A
)
1 0 0 I � � T a đ đi m I là nghi m h ệ ọ ộ ể ệ 1 0 1 = x � � = y � = - 1 2 x x - E 1;0 � � T đó suy ra ừ = - 2 = E
( C x
1 0 1 2 1 0 - + = y x � � + - = x y � = - x � E � y 0 � y+ - = x nên ta có . ng phân giác x � � y � Vì C n m trên đ ằ ườ
o 1 3 ;
1 0 + - - 2 x o M 1 1 ; T đó M là trung đi m c a AC nên ừ ủ ể + x o 2 2 x- ;1o + x � � = o � � � � 2 x 2 tuy n BM � � � y+ + = 1 0 nên ta có ế ằ - 3 x o + = = - - x � o � 2 � trung ) trên ( 7;8 2 1 0 C 7 � � x o 2
)7;8
( C -
+ = 4 0 4 x ươ Đi m M n m ể + 1 x � �+ o � � 2 � � ườ
ặ - nên có ph ỉ x = 12 0 y+ 3 + y 2 3 x ng trình ươ và 2 t là ng cao, m t đ t ph ộ ườ ng ng trình các
ầ ượ y+ 3 ng trình m t đ ộ ườ = . Vi 0 ế ươ trung tuy n v t ẽ ừ ế c nh c a tam giác ủ ạ
Trang 3
- = 12 0 x y+ 3 0 Gi x iả + y 3 2 Ta th y đ nh A không thu c 2 đ và 2 = nên các đ ng cao và ấ ộ ườ ng th ng ẳ ườ ng trung tuy n y không đi qua A. ỉ ế ấ
Ồ
Ễ
đ ườ NGUY N TH ÁNH H NG Ị
NG TRÒN TRONG M T PH NG
NG TRÌNH Đ
ƯỜ
Ặ
Ẳ
ƯỜ
Ế s 2 đ
ƯƠ ng cao và đ
BÀI TOÁN THI T L P PH ả ử
Ậ ườ
NG TH NG – Đ Ẳ B. ẽ ừ ế ấ 3
(
)
Gi - - B 3; 2 � � T a đ B là nghi m h ệ ọ ộ ệ = 12 0 = + 3 y + = 2 3 0 x y 2 ng trung tuy n y v t ườ x 2 � � � = - x � � y �
ạ ươ
(
)
- y+ - = 5 0 x 7 3 ng trình canh AB là = + + y m x 0 2 3 ng trình ươ = -� m 10 = 10 0 C nh AB đi qua A và B nên ph Do AC vuông góc BH nên c nh AC có ph Do A thu c AC nên ộ V y ph ươ ậ ạ + - + 3.4 2( 1) 3 ng trình c nh Ac là ạ + - (cid:0) 6 x - M 6; 4 � � T a đ M là nghi m h ệ ọ ộ ệ 3 � � 2 y + = x � = - y 4 3 0 y 2 (cid:0) (cid:0)
- = m 0 y+ x 2 = 10 0 = ) x ( C 8; 7 Vì M là trung đi m AC nên ể + + = ườ ươ 5 0 x 1 0 y+ - = và d2: 2 ệ ụ ọ ộ ng trình là ườ ng trình đ ng th ng qua P và c t d x và i A và B sao cho P là trung Đ ng th ng BC qua B và C nen có ph ẳ Trong h tr c t a đ Oxy cho 2 đ Ví d 5: ụ t ph ườ ế ươ ẳ y x 9 11 1: ng th ng d ẳ ắ 1, d2 t ươ y- + = 1 0 ng ng t ạ ứ đi m P(2;1). Vi đi m c a AB. ủ ể ể Gi iả
1
Vì A thu c dộ 1 nên
) 1
-
(
)
) ( A x x + 1 1; ( + ; 2 x B x 2 2 uuur ( ) PB x 2
= - - - Vì B thu c dộ 2 nên uuur PA 2; 2 Ta có ; x 1 x 12; x 2
(cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 2 = - uuur PA uuur PB Vì P là trung đi m AB nên ể x 1 ��� - = 2 = - (cid:0) (cid:0) x 1 x 2 x 2 2 = x 2 � x 1 (cid:0) (cid:0) 4 3 8 3 - A Do đó
(
) 1;1
- = 7 0 4 5 ; 3 3 ườ ậ ươ ườ ấ ng trung tuy n xu t ế - 8 11 � � � � ; B � � � � 3 3 � � � � ng trình đ ặ + = y 1 0 2 4 x ọ ộ y - = 1 0 x ng AB là ẳ và phát t y- V y ph Ví d 6:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC v i A(1;3) và 2 đ . L p ph B và C là ậ ươ ủ ừ ớ ng trình các c nh c a tam giác ạ Gi iả G i G là tr ng tâm c a tam giác. ủ ọ ọ - 1 1 0 G � � T a đ G là nghi m h ệ ệ ọ ộ + = 2 y - = y 1 1 0
(
) 1; 1
1 2
3
ng trung tuy n trong tam giác ta có GE=GA ườ ế = x � � = y � ủ - E ẽ ừ - 0
m x
+ + ộ ng trình c a EC là ủ ươ
-
(
) 5;1
( B -
- 3 0 5 C � � T a đ C là nghi m h ệ ọ ộ ệ x � � � V hình bình hành BGCE.Theo tính chát c a các đ T đó suy ra = + 2 y m x Do EC//BG nen EC có d ng ạ = -� = 0 m E thu c nên ta có - = y 3 0 2 Ph - = 2 y - = y 1 0 1 = x � � = y � - x � � � ) 3; 1 T ng t ta có ươ ự
y- + = 2 0 x t t a đ 3 đ nh A, B, C ta có ph ng trình các c nh AB, Ac, BC l n l t là ; ươ ầ ượ ạ - x x 4
)
( M x y o
;o
(
)
ng dùng đ vi t vi ng trình đ ươ ườ ế
o
Trang 4
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
ể ng th ng đi qua đi m ng là yêu c u liên quan đ n kho ng cách). Chú ý Bi ộ ế ọ ỉ y+ + = - = 7 0 2 1 0 y ; VI T PH LO I 2:Ạ Ế VÀ CÓ H S GÓC k. Ệ Ố ng pháp này th M x y và th a m t s yêu c u nào đó ( th ầ ộ ố Ph ỏ ể ế ườ t ph ươ ầ ườ ế ẳ ả ;o
BÀI TOÁN THI T L P PH
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
Ặ
Ẳ
)
)
( k x
NG TRÒN TRONG M T PH NG NG TH NG – Đ ƯỜ Ẳ = x= y y 0
o
- - x ng th ng đi qua . Khi làm bài, tr tr và r ng đ ằ ườ ẳ ừ ườ ng có 2 d ng ạ x o
NG TRÌNH Đ ( M x y o ( ) k x
- - y n u không ph i xét đ 2 tr ng h p nói trên . h p có s n d ng ẵ ợ ế ủ ả ườ ợ ;o x o
Trong m t ph ng t a đ cho 2 đi m M(1;4) và N(6;2). L p ph ng trình đ = y ạ 0 VÍ D MINH H A Ọ Ụ Ví d 1: ụ ặ ể ậ ộ ươ ườ ẳ ng th ng D qua M sao cho kho ng cách t N t ả i nó b ng 5. ằ ẳ ừ ọ ớ Gi iả D ẳ ườ D ạ : Đ ng th ng là đ ng th ng c n tìm. ẳ ầ
D 1x = khi đó y . V y ậ kx 4 4 ườ 0 k � có d ng ạ
2 =
) D =
(
)
(
( d N
) 1
2
( d B
6 k k = + 2 ; + k 5 5 5 2 25 k = k � � � Khi đó 21 20 - qua M (1;4) nen có 2 d ng là ) ( d N D = = 5 ; 1x ( )1 - + - = - + = y k x - + - 2 4 + 1 k + y 20 - = 59 0 20 + y ng trình là ườ t ph ng trình đ D có ph ươ V y có 2 đ ậ Ví d 2: ụ = 59 0 1x = và 21 x Trong m t ph ng t a đ cho 2 đi m A(1;2) và B(5;-1). Vi ể ẳ ặ ọ ế ươ ườ ẳ ng th ng D x 21 ng th ng c n tìm là ầ ộ ẳ qua M(3;5) và cách đ u A,B. ề Gi iả D ẳ ườ đi qua M(3;5) có hai d ng ạ
D = ; 2; Đ ng th ng 3x = là đ : ng th ng c n tìm ườ ẳ ầ
( d A ; ( = k x
) D = )3 +
) 2 - + - y
) D =
)
( d A ;
( d B
2
2
- D 3x = khi đó y . V y ậ D = k 5 3 5 � có d ng ạ kx - + - k 0 + + - 5 k D ; � Khi đó ta có 2 5 3 k = + . 1 5 3 k + 1 k 1 k - - 3 2 = - k 6 2 k � = k �
- D 3 = 29 0 - = 29 0 x x ng th ng c n tìm là 3 4 y+ 4 ầ ẳ
o
x x= có ph ươ V y có 2 đ ậ Nh n xét: ng trình là ườ Qua các ví d trên ta th y rõ n u không xét tr ng h p 3x = và 3 ấ y+ 4 ế ụ ậ ườ ợ ế thì ó th d n đ n ể ẫ
tr ườ ng h p m t nghi m c a bài toán. ệ + + Ax By C 0
= ĐỂ
2
2
ng t ủ Ử Ụ NG TRÌNH Đ ươ ề ườ ừ ể ế h th c gi a A, B s cho A ho c B là m t giá tr c th , t ng trình d ặ ữ B+
)
o
ợ các ề ng trình đ tìm A,B,C. Vì th ta ph i s d ng đi u ượ c ng trình ít ườ ng ả ử ụ đó s tìm đ ẽ ị ụ ể ừ ng trình mà s ph ươ ố ầ ạ ắ ẽ ươ - - ộ > đ t ể ừ ệ ứ ư ằ ử ụ y y . = 0 ộ i h ph ể ả ệ ươ ng pháp này s thích h p cho bài toán lo i 2, mà không c n xét tr x o
2
2
Trong m t ph ng t a đ cho 2 đi m M(1;4) và N(6;2). L p ph ng trình đ ợ ấ LO I 3:Ạ ƯƠ Khi s d ng ph ướ ạ ử ụ d ki n ban đ u ta s có m t ho c hai ph ữ ệ ươ ẽ ầ ki n ệ ặ ẽ A 0 B ho c A. L u ý r ng đó chính là quy t c chung đ gi ặ h n s n. S d ng ph ơ ố ẩ ( x= k x x và h p ợ VÍ D MINH H A Ọ Ụ Ví d 1: ụ ặ ể ộ ậ ươ ườ ẳ ng th ng D qua M sao cho kho ng cách t N t ả i nó b ng 5. ằ ẳ ừ ọ ớ
4
2
2
2
) D =
(
(
)
( d N
) 2 = B
2
2
1x =
Trang 5
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
+ D > ọ ườ A B+ 0 - Gi iả = v i ớ 0 = - B A 4 - - c n tìm là + Ax By A + + = B C = 4 B Ax By C C 0 � 0 ng th ng ầ ẳ A qua M nen ta có + có d ng ạ G i đ Do D Suy ra D Ta có = (cid:0) B 0 + - - 6 A 2 4 (cid:0) B = - - ; 5 5 5 A 2 25 + A B 21 + B 20 = AB 0 � � � � (cid:0) = B A + B A B A (cid:0) 20 21 D Thay B=0 vào ph ng trình ta đ ươ c ượ
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÌNH Đ
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ế
ƯƠ
ƯỜ
NG TH NG – Đ Ẳ
ƯỜ
Ẳ
Ặ
- - = D 20 + y = 59 0 B A Thay vào ph ng trình ta đ ươ x c ượ 21
Ậ 20 21 ườ
2
2
- 20 = 59 0 + y ậ ầ t ph ng trình đ V y có 2 đ Ví d 2: ụ 1x = và 21 x Trong m t ph ng t a đ cho 2 đi m A(1;2) và B(5;-1). Vi ể ẳ ặ ọ ế ươ ườ ẳ ng th ng D ng th ng c n tìm là ộ ẳ qua M(3;5) và cách đ u A,B. ề
)
( d A ;
2
2
2
2
2
(
) 2 =
(
)
)
( B B 3
D > ng th ng ẳ ọ ườ ầ 0 - B+ B 5 Gi iả = v i ớ 0 A = - A C 3 � qua M(3;5) nen ta có 3 - - + Ax By G i đ Do D Suy ra D - - - - - c n tìm là + A A 3 + A + + Ax By C + = B C 0 5 = 0 5 B A B 2 5 A B 5 B A 5 B = D có d ng ạ ) ( D = d B ; � Ta có 3 + A B 3 + = (cid:0) B 0 A B (cid:0) - - - - 2 A 3 B 2 A 6 B = 4 A 0 � � � (cid:0) = B A (cid:0) 4 3 D 3x = Thay B=0 vào ph ng trình ta đ ươ c ượ
- D x y+ 4 = 29 0 B vào ph ng trình ta đ Thay ươ c ượ 3
- = 29 0 ng th ng c n tìm là 3x = và 3 ậ ầ
ẳ ƯƠ y+ 4 x Ắ NG TH NG THEO ĐO N CH N ƯỜ
4 A= 3 V y có 2 đ ườ PH LO I 4:Ạ = + 1 x a y b Ng i ta s d ng cách vi ng trình theo đo n ch n trong nh ng bài toán mà ườ ử ụ ế t ph ươ ể ắ ạ ữ ụ ng th ng v i tr c hoành tr c ớ ụ ủ ườ ẳ ầ ỏ ầ yêu c u đ u bài đòi h i tính toán các giao đi m (a;0) và (0;b) c a đ tung. = = A a ( ;0), OA a OB b , (0; ) B b thì ỉ ầ ư
Ụ ươ ẳ ằ Ọ ặ ẳ ng th ng qua M ườ ụ ng th ng đó v i tr c hoành, tr c ớ ụ ng trình đ ẳ Ch c n l u ý r ng VÍ D MINH H A t ph Ví d 1:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đi m M(1;2). Vi ế ể ộ đây A, B là giao đi m c a đ ườ ở ủ ể ọ sao cho OAB là tam giác vuông cân, tung. Gi iả s d là đ ườ ẳ Gi ả ử G i A(a;0), B(0;b) l n l ọ ầ ượ ụ ủ ể
(
+ = 1 ng trình đo n ch n , d có d ng Khi đó theo ph ắ ạ ạ ươ ng th ng c n tìm qua M. ầ t là giao đi m c a d v i tr c hoành, tr c tung ớ ụ y x b a
) 1
(
1 Vì M thu c d nên ta có ộ 1 a 2 + = b
)2
a b= Do tam giác OAB vuông cân đ nh O nên ta có ỉ
(cid:0) = = (cid:0) (cid:0) 1 3 (cid:0) (cid:0) 1 a (cid:0) Ta có h ệ a b = - 1; = b a 1 (cid:0) (cid:0) 2 + = b = b a (cid:0)
= 1 V y có 2 đ ng th ng c n tìm = và 1 ậ ườ ẳ ầ -
(
)
( A a
) ;0 ,
ng trình đ y+ x 3 3 t ph ươ ế y+ x 1 1 ườ ụ ọ ng th ng d qua M sao cho nó t o v i 2 tr c t a ẳ ạ ớ Ví d 2: ụ Cho đi m M(4;3) . Vi ể ệ đ m t tam giác có di n tích b ng 3. ộ ộ ằ Gi iả = = d Ox d Oy B 0; b � � Gi s ả ử
Trang 6
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
+ = 1 Khi đó theo ph ng trình đo n ch n , d có d ng ươ ạ ắ ạ x a y b
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
Ẳ
Ặ
ƯỜ (
NG TH NG – Đ Ẳ ) 1
NG TRÌNH Đ 3 + = b
OAB
1 Vì M thu c d nên ta có ộ 4 a a b . = = = = Ta có S 3 OA OB . 3 3 a b . 6 (2) � � � D 1 2 2 = - = (cid:0) 3 a 2; b (cid:0) Gi i h (1) và (2) ta đ c ả ệ ượ (cid:0) = - a 4; = b (cid:0) 3 2
- 1 1 V y có 2 đ ng th ng c n tìm và ẳ ậ ườ ầ x - + 4 y 2 = 3
1
1
2
(
+ + x 2 LO I 5:Ạ S D NG PH : 0 Gi s đ ả ử ườ ng th ng ẳ y = 3 ƯƠ + d A x B y C 1 1 + ng th ng d đi qua I có d ng ọ ườ ẳ = và đ a ạ
2 2 2 A x B y C 2
2
2
2
> nhau t i I. Khi đó m i đ ạ b+ a v i ớ 2
ng th ng sinh b i d ng th ng đ giái các bài toán có d ng sau: ườ ở 1 và d2. ể ẳ ng trình chùm đ ươ ng trình đ ng th ng đi qua m t đi m I là giao di m c a 2 đ ể ủ ể ẳ ng th ng cho ẳ ạ ườ ộ ườ ẳ ng trình chùm đ ườ tr ướ 0 là ph ươ i ta s d ng ph ử ụ ươ ế ầ
2
t ph c và th a yêu c u nào đó. ng pháp gi t ph ươ . i ả ng trình (1) ệ ầ ề ậ b+ a ;a b c d a vào đi u ki n ệ ữ > đ ch n giá tr thích h p c a 0 . ộ ệ ứ 2 ệ ề ;a b ể ọ ượ ự ợ ủ ị
2 : 2
Ụ d x y+ - = 1 0 và ng th ng ẳ Ọ ặ ườ ẳ
1 : d x ể
(
(1) Ng ườ • Vi ỏ Ph ươ + Vi ế + D a vào đi u ki n đ u bài l p m t h th c liên h gi a ự + T h th c tìm đ ừ ệ ứ VÍ D MINH H A Ví d 1: ụ Trong m t ph ng t a đ cho 2 đ ng trình đ t ph đi m P(2;1). Vi ươ ườ ế ẳ ể 1 0 và ủ 1 và d2. y- + = ọ ộ ng th ng đi qua P và giao đi m c a d Gi iả ủ 1 và d2 nên nó thu c chùm ộ b ườ ( x ẳ ) - + + y 1 2
(
(
) + - = 2.2 1 1
2
2
Đ ng th ng d đi qua giao đi m c a d ) + - = a 1 x y a b + b 0 = 2 0 a �
a b+ a ể 0 ) - + + 2 1 1 = - b= 2; 1
ng trình (1) ta có ph ng trình c a d là Do d qua P(2;1) nên ta có > nên ch n ọ 0 ươ ủ 4 x y+ - = 12 0 ng trình l n l t là ; ủ ươ ầ ượ - Do Thay vào ph Ví d 2: ụ = 20 0 4 x y+ 5 ng trình ba đ t ph 1y = ươ Cho tam giác ABC. Ba c nh c a tam giác có ph ạ ; . Vi ườ ươ ủ ế ng cao c a tam giác. Gi iả - -
- = y 15 0 x 5 4 ng trình AA’: y+ - = x 9 0 2 2 ng trình BB’: - = y x 1 0 12 2 ng trình CC’: ươ ươ ươ
Ph Ph Ph II. BÀI TOÁN XÁC Đ NH ĐI M NH PH
ả ế ạ ứ ề ườ ng ẳ ề
ứ ề ọ ộ Ể ơ Ờ ƯƠ ẳ Ủ
i các bài toán lo i này ngoài vi c s d ng các ki n th c v đ ệ ử ụ trong m t ph ng. ặ NG GIAO C A 2 Đ ị ứ ể ể i ta d a vào đi u ki n đ u bài đ quy đi m c n tìm là giao đi m c a 2 đ
ươ ệ ườ ể ể ề ầ ườ ng ng pháp gi th ng còn s d ng nhi u ki n th c v t a đ vect ế LO I 1: XÁC Đ NH ĐI M NH T Ị Đây là 1 trong nh ng ph Ng ự th ng xác đ nh nào đó. Các đ
ng th ng này ho c đã có s n ho c ph i tìm ph ườ ươ ặ ẵ ặ ả ẳ ẳ VÍ D MINH H A ị Ụ Ọ
Trang 7
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
Ví d 1: ụ Cho tam giác ABC , bi ế - + = x y 2 0 ng trình ườ t hình chi u vuông góc c a C lên Ab là H(-1;-1). Đ ng ng trình 4x+3y-1=0. Tìm ế ng cao k t ủ B có ph , đ ẻ ừ ươ ườ ươ ủ phân giác trong c a A có ph t a đ đ nh C. ọ ộ ỉ
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÌNH Đ
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
NG TH NG – Đ Ẳ
ƯỜ
Ẳ
Ặ
2d : 4x 3y 1 0
1. Khi đó H’ thu c đ
Gi iả + - = - + = s
)1;1
và ố ứ ủ ộ ườ ng th ng AC. ẳ
ể là VTCP c a dủ 1.
