Ệ PHÒNG GD&ĐT HUY N BÌNH XUYÊN
ƯỜ TR NG THCS THANH LÃNG
Ấ ƯỢ
Ề
Ớ
Ể
CHUYÊN Đ NÂNG CAO CH T L
NG THI TUY N SINH VÀO L P 10
Ọ
MÔN:TOÁN NĂM H C: 2021 2022
ả ề ơ ị ứ ụ chuyên đ , ch c v và đ n v công tác:
ị
ệ ỉ ườ ng THCS Thanh Lãng, TT Thanh Lãng, huy n Bình Xuyên, t nh Vĩnh
Ộ Ế Ứ
ấ ượ ự ể ạ ủ ườ ọ ng thi tuy n sinh vào 10 c a tr ng THCS Thanh Lãng năm h c
I. Tác gi ọ ề ễ H và tên: Nguy n Th Thu Huy n ứ ụ Ch c v : Giáo viên ị ơ Đ n v công tác: Tr Phúc. II. Tên chuyên đ :ề GÓC VÀ T GIÁC N I TI P III. Th c tr ng ch t l 20212022:
ườ ể
ủ ỉ ọ ứ ủ ườ ự ọ ể
ứ ả ư ậ ấ ớ Trong kì thi vào 10 năm h c 2021 2022, tr ệ ế th 36/145 c a t nh và x p th 2/14 c a huy n (sau tr ọ ự qu nh v y thì r t đáng t
ứ Tuy nhiên, xét riêng môn Toán thì x p th 53/145 tr
ủ ố ệ ứ ự ế ể ng THCS Thanh Lãng có đi m xét tuy n x p ớ ế ng Lý T Tr ng). Có th nói v i k t ừ ườ ỉ ườ ng ng trên toàn t nh và th 2/14 tr ậ ệ ng THCS c a các huy n, thành ph lân c n
ư ạ ố ủ c a huy n Bình Xuyên. Th t nh Yên L c, Phúc Yên, Vĩnh Yên, … thì v n
ườ top cu i. ị ụ ọ ậ
hào v i các em h c sinh khóa v a qua. ứ ế ớ này so v i các tr ẫ ở ư ự ủ ọ ớ ượ ị ơ ớ ư ố ắ ể ở ộ ố c đi m đúng v i năng l c c a mình nên còn b r i r t đi m ế Nguyên nhân chính là do h c sinh ch a xác đ nh rõ m c tiêu h c t p, ch a c g ng h t ầ ể m t s ph n
ể ơ ả
ố ượ ự ế ố ế ạ t d y: ng, d ki n s ti
ớ ọ
ậ ệ ế ặ ng: H c sinh l p 9. ế t ạ ấ ư ủ ư ạ ậ ặ t đ c tr ng) các d ng bài t p đ c tr ng c a
ố ố
ứ ứ ứ ằ ồ
ứ
ộ ế giác n i ti p ơ ả ệ ố ể ả ư ặ ạ ứ ng pháp c b n, đ c tr ng đ gi ậ i các d ng bài t p trong chuyên
ố ố ạ
ệ ữ ừ ớ ố ạ ầ ộ ố
ệ ị ắ
ứ s c đ giành đ ứ ế ki n th c và kĩ năng c b n. IV. Đ i t ố ượ Đ i t ự ế ố ế ạ t d y:12 ti D ki n s ti ệ ố V. H th ng (phân lo i, d u hi u nh n bi chuyên đ :ề ạ 1. D ng 1: Tính s đo các góc– s đo cung ẳ ạ ạ 2. D ng 2: Ch ng minh tam giác đ ng d ng, đ ng th c…thông qua ch ng minh các góc b ng nhau. ạ 3. D ng 3: Ch ng minh t ươ VI. H th ng các ph đ .ề 1. D ng 1: Tính s đo các góc – s đo cung ạ ậ ầ C n nh n di n đúng góc c n tính thu c lo i góc nào, m i quan h gi a t ng lo i góc v i s đo ủ c a cung b ch n. ở a) Góc tâm:
A
ỉ ớ ượ ọ . tâmở
n
O
m
ng tròn đ ượ ọ ằ c g i là c g i là góc ị ắ . cung b ch n
(cid:0) có đ nh trùng v i tâm đ ườ (cid:0) Cung n m bên trong góc đ ẹ ắ ử ườ Chú ý: Góc b t ch n n a đ ng tròn. (cid:0) (s đo c a cung nh b ng s đo c a góc ủ ố ỏ ằ
B
B
ủ ố ở ắ tâm ch n cung đó).
ỉ ườ ạ ượ ọ ng tròn và hai c nh là hai dây cung đ c g i
O
ượ ọ ị ắ . cung b ch n
A
C
c g i là ử ố ộ ế ằ ủ ủ ố ộ ế b) Góc n i ti p: (cid:0) có đ nh n m trên đ ằ ộ ế . là góc n i ti p (cid:0) Cung n m bên trong góc đ (cid:0) (s đo c a góc n i ti p b ng n a s đo c a cung b ch n ị ắ ). ằ
ộ ườ
ằ ằ ng tròn: ắ
ằ ằ
ộ ủ ắ ằ ỏ ơ ộ ế ử ố ắ ộ ặ ằ tâm cùng ch n m t
ng tròn là góc vuông.
