Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán: Góc và tứ giác nội tiếp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán: Góc và tứ giác nội tiếp" nhằm phát huy tích cực và tiềm năng sáng tạo của giáo viên và học sinh trong nhà trường, góp phần nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 môn Toán. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán: Góc và tứ giác nội tiếp

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN:TOÁN NĂM HỌC: 2021 2022 I. Tác giả chuyên đề, chức vụ và đơn vị công tác: Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Huyền Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thanh Lãng, TT Thanh Lãng, huyện Bình Xuyên, tỉnh Vĩnh Phúc. II. Tên chuyên đề:GÓC VÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP III. Thực trạng chất lượng thi tuyển sinh vào 10 của trường THCS Thanh Lãng năm học 20212022: Trong kì thi vào 10 năm học 2021 2022, trường THCS Thanh Lãng có điểm xét tuyển xếp thứ 36/145 của tỉnh và xếp thứ 2/14 của huyện (sau trường Lý Tự Trọng). Có thể nói với kết quả như vậy thì rất đáng tự hào với các em học sinh khóa vừa qua. Tuy nhiên, xét riêng môn Toán thì xếp thứ 53/145 trường trên toàn tỉnh và thứ 2/14 trường của huyện Bình Xuyên. Thứ tự này so với các trường THCS của các huyện, thành phố lân cận như Yên Lạc, Phúc Yên, Vĩnh Yên, … thì vẫn ở top cuối. Nguyên nhân chính là do học sinh chưa xác định rõ mục tiêu học tập, chưa cố gắng hết sức để giành được điểm đúng với năng lực của mình nên còn bị rơi rớt điểm ở một số phần kiến thức và kĩ năng cơ bản. IV. Đối tượng, dự kiến số tiết dạy: Đối tượng: Học sinh lớp 9. Dự kiến số tiết dạy:12 tiết V. Hệ thống (phân loại, dấu hiệu nhận biết đặc trưng) các dạng bài tập đặc trưng của chuyên đề: 1. Dạng 1: Tính số đo các góc– số đo cung 2. Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức…thông qua chứng minh các góc bằng nhau. 3. Dạng 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp VI. Hệ thống các phương pháp cơ bản, đặc trưng để giải các dạng bài tập trong chuyên đề. 1. Dạng 1: Tính số đo các góc – số đo cung Cần nhận diện đúng góc cần tính thuộc loại góc nào, mối quan hệ giữa từng loại góc với số đo của cung bị chắn. a) Góc ở tâm:
có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. A Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Chú ý: Góc bẹt chắn nửa đường tròn. n (số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó). O m B b) Góc nội tiếp: có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung được gọi B là góc nội tiếp. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. (số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn). O A C Tính chất: Trong một đường tròn: Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. c) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: hoặc có đỉnh là tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh còn lại là dây cung được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Cung được gọi là cung bị chắn của . Cung được gọi là cung bị chắn của (số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn). Tính chất: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. d) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn:
có đỉnh nằm trong đường tròn , được gọi là góc có đỉnh ở bên C trong đường tròn. A chắn hai cung và . E n . m (số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo O B hai cung bị chắn) D e) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: có đỉnh nằm ngoài đường tròn , được gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. chắn hai cung và . . (số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn) 2. Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức…thông qua chứng minh các góc bằng nhau: Chứng minh được các góc bằng nhau dựa trên mối quan hệ của các loại góc với đường tròn, mối quan hệ của hai đường thẳng song song, tam giác cân, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, …. để chứng minh được các cặp tam giác đồng dạng hay các đẳng thức giữa các đoạn thẳng, … 3. Dạng 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp: Dựa vào các dấu hiệu cơ bản nhận biết tứ giác nội tiếp: + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°. + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. + Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân. VII. Hệ thống các ví dụ, bài tập cụ thể cùng lời giải minh họa cho chuyên đề. 1. Dạng 1: Tính số đo các góc – số đo cung Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau, tính số đo góc cung nhỏ AB, biết rằnglà trung điểm. Giải: Tam giác vuôngcólà trung tuyến ứng với cạnh huyềnnên. Do đó là tam giác đều . Suy ra số đo cung nhỏlà .