(
) 1
- 1 = + + I ả ử 1d : x y 2 0 Gi G i H'(a;b) là đi m đ i x ng c a H qua d ọ r ( u = uuuur HH ' 1; a b và trung đi m ể c a HH’ thu c d ộ 1 ủ r vuông góc v i ớ u
) 1
) 3;1
( -� H '
(
)
2 nên có vect
+ = a 2 ) + + 1 0 (cid:0) - - Do đó t a đ c a H' là nghi m c a h ph ng tr.nh ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ -� a b 1 ; � 2 � ( 1. �(cid:0) a 1 b � � � ( b 1 1 + = - (cid:0) (cid:0) 2 2 - 2 0 r v = 3; 4 Đ ng th ng AC đi qua H’ vuông góc d pháp tuy n là và có ph ng tr.nh ẳ ơ ế ươ
)
(
) - = y 1
- - ườ ( + x 3 3 4 0 3 x + 4 y = 13 0 �
(
)
- (cid:0) = 13 0 3 x 4 (cid:0) (cid:0) A 5;7 T a đ c a A là nghi m c a h ph ng tr.nh ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ + y - + = y x 2 0 (cid:0)
(
)
( H -
) 1; 1
(
) + = 1
- uuur HA = 3; 4 nên có ph ng tr.nh v i vect ớ ơ pháp tuy n ế ươ ẳ 1 2 + + = ườ ( Đ ng th ng CH đi qua ) + + 1 4 0 3 4 y x y 7 0 3 x �
+ + = (cid:0) 3 x 4 (cid:0) (cid:0) C T a đ c a C là nghi m c a h ph ng tr.nh ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ - y + y 7 0 = 13 0 4 x 10 3 ; 4 3 (cid:0) -� � � � � �
ng trung Ví d 2: ụ Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1;-2) đ ặ ẳ ườ 3 ớ ệ ạ ộ tuy nế - = x y+ - = 9 0 y+ 3 5 0 x t có ph ng tr .nh là 5 và T.m ẻ ừ l n l B ầ ượ ươ ng cao k t à B. A và đ k t ườ ẻ ừ to đ các đ nh A v ỉ ạ ộ Gi iả - = y+ 3 ả ử - + 3 x = y m 0 ng trình d ng ạ - - BH x : 5 0 nên Ac có ph = 0 m m ươ 1 =�
(
)
, - = 5 0 - + ( 2) y- + = 1 0 y+ - = 9 0 AM x : 5 s Gi y+ 3 BH x : Ac vuông góc 3( 1) Vì C thu c AC nên ộ x 3 ng trình AC là Ph ươ (cid:0) 3 x 1 0 (cid:0) (cid:0) A 1; 4 A là giao đi m c a AC và AM nên t a đ A là nghi m h ệ ọ ộ ủ ể ệ 5 x - + = y + - = y 9 0 (cid:0)
(
)
- = - BH x : y+ 3 5 0 B 5 3 ; m m nên B thu c ộ
(
) 3; 1
- - 2 M m m ; M là trung đi m BC nên ể 2 � � � - - 4 3 2 2 � � � m m + - = 5. 9 0 = m 0 � � M thu c AC ộ 2 4 3 2 V y B(5;0) ậ - B Trong m t ph ng t a đ Oxy cho A(0;2) và Ví d 3: ụ ặ ẳ ọ ộ . Tìm t a đ tr c tâm và tâm ộ ự ọ
đ ng tròn ngo i ti p tam giác OAB ( ườ ạ ế ạ ọ iả
Đ ng th ng qua O và vuông góc v i ng trình có ph ườ ẳ ớ ươ 3 x + 3y = 0
y = - 1 Đ ng th ng qua B và vuông góc v i ng trình ườ ẳ ươ ớ
Đ i h c –kh i A – 2004) ố Gi uuur )3;3 ( BA uuur ( )0; 2 OA uuur ( BO (Đ ng th ng qua A và vuông góc v i ng trình ) có ph 3 x y+ - = 2 0 ườ ẳ ớ ươ
- i h hai trong ba ph H ( 3; 1) ươ
Trang 8
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
Gi Đ ng trung tr c c nh OA có ph Đ ng trung tr c c nh OB có ph ượ ng trình ng trình có ph )3;1 c tr c tâm ự 1y = x 3 y+ + = 2 0 ng trình trên ta đ ươ ươ ả ệ ườ ườ ự ạ ự ạ
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÌNH Đ
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
NG TH NG – Đ Ẳ
ƯỜ
Ặ
Ẳ
ự ạ ươ
i h hai trong ba ph c tâm c a đ ng trình trên ta đ ng tròn ngo i ti p tam giác OAB là ươ ng trình ượ 3 x + 3y = 0) ủ ườ ạ ế
(Đ ng trung tr c c nh AB có ph ườ Gi ả ệ . 3;1) I - (
ơ ờ ả nh các công th c v kho ng ứ ề ư ị ng c a 2 vect …
ủ ơ cách, tích vô h Ụ ng th ng d: x - VÍ D MINH H A Ví d 1: ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho A(1; 1), B(4; -3). Tìm đi m C thu c đ Ọ ặ ể ộ ườ ẳ 2y -1 = 0 sao cho kho ng cách t ừ ả ọ ộ ế đ C đ n ườ ẳ Đ i h c – kh i B- năm 2004) ố ạ ọ ẳ ằ ng th ng AB b ng 6 ( Gi iả - = x 7 0 (1) ng trình đ ẳ
)
)
2
Ph Gi y+ 3 ẳ - - (cid:0) 4 ng th ng d nên x - 2y -1 = 0 + 3 4 y x (2) x 4 = = 6 6 ươ ả ử ( ( d C AB ; � � (cid:0) Mà + + 4 x 3 y = 37 0 = 23 0 (2 ') (cid:0)
Gi i h (1) và (2) ta đ 4 C c ả ệ ượ
- C ; c Gi i h (1) và (2’) ta đ ả ệ ượ
(
)
) ( 1
2
2
)
) 1
ng th ng AB là ườ s C(x,y). Ta có C thu c đ ộ ườ + y 7 3 + 2 3 )7;3 ( -� 43 � 11 � ẳ ặ ể ườ ng th ng: ẳ t thu c d1 và d2 sao cho tam ầ ượ ể ộ 27 � � 11` � Ví d 2:ụ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m A(2;2) và các đ ớ ệ ọ ộ d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0.T.m t a đ các đi m B và C l n l ọ ộ Đ i h c – kh i B -2007) i A. ( giác ABC vuông cân t ạ ọ ố ạ Gi iả thi ế t ta có h : ệ - - (cid:0) Ta có B thu c ộ d1, C thu c ộ d2 nên B(b;2 − b),C(c;8 − c). T gi ừ ả 2 = 4 b (cid:0) = 0 � � � � bc - 4b - c + 2 = 0 2 2 - - - - - (cid:0) c ( = b c 2 + 8 c 18 � b (cid:0) uuur uuur AB AC . = AB AC (cid:0) (cid:0) � � � ( b c = 4 3 (cid:0)
2
2
= (cid:0) (cid:0) Đ t x ặ = b −1, y = c − 4 ta có h ệ xy + 2 = y x (cid:0)
3 = 2, y =1. i h trên ta đ c x ượ ả ệ
ặ
d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x - y - 4 = 0, d3 : x - 2y = 0.T.m t a đ đi m M n m trên đ
3 sao cho kho ngả
ườ ọ ộ ể
cách t
M đ n đ
1 b ng hai l n kho ng cách t
ườ 2. (Đ i h c – kh i A – 2006)
ừ
ế ườ
ng th ng d ẳ
ằ
ầ
ả
ừ
Gi Suy ra: B(−1;3),C(3;5) ho c Bặ ẳ = −2, y = −1 ho c x ặ (3;−1),C(5;3) . ớ ệ ọ ộ Ví d 3: ụ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho các đ
ng th ng d ẳ
M đ n đ ế ườ iả Gi
(
2 1 4
2 1 y
)
(
2
2
2 1
ộ ể ộ - 2 3 3 y y = = T.m đi m M thu c d3 sao cho d (M,d1 ) = 2d (M,d2 ) Vì M thu c d3 nên M(2y; y). 3 ) ; Ta có: d M d 1 + - y + 2 - - - 2 y 4 = = d M d ; y + - 2 ( 1)
(
)
(
)
2
1 (-22;-11).
= - - - (cid:0) y 11 3 y 3 y 4 = = ; d M d ; 2 � � (cid:0) d M d 1 = y 1 (cid:0) 2 2
2 (2; 1). ặ
V i y = -11 đ V i y =1 đ ượ ớ ớ c đi m M ượ ể c đi m M ể y- = 0 và Ví d 4: ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho 2 đ ẳ ọ ộ
x 1 0 d x 1 : ng th ng ẳ t A thu c d ườ . Tìm t a đ các đ nh c a hình vuông ABCD, bi ủ ọ ộ ỉ ế ộ 1; C thu c dộ 2; còn B và D
2 : 2 ộ
)
( ;C t
y+ - = d thu c tr c hoành. ( ụ đ i h c – kh i A – 2005) ố ạ ọ Gi iả y- = 0 nên A(t;t). Vì A thu c ộ d x 1 :
Trang 9
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
t- Vì B, D n m trên tr c hoành nên A và C đ i x ng v i nhau qua BD nên ố ứ ụ ằ ớ
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ế
ƯỜ
Ẳ
Ặ
NG TH NG – Đ Ẳ =� - = t t 1 1 0
NG TRÌNH Đ ƯỜ t nên 2
BÀI TOÁN THI T L P PH ƯƠ Ậ y+ - = x d 2 : 2 Mà C thu c ộ C - A (1; 1) (1;1), V y đi m
- 1 0
ể ậ = (cid:0) 1 (cid:0) Trung đi m AC là I(1;0). Vì I là tâm c a hình vuông nên ủ ể = = IB IA = ID IA 1 (cid:0)
0 (cid:0) (cid:0) 2 1 1 Ox B b ( ;0) � � � Ta có (cid:0) = (cid:0) (cid:0) - =� b � � - = d 1 1 Ox D d ( ;0) =�(cid:0) b = b �� � d 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)� B � D � � � � (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0)
(0;0) (0;0) D B , ho c ặ A 2 d (2;0) C - D (1;1), (1; 1) B (0;0) D (2;0) , , B ậ ọ ộ A (1;1), ho c ặ ỉ C - (1; 1) (2;0) (0;0) D (2;0) ủ B , , Suy ra V y t a đ các đ nh c a hình vuông là . Ho c ặ
) 2 +
= 2 - x 2 y ng tr .n (C) ( Ví d 5: ụ Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ớ ệ ạ ộ ặ ẳ ườ
1
2
D D đ : x – 7y = 0. Xác đ nh to đ tâm K và tính bán kính c a đ 4 5 ng tr.n ườ ng th ng : ẳ ạ ộ ủ ườ ị và hai ) ( 1C
)
(
1
2
D D bi ng tròn , và tâm K thu c đ Đ i h c – kh i B- 2009) t đ ế ườ ạ ọ ố x – y = 0, 1C ti p xúc ế
1
2
- - x = (cid:0) D D Ph ng tr.nh 2 phân giác ( , ): ươ
(
(
) =
)
( �
)
( x
2
2
2 + -
= - (cid:0) 2 ( y ) x d 1 - - (cid:0) x 7 y (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) 5 x y x 7 y � (cid:0) - - = y 2 ) = y ) = - x ( 5 ( y x 5 ng tròn ©. ( ộ ườ Gi iả y x 7 5 2 ) y 7 y x d ( ) (cid:0) (cid:0) 1 2
)
(
) 2 = x
2
2 +
- - x 2 2 25 x + 20 x = 16 0 � Ph ươ ng trình hoành đ giao đi m c a d ộ ể ủ 1 và ©: ( 4 5 Ph ng trình vô nghi m ươ ệ
)
2 x � � = � � 2 � �
- - Ph x 2 25 x + 80 x = 64 0 ươ ng trình hoành đ giao đi m c a d ộ ể ủ 2 và ©: ( � 4 5
x K 8 = (cid:0) 5
)
(
= V y ậ ; R d K 8 4 � � ; � � 5 5 � � ) ( D = 1 2 2 5 Ví d 6: ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho 4 đi m A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) và D(3;5). Gi ể ẳ ặ ọ ộ ả ng trình 3x-y-5=0. Tìm đi m M thu c d sao cho tam giác MAB và MCD có ươ ể ộ ẳ s d là đ ng th ng có ph ườ ử di n tích b ng nhau. ằ ệ iả = = Ta có AB 5; CD 17 Gi ọ ộ ủ ể
( ;M x y 0 0 = 0
. G i ọ y- 3 5 là t a đ c a đi m M ) 1 Do M thu c d nên ta có ộ x 0
0
D= S
MAB
MCD
0
x - 4 x y+ 3 + y 4 - = 4 0 = 17 0 ng trình ng trình ẳ ẳ ươ ươ Đ ng th ng AB đi qua A, B có ph ườ Đ ng th ng CD qua C và D có ph ườ Ta có + - - 4 17 4 4 3 y x 0 x 0 = + - S .5. . 17. 4 3 y - = 4 4 17 (2) D � � x 0 x 0 + y 0 1 2 1 2 + y 0 17 (cid:0) = = ; 2 x 0 y 0 (cid:0) T (1) và(2) suy ra ừ (cid:0) = - (cid:0) 5 7 3 9; y 32 (cid:0) x 0 = - 0
)
( M -
và
Trang 10
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
- M 9; 32 V y có 2 đi m M c n tìm ể ầ ậ 7 3 � � ; 2 � � � �
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÌNH Đ
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
NG TH NG – Đ Ẳ
Ẳ
Ặ
ƯỜ 3 2
Cho tam giác ABC có di n tích b ng và hai đi m A(2;-3), B(3;-2). Tr ng tâm Ví d 7: ụ ệ ằ ể ọ
G c a tam giác n m trên đ ủ ằ ườ ẳ ủ ng th ng 3x-y-8=0. Tìm t a đ đ nh C c a tam giác. ọ ộ ỉ iả Gi
(cid:0) M G i M là trung đi m c a AB . ủ ể ọ
(1) 5 5 � � ; � � 2 2 � � - = y- x Ph ng trình c a đ ng th ng AB là ươ ủ ườ ẳ
ABG
ABC
( ;G x y 0 0
= = S S D D ọ 5 0 1 3 1 2 Vì G là tr ng tâm c a tam giác ABC nên ủ ) . Tr ng tâm G c a tam giác n m trên đ ng th ng 3x-y-8=0 nên ta có ủ ằ ọ ườ ẳ
s ả ử 8 0 3 y- Gi - = 0 x 0
ABG
)
)
nên kho ng cách t ả
ừ
G đ n AB ế
( ( d G AB ;
0 2
2 D = = Ta có AB = 2 S AB 2 2 - - y 5 x 0 = - y 1 (2) � � x 0 - = 5 0 2 2
) ( (2; 2)
0
= = (cid:0) (cid:0) 1; 5 G 1;5 y 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi i h (1) và (2) ta đ c ả ệ ượ x 0 = = - - 2; y (cid:0) G (cid:0) x 0
)
) 1; 1
- 2 ( C Do G là tr ng tâm tam giác nên ta có ọ
- = ộ ườ - = y+ 3 3 0 ng chéo có ph t ph , m t đ nh là (0;1). Vi 7 0 i và đ
ươ ế ạ ộ ỉ , m t c nh có ph ườ ươ ng ộ ạ ủ ng chéo th hai c a ứ Bài 1: Cho hình thoi có m t đ x trình là hình thoi. x Đáp án: đ + - - - 13 y 1 0 + x ứ x i ườ ạ 2 ng chéo th hai y 3 ạ Bài 2: Trong m t ph ng Oxy cho 2 đi m M(1;4) và N(6;2). L p ph ng th ng qua N + = 83 0;9 x ậ y- + = = 17 0;9 ể = 13 0 y 13 ng trình đ ươ ườ ẳ sao cho kho ng cách t ả + -
t ph ng trình đ ế ườ ắ ng th ng qua M và c t 2 ẳ tr c ox, oy t Ba c nh còn l ẳ ặ M đ n nó b ng 2. ằ ế ừ y = và 20 y x 21 2 Đáp án: ặ ẳ ng ng t ạ Bài 3: Trong m t ph ng Oxy cho đi m M(3;1). Vi ị = 162 0 ươ ể i A, B sao cho OA+OB đ t giá tr bé nh t ấ ươ ứ ạ ụ
= 1 Đáp án: x +
ng th ng l n l + 3 1 ẳ ẳ - + = y 1 0 1 0 2 x ầ ượ t ườ y+ + = . Tính di n tích tam giác ớ ỉ x và 3 ng cao k t y + 3 3 ặ ọ ộ B và C có ph ẻ ừ Bài 4: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC v i đ nh A(1;0) và 2 đ ng trình ườ ươ ệ chúa đ ABC. Đáp án: 14 đvdt 2 x y+ 3 Bài 5: Trong h tr c t a đ Oxy cho đ ệ ụ ọ ườ + = và đi mể 1 0 M(1;1). Vi t ph ng trình đ ng trình o. ế ng th ng d có ph ạ ẳ ớ ộ - x - = y 5 x
2 x ớ ỉ x y+ - = 1 0 ộ ươ ng th ng đi qua M và t o v i d m t góc 45 ẳ 6 0 4 0 và ọ ộ ng ng có ph y+ + = và 1 0 ế ng trình đ ng phân giác CD t ng trình t ph . Vi ươ Đáp án: 5 ặ ươ ườ y+ - = ẳ ứ Bài 6: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC v i đ nh A(1;2). Đ ng trung tuy n BM và ườ ng ườ ế ươ ươ đ ườ th ng BC ẳ + = 4 0 x
(cid:0) Bài 7: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, . Bi t M(1;-1) là ọ ộ ế y+ 3 ẳ ﾷ BAC = 90
Trang 11
NGUY N TH ÁNH H NG Ị
Ồ
Ễ
G là tr ng tâm tam giác ABC. Tìm t a đ các đ nh A, B, C. trung đi m BC và ể ọ ộ ọ ỉ Đáp án : 4 ặ 2 3 � � ;0 � � � � Đáp án: A(0;2), B(-2;-2), C(4;0) A(0;2), B(4;0), C(-2;-2)
BÀI TOÁN THI T L P PH
NG TRÌNH Đ
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ậ
Ế
ƯƠ
ƯỜ
NG TH NG – Đ Ẳ
ƯỜ
Ặ
G Bài 8: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC cân t . Ph ọ ộ ặ ẳ ạ i A và tr ng tâm ọ ngươ
Ẳ 4 1 � � ; � � 3 3 � � . Tìm t a đ cá đ nh A, ọ ộ
- - x - = y 4 0 2 7 x - = y 8 0 4 , ph ng trình đ ng th ng BG là ươ ườ ẳ ỉ ng BC là trình đ ườ B, C c a tam giác. ủ Đáp án: A(0;3), B(0;-2), C(4;0)
I Bài 9: Trong m t ph ng Oxy cho hình ch nh t có tâm , ph ng trình đ ng th ng AB là ữ ậ ẳ ặ ươ ườ ẳ 1 2 � � ;0 � � � � - x + = y 2 0 2 t A có hoành đ âm. ế ộ ỉ
- x + = y 2 0 2 . Tìm trên d hai và AB=2AD. Tìm t a đ các đ nh A, B,C, D bi ọ ộ Đáp án: A(-2;0), B(2;2), C(3;0), d(-1;-2) Bài 10: Trong m t ph ng Oxy cho đi m A(0;2) và đ ườ ng th ng d: ẳ ể ẳ ặ đi m B và C sao cho tam giác ABC vuông ể ở
B C Đáp án: và C(0;1) ho c ặ 2 6 � � ; � � 5 5 � �
A và AB=2BC. 4 7 � � ; � � 5 5 � � Ế Ậ
i ta th ng dùng 2 d ng ph ng tròn sau
2
2 +
(
) 2 = y b
2
2
2
2
2
ạ ươ (cid:0) I a b tâm ( ; ) - - ườ ) (cid:0) ( C ) : ng trình đ ) ( ( :C x a R 1. ph ng trình ươ = (cid:0) R 2 bk + 2 - - + y 2 + = by c 2 0 2. (đi u ki n ) ệ a b - > c 0 (cid:0) = ề + - R a b c
)
) 2 = y b
) :C
+ - - ( C x ) : có tâm ( ; ) ( 2 + ax I a b , bán kính ( Ax + By C 0 x a R Gi và đ = . G i h là khoaeng cách ườ ng th ng d: ẳ ọ
t
2
2
ế ườ ừ ng th ng d. ẳ + + = h Aa Bb C + A B
ắ
Khi đó: n uế
• h>R: © và d không c t nhau
• h=R: © và d ti p xúc nhau
• h i 2 đi m.
ể
Ạ ế
ắ
CÁC D NG BÀI T P C B N
Ể
ƯỜ ng trình đ t ph ( ) ể ử ụ ườ
ng ươ ế ả tròn đ gi i.
Ụ ớ ệ ọ ộ Ọ
ặ t là trung đi m c a các c nh AB và BC. Vi t ph Đây là d ng bài t p c b n nh t. Ta có th s d ng c 2 cách vi
ấ
ể ả
VÍ D MINH H A
Ví d 1:ụ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(2; -2) và C(4; -2).
