Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

280
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hàm truyền đạt của các hệ thống kết nối: Trong nhiều trường hợp, ta gặp hai hay nhiều lọc mắc nối tiếp (còn gọi là mắc chồng hoặc song song). Lúc đó tính toán đáp ứng tần số toàn thể thuận lợi hơn là tính toán đáp ứng xung cho toàn thể. Hàm truyền đạt ghép nối tiếp: Hình 2.6. Hàm truyền đạt ghép song song: Hình 2.7

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z

Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Quan heä treân ñöôïc söû duïng ñeå xaùc ñònh H(z) khi heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân vôùi heä soá haèng döôùi daïng : N M y(n) = - ∑ a k y(n − k ) + ∑b k x (n − k ) k =1 k =0 Laáy bieán ñoåi Z caû hai veá : N M Y(z) = - ∑ a k Y(z) z-k + ∑b k X(z) z-k k =1 k =0  N  M  Y(z) 1 + ∑ a k z −k  = X(z) ∑ b k z −k   k =1   k =0  M Y(z) ∑b z k −k H(z) = = k =0 N (2.26) X(z) 1+ ∑ akz −k k =1 → Nhaän xeùt khi bieát tín hieäu vaøo x(n) vaø ñaùp öùng xung h(n), ñeå tìm ñaùp öùng ngoõ ra y(n) ta thöïc hieän caùc böôùc sau : ° Bieán ñoåi Z x(n) vaø h(n) x(n) ← z X(z), → h(n) ← z H(z) → ° Tìm Y(z) = X(z) H(z) ° Bieán ñoåi ngöôïc z cuûa Y(z) ñeå tìm y(n) Ví duï 2.18 : Haõy xaùc ñònh haøm truyeàn ñaït H(z) vaø ñaùp öùng xung h(n) cuûa heä thoáng nhaân quaû ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân : 1 y(n) = y(n-1) + 2x(n) 2 Giaûi : Laáy bieán ñoåi Z caû hai veá cuûa phöông trình 1 -1 Y(z) = z Y(z) + 2X(z) 2 Y(z) 2 H(z) = = X(z) 1 1 − z −1 2 n 1 ⇒ h(n) = 2   u(n)  2 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 69
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z b. Haøm truyeàn ñaït cuûa caùc heä thoáng keát noái : Trong nhieàu tröôøng hôïp, ta gaëp hai hay nhieàu loïc maéc noái tieáp (coøn goïi laø maéc choàng) hoaëc song song. Luùc ñoù tính toaùn ñaùp öùng taàn soá toaøn theå thuaän lôïi hôn laø tính toaùn ñaùp öùng xung cho toaøn theå. • Haøm truyeàn ñaït gheùp noái tieáp : Hình 2.6 H(z) = H1(z) . H2(z) … Hn (z) vôùi n nguyeân döông (2.28) • Haøm truyeàn ñaït gheùp song song : Hình 2.7 H(z) = H1(z) + H2(z) + … + Hn (z) vôùi n nguyeân döông (2.29) • Ñaëc bieät khi hai loïc nhö nhau maéc noái tieáp, ta coù : H(z) = H12(z) X(z) H1(z)X(z) Y(z) = [H1(z) H2(z)]X(z) H1(z) H2(z) Hình 2.6 H1(z)X(z) H1(z) X(z) Y(z) = [H1(z) + H2(z)]X(z) H2(z)X(z) H2(z) Hình 2.7 2.5.2 Giaûi Phöông Trình Sai Phaân Tuyeán Tính Heä Soá Haèng Nhôø Bieán Ñoåi Z Vì vieäc giaûi phöông trình sai phaân thöôøng ñi keøm vôùi ñieàu kieän ñaàu khaùc khoâng. Vì vaäy ta caàn öùng duïng bieán ñoåi Z moät phía ñeå giaûi phöông trình Tröôùc heát, ta xeùt bieán ñoåi Z cuûa haøm soá : x(n – m) vôùi n ≥ 0 (2.30) ∞ x(n – m) ← →z Xm(z) = ∑ x(n − m) z-n n =0 Ñaët k = n– m ∞ ∞ = ∑ x(k) z-k-m = z-m k =− m ∑ x(k) z-k k =− m  −1 ∞  = z-m  k∑ x (k )z + ∑ x (k )z  −k −k  =− m k =0  Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 70