Ví dụ 2: Cho hình vẽ sau: Tính số đo cung nhỏvà từ đó so sánh hai đoạn thẳngvà. Giải: Xét tam giác vuông tạicó nên . là góc ngoài của tam giác cânnên . Xét có . Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA và OB nếu: a) b) c) Giải: Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên: . Suy ra a) Xét tứ giác MAOB có: Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 110°. b) Xét ∆MAO có: và ∆MAO vuông cân tại A. Do MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 90°. c) Xét ∆MAO vuông tại A có: Do MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 120°. Ví dụ 4: Xem hình vẽ (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C). a) Biết . Tính b) Nếu = 1360 thì có số đo là bao nhiêu? Giải: a) Đường tròn tâm B cólà góc nội tiếp chắn cung MN; là góc ở tâm chắn cung MN nên
Đường tròn tâm C có là góc nội tiếp chắn cung PQ; là góc ở tâm chắn cung PQ nên: b) Ta có: nên = : 4 = 1360 : 4 = 340. 2. Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức…thông qua chứng minh các góc bằng nhau. Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.Chứng minh MT2 = MA.MB. Giải: là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AT của đường tròn (O); haylà góc nội tiếp chắn cung AT của đường tròn (O), do đó: và cóvàchung nên (g g) hay(đpcm) Ví dụ 2: Giả sửvàlà hai điểm phân biệt trên đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tạivàcắt nhau tại điểm. Từkẻ đường thẳng song song với cắt đường tròntại . cắt đường tròn tại . Các tiavà cắt nhau tại. Chứng minh rằng và . Giải: Do nên (hai góc so le trong). Ta lại có(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn). Do đó . Xét và có: (chứng minh trên); chung. Suy ra (đpcm) (1) Ta thấy (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ). Từ đó (2) Từ (1) và (2) suy ra nghĩa là (đpcm).
Ví dụ 3: Trong tam giác , đường phân giác của cắt cạnh tại . Giả sử là đường tròn tiếp xúc với tại và đi qua điểm. Gọilà giao điểm thứ hai củavà , là giao điểm thứ hai của và , là giao điểm của và. a) Chứng minh rằng . b) Chứng minh hệ thức . Giải: a) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Dolà phân giác của . Ta có . Hay (đpcm). b) Xétvàcó: (chứng minh trên) và chung. Suy ra (đpcm). Ví dụ 4: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) tại A và B. Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tại C. Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D. Nối A với D cắt MB tại E. Chứng minh rằng: a) ∆ABE ∆BDE; ∆MEA ∆DEM. b) E là trung điểm của MB. Giải: a) Xét ∆ABE và ∆BDE có: chung (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD) ∆ABE ∆BDE (g.g) Vì AC // MB nên (so le trong) Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD) Suy ra . Xét ∆MEA và ∆DEM có: chung; (chứng minh trên) ∆MEA ∆DEM (g.g) Vậy ∆ABE ∆BDE; ∆MEA ∆DEM b) Theo chứng minh ở phần a) ta có: ∆ABE ∆BDE ∆MEA ∆DEM Do đó hay . Vậy E là trung điểm của MB. Ví dụ 5: Cho ∆ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC. AB cắt CI tại M, AC cắt BI tại N. Chứng minh rằng: a) b) Góc có số đo không đổi. Giải: a) Vì ∆ABC đều nên .
Ta có là góc có đỉnh ngoài đường tròn (O) nên (1) Lại có (góc nội tiếp (O) chắn cung ) (2) Từ (1) và (2) ta có: (3) Tương tự ta có: (4) Từ (3) và (4) suy ra ∆BCM ∆CNB. Vậy b) Ta có: không đổi. Vậy góc có số đo không đổi. 3. Dạng 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp: Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm đường kính . Vẽ dây cung vuông góc với tại ( nằm giữa và ). Lấy điểm trên cung nhỏ ( khác và ), cắt tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn. Giải: Ta có: (giả thiết); (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Tứ giác có: Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Ví dụ 2: Cho tam giác và đường cao . Gọi lần lượt là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp và đi qua trung điểm của . Giải: Theo giả thiết ta có BMEH, CNEH là các tứ giác nội tiếp. Ta có: Suy ra hay . Do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp. Kẻ , giả sử cắt tại thì là cát tuyến của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giácvà . Lại có (tính chất trung tuyến tam giác vuông). Suy ra tam giáccân tại . luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Haylà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giácsuy ra (1) Tương tự,là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giácsuy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra . Vậyđi qua trung điểm của . Ví dụ 3: Cho tam giác vuông tại . Kẻ đường cao và phân giác trong của góc . Phân giác trong góc cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng . Giải: Ta có mà và do cùng phụ với góc , từ đó suy ra hay tứ
giác nội tiếp . Ví dụ 4: Cho hình thang có . Chứng minh bốn điểmcùng thuộc một đường tròn. Giải: Gọi là trung điểm , ta có: là hình bình hành. (1) Tương tự là hình bình hành nên (2) là hình thang có nên là hình thang cân (3). Từ (1), (2) và (3) ta có:là các tam giác đều hay hay bốn điểmcùng thuộc một đường tròn. Ví dụ 5: Cho đường tròn tâm . Kẻ đường kính và vuông góc với nhau. Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ . cắt tại , cắt tại . a) Các tam giác và là những tam giác gì? b) Chứng minh rằng bốn điểm thuộc đường tròn tâm . Giải: a) Vì là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn nên: (1) Góc là góc nội tiếp chắn cung (2) Vì hai đường kính và vuông góc với nhau nên và là điểm chính giữa của cung nhỏ nên . (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra cân tại . Tương tự ta cũng có cân tại. b) Theo câu a) và là hai tam giác cân nên . Lại có . Do đó . Vậy bốn điểm thuộc đường tròn tâm . Ví dụ 6: Trên các cạnh của hình vuông ta lấy lần lượt các điểm sao cho . Đường thẳng cắt các đường thẳng tương ứng tại các điểm. a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp. b) Chứng minh rằng các điểm nằm trên cùng một đường tròn. Giải: a) Các đỉnh và cùng nhìn đoạn thẳng dưới một góc .Vì vậy tứ giác nội tiếp. Tương tự ta suy ra tứ giác nội tiếp. b) Do là tứ giác nội tiếp nên. Tương tự tứ giác nội tiếp suy ra . Tứ giáclà tứ giác nội tiếp vì có hai đỉnh và cùng nhìn cạnhdưới một góc . Suy ra bốn điểmcùng thuộc một đường tròn (1) Tứ giáclà tứ giác nội tiếp vì . Suy ra bốn điểmcùng thuộc một đường tròn (2) Từ (1) và (2) suy ra các điểmcùng nằm trên một đường tròn.
Ví dụ 7: Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại . Lấythuộc cạnh,thuộc cạnh sao cho(và không trùng với các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh rằnglà tứ giác nội tiếp. b) Tính số đo của góc. c) Gọilà giao điểm của tiavà tia;là giao điểm củavà tia. Chứng minhlà tứ giác nội tiếp. Giải: a) Theo giả thiết có: . Vậy tứ giácnội tiếp đường tròn đường kính . b) Tứ giácnội tiếp suy ra: (hai đỉnh cùng nhìn cạnhvàlà hình vuông). c) Xétvàcó: (dolà hình vuông); (dolà hình vuông); (do cùng phụ với). Do đó(hai cạnh tương ứng) . Vì nên theo định lí Talét, ta có:. Suy ra(định lí Talét đảo). . Lại có (dolà hình vuông). Suy ra . Tứ giáccó hai đỉnh và kề nhau và cùng nhìn cạnhdưới một góc bằng nhau nên là tứ giác nội tiếp. Ví dụ 8: Cho đường tròn và dâycố định,là điểm di động trên cung lớn (khác) sao cho tam giácnhọn. Các đường caovàcủa tam giáccắt nhau tại điểm. Kẻ đường kínhcủa đường tròn,cắttại điểm. a) Chứng minh tứ giáclà tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh. c) Chứng minh tứ giáclà hình bình hành. d) Đường tròn ngoại tiếp tam giáccắt đường tròntại điểm thứ hai(khác). Chứng minh ba điểmthẳng hàng. Giải: a) Tứ giáccó(giả thiết). Suy ra tứ giáclà tứ giác nội tiếp (hai góc kề cùng nhìn cạnhdưới một góc bằng nhau). b) Tứ giácnội tiếp suy ra (góc ngoài của tứ giác nội tiếp). Xét vàcó: (chứng minh trên); và chung (hai cạnh tương ứng) . c) Ta có: (vì cùng vuông góc với). (vì cùng vuông góc với). Do đó là hình bình hành. d) Ta thấy tứ giácnội tiếp đường tròn đường kính (1) Mànội tiếp đường tròn đường kính (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp. b) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp. Giải: a) Xét tứ giác CEHD ta có:(vì BE là đường cao) và (vì AD là đường cao) . Mà là hai góc đối diện của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp. b) Theo giả thiết: BE là đường cao AD là đường cao . Do đó E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90°, suy ra E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác AEDB nội tiếp. Ví dụ 10: Cho hình bình hành ABCD, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh tứ giác NMOP là tứ giác nội tiếp. Giải: Ta có: (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC. Suy ra . Lại có (do AD // BC) Do đó (1) Mặt khác Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD nên: . Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: do đó tứ giác PMON nội tiếp. Ví dụ 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt (O’) tại B, tiếp tuyến tại M của (O’) cắt (O) tại A. Gọi P là điểm đối xứng của M qua N. Chứng minh tứ giác MAPB nội tiếp. Giải: Ta có: Nên ∆AMN∆MBN (g.g) Do đó ∆ANP ∆PNB (c.g.c) (hai góc tương ứng).
Từ đó suy ra Vậy tứ giác AMBP là tứ giác nội tiếp. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho tam giác , vẽ đường tròn tâm đi qua và tiếp xúc với tại . Kẻ dây song song với . Gọi là giao điểm của với đường tròn. Chứng minh . Bài 2: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại và tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại . Chứng minh. Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính và dây căng cung có số đo bằng . a) So sánh các góc của tam giác . b) Gọi lần lượt là điểm chính giữa của các cungvà . Hai dây và cắt nhau tại . Chứng minh rằng tia là tia phân giác của góc. Bài 4: Cho tam giáccân tại. Vẽ đường tròn đường kínhcắt tại , cắt tại . Chứng minh rằng: a) Tam giáccân.b) . Bài 5: Từ một điểmnằm ngoài đường trònta vẽ hai tiếp tuyếnvới đường tròn (là tiếp điểm). Trên cung nhỏlấy một điểm, vẽ. a) Chứng minhlà tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ . Chứng minhlà tứ giác nội tiếp. Bài 6: Cho nửa đường tròn tâmđường kínhvà tia tiếp tuyếncùng phía với nửa đường tròn đối với. Từ điểmtrênkẻ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn (là tiếp điểm), cắttại;cắt nửa đường tròn tại(khác). Chứng minhvà là các tứ giác nội tiếp đường tròn. Bài 7: Cho điểmthuộc cung nhỏcủa đường tròn. Một đường thẳngở ngoàivà vuông góc với đường thẳng; đường thẳngcắt lần lượt tại. Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn. Bài 8: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Vẽ theo thứ tự là đường kính của hai đường trònvà. a) Chứng minh ba điểm thẳng hàng. b) Đường thẳngcắt đường tròntại ; đường thẳngcắt đường tròntại (khác ). Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh ba đường thẳng vàđồng quy tại một điểm. d) Chứng minh tứ giácnội tiếp được trong một đường tròn. Bài 9: Cho tam giác có ba góc nhọn , các đườngcắt nhau tại . a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh. c) Chứng minh là đường phân giác của . d) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh . HƯỚNG DẪN: Bài 1: Ta có: (cùng chắn cung ). Mặt khác nên (so le trong). Do đó . Bài 2: Trong đường tròn có (góc nội tiếp và góc
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ). Tương tự trong đường tròn ta cũng có . Xét và có và nên . Bài 3: a) Tam giác có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). . Vậy . b) Vì là điểm chính giữa của cung và nên các tia là các tia phân giác của các góc và . Mà và cắt nhau tại nên là đường phân giác thứ ba của tam giác hay là tia phân giác của góc . Bài 4: a) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) là trung điểm (do cân tại A). Tam giác vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên . Vậy tam giác cân tại D. b) Ta có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung) (1) Mà cân tại A, AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, do đó(2) Từ (1) và (2) (đpcm) Bài 5: a) Ta có: (giả thiết), suy ra nên tứ giácnội tiếp đường tròn đường kính . b) Tứ giáccó(giả thiết), suy ra nên tứ giácnội tiếp đường tròn đường kính MC Bài 6: Vì là tiếp tuyến nên . Tứ giác có là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) . Lại có: (tính chất tiếp tuyến). Suy ra là đường trung trực của. . Tứ giáccó hai đỉnh và kề nhau cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau (và bằng ) suy ralà tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính Bài 7: Kẻ đường kính cắt tại . Ta có nên tứ giác nội tiếp, suy ra . Mặt khác (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O)), do đó hay . Tứ giáccó hai đỉnh và kề nhau cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau nên 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
Bài8: a) và lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và . Suy ra thẳng hàng. b) Xét tứ giác có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ); (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ). , suy ra là tứ giác nội tiếp. c) Gọi là giao điểm của và . Dễ thấy và là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại , suy ra . Do vậy thẳng hàng. d) Ta có nội tiếp được trong một đường tròn. Bài9: a) Ta có (giả thiết) hai đỉnh kề nhau của tứ giác cùng nhìn cạnh dưới một góc . Suy ra tứ giácnội tiếp đường tròntâm O đường kính . b) Xét và có: chung (hai góc nội tiếp cùng chắn của (O)). Do đó hay (đpcm) c) Tứ giác nội tiếp (do ) (cùng chắn ). Tứ giác nội tiếp (do ) . Mà nên Mặt khác: Do đó . Vậy là tia phân giác của góc . d) Ta có: . (1) Tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung ). (*) Tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung ) (**) Từ (*) và (**) suy ra . (2) Từ (1) và (2) suy ra . VIII. K ết quả triển khai chuyên đề tại đơn vị nhà trường: Chưa triển khai vì học sinh chưa học đến các nội dung kiến thức trong chuyên đề. a) Trước khi học sinh chưa học chuyên đề Điểm Điểm Điểm Điểm Ghi chú TSKT giỏi khá TB yếu TS % TS % TS % TS % 204 b) Sau khi học sinh đã học chuyên đề TSKT Điểm Điểm Điểm Điểm Ghi chú giỏi khá TB yếu
TS % TS % TS % TS % 204 Thanh Lãng, ngày 11 tháng 11 năm 2021. Duyệt của BGH nhà trường Người viết chuyên đề Nguyễn Thị Thu Huyền