ế
ế ạ ộ ạ c g i là
ượ ọ ộ ế ạ ở ỉ ể ế i là dây cung đ . c g i là
ở ế ế ằ
ế ở ng tròn, góc t o b i tia ti p tuy n
ế ằ ạ ộ ắ
Tính ch tấ : Trong m t đ (cid:0) Các góc n i ti p b ng nhau thì ch n các cung b ng nhau. ộ ế (cid:0) Các góc n i ti p cùng ch n m t cung ho c ch n các cung b ng nhau thì b ng nhau. ặ ộ ế (cid:0) Góc n i ti p (nh h n ho c b ng ) có s đo b ng n a s đo c a góc ắ ở ố cung. (cid:0) Góc n i ti p ch n n a đ ắ ử ườ ế ế c) Góc t o b i tia ti p tuy n và dây cung: (cid:0) ho c có đ nh là ti p đi m, m t c nh là tia ti p tuy n và ế ặ ạ ở ượ ọ ạ c nh còn l góc t o b i tia ti p ế tuy n và dây cung (cid:0) Cung đ ị ắ ủ cung b ch n c a . ượ ọ ị ắ ủ c g i là Cung đ cung b ch n c a (cid:0) (s đo c a góc t o b i ti p tuy n và dây cung b ng n a s ố ử ố ạ ủ ị ắ ). ủ đo c a cung b ch n (cid:0) Tính ch t: Trong m t đ ộ ườ ấ ộ ế và dây cung và góc n i ti p cùng ch n m t cung thì b ng nhau.
ỉ ở ườ d) Góc có đ nh bên trong đ ng tròn:
C
A
E
n
m
O
ườ ượ ọ ỉ ở ng tròn , đ c g i là góc có đ nh bên
B
ố ỉ ở ườ ử ổ ằ ố bên trong đ ng tròn b ng n a t ng s đo
D
(cid:0) có đ nh n m trong đ ằ ỉ ườ trong đ ng tròn . (cid:0) ch n hai cung và . ắ (cid:0) . ủ (s đo c a góc có đ nh ị ắ hai cung b ch n)
ỉ ở ườ
bên ngoài đ ườ ng tròn: ượ ọ ỉ ở ng tròn , đ c g i là góc có đ nh bên
ủ ố ở ườ ử ằ bên ngoài đ ệ ố ng tròn b ng n a hi u s
ị ắ e) Góc có đ nh (cid:0) có đ nh n m ngoài đ ằ ỉ ườ ngoài đ ng tròn . (cid:0) ch n hai cung và . ắ (cid:0) . ỉ (s đo c a góc có đ nh đo hai cung b ch n)
ạ ẳ ứ ứ ứ ồ ạ
ằ
ạ ự ượ ệ ủ ớ ườ ố c các góc b ng nhau d a trên m i quan h c a các lo i góc v i đ
ố
ồ ặ ẳ ạ ứ ữ ằ ng tròn, ẳ ng th ng song song, tam giác cân, hình thang cân, hình bình hành, hình ạ ượ c các c p tam giác đ ng d ng hay các đ ng th c gi a các đo n
ự ứ ấ ứ ệ ơ ả ộ ế giác n i ti p:
ổ
ằ ạ
ệ i m t đ nh b ng góc trong c a đ nh đ i di n. ượ ủ ỉ ể ứ ứ ứ ố ị ể ể ố ộ ỉ ủ c). Đi m đó là tâm c a
ng tròn ngo i ti p t
ậ ố ằ ộ ỉ ề giác đó. ề ạ ế ứ ỉ ộ ạ ứ ứ .α
ộ i m t góc ứ ỉ ể ứ ể ứ ộ ế ứ ạ ướ i d giác n i ti p ta có th ch ng minh t ộ giác đó là m t
ệ ố ọ ề i minh h a cho chuyên đ . ờ ả i gi
ậ ụ ể ố ố ạ
ế ằ ẽ ể ố ỏ t r nglà trung đi m. 2. D ng 2: Ch ng minh tam giác đ ng d ng, đ ng th c…thông qua ch ng minh các góc b ng nhau: ứ Ch ng minh đ ệ ủ ườ m i quan h c a hai đ ứ ể thoi, …. đ ch ng minh đ th ng, …ẳ ạ ộ ế 3. D ng 3: Ch ng minh t giác n i ti p: ế ứ D a vào các d u hi u c b n nh n bi t t + T giác có t ng hai góc đ i b ng 180°. + T giác có góc ngoài t + T giác có b n đ nh cách đ u m t đi m (mà ta có th xác đ nh đ ườ đ + T giác có hai đ nh k nhau cùng nhìn m t c nh ch a hai đ nh còn l ộ ứ Chú ý: Đ ch ng minh m t t giác là t ữ ậ trong các hình sau: Hình ch nh t, hình vuông, hình thang cân. ụ VII. H th ng các ví d , bài t p c th cùng l 1. D ng 1: Tính s đo các góc – s đo cung Ví d 1:ụ Cho hình v sau, tính s đo góc cung nh AB, bi
Gi i:ả
ớ ạ ề
ế ứ ố ề ỏ Tam giác vuôngcólà trung tuy n ng v i c nh huy nnên. Do đó là tam giác đ u . Suy ra s đo cung nh là .
ố ẽ ỏ ạ ẳ đó so sánh hai đo n th ngvà.
i:ả
ạ Ví d 2:ụ Cho hình v sau: ừ Tính s đo cung nh và t Gi Xét tam giác vuông t icó nên .
ủ
ườ ọ
ạ ế ằ ủ ế ế ở ở ườ ng tròn t ể ng tròn (O; R) và đi m M n m ngoài đ i A và B. Tính s đo c a góc ng tròn đó. G i MA, MB là hai ti p ạ tâm t o b i hai bán kính OA và OB n u:
ố c)
i:ả
ế ủ ườ ế ạ ng tròn (O) t i A và B nên: .
ứ là góc ngoài c a tam giác cânnên . Xét có . Ví d 3: ụ Cho đ ớ ườ tuy n v i đ a) b) Gi Vì MA và MB là các ti p tuy n c a đ Suy ra a) Xét t giác MAOB có:
ậ ố ở ằ ạ ở tâm t o b i hai bán kính OA, OB b ng
V y s đo góc 110°.
ạ b) Xét ∆MAO có: và ∆MAO vuông cân t i A.
ạ i M nên
ế ắ ở ậ ố ạ ở ằ ế Do MA, MB là hai ti p tuy n c t nhau t V y s đo góc tâm t o b i hai bán kính OA, OB b ng 90°.
ạ c) Xét ∆MAO vuông t i A có:
ạ i M nên
ằ ở ạ ậ ố ế ắ ở tâm t o b i hai bán kính OA, OB b ng
ẽ ườ ể ằ ng tròn có tâm là B, C và đi m B n m
ng tròn tâm C).
0 thì có s đo là bao nhiêu?
ố
ộ ế ườ ắ MN; là góc
ế Do MA, MB là hai ti p tuy n c t nhau t V y s đo góc 120°. Ví d 4: ụ Xem hình v (hai đ ườ trên đ ế a) Bi t . Tính ế b) N u = 136 i:ả Gi a) Đ ng tròn tâm B cólà góc n i ti p ch n cung ở ắ tâm ch n cung MN nên
ườ ộ ế ắ ở là góc n i ti p ch n cung PQ; là góc ắ tâm ch n cung PQ nên:
Đ ng tròn tâm C có b) Ta có: nên = : 4 = 1360 : 4 = 340.
ạ ẳ ứ ứ ứ ồ ạ
ằ
ẻ ế ườ ể ế ể ng tròn đó. Qua đi m M k ti p tuy n MT
ứ ng tròn (O) và đi m M n m bên ngoài đ 2 = MA.MB. ế
i:ả
ủ ế ế ắ ạ ở
ắ
2. D ng 2: Ch ng minh tam giác đ ng d ng, đ ng th c…thông qua ch ng minh các góc b ng nhau. Ví d 1: ụ ằ ườ Cho đ và cát tuy n MAB.Ch ng minh MT Gi là góc t o b i tia ti p tuy n và dây cung ch n cung AT c a ủ ườ ộ ế ườ ng ng tròn (O); haylà góc n i ti p ch n cung AT c a đ đ tròn (O), do đó:
và cóvàchung nên (g g) hay(đpcm)
ệ ườ ng tròn s vàlà hai đi m phân bi
ế ủ ườ ạ ắ ườ ể ớ ắ ườ t trên đ ẳ i . c t đ ng tròn ng trònt ế ng tròn. Các ti p tuy n c a đ ng th ng song song v i c t đ
ả ử ạ i đi m. T k đ ạ ắ ể ừ ẻ ườ i.
ằ
ivàc t nhau t i . Các tiavà c t nhau t ứ i:ả
ộ ế ế ở i có(góc n i ti p và góc t o b i tia ti p
ắ
ứ
ộ ế ế ế ắ ạ ở
ừ ừ Ví d 2:ụ Gi ắ ạ t ạ t Ch ng minh r ng và . Gi Do nên (hai góc so le trong). ạ ạ Ta l ế tuy n và dây cung cùng ch n). Do đó . Xét và có: (ch ng minh trên); chung. Suy ra (đpcm) (1) ấ Ta th y (góc n i ti p và góc t o b i tia ti p tuy n và dây cung cùng ch n ). T đó (2) T (1) và (2) suy ra nghĩa là (đpcm).
ạ ế ườ ườ ủ ng phân giác c a c t c nh t
ể ể ứ s là đ ứ ả ử i . Gi ể
ớ ườ ủ ứ ể ng
Ví d 3:ụ Trong tam giác , đ ắ ạ ng tròn ti p xúc ọ ớ ạ ủ ủ i và đi qua đi m. G ilà giao đi m th hai c avà , là giao đi m th hai c a và , là giao v i t ủ ể đi m c a và. ứ ằ a) Ch ng minh r ng . ứ ệ ứ b) Ch ng minh h th c . i:ả Gi ọ a) G i là giao đi m th hai c a v i đ tròn . Dolà phân giác c a .ủ Ta có . Hay (đpcm).
ứ
b) Xétvàcó: (ch ng minh trên) và chung. Suy ra (đpcm).
ế ớ ằ ừ ể
ng tròn (O) v hai ti p tuy n MA, MB v i (O) t ạ ạ ắ ườ ố ớ ườ ớ i C. N i C v i M c t đ i A và B. ng tròn ng th ng song song v i MB c t đ
ẽ ế ắ ườ ng tròn t ằ ắ ứ ẽ ườ ố i E. Ch ng minh r ng:
ủ
i:ả
ở ạ ộ ế ế
ế ắ
ộ ế ế ạ
ắ
ứ
ậ
ầ
Ví d 4: ụ T đi m M n m ngoài đ ẳ Qua A v đ ạ ớ ạ i D. N i A v i D c t MB t (O) t a) ∆ABE ∆BDE; ∆MEA ∆DEM. ể b) E là trung đi m c a MB. Gi a) Xét ∆ABE và ∆BDE có: chung (góc n i ti p và góc t o b i tia ti p tuy n và dây cung cùng ch n cung BD) ∆ABE ∆BDE (g.g) Vì AC // MB nên (so le trong) ế ở Mà (góc n i ti p và góc t o b i tia ti p tuy n và dây cung cùng ch n cung AD) Suy ra . Xét ∆MEA và ∆DEM có: chung; (ch ng minh trên) ∆MEA ∆DEM (g.g) V y ∆ABE ∆BDE; ∆MEA ∆DEM ở ứ b) Theo ch ng minh ph n a) ta có: ∆ABE ∆BDE ∆MEA ∆DEM
ủ ể ậ Do đó hay . V y E là trung đi m c a MB.
ề ể ể ỏ ộ ng tròn (O). Đi m I chuy n đ ng trên cung nh BC. AB
ạ ắ ạ ằ ộ ế ườ i N. Ch ng minh r ng:
ổ ố
i:ả
ề Ví d 5: ụ Cho ∆ABC đ u n i ti p đ ứ ắ i M, AC c t BI t c t CI t a) b) Góc có s đo không đ i. Gi a) Vì ∆ABC đ u nên .
ng tròn (O) nên (1)
ỉ ườ Ta có là góc có đ nh ngoài đ ắ ộ ế ạ L i có (góc n i ti p (O) ch n cung ) (2) ừ T (1) và (2) ta có: (3)
ự (4) ng t ta có:
ậ ổ ươ T ừ T (3) và (4) suy ra ∆BCM ∆CNB. V y ậ b) Ta có: không đ i. ổ ố V y góc có s đo không đ i.
ạ ứ giác n i ti p:
ườ ữ i ( n m gi a và ).
ng tròn tâm đ ỏ ắ ạ ứ ứ ộ ế ườ ộ ế ẽ ng kính . V dây cung vuông góc v i t i . Ch ng minh là t ằ ớ ạ giác n i ti p đ ng tròn.
thi
ắ ử ườ ng tròn).
ứ
ộ ế ườ ườ ứ ứ 3. D ng 3: Ch ng minh t ườ Ví d 1:ụ Cho đ ể ấ L y đi m trên cung nh ( khác và ), c t t i:ả Gi Ta có: ế ả t); (gi ộ ế (góc n i ti p ch n n a đ T giác có: Suy ra t giác n i ti p đ ng tròn đ ng kính .
ạ ế ể t là trung đi m c a . Đ ng tròn ngo i ti p
ọ ầ ượ ng cao . G i l n l ạ ườ ộ ế ứ ứ ườ ạ ế ng tròn ngo i ti p tam giác t ủ giác n i ti p và đi qua trung i . Ch ng minh là t
ứ t ta có BMEH, CNEH là các t
Ví d 2:ụ Cho tam giác và đ ắ ườ tam giác c t đ ủ ể đi m c a . i: ả Gi ả ế Theo gi thi ộ ế giác n i ti p. Ta có:
ộ ế Suy ra hay . Do đó t giác n i ti p.