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z  m  -m  X ( z ) + =z  ∑ x (− k )z k =1 k   Ví duï 2.19 : Giaûi phöông trình sai phaân sau 2x(n – 2) – 3x(n – 1) + x(n) = 3n-2 vôùi n ≥ 0 4 1 Bieát ñieàu kieän ñaàu x(-2) = - , x(-1) = - 9 3 Giaûi : Laáy bieán ñoåi Z moät phía 2 veá cuûa phöông trình : 2 {z −2 X(z) + z −1 x (−1) + x (−2)} - 3 {z −1X(z) + x (−1)} + X(z) = 3-2 z z−3 4 1 Thay : x(-2) = - , x(-1) = - 9 3 z Ta ñöôïc : X(z) = (z − 1)(z − 3) Ñeå tìm bieán ñoåi ngöôïc Z, ta seõ phaân chia X(z) thaønh toång hai phaân thöùc: 1 z 1 z 1 1 1 1 X(z) = - + = - + 2 z −1 2 z − 3 2 1− z −1 2 1 − 3z −1 1 1 Suy ra x(n) = - u(n) + 3nu(n) 2 2 Mieàn hoäi tuï ROC z > 3 2.5.3 Ñoä Oån Ñònh Vaø Tieâu Chuaån Jury 2.5.3.1 Söï Oån Ñònh Cuûa Moät Heä Thoáng Tuyeán Tính Baát Bieán OÅn ñònh laø moät ñaëc tính quan troïng ñoái vôùi baát kyø moät heä thoáng naøo ñöôïc söû duïng trong thöïc teá. Moät heä thoáng baát kyø ñöôïc goïi laø oån ñònh khi vaø chæ khi vôùi daõy ñaàu vaøo bò chaën, ta coù daõy ñaàu ra cuõng bò chaën. Noùi khaùc ñi, khi khoâng coù tín hieäu ôû ñaàu vaøo cuûa heä thoáng, nhöng cuõng coù theå ôû ñaàu ra cuûa heä thoáng xuaát hieän tín hieäu, ñoù chính laø tröôøng hôïp heä thoáng khoâng oån ñònh. Tính oån ñònh cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian cuõng coù theå ñöôïc bieåu dieån thoâng qua caùc ñaëc tính cuûa haøm truyeàn ñaït. Trong phaàn tröôùc cuûa baøi hoïc ta ñaõ bieát raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå baûo ñaûm tính oån ñònh cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian laø : ∞ ∑ h (n ) n = −∞
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Trong mieàn Z, ñieàu kieän naøy seõ töông ñöông vôùi vieäc ROC cuûa haøm truyeàn ñaït H(z) phaûi chöùa voøng troøn ñôn vò. ∞ Thaät vaäy vì : H(z) = ∑ h(n)z n = −∞ −n ∞ ∞ Ta suy ra : H (z) ≤ ∑ h (n )z n = −∞ −n = ∑ h (n ) n = −∞ z −n (2.32) Ñaùnh giaù bieåu thöùc naøy taïi z = 1 ∞ Ta suy ra : H(z) ≤ ∑ h (n ) ROC z =1 n = −∞ 1 Ñeå ñieàu kieän oån ñònh trong mieàn thôøi gian ∞ (töùc laø ∑ h (n ) n = −∞ < ∞) ñöôïc baûo ñaûm thì roõ raøng haøm truyeàn ñaït H(z) cuõng phaûi hoäi tuï vôùi z = 1 (ñieåm hoäi tuï naèm treân voøng troøn dôn vò trong maët phaúng Z). Maët phaúng Z Hình 2.8 Nhö vaäy ta coù theå ñöa ra keát luaän, ñeå heä thoáng oån ñònh thì voøng troøn ñôn vò phaûi thuoäc ROC cuûa haøm truyeàn ñaït H(z). → Keát luaän : Heä thoáng tuyeán tính baát bieát theo thôøi gian laø oån ñònh neáu vaø chæ neáu ROC cuûa haøm heä thoáng coù chöùa voøng troøn ñôn vò. Hình veõ beân minh hoaï ñieàu naøy. Ñoái vôùi moät heä nhaân quaû, ñieàu kieän oån ñònh coù theå ñöôïc thu heïp laïi trong moät