ươ
ng ườ ủ ế ể ạ ng tr.n đi qua các đi m H, M, N. ( ầ ượ
Đ i h c ẳ
B; M và N l n l
ng cao k t
ẻ ừ
ể G i H là chân đ
ọ
tr.nh đ
ườ Gi - 4; 4 Ta có M(−1; 0), N(1; −2), ạ ọ - Kh i A – 2007)
ố
iả
s H(x, y). Ta có: Gi ( )
1;1 2 2 (cid:0) + - = (cid:0) x uuur
AC =
+
y =
2) 0 1 uuur uuur
BH AC
. 0 H � � � � 2) 4(
+ - (cid:0) (cid:0) 4 x 4( y =
2) 0 1 H AC (cid:0) 4(
�
�
� + - - 2 ax + =
by
c
2 0 ng tr.nh đ s ph
ả ử ươ ng tr.n c n t.m là
ầ ườ Trang 12 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ ả ử
=
x
�
�
=
y
�
C x
) :
(
ệ ề y
Gi
Thay t a đ c a M, N, H vào pt trên ta có h đi u ki n
ệ ọ ộ ủ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ẳ Ặ - (cid:0) = a (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 - =
a c - 5 1
+ = -
b c
4 a NG TRÌNH Đ
1
2
1
2
2 2 + y2 − x + y − 2 = 0 + + = - 2 b c
2 �
2
�
�
2 a (cid:0) = - (cid:0) �
=�
b
�
�
c (cid:0) (cid:0) ươ ườ ậ V y ph
Ví d 2:ụ Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC , hai c nh AB và AC theo th t ạ - = ng tr.n c n t.m là: x
ầ
ẳ
y+
6 3 0 2 0 . C nh BC có trung đi m M(-1;1). Vi t ph ứ ự
ng trình đ ng
ươ
ng tròn ể ạ ế ươ có ph
ườ ng tr.nh đ
ặ
y+ - =
x
và 2
x
trình là
ngo i ti p tam giác ABC.
ạ ế iả (cid:0) x + - =
y (cid:0) (cid:0) A ệ ọ ộ ể T a đ đi m a là nghi m c a h
ủ ệ + Gi
2 0
- = 3 0 2 6 x y (cid:0) �
�
� + + = y m x 0 7
4
ng trình d ng ạ ủ ể ọ ươ 0 -�
15
;
�
4
�
G i P là trung đi m c a AC khi đó MP//AB nên MP có ph
Do M thu c Mp nên m=0.
Suy ra ph ng trình c a MP là
ủ ộ
ươ (cid:0) x
+ =
y (cid:0) P ; � T a đ P là nghi m h
ệ ọ ộ ệ y+ =
0
- = x
+ 6 y 3 0 2 x (cid:0) 3
�-
�
4
� - C Do P là trung đi m c a AC suy ra
ể ủ 9 1
;
4 4 3
�
�
4
�
�
�
� �
�
� B T ng t ta có ươ ụ 1 7
� �
;
� �
4 4
� � 2 2 - A B C Ph ng trình đ ng tròn đi qua ba đi m và là ươ ườ ể 7
4 9 1
;
4 4 -�
15
;
�
4
� �
,
�
� 1 7
� �
;
� �
4 4
� � �
�
� �
�
� + - x y y 3 0 - +
x 2 2 t ph ng tròn đi qua 3 đi m có 2 b c: ể ườ ướ ng trình đ
ươ
ể ố ể ị ươ ng trình t ng quát
ổ - - ( C x
) : y ax 2 2
+ ế 0 1. ng tròn ế ủ ườ ế ) ( ( )
:C - - 65
=
8
Nh v y vi
ế
ư ậ
• Tìm t a đ 3 đi m
ọ ộ
• L p h ph
ng trình đ xác đ nh tham s a,b,c trong ph
ệ ươ
ậ
+
+ =
by
2
c
2
0
LO I 2: L P PH
ƯƠ
Ậ
Ạ
NG TRÒN CHO TR
NG TH NG HO C Đ
Ẳ
Ặ ƯỜ
Đ gi
ầ
ạ
ứ
ạ
ể ả
= là ti p tuy n c a đ
+
+
By C
Đ ng th ng
ườ
)
(
2
=
y b ẳ Ax
R x a khi và ch khi kho ng cách t tâm c a đ ng tròn đ n đ ừ ả ỉ ủ ườ ế ườ ng th ng đó
ẳ ( ) ằ 1 1 2 2 b ng bán kính R
2. ng tròn ;O R ti p xúc ngoài ( ti p xúc trong) v i nhau khi và ớ ế ế 1 2 1 = - ườ
( ;O R và (
)
) ch khi
ỉ R R
2 Hai đ
+
=
O O R R O O
1
2
VÍ D MINH H A ) 2
+ =
2 - x 2 y ng tr .n (C) ( Ví d 1:ụ Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ớ ệ ạ ộ ặ ẳ ườ ngườ 1 2 D D th ng : : x – 7y = 0. Xác đ nh to đ tâm K và tính bán kính c a đ 4
5
ng tr.n ẳ ạ ộ ủ ườ ị tế và hai đ
)
(
1C bi 1C ti p xúc
ế 1 2 D D x – y = 0,
)
( đ ng tròn , và tâm K thu c đ Đ i h c - KH I B – 2009) ườ ộ ườ ạ ọ Ố 1 2 Trang 13 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ - - x = (cid:0) D D Ph ng tr.nh 2 phân giác ( , ): ươ ng tròn ©. (
Gi
iả
y
x
7
5 2 y
2 BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ Ậ Ế ƯƠ Ẳ Ặ ƯỜ
= -
y NG TRÒN TRONG M T PH NG
2 ( ( )
= ) (
� ƯỜ
)
=
y
)
= - ) NG TH NG – Đ
Ẳ
)
(
y (
x 2 2 2
+ - (cid:0) ) x d
1 - - (cid:0) 7 y x (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) 5 x y x 7 y � (cid:0) - - = x
( 5
( y 7 x 5 y x d
( ) (cid:0) (cid:0) 1
2 ) ( )
2
=
x 2 2
+ - - x 2 2 25 x +
20 x =
16 0 � Ph ươ ng trình hoành đ giao đi m c a d
ộ ể ủ 1 và ©: ( 4
5 Ph ng trình vô nghi m ươ ệ ) 2
x
� �
=
� �
2
� � - - Ph x 2 25 x +
80
x =
64 0 ươ ng trình hoành đ giao đi m c a d
ộ ể ủ 2 và ©: ( � 4
5 x K 8
= (cid:0)
5 = V y ậ ; R d K 8 4
� �
;
� �
5 5
� �
)
(
D =
1 2 ể ặ ế ươ ườ
ng i đi m Avaf kho ng cách t ọ ộ
ể ớ ụ ừ ủ ả ạ tâm c a © đ n B b ng 5. (
ế ố
Đ i h c – kh i t ph
ằ ng trình đ
ạ ọ 2 2
5
Ví d 2:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho 2 đi m A(2;0) và B(6;4). Vi
ẳ
tròn © ti p xúc v i tr c hoành t
ế
B – 2005) Gi iả a = và R b= Gi
© ti p xúc v i tr c Ox t s © có tâm I(a;b) và bán kính là R.
ả ử
i A nên suy ra
ế ớ ụ ạ 2 2
+ ( ) ( )
2
=
b 2
+ = (cid:0) b 1 = - - - IB 5 6 2 4 5 b + =
8
b 7 0 � � � (cid:0) Ta có = b (cid:0) 2
+ - - x 1 2 y V i a=2; b=1 ta có ph ng trình đ ng tròn là ớ ươ ườ (
( )
) (
( - - x 7
)
2
=
1
)
2
=
7 49 2 y ng trình đ ng tròn là ườ ớ
ậ ầ ng tròn có tâm n m trên đ ườ ớ
ng th ng x=5 và ti p xúc v i 2 ế ẳ - ươ
y- + =
3 0 + =
y 9 0 3 đ ườ ng th ng
ẳ V i a=2; b=7 ta có ph
V y có 2 đ
ươ
Ví d 3ụ : L p ph
ậ
x
d
1 : 3 ươ
ng tròn th a mãn yêu c u bài toán.
ỏ
ng trình đ
ằ
ườ
x
d
2 :
và 1 và d2 nên ta có (
d I d
; 2 2
+ 2
= Gi iả ng tròn c n tìm ườ ầ ớ = - - (cid:0) b 2 ng tròn c n tìm ti p xúc v i 2 đ
ườ
+
5 3
b
15 ế
- +
b 3 ng th ng d
ẳ
9 = = - ườ
) 18 - =
b b
14 3 � � � (cid:0) G i I(5;b) là tâm đ
ọ
Do đ
ầ
(
)
d I d
;
1 = 8 (cid:0) 10 10 ( ) ( 2
+ - • b
) +
y 40 x Khi b=-2 ta có , ph ng trình c a đ R = 40 ươ ủ ườ ( - - • 5
) ng tròn là
( 5 y 2
)
2
=
8 10 x Khi b=8 ta có ng trình c a đ , ph R = 10 ủ ườ ươ và đi m A(-1;1). Vi d x
: 0 =
2 ườ ẳ ể ế
t ng trình đ ph ng tròn là
y- + -
Ví d 4:ụ Trong m t ph ng Oxy cho đ
1
ặ
ng tròn © qua A, g c t a đ O và ti p xúc v i d.
ớ
ố ọ ộ ườ ươ iả M G i M là trung đi m c a OA. Khiđó
ể ủ ọ ng th ng
ẳ
ế
Gi
-� �
1 1
;
� �
2 2
� � )1;1 uuur
(
OA = - Ta có là vect pháp tuy n c a đ ơ ế ủ ườ ng trung tr c đo n OA.
ự ạ )
1 + - - +
x 0 y 1 0 - + - =�
y
x Ph ng trình đ ng trung tr c c a đo n OA là ươ ườ ự ủ ạ 1
2 1
=
2 Tâm I c a đ ủ ườ ng tròn n m trên đ
ằ ườ ự (
I a a +
;
0 2 ) ( (
IA d I d ) 2
1 (cid:0) � � � �
� � � �
� � � �
ọ ộ ể
a
1 1 ng trung tr c này nên t a đ đi m
=
- + + -
a a = + + = ; a a � � (cid:0) Theo đ bài ta có ề = - a 1 (cid:0) 2 2 2 ) 2
1 Trang 14 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ ủ ườ
ủ ườ + + = - ng tròn © là R=1
ng tròn © là R=1
) 2
(
=
y+
1 x 1 x y 1 Khi a=0 thì bán kính c a đ
Khi a=1 thì bán kính c a đ
V y có 2 đ và ( ng tròn c n tìm là
ầ ườ ậ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ - - =
y 3 2 0 ng tròn đi qua A(4;2) và ti p xúc v i 2 đ và ế ớ ườ ng th ng
ẳ d x
1 : - ng trình đ
ườ
=
+
y
18 0 3 ph
ươ
x
d
2 : 2 2
+ ( ( ( )
:C )
2
=
y b 2 2
+ Gi (cid:0) I a b
tâm ( ; ) - - iả
) (cid:0) ( C ) : x a R Gi ph ng trình s
ả ử ươ = bk (cid:0) ) ( )
2
=
b - - R
( 4 a 2 R Do A thu c © nên
ộ 2 : ) ) (
d I d
; (
d I d
;
1 2 - - - =
y 3 2 0 d x +
y 3 =
18 0 Vì © ti p xúc v i 2 đ và nên ế ớ ườ ng th ng
ẳ d x
1 : = = (cid:0) a 1, b 3 - - - a b
3 2 a +
3
b 18 (cid:0) = = - a - = -
b
3
2 a +
b
3 18 � � � (cid:0) = = a ; b 10 10 (cid:0) 29
5 23
5 a 3 Khi R = 10 2
+ = = a b ; Khi bán kính R = 10 b=
1,
29
5 = bán kính
23
5 ( ( )
1 )
2
=
3 2
� �
+
y
� �
� � 2 - - - - x y 10 V y có 2 đ và 10 ậ ườ ng tròn c n tìm là
ầ 29
5 23
5 �
x
�
� + - - +
4
y x ng tròn © có ph . Vi t ph ươ ế ườ
t (T) ti p xúc v i 2 tr c t a đ và ti p xúc ngoài v i ©. ph ng t a đ cho đ
ẳ
ọ ộ
ng tròn (T) bi
đ
ế
ườ x
ng trình
ụ ọ ộ =
36 10
ớ ế ớ iả Đ ng tròn © có tâm I(6;2) và bán kính R=2.
ườ
Vì đ ng tròn ti p xúc v i 2 tr c t a đ nên tâm J c a nó ph i n m trên đ ụ ọ ộ ả ằ ườ ủ ế ớ ườ ặ
ng th ng y=x (ho c ẳ y=-x). Do đoa ta xét hai kh năng sau: ả • N u J thu c đ ộ ườ
ng ế R a= s J(a;a) thì ẳ 2 Vì đ ng tròn (T) nên ta có th ng y=x . Gi
ườ ế 2
+ ) ( 1 2 2 = + = - - - ả ử
ng tròn © ti p xúc ngoài v i đ
( IJ ớ ườ
)
2
=
2 IJ 6 a a 2 a +
a 2 2 a +
16 a =
40 + +
2
a 4 4 a (1) � � � +
R R
2 2 2 + -
2 - - + N u a<0 thì (1) ph ng trình vô ế ươ 2 a 16 +
a =
40 a 4 4 a a +
12 a =
36 0 � � nghi mệ = (cid:0) a 2 + -
2 - - 2 a 16 +
a =
40 a 4 4 a a +
12 a =
36 0 � � � (cid:0) + N u a>0 thì (1) ế = a 18 (cid:0) ) N u J thu c đ ộ ườ
ng ế •
y x= - thì R a= th ng ẳ ả ử (
s 2
+ - ) ( 1 2
+ 2
+ Vì đ ườ J a a-
;
ế ng tròn (T) nên ta có
2 = + = + - - . Gi
ng tròn © ti p xúc ngoài v i đ
( IJ 2 IJ a a 6 a a 6 a � � =
� +
R R
2 ( ( ( )
2
=
18 2
= - - - - ớ ườ
)
=
2
) (2)
) 2 x y 2
)
2
=
2 4 x 18 y 24 V y có 3 đ ; ( và ườ ng tròn c n tìm là
ầ ) ( ) - ậ
( x 6 6 +
y 36 ng tròn ươ ụ ậ ế ủ ườ ế Trang 15 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ © cho tr ướ ữ ỏ ệ ề NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG BÀI TOÁN THI T L P PH ƯỜ ƯỜ Ặ Ẳ ƯƠ 2 2
+ ( ) ( )
2
=
y b ứ - - ả
+
Ax +
By C i các bài toán này cũng d a vào công th c tính kho ng cách t
ả
)
(
:C x a R ng pháp gi
ng tròn tâm
ừ
=
0
là I(a;b) ng th ng
ẳ ườ )
D = (
d I 2 2 )
D = )
D < + ; Aa Bb C
+ B A
Ngoài ra ta cũng caafn s d ng đ n các đi u ki n sau: ử ụ ệ D ế
(
d I ; � 1. là ti p tuy n c a © ế ủ ế D ề
R
(
d I ; 2. c t © t i 2 đi m phân bi ắ ạ �
ể
CÁC D NG BÀI T P R
Ậ t
ệ
Ạ
Ề Ế 2 2 Ọ + + + y ẳ x
ng tr.n C:
ế
ẻ ừ ớ ệ ọ
ể ườ
ế ộ
ủ ế ế x
2
M đ n C. Vi
ế + = và
y
6 0
6
ng tr.nh
t ph
ươ ọ
ng th ng T1T2 ( ạ ọ = > nên M n m ngoài (C). N u T(xo; ế ằ MI 2 5 R ) M đ n (C) thì ẻ ừ ế ^ yo) là ti p đi m c a ti p tuy n k t
)
C
uur
IT 0 ( ) 0 2 2 2 2 = - - = (x + 3; y -1); uur
IT 1; y 3 Do đó có: ta 0
+ 0 2 2 ( ) 0
y 0
+ =
0
) (
y -1
0 0 0 (cid:0) (cid:0) ủ ế
ế
(
C
T
� �
�(cid:0)
uuur uur
�
=
MT IT
.
�
�
uuur
MT
+ + x
0
+ + + = (cid:0) 6 y 6 y 6 0 y
0 x
0 + - = 2 y 3 0 (1) � � x
0 - y
+ 2
+ - ẳ
iả
Gi
Đ ng tr.n (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 2.
ườ
ế
ể
(
T
� �
�
uuur
�
MT
�
�
Mà
+
) ( �
( (cid:0) x
0
x + 3 6 0
=
3 2
)
- +
1 0 0 (cid:0) (cid:0) y
0 x
0 x
0
�
x
0 x
0
x
2
0 0
=
y
4
0
ế 2 2 2 V y, t a đ các ti p đi m T1 và T2 c a các ti p tuy n k t ế ẻ ừ ủ ể ậ ứ
M đ n (C) đ u th a m.n đ ng th c
ỏ ế ề ẳ (1). Do đó, ph ế
ng tr.nh đ
ườ Cho đ ng th ng T1T2 là: 2x + y = 0.
ề ế + - - + =
6
y 6 0 x x y ọ ộ
ươ
Ví d 2ụ : (Bài toán c b n v ph
và đi m M(4;1). Vi t ph ế ủ ườ
ng trình ti p tuy n c a đ ngườ
ng tròn © và đi qua ẳ
ơ ả
ể ươ
ế ng trình ti p tuy n c a đ
ủ ươ ế ế ng tròn) :
ườ tròn
M. Gi iả ườ
ọ ế (
d I d
; ươ
= - = >
4 1
3 R 4 Đ ng tròn © có tâm I(1;3) và bán kính R=2.
G i d là ti p tuy n c n tìm.
ế ầ
Ta có d đi qua đi m M(4;1) nên ph
ể
1. ng trình d có 2 d ng.
nên ế ế ả ạ
d x = không ph i là ti p tuy n.
1 : )
- + -
y = - y 1 kx =
1 4 k 0 � 2. d x = . Khi đó
1 :
4
)
(
+
k x
d
4
2 : 2 ) (
d I d
; 2 2 2
1 2 = (cid:0) k 0 - + - k k (cid:0) = = + = - R 2 k
5 12 k 0 � � � Vì d2 là ti p tuy n nên ta có ế ế (cid:0) = 3 1 4
+ k k (cid:0) 12
5 - ậ ế ế ề : Ta có th gi V y có 2 ti p tuy n th a yêu c u đ bài
ỏ
Nh n xét
ể ả
ậ ướ ạ + - - t ph 1y = và 12
i d ng ph
ườ ng th ng.
ẳ
. Vi
ế ươ
ng ) (
d I d
; 2
1 y+
5
ng trình t ng quát c a đ
ủ ườ
=
+
4
20 0
y
y+ =
0 x
x ng tròn © bi trình ti p tuy n c a đ ầ
i bài toán trên d
Ví d 3ụ : Trong m t ph ng Oxy cho đ
ẳ
ặ
t r ng nó vuông góc v i đ
ế ằ
ế ủ ườ =
53 0
x
ổ
ươ
2
y
x
2
ng tròn ©:
ng th ng
ẳ
ớ ườ ế Gi iả ọ - + x =
y m x 0 y+ = nên ph
0 ng trình d có d ng ế ầ
ớ ườ ng th ng
ẳ ươ ạ G i d là ti p tuy n c n tìm.
ế
Vì d vuông góc v i đ
Đ ng tròn © có tâm I(-1;2) và bán kính R=5. ườ (cid:0) = + - m 5 2 3 m = = R 5 � � (cid:0) D là ti p tuy n c a © nên ta có
ế ủ ế = - - +
1 2
+ (cid:0) m +
5 2 3 (cid:0) 2
1
y- Trang 16 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ + = - V y có 2 ti p tuy n c n tìm và x y- + + =
5 2 3 0 x 5 2 3 0 ế ầ ế ậ NG TRÌNH Đ Ế Ậ ƯƠ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ẳ 2 2 Ọ + + - 2 x x ng tròn ©: D y- + = x 1 0 x - + =
y m 0 ườ
sao cho D t ph ng th ng d:
ẳ
i 2 đi m M, N sao 0
y
song song v i d và c t © t
ớ ẳ
ng th ng
ẳ và đ
ạ =
y
4
ắ ườ
ể ườ ươ x
1 0
ế
cho đ dài MN=2. y- + =
ộ Gi D song song v i d: ớ có d ng ạ MN 1 R = 5 = + m 2 = =
2 ) IH IM HM 2 (
d I D =
; 2 2 � � � (cid:0) = - m 2 2 3
+
2 2 3 2
1 nên ph
=
HM HN Vì D
K IH vuông góc v i MN ta có ẻ ơ iả
ng trình
ươ
1
=
=
2 Đ ng tròn © có tâm I(-1;2) và bán kính ườ (cid:0) - - T đó ừ (cid:0) (cid:0) 2 - V y có 2 ti p tuy n c n tìm và + =
2 2 3 0 x x ế ầ ế ậ - +
1 2
m
=
+
2
1
y-
ng tròn ©: - - y x x =
2
y 0 ườ y- +
ẳ và đoe m A(9;6).
ẻ D ng trình đ Vi t ph Ví d 2:ụ Trong m t ph ng Oxy cho đ
ặ
ng th ng
ẳ ườ ế ươ ắ + =
2 2 3 0
+
2 8
ộ 4 5 C 6 = = Gi + = D 0 ng trình đ ườ - +
By C
B + - - D ng th ng
ẳ
+
nên ta có 9A 6
By Gi
s ph
ả ử ươ
Do A(9;6) thu c ộ D
Ph ng trình ươ 2 5 MN R = 17 có d ng ạ Ax
=
HM HN K IH vuông góc MN. ẻ qua A và c t © theo m t dây cung có đ dài là
ộ
iả
ạ Ax
c n tìm có d ng
ầ
+ =
= -
0
B C
A
9
�
=
9
B
A
0
6
1
2 Đ ng tròn © có tâm I(4;1) và bán kính ườ + -
A B 4 A 2 = =
2 6
B
= ) IH IM HM 5 (
d I D =
; 5 5 � � 2 2 9
+ B A - - T đó ừ 2 2 2
A
� �
+
� �
B
� � (cid:0) = - 2 (cid:0) + + = + = 4 A 10 AB 4 B 0 2 2 0 5 � � � (cid:0) - A
B (cid:0) = (cid:0) (cid:0) A
B
A
B 1
2 - = - D - = • B 2; =
A 1 : x + =
2
y 3 0 � N u ế Ch n ọ 1
2 = - D - - = - • B 1; =
A 2 : 2 x =
y 12 0 � 2 N u ế Ch n ọ 2
+ ( ) ( )
2
=
3 V y có 2 đ A
B
A
B
ườ ậ ẳ - - x 4 y 4 và đi m M(5;2). Vi t ph ng trình đ Ví d 3:ụ Cho đ ể ế ươ ườ
ng 2
+ th ng d qua M và c t © t i 2 đi m A và B sao cho M là trung đi m c a AB. ng th ng c n tìm.
ầ
ng tròn
ườ
ể ạ ẳ ắ ủ ể Gi iả ( ) ( )
2
= < - - 5 4 2 3 2 4 ng tròn vì ườ
ấ c đi m M n m trong đ
ằ ườ ể ( )
1; 1 - uuur
IM = Đ ng tròn © có tâm I(4;3) và bán kính R=2.
Ta th y ngay đ
ượ
Do MA=MB và IM vuông góc AB
Nên đ ng th ng d c n tìm đi qua M(5;2) và nh n vect làm vect ườ ẳ ầ ậ ơ ơ pháp tuy n
ế - = y- 3 0 x ng trình c a đ ươ ủ ườ ng th ng d là
ẳ Trang 17 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ ng tròn là bài Ph
V. BÀI TOÁN XÁC Đ NH ĐI M NH VÀO
Ị
NG TRÒN.
ƯƠ
ặ ủ ụ ườ ộ ạ ộ ể ầ ị ữ
ỏ
VÍ D MINH H A toán xác đ nh các đi m th a mãn yêu c u nào đó.
Ọ Ụ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ẳ Ặ NG TRÒN TRONG M T PH NG
=
2 ( ) 2
+
1 - x y 1 ng tròn (C) . G i I là tâm c a © . Ví d 1:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ
ẳ ặ ọ ườ ủ ọ ( ) 2
+
1 xác đ nh đi m M thu c © sao cho (C) (Đ i h c - KH I D – 2009) ể ộ ị Ố 30O ộ
ﾷ
IMO = ạ ọ
iả
Gi =
2 - x y 1 ng tròn (C) O cho đ
ta có ﾷ ườ
IMO = 30O . Tâm I (1; 0); R = 1
ﾷ
MOI = 30O � = (cid:0) tan 30 k = (cid:0) Suy ra Om có h s góc ệ ố suy ra tam giác IOM cân t
i Iạ
1
3 2 2
x
= (cid:0)
0
3 = (cid:0) y x Suy ra ph ng trình OM là ươ 1
3 = (cid:0) x 0( loai ) (cid:0) - x +
x 2 Thay vào ph ng trình đ ng tròn © ta có ươ ườ (cid:0) = x (cid:0) 3
2 2 2 2
và
ng tr.n tâm M, có bán kính g p đôi M V y ậ 3
2 �
3
(cid:0)�
;
�
2
� + - - + =
2
y x y x �
�
�
�
ặ ớ ệ ọ ẳ ộ ộ ể ọ ng tr.n (C)
ườ 1 0
ấ ng tr.n (C), ti p xúc ngoài v i đ (Đ i h c –kh i D- 2007) Ví d 2:ụ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ
ườ
ng th ng d: x-y+3=0 T.m t a đ đi m M n m trên d sao cho đ
ạ ọ đ
ẳ
ườ
bán kính đ
ườ ớ ườ ế ố Gi ằ
ng tr.n (C).
iả Đ ng tròn ( C ) có tâm I (1; 1) , bán kính R = 1. ườ 2 1=2R=2
= + =
1 2 3 1 1) có tâm là M và bán kính g p 2 l n bán kính © t c R
ế 1 ộ ườ + = = ầ
MI ứ
MI R MI 9 � � Vì M thu c d nên M ( x; x + 3) .
Đ ng tròn (C
ấ
Do © và (C1) ti p xúc ngoài nên MI = R + R 2
+ ( ( )
1 )
2
=
3 1 0 R
= (cid:0) 1 - 9 +
2
x 2 0 � � � (cid:0) x
0 + -
x
0 - =
x
0 x
0
= - 2 (cid:0) 2
+ ( )
2
=
2 )
1 ậ ể ầ - - - =
+
y m : 3 d 4 0 x x
0
1 (1; 4 ) , M 2 ( − 2; 1) .
V y, có hai đi m M th a mãn yêu c u bài toán là: M
(
y 9 x và đ ng th ng
ẳ ẳ ỏ
Ví d 3:ụ Trong m t ph ng Oxy cho
ặ
ừ ườ
P c 2 ti p tuy n PA, PB c a © và tam giác PAB là tam
ủ ể ế ế ẽ ấ . Tìm m đ trên d có duy nh t đi m P sao cho t
ể
Đ i hoc – Kh i D – 2007)
giác đ u. (ề ố ạ Gi iả = 2IA = 2R = 6 ộ ườ (C) có tâm I(1;−2) và bán kính R = 3. Ta có: ΔPAB đ u nên IP
Suy ra P thu c đ
Trên d có duy nh t m t đi m P th a m.n yêu c u bài toán khi và ch khi d ti p xúc v i ề
(C') tâm I, bán kính R ' = 6.
ể ế ầ ấ ỏ ỉ ớ (C') t i Pạ = = ng tr.n
ộ
= - d (I;d) 6 m 19, m 41 � � . ( ( )
2
=
2 - - x y 4 và đ ặ ọ ườ ẳ
ng th ng Bài 1: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ
ẳ
- = 1 0 y- . Vi t ph ng trình đ ng tròn (C’) đ i x ng v i © qua d. Tìm t ế ươ ườ ố ứ ớ ạ ộ đ giao đi m c a © và
ể ủ d x
:
(C’). ) 2
+ =
2 - x 3 y 4 Đáp án ( ,A(1;0) và 2
+ B(3;2). Bài 2: Cho tam giác ABC có A(8;0), B(0;6), C(9;3). Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p tam ế ươ ườ ạ ế giác ABC. ) ( )
2
=
3 - - 4 y x 25 2
+ ( )
1 )
2
=
3 Trang 18 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ Đáp án (
- =
5 0 y- : 2 d và 2 đi m A(1;2), B(4;1). Vi Bài 3: Trong m t ph ng Oxy cho đ ể ế
t ng th ng
ẳ ườ ẳ ặ x
ng tròn có tâm thu c d và đi qua 2 đi m A, B. ng trình đ ph ườ ể ộ ươ - - x y 25 Đáp án ( BÀI TOÁN THI T L P PH Ế Ậ Ặ Ẳ ƯƠ
ẳ ƯỜ
y+
3
ng tròn ti p xúc v i d t
ạ NG TH NG – Đ
ƯỜ
Ẳ
x
ng th ng
ẳ
ườ
ế NG TRÒN TRONG M T PH NG
và đi m A(7;5) trên d.
ườ - =
43 0 ặ t ph ể
i A và có tâm thu c đ : 4
d
ớ ườ ươ ộ ẳ
ng th ng D - 2
+ 4 0 : 2 x ) ( )
2
=
2 - - x 3 - - ; d : 4 y
+
x 3 y 25
=
45 0 . L pậ - : 3
x Đáp án: (
=
+
47 0
x
y
4
=
y+
22 0
3 Bài 5: Trong m t ph ng cho 2 đ
ẳ
ặ
ng tròn có tâm n m trên đ ng trình đ ph ườ ằ ườ
ườ d
ng th ng
ẳ
1
d
: 5
ng th ng
ẳ ươ ớ 1 và d2. ế 2
và ti p xúc v i d
2
� �
+
y
� �
� � 2
�
=
�
� + - Đáp án 61
7 153
7 400
49 �
x
�
� ớ Vi t ph ng trình đ ế ươ ườ ạ
ng tròn ngo i 2
+ ) ( )
2
=
3 i t ph ng th ng d đi qua ế ườ ẳ Bài 6: Cho tam giác ABC v i A(2;2) , B(4;5), C(4;1).
1.
tiêp tam giác ABC.
2.
đi m K(5;2) c t đ ng tròn câu 1 t ắ ườ ể ể ạ ở ng trình đ
ươ
ủ
ể - - 4 y 4 i 2 đi m M, N sao cho K là trung đi m c a MN.
(
x Đáp án: ; 2 2 - = y- 3 0 x + + - d x
: y- + = 1 0 =
y 4 0 và đ ng tròn ©: . Bài 7: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho
ẳ ườ ọ ặ 2 2 2 2 c hai đ ng th ng ti p xúc v i © sao cho ẻ ượ ườ ế ẳ ớ ộ y
x
ﾷ
AMB = 2
x
60O ) 2 )
C x
:
1 + + + - - - y 10 =
x 0 C =
20 0 2 4 x y x y : . Vi ườ 2
+ 2
= ng tròn đi qua các giao đi m c a 2 đ và (
ng tròn trên và có tâm n m trên đ ủ ườ ằ ươ
t ph
ng
ế
ẳ
ng th ng
ườ ể ộ
Tìm đi m M thu c d sao cho qua M k đ
ể
Đáp án: M(-3;-2) và M(3;4)
(
Bài 8: Cho 2 đ
ng tròn
ườ
- = trình đ
y+
x
6 6 0 ) ( )
1 - x 12 +
y 125 Đáp án: ( Ố - ng th ng BC là 3 x KH I A -2002:
y-
ẳ i A, ph
ạ
ủ ườ ng trình
ươ
ộ
ng tròn n i ộ ỉ đ
ườ
ti p tam giác ABC b ng 2.Tìm t a đ tr ng tâm G c a tam giác ABC.
ế ủ ằ Gi iả Ta c. BC giao Ox = B(1;0). ) Cy = - - a
3 a
; 3 3 3 Đ t xặ A=a ta có A(a;0) và xC=a ta có (
C a
)
�-
1
�
�
� �
( + 3 a 1 ; G T công th c t a đ trong tâm ta có ứ ọ ộ ừ 3 a
3 �
2
�
�
� = - AC 3 a 1 Ta có AB =| a −1|, |, BC = 2 | a −1|. ( ) 2
1 ABC ) 2
1 (
3
- +
1 = = - Do đó S AB AC
. a D 1
2 3
2 (cid:0) = + - - a 2 3 3 a 1 = = = = r 2 a - =
1 +
2 3 2 � � (cid:0) Ta có + + - = - - S
2
AB AC BC (cid:0) 3 a 3 a 1 a
+
3 1 a 2 3 1 (cid:0) Trang 19 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ + + - - - - G 7 4 3 6 2 3
; G ; và V y có 2 đi m G th a mãn yêu c u đ bài
ỏ ể ề ầ ậ 3 3 1 4 3
3 6 2 3
3 �
�
�
� �
�
�
� �
�
�
� KH I D -2004: Ố ặ ộ ộ ỉ ọ
ộ ọ ẳ
ọ ủ ể ớ �
�
�
�
ọ
ị Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có t a đ các đ nh là A(-1;
0);B(4; 0);C(0;m) v i m khác 0.. Tìm t a đ tr ng tâm G c a ABC theo m. Xác đ nh m đ tam giác GAB
vuông t i G. ạ Gi iả BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ Ẳ G Tr ng tâm G c a tam giác ABC có t a đ
ọ ộ ủ ọ m
� �
1;
� �
3
� � i G uuur uuur
GA GB =
. 0 - - - Tam giác GAB vuông t
uuur
GB uuur
GA 2; Mà �
m
3 ạ
� � �
;
3;
� � �
� � � 2
= = Khi đó m
�
�
3
�
uuur uuur
GA GB
. 0 - +
6 0 3 6 � =
m
� � m
9 V y ậ m = (cid:0) 3 6 KH I A- 2011: và đ Ố ặ ọ ộ ngườ
ế ế
. Qua M k các ti p tuy n ẻ tròn
MA, MB đ n ( C ) (A,B là ti p đi m). Tìm t a đ đi m M, bi ủ
ọ ộ ể t t
ế ứ ế ể ế ệ Gi iả C) có tâm I(2; 1), bán kính IA = 5. ﾷ = và MA = MB MAIB có ﾷ 90 2 2 Đ ng tròn (
ườ
T giác
ứ
SMAIB = IA.MA =
MAI MBI
2 5 = IM 5 ọ ộ ạ M(t; – t – 2) 2t2 + 2t – 12 = 0 MA =�
=
+
IA MA
�
M thu c ộ Δ, có t a đ d ng
IM = 5 (cid:0) (t – 2)2 + (t + 3)2 = 25 (cid:0) (cid:0) t = 2 ho c ặ t = – 3 Trong m t ph ng t a đ ọ ộ Oxy, cho hai đ ẳ d sao cho đ ườ
ng th ng i đi m ng th ng
ẳ ườ ng th ng Δ:
ẳ
ẳ ON c t đ ắ ườ x – y – 4 = 0 và d: 2x – y –
ể M
Δ t ng th ng
ẳ ạ V y, ậ M(2; – 4) ho c ặ M(– 3; 1)
KH I B – 2011:
ặ
Ố
2 = 0. T.m t a đ đi m
ọ ộ ể N thu c đ
ộ ườ
th a m.n OM.ON = 8. ỏ Gi iả
N(a; 2a – 2), M(b; b – 4). ọ ộ ạ
ẳ ộ ườ ộ 2 2
2
(5a - 8a + 4) = 4(a - 2) . ng th ng, khi và ch khi:
=�
b N thu c ộ d, M thu c ộ Δ có t a đ d ng:
O, M, N cùng thu c m t đ
a(b – 4) = (2a – 2)b (cid:0) b(2 – a) = 4a - ỉ
a
a 4
2 (cid:0) OM.ON = 8 (cid:0) (5a2 – 6a)(5a2 – 10a + 8) = 0 = (cid:0) a 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5a2 – 6a = 0 (cid:0) = a (cid:0) N V y, ậ N(0; – 2) ho c ặ Trong m t ph ng t a đ 6
5
6 2
� �
;
� �
5 5
� �
ẳ
ặ Ố ọ ỉ ng th ng ch a phân giác trong c a góc ọ ộ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh
ng tr.nh B(– 4; 1), tr ng tâm
x – y – 1 = 0. T.m t a đ các đ nh A có ph G(1;
A và KH I D - 2011:
ẳ
ườ ứ ủ ọ ộ ươ ỉ 1) và đ
C. Gi + = - (cid:0) x 4 3( 1) iả
x (cid:0) D � � G i ọ D(x; y) là trung đi m ể AC, ta có uuur
BD uuur
GD=
3 - = - 1 3( 1) y y (cid:0) ) ( ) (
1
�
�
x A. ố ứ G i ọ E(x; y) là đi m đ i x ng c a
ể
Ta có EB vuông góc v i ớ d và trung đi m ể I c a ủ EB thu c ộ d nên t a đ 7
� �
;1
� �
2
� �
ủ B qua phân giác trong d: x – y – 1 = 0 c a góc
ủ
ệ ọ ộ E là nghi m c a h :
ủ ệ + + - = x 4 1) 0 y + + = (cid:0) (cid:0) 3 0 - E 2; 5 - � � � 4 1(
+
y - 1
- = - x
�
x y
- =
y 7 0 (cid:0) 1 0 (cid:0) (cid:0) Trang 20 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ 2
Đ ng th ng 2
AC đi qua D và E, có ph ng tr.nh: 4 x – y – 13 = 0. ườ ẳ ươ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ Ẳ Ặ NG TRÌNH Đ
x ƯỜ
- =
y ( ) ( )
3; 1 NG TH NG – Đ
Ẳ
1 0
=
13 0 - (cid:0) - (cid:0) A 4;3 C � � � T a đ ọ ộ A(x; y) th a m.n h ỏ ệ - - 4 x y (cid:0) Trong m t ph ng t a đ d1 3 x ộ Oxy, cho hai đ ẳ ặ ọ ườ ng th ng
ẳ i hai đi m 3 x y- = 0 . G i (ọ T) là đ ườ ng tr.n ti p xúc v i
ế ớ d1 t i ạ A, c t ắ d2 t ạ y+ = và d2:
0
ể B và C sao cho tam giác ABC ( ) 2 2 2 2 (
+ - ( 2
1 . )
1 O O vuông t t ph ng tr.nh c a ( t tam giác i ạ B. Vi ế ươ ủ T), bi ế ABC có di n tích b ng
ệ ằ và đi m ể A có hoành độ 3
2 d ng. 0 ươ Gi iả d1 và d2 c t nhau t ắ ạ O
i - = = c
os d d
;
1 Ta có 1
2 + 3 3 o o o 2 = = và tam giácOAB vuông t 3. 3 1.1
)
(
)
i ạ B, do đó ﾷ AOB 60 ﾷ
BAC 60 � ( ( ) )
.sin 60 . ABC 2 = = = Ta có: S AB AC
. .sin 60 . OA OA .tan 60 OA
. D 3
4 3 3
8 1
2 ABC 2 2 = = Mà S OA � D 3
2 4
3 (cid:0) 3 x + =
y 0 (cid:0) - (cid:0) A ; 1 � T a đ ọ ộ A(x; y) v i ớ x > 0, th a m.n h : ệ ỏ + = x y (cid:0) 1
�
�
3
� �
�
� (cid:0) 4
3 - - Đ ng th ng ng tr.nh: x
3 y
3 =
4 0. ườ ẳ AC đi qua A và vuông góc v i ớ d2, suy ra AC có ph ươ (cid:0) (cid:0) 3 x - =
y 0 (cid:0) T a đ ệ
ọ ộ C(x; y) th a m.n h : ỏ - - (cid:0) �-
; 2
�
� x
3 y
3 =
4 0. (cid:0) - I ; Đ ng tr.n ( T) có đ ng kính và bán kính IA = 1 ườ ườ AC, suy ra tâm c a (ủ T) là 3
2 -�
2
C
� �
3
�
-�
1
�
2 3
� �
�
� + = 1 Ph ng tr.nh ( T): ươ 1
2 3 �
x
�
� 2
2
3
� � �
+
+
y
� �
�
2
� �
�
ẳ
ặ
ng trình là
ươ
ỉ ( ng trình đ t ph . Vi ạ
ng th ng Bc bi ươ ế i A có đ nh C(-
ỉ
ế
t ẳ 5 0
ng. ệ ằ KHÔI B – 2010: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác Abc vuông t
ộ
ọ
y+ - =
d x
:
4;1), phân giác trong góc A có ph
ườ
di n tích tam giác ABC b ng 24 và đ nh A có hoành đ d
ộ ươ
iả
Gi ọ ố ứ )' : 5 0 CC y- + = 5 0 x G i C’ đ i x ng (C) qua (d)
Suy ra CC’ qua C và vuông góc v i đ ớ ườ ( ) ) y+ - =
5 0 0 H 0;5 � � H là giao đi m c a CC’ và d nên t a đ H th a
ỏ ọ ộ ủ ể = :
d x
- + =
y
+ =
y 5 x 5 ng th ng
ẳ
x
�
�
� �
=
x
�
�
y
� (
' 4;9 C(cid:0) H là trung đi m CC’ ể ' = AC = 8 � ACC' vuông cân t i A ạ (
A a - : + - =
y 5 0 ;5 CC
2
)
a A d x
� � Mà v i a>0 ớ 2 2 2
= ( ) ( ) = (cid:0) 4 = + + =
2 - AC 64 a 4 a 4 64 a 16 � � � (cid:0) Ta có a
= - a 4( loai ) (cid:0) ( )4;1 (cid:0) A )4;B
(
b Trang 21 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ (cid:0) Ph ươ ng trình c a AC’: x=4
ủ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ Ặ Ẳ ƯỜ ABC (
0;
(
= - NG TRÌNH Đ
uuur
=
AB
uuur
AC NG TH NG – Đ
Ẳ
)
1
)
8;0
= (cid:0) - (cid:0) b = (cid:0) 24 S D Theo gi thi t ả ế (cid:0) (cid:0) ( )
=
1 (cid:0) b 7 - - 8 b 24 - =
b 1 6 � � � (cid:0) = b 5 1
2 (cid:0) - BC x
: 3 +
y 4 =
16 0 B � *b=7 (
( )4;7
4; 5 - �
) B � ằ ớ 2 ạ
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có đ nh A(3;-7), tr c tâm là lo i vì B,C n m cùng phía v i d.
