TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH
BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Môn thi: .................. Toán Cao Cấp 1 ........................
Họ và tên sinh viên: ........................ Nguyễn Hương Giang ........................................
MSSV: ............... 030137210165 .............. Lớp học phần:D13 .........
THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số):…16… trang
(bằng chữ):…mười sáu… trang
YÊU CẦU
- Trình bày tiểu luận theo đúng chuẩn như Giảng viên đã hướng dẫn trong
lớp học.
- Các ví dụ minh họa phải tính toán chi tiết.
- Tiểu luận tối thiểu là 8 trang, font chữ Times New Roman cỡ chữ 13.
- Điểm cao sẽ dành cho các bài tập có tính đa dạng và vận dụng.
BÀI LÀM
1
CÂU 1.(4 ĐIỂM) HÃY TRÌNH BÀY THEO SỰ HIỂU BIẾT CỦA EM VỀ CÁC
NỘI DUNG SAU (4 ĐIỂM)
a) Thuật toán Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B
Để giải hệ phương trình tuyến tính
AX B
bằng thuật toán Gauss – Jordan, chúng ta
thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Viết ma trận hệ số mở rộng 𝐴
󰆻= (A|B) của phương trình AX = B, gồm
ma trận A là ma trận hệ số ẩn và B là ma trận hệ số tự do.
- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi ma trận mở rộng
về dạng bậc thang. Phép biến đổi sơ cấp:

j j i
d d dαβ
, với
0α
và
1,mi
(với m là số dòng của
AB
)
- Bước 3: Dùng định lý Kronecker – Capelli để kiểm tra hệ có nghiệm hay
không.
- Bước 4: Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang.
- Bước 5: Giải hệ ngược từ dưới lên.
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ
minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng.
- Định lý về số nghiệm của hệ phương trình AX=B (Định lí Kronecker –Capelli)
Ta luôn có
r A r A B
Nếu r(𝐴
󰆻) ≠ r(A) thì hệ vô nghiệm.
Nếu r(𝐴
󰆻) = r(A) thì hệ có nghiệm.
+ Nếu r(𝐴
󰆻) = r(A) = n thì hệ có 1 nghiệm duy nhất.
+ Nếu r(𝐴
󰆻) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào n – r(A) ẩn tự do.
Trong đó: n là số ẩn của phương trình.
- Ví dụ minh họa
TH1: Phương trình vô nghiệm
2
A =





1 1 1
2 3 1
3 2 18
(A|B) =
33
2 2 1
3 3 1
1
5
2
3
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
2 3 1 2 0 1 3 2 0 1 3 2
3 2 18 2 0 5 15 2 0 0 0 12
d d d
d d d
d d d



 

Ta thấy r(A) = 2 < r(𝐴
󰆻) = 3 nên hệ vô nghiệm.
TH2: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 10
2 1
3 2
3 6 36 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Ã
= (A|B) =
13
2 3 1 4 10 1 1 1 3 2
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 3 2 2 3 1 4 10
3 1 6 36 4 3 1 6 36 4
dd



32
2 2 1
3 3 1
4 4 1
d = d - d
d = d - 2d
d = d - 3d
1 1 1 3 2 1 1 1 3 2
0 2 3 4 1 0 1 3 10 6
0 1 3 10 6 0 2 3 4 1
0 4 3 27 2 0 4 3 27 2
dd

 
3 3 1 4 4 3
4 4 1
2
4
1 1 1 3 2 1 1 1 3 2
0 1 3 10 6 0 1 3 10 6
0 0 9 24 11 0 0 9 24 11
0 0 9 13 22 0 0 0 11 11
d d d d d d
d d d



 

Ta thấy r(A) = r(𝐴
󰆻) = 4 = n (số ẩn) nên hệ có nghiệm duy nhất.
3
Ta có, hệ phương trình tương đương:
1 2 3 4
2 3 4
34
4
32
3 10 6
9 24 11
11 11
x x x x
x x x
xx
x

1
2
3
4
13
9
13
3
35
9
1
x
x
x
x
Vậy nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
( ; ; ; )x x x x
13 13 35
; ; ;1
9 3 9



TH3: Phương trình có vô số nghiệm
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
3 2 3
3 4 5 4
2 5 14 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
|Ã A B
=
2 2 1
3 3 1
4 4 1
d = d - d
d = d - 3d
d = d - 2d
1 2 1 3 0 1 2 1 3 0
1 3 1 2 3 0 1 2 5 3
3 4 1 5 4 0 2 2 4 4
2 1 5 14 4 0 3 3 8 4



3 3 1 3 4
4 4 1
2
3
1 2 1 3 0 1 2 1 3 0
0 1 2 5 3 0 1 2 5 3
0 0 6 14 10 0 0 3 7 5
0 0 3 7 5 0 0 6 14 10
d d d d d
d d d



 


4 4 3
2
1 2 1 3 0
0 1 2 5 3
0 0 3 7 5
0 0 0 0 0
d d d






Ta thấy r(A) = r(𝐴
󰆻) = 2 < 3 (n: số ẩn) nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 3-2=1
tham số tự do.
4
Ta có, hệ phương trình tương đương:
1 2 3 4
2 3 4
34
2 3 0
2 5 3
3 7 5
0 0
x x x x
x x x
xx

Đặt
4
x
=t, t ∈ R
74
13
1
23
57
33
4
t
x
t
x
t
x
xt
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm và
1 2 3 4
( ; ; ; )x x x x
7 4 1 5 7
; ; ;
3 3 3
t t t t t R




c) Xét hệ phương sau đây :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2
2
ax x x a
x bx x b
x x cx c
Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bản. Hãy giải
phương trình trên bằng ít nhất 2 cách.
Phương trình sau khi thay ngày tháng năm sinh vào:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
57
11 13
2003 2005
x x x
x x x
x x x
Cách 1: Dùng thuật toán Gauss – Jordan.
1 2 2 2 1
3 3 1
5
5 1 1 7 1 11 1 13 1 11 1 13
( | ) 1 11 1 13 5 1 1 7 0 54 4 58
1 1 2003 2005 1 1 2003 2005 0 10 2002 1992
d d d d d
ddd
AB 

 