Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 1 ể
CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO L P 10 (Dành t ng cho các em h c sinh l p 9 đang chu n b ôn thi vào l p 10 không chuyên
Ớ ớ
ẩ ị
ọ
ặ
ớ Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) n i ti p trong đ ộ ế i A và D chúng c t nhau
) ng tròn (O). E. G i M là ọ
ẻ ế ắ ườ ở
ng tròn (O) t ạ ng chéo AC và BD.
giác AEDM n i ti p đ c trong m t đ ng tròn. ộ ế ượ ộ ườ ứ
=
H và K. K các ti p tuy n v i đ ớ ườ ế giao đi m c a hai đ ườ ủ ể 1. Ch ng minh t 2. Ch ng minh AB // EM. 3. Đ ng th ng EM c t c nh bên AD và BC c a hình thang l n l ẳ ắ ạ ủ ầ ượ ở t x Ch ng minh M là trung đi m HK. ứ ứ ườ ứ
C
D
2 HK
4. Ch ng minh ứ
M
E
K
H
(hình 01) ể 1 1 + AB CD BÀI GI I CHI TI T Ả Ế
O
B
A
1. Ch ng minh t giác AEDM n i ti p. ứ ộ ế
EAC = sđ ﾷAC (góc t o b i tia ti p tuy n AE ạ
Ta có : ﾷ ở ế ế
Hình 01
ứ 1 2 và dây AC c a đ ng tròn (O)) ủ ườ
xDB = sđ ﾷDB (Dx là tia đ i c a tia ti p tuy n DE)
1 2
ﾷ
AC BD=
ﾷ
= EAC xDB giác AEDM n i ti p đ
T ng t ươ ự ﾷ : ố ủ ế ế
c trong m t đ ng tròn. ộ ế ượ ộ ườ
ﾷ
ﾷ
Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên ﾷ Do đó ﾷ V y t ậ ứ ứ
ﾷ = EAD EMD ế
= EAD ABD
ứ Mà ﾷ (góc t o b i tia ti p tuy n và dây cung v i góc n i ti p cùng 2. Ch ng minh AB // EM. T giác AEDM n i ti p nên ộ ế ở ạ ộ ế (cùng ch n cung ED) ắ ế ớ
ﾷ
ch n cung AD) ắ
= EMD ABD
Suy ra: ﾷ . Do đó EM // AB.
ứ ể
�
DAB
D có HM // AB
�
D CAB có MK // AB 3. Ch ng minh M là trung đi m HK. HM DH = AB DA MK CK = CB AB
Mà (đ nh lí Ta let cho hình thang ABCD) ị
DH CK = DA CB HM MK = AB AB
Nên . Do đó MH = MK. V y M là trung đi m HK. ậ ể
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
=
Trang 2 ể
2 HK
4. Ch ng minh . ứ Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 1 1 + AB CD
Áp d ng h qu đ nh lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta đ c: ụ ệ ượ
(1)
Áp d ng h qu đ nh lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta đ c: ụ ệ ượ
+
+
=
+
=
=
=
1
(2) ả ị HM DM = DB AB ả ị KM BM = BD CD
HM KM DM BM DM BM BD BD BD AB
CD
BD
DB
2
+
2
C ng (1) và (2) v theo v ta đ c: ế ế ộ ượ
= , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK
HM AB
=
2
Suy ra:
2 KM CD = . Suy ra:
HK HK + AB CD
2 HK
1 1 + AB CD
ﾷ
Do đó: (đpcm)
�
ộ ế ứ
ﾷ = ADC BCD ng pháp : N u t ế ứ
nên đ ch ng minh t ể ứ giác có góc ngoài t : L i bàn ờ 1.Do AC = BD d ng ph ụ ươ giác AEDM n i ti p ta x ử ố ủ i m t đ nh b ng góc đ i c a ộ ỉ ằ ạ
đ nhỉ
giác đó n i ti p. V i cách suy nghĩ trên ch c n v tia Dx là c a đ nh đó thì t ủ ỉ ứ ộ ế ỉ ầ ẽ ớ
tia
i quy t đ đ i c a tia ti p tuy n DE thì bài toán gi ế ố ủ ế ả ế ượ ễ ể ứ c d dàng. Có th ch ng
giác AEDM n i ti p b ng cách ch ng minh khác đ c không? (ph n này ứ ộ ế ứ ằ ượ ầ
minh t dành
ử ứ
l p 8 ph i không các em? Do đó khi h c toán ấ đó suy ra đpcm ừ ả ọ
ầ ậ
ử
cho các em suy nghĩ nhé) 2. Câu 3 có còn cách ch ng minh nào khác không? Có đ y. Th ch ng minh tam ứ giác AHM và tam giác BKM b ng nhau t ằ 3. Câu 4 là bài toán quen thu c ộ ở ớ các em c n chú ý các bài t p quen thu c nhé. ộ Tuy v y câu này v n còn m t cách gi ả ữ ẫ ng tròn (O) đ i n a đó. Em th nghĩ xem? ộ ể ng kính AB= 2R, dây cung AC. G i M là đi m ườ ậ ử ườ ọ
C song song v i BM c t tia AM ẻ ừ ắ ớ ở ắ K và c t ữ ẳ
Bài 2: Cho n a đ chính gi a cung AC. Đ ng th ng k t ườ tia OM i H. ạ
ộ ế ứ
D. OD c t AC t ở ứ ứ
ng tròn (O) đ AD là ti p tuy n c a n a ắ giác CKMH n i ti p. 1. Ch ng minh t 2. Ch ng minh CD = MB và DM = CB. 3. Xác đ nh v trí đi m C trên n a đ ử ườ ể ế ủ ử ể ế
đ ị ị ng tròn. ườ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 3 ể
4. Trong tr ng h p AD là ti p tuy n c a n a đ ng tròn (O), tính di n tích ườ ế ử ử ườ ế ợ ệ
ph n ầ
tam giác ADC ngoài đ ở
ng tròn (O) theo R. ườ BÀI GI I CHI TI T Ế
AM MB
�
090
ứ ^ Ả giác CKMH n i ti p. ộ ế (góc n i ti p ch n n a đ ắ ử ườ ộ ế ứ AMB =
ﾷ
D
ng kính AB) . ng tròn đ MKC = ườ 090 ^
� ﾷ
K
CD . V y ậ ﾷ . 090 0 nên n i ti p đ c ộ ế ượ (gt) OM AC ﾷ + MKC MHC
C
//
M
ộ ườ
=
1. Ch ng minh t ﾷ Mà CD // BM (gt) nên AM ^ ﾷ ﾷ MHC = AM CM= � = T giác CKMH có ứ 180 trong m t đ ng tròn. 2. Ch ng minh CD = MB và DM = CB. ứ
090
ACB =
H
Ta có: ﾷ ộ ế ắ ử ườ
A
B
O
ng tròn) giác CDMB
ng tròn (O) đ AD là ti p tuy n c a n a (góc n i ti p ch n n a đ Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên t ứ là hình bình hành. Suy ra: CD = MB và DM = CB. Hình 2 3. Xác đ nh v trí đi m C trên n a đ ế ủ ử ể ế ị ể ử ườ
đ ườ
ADC
^� AD AB ự
ﾷ
D
ﾷ
ﾷ
ﾷ
ng tròn (O) AD là ti p tuy n c a đ . D ^ AD ^
�
K
(cid:0) nên ﾷ
//
C
M
ệ
=
H
ng tròn (O). ngoài đ ườ ọ
B
A
tâm AOC. ệ ệ ệ
ﾷ
=
=
=
060
060
2
ﾷ AOD = � R 3
=
=
3R
AD AO .
R .
3.
R
Tính S1: (cid:0) ị ng tròn. ế ủ ườ ế CD và DH ^ có AK ^ AC nên M là tr c tâm tam giác . Suy ra: CM ﾷ AM BC= CM // AB V y ậ AD AB . � Mà ﾷ ﾷ ﾷ = 600. = AM MC= = = AM BC AM MC BC ngoài (O) theo R: 4. Tính di n tích ph n tam giác ADC ở ầ G i S là di n tích ph n tam giác ADC ở ầ giác AOCD. S1 là di n tích t ứ S2 là di n tích hình qu t góc ở ạ O Ta có: S = S1 – S2 hình 3 * AD là ti p tuy n c a đ ng tròn (O) . ế ủ ườ ế
ﾷ ﾷ AM MC BC 1 2
1 2
2
R
Do đó: AD = AO. tg 600 = SADO = (cid:0)
COD
2 3R
= D AOD
2 3 2
D (c.g.c) (cid:0) SAOD = SCOD (cid:0) SAOCD = 2 SADO = 2. = .