ẳ ặ ộ ọ H(3;-1). Tâm đ ng tròn ngo i ti p là I(-2;0). Xác đ nh t a đ đ nh C bi ỉ
t C có hoành đ d ự
ng. *b=5
KH I D - 2010:
Ố
ườ ạ ế ị ế ộ ươ Gi ( ) 2 + + = x 2 y 74 ọ ộ ỉ
iả
ng tr.nh: ABC có ph ươ ạ ế 2 2 ườ
ươ ng tr.nh ươ + + + + = BC có d ng là
ạ
) 2
(
x 2 y = a (a ≠ − 7, do BC không đi qua A).
+
2
a =
70 0 74 a 4 x x � ng tr.nh: (1) ươ ỏ ệ ng tr.nh (1) có hai nghi m phân bi
a < t, trong đó có ít nh t
ấ
70 ng khi và ch khi: Đ ng tr.n ngo i ti p tam giác
ng trình AH là x=3.
Ph
và BC vuông AH, suy ra ph
Do đó hoành đ ộ B, C th a m.n ph
Ph
ươ
m t nghi m d
ộ ệ
ỉ ươ ệ 2
a a
; 2
a a
; - - - - B 2 74 C - +
2 74 2 2 Do C có hoành đ d ng, nên và ộ ươ ) ( ) + + - - - - - 74 a 5 74 +
a 5 a 7 =
1 a 0 Do Ac vuông góc BH nên ( 2 = - (cid:0) a loai ) + - =
21 0 a � (cid:0) 7(
= 3 a (cid:0) ) - 2 65;3 Suy ra D D ườ ế ể ọ là đ
ặ ẳ
ọ ậ ộ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có đi m I (6, 2) là giao
ng th ng AB và trung đi m E c a canh Cd ủ
ể
ể ủ t ph ng th ng AB.
ẳ ươ ng trình đ
Gi 4
a
(
C -
cho đi m A(0;2) và
ng th ng đi qua O. G i H là hình chi u vuông góc c a A lên
ữ
ẳ
KH I A - 2009:
ng chéo Ac và BD. Đi m M (1; 5) thu c đ
đi m c a 2 đ
ể
ườ
ủ
ể
ẳ
ộ ườ
ẳ D
: x + y – 5 = 0. Vi
ng th ng
thu c đ
ườ
ế
ộ ườ
iả I N E
y N E ) ủ ủ ể = (cid:0) Ta có I (6; 2); M (1; 5)
E D� : x + y – 5 = 0 (cid:0) E(m; 5 – m);
G i N là trung đi m c a đo n AB.
ạ
ể
ọ
Khi đó I là trung đi m c a NE
+
x 2 x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) N (12 – m; m – 1) + y (cid:0) =
( 11 – m; m – 6 ) )
m – 6; 5 – m – 2 = y
2
I
uuuur
MN =�
uur
(
IE = � Ta có MN vuông góc v i IE nên ớ 0 (cid:0) ) (
m – 6; 3 – m
uuuur uur
MN IE =
.
(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0
(
m
0 ) (
6 14 2 - - =
m )5;0 (
nên pt AB là y = 5
nên pt AB x – 1 – 4(y – 5) = 0 (cid:0) �
(cid:0) m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 (cid:0) x – 4y + 19 = 0. Trang 22 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ m = 6 hay m = 7
uuuur
MN =�
ớ
)4;1
(
ng th ng AB có 2 ph *m = 7
V y đ ng trình là y = 5 và x – 4y + 19 = 0. * V i m = 6
uuuur
MN =�
ẳ ậ ườ ươ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ Ẳ ) 2
+ =
2 - 2 y x NG TRÒN TRONG M T PH NG
.n (C) ( 1 2 Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ng tr ớ ệ ạ ộ ặ ẳ ườ 4
5 D D : x – 7y = 0. Xác đ nh to đ tâm K và tính bán kính c a đ ng tr.n đ ạ ộ ủ ườ ị ườ ng th ng :
ẳ và hai
)
(
1C ( 1 2 D D bi ng tròn , và tâm K thu c đ t đ
ế ườ x – y = 0,
)
1C ti p xúc
ế 1 2 - - x = (cid:0) D D Ph ng tr.nh 2 phân giác ( , ): ươ ( ( )
= ) (
� ) (
x 2 2 2
+ - = - (cid:0) y 2 ( ) x d
1 - - (cid:0) 7 y x (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) 5 x y x 7 y � (cid:0) - - = y
2
)
=
y
)
= - x
( 5
( ng tròn ©.
ộ ườ
Gi
iả
y
x
7
5 2
)
y 7 y x 5 y x d
( ) (cid:0) (cid:0) 1
2 ) ( )
2
=
x 2 2
+ - - x 2 2 25 x +
20 x =
16 0 � Ph ươ ng trình hoành đ giao đi m c a d
ộ ể ủ 1 và ©: ( 4
5 Ph ng trình vô nghi m ươ ệ ) 2
x
� �
=
� �
2
� � - - Ph x 2 25 x +
80
x =
64 0 ươ ng trình hoành đ giao đi m c a d
ộ ể ủ 2 và ©: ( � 4
5 x K 8
= (cid:0)
5 = V y ậ ; R d K 8 4
� �
;
� �
5 5
� �
)
(
D =
1 2 2
5 ặ ộ t có ph ng tr ươ ượ ẳ
ế
0= 0= Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung đi m
ể
ình là
ng cao qua đ nh A l n l
ỉ
ng tr .Vi ầ
ng th ng AC
ẳ
. ớ ệ ọ
ườ
ươ ườ ế ình đ
GI IẢ – 2y – 3 = 0 ườ ng trung tuy n AD : 7x
ế ng cao AH : 6x
ọ ườ
=
A AH AD A =� G i đ
Ta có � ể )
(cid:0) BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 (cid:0) M là trung đi m AB
BC qua B và vuông góc v i AH x + 6y + 9 = 0 D = ��
D BC AD (cid:0) ) 2 2 - – y – 4 = 0 và đ
)1; 2
(
(
B 3; 2-
ớ
-� �
3
0;
� �
2
� �
C (- 3; - 1)
uuur
(
AC = - 4; 3 D là trung đi m BC
ể
AC qua A (1; 2) có VTCP nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 (cid:0) 3x – 4y + 5 = 0 + + + y x 4 4 y ộ D - ặ
3 0 + = và
6 0
ng tròn (C). Tìm m đ ủ ườ ể D :
ể đ
ườ
c tẳ (C) t IAB l n nh t
ấ
ớ ệ 2 2 + + + y y 4 R = 2
IAB, ta có + = có tâm là I (-2; -2); bán kính
ủ D
ng cao c a t A, B. G i IH là đ
ọ 6 0
ệ ườ x
c tắ (C) t
IA IB
.
.sin 4
x
i 2 đi m phân bi
ể
=
AIB
sin ạ
AIB D 2 Trang 23 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ = = ệ ấ ớ ỉ sin AIB 1 ﾷ
AIB 90 � ��tam giác IAB vuông t ng tròn (C) :
đ
ườ
ả ử D
s
Gi
=
IABS
Do đó di n tích tam giác IAB l n nh t khi và ch khi
i Iạ - 1 4 = = IH = 1 � 1 � (th a IH BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ẳ Ặ NG TRÌNH Đ
m 2 = (cid:0) 0 (cid:0) - 15 m =
m 8 0 � � (cid:0) = m (cid:0) KH I B – 2009: 8
5
ặ D à C ,bi Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC cân t
ộ ườ ớ ệ ạ ộ
ạ
: x – y – 4 = 0. Xác đ nh to đ các đi m B v
ị ẳ
ng th ng
ẳ ạ ộ -
i A có đ nh A(
ệ
t di n ỉ
ế ể Ố
1;4) và các đ nh B, C thu c đ
ỉ
tích tam giác ABC b ng 18. ằ Gi iả - - - 1 4 4 = = AH Ta có 2 9
2 ABC ( ) = = = = S AH BC
. 18 BC 4 2 � D Mà 36
AH 1
2 Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0 (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0) H T a đ đi m H là nghi m h
ệ ọ ộ ể ệ - =
y
+ =
y x 3 (cid:0) -� �
1
7
;
� �
2 2
� � 2 2 2 B m m -
, 4 T a đ đi m
ọ ộ ể 2
+ 2
�
=
�
� 2
7
� �
=
� �
2
� � = = - - HB HB 8 m 8 m 4 � � � � BC
4 1
2 7
� � �
- +
m
4
� � �
2
� � � (cid:0) = m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = m (cid:0) (cid:0) ho c ặ - - ; B C ; V y ậ 3
5
;
2 2 3
5
;
2 2 11
2
3
2
11 3
� � � �
C
;
� � � �
2 2
� � � � 11 3
� � � �
B
;
� � � �
2 2
� � � � ( ) 2
+
1 =
2 - x y 1 KH I D – 2009: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ ng tròn (C) . G i I là tâm Ố ặ ẳ ọ ườ ọ ( ) 2
+
1 c a © . xác đ nh đi m M thu c © sao cho (C)
ủ ể ộ ị ộ
ﾷ
IMO = 30O
Gi iả =
2 - x y 1 ng tròn (C) O cho đ
ta có ﾷ ườ
IMO = 30O . Tâm I (1; 0); R = 1
ﾷ
MOI = 30O � = (cid:0) tan 30 k = (cid:0) Suy ra Om có h s góc ệ ố suy ra tam giác IOM cân t
i Iạ
1
3 2 2
x
= (cid:0)
0
3 = (cid:0) y x Suy ra ph ng trình OM là ươ 1
3 = (cid:0) x 0( ) (cid:0) - x +
x 2 Thay vào ph ng trình đ ng tròn © ta có ươ ườ (cid:0) = x (cid:0) loai
3
2 M V y ậ 3
2 ( ( ) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC cân t ộ ọ ạ ỉ ng trình x + y – i A và có đ nh
4 = 0. Tìm t a đ các ươ ọ ộ ẳ
ủ ạ
ng cao đi qua đ nh C c a tam giác đã cho �
�
3
(cid:0)�
;
�
�
�
2
�
�
KH I A – 2010:
ể
ẳ
ườ
t E(1;-3) n m trên đ
ằ
ế A(6;6).đ
đ nh B và C , bi
ỉ Ố
ặ
ng th ng đi qua trung đi m c a c nh AB và AC có ph
ườ ủ iả G i ọ H là trung đi m c a ể (cid:0) 4 0 x - - ỉ
Gi
ủ BC, D là trung đi m ể AH, ta có AH vuông góc BC
) (cid:0) D 2; 2 H 2; 2 � � Do đó t a đ ệ
ọ ộ D(x; y) th a m.n h : ỏ + - =
y
- =
y x 0 (cid:0) BC đi qua H và song song d, suy ra BC có ph ngươ ườ BC: x + y + 4 = 0 và B, C đ i x ng nhau qua ng th ng
ẳ ố ứ H(− 2; − 2), do đó
Trang 24 Đ ng th ng
ẳ
tr.nh: x + y + 4 = 0.
Đi m ể B, C thu c đ
NGUY N TH ÁNH H NG
Ị
Ễ ộ ườ
Ồ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ế Ậ ƯỜ ƯỜ Ặ Ẳ BÀI TOÁN THI T L P PH
ạ
ằ
t
) NG TH NG – Đ
NG TRÌNH Đ
Ẳ
B(t; − 4 − t), C(− 4 − t; t).
ng cao đi qua đ nh
ỉ C c a tam giác
=
)( 3
t
0 ƯƠ
t a đ
ọ ộ B, C có d ng:
Đi m ể E(1; −3) n m trên đ
+
6)(5
� ABC, suy ra: ườ ủ uuur uuur
AB CE =
. 0 + - - - - - t
) t
( 2 (cid:0) + = t
2 t
12 0 � ( 10
=
t
0
� (cid:0) = -
t 6 (cid:0) 2 2 ( c:
Ta đ
KH I D - 2010 : Trong m t ph ng t a đ ượ B(0; − 4), C(− 4; 0) ho c ặ B(− 6; 2), C(2; − 6).
Ố ọ ng tr.nh đ ộ Oxy, cho đi m ể A(0; 2) và Δ là đ
ng th ng Δ, bi
t ph
ế ườ ẳ ườ
ế ng th ng đi qua
O.
ẳ
ừ H
t kho ng cách t
ả ươ AH. ặ
ẳ
G i ọ H là h.nh chi u vuông góc c a
ủ A trên Δ. Vi
ế
đ n tr c hoành b ng
ằ
ế ụ iả = + - Gi
) 2 AH a b 2 2 b |, 2 = - ọ ọ ộ H là (a; b), ta có:
ừ H đ n tr c hoành là |
ụ
( ế
) 2
2 b a G i t a đ
và kho ng cácht
ả
+
2
b
suy ra: (
b+ ) 2
=
1 2 - a 1 Do H thu c đ ng tr.n đ ng kính OA, nên ộ ườ ườ (cid:0) - (cid:0) T đó, ta có: ừ a
2 + =
b
4
2 + - a 4 0
=
b
2 0 b (cid:0) - - - - H 2 5 2; 5 1 2 Suy ra: )
5 1 - - - - - +
x 2 5 2 =
y 0 5 2; 5 1
)
5 1 2 x =
5 2 y 0 V y ph ng tr.nh đ ng th ng ậ ươ ườ ho c ặ ( B KH I B – 2011: Trong m t ph ng t a đ ườ Ố ọ ộ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh ặ ẳ ỉ 1
2 .Đ ng tr.n n i
ộ
)3;1D
( và ạ ớ ạ ABC ti p xúc v i các c nh
ế
ng tr.nh
EF có ph ng ng t
ứ
A, bi � �
;1
� �
� �
ể D, E, F. Cho
ng.
ộ ươ ti p tam giác
ế
ng th ng
đ
ẳ
ườ ươ i các đi m
t ế A có tung đ d BC, CA, AB t
ọ ộ ỉ
Gi ươ
y – 3 = 0. T.m t a đ đ nh
iả = (cid:0) uuur
BD BD // EF (cid:0) tam giác ABC cân t i ạ A; (cid:0) ng tr.nh: x – 3 = 0. đ ươ ườ AD vuông góc v i ớ EF, có ph
F(t; 3), ta có: BF = BD (cid:0) =
2 2 t = – 1 ho c ặ t = 2. 5
� �
;0
� �
2
� �
ng th ng
ẳ
F có t a đ d ng
ọ ộ ạ
2
1
� �-
+
t
� � �
2
� �
• t = – 1 (cid:0) 25
4
F(– 1; 3); suy ra đ BF có ph ng tr.nh: 4 x + 3y – 5 = 0. ườ ươ (cid:0) A A là giao đi m c a không th a m.n yêu c u ( ng). ủ AD và BF ầ A có tung đ d ộ ươ ỏ ể
• t = 2 (cid:0) F(2; 3); suy ra ph ng tr.nh ươ (cid:0) A A là giao đi m c a th a mãn yêu c u. ủ AD và BF ể ỏ ầ ng th ng
ẳ
-� �
7
3;
� �
3
� �
BF: 4x – 3y + 1 = 0.
13
� �
3;
� �
3
� � A V y ậ 13
� �
3;
� �
3
� � Trong m t ph ng to đ ườ t ph ng tr.nh đ KH I D – 2011:
ế ươ ẳ
ặ
ng th ng
ẳ
ườ ạ ộ Oxy, cho đi m ể A(1; 0) và đ
i hai đi m
Δ c t (ắ C) t C): x2 + y2 – 2x +
ng tr.n (
ể M và N sao cho tam giác AMN vuông ạ Ố
4y – 5 = 0. Vi
i ạ A.
cân t ườ 10 Gi
iả
R = ng tr.nh Δ có d ng: y = m. ươ ạ ng tr.nh ệ Trang 25 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ Đ ng tr.n (
C) có tâm I(1; – 2), bán kính b ng ằ
Ta có: IM = IN và AM = AN (cid:0) AI vuông góc MN; suy ra ph
Hoành đ ộ M, N là nghi m ph
ươ
x2 – 2x + m2 + 4m – 5 = 0 (1).
t
(1) có hai nghi m phân bi
ệ ệ x1 và x2, khi và ch khi: ỉ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG NG TRÌNH Đ ƯỜ Ặ Ẳ Ế Ậ ƯỜ ƯƠ 2 ( )
– 1 (cid:0) = + = – 1) 0 m 0 ( x1x2 – (x1 + x2) + m2 + 1 = 0. x
2 NG TH NG – Đ
Ẳ
m2 + 4m – 6 < 0 (*); khi đó ta có: M(x1; m) và N(x2; m).
AM vuông góc AN
uuuur uuur
AM AN
.
x
�
�
1
Áp d ng đ nh l. Viét đ i v i (1), suy ra: 2
ố ớ
m = 1 ho c ặ m = – 3, th a m.n (*).
ỏ m2 + 4m – 6 = 0 ụ ị (cid:0) V y, ph ng tr.nh Δ: ậ ươ y = 1 ho c ặ y = – 3. Bài 1: Trong mp Oxy l p ph ươ ậ t đ
ế ườ ể
ng th ng đi qua đi m ẳ ụ ọ ộ ữ ẳ ắ ằ Gi iả ng trình đ ng th ng đi qua M(1;3) c t tia Ox t i A( a;0),c t tia Oy t i B(0;b), a,b>0 là: ươ ườ ẳ ắ ạ ắ ạ + = = (cid:0) 1 � Ph
3
+ =
b 1
a 1; a b x
a y
b C1: . C2: d qua M có hsg k: y = k(x – 1) + 3, k (cid:0) 0, tìm d giao Ox, Oy = (cid:0)
D d d ' PTĐT là: ( x + y – 4 = 0 và x – y + 2 = 0)
Bài 2: : Cho tam giác ABC có B(3; 5), đ t có ph ng trình ầ ượ ế ươ d: 2x - 5y + 3 = 0 và d’: x + y - 5 = 0. Tìm t a đ đ nh A và vi ng trình c nh AC t ph ườ
ọ ộ ỉ ng cao AH và trung tuy n CM l n l
ươ ế ạ Gi iả (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) + =
y 3 0 D ( ) � � G i ọ nên t a đ c a D là nghi m c a h
ủ ệ ọ ộ ủ ệ 2
�
x 5
x
+ - =
y 5 0 22 13
;
7
7 (cid:0) (cid:0) = x
�
y (cid:0) (cid:0) 22
7
13
7 1 là: x + y – 8 = 0. ng th ng qua B và song song v i d’ nên ph ng trình d Goi d1 là đ ườ ẳ ớ ươ = (cid:0)
E d ) E ( nên .Vì d’ là đ ng trung tuy n qua C nên D là trung đi m AE suy ra G i ọ ườ ế ể d
1 33 19
;
7
7 A (1;1) ^ c v i d nên ph ng trình c nh BC là 5x + 2y – 25 = 0Suy ra Ta có c nh BC
ạ ươ ạ - - = ớ
uuur
(
AC ) C ( BC ) C ( ) d
'
��� 35 50
;
3
3 (cid:0) 38 47
;
3
3
= -
t
1 38 x (cid:0) V y ph ậ ươ ng trình c nh AC là
ạ = + t y (cid:0) 0 ti p xúc v i (C) t 0 suy ra tam giác MAB vuông cân và tam ẳ 1 47
ườ
M t o v i ( . Hai ti p tuy n qua ể
t ph i ế ng tròn (C) tâm
ớ d) m t góc 45
ộ I(-1; 1), bán kính R=1, M là m t đi m trên
ươ
ng ộ
ạ A, B. Vi ế ế ớ AB ( ) :
x
d
trình đ Bài 3: Trong m t ph ng Oxy cho đ
ặ
y- + =
ạ
ế
ườ 2 0
ng th ng
ẳ iả (cid:0) d
( ) D th y
ễ ấ ế Gi
ớ d) m t góc 45
ộ 2 . Hai ti p tuy n h p v i (
ế
IM = ợ
.
2 = (cid:0) 0 = + + M d
( ) IM 2 2 a + =
1 2 � � (cid:0) M
(
� � a; a+2), , . I
giác IAM cũng vuông cân . Suy ra:
uuur
=
IM a 1) 1; a ( a
= - a 2 (cid:0) 2 4 + - x M1(0; 2) và M2 (-2; 0).
y + =
y 3 0 . ườ 2 2 2 1) nên AB:
1 0
.
+
+
2 ỏ
M1 bán kinh R1=1 là (C1):
ủ + ể
+
2 +
2 - - y 4 + =
3
y +
2
y 2 1 x y x Suy ra có 2 đi m th a mãn:
ể
+ Đ ng tròn tâm
Khi đó AB đi qua giao đi m c a (C ) và (C
+ - =�
x
y
x
x y 4 x + = .
3 0 ườ 2 2 2 M2 bán kinh R2=1 là (C2):
ủ ể
+
2 + + - + =
3 1 y x � Trang 26 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ x .
1 0 x và y+ + = .
1 0 + Đ ng tròn tâm
Khi đó AB đi qua giao đi m c a (C ) và (C
2) nên AB:
+ + =
+
+
x
y
y
x
x
4
y
2
1 0
y+ - =
+ KL: V y có hai đ
ng th ng th a mãn:
ỏ
ườ
ậ x
2
ẳ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ế Ậ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ BÀI TOÁN THI T L P PH
ƯƠ
ặ Ẳ
I(2;3) , có m t c nh n m
ằ
ộ ạ D - ( NG TRÌNH Đ
ộ
ẳ
ọ
- =
) : x 2y 1 0
. Vi
ế ng trình các c nh c a hình vuông đó trên đ ng th ng
ẳ ươ ườ ủ ạ Gi iả I = - - (d) : y ng chéo (d) c a hình vuông
ủ
- + -
kx y 3 2k 0 ủ ườ
� (
tan (d);( )
D =
) )
D =
) - - - p = = - � k 3 � =
k
� Ta có: 1 2k
+
2 k 1 2k
+
2 k 4 1
3 �
(
ﾷ
do (d);(
1
� �
� �
�
� G i k là h s góc c a đ
ệ ố
ọ
=
k(x x ) y
�
I
1
2
+ 1 k
=
k 2(d ) : 3x y 3 0 1(d ) : x 3y 11 0
- =
x 2y 1 0
5 - = + = - - V y ph ng trình hai đ và ậ ươ 1
2
ng chéo c a hình vuông là:
ườ ủ - IM ) M(5;2) � � G i ọ M ( = D �� t a đ đi m M th a h :
ỏ ệ
ọ ộ ể + = - x 3y 11 0 2 �
�
� =
x
�
�
=
y
� N )D ( ể
ng trình các c nh c a hình vuông là: P( 1;1)
ủ -�
ạ ậ - = - 045 ^ D P ) I ^ D M - I là trung đi m MP
V y ph
ươ
(MQ) : x 2y 1 0
=
+ -
(MN) : 2x y 12
+ - =
(PQ) : 2x y 2
+ =
(MQ) : x 2y 9 0
0 )D
(chính là (
)
(
0 (
)
i M
t
ạ
)
(
(qua P và
)D
(qua P và // ( )
) + P a ( ;0); Q b a
(0; ), b>
0, 0. ng trình đ ươ ườ ẳ Q ạ ộ xy cho đi m A(3; 1). L p ph
ể
i P, Q sao cho di n tích tam giác OPQ nh nh t. t Bài 5 Trong m t ph ng to đ O
ặ
ng cac tr c toa đô O
ụ
ề ươ ng th ng d qua A và
ấ ̣ x, Oy th t ứ ự ạ ậ
ệ ẳ
ỏ c t chi u d
ắ ́ ̣ Gi = .
1 x
a y
b T gt ta co iả
> * d co pt: ừ ́ ́ 1 1 2. (cid:0) = + . Dâu băng xay ra khi va chi khi
ab 2. 3 3
a 1
b 3
ab (cid:0) d qua A(3; 1) nên ́ ̀ ̉ ̀ ̉ =
= a
b 6
2 3
a 1
= (cid:0)
b = (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 6 = SD S a b
. . 3 OPQ 3= OPQ = b 2 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) . Nên nho nhât ( ) khi va chi khi Co ́ ̉ ́ ̀ ̉ D (cid:0) 1 1
2
x
6 y+
2 Vây d co pt: ̣ ́ ạ ươ = - - 2 2 0 y . Đi m M(2;1) thu c đ B là: x
C. Vi Bài 6: Cho tam giác ABC cân, c nh đáy BC có ph
ộ ườ ng trình
ươ
ng cao v t
ẽ ừ ể 01 =++ y
t ph
ế . Ph
ươ ườ
ng
ng trình đ
ng trình các c nh bên
ạ x
cao v t
ẽ ừ
c a tam giác ABC
ủ t là chân đ ọ ầ ượ ẻ ừ BC iả
Gi
B, C.
, suy ra Trang 27 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ ươ
; -1) và
ạ 3 = x * G i D, E l n l
Ta có to đ đi m B(0
ạ ộ ể
K MN // BC c t BD t
ắ
ẻ
ng trình đ
* Ph ươ ườ (cid:246) (cid:230) - = ˙ (cid:247) (cid:231) N ; x - y 0 N MN BD NC ^ BC nên nên pt là . Do ł Ł ng cao k t
)2;2=
(
MB ^
BM
i N thì BCNM là hình ch nh t.
ữ ậ
-+ y
0
ẳ
8
3 ng th ng MN là:
1
3 7 =
3 =++ (cid:236) x y (cid:239) (cid:246) (cid:230) - (cid:222) (cid:247) (cid:231) (cid:237) C ; * To đ C là nghi m c a hpt: ạ ộ ủ ệ = - - x y 0 ł Ł 2
3 5
3 (cid:239) (cid:238) 01
7
3 (cid:246) (cid:230) = (cid:247) (cid:231) CM x + y
2 =+
2 0 ; , nên ph ng trình AB là: To đ vect
ạ ộ ơ ươ ł Ł 4
3 8
3 NG TRÒN TRONG M T PH NG ƯỜ Ặ Ẳ Ế NG TRÌNH Đ
ƯỜ
ng c a BN là vect NG TH NG – Đ
Ẳ
ơ BÀI TOÁN THI T L P PH
Ậ
ƯƠ
* M t vect
ch ph
ơ ỉ ươ
ộ
=+
01 A M N D E B C pháp tuy n c a AC, nên ph ủ ế ủ ươ ng trình c nh AC là:
ạ + y
3 6 x (
A ;
có
- + =
y )0 5
1 0 D Bài 7: Trong m t ph ng ặ ấ
ng phân giác và trung tuy n xu t ế - ườ
=
y
2 .
0 t là ng trình l n l Vi t ph đ nh B có ph ầ ượ ế ươ ủ
ng trình ba c nh c a ạ ươ ẳ Oxy cho ABC
d : x
1 . Các đ
,d : x
2 phát t
ừ ỉ
tam giác ABC. (
A ;
có
- + =
y )0 5
1 0 D ng phân giác và trung tuy n xu t phát t ế ấ ừ Trong m t ph ng
ặ - .
0 Vi t ph t là ng trình l n l B có ph ế ươ ng trình ba c nh c a tam
ạ ủ ầ ượ ươ ẳ Oxy cho ABC
d : x
1 Gi
i:ả
. Các đ
ườ
=
2
y
,d : x
2 ( )
;
2 1 đ nh
ỉ
giác ABC - - B y � Ta có =
B d
1 d
��
2 (cid:0) - + =
3
AB : x
(
)
(
H ; 2 3 , A' .
5 0
)
;
4 1 . - d
ớ A qua
1
- =
y
3 - BC : x
) G i ọ A' đ i x ng v i
ố ứ
A' BC
� �
Ta có
(
;
28 9 C 1 0
.
+
y 7 AC : x =
35 0
. � c ượ Tìm đ
Bài 8: Trong m t ph ng to đ Oxy. Cho tam giác ABC cân t ằ - đ 2 2 x ặ
y- ẳ
=
2 2 ườ ng th ng d:
ẳ i A có chu vi b ng 16, A,B thu c
ộ
ạ ộ
ạ
và B, C thu c tr c Ox . Xác đ nh to đ tr ng tâm c a tam giác ABC.
0
ủ
ạ ộ ọ ụ ộ ị Gi iả d (cid:0) H(t;0) . H là trung đi m c a BC. * B = d (cid:0) Ox = (1;0)
G i A = (t;2
ọ
H là hình chi u c a A trên Ox ủ ể 2 t - 2 2 ) (cid:0)
ế ủ +
2 - - 3|t - 1| =
2
2 2) t ( 1) (cid:0) * Ta có: BH = |t - 1|; AB =
D ABC cân t i A ạ * (cid:0) 16 = 8|t - 1| (cid:0) t
(2 2
chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1|
=(cid:0)
3
t
(cid:0) = -
t 1 (cid:0) (cid:0) G( 3 ; ) * V i t = 3
ớ A(3;4 2 ), B(1;0), C(5;0) (cid:0) 4 2
3 - (cid:0) V i t = -1 ; ) G( 1- ớ A(-1;-4 2 ), B(1;0), C(-3;0) (cid:0) + P a ( ;0); Q b a
(0; ), b>
0, 0. ng trình đ ạ ộ xy cho đi m A(3; 1). L p ph
ể ườ ẳ t 4 2
3
ậ
ệ Bài 9: Trong m t ph ng to đ O
ặ
ng cac tr c toa đô O
ụ
ề ươ ̣ x, Oy th t ng th ng d qua A và
ươ
i P, Q sao cho di n tích tam giác OPQ nh nh t
ấ ẳ
ỏ ứ ự ạ c t chi u d
ắ ́ ̣ Gi = .
1 x
a y
b T gt ta co iả
> * d co pt: ừ ́ ́ 1 1 2. (cid:0) = + . Dâu băng xay ra khi va chi khi
ab 2. 3 3
a 1
b 3
ab (cid:0) d qua A(3; 1) nên ́ ̀ ̉ ̀ ̉ =
= a
b 6
2 3
a 1
= (cid:0)
b = (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 6 = SD S a b
. . 3 OPQ 3= OPQ = b 2 1
2 Trang 28 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ (cid:0) (cid:0) (cid:0) . Nên nho nhât ( ) khi va chi khi Co ́ ̉ ́ ̀ ̉ D (cid:0) NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ế Ậ ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ Ẳ = 1 BÀI TOÁN THI T L P PH
y+
2 x
6 )2;1M
( Vây d co pt: ̣ ́ ng trình đ Bài 10: Trong m t ph ng t a đ (
ặ ẳ ươ ườ ng th ng qua
ẳ và t oạ ậ
4 . v i các tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng
ớ ụ ọ ộ ộ ọ ộ Oxy). L p ph
ằ
ệ Gi iả ( (
A a )
;0 , G i d là ĐT c n tìm và )
b là giao đi m c a d v i Ox, Oy, suy ra: thi t, ta có: ầ ọ ủ ể ớ ế + 0; B = . Theo gi
ả d : 1 x
a y
b 1, ab = .
8 2
a 1
+ =
b = + - = = 2; a 4 2 y 4 0 � . d x
:
1 b
. Ta có: ) 2 ab = thì 2
8
Khi
ab = -
8
thì 2
Khi
- =
+
2
b
b
4 0
4
= - + - 2 2 2 d b 4 0 b a+ = . Nên:
8
b a+ = -
= -�
b
� V i ớ )
- =
2
y
)
+ =
2
y 3 = - - - 2 2 2 +
2
x d b 4 0 � . V i ớ D có A(2;1) . Đ ng cao qua đ nh B có ph ng trình x- 3y ẳ ườ ỉ ươ (
+
2 1
(
2 1
ABC
ươ ABC ỉ ệ
ng trình x + y +1 = 0 . Xác đ nh t a đ B và C . Tính di n
ị ọ ộ D . - 7 = 0 .Đ ng trung tuy n qua đ nh C có ph
ườ
tích ABC iả D ng trình x- 3y - 7 = Gi
ườ ặ ươ Trong m t ph ng oxy cho
ẳ
0 .Đ ng trung tuy n qua đ nh C có ph
ế ườ ỉ ươ có A(2;1) . Đ ng cao qua đ nh B có ph
ng trình x + y +1 = 0 . Xác đ nh t a đ B và C .
ọ ộ ỉ
ị +AC qua A và vuông góc v i BH do đó có VTPT là AC có ph ng trình 3x + y - 7 = 0 (3;1) r
n = ớ ươ B B B B M B B (cid:0) AC (cid:0) + T a đ C là nghi m c a h …… (cid:0) C(4;- 5) ủ ệ ọ ộ ệ CM (cid:0) + + + + 2 x 1 2 x 1 = = + + = ; y 1 0 c + ; M thu c CM ta đ
ộ ượ x
M 2 y
2 2 + + (cid:0) y
2
x 2 1 + + = (cid:0) 1 0 (cid:0) 2 + Gi ta đ c B(-2 ;-3) i h
ả ệ ượ (cid:0) - x (cid:0) y
2
- =
7 0
B B
Tính di n tích
ệ D . 3
y
ABC (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 7 0 14
5 (cid:0) + T a đ H là nghi m c a h …. Tính đ c BH = ; ủ ệ ọ ộ ệ ượ x
�
3x - =
y
3
+ - =
y 7 0 (cid:0) (cid:0) 8 10
5 = - x
�
y (cid:0) (cid:0) 7
5 AC = 2 10 = Di n tích S = ( đvdt) ệ AC BH =
. .2 10. 16 1
2 8 10
5 Trang 29 1
2
ọ ằ - -B
)5;2(
x
y
2
3 , đ nh
ỉ
=+
6
0 4 = -x 0 G c a tam giác n m trên đ Bài 12: Trong m t ph ng t a đ
ặ
ủ ẳ
, và tr ng tâm
ọ ộ Oxy cho tam giác ABC, v i ớ
ằ ườ A
,)1;1(
ng th ng
ẳ C n m trên
. Tính di nệ Ồ Ễ đ
ng th ng
ẳ
ườ
tích tam giác ABC.
NGUY N TH ÁNH H NG
Ị BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ẳ Ặ Cy Gi
+ ++ - y
C = = = C = ;4( ) ,1 +=
2 Ta có . Khi đó t a đ . Đi m G n m trên ọ ộ G là ể ằ x
G y
G 51
3 y
C
3 - - - 2 3 y =+
6 0 62 =+
6 0 đ ườ ng th ng
ẳ iả
421
3
, v y ậ Cy
= 2 2 2 nên
-= x
)2;4(=C . Ta có , , . AB ,)4;3( )1;3( 10 AB
. -=AC 5 15
= 2
1 0 2=
Cy
5=AB
) , v y ậ
( = = - - S AB . AC AC AB
. 10.25 25 Di n tích tam giác ABC là ệ AC
1
2 , t c làứ
=AC
1
2 2 x y+ + = và phân giác trong CD: ng trung tuy n BM: ế y+ - = 1 0 ng trình đ . Vi t ph Bài 13: Cho D ABC có đ nh A(1;2), đ
x
ườ
ế ỉ
ươ ) (
C t - ;1 t ườ
ng th ng BC.
ẳ
iả
+ - =
y Gi
C CD x
: 1 0 � . Suy ra trung đi m Mể Đi mể ( ) ( (
AK x
: )
1 �
+ - t M 1 3
; c a AC là
ủ 2 2 t
�
�
� �
.
�
� Đi mể - 3 t t Từ + + = + = = - - M BM x
: 2 1 0 y 2 1 0 t 7 C 7;8 � � � � 2 ^ (cid:0) AK CD x : + - =
y i I (đi m ). +
1
� �
+
� �
2
� �
1 0
t
ạ ể K BC - - - y 1 0 Suy ra . ( )
0;1 (cid:0) x (cid:0) (cid:0) I T a đ đi m I th a h : . ọ ộ ể ỏ ệ A(1;2), k ẻ
)
- + =�
=
y
x
0
2
+ - =
y
1 0
- + =
y 1 0 x (cid:0) (
K - )1;0 (cid:0) Tam giác ACK cân t . ạ ể ủ = + + = 4 x 3 y 4 0 � Đ ng th ng BC đi qua C, K nên có ph ng trình: ườ ẳ ươ 1 = ng ặ ươ D t a đ c a
i C nên I là trung đi m c a AK
ọ ộ ủ
+
x
y
1
- +
7 1
8
ể
ng th ng (
ẳ ạ Bài 14: Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m A(2; –1) và đ
ớ ệ ọ ộ
ng trình đ
trình 2x – y + 3 = 0. L p ph
ươ ng th ng d có ph
ườ
) qua A và t o v i d m t góc α có
ớ ẳ
ộ ẳ
ậ ườ 10 cosα . 1 a = = cos 2 2 a b
+ 10 ) a 5( Gi D (cid:219) i:ả
) có d ng: a(x – 2) + b(y +1) = 0 ax + by – 2a + b = 0 PT đ ạ ườ - ng th ng (
ẳ
2 (cid:0) 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 (cid:222) b = 1; b = 7. Ta có: (cid:222) b
1): x + y – 1 = 0 và (D
ng trình đ
t ph
ườ
ng phân giác trong qua đ nh A,C l n l
ỉ 2): x + 7y + 5 = 0
ứ
ầ ượ ng th ng ch a các c nh c a tam giác ABC bi t B(2;-1) , đ (D
Bài 15: Vi
ế ươ ẳ ủ ạ ế ườ
ng cao và đ t là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 . ườ Gi iả ng th ng ch a c nh BC: ườ ứ ạ ẳ (cid:0) Ph
( ươ
BC ng trình đ
) qua B + - = (cid:0) ( BC ) : 4 x 3 y 5 0 � ^ BC (cid:0) d
1 + - = (cid:0) 4 3 5 0 (cid:0) ( 1;3) -�
C T a đ đi m C là nghi m c a h : ọ ộ ể ủ ệ ệ x
+ y
- = 5 0 y (cid:0) AC, KBC, K2 theo th t 2 Trang 30 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ ng th ng AC, BC, d 2
là h s góc c a các đ G i Kọ ứ ự ườ ẳ x
ệ ố ủ BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ Ặ Ẳ AC AC 2 AC d 2 AC NG TH NG – Đ
ƯỜ
Ẳ
3
1
- +
4
2
1 3
+
.
2 4 AC AC - - K - - 1
2 = = � K
+
1 K
BC
d
K K
.
BC K
K
d
2
+
K K
.
1
2
d - 1 1 K 1
2 Ta có: V y pt đ ng th ng AC đi ậ ườ ẳ = (cid:0) K 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - K (loai) (cid:0) (cid:0) 1
3 qua C và có h ssó góc k=0 là: y = 3 ệ ệ - (cid:0) - + T a đ đi m A là nghi m c a h :
ủ ệ
=
27 0 (cid:0) = + - = (cid:0) ( 5;3) -�
A 4 x 7 y 1 0 � Pt c nh AB là: ạ ọ ộ ể
+
y
x
4
3
- = - - y (cid:0) y
3
1 3 3 0
V y AB: 4x+7y-1=0 +
x
5
+
2 5
AC: y=3 BC: 4x+3y-5=0 ậ ạ ộ Oxy cho cho hai đ ườ 0 =+
5 x ớ ệ ụ
ươ
ậ ườ ng th ng đó c t hai đ ẳ
d1 và d2 t o ra m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a hai đ Bài 16: Trong m t ph ng v i h tr c to đ
ẳ
ng trình đ
ộ ặ
. d2: 3x +6y – 7 = 0. L p ph
ng th ng
ạ
ẳ
ắ ườ ng th ng đi qua đi m
ỉ ng th ng
ẳ
ể P( 2; -1) sao cho
ủ ể ườ
ng - y
ẳ
d1, d2. d
2:1
đ
ườ
th ng ẳ Gi - ng ng Cách 1: d1 có vect iả
; d2 có vect ch ph
ơ ỉ ươ ch ph
ơ ỉ ươ 1 = = - Ta có: nên và d1 c t dắ 2 t ể ọ ườ ng th ng đi
ẳ )1;2(a1
d ^
d
2 =+ )6;3(a2
i m t đi m I khác P. G i d là đ
+ - - a.a 2
1
qua P( 2; -1) có ph 06.13.2
ng trình: 0
ớ 1 ( ho c dặ 2) m t góc 45 ộ
+
(cid:219)=+
0BA2By
0)1y(B)2x(A:d
d c t dắ 1, d2 t o ra m t tam giác cân có đ nh I khi và ch khi d t o v i d
ạ ạ
Ax
ỉ ươ
ạ ộ ỉ ộ 2 0
45 2
B3 2 2 2
2
2B - Ø BA2 = - - (cid:219) (cid:219) cos A3 AB8 (cid:219)=
0 Π=
B3A
-= + -+ B A3 º A )1( = • N u A = 3B ta có đ ườ -+
05yx3:d
= - - ế = -+
05yx3:d ườ
ng th ng tho mãn yêu c u bài toán. ng th ng
ẳ
05y3x:d
ng th ng
ẳ
ả ẳ ầ ậ - - 05y3x:d 1 2 2 2
2 2
6 2
3 1 thì d có ph 2 thì d có ph ng th ng c n tìm, khi đó d song song v i đ ng phân giác ngoài c a đ nh là ớ ườ ẳ ủ ỉ ọ ủ ầ
ườ
ủ 1, d2 c a tam giác đã cho. ng trình ng phân giác c a góc t o b i d
ủ ở 1, d2 có ph ạ ươ + = D - + - - Ø ( 0 ) = =+ + (cid:219) - - (cid:219) 5yx23 7y6x3 Œ y9x3
+ 22
=+ D ế
* N u B = -3A ta có đ
V y qua P có hai đ
ườ
=
•
Cách 2: G i d là đ
giao đi m c a d
ể
Các đ
ườ
+
5yx2
-+ 7y6x3
+ 08y3x9
( ) º )1( =+ - D . +) N u d //
ế = - - (cid:222) 05y3x:d ươ
(cid:219)=++
0c96 =+ + D ế = (cid:222) - 0cy9x3
ng trình
-=
c
ng trình
-=
c 18 = -+
05yx3:d ng th ng tho mãn yêu c u bài toán. 15
0cy3x9
15
ả .
-+
05yx3:d
ầ ươ
(cid:219)=+
0c3
ườ ậ ẳ = - - Trang 31 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ ạ ộ ữ ậ ươ ườ ng th ng BD: x – 7y + 14 = 0, đ ẳ
ng th ng
ng trình đ
ng th ng AC đi qua M(2; 1). Tìm Do P˛ d nên
N u d //
Do P˛ d nên
V y qua P có hai đ
05y3x:d
Bài 17: Trong m t ph ng to đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có ph
ẳ ườ ườ ẳ ẳ
ặ
ng trình đ
AB: x – 2y + 1 = 0, ph
ươ
to đ các đ nh c a hình ch nh t.
ữ ậ
ủ ạ ộ ỉ Gi iả Do B là giao c a AB và BD nên to đ c a B là nghi m c a h :
ủ ệ ạ ộ ủ ủ ệ (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 2 B � � - x
�
x + =
y
+
y 1 0
=
14 0 7 (cid:0) (cid:0) 21 13
�
;
�
5
5
� �
�
� = x
�
y (cid:0) (cid:0) 21
5
13
5 BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG NG TRÌNH Đ Ậ Ế ƯƠ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ẳ Ặ ƯỜ
ữ ậ
(v i aớ 2+ b2 > 0) l n l ữ - - ạ
(1; 2); L i có: T giác ABCD là hình ch nh t nên góc gi a AC và AB b ng góc gi a AB và BD, kí hi u
ệ
ng th ng AB, BD, AC. Khi ằ
t là VTPT c a các đ ầ ượ ữ
ẳ ườ ủ uuur
n
AB uuur
n
BD ( AB AC uuur
n
AC
= ( ; )
a b
( c
os c
os đó ta có: ứ
(1; 7);
uuur uuur
)
n
n
,
BD uuur uuur
)
n
n
,
AB 2 )
4;3 ; = - (cid:0) a b (cid:0) +
2 +
2 =
2 - a =
b
2 a b 7 a +
ab b
8 0 � � � (cid:0) = - a 3
2 (cid:0) b
7 (cid:0) - V i a = - b. Ch n a = 1 b = - 1. Khi đó Ph ng trình AC: x – y – 1 = 0, ớ ọ ươ - - =
y 1 0 3 A (3; 2) � � A = AB ˙ AC nên to đ đi m A là nghi m c a h : ạ ộ ể ủ ệ ệ - + =
y 1 0 2 2 x
�
�
x
� ˙ G i I là tâm hình ch nh t thì I = AC =
x
�
�
=
y
�
BD nên to đ I là nghi m c a h :
ủ ệ ệ ữ ậ ọ (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - =
y I � � - x
�
x +
y 7 1 0
=
14 0 (cid:0) (cid:0) 7 5
� �
;
� �
2 2
� � = x
�
y (cid:0) (cid:0) ạ ộ
7
2
5
2 D Do I là trung đi m c a AC và BD nên to đ ủ ể ạ ộ (
C 14 12
�
;
�
5
5
� �
�
� ớ ạ - V i b = - 7a (lo i vì AC không c t BD)
Bài 18: Bài: Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC bi ằ
t A(1;-1), B(2;1), di n tích b ng ệ ẳ = x -+ y 4 ắ
ọ ộ
3
ng th ng d:
ẳ ặ
5,5 và tr ng tâm G thu c đ
ộ ườ ọ ế
0
. Tìm t a đ đ nh C.
ọ ộ ỉ
iả
Gi C C C C C C + (cid:222) xC
( ; y ) ) G 1( ; G i t a đ c a đi m ọ ọ ộ ủ ể . Vì G thu c dộ x
C
3 y
C
3 (cid:246) (cid:230) + -= + - - (cid:222) +(cid:247) (cid:231) 13 4 (cid:222)=
0 y 3 x (cid:222)+
3 xC
( 3; x )3 ł Ł x
C
3 y
C
3 ng ườ ch ph
ơ ỉ ươ )2;1(=AB = - - (cid:222) Đ ng th ng AB qua A và có véct
y ẳ
ptAB 2: 3 0 x C ABC C
5 C C C + - - 2 x 3 x 33 11 11 = = = = (cid:219) (cid:219) S ABCdAB (. ; ) ABCd
; ( ) D 1
2 11
2 5 5 -= Ø x 1 Œ = (cid:219) - (cid:219) 5 x 6 11 ; Œ = x Œ º 17
5 -= - (cid:222) C TH1: xC = - (cid:222) C ) ( ; TH2: . xC 1
17
5 36
5 (
= - ặ ể B thu cộ ớ ệ ạ ộ Oxy , tìm đi m ể
:2 d A thu c tr c hoành và đi m
x ộ
y- + = ụ
3 0 tr c tung sao cho . )6;1(
17
5
Bài 19: Trong m t ph ng v i h to đ
A và B đ i x ng v i nhau qua đ ẳ
ố ứ ớ ụ ườ (
A a )
;0 , (
0;
r
u = ng th ng
ẳ
Gi
iả
) A Ox B Oy
, B a b
; � � � Vect ng c a ch ph
ơ ỉ ươ ủ d là d khi và ch khi ( ( ) )
4;0 , Trang 32 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ To đ trung đi m ạ ộ ể I c a ủ AB là uuur
)
b AB
,
)1; 2
(
a b� �
;
� �
2 2
� � ố ứ ỉ A và B đ i x ng v i nhau qua (cid:0) ớ
- +
a =
b
2 0 (cid:0) (cid:0) 4 0 � � . V y ậ - - A B 0; 2 (cid:0) (cid:0) = -
a
� = -
b 2 (cid:0) �
�
a 3 0 uuur r
=�
AB u
.
�
I
d (cid:0) (cid:0) (cid:0) b
- + =
2 BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ Ẳ NG TRÒN TRONG M T PH NG
- = ( y- x 4 0 d ng trình ọ . L p ph
ậ ươ ộ Oxy), cho đ ) : 2
d). Bài 20: Trong m t ph ng t a đ (
ặ
ng tròn ti p xúc v i các tr c t a đ và có tâm đ ẳ
ụ ọ ộ ế ớ ườ ở ) ( ) (
I m m
; 2 - (cid:0) 4 d là tâm đ ầ G i ọ = - m 2 m 4 =
m 4, =
m � Ta có: 2
+ ng th ng
ẳ
ườ
trên đ
ng th ng (
ẳ
ườ
iả
Gi
ng tròn c n tìm.
ườ
4
3
2
+ - Khi: m = thì PT ĐT là . x +
y 4
3 16
9 2
� � � �
=
� � � �
� � � �
( 2 2 - - 4
3
) Khi: 4m = thì PT ĐT là ( . 4
3
)
2
=
4 4 x y 16 ( )
C x
: + + y 2 x ng tròn = . Vi
0 t ph ng trình ẳ ọ ộ Oxy, cho đ ườ ế ươ )C , bi
ế o60 . t góc gi a ti p tuy n này và tr c hoành b ng Bài 21: Trong m t ph ng t a đ
ặ
ế ủ (
ti p tuy n c a ữ ế ế ế ằ o60 (cid:0) o60 ho cặ ụ
Gi iả
h s góc c a ti p tuy n b ng tan Ti p tuy n t o v i tr c hoành m t góc
ớ ụ ế ạ ế ộ ủ ế ệ ố ế ằ tan120o = = - Do đó ti p tuy n có d ng (d) y x b 3 y +
x b 3 ế ế ạ + ho c ặ (cid:0) (cid:0) = (cid:0) + - +
3.( 1) b b 2 3 = (d) ti p xúc v i đ ng tròn d I d
( , =
) 1 1 ớ ườ ế � � � (cid:0) = (cid:0) - 2 (cid:0) b 2 3 (cid:0) ế
+ = = - x - y ậ
3 0, 3 x =
3 0, 3 x y+ + + 2 3 0, ẳ y+ - +
x
2
3
ng tròn (
ườ C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và đi m ể A(1; ng trình đ 3). Vi V y ta có 4 ti p tuy n
ế :
y- + +
=
2
3
2
3
,0
ộ Oxy cho đ
Bài 22: Trong m t ph ng t a đ
ọ
ặ
ng th ng đi qua
t ph
ườ
ế ươ ẳ A (cid:222) ng tròn . ngoài đ ườ ườ i ạ B , C sao cho BA = BC
A và c t (ắ C), t
Gi
iả
=
IA =>
2 R = - (cid:219) - = = (cid:219) 16 R 2 BC BE (cid:222) (cid:222) dId
,( 2 = = -+
y x 4 7;0 Đ ng tròn có tâm
G i ọ d là đ
ng th ng qua
ườ
ẳ
=
2
2
AB
AC
AI
AB
.
V i ớ E là trung đi m ể BC
Mà ph I(3;-1) ; bán kính R = 2.và
52
A c t (ắ C) t
i ạ B,C sao cho AB=BC ta có :
=
2
20
4
22
2
2=
.
2
k là: y = k(x-1)+3 hay kx–y+3-k =0
d qua A có h s góc =
AB
=
)
ệ ố BE
ng th ng
ẳ ươ ườ
k = = -= - - (cid:219) dId
,( ) 2 k ;1 k 7 ng trình đ
-++
k
3
31
+ ậ 1
ẳ k
ng th ng tho mãn yêu c u bài toán
ườ ả 2 -+
0
y
10
1(C ) và
ng tròn
(C ) ti p xúc v i tr c tung t 2 ặ ẳ ườ ầ
ộ
+
2 - - =
2
(y 2) 1 và t ế cùng phía đ i v i tr c tung. Bi
ố ớ ụ (C ) n mằ
ạ ố ọ
i g c t a t ph ng kính b ng 4. Vi
ằ ườ ế đ , có đ
ộ ế ủ ế
1(C ) và ớ ụ
(C ) .
2 Đ ng tròn (1) ớ ng trình các ti p tuy n chung c a
ế
iả
Gi
1R 1= nên 1(C ) có tâm I(1;2) và bán kính
ng tròn 1(C ) ti p xúc v i Oy
và đ
ụ 2 2 ườ
Do hai đ ế
(C ) n m cùng phía v i tr c tung ng tròn ằ ớ ườ ế 1(C ) và
ườ 2 ườ
i g c t a đ ng kính b ng 4 nên (C ) ti p xúc v i
ớ
(C ) có tâm J( 2;0) n m trên tr c hoành và có bán ạ ố ọ ộ, có đ ằ ụ ằ y 2 4 1(C ) và x 2
T ừ (1) và (2) suy ra tr c Oy: ụ
kính tr c tung t
2R - (cid:0) 2= (2)
Mà: và i hai đi m. (C ) c t nhau t
ắ ạ ể R R
1 +
<
IJ R R
1 (C )
1 M (cid:0) <
2
2
(C ) có hai ti p tuy n chung.
ế 1(C ) và
y 2
2 J I J I ụ - - - - N = = I
+ - =
2x y 4 0 � (C ) .
2
2
� Đ ng n i tâm IJ có ph ng trình là: ườ ố ươ - - - ế
0= là m t ti p tuy n chung c a
ủ
x 1
1 ộ ế
x x
I
x
x ế
y y
I
y
y 4 1 Trang 33 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ x J
2 O BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ế Ậ ƯỜ ƯƠ ƯỜ Ẳ Ặ = = 0 IJ M(0;4) � � G i ọ M Oy = �� t a đ đi m M th a h :
ỏ ệ
ọ ộ ể 4 x
�
�
=
y
� NG TH NG – Đ
Ẳ
x
0
�
�
+ - =
2x y 4
�
ớ N (cid:0)
= �� H là trung đi m c a ON (v i
=
(OH) : x 2y ể ^ - OH IJ 0
(C ) )
2
0 ủ
� G i ọ H OH IJ
OH đi qua g c t a đ O và ố ọ ộ (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) =
x 2y H ; � � � T a đ đi m H th a h : ọ ộ ể ỏ ệ � 0
+ - =
2x y 4 0 16 8
;
5 5 8 4
5 5 (cid:0) � � � �
N
� � � �
� � � � (cid:0) = x
�
y (cid:0) (cid:0) 8
5
4
5 1(C ) và 2 N M N M 1(C ) và 1( 2 (C ) là MN có ph ng trình: ươ ế ứ ủ - - - = = + = - 3x 4y 16 0 � � - - . Ti p tuy n chung th hai c a
y y
M
y
y ế
x x
M
x
x - 4 x
16
5 + = D D - =
) : x ( y 4
8
5
(C ) có hai ti p tuy n chung là: và 2 + y2 – 6x + 5
ườ
ế
c hai ti p tuy n v i (C) mà góc gi a hai ti p 0. ng trình: x ế
ế
ớ ệ ọ ộ ặ ẳ ) : 3x 4y 16 0
ươ V y ậ
Bài 24: Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ
ẻ ượ ộ 0
2
ng tròn (C) có ph
ớ ữ ế ế = 0. Tìm đi m M thu c tr c tung sao cho qua M k đ
ụ
tuy n đó b ng 60 ể
ằ ế Gi
i d ng: (x – 3) iả
2 + y2 = 4. i ph ng trình c a (C) d ủ ươ ướ ạ m). Tìm m đ (Cể 2 2 ể ớ ườ ụ
ng tròn (C). Vì v y, qua m t đi m b t kì trên t c ể ấ ậ ộ Vi
t l
ế ạ
T đó, (C) có tâm I(3 ; 0) và bán kính R = 2
ừ
Suy ra tr c tung không có đi m chung v i đ
c hai ti p tuy n c a (C). tung luôn k đ ụ
ẻ ượ ế ế ủ
ẳ ằ ươ
ủ ườ x2 + y2 – 2(m +
ng trình:
ọ
ng tròn v i m i m.G i
ọ
ớ Bài 25: 1. Trong m t ph ng Oxy cho đ
ặ
ươ
ứ
ng ng là (C 1)x + 4my – 5 = 0 (1) Ch ng minh r ng ph
các đ ng tròn t ươ ứ ườ ng tròn (C):
ườ
ng trình (1) là ph
ớ ế Gi x2 + y2 = 1; và ph
ng trình c a đ
ươ
m) ti p xúc v i (C).
iả 2 2 = + + + (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1, (Cm) có tâm I(m +1; -2m) bán kính R ' ( m 1) 4 m 5 = + + OI , ta có OI < R’ ( m 1) 4 m m) ch ti p xúc trong. (cid:222) R’ – R = OI ( vì R’ > R) ỉ ế
i ra m = - 1; m = 3/5 V y (C) và (C
ậ
Gi
ả 3
2 Bài 26: Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có di n tích b ng , ớ ệ ạ ộ ệ ặ ằ ẳ 2 2 ng th ng (d): 3x – y –8 = 0. Vi t ph ủ D ABC n m trên đ ằ ườ ẳ ế ươ
ng trình đ A(2; –3), B(3; –2), tr ng tâm c a
ng tròn đi qua 3 đi m A, B, C.
ườ ọ
ể Gi iả - - - Tìm đ . , C2( 2; 10) c ượ C (1; 1)
1 2 2 - + - (cid:222) (C): x y +
x +
y 0 ﾠ *V i ớ C1(1; 1) 2 2 - - (cid:222) + - (C): x y +
x +
y 0 ﾠ *V iớ C2( 2; 10) 11
3
91
3 + - = - 2x 11
3
91
3
ườ ặ và hai đi m ể 2 2 2 2 ng trình các ti p tuy n c a (C ) t i các giao đi m c a 16
=
3
416
=
3
ng tròn (C ):
ế ủ
ế ươ ủ 2y
ạ 7x 2 0
ể Bài 27: Trong m t ph ng (Oxy), cho đ
ẳ
A(-2; 0), B(4; 3). Vi
t ph
ế
ng th ng AB.
(C ) v i đ
ẳ
ớ ườ Gi 2
7
� �
=
+
x
� � �
4
� � + - = - - - Đ ng tròn (C ) : 2x 2y 7x 2 0 +
2
x x 1 0 y y ườ � iả
7
- =
2 65
16 (cid:0) = I (C ) có tâm và bán kính R 7
4 � �
;0
� �
� � 65
4 = = , hay : y + Đ ng th ng AB v i A(-2; 0) và B(4; 3) có ph ng trình ườ ẳ ớ ươ +
x 2
6 y
3 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ +
x 2
2
Trang 34 BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG ƯƠ Ế NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ Ẳ Ậ
+ Giao đi m c a (C ) v i đ NG TRÌNH Đ
ớ ườ 2 2 2 2 ƯỜ
ẳ
+� �
x 2
� �
2
� � ủ ể ng th ng AB có t a đ là nghi m h PT
ọ ộ ệ ệ (cid:0) = - (cid:0) - = + - + - = (cid:0) - (cid:0) 7x 2 0 2x 2x 2 7x 2 0 = = (cid:0) x 0; y 1 � � � (cid:0) = = x 2; y 2 (cid:0) y = �
�
� �
�
� (cid:0) 5x(x 2) 0
�
� +
x 2
y =
�(cid:0)
2 y = 2y
+
x 2
2 (cid:0) (cid:0) +
x 2
2 V y có hai giao đi m là M(0; 1) và N(2; 2) ể ậ = - = uuur
IM uur
IN + Các ti p tuy n c a (C ) t i M và N l n l t nh n các vect và làm ế ủ ế ạ ầ ượ ậ ơ 1
4 7
� �
;1
� �
4
� � � �
; 2
� �
� � các vect pháp tuy n , do đó các TT đó có ph ng trình l n l t là : ơ ế ươ ầ ượ - = + + = - - - • , hay : (x 0) 1(y 1) 0 7x 4y 4 0 2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Vi
ng tròn (C) t
ạ + = - - - • (x 2) 2(y 2) 0 =
+
, hay :
x 8y 18 0 7
4
1
4 Bài 28: Trong mp v i h t a đ Oxy cho đ ớ ệ ọ ộ ườ ế ườ
ng th ng (Δ) vuông góc v i đ t PT đ
i A; B sao cho AB = 6 ớ ườ ẳ ẳ Gi ng tròn : x
ng th ng : 4x-3y+2 =0 và c t đ
ắ ườ
iả AB suy ra IH =4 ườ
ọ
ặ I
A H B Đ ng tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
G i H là trung đi m AB thì AH=3 và IH
ể
M t khác IH= d( I;
Δ )
Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT c a ủ Δ có d ngạ
3x+4y+c=0 v y có 2 đt th a mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
ậ ỏ d(I; Δ )= 2 2 2 ườ ườ + + Bài 29: Trong m t ph ng v i h t a đ
+
= ớ ệ ọ ộ Oxy cho đ
= + cùng đi qua M(1; 0). Vi t ph ng tròn
ng trình ng tròn hai đ
ế ươ ( C x
) : y y
– 2 – 2 x 1 0, ( C x
') : 0 2 2 ), ( ( đ ng tròn i ặ
ẳ
2
y
x
4 – 5
C C l n l
') ườ ng th ng qua
ẳ M c t hai đ
ắ ườ ầ ượ ạ A, B sao cho MA= 2MB. - = - t t
iả
+
ax by a +
0, (
a b a x
( 0)(*)
� . ng trình 2 2 2 2 2
= ( ) ( ) Gi
=
0) 0
b y
(
�
ủ AM, BM. - +
1)
ể - - t là trung đi m c a
=
2 - - 1 d I d
( ; ) 4[9 d I d
( '; ) ] � , 2 I A
' I H
' ' IH IA =
MA MB
2 � 2 2 2 2 2 2 2 2
= ) ) ( 2 2 . - = = - - d qua M có ph
ươ
+ G i ọ H, H’ l n l
ầ ượ
Khi đó ta có:
IA IH>
( d I d
( ; ) 35 4. 35 35 a b
36 d I d
( '; ) 4 � � � � a
2 b
+ + =
2
b b a 36
a b
2
b a
= - (cid:0) 9
a
+
2
6 a b = (cid:0)
1 b (cid:0) 0 (cid:0) . D th y
ễ ấ nên ch n ọ = a 6 (cid:0) Ki m tra đi u ki n r i thay vào (*) ta có hai đ ng th ng tho mãn. ể ề ệ IA IH> ồ ườ ẳ ả D ): 3x – ể ặ ườ ng th ng (
ẳ D Bài 30: Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m A(–1;1) và B(3;3), đ
). ớ ệ ọ ộ
ng tròn qua A, B và ti p xúc v i đ ẳ
ng trình đ 4y + 8 = 0. L p ph ng th ng (
ẳ ớ ườ ươ ườ ậ (4;2) 2 - =
8 5 5 a +
a
10 10 � a
11 = a 3
31
2 Tâm I c a đ ạ (cid:222) iả
ng trung tr c d c a đo n AB
ườ
uuur
=
AB ng tròn n m trên đ
ằ
ủ ườ
d qua M(1; 2) có VTPT là ế
Gi
ủ
ự
d: 2x + y – 4 = 0 (cid:222) (cid:0) Tâm I(a;4 – 2a)
=
a (cid:0) - Ta có IA = d(I,D) (cid:219) 2a2 – 37a + 93 = 0 (cid:219) (cid:0) (cid:0) =
2 I +
y ( 27) (cid:222) (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 ớ 65
2 4225
4 �
x
�
� 2
31
�-
+
�
2
� Trang 35 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ (cid:222) , R = (C): (cid:222) • V i a =
ớ • V i a = 3
31
2 I(3;–2), R = 5 (cid:222)
31
�-
�
; 27
�
�
2
�
� NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯỜ BÀI TOÁN THI T L P PH
ặ NG TRÌNH Đ
ƯƠ
ẳ Ẳ
Ặ
ng trình (x-1)
ể
ộ 2 + (y+2)2 =
ẻ
đó k NG TH NG – Đ
Ẳ
ƯỜ
ng tròn (C) có ph
ươ
ườ
ẳ
ấ
ế ng th ng d: x + y + m = 0. Tìm m đ trên đ ng th ng d có duy nh t m t đi m A mà t Bài 31: Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ
ườ ớ ệ ọ ộ
ể ẳ ườ ừ 9 và đ
đ
ượ c hai ti p tuy n AB, AC t
ế ế i đ
ớ ườ ng tròn (C) (B, C là hai ti p đi m) sao cho tam giác ABC vuông.
ể 2 2 ng tròn Gi
ừ c 2 ti p tuy n AB, AC t
ế ế i đ
ớ ườ (cid:222) AB ^ và T pt c a đ
ủ ườ
ứ ng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, t
giác ABIC là hình vuông c nh b ng 3
ằ i:ả
A k đ
ẻ ượ
IA 23= - = Ø ừ
AC
m => t
1 ạ
5 m = - (cid:219) (cid:219) 23 m 1 (cid:219)=
6 Œ = 7 m º 2 + - = - 2x ặ ườ và hai đi m ể 2 2 2 2 ng trình các ti p tuy n c a (C ) t i các giao đi m c a ươ ng tròn (C ):
ế ủ
ế 2y
ạ 7x 2 0
ể ủ Bài 32: Trong m t ph ng (Oxy), cho đ
ẳ
t ph
A(-2; 0), B(4; 3). Vi
ế
ng th ng AB.
(C ) v i đ
ẳ
ớ ườ Gi 2
7
� �
=
+
x
� � �
4
� � + - = - - - Đ ng tròn (C ) : y 2x 2y 7x 2 0 +
2
x x 1 0 y ườ � iả
7
- =
2 65
16 = I (cid:0) (C ) có tâm và bán kính R 7
4 � �
;0
� �
� � 65
4 2 2 2 2 = = , hay : y + Đ ng th ng AB v i A(-2; 0) và B(4; 3) có ph ng trình ườ ẳ ớ ươ +
x 2
6 y
3 +
x 2
2 + Giao đi m c a (C ) v i đ ớ ườ ủ ể ng th ng AB có t a đ là nghi m h PT
ọ ộ ệ ệ (cid:0) = - (cid:0) + - = - + - = (cid:0) - (cid:0) 2x 7x 2 0 2x 2 7x 2 0 = = (cid:0) x 0; y 1 ẳ
+� �
x 2
� �
2
� � � � � (cid:0) = = x 2; y 2 (cid:0) y = �
�
� �
�
� (cid:0) 5x(x 2) 0
�
� +
x 2
y =
�(cid:0)
2 y = 2y
+
x 2
2 (cid:0) (cid:0) +
x 2
2 V y có hai giao đi m là M(0; 1) và N(2; 2) ể ậ = - = uuur
IM uur
IN + Các ti p tuy n c a (C ) t i M và N l n l t nh n các vect và làm ế ủ ế ạ ầ ượ ậ ơ 1
4 7
� �
;1
� �
4
� � � �
; 2
� �
� � các vect pháp tuy n , do đó các TT đó có ph ng trình l n l t là : ơ ế ươ ầ ượ - = + + = - - - • , hay : (x 0) 1(y 1) 0 7x 4y 4 0 7
4 2 = + - - - (x 2) 2(y 2) 0 =
+
, hay :
x 8y 18 0 + - - 4 0 y x + =
4
y 1
4
Bài 33, Cho đ ng trình : ườ 2 4
x
và đ
Ch ng minh r ng (d) luôn c t (C) t
i hai đi m phân bi
ạ
ớ ng trình : x + y – 2 = 0. (d) có
ng th ng
ẳ
t A,B . Tìm to đ ng tròn (C) có ph
ứ ể ắ ườ
ệ ạ ộ ph
ươ
đi m C trên đ
ể ườ ươ
ằ
ng tròn (C) sao cho di n tích tam giác ABC l n nh t
ấ ệ Gi iả y (C) có tâm I(2;2), bán kính R=2
T a đ giao đi m c a (C) và (d) là nghi m c a h :
ủ ệ
ể ọ ộ ủ ệ 4 2 2 I B 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) =�(cid:0)
x
=
y 2 2 0 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + - =
y
+ - - C
M = (cid:0) y x 4 x + =
4
y 4 0 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) y 0 (cid:0) (cid:0) H A Hay A(2;0), B(0;2)
Hay (d) luôn c t (C ) t i hai đi m phân bi t A,B ạ ể ệ ABC V 2 x O
( )
V ABC V Trang 36 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ = S CH AB
. Ta cú (H là hình chi u c a C trên AB)
ế ủ ắ
1
2 = (cid:0) (cid:0) ) C (cid:0) (cid:0) S m (cid:0)
ax CH max D dàng th y CH max
ấ ễ C
(
> 2 (cid:0) x
C BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ẳ Ặ ABC NG TRÌNH Đ
V
I ^ (cid:0) d + + (cid:0) S ax thì C +
(2 2; 2 2) C +
(2 2; 2 2) Hay V: y = x v i ớ :
V V y ậ � mV (cid:0) (2; 2) (cid:0) V 1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Vi ể ẳ ặ ọ Bài 34: Trong m t ph ng to đ Oxy cho tam giác ABC, có đi m A(2; 3), tr ng tâm G(2; 0). Hai
ng trình t n m trên hai đ t ph ng th ng d
ẳ ươ ế ầ ượ ằ ạ ộ
ườ
ng tròn có tâm C và ti p xúc v i đ
ớ ườ đ nh B và C l n l
ỉ
đ
ườ ế ẳ B B B B
x B
y B = - - B x
( ; y ) x y 7 Gi s
ả ử ng th ng BG.
iả
Gi
d
)
� �
2 d
� �
1 = -
x
C +
2
y
C 5;
+ (cid:0) (
y
C x
;
C
C
+ =
2 6 (cid:0) Vì G là tr ng tâm nên ta có h : ệ ọ + + = 3 0 (cid:0) x
C
y
C - ươ
(3; 4) ng trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1)
(4; 3) VTPT n � T các ph
ừ
uuur
BG
Ta có nên ph ng trình BG: 4x – 3y – 8 = 0 ươ uuur
BG 2 +(y – 1)2 = Bán kính R = d(C; BG) = ph ng trình đ ng tròn: (x – 5) (cid:0) ươ ườ ng tròn (C ườ Bài 35: Trong m t ph ng t a đ cho hai đ
ẳ
ng trình đ
i A(2; 3). Vi ng th ng đi qua A và c t (C ặ
t ph
ươ ế ẳ 81
25
1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 c tắ
1), (C2) theo hai dây cung có đ dàiộ
ắ 9
5
ọ ộ
ườ nhau t
ạ
b ng nhau.
ằ 1) và (C2) l n l 2 2 2 G i giao đi m th hai c a đ t là M và N ủ ườ ứ ể ọ ầ ượ G iọ iả
ng th ng c n tìm v i (C
ầ Gi
ớ ẳ M(x; y) = x y+ 13 (1) C
1(
)
� � 2 2 2 2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0
ể
i hai đi m =
2 + - ể
(2 ủ
x
) 25 y ) ( (2) Vì A là trung đi m c a MN nên N(4 – x; 6 – y).
+
Do N C
� �
2 (cid:0) (6
+ )
= (cid:0) x y 13 (cid:0) T (1) và (2) ta có h
ệ ừ + + =
2 - (cid:0) (2 x ) (6 y ) 25 (cid:0) - - ; y = ; ) Gi c (x = 2 i h ta đ ; y = 3) ( lo i) và (x = ). V y M(
ậ ượ ả ệ ạ 6
5 17
5 6
5 ườ ươ ầ ẳ 17
5
ng trình
Đ ng th ng c n tìm đi qua A và M có ph
Bài 36: Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ : x – 3y + 7 = 0
ng tròn (C): x
ườ D D ng tròn (C) t c t đ ẳ
ớ ệ ọ ộ
: mx + 4y = 0. Tìm m bi t đ
ế ườ ng th ng
ẳ ạ ắ ườ ườ có tâm I và đ
phân bi ệ ằ ặ
ng th ng
ẳ
ỏ ệ 2 ủ ể t A,B th a mãn di n tích tam giác IAB b ng 12.
Gi
iả
ọ ườ Đ ng tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5. G i H là trung đi m c a dây cung AB.
Ta có IH là đ + ườ
| ng cao c a tam giác IAB.
m d I
( , D =
) IH = m
| 5 |
+
2 ủ
m
4 |
=
+
16 m m 16 2
IA 2
(5 )
m
=
+
2
16
m
=
SD
12 IAB IAH 2 2 = =
2 - - AH IH 25 I 20
+
2 5 16
= D m
S
2 � D Di n tích tam giác IAB là ệ 12
= (cid:0) H B A (cid:0) m 3 (cid:0) +
2 D (cid:219) d I
( , ). =
AH 12 25 | =
| 3(
m m 16) � � (cid:0) = (cid:0) m (cid:0) + - = - ặ và hai đi m ể Trang 37 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ ng trình các ti p tuy n c a (C ) t i các giao đi m c a 16
3
2x
ng tròn (C ):
ườ
ế ủ
ế ươ ủ 2y
ạ 7x 2 0
ể Bài 37:. Trong m t ph ng (Oxy), cho đ
ẳ
A(-2; 0), B(4; 3). Vi
t ph
ế
ng th ng AB.
(C ) v i đ
ẳ
ớ ườ Gi iả BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ Ẳ 2 2 2 2 NG TRÒN TRONG M T PH NG
2
7
� �
=
+
x
� � �
4
� � (cid:0) + - = - - - Đ ng tròn (C ) : (C ) có tâm 2x 2y 7x 2 0 +
2
x y x 1 0 y ườ � 65
16 7
- =
2 = I và bán kính R 7
4 � �
;0
� �
� � 65
4 2 2 2 2 = = , hay : y + Đ ng th ng AB v i A(-2; 0) và B(4; 3) có ph ng trình ườ ẳ ớ ươ +
x 2
6 y
3 +
x 2
2 + Giao đi m c a (C ) v i đ ớ ườ ủ ể ng th ng AB có t a đ là nghi m h PT
ọ ộ ệ ệ (cid:0) = - (cid:0) + - = - + - = (cid:0) - (cid:0) 2x 7x 2 0 2x 2 7x 2 0 = = (cid:0) x 0; y 1 ẳ
+� �
x 2
� �
2
� � � � � (cid:0) = = x 2; y 2 (cid:0) y = �
�
� �
�
� (cid:0) 5x(x 2) 0
�
� +
x 2
y =
�(cid:0)
2 y = 2y
+
x 2
2 (cid:0) (cid:0) +
x 2
2 V y có hai giao đi m là M(0; 1) và N(2; 2) ể ậ = - = uuur
IM uur
IN + Các ti p tuy n c a (C ) t i M và N l n l t nh n các vect và làm ế ủ ế ạ ầ ượ ậ ơ 1
4 7
� �
;1
� �
4
� � � �
; 2
� �
� � các vect pháp tuy n , do đó các TT đó có ph ng trình l n l t là : ơ ế ươ ầ ượ - = + + = - - - • , hay : (x 0) 1(y 1) 0 7x 4y 4 0 7
4 1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - + = - - - (x 2) 2(y 2) 0 =
+
, hay :
x 8y 18 0 1), (d2), tr c Oy. ườ ặ ẳ ng th ng (d
ẳ
ng tròn n i ti p tam giác có 3 c nh n m trên (d 12 = 0. Tìm to đ tâm và bán kính đ ạ ằ ụ 1
4
Bài 38: Trong m t ph ng to đ Oxy cho hai đ
ộ ế ạ ộ
ườ ạ ộ Gi iả 1 và d2 ta có A(3 ;0)
1 v i tr c Oy ta có B(0
2 v i Oy ta có C(0 ; - 4) ể
ể
ể ớ ụ
ớ ọ
ọ
ọ
ọ ườ ;4)
ng phân giác trong góc B v i I thu c OA khi đó ta có
ớ ộ 2 2 2
3 ặ ẳ ộ Oxy cho hai đ ườ D - D G i A là giao đi m d
G i B là giao đi m d
G i C là giao đi m d
G i BI là đ
I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 39: .Trong m t ph ng v i h t a đ
+
y
4 x ' :3 t ph ng tròn có tâm thu c đ + = ,
8 0
, đi qua ệ ọ
ươ ng trình đ
ườ ẳ D
ng th ng
ộ ườ y+
3
x
:
ng th ng
ẳ D ớ
và đi m ể A(-2 ; 1). Vi
ế
’.
ớ ườ th ng ẳ
ng =
10 0
đi m ể A và ti p xúc v i đ
ế Giai Tâm I c a đ nên I(-3t – 8; t) ủ ườ ộ D
ng tròn thu c - - - t
3( 3 10 = + -
2 - - +
t
( 3 8 2) t
( 1) Theo yc thì k/c t ’ b ng k/c IA nên ta có ế D
I đ n ừ ằ +
8) 4
t
+ 4 2 + (y + 3)2 = 25.
c t = -3 Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt c n tìm: (x – 1)
- =
y
2 i ti p đ
ả ế ượ ầ D 3 0 +
x và hai đi m A(1; 0), B(3; Gi
Bai 40: Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ
ẳ ọ ộ ườ ặ ể D :
ng th ng
ẳ
uuur
uuur
+
3MA MB - 4). Hãy tìm trên đ m t đi m M sao cho ườ ng th ng
ẳ ể ộ nh nh t
ấ
ỏ Gi iả - ; 3 G i I là trung đi m c a AB, J là trung đi m c a IB. Khi đó I(1 ; -2), J( ) ủ ể ọ 5
2 uuur uuur = = Ta có : ( uuur
uuur
+
MB MI MB MJ
2 2 4 +
) 2 D ể
ủ
uuur
uuur uuur
uuur
+
=
+
3
MA MB MA MB
uuur
uuur
+
3MA MB nh nh t khi M là hình chi u vuông góc c a J trên đ Vì v y ậ ủ ế ấ ỏ ườ ng th ng
ẳ Trang 38 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ Ễ có ph ớ D
Đ ng th ng JM qua J và vuông góc v i ườ ẳ ươ - (cid:0) = (cid:0) + - = (cid:0) - (cid:0) 2 3 0 (cid:0) ; v y M( ) T a đ đi m M là nghi m c a h
ủ ệ ọ ộ ể ệ ậ - x
�
2 x y
- =
y 8 0 (cid:0) 19
5 2
5 (cid:0) = x
�
y (cid:0) (cid:0) : 2x – y – 8 = 0.
ng trình
2
5
19
5 BÀI TOÁN THI T L P PH NG TRÌNH Đ NG TRÒN TRONG M T PH NG Ậ Ế ƯƠ ƯỜ NG TH NG – Đ
Ẳ ƯỜ Ặ Ẳ Trang 39 NGUY N TH ÁNH H NG
Ị Ồ ỄẬ Ơ Ả
NG TRÒN ĐI QUA 3 ĐI M KHÔNG
Ạ
Ế
NG TRÌNH Đ
C
Ẳ
LO I 1: VI T PH
TH NG HÀNG CHO TR
ạ
ƯƠ
ƯỚ
ậ ơ ả
NG TRÌNH Đ
ƯỜ
Ớ
NG TRÒN TI P XÚC V I
Ế
Đ
C
ƯỜ
ƯỚ
i bài toán lo i ày c n thành th o ki n th c sau:
2
Ụ
1
Ọ
Ẳ
Ví d 5:ụ L pậ
2
�
=
�
�
Ví d 6:ụ Trong m tặ
ủ
ng trình c a
ươ
2 12
y
ế
Gi
Ế
2
+
IV. BÀI TOÁN VI T PH
TUY N VÀ CÁT TUY N C A Đ
Ế
Ế
NG TRÌNH TI P
Ế
ƯƠ
NG TRÒN
ƯỜ
ng trình ti p tuy n và cát tuy n c a đ
ế
Ủ
Trong m c này ta xét các bài toán l p ph
c và th a mãn nh ng đi u ki n nào đó:
NG TH NG – Đ
Ẳ
ự
đ n đ
ế
Ế
Ph
c a đ
ủ
Ậ
ươ
ườ
+
NG TRÒN
Ủ
Ế
ƯỜ
Ạ
Ụ
LO I 1: CÁC BÀI TOÁN V TI P TUY N C A Đ
VÍ D MINH H A
Ví d 1:ụ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ
ặ
đi m M3; 1. G i T1 và T2 là các ti p đi m c a các ti p tuy n k t
ể
Đ i h c – Kh i B-Năm 2006)
đ
ố
ườ
NG TRÒN
NG TRÒN TRONG M T PH NG
Ế
Ặ
ƯỜ
Ủ
Ề
ƯỜ
LO I 2: CÁC BÀI TOÁN V CÁT TUY N C A Đ
VÍ D MINH H A
BÀI TOÁN THI T L P PH
Ạ
Ụ
Ví d 1:ụ Trong m t ph ng Oxy cho đ
ặ
ng trình đ
. Vi
Ờ
Ể
PH
ƯỜ
NG TRÌNH Đ
M t trong nh ng d ng hay g p c a các bài toán thu c chuyên m c đ
BÀI T P T GI I
Ậ Ự Ả
)
2
+
1
ng tròn
ườ
ộ
NG TRÌNH Đ
Bài 4: Trong m t ph ng Oxy cho đ
Vi
ng trình đ
ế
- =
y
5
Ả Ộ Ố
Ậ
Ề
GI I M T S BÀI T P CÓ TRONG CÁC Đ THI
Ầ
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC vuông t
Đ I H C G N ĐÂY
ộ
Ạ Ọ
ặ
ọ
ẳ
=
, các đ nh A và C thu c tr c hoành và bán kính c a đ
0
3
ụ
ọ ộ ọ
NG TRÌNH CHU N
ườ
ƯƠ
ọ ộ
CH
Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ
ẳ
. G i I là tâm c a ( C ), M là đi m thu c
Ẩ
ng th ng
ằ
ể
giác MAIB có di n tích là 10.
KH I A - 2010:
Ố
)
)
(
(
(
)
) (
Ố
KH I B – 2009:
Ố
Ố
KH I D – 2009:
c a ủ c nh AB. Đ ng trung tuy n và đ
ườ
ạ
và 6x – y – 4
7x – 2y – 3
t ph
KH I A -2009:
ƯƠ
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ
ọ
Ố
+ =
+
2
x my m
ng th ng
ẳ
i 2 đi m phân bi
ệ
ạ
NG TRÌNH NÂNG CAO
CH
x
ng tròn (C) :
ườ
ẳ
v i m là tham s th c. G i I là tâm c a đ
ọ
ố ự
ớ
ủ D
t A và B sao cho di n tích c a
iả
Gi
)
(
)
(
)
(
H -
ho c ặ
ẳ Δ là (
Ậ
ng th ng bi
ẳ
M(1; 3) và ch n trên các tr c t a đ nh ng đo n th ng có đ dài b ng nhau.
M T S BÀI T P
Ộ Ố
ng trình t ng quát c a đ
ổ
ủ ườ
ộ
ạ
ƯỜ
Bài 4: : Trong m t ph ng t a đ vuông góc Oxy, cho hình vuông tâm
t ph
8
� .
2 2 2
(
+
x
: 1
2
)
(
+
: 1
Bài 11: Trong m t ph ng oxy cho
ặ
ế
B
M
A
C
H
x
V y có 2 đ
Bài 23: Trong m t ph ng v i h t a đ vuông góc Oxy cho hai đ
ớ ệ ọ
1(C ) : (x 1)
ươ