ế ủ ườ
ạ ế
ườ
ạ ế ng tròn ngo i ti p tam giácsuy ra (1)
ế ủ ườ ạ ế ế ủ ườ ế ,là ti p tuy n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giácsuy ra (2)
ươ ừ ậ ủ ứ ứ giác là t ả ử ắ ạ ạ ế ẻ s c t t K , gi i thì là cát tuy n c a hai đ ng tròn ngo i ti p các tam giácvà . ạ ấ L i có (tính ch t trung tuy n tam giác vuông). Suy ra tam giáccân t i . ạ ế luôn đi qua tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác . ế Haylà ti p tuy n c a đ ự ng t T T (1) và (2) suy ra . ể V yđi qua trung đi m c a .
ẻ ườ ạ i . K đ ủ ng cao và phân giác trong c a góc . Phân giác trong góc
ụ ớ ừ ứ Ví d 3:ụ Cho tam giác vuông t ắ ầ ượ ạ t t c t l n l i . ằ ứ Ch ng minh r ng . i:ả Gi Ta có mà và do cùng ph v i góc , t đó suy ra hay t
ộ ế giác n i ti p .
ộ ộ ườ ng tròn.
Ví d 4:ụ Cho hình thang có . ể ố Ch ng minh b n đi mcùng thu c m t đ Gi
ể (1)
ự ng t
ề ố
ộ ườ ừ ể ộ ứ i:ả ọ G i là trung đi m , ta có: là hình bình hành. ươ là hình bình hành nên (2) T là hình thang có nên là hình thang cân (3). T (1), (2) và (3) ta có:là các tam giác đ u hay hay b n đi mcùng thu c m t đ ng tròn.
ườ ữ ể ọ ớ ng kính và vuông góc v i nhau. G i là đi m chính gi a
ắ ạ ỏ ẻ ườ i .
ữ
ể ằ ố ộ ườ ng tròn tâm . Ví d 5:ụ Cho đ ng tròn tâm . K đ ắ ạ ủ i , c t t c a cung nh . c t t a) Các tam giác và là nh ng tam giác gì? b) Ch ng minh r ng b n đi m thu c đ
ứ i:ả
ằ ỉ ườ ng
Gi a) Vì là góc có đ nh n m bên trong đ tròn nên:
(1) ộ ế ắ
ng kính và vuông góc v i nhau nên
ườ ể ữ ủ ớ ỏ Góc là góc n i ti p ch n cung (2) Vì hai đ và là đi m chính gi a c a cung nh nên .
ạ i .
ự ừ ươ ạ ng t ta cũng có cân t
ộ ườ ạ ậ (3) T (1), (2) và (3) suy ra cân t T i. b) Theo câu a) và là hai tam giác cân nên . L i có . Do đó . ể ố V y b n đi m thu c đ ng tròn tâm .
ấ ầ ượ ườ ể ẳ ắ t các đi m sao cho . Đ ng th ng c t các
ộ ế
ằ ể i các đi m. giác và n i ti p. ể ộ ườ ng tròn.
Ví d 6:ụ Trên các c nh c a hình vuông ta l y l n l ạ ủ ạ ươ ứ ườ ng ng t đ ứ ằ a) Ch ng minh r ng các t ằ b) Ch ng minh r ng các đi m n m trên cùng m t đ Gi
ẳ ướ i
ộ ươ ạ ộ ế giác n i ti p.
ươ ứ ỉ
ộ ườ ể ộ ng tròn (1)
ứ
ộ ế giác n i ti p vì . ể
ộ ườ ằ ừ ộ ườ ẳ ng th ng t ứ ứ i:ả ỉ a) Các đ nh và cùng nhìn đo n th ng d ậ ứ giác n i ti p. m t góc .Vì v y t ộ ế ứ ự ta suy ra t T ng t ộ ế ứ giác n i ti p nên. b) Do là t ộ ế ự ứ t T ng t giác n i ti p suy ra . ộ ế ứ giác n i ti p vì có hai đ nh và T giáclà t ộ ướ ạ i m t góc . cùng nhìn c nhd ố Suy ra b n đi mcùng thu c m t đ ứ T giáclà t ộ ố ng tròn (2) Suy ra b n đi mcùng thu c m t đ ể T (1) và (2) suy ra các đi mcùng n m trên m t đ ng tròn.
ườ ạ ộ ạ ộ ạ ấ ắ ng chéo c t nhau t i . L ythu c c nh,thu c c nh sao cho(và
ớ ủ
ộ ế ứ ứ ằ giác n i ti p.
ố
ủ ể ứ ủ ể ứ ộ ế Ví d 7:ụ Cho hình vuông có hai đ ỉ không trùng v i các đ nh c a hình vuông). a) Ch ng minh r nglà t b) Tính s đo c a góc. ủ c) G ilà giao đi m c a tiavà tia;là giao đi m c avà tia. Ch ng minhlà t giác n i ti p.
ả ế ọ i:ả Gi a) Theo gi thi t có:
.
ườ ng kính . ng tròn đ
giácn i ti p đ ộ ế
ươ ứ ng ng) .
ả ị
ạ
ướ ằ ộ ứ ứ ề ạ ỉ i m t góc b ng nhau nên là t giác
ộ ế ườ ậ ứ V y t ứ b) T giácn i ti p suy ra: ạ ỉ (hai đ nh cùng nhìn c nhvàlà hình vuông). c) Xétvàcó: (dolà hình vuông); (dolà hình vuông); ụ ớ (do cùng ph v i). ạ Do đó(hai c nh t ị Vì nên theo đ nh lí Talét, ta có:. Suy ra(đ nh lí Talét đ o). . L i có (dolà hình vuông). Suy ra . T giáccó hai đ nh và k nhau và cùng nhìn c nhd ộ ế n i ti p.
ố ị ớ ườ
ủ ườ ắ ạ ể ể ắ ộ ẻ ườ i đi m. K đ ng kínhc a đ ng tròn,c tt ể i đi m.
ứ ứ ọ ng tròn và dâyc đ nh,là đi m di đ ng trên cung l n (khác) sao cho tam giácnh n. ủ giáclà t ạ ng caovàc a tam giácc t nhau t ộ ế giác n i ti p.
ứ
ạ ứ ứ ể ắ ườ ng trònt i đi m th hai(khác). Ch ng minh ba
Ví d 8:ụ Cho đ ườ Các đ ứ a) Ch ng minh t ứ b) Ch ng minh. ứ giáclà hình bình hành. c) Ch ng minh t ạ ế ườ d) Đ ng tròn ngo i ti p tam giácc t đ ẳ đi mth ng hàng.
ế ả t). Suy ra t
giáclà t ướ ứ ạ ứ giác ộ i m t
ủ ứ giác
ể i:ả Gi ứ thi a) T giáccó(gi ộ ế ề n i ti p (hai góc k cùng nhìn c nhd ằ góc b ng nhau). ộ ế ứ b) T giácn i ti p suy ra (góc ngoài c a t ộ ế n i ti p). ứ Xét vàcó: (ch ng minh trên);
và chung
ươ ứ ng ng)
ạ (hai c nh t . c) Ta có: (vì cùng vuông góc v i).ớ (vì cùng vuông góc v i).ớ
ộ ế ườ ườ ng kính (1)
ng tròn đ ng kính (2)
ừ ẳ Do đó là hình bình hành. ấ ứ giácn i ti p đ d) Ta th y t ườ ộ ế ườ ng tròn đ Màn i ti p đ ể T (1) và (2) suy ra ba đi m th ng hàng.
ườ ắ ạ i A. Các đ ng cao AD, BE c t nhau t i H.
ạ ộ ế ộ ế giác CEHD n i ti p. giác AEDB n i ti p.
Ví d 9:ụ Cho tam giác ABC cân t ứ a) Ch ng minh t ứ b) Ch ng minh t Gi
ườ giác CEHD ta có:(vì BE là đ ng cao) và (vì AD là
ứ ng cao)
giác CEHD.
ệ ủ ứ ộ ế giác n i ti p. ườ ả ứ ứ i:ả a) Xét t ườ đ . ố Mà là hai góc đ i di n c a t Do đó CEHD là t ế b) Theo gi ứ t: BE là đ thi ng cao
ườ
ộ
ướ ườ ườ ậ
ể ằ i m t góc 90°, suy ra E và ố ng kính AB. V y b n ứ ộ ườ ng tròn hay t
ộ ế AD là đ ng cao . Do đó E và D cùng nhìn AB d ằ D cùng n m trên đ ng tròn đ đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đ giác AEDB n i ti p.
ế t là hình chi u vuông góc
ứ ứ ầ ượ Cho hình bình hành ABCD, có tâm là O. G i M, N, P l n l ộ ế ứ giác n i ti p. ọ giác NMOP là t
ụ Ví d 10: ủ c a C lên BD, AD, AB. Ch ng minh t Gi
ứ ộ ế ườ giác ANCP n i ti p đ ng
ườ ng kính AC.
ạ
i:ả Ta có: (gt) nên t tròn (O) đ Suy ra . L i có (do AD // BC) Do đó (1)
ộ ế ườ ườ giác CDNM n i ti p đ ng tròn đ ng kính CD nên:
ộ ế ườ ườ ứ ạ giác BCMP n i ti p đ ng tròn đ ng kính BC nên: ặ M t khác ứ Mà t . L i có t
(2)
ừ ứ ộ ế T (1) và (2) suy ra: do đó t giác PMON n i ti p.
ủ ắ ắ ạ
ng tròn (O) và (O’) c t nhau t ạ ế i M, N. Ti p tuy n t ố ứ ể ế ạ ủ ườ ủ ắ ọ Cho hai đ ế ạ ạ i M c a (O) c t (O’) t i ứ ứ i A. G i P là đi m đ i x ng c a M qua N. Ch ng minh t i M c a (O’) c t (O) t
ộ ế
ụ Ví d 11: ế B, ti p tuy n t giác MAPB n i ti p. Gi
ươ ứ i:ả Ta có: Nên ∆AMN∆MBN (g.g) Do đó ∆ANP ∆PNB (c.g.c) (hai góc t ng ng).
ứ ộ ế ừ T đó suy ra ậ ứ V y t giác AMBP là t giác n i ti p.
Ậ Ự Ệ BÀI T P T LUY N:
ớ ạ ế ẻ ớ ẽ ườ ng tròn tâm đi qua và ti p xúc v i t ọ i . K dây song song v i . G i
ể ủ ng tròn.
ứ
ế ạ ủ ườ ắ ạ ế ạ ế i và . Ti p tuy n t i c a đ ng tròn c t t i và ti p
ắ ng tròn và c t nhau t ắ ạ i . ng tròn c t t
ằ ố ng kính và dây căng cung có s đo b ng .
ắ ạ ứ ằ ữ ủ ọ ầ ượ t là đi m chính gi a c a các cungvà . Hai dây và c t nhau t i . Ch ng minh r ng
ắ ạ ắ ạ ứ ằ ạ ườ ẽ ườ ng kínhc t t i , c t t i . Ch ng minh r ng: i. V đ ng tròn đ
ế ớ ườ ế ể ằ ẽ ể ườ ng trònta v hai ti p tuy nv i đ ế ng tròn (là ti p đi m). Trên
ứ ng tròn.
ứ ẽ ứ
ế ng tròn đ i v i. ng tròn tâmđ
ể ứ ế ế ng tròn (là ti p đi m), c tt ớ ử ườ ắ ạ ắ ử ườ i;c t n a đ ố ớ ng tròn
ứ ế ng kínhvà tia ti p tuy ncùng phía v i n a đ ớ ử ườ giác n i ti p đ
ng th ng ngoàivà vuông góc v i đ ớ ườ ng
ườ ẳ
ứ ự ng tròn. ủ ườ ẽ ộ ế ườ ng tròn. ộ ườ ỏ ủ ườ ng tròn. M t đ ứ ằ t t i. Ch ng minh r ng cùng thu c m t đ ạ ắ i và . V theo th t ẳ ở ộ ườ là đ ộ ườ ng kính c a hai đ ng trònvà.
ẳ
ắ ườ ạ ứ ể ố ườ ẳ ẳ ạ ng th ngc t đ ng trònt i (khác ). Ch ng minh b n đi m
ng trònt ng tròn. ẳ ng th ng vàđ ng quy t ộ ế ượ ứ ườ ằ ứ ứ ứ ồ c trong m t đ giácn i ti p đ
ườ ọ
ộ ế ượ ứ giác n i ti p đ ạ ộ ộ ườ ắ ngc t nhau t ộ ườ c trong m t đ ể i m t đi m. ng tròn. ạ i . ng tròn.
ườ ủ
ng phân giác c a . ủ ứ ạ ẳ Bài 1: Cho tam giác , v đ ớ ườ là giao đi m c a v i đ Ch ng minh . ườ Bài 2: Cho hai đ ế ạ ủ ườ i c a đ tuy n t ứ Ch ng minh. ườ ử ườ ng tròn đ Bài 3: Cho n a đ ủ a) So sánh các góc c a tam giác . ể b) G i l n l ủ tia là tia phân giác c a góc. Bài 4: Cho tam giáccân t a) Tam giáccân.b) . ừ ộ Bài 5: T m t đi mn m ngoài đ ẽ ộ ỏ ấ ể cung nh l y m t đi m, v . ộ ế ườ a) Ch ng minhlà t giác n i ti p đ ộ ế ứ b) V . Ch ng minhlà t giác n i ti p. ử ườ ườ Bài 6: Cho n a đ ẻ ế ừ ể T đi mtrênk ti p tuy n th hai v i n a đ ứ ạ t i(khác). Ch ng minhvà là các t ộ ể Bài 7: Cho đi mthu c cung nh c a đ ắ ầ ượ ạ ẳ th ng; đ ng th ngc t l n l ườ ng tròn và c t nhau t Bài 8: Cho hai đ ể a) Ch ng minh ba đi m th ng hàng. ắ ườ b) Đ ng th ngc t đ i ; đ ộ ườ cùng n m trên m t đ ườ c) Ch ng minh ba đ d) Ch ng minh t Bài 9: Cho tam giác có ba góc nh n , các đ a) Ch ng minh t b) Ch ng minh. c) Ch ng minh là đ ể d) G i là trung đi m c a đo n th ng . Ch ng minh .
ứ ứ ứ ọ ƯỚ Ẫ NG D N:
ắ
ườ ộ ế H Bài 1: Ta có: (cùng ch n cung ). ặ M t khác nên (so le trong). Do đó . Bài 2: Trong đ ng tròn có (góc n i ti p và góc
ế
trong đ ng tròn ta cũng có .
ộ ế ắ ử
ng tròn).
ủ
ứ ữ ủ ườ ủ ể ạ i nên là đ ng phân giác th ba c a tam giác hay là tia phân giác c a góc .
ng tròn)
ắ ử ườ ạ
i A). ườ ế ng trung tuy n
ắ
ế ạ ộ ế i A, AD là đ ng trung tuy n đ ng
ườ ng phân giác, do đó(2)
ứ t), suy ra nên t ộ ế giácn i ti p
ứ ộ giácn i
ế ở ạ t o b i tia ti p tuy n và dây cung cùng ch n ).ắ ườ ự ươ T ng t Xét và có và nên . Bài 3: a) Tam giác có: (góc n i ti p ch n n a ườ đ . V y .ậ b) Vì là đi m chính gi a c a cung và nên các tia là các tia phân giác c a các góc và . Mà và ủ ắ c t nhau t Bài 4: ộ ế a) (góc n i ti p ch n n a đ ể là trung đi m (do cân t ạ i có là đ Tam giác vuông t ề ớ ạ ứ ng v i c nh huy n nên . ậ V y tam giác cân t i D. b) Ta có (2 góc n i ti p cùng ch n cung) (1) ạ ồ Mà cân t ờ ườ th i là đ ừ T (1) và (2) (đpcm) Bài 5: ả ế thi a) Ta có: (gi ườ ườ ng kính . ng tròn đ đ ứ ả ế thi t), suy ra nên t b) T giáccó(gi ườ ế ườ ng kính MC ng tròn đ ti p đ
ế ế
ng kính . giác n i ti p đ ứ ng tròn đ
ộ ế ắ ử ườ ng tròn)
ấ ế
ườ ng trung tr c c a.
ề ỉ
ộ ế ườ ằ i hai góc b ng nhau (và b ng ) suy ườ ng kính ng tròn đ
ắ ạ ng kính c t t
ứ
ạ
ể
Bài 6: Vì là ti p tuy n nên . T giác có ườ ộ ế ườ ứ là t Ta có: (góc n i ti p ch n n a đ . ế ạ L i có: (tính ch t ti p tuy n). ự ủ Suy ra là đ . ứ T giáccó hai đ nh và k nhau cùng nhìn ằ ạ ướ c nh d ứ ralà t giác n i ti p đ Bài 7: ẻ ườ i . K đ ộ ế giác n i ti p, suy ra . Ta có nên t ắ ộ ế ặ M t khác (hai góc n i ti p cùng ch n cung MB ủ c a (O)), do đó hay . ề ứ T giáccó hai đ nh và k nhau cùng nhìn c nh ướ ộ d i hai góc b ng nhau nên 4 đi m cùng thu c ộ ườ m t đ ỉ ằ ng tròn.
ắ ử ộ ế t là các góc n i ti p ch n n a
ng tròn ); ng tròn ).
giác n i ti p.
ườ ủ ắ ạ ể ễ ấ ng cao c a tam giác c t nhau t i , suy
ậ
ộ ườ c trong m t đ ng tròn.
ả
ộ
ủ ứ ề ỉ t) hai đ nh k nhau c a t ứ i m t góc . Suy ra t ườ ng kính .
ộ ế ủ ắ
Bài8: ầ ượ a) và l n l ườ ng tròn và . đ ẳ Suy ra th ng hàng. ứ b) Xét t giác có: ộ ế ắ ử ườ (góc n i ti p ch n n a đ ắ ử ườ ộ ế (góc n i ti p ch n n a đ ộ ế ứ , suy ra là t ủ ọ c) G i là giao đi m c a và . D th y và là hai đ ra . ẳ Do v y th ng hàng. ộ ế ượ d) Ta có n i ti p đ Bài9: ế thi a) Ta có (gi ạ ướ giác cùng nhìn c nh d ộ ế ườ ng tròntâm O đ giácn i ti p đ b) Xét và có: chung (hai góc n i ti p cùng ch n c a (O)). Do đó
ắ ộ ế
ứ
ặ
ủ
ộ ế ộ ế ắ ắ
(1) (*) (**) (2)
ứ ứ ừ ừ hay (đpcm) ứ c) T giác n i ti p (do ) (cùng ch n ). ộ ế T giác n i ti p (do ) . Mà nên M t khác: ậ Do đó . V y là tia phân giác c a góc . d) Ta có: . T giác n i ti p (cùng ch n cung ). T giác n i ti p (cùng ch n cung ) T (*) và (**) suy ra . T (1) và (2) suy ra .
ả ể
ề ạ ơ ị i đ n v nhà tr ộ ng: ứ ườ ế ế ể ọ K t qu tri n khai chuyên đ t VIII. ề ư ọ ế ư Ch a tri n khai vì h c sinh ch a h c đ n các n i dung ki n th c trong chuyên đ .
ướ ư ọ ọ ề a) Tr c khi h c sinh ch a h c chuyên đ
Ghi chú Đi mể iỏ gi Đi mể khá Đi mể TB Đi mể y uế TSKT
TS % TS % TS % TS %
204
ọ ọ ề b) Sau khi h c sinh đã h c chuyên đ
TSKT Đi mể Ghi chú
Đi mể khá Đi mể TB Đi mể y uế gi iỏ
TS % TS % TS % TS %
204