2
0
2
Rp
0
*
120
.120 0
360
Rp 3
= = Tính S2: (cid:0) S qu t AOC ạ
2
2
2
2
3
R
Rp
p
ﾷ AC = * Tính S: - -
(
)
3 3
2 3R
Rp 3
R 3
3 3
S = S1 – S2 = – = = (đvdt)
: L i bàn ờ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 4 ể
1. Rõ ràng câu 1, hình v g i ý cho ta cách ch ng minh các góc H và K là nh ng ^ c góc K vuông ta ch c n ch ra MB ữ AM và CD// ỉ ứ ỉ ầ ẽ ợ ượ ể
góc vuông, và đ có đ MB
h qu c a góc n i ti p và gi thi ả ủ ừ ệ ộ ế ế ả
ề ượ ư ậ ố
t CD // MB. Góc H vuông k t qu c a bài s 14 trang 72 SGK toán 9 t p 2. Các em l u ý các ả ủ ượ ậ ụ ế ứ ầ
đi u đó suy ra t c suy t đ ừ ế c v n d ng vào vi c gi bài t p này đ ả ậ ệ 2. Không c n ph i bàn, k t lu n g i li n cách ch ng minh ph i không các em? ợ ề ả 3. Rõ ràng đây là câu h i khó đ i v i m t s em, k c khi hi u r i v n không i các bài t p khác nhé. ậ ả ể ồ ẫ ậ ố ớ ộ ố ể ả ỏ
bi t ế
gi i nh th nào , có nhi u em may m n h n v ng u nhiên l i r i đúng vào ả ư ế ề ẽ ắ ẫ ơ ạ ơ
hình
trên t đó nghĩ ngay đ c v trí đi m C trên n a đ ở ượ ị ể ặ
3 ừ toán này đòi h i ph i t ả ư ỏ duy cao h n. Thông th ơ ườ ng tròn. Khi g p lo i ử ườ ạ ả ủ ng nghĩ n u có k t qu c a ế ế
bài
toán thì s x y ra đi u gì ? K t h p v i các gi thi t và các k t qu t các câu ế ợ ẽ ả ề ớ ả ế ả ừ ế
trên
i gi c l ượ ờ ự ủ ệ ớ
ậ ế ợ ớ
c v trí c a C thi ta tìm đ i c a bài toán . V i bài t p trên phát hi n M là tr c tâm c a ả ủ tam giác không ph i là khó, tuy nhiên c n k t h p v i bài t p 13 trang 72 sách ậ ầ ả t M là đi m chính gi a cung AC ta tìm đ toán 9T2 và gi ượ ị ữ ế ủ ể ả
ngay.
V i cách trình bày d i m nh đ “khi và ch khi” k t h p v i suy lu n cho ta ớ ướ ế ợ ệ ề ậ ớ ỉ
l i ờ
gi i ch t ch h n. Em v n có th vi t l i gi ả ẽ ơ ể ế ờ ặ ẫ ả i cách khác b ng cách đ a ra ằ ư
nh n ậ
đ nh tr ị ướ ồ ả c r i ch ng minh v i nh n đ nh đó thì có k t qu , tuy nhiên ph i ứ ế ậ ả ớ ị
trình
ﾷ BC =
060
ng tròn mà bày ph n đ o: Đi m C n m trên n a đ ể ử ườ ầ ả ằ thì AD là ti pế
tuy n. ế
i trình bày ph n đ o: AD là ti p tuy n thì ị ạ ế ế ầ ả
060
ừ ậ
ngoài đ ở ườ ệ ng tròn (O) chính là hi u
giác AOCD và di n tích hình qu t AOC thì bài toán d tính Ch ng minh nh n đ nh đó xong ta l ậ ứ ﾷ BC = . T đó k t lu n ế 4. Phát hi n di n tích ph n tam giác ADC ầ ệ c a di n tích t ệ ệ ứ ủ ệ ễ ạ
ớ ừ ệ
ử ườ ườ ọ
ng tròn (O) đ ộ ể ặ ẳ ờ
ng tròn (O) (M khác A và B) k ti p tuy n v i n a đ ớ ử ườ ắ ng tròn (O); nó c t ẻ ế ườ ế
h n ơ so v i cách tính tam giác ADC tr cho di n tích viên phân cung AC. ng kính AB = a. G i Ax, By là các tia vuông góc Bài 3. Cho n a đ ộ v i AB ( Ax, By thu c cùng m t n a m t ph ng b AB). Qua đi m M thu c ộ ử ớ n a ử đ Ax,
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Trang 5 ể
0
y
t ầ ượ ở
F
E và F. ﾷ EOF 90= ứ ộ ế
MK AB
^ . ứ ủ ể ọ
M
ệ
E
0
ﾷ EOF 90=
K
Ả Ế
B
A
N
O
ng tròn (O) c t nhau E Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 By l n l 1. Ch ng minh: ứ 2. Ch ng minh : T giác AEMO n i ti p ; hai tam giác MAB và OEF đ ng ồ ứ d ng.ạ 3. G i K là giao đi m c a AF và BE, ch ng minh x 4. Khi MB = 3 .MA, tính di n tích tam giác KAB theo a. BÀI GI I CHI TI T 1. Ch ng minh: ứ EA, EM là hai ti p tuy n c a đ ế ế ủ ườ ắ ở
ng t ươ ự
(đpcm) hình 4 nên OE là phân giác c a ủ ﾷAOM . ủ ﾷBOM : OF là phân giác c a ﾷ EOF = ề
T Mà ﾷAOM và ﾷBOM k bù nên: 090 ồ 2. Ch ng minh : T giác AEMO n i ti p ; hai tam giác MAB và OEF đ ng ộ ế ứ ứ
ﾷ
=
0
=
d ng.ạ
ế nên n i ti p đ c trong m t đ ng tròn. ộ ế ượ ộ ườ (tính ch t ti p tuy n) ấ ế ﾷ 180
0
ﾷ
(cid:0)
= MAB MEO
ﾷ = EOF 90
, ﾷ (cùng ch n cung MO c a đ ủ ườ ắ ạ ế ng tròn ngo i ti p Ta có: ﾷ = 090 EAO EMO ﾷ + T giác AEMO có ứ EAO EMO Tam giác AMB và tam giác EOF có: ﾷ AMB =
t ứ
=
giác AEMO. V y Tam giác AMB và tam giác EOF đ ng d ng (g.g) ậ ^ ồ MK AB 3. G i K là giao đi m c a AF và BE, ch ng minh ạ . ủ ể ọ
Tam giác AEK có AE // FB nên:
AK KF ấ
Mà : AE = ME và BF = MF (t/ch t hai ti p tuy n c t nhau) ứ AE BF ế ế ắ
AK ME = KF MF
Nên : . Do đó MK // AE (đ nh lí đ o c a đ nh lí Ta- let) ả ủ ị ị
^ AB (gt) nên MK ^ AB. L i có: AE ạ
^ 4. Khi MB = 3 .MA, tính di n tích tam giác KAB theo a . ệ AB. G i N là giao đi m c a MK và AB, suy ra MN ủ ể ọ
MK FK = FA AE
D FEA có: MK // AE nên: (1)
NK BK = BE AE
D BEA có: NK // AE nên: (2)
FK +
BK +
FK BK = KA KE
= KA FK BK KE
FK BK = BE FA
Mà ( do BF // AE) nên hay (3)
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 6 ể
MK KN = AE AE
AKB
=
=
T (1) , ( 2) , (3) suy ra: . V y MK = NK. ừ ậ
S S
KN MN
1 2
AMB
S
AKB
AMB
Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên:
1 S= 2
=
3
Do đó: .
ﾷ MAB =
060
�
MB MA
a
3
3
=
3
S
a a .
�
Tam giác AMB vuông M nên tg A = . ở
AKB
a 2
21 a 16
2
1 1 . . 2 2 2
2
và MB = (cid:0) = (đvdt) V y AM = ậ
: Đây là đ thi tuy n sinh vào l p 10 năm h c 2009-2010 c a t nh Hà ể ề ọ ờ ủ ỉ
ớ ắ ầ ắ ế ừ
c ngay, ắ ắ ậ ữ i đ ả ượ
ả ở ỉ ủ
t nh Hà Nam xem nh trúng t ườ ư ề ộ
, bài toán này câu : MK i ra đ khai thác t ừ ườ ng N. Ch ng minh: K là trung đi m MN. N u chú ý MK là đ ế ứ ể ắ ở
ẳ
ng cao c a tam giác AMB do câu 3 và tam giác AKB và AMB có ứ ườ ủ
ẽ
ng ng, bài ế ng cao t ườ ế ị ỉ ố ỉ ố ệ ươ ứ ằ
ệ ả
ề ử ườ ế
L i bàn ớ Nam . T câu 1 đ n câu 3 trong quá trình ôn thi vào l p 10 ch c ch n th y cô nào cũng ôn t p , do đó nh ng em nào ôn thi nghiêm túc ch c ch n gi kh i ỏ ph i bàn, nh ng em thi năm qua ữ có nhi u câu khó, và đây là m t câu khó mà ng ề c t AB th ng ch a đ chung đáy AB thì các em s nghĩ ngay đ n đ nh lí: N u hai tam giác có chung đáy thì t s di n tích hai tam giác b ng t s hai đ toán qui v tính di n tích tam giác AMB không ph i là khó ph i không các em? Bài 4: Cho n a đ n a đ ủ ng kính AB. T đi m M trên ti p tuy n Ax c a ng tròn v ti p tuy n th hai MC (C là ti p đi m). H CH vuông góc ể ứ ng tròn tâm O đ ườ ế ẽ ế ả ừ ể ế ử ườ ế ạ
v i ớ
ng tròn (O) t ạ i Q và c t CH t ắ ạ i N. G i giao ọ ẳ ắ
ng th ng MB c t n a đ AB , đ Đi m c a MO và AC là I. Ch ng minh r ng: ể ườ ủ ằ
ﾷ
ử ườ ứ ộ ế
a) T giác AMQI n i ti p. ứ b) ﾷ = . AQI ACO c) CN = NH. ể
ớ
ề
ủ ở
ắ
ỉ
x
(Trích đ thi tuy n sinh vào l p 10 năm h c 2009-2010 c a s GD&ĐT T nh B c Ninh) BÀI GI I CHI TI T
Ế
giác AMQI n i ti p: ứ ứ
ế ắ
ọ Ả ộ ế ế
M
Q
C
I
N
B
A
H
O
a) Ch ng minh t Ta có: MA = MC (tính ch t hai t p tuy n c t nhau) ấ OA = OC (bán kính đ ng tròn (O)) ườ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Trang 7 ể
090
090
�
AC Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 ﾷ MIA =
� ộ ế
ắ ử ườ
090 giác
ﾷ MQA = ứ
i m t góc vuông nên t ng tròn (O)) ộ
x
ﾷ
ng tròn. Hình 5 ộ ế ượ (góc n i ti p ch n n a đ ướ ộ ườ
K
ﾷ
ứ
ứ ắ
ﾷ
D có OA = Oc nên cân (cùng ch n cung AI). (1) (cùng ph ụ ﾷMAC ) (2) ﾷ = (3) CAO ACO
M
AOC ừ
Do đó: MO ^ ﾷ AQB = Hai đ nh I và Q cùng nhìn AM d ỉ c trong m t đ AMQI n i ti p đ ﾷ = . b) Ch ng minh: AQI ACO ﾷ = T giác AMQI n i ti p nên ộ ế AQI AMI ﾷ ﾷ = AMI CAO O ở � ﾷ ﾷ = AQI ACO
Q
C
T (1), (2), (3) suy ra: c) Ch ng minh CN = NH. ứ
I
N
ọ ủ
A
H
B
ng tròn(O)) ộ ế ắ ử ườ
O
G i K là giao đi m c a BC và tia Ax. ể Ta có: ﾷ ACB = (góc n i ti p ch n n a đ 090 BK , AC ^ OM (cid:0) OM // BK.
D có NH // AM (cùng ^ AB) ta đ c: AC ^ Tam giác ABK có: OA = OB , OM // BK (cid:0) MA = MK. Hình 6 Áp d ng h qu đ nh lí Ta let cho ượ ả ị ABM ụ ệ
BN NH = AM BM
(4)
BKM
D Áp d ng h qu đ nh lí Ta let cho có CN // KM (cùng ^ AB) ta đ c: ả ị ụ ệ ượ
(5)
BN CN = KM BM NH CN = AM KM
T (4) và (5) suy ra: ừ
ờ
ẽ ợ ứ ỉ
Mà KM = AM nên CN = NH (đpcm) L i bàn: 1. Câu 1 hình v g i cho ta suy nghĩ: C n ch ng minh hai đ nh Q và I cùng nhìn ầ i m t góc vuông. Góc AQM vuông có ngay do k bù v i ACB AM d ướ ề ộ ớ
vuông,góc
ﾷ
ﾷ
ấ ừ
= ACO CAO
câu 1, d dàng th y ngay , ﾷ c suy t ừ ấ , v n đ ề
ﾷIMA = ﾷCAO , đi u này không khó ph i không các em?
i là c n ch ra tính ch t hai ti p tuy n c t nhau. ế ắ ế ﾷ = ấ AQI AMI ả ễ ề ầ
ứ ề ệ
MIA vuông đ ượ c suy t 2. Câu 2 đ ượ l ỉ ạ 3. Do CH // MA , mà đ toán yêu c u ch ng minh CN = NH ta nghĩ ngay vi c kéo dài BC c t Ax t i K bài toán tr v bài toán quen thu c : Cho tam giác ầ ở ề ạ ắ ộ
ABC,
ng th ng d // BC c t AB, AC và AM l n l t t M là trung đi m BC. K đ ể ẻ ườ ầ ượ ạ i ẳ ắ
E,
D và I. Ch ng minh IE = ID . Nh đ ứ c các bài toán có liên quan đ n m t ph n c a bài thi ta qui v bài toán ộ ớ ượ ầ ủ ế ề
đó
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Trang 8 ể
ế ề ễ
ng kính AB có bán kính R, ti p tuy n Ax. Trên ti p ườ ế
tuy n Ax l y đi m F sao cho BF c t đ ng tròn t ế i C, tia phân giác c a góc ế Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 i quy t đ thi m t cách d dàng. thì gi ộ ả ng tròn tâm O đ Bài 5: Cho đ ườ ể ắ ườ ế ấ ạ ủ
ABF
i D. i E và c t đ c t Ax t ắ ạ ạ
ứ ứ ứ
ủ ố giác AOCD là hình thoi. Tính di n ệ
x
ng tròn t ắ ườ 1. Ch ng minh OD // BC. 2. Ch ng minh h th c: BD.BE = BC.BF ệ ứ giác CDEF n i ti p. 3. Ch ng minh t ộ ế ứ 4. Xác đ nh s đo c a góc ABC đ t ể ứ ị tích hình thoi AOCD theo R.
F
BÀI GI I CHI TI T Ả Ế
ﾷ
ﾷ
ﾷ = OBD ODB . Do đó: OD // BC.
� = ODB CBD
C
//
E
D
AD BE
=
AC BF
D O (vì OD = OB = R) 1. Ch ng minh OD // BC. ở ﾷ
B
A
O
^� ^� BE nên:
090 090 vuông
(góc n i ti p ch n n a đ (góc n i ti p ch n n a đ ng tròn (O) ng tròn (O) D ^ ế ở
D ^ A (do Ax là ti p tuy n ), có AC BF nên: vuông ế ở
ứ cân BOD (gt) nên ﾷ Mà ﾷ = OBD CBD 2. Ch ng minh h th c: BD.BE = BC.BF. ứ ệ ứ ﾷ ADB = ắ ử ườ ộ ế ﾷ ACB = ắ ử ườ ộ ế EAB A (do Ax là ti p tuy n ), có AD ế AB2 = BD.BE (1) FAB ế AB2 = BC.BF (2) hình 7
ừ
3. Ch ng minh t T (1) và (2) suy ra: BD.BE = BC.BF giác CDEF n i ti p: ứ ộ ế
ﾷ
ﾷ
ﾷ = CDB CFA
�
ﾷ giác CDEF n i ti p.
(cid:0) (cid:0) ắ (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ Ta có: ﾷ = CDB CAB (hai góc n i ti p cùng ch n cung BC) ộ ế ﾷ = CAB CFA ứ ộ ế
D D ( cùng ph ụ ﾷFAC ) Do đó t Cách khác: D và FBE có : ﾷB chung
và (suy t BD.BE = BC.BF) nên chúng đ ng d ng (c.g.c) ừ ạ ồ
DBC BD BC = BE BF Suy ra: ﾷ CDB = ố ị
ậ ứ ứ ộ ế
ﾷ
ﾷ
F
= ABD CBD
. V y t ủ giác CDEF là t ể ứ
ﾷEFB 4. * Xác đ nh s đo c a góc ABC đ t Ta có: ﾷ ﾷ T giác AOCD là hình thoi
(cid:0) OA = AD = DC = OC
(do BD là phân giác ﾷABC ) giác n i ti p. x giác AOCD là hình thoi : AD CD=�
0
ﾷ
=
ﾷ AD DC=
060
120
�
ﾷ AC =�
ứ
ﾷ ABC =
060
�
E
D
C
B
A
(cid:0) AD = DC = R
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n O
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 9 ể
060
0
=
thì t giác AOCD là hình thoi.
ABC = ệ 120
AC R
2
R
3
=
=
OD AC .
R R . .
3
V y ậ ﾷ ứ Tính di n tích hình thoi AOCD theo R: ﾷ AC 3
=� 1 2
2
Sthoi AOCD = (đvdt) 1 2
L i bàn : ờ
ớ ừ ế ợ
1. V i câu 1, t v i tam giác cân ta nghĩ ngay đ n c n ch ng minh hai ứ
gt BD là phân giác góc ABC k t h p ế ầ ằ
ộ ế ế
hình 8 ắ ử ườ ế
ng trong tam giác vuông quen thu c. ng tròn k t ế ợ ế ộ ớ ế
ể ứ
ớ góc so le trong ﾷODB và ﾷOBD b ng nhau. 2.Vi c chú ý đ n các góc n i ti p ch n n a đ ệ h p v i tam giác AEB,FAB vuông do Ax là ti p tuy n g i ý ợ ngay đ n h th c l Tuy nhiên v n có th ch ng minh hai tam giác BDC và BFE ồ ệ ứ ượ ẫ đ ng d ng tr ướ ồ ạ ư c r i suy ra BD.BE = BC.BF. V i cách th c hi n này có u ự ệ ớ
vi cệ
i luôn đ h n là gi ượ c câu 3. Các em th th c hi n xem sao? ử ự ệ
c câu 2 thì câu 3 có th s d ng câu 2 , ho c có th ch ng minh ơ 3. Khi gi ể ử ụ ể ứ ặ
ư
4. Câu 4 v i đ yêu c u xác đ nh s đo c a góc ABC đ t giác AOCD tr ả i đ ả ượ i . nh bài gi ả ớ ề ể ứ ủ ầ ố ị ở
thành
hình thoi không ph i là khó. T vi c suy lu n AD = CD = R nghĩ ngay đ n ế ậ
0.
ả 0 t đó suy ra s đo góc ABC b ng 60 ằ ừ
0
=
AC R
120
AC
3
ừ ệ ố ớ ế ệ ứ ỉ ầ ằ ớ ứ ặ ệ t
=�
,........ ổ
ẽ
ườ
i E và F ; BF c t EC t i H. Tia AH c t đ t t ng kính BC c t c nh ắ ườ ắ ạ ng th ng ẳ ầ ượ ạ ườ ạ ọ ắ
A
i N .
F
giác HFCN n i ti p . ứ
E
ố
H
=
cung AC b ng 120 Tính di n tích hình thoi ch c n nh công th c , nh các ki n th c đ c bi mà ư ﾷ trong quá trình ôn t p th y cô giáo b sung nh ậ ầ c d dàng. các em s tính đ ượ ễ Bài 6. Cho tam giác ABC có ba góc nh n. Đ ng tròn đ AB, AC l n l BC t ạ a) Ch ng minh t ộ ế ứ ủ ﾷEFN . b) Ch ng minh FB là phân giác c a ứ ﾷBAC c a ủ D ABC. s AH = BC . Tính s đo góc c) Gi ả ử Ế BÀIGI I CHI TI T
090
B
C
N
a) Ch ng minh t ứ ﾷ Ta có : ﾷ Ả ộ ế : giác HFCN n i ti p (góc n i ti p ch n n a đ ng tròn ộ ế ắ ử ườ ứ = BFC BEC
0
ng kính BC)
180
= ng kính HC) (đpcm)
nên n i ti p đ c trong ộ ế ượ
đ ườ ﾷ ﾷ + T giác HFCN có ứ HFC HNC ng tròn đ m t đ ườ ộ ườ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
ể
ﾷ
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 b) Ch ng minh FB là tia phân giác c a góc EFN Trang 10 : ủ
= EFB ECB
( hai góc n i ti p cùng ch n ng tròn đ ứ Ta có: ﾷ ộ ế ủ ườ ườ ng ắ ﾷBE c a đ
ﾷ
kính BC)
ﾷ = ECB BFN
( hai góc n i ti p cùng ch n ng tròn đ ộ ế ủ ườ ườ ng ắ ﾷHN c a đ
ﾷ
kính HC)
= EFB BFN
ủ ậ
0
s AH = BC. Tính s đo góc BAC c a tam giác ABC : . V y FB là tia phân giác c a góc EFN (đpcm) ủ ố ả ử
ﾷ BFC
AFH
90
= AH = BC (gt)
ﾷ
Suy ra: ﾷ c) Gi D FAH và D FBC có: ﾷ =
= FAH FBC
ﾷ (cùng ph ụ ﾷACB )
V y ậ D FAH = D FBC (c nh huy n- góc nh n). Suy ra: FA = FB. ề ạ ọ
ﾷ BAC =
045
D AFB vuông t i)
i F; FA = FB nên vuông cân. Do đó ạ
i H. ạ ọ ườ
giác BCDE n i ti p. ng cao BD và CE cát nhau t ộ ế ứ
^ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. Ch ng minh OA DE. ứ ườ
060
ạ ế . Tính BH. BD + CH. CE theo R
ấ
ằ ể ế
F
ườ ẳ
C
ườ ng vuông góc h t ng kính AB. Trên tia AB l y đi m D n m ngoài ể ng tròn (O) ( C là ti p đi m ). G i ớ ườ ọ A xu ng đ ng th ng CD và F là chân ố E ng th ng AC. Ch ng minh: ẳ ườ ứ ạ ừ D xu ng đ ố
=
//
ạ ừ ộ ế
A
O
B
D
ạ ồ
ệ
t nghi p và xét tuy n vào l p 10- năm h c 2000- 2001) ớ ọ ệ ề
gi Bài 7: (Các em t ự ả Cho tam giác ABC nh n, các đ a) Ch ng minh t ứ b) Ch ng minh AD. AC = AE. AB. ứ c) G i O là tâm đ ọ ﾷ BAC = d) Cho bi t OA = R , ế ng tròn (O) đ Bài 8. Cho đ ườ ườ đo n AB và k ti p tuy n DC v i đ ẻ ế ế ạ E là chân đ ng vuông góc h t đ ườ a) T giác EFDA n i ti p . ứ b) AF là phân giác c a ủ ﾷEAD . c) Tam giác EFA và tam giác BDC đ ng d ng . d) Các tam giác ACD và ABF có cùng di n tích . ( Trích đ thi t ể ố BÀI GI IẢ
0
ứ
AED =
0 nên t
(gt) giác EFDA n i ti p ộ ế : ứ ﾷ = AFD 90
giác a) Ch ng minh t Ta có: ﾷ ỉ ứ
ộ ế ượ
Hai đ nh E và F cùng nhìn AD d EFDA n i ti p đ c trong m t đ ứ i góc 90 ng tròn. ủ ﾷEAD :
AE CD
ﾷ
AE OC //
= EAC CAD
OC CD
ﾷ
ướ ộ ườ b) Ch ng minh AF là phân giác c a Ta có : ^ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( so le trong) . V y ậ ﾷ ^ (cid:0)
ﾷ = CAO OCA
Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên ở
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
ﾷ
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 11 ể
= EAC CAD
ủ ậ
ﾷ
Do đó: ﾷ . V y AF là phân giác c a góc EAD (đpcm) ạ : c) Ch ng minh tam giác EFA và tam giác BDC đ ng d ng ứ ồ
D EFA và D BDC có : = EFA CDB
(hai góc n i ti p cùng ch n ng tròn ngo i ti p t giác ộ ế ủ ườ ạ ế ứ ắ ﾷAE c a đ
ﾷ
ﾷ
ﾷ = EAF BCD
�
ﾷ
ﾷ = EAC CAB ﾷ = CAB DCB
ﾷ EFDA) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . V y ậ D EFA và D BDC đ ng d ng (góc- góc) ạ ồ (cid:0) (cid:0)
.
BC
.AF
d) Ch ng minh các tam giác ACD và ABF có cùng di n tích : ứ ệ
DF AC và SABF =
1 2
1 2
=
SACD = . (1)
BC DF
AC AF
ACD = SABF (đpcm) (L u ý: có th gi
BC // DF (cùng ^ AF) nên : hay DF. AC = BC.AF (2)
i 2 cách khác ừ ể ả ư
045
T (1) và (2) suy ra : S n a)ữ
ử ườ ng tròn (O) t ng tròn tâm O ạ ) n i ti p trong n a đ ế ườ
BAC < ế ẻ ừ
ự ng vuông góc k t A đ n ti p tuy n đó. AH c t đ ế ộ ế ng kính AB. D ng ti p tuy n v i đ ớ ườ ế „ ế A) . Đ ng vuông góc v i AC k t i C và g i H là ọ ng tròn ắ ườ i K và M c t AC t ạ ắ ẻ ừ ườ ớ
ườ i M ( M i P.
giác MKCH n i ti p . ộ ế
H
M
ề ứ D MAP cân . ệ ủ D ABC đ ba đi m M, K, O th ng hàng. ể ể ẳ
C
090
K
Bài 9. Cho tam giác ABC ( ﾷ đ chân đ (O) t ạ AB t ạ a) Ch ng minh t ứ b) Ch ng minh ứ c) Tìm đi u ki n c a BÀI GI IẢ a) Ch ng minh t ứ
(gt) 0 nên ằ ố
B
A
O
P
ộ ế : giác MKCH n i ti p (gt), ﾷ MKC = MHC = 090 T giác MKCH có t ng hai góc đ i nhau b ng 180 ổ c trong m t đ ứ Ta có : ﾷ ứ ộ ế ượ ộ ườ
ﾷ
ng tròn. : n i ti p đ b) Ch ng minh tam giác MAP cân ứ
= MAC ACO
ﾷ
ﾷ
(so le trong)
ﾷ = ACO CAO ủ ﾷMAB .
ﾷ
Do đó: ﾷ . V y AC là phân giác c a ậ AH // OC (cùng vuông góc CH) nên ﾷ D AOC cân O (vì OA = OC = R) nên ở = MAC CAO ^ ng cao (do AC MP), đ ng th i là đ ườ ồ ờ ườ ng
Tam giác MAP có AK là đ phân giác nên tam giác MAP cân Cách 2: T giác MKCH n i ti p nên ở ộ ế ứ A (đpcm). ﾷ = AMP HCK (cùng bù ﾷHMK )
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
ﾷ
ﾷ
Trang 12 ể
= CBA MPA
= HCA CBA
1 2
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 ﾷ (hai góc đ ng v c a MP// (cùng b ng ằ ị ủ ồ sđ ﾷAC ), ﾷ
ﾷ
CB)
i A. ậ ạ
c) Tìm đi u ki n cho tam giác ABC đ ba đi m M; K; O th ng hàng Suy ra: ﾷ AMP APM= ệ ề . V y tam giác AMP cân t ể (cid:0) : ẳ O hay AP = PM ể ẳ ẳ ế
A suy ra tam giác MAP đ u. ề ở
(cid:0) O : ta ch ng minh P (cid:0) (do AC là phân giác c a ủ ﾷMAB )
060
ﾷ MAO =
nên D MAO đ u. ứ 060 i O có ề . 030 ﾷ MAB = ạ (cid:0) A) nên AO = AP. V y P O ở ậ
ﾷ CAB =
030
i: Tam giác ABC cho tr c có ả ờ ướ ẳ thì ba đi m M; K; O th ng ể
A
A, đ ườ ở „ ng cao AH. Đ ng tròn tâm O ườ i M và N ( A M&N).
N
ﾷ
O
M
ầ ượ ạ t là trung đi m các đo n th ng OH, BH, và CH. ng kính AH c t các c nh AB, AC l n l ạ ắ ầ ượ t t ẳ ể
I
/
//
/
//
C
B
Q
P
H
ộ ế
ﾷ
Ta có M; K; P th ng hàng. Do đó M; K;O th ng hàng n u P K t h p v i câu b tam giác MAP cân ớ ế ợ Do đó ﾷ CAB = 030 ả ạ ﾷ CAB = Đ o l i: Khi ﾷ CAB = 030 Tam giác MAO cân t Do đó: AO = AM. Mà AM = AP(do D MAP cân . Tr l hàng. Bài 10. Cho tam giác ABC vuông đ ạ ườ G i I, P, Q l n l ọ Ch ng minh: ứ a) ﾷ = AHN ACB b) T giác BMNC n i ti p . ứ c) Đi m I là tr c tâm tam giác APQ. ự ể BÀI GI IẢ
ﾷ = AHN ACB ộ ế
090
(góc n i ti p ch n n a đ ng tròn (O)) a) Ch ng minh ﾷ
i Nạ ng cao c a : ắ ử ườ ủ D ABC) nên tam ườ
ﾷ
(do AH là đ H.ở
ﾷ
ﾷ
(cùng ph ụ ﾷHAC ) ộ ế : giác BMNC n i ti p ộ ế ắ
giác BMNC là m t t giác n i ti p. ộ ế ộ ứ ứ
ứ ANH = Nên Tam giác ANH vuông t ﾷ AHC = 090 giác AHC vuông Do đó: ﾷ = AHN ACB b) Ch ng minh t ứ ứ ﾷ Ta có : ﾷ = AMN AHN ﾷ = AHN ACB V y: ậ ﾷ = AMN ACB ứ
(hai góc n i ti p cùng ch n cung AN) (câu a) . Do đó t : c) Ch ng minh I là tr c tâm tam giác APQ ự ng trung bình c a tam giác AHC. OA = OH và QH = QC (gt) nên QO là đ ủ ườ Suy ra: OQ//AC, mà AC ^ AB nên QO ^ AB. Tam giác ABQ có AH ^ AB nên O là tr c tâm c a tam giác . BQ và QO ^ ự ủ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
^ Trang 13 ng trung bình c a tam giác BHO nên PI // V y BO Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 ể AQ. M t khác PI là đ ủ ườ ậ ặ
^ ^ AQ ta đ BO K t h p v i BO ế ợ
ớ Tam giác APQ có AH ^ c PI ượ PQ và PI ^ AQ. AQ nên I là tr c tâm tam giác ự
ng tròn (O;R) đ ng ọ ộ ườ
A&B). M, N l n l ườ ầ ượ ng kính AB.G i C là đi m b t kỳ thu c đ ể ấ t là đi m chính gi a c a các cung nh ữ ủ ỏ
i I, các dây cung AN và ẳ ườ ể ắ ạ
ở
ng tròn ngo i ti p t giác đó. P. Ch ng minh: ộ ế ủ ườ ứ ị ạ ế ứ
ế
ng tròn (O;R) thì đ ng tròn (O;R). ườ ứ ộ ườ ng th ng MN ẳ
ng tròn c đ nh . ộ ườ ế
a) Ch ng minh t giác ICPN n i ti p. Xác đ nh tâm K c a đ ng tròn APQ(đpcm) Bài 11.Cho đ ườ tròn đó ( C„ ng th ng BN và AC c t nhau t AC và BC. Các đ BC c t nhau ứ ắ a)T giác ICPN n i ti p. Xác đ nh tâm K c a đ b)KN là ti p tuy n c a đ ế ủ ườ c)Ch ng minh r ng khi C di đ ng trên đ ằ luôn ti p xúc v i m t đ ố ị ớ BÀI GI IẢ ị ộ ế ứ ứ ủ ườ I
K
ﾷ
=
giác đó:
/
C
N
=
H
0
M
ﾷ
=
/
(góc n i ti p ch n n a đ ng tròn (O)) ắ ử ườ ộ ế
180
P
=
nên n i ti p đ ộ ế ượ c trong m t ộ
B
ứ ườ
O
ng tròn ngo i ti p t giác ICPN là trung đi m A ạ ế ứ ể
ngo i ti p ạ ế t ứ Ta có : ﾷ = 090 ACB ANB Do đó: ﾷ ﾷ = = 090 ICP INP ﾷ ICP INP+ T giác ICPN có đ ng tròn . Tâm K c a đ ủ ườ c a đo n th ng IP. ẳ ạ ủ
=
= KN KI
IP
b) Ch ng minh KN là ti p tuy n c a đ ng tròn (O). ế ủ ườ ứ ế
1 2
ﾷ
Tam giác INP vuông t i N , K là trung đi m IP nên ạ ể
ﾷ
ﾷ = KIN KNI (hai góc n i ti p cùng ch n cung PN đ
K . Do đó ở
ng tròn (K)) ậ ặ (1) ắ ộ ế ườ V y tam giác IKN cân ﾷ = M t khác NKP NCP
ﾷ
(2)
ﾷ = CN BN
CN NB
=�
. V y ậ D NCB cân t i Nạ
ﾷ
ﾷ INK IBC=
ể = NCB NBC
^ BC nên KN ^
0
0
ﾷ
=
=
�
90 0
90 0
N là trung đi m cung CB nên Do đó : ﾷ ﾷ (3) T (1) , (2), (3) suy ra: M t khác ON ừ ặ v trí đ ng v nên KN // BC ị ồ ở ị ng tròn ON. V y KN là ti p tuy n c a đ ế ủ ườ ế , hai góc này ậ
90
ﾷ KNO ﾷ KNO
�
ể ứ ứ
c) Ch ng minh r ng khi C di đ ng trên đ
90 ng tròn (O) thì đ
(O). ﾷ + Chú ý: * Có th ch ng minh KNI ONB ﾷ ﾷ + * ho c ch ng minh ặ KNA ANO ứ ằ
= ộ
= ườ
ườ ẳ ng th ng
MN luôn
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Trang 14
ﾷ
ế ố ị
AM MC=
. V y OM là phân giác c a
090
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 ti p xúc v i m t đ Ta có ﾷ T ng t ự ề ủ ﾷCOB , mà ﾷAOC và ﾷCOB k bù nên ủ ﾷAOC . ﾷ MON =
R
2
O ể ng tròn c đ nh: ớ ộ ườ (gt) nên ﾷ ﾷ = ậ AOM MOC ON là phân giác c a V y tam giác MON vuông cân ở ươ ậ
2
^ K OH MN, ta có OH = OM.sinM = R. = ẻ không đ i.ổ
2 2 ng tròn (O) thì đ ườ
V y khi C di đ ng trên đ ậ ộ ườ ớ ng th ng MN luôn ti p xúc v i ế ẳ
R
2
m t ộ
2
đ ) ườ ng tròn c đ nh (O; ố ị
ng tròn (O), k hai ti p tuy n AB, AC t ng ở ừ ể ế ẻ
ẳ
ằ
ể ạ
B
ng tròn .
=
//
ngoài đ i đ Bài 12. T đi m A ớ ườ ế ườ ng tròn (O) t tròn ( B, C là các ti p đi m). Đ ng th ng qua A c t đ i ế ạ ắ ườ ườ ể D và E ( D n m gi a A và E , dây DE không qua tâm O). G i H là trung ữ ọ i K . đi m c a DE, AE c t BC t ắ ủ a) Ch ng minh t giác ABOC n i ti p đ ứ ứ b) Ch ng minh HA là tia phân giác c a ứ ộ ế ườ ủ ﾷBHC
2 AK
1 1 + AD AE
O
A
//
D
/
K
H
/
=
E
C
0
. c) Ch ng minh : ứ
180
c ộ ế ượ
BÀI GI IẢ giác ABOC n i ti p: ộ ế ứ (tính ch t ti p tuy n) ế ấ ế ﾷ ﾷ = + nên n i ti p đ ABO ACO ng tròn . a) Ch ng minh t ứ ﾷ ﾷ = 090 ABO ACO T giác ABOC có ứ trong m t đ ộ ườ
ﾷ
b) Ch ng minh HA là tia phân giác c a góc BHC: ứ
ﾷ AB AC=
ﾷ
ﾷ = AHB AHC
. Do đó AB = AC (tính ch t hai ti p tuy n c t nhau). Suy ra ế ấ ủ ế ắ
ậ
B
2 AK
=
V y HA là tia phân giác c a góc BHC. = c)Ch ng minh : ứ ủ 1 1 + AD AE
_
A
ﾷ
D ABD và D AEB có:
O
= ABD AEB
1 2
D
/
=
K
H
/
E
2
(cùng b ng ằ sđ ﾷBD )
AB
AD AE .
�
C
AB AE
AD AB
D ABK và D AHB có:
ﾷBAE chung, ﾷ Suy ra : D ABD ~ D AEB = = Do đó: (1)
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
ﾷ
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 15
2
ﾷBAH chung, ﾷ =
) nên chúng đ ng d ng. ạ ồ ể ﾷ AB AC=
AB
AK AH .
�
AK AB
= ABK AHB AB AH
(do ﾷ = Suy ra: (2)
+
+
T (1) và (2) suy ra: AE.AD = AK. AH ừ
(
)
2
DH
2
2
=
2 =� AK
2 AH AE AD .
AD AE AD .
AH 1 =� AE AD . AK + AD AD ED AE AD .
+ AE AD AE AD .
1 1 + AD AE
+ AD DH AE AD .
= = = =
=
(do AD + DE = AE và DE = 2DH)
2 AK
1 1 + AD AE
(đpcm) V y: ậ
ng kính AB. Trên đ ườ ườ
. V đ ng tròn (B;BM) c t đ ng tròn (O;R) t ẽ ườ ắ ườ ể ng tròn (O;R) l y đi m i đi m th hai ứ ấ ể ạ ườ MAB = ng tròn (O;R) có đ 060
Bài 13. Cho đ M sao cho ﾷ là N .
ng tròn (B;BM) . ế ủ ườ
ng tròn (O;R) và MBJ c a đ ng tròn ườ ủ ườ 2 ế ủ ườ ẳ
(B;BM) . Ch ng minh N , I , J th ng hàng và JI . JN = 6R c) Tính ph n di n tích c a hình tròn (B;BM) n m bên ngoài đ ng tròn (O;R) a) Ch ng minh AM và AN là các ti p tuy n c a đ ứ ng kính MOI c a đ b) K các đ ẻ ứ ệ ủ ầ ằ ườ
theo R
M
a) Ch ng minh AM và AN là các ti p tuy n c a BÀI G IẢ ế ủ ế
đ
60(cid:176)
B
ứ ườ Ta có : ﾷ (góc n i ti p ch n n a đ ng tròn(O))
A
O
J
I
=
ắ ử ườ ^ MB và AN ^ NB ể
090
(các góc n i ti p ch n n a đ ng tròn (B;BM). ﾷ = = ộ ế 090 AMB ANB Đi m M và N thu c (B;BM) ; AM ộ Nên AM ; AN là các ti p tuy n c a (B;BM) ế ủ ế 2. b) Ch ng minh N; I; J th ng hàng và JI .JN = 6R ẳ N ng tròn tâm O và tâm B ) ắ ử ườ ộ ế ứ = MNI MNJ
ﾷ ﾷ Nên IN ^ ậ ể ẳ
MN và JN ^ * Tam giác MJI BO là đ Tam giác AMO cân ở
OA
ng trung bình nên IJ = 2BO = 2R ﾷ MAO = MN tai H(tính ch t dây chung c a hai đ AB ^ MN . V y ba đi m N ; I ; J th ng hàng. ườ O (vì OM = OA), ủ ấ
NJ
2.
R
3
�
1 R= 2
R 3 2
1 2
2
060 ườ R 2 V y JI . JN = 2R . 3R = 6R
nên tam giác MAO đ u.ề ng tròn (O) và (B)c t nhau) = R+ = . V y HB = HO + OB = Nên OH = ậ ắ R 3 = 2
ng tròn (O; R) theo R: ườ ệ ầ ằ
ầ ằ ằ ọ
ậ c)Tính di n tích ph n hình tròn (B; BM) n m ngoài đ G i S là di n tích ph n hình tròn n m (B;BM) n m bên ngoài hình tròn (O;R). S1 là di n tích hình tròn tâm (B; BM) ệ ệ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 16
ệ ạ
ng tròn (O;R) ể S2 là di n tích hình qu t MBN S3 ; S4 là di n tích hai viên phân cung MB và NB c a đ ệ ủ ườ
2
0
0
p
=
Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4).
(
) 2
R
3
p= 3
R
3
MB R=�
1 =
120
MAB
60
ﾷ =� MB
. • Tính S1: ﾷ . V y: Sậ
2
0
(cid:0) Tính S2 :
( Rp
ﾷ MBN =
060
0
Rp 2
(cid:0) S2 = =
) 2 3 60 360
(cid:0) Tính S3 :
ạ
2
0
2
p
0
S3 = Squ t MOB
p =
ﾷ MOB =
120
.120 0
R 3
R
.
R R .
3
(cid:0) = . Squ t MOB ạ – SMOB . R 360
AM MB = .
1 1 . 2 2
1 4
2 3 4
2
R-
3 =
OA = OB (cid:0) SMOB = SAMB = =
1 2 2 3 4
= S4 (do tính ch t đ i x ng) V y Sậ ấ ố ứ
2
2
2
p 2
R
3
2
+
ừ
3 Rp
R 2
R 3
2
� � � �
2
+
Rp 3 1 – (S2 + 2S3) T đó: S = S p � � � � 2 R 3
p 11
R
3
- – =
6
= (đvdt)
Bài 14: Cho đ ng tròn (O;R) , đ ng kính AB . Trên ti p tuy n k t ườ ủ ườ ng
ể ườ ấ ế ẻ ế ế ế ừ
ng tròn (O;R) , v i D là ti p đi m. ớ
ẻ ừ A c a đ tròn này l y đi m C sao cho AC = AB . T C k ti p tuy n th hai CD c a ủ ứ ườ ứ ế ộ ứ
ể giác n i ti p . ộ ế ộ ẳ
045
i đi m th hai M.Ch ng minh ng tròn (O;R) t ọ ườ ạ ứ ứ ể ạ
C
đ a) Ch ng minh r ng ACDO là m t t ằ b)G i H là giao đi m c a AD và OC .Tính theo R đ dài các đo n th ng AH ; AD ủ ể c)Đ ng th ng BC c t đ ắ ườ ẳ ﾷ MHD = d)Đ ng tròn (I) ngo i ti p tam giác MHB. Tính di n tích ph n c a hình tròn này ầ ủ ườ ệ
ạ ế ng tròn (O;R) . ằ ườ
//
n m ngoài đ BÀI GI IẢ
M
=
=
ứ
D
090
0
=
I
a) Ch ng minh t ứ ﾷ ﾷ
180
_
H
c trong ộ ế ượ giác ACDO n i ti p ộ ế : ế (tính ch t ti p tuy n) ấ ế ﾷ ﾷ + nên n i ti p đ CAO CDO
= CAO CDO T giác ACDO có ứ m t đ ộ ườ
/
/
B
A
O
ng tròn.
b) Tính theo R đ dài các đo n th ng AH; AD : ẳ ạ ộ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
OC AD
^�
Trang 17
và AH ể ế ắ ấ
=
+
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 CA = CD (tính ch t hai ti p tuy n c t nhau); OA = OD =R ế = HD
2
2
2
1 AH
1 AO
1 AC
1
+
^ Tam giác ACO vuông A, AH OC nên ở
2
= =
(
) 2
1 2 R
2
R
5 4R
5
4
2
5
R 5
V y : AH = và AD = 2AH = ậ
R 5 ﾷ MHD =
c) Ch ng minh
045 ộ ế
090
�
ﾷ CMA = 090 0 nên ACMH là t
ng tròn) ắ ử ườ
= ACM MHD
i góc 90 giác n i ti p. : (góc n i ti p ch n n a đ ướ ứ ộ ế ứ ﾷ AMB = Hai đ nh H và M cùng nhìn AC d ỉ ﾷ Suy ra : ﾷ
ACB =
045
045
ạ ậ ﾷ i A, AC = AB(gt) nên vuông cân . V y
:
ﾷ CHM =
MHD =
090
045
và ﾷ ườ mà ﾷ (do D CAB vuông cân ở Tam giác ACB vuông t Do đó : ﾷ MHD = ệ CHD = . d) Tính di n tích hình tròn (I) n m ngoài đ T ừ ﾷ 045 ng tròn (O) theo R CBA = 045 ằ �
ﾷ
ﾷ
=
ﾷ = MHB MOB
090 ng tròn ngo i ti p tam giác MHB là trung đi m MB.
B) (cid:0) T giác HMBO n i ti p . Do đó . ứ ộ ế
ạ ế
ể ng tròn (O). Nên ﾷ = CHM CBA V y tâm I đ ậ ườ ọ
ngoài đ ườ ở ng kính MB. G i S là diên tích ph n hình tròn ( I ) ườ ầ ử
2
S1 là di n tích n a hình tròn đ ệ S2 là di n tích viên phân MDB ệ Ta có : S = S1 – S2
=
p .
1 =
MB
090
MB R
2
=�
1 2
Rp 4
2 � � 2 R = � �� � 2 � �
* Tính S1 : ﾷ . V y Sậ
2
2
2
p
MOB p
*
R 4
R 2
2
2
2
p
- - = = Tính S2: S2 = Squ tMOB 0 .90 0 – S D R 2
- (
Rp 4
R 2
R 2
ạ 2 R 360 2 R 4
- * S = ) =
ng tròn (O) đ ườ ườ ể
ằ ẳ ớ
ng kính AB b ng 6cm . G i H làđi m n m gi a A và ọ ẽ ườ Hai đ i C và D . ữ ẳ ng th ng Từ i M . ạ ạ ắ ẳ
ằ ườ ng th ng BC và DA c t nhau t ng th ng AB ( N thu c th ng AB ) . ẳ ộ
giác n i ti p . Bài 15: Cho đ B sao cho AH = 1cm . Qua H v đ này c tắ đ ng tròn (O) t ườ ng vuông góc MN v i đ M h đ ạ ườ a) Ch ng minh MNAC là t ứ ng th ng vuông góc v i AB , đ ườ ẳ ộ ế ớ ườ ứ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Trang 18 ể
ộ
ﾷABC . ng tròn (O) . ở ắ
K
C
E . Ch ng minh đ ế ủ ườ ng tròn (O) c t NC ườ ẳ ng th ng ế ạ ẳ ế i A c a đ ủ ườ ứ M
E
I
B
N
A
ạ ủ ẳ
O
H
0
=
180
giác MNAC n i ti p: ứ (góc n i ti p ch n n a đ
D
ộ ế ng tròn) ắ ử ườ ộ ế ﾷ ﾷ N C+ . T giác MNAC có ứ 090 ng tròn. c trong m t đ ộ ườ
5
CH =�
^ HB = 5 (cm) AB (cid:0) CH2 = AH . BH = 1 . 5 = 5 ở
=
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 b) Tính đ dài đo n th ng CH và tính tg ạ c) Ch ng minh NC là ti p tuy n c a đ ứ d) Ti p tuy n t ế EB đi qua trung đi m c a đo n th ng CH. ể BÀI GI IẢ a) Ch ng minh t ứ ﾷ ACB = 090 Suy ra ﾷ MCA = nên n i ti p đ ộ ế ượ b) Tính CH và tg ABC. AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm) (cid:0) Tam giác ACB vuông C, CH (cm)
CH BH
5 5
* tg ABC =
ﾷ
c) Ch ng minh NC là ti p tuy n c a đ ứ ế
= NCA NMA
(hai góc n i ti p cùng ch n cung AN c a đ ng tròn ủ ườ ế ủ ườ ộ ế ng tròn (O): ắ
ﾷ
ﾷ
giác MNAC).
ﾷ = ADC ABC
ﾷ ứ (so le trong c a MN // CD) và ủ Ta có : ﾷ ngo i ti p ạ ế t = NMA ADC (cùng ch n ắ ﾷAC
ﾷ
ﾷ NCA =
�
)
= NCA ABC
1 2
. Do ﾷ Nên : ﾷ sđ ﾷAC
ng tròn (O).
ế ủ ườ i bài t p 30 trang 79 SGK toán 9 t p 2) ậ ạ
d) Ch ng minh EB đi qua trung đi m c a CH: ể ủ
ﾷ
G i K là giao đi m c a AE và BC; I là giao đi m c a CH và EB.
ﾷ = AKB DCB
�
ể ủ (đ ng v ) ị ồ
(cùng ch n ắ ﾷMN )
KEC
ﾷ = MAN MCN cân ế
E. Do đó EK = EC ở ủ v i AB) ớ ( cùng ch n cung BD) ắ ﾷ (đ i đ nh) và ố ỉ ﾷ = EKC ECK
=
=
ế ắ
1 ABC = sđ ﾷAC 2 Suy ra CN là ti p tuy n c a đ ế (xem l ậ ứ ọ ể KE // CD (cùng ^ ﾷ ﾷ = DAB DCB ﾷ ﾷ = DAB MAN Suy ra: ﾷ Mà EC = EA( tính ch t hai ti p tuy n c t nhau) nên EK = EA. BI BE
D� ấ CI KE
BI BE
IH AE
=
D D có CI // KE (cid:0) có IH // AE (cid:0) và ABE KBE
CI KE
IH AE
mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) V y ậ
Bài 16
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 19 ể
ng tròn tâm O, đ ng kính AC. V dây BD vuông góc v i AC t i K ( K ẽ ớ ạ
Cho đ ằ ườ ữ ườ ể ấ ỏ
n m gi a A và O). L y đi m E trên cung nh CD (E không trùng C và D), AE c t ắ BD t ạ
2 = AH. AE.
giác CEHK n i ti p. ứ ộ ế
i H. ứ ứ
H
B
ử ể ặ ẳ ờ a . Trên n a m t ph ng b BC không ch a đi m A, v tam giác i M. Tính góc MBC theo ẽ ng tròn (O). ể
_
M
/?
a) Ch ng minh tam giác CBD cân và t b) Ch ng minh AD c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tính chu vi hình tròn (O). d) Cho ﾷBCD a= ứ đ M thu c đ MBC cân t ộ ườ ạ ẫ : H ng d n ướ
/
p
ng ệ ứ ượ (cid:0) R = 12,5 cm ượ
O
K
A
C
H
0
ﾷ
E
= a
0
0
+
=
+
c CA = 25 cm c C = 25 a giác ABMC n i ti p. ộ ế
180
90
2
�
D
0
a
c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng h th c l tính đ T đó tính đ ừ ượ d) M (cid:0) (O) ta c n có t ứ ầ (cid:0) ﾷ ABM ACM+ 180 ﾷ MBC
180
=
MBC
2 ượ ﾷ c
- T đó tính đ ừ
4 ứ ng kính AB. Trên n a m t ph ng b AB ch a ườ
ng tròn (O) đ ử ặ ẳ ờ ử ườ
Bài 17. Cho n a đ n a ử
ủ ế
i D, các tia AD và BC c t nhau t i E. ng tròn k ti p tuy n Ax và dây AC b t kỳ. Tia phân giác c a góc xAC c t ắ ấ ắ ạ
i K, c t tia Ax t giác ạ ắ ạ i F . Ch ng minh t ứ ứ
. Ch ng minh AK = 2CK.
ng tròn (O) v hai ti p tuy n AB; AC và cát ế ẽ ế
2 = AM. AN giác ABIO n i ti p .
đ ườ ẻ ế ng tròn t n a đ ạ ử ườ D ABE cân. a) Ch ng minh ứ b) Đ ng th ng BD c t AC t ắ ẳ ườ ABEF n i ti p. ộ ế c) Cho ﾷ CAB = ứ 030 Bài 18. T đi m A ngoài đ ườ ở ừ ể ế ể ọ
tuy n AMN không đi qua tâm O . G i I là trung đi m MN. a) Ch ng minh AB b) Ch ng minh t ứ ộ ế ứ ứ
IB DB = IC DC
c) G i D là giao đi m c a BC và AI. Ch ng minh ủ ứ ể ọ
Bài 19. Cho tam giác ABC n i ti p đ
ạ
ắ ườ i E và c t đ ủ ﾷBAC ng ắ ườ i N. G i K là trung đi m c a DE. i D và c t đ ạ ắ ườ ng tròn (O). Phân giác trong c a ộ ế ườ i Ac t đ i M. Phân giác ngoài t ng tròn t ạ ng tròn t ủ ể ạ ọ
c t BC t ạ ắ th ng BC t ẳ Ch ng minh: ứ a) MN vuông góc v i BC t ớ ạ i trung đi m c a BC. ể ủ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
ﾷ
= ABN EAK
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 Trang 20 ể
ế ủ ườ
ng đó. V đ ng th ng xy theo th t ẳ ứ ự
ọ ẽ ế
ế t là trung đi m c a BC và MN. b) ﾷ c) AK là ti p tuy n c a đ ế Bài 20. Cho ba đi m A, B,C n m trên đ ằ ể ừ ủ
i I. Ch ng minh IN // AB
ng tròn (O) t ứ ng tròn ngo i ti p tam giác OEF n m trên ắ ườ ườ ạ ạ ế ằ
ườ
ằ ng th ng c đ nh khi đ ẳ ng tròn (O) đ ^ ng tròn (O) thay đ i. ổ ằ i A c a đ
ng kính AB = 2R . Đi m C n m trên (O) mà ể ng tròn ế ạ i M. ạ ủ ườ ng tròn (O) c t AE t ắ
ắ
ể
ng tròn (O). ẽ ườ ườ tròn (O) đi qua B và C. T A v hai ti p tuy n AM và AN . G i E và F l n l ể ầ ượ 2 = AN2 = AB. AC a) Ch ng minh AM ứ b) Đ ng th ng ME c t đ ườ ẳ c) Ch ng minh r ng tâm đ ứ m t đ ố ị ộ ườ Bài 21. Cho đ ườ ườ AB ( D ˛ AC > BC. K CD AB ) . Ti p tuy n t ẻ ế i C c a đ i E. Ti p tuy n t (O) c t BC t ủ ườ ế ạ ế ạ ắ OM c t AC t i K. i I . MB c t CD t ạ ạ ắ a) Ch ng minh M là trung đi m AE. ứ b) Ch ng minh IK // AB. ứ c) Cho OM = AB . Tính di n tích tam giác MIK theo R. ệ
Bài 22 : Trên cung nh BC c a đ ạ ế ề ấ ộ ủ ườ ỏ
đi m P tuỳ ý . G i là giao đi m c a AP và BC ng tròn ngo i ti p tam giác đ u ABC l y m t ể ủ ọ
+
=
a) Trên AP l y đi m M sao cho PM = PB . Ch ng minh BP+PC= AP. ứ ấ
b) Ch ng minh . ứ
ể 2= AP . AQ . Ch ng minh BC ứ ể 1 1 1 PQ PB PC ng tròn (O) đ ử ườ
ng tròn . CA c t n a đ N . G i H là giao ắ ử ườ ng kính AB = 2R và đi m C n m ngoài n a ử ể ườ ng tròn M , CB c t n a đ ng tròn ở ắ ử ườ ằ ở ọ
ủ ^
Bài 23 : Cho n a đ đ ườ đi m c a AN và BM . ể ứ ọ a) Ch ng minh CH b) G i I là trung đi m c a CH . Ch ng minh MI là ti p tuy n c a n a đ ứ ể AB . ủ ế ủ ế ử ườ ng
ﾷMN .
c) Gi s CH =2R . Tính s đo cung tròn (O) ả ử ố
ng tròn đ ườ ử ườ ằ ộ
ộ ng kính AB = 2R và dây MN có đ dài b ng bán ở ắ I . Các dây AN và BM c t ắ
K . ở
ổ ị ể ể ỹ ỹ
i H . Ch ng minh HA.HB = HI.HK . ứ ắ
Bài 24: Cho n a đ kính .(M thu c cung AN ) . Các tia AM và BN c t nhau nhau a)Tính ﾷMIN và ﾷAKB . b)Tìm qu tích đi m I và qu tích đi m K khi dây MN thay đ i v trí . c) Ch ng minh I là tr c tâm c a tam giác KAB . ự ủ ứ d)AB và IK c t nhau t ạ
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
Trang 21 ể
Các bài toán hình Ôn thi Tuy n sinh 10 e)V i v trí nào c a dây MN thì tam giác IAB có di n tích l n nh t ? Tính giá ệ ủ ấ ớ
ớ ị ị ệ
Bài 25 ể ọ ườ ấ ấ
là i I ,NM c t AB t ng tròn (O) l y ba đi m A,B và C . G i M,N và P theo th t ứ ự ắ ạ ạ i E
ể ọ ữ ủ ể ắ ằ ứ
tr di n tích l n nh t đó theo R . ớ : Trên đ đi m chính gi a c a các cung AB,BC và AC. BP c t AN t G i D là giao đi m c a AN và BC . Ch ng minh r ng : ủ a) D BNI cân . b) AE.BN = EB.AN . AN AB = c)EI // BC d) BN BD
ở ngoài nhau . Đ ng n i tâm OO ườ
1) ể
1 c t các ẳ
ng tròn (O) và (O 1) t ắ ng th ng ạ ố i các đi m A , B , C , D theo th t ứ ự ườ ˛ ườ ng tròn (O) và (O ế ế ể (O1) ) . G i M là giao đi m
trên đ ọ ằ (O) , F ˛ ứ ể
T giác MENF là hình ch nh t .
AD
Bài 26 : Cho hai đ đ ườ K ti p tuy n tuy n chung ngoài EF ( E ẻ ế c a AE và DF , N là giao đi m c a EB và FC . Ch ng minh r ng : ủ ủ a) ữ ậ ứ b) MN ^ c)ME . MA = MF . MD
-----H T---- Ế
NguyÔn ThÞ T×nh Th¬ - trêng THCS Lª B×nh - H¬ng S¬n