chöøng möïc naøo ñoù. Thaät vaäy, ta ñaõ bieát raèng heä thoáng ROC nhaân quaû coù ñaùp öùng xung thoaû ñieàu kieän: h(n) 1 = 0, n< 0, hay noùi caùch khaùc h(n) phaûi laø daõy r nhaân quaû. Neáu heä thoáng ñöôïc bieåu dieãn trong mieàn Z thì ROC cuûa H(z) phaûi laø mieàn naèm 0 ngoaøi voøng troøn vôùi baùn kính naøo ñoù vaø ñeå heä thoáng oån ñònh thì ROC cuûa H(z) laïi phaûi chöùa voøng troøn ñôn vò. Vaäy ñeå heä thoáng laø nhaân quaû vaø oån ñònh thì ROC cuûa H(z) laø z > r, vôùi r < 1 Hình 2.9 Ta cuõng nhaän xeùt laø ROC khoâng theå chöùa baát cöù moät cöïc naøo cuûa H(z). Do vaäy, suy ra raèng moät heä thoáng LTI nhaân quaû vaø oån ñònh khi vaø chæ khi taát caû caùc cöïc cuûa H(z) naèm beân trong voøng troøn ñôn vò. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 72
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Ví duï 2.21 : Xeùt moät heä thoáng LTI coù haøm truyeàn ñaït : 1 H(z) = z −α Vôùi α laø moät soá thöïc, döông. Haõy tìm ñieàu kieän oån ñònh cuûa heä thoáng ? Giaûi : Ñieåm cöïc cuûa H(z) laø z = α . Vaäy ñeå heä thoáng oån ñònh ta phaûi coù α< 1. Baây giôø ta haõy kieåm tra laïi ñieàu naøy trong mieàn thôøi gian. Tröôùc heát ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi ngöôïc Z ñeå tìm ñaùp öùng xung h(n). 1 z−1 Ta coù H(z) = = z − α 1 − αz−1 Suy ra h(n) = α n−1 u(n – 1) h(0) = 0; h(1) = 1; h(2) = α; h(3) = α2 Tröôøng hôïp α < 1 Tröôøng hôïp α > 1 h(n) h(n) α2 1 α α 2 α 1 n n 0 1 2 3 0 1 2 3 Heä oån ñònh Hình 2.10 Heä khoâng oån ñònh Ví duï2.22 : Xeùt heä thoáng LTI ñöôïc ñaëc tröng bôûi haøm truyeàn ñaït H(z) 3 − 4 z −1 1 2 H(z) = −1 −2 = + 1 − 3,5z + 1,5z 1 1 − z −1 1 − 3z −1 2 Haõy chæ ra ROC cuûa H(z) vaø xaùc ñònh h(n) trong nhöõng ñieàu kieän sau : a) Heä thoáng laø oån ñònh. b) Heä thoáng laø nhaân quaû. c) Heä thoáng laø khoâng nhaân quaû. Giaûi : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 73
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 1 Heä thoáng coù caùc cöïc taïi z= vaø z=3 . 2 a) Heä thoáng laø oån ñònh, vì ROC khoâng chöùa caùc ñieåm cöïc vaø chöùa voøng troøn ñôn vò 1 neân ROC cuûa H(z) laø: < z < 3 2 n 1 Vaäy h(n)=   u(n) – 2 3n u( -n–1 )  2 Heä thoáng khoâng nhaân quaû b) Heä thoáng laø nhaân quaû : ROC cuûa H(z) phaûi laø z > 3 n 1 Vaäy h(n)=   u(n) + 2 3n n(n)  2 c) Heä thoáng laø khoâng nhaân quaû : 1 ROC cuûa H(z) phaûi laø z < 2  1  n  u(n)= –   + 2 3n  u(–n–1)  2     ROC khoâng chöùa voøng troøn ñôn vò neân trong tröôøng hôïp naøy heä thoáng khoâng oån ñònh. → Vì ñoä oån ñònh tuøy thuoäc vaøo khoaûng caùch töø taâm 0 ñeán cöïc, nghóa laø baùn kính cuûa cöïc neân ta cuõng coù theå dieãn taû cöïc trong heä toïa ñoä cöïc. Ví duï ta coù heä thoáng vôùi ñoâi cöïc nhö hình veõ sau ñaây : Im(Z) Vò trí cuûa caùc cöïc laàn löôït laø : p1 = re jθ r θ Re(Z) − jθ p2 = re 0 θ 1 r Vaäy H(z) = (z − re )(z − re − jθ ) jθ 1 H(z) = Hình 2.11 z − (2r cos θ )z + r 2 2 Heä naøy oån ñònh thì r < 1 2.5.3.2 Tieâu chuaån oån ñònh Schür – Cohn Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 74
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Ta ñaõ bieát raèng muoán xeùt moät heä thoáng coù oån ñònh hay khoâng, phaûi tìm caùc ñieåm cöïc cuûa H(z). Nhöng khi baäc cuûa maãu soá cuûa H(z) lôùn thì vieäc tìm caùc ñieåm cöïc seõ gaëp nhieàu khoù khaên. Ñeå traùnh tìm caùc ñieåm cöïc maø vaãn bieát ñöôïc heä thoáng coù oån ñònh hay khoâng, ta coù theå duøng tieâu chuaån oån ñònh Schür – Cohn seõ ñöôïc trình baøy döôùi ñaây : B(z) Giaû thieát H(z) = . Caùc cöïc cuûa heä thoáng laø nghieäm cuûa A(z) A(z) A(z) = 1+ a1z-1 + a2z-2 + . . . + aNz-N (2.33) Tröôùc khi ñi vaøo trình baøy chi tieát phöông phaùp, ta haõy thieát laäp moät soá coâng thöùc lieân quan. Ta kyù hieäu ña thöùc baäc m cho bôûi : m Am(z)= ∑ a m (k )z −k (2.34) k =0 am(0)= 1 → Haõy xeùt ña thöùc ngöôïc Bm(z) cuûa Am(z), ña thöùc naøy coù caùc heä soá gioáng nhö caùc heä soá cuûa Am(z) nhöng ñöôïc saép xeáp theo thöù töï ngöôïc laïi. Nhö vaäy ta coù : m Bm(z) = ∑a k =0 m ( m − k )z −k (2.35) → Theo tieâu chuaån Schür – Cohn, ñeå xaùc ñònh ña thöùc coù taát caû caùc cöïc naèm beân trong ñöôøng troøn ñôn vò, ta caàn xaùc ñònh taäp hôïp caùc heä soá ñöôïc goïi laø caùc heä soá phaûn xaï k1, k2,. . . kN töø ña thöùc Am(z). Ñaàu tieân ta ñaët : AN(z)= A(z); kN= aN(N) . Sau ñoù ta seõ tính caùc ña thöùc Am(z) vôùi m=N, N-1, N-2, . . .1 theo coâng thöùc ñeä quy A m (z) − k m B m (z) Am-1(z)= (2.36) 1− k2 m Trong ñoù caùc heä soá km ñöôïc ñònh nghóa bôûi km= am(m). Tieâu chuaån Schür-Cohn phaùt bieåu raèng: Ña thöùc A(z)= 1+ a1z-1+ a2z-2+ . . . + aNz-N seõ coù taát caû caùc cöïc naèm trong voøng troøn ñôn vò neáu vaø chæ neáu caùc heä soá km thoûa maõn ñieàu kieän k m < 1 vôùi moïi m= 1, 2, . . ., N. Ví duï2.23 : Haõy xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi haøm truyeàân ñaït. 1 H(z) = 7 −1 1 −2 1− z − z 4 2 Giaûi : Haõy baét ñaàu vôùi A2(z). Theo ñònh nghóa Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 75
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 2 7 1 A2(z) = 1 - z-1 - z-2 = 4 2 ∑a k =0 2 (k ) z-k Xeùt ña thöùc ngöôïc 2 B2(z) = ∑a k =0 2 (2 − k ) z-k 1 7 -1 → B2(z) = - - z + z-2 2 4 1 → k2 = a2(2) = - 2 Theo coâng thöùc ñeä quy : 7 −1 1 −2  1  1 7 −1  1− z − z −  −  − − z + z −2  A 2 (z) − k 2 B 2 (z) 4 2  2  2 4  A1(z) = = 1− k2 2  1 2 1− −   2 7 −1 1 −2 1 7 −1 1 −2 1− z − z − − z + z = 4 2 4 8 2 3 4 3 21 −1 − z 4 8 7 = = 1 - z-1 3 2 4 7 vôùi k1 = a1(1) = - 2 1 7 vôùi k2 = < 1, nhöng k 1 = > 1. Do ñoù heä thoáng khoâng oån ñònh. 2 2 Ví duï2.24 : Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng 1 H(z) = 4 + 3z + 2z −2 + z −3 + z −4 −1 Giaûi : Vieát laïi H(z) 1 H(z) = 4 3 −1 1 −2 1 −3 1 −4 1+ z + z + z + z 4 2 4 4 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 76
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 4 3 1 1 1 → A4(z) = 1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 = 4 2 4 4 ∑a k =0 4 (k )z −k 4 1 1 1 3 → B4(z) = ∑a k =0 4 ( 4 − k ) z −k = 4 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 4 2 4 1 → k4 = a4(4) = 4 A 4 (z) − k 4 B 4 (z) → A3(z) = = 1− k2 4 3 −1 1 −2 1 −3 1 −4 1  1 1 −1 1 −2 3 −3  1+ z + z + z + z −  + z + z + z + z −4  4 2 4 4 44 4 2 4  = 1 1− 16 15 11 −1 3 −2 1 −3 + z + z + z 16 16 8 16 11 2 1 = = 1 + z-1 + z-2 + z-3 15 15 5 15 16 1 2 11 → B3(z) = + z-1 + z-2 + z-3 15 5 15 1 → k3 = a3(3) = 15 A 3 (z) − k 3 B3 (z) → A2(z) = 1 − k32 11 −1 2 −2 1 −3 1  1 2 −1 11 −2  1+ z + z + z −  + z + z + z −3  15 5 15 15  15 5 15  = 1 1− 2 15 224 53 −1 79 −2 + z + z 225 75 225 159 -1 79 -2 = = 1+ z + z 224 224 224 225 79 159 -1 → B2(z) = + z + z-2 224 224 79 → k2 = 224 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 77
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z A 2 (z) − k 2 B 2 (z) → A1(z) = 1− k2 2 159 −1 79 −2 79  79 159 −1  1+ z + z −  + z + z −2  224 224 224  224 224  = 2  79  1−    224   159 × 145  224  −1 2 159 -1 =1+  2  145 × 299 z = 1 + 299 z    224   159 → k1 = 299 Toùm laïi heä thoáng oån ñònh vì 159 k1 = < 1 299 79 k2 = 224 < 1 1 k3 = < 1 15 1 k4 = < 1 4 Ví duï2.25: Giaû söû ta coù1 heä thoáng LTI ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân sau : y(n) + a1y(n -1) + a2y(n - 2) = x(n) Haõy xeùt söï oån ñònh cuûa heä thoáng theo hai tham soá a1 , a2 Giaûi : Laáy bieán ñoåi Z 2 veá cuûa phöông trình sai phaân ta coù Y(Z)( 1+ a1z-1 + a2z-2 ) = X(z) Y(z) 1 Vaäy haøm truyeàn ñaït H(z) = = X ( z ) 1 + a 1z + a 2 z − 2 −1 Xeùt söï oån ñònh : ° A2(z) = 1+ a1z-1 + a2z-2 ° B2(z) = a2+ a1z-1 + z-2 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 78
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z ° k2 = a2 A 2 (z) − k 2 B 2 (z) 1 + a 1z −1 + a 2 z −2 − a 2 (a 2 + a 1z −1 + z −2 ) A1(z) = = 1− k2 2 1− a2 2 = (1 − a ) + (a 2 2 − a 1a 2 )z −1 1 =1+ a1 .z-1 1− a2 2 1+ a2 a1 → k1 = Ñieàu kieän oån ñònh k2 < 1 1+ a2 k1 < 1 a1 ⇒ a2 < 1 vaø –1 – a1 Hay a2 > a 1 – 1 –1 < a2 < 1 a1 ⇒ – 1 < a2 < 1 vaø –1 <
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z BAØI TAÄP CHÖÔNG II Baøi taäp 2.1 Xaùc ñònh bieán ñoåi Z cuûa caùc tín hieäu sau : 1) x(n) = {3, 0, 0, 0, 0, 6, 1, -4}  1  n     khi n ≥ 5   2) x(n) =  2     0  khi n ≤ 4 Baøi taäp 2.2 Tính bieán ñoåi Z vaø veõ mieàn hoäi tuï cuûa caùc tín hieäu sau :  1  n   khi n ≥ 0  3  1) x1(n) =  −n  1   2  khi n < 0    1  n   − 2 khi n ≥ 0 n  3 2) x2(n) =    0  khi n < 0 3) x3(n) = x1(n+4) 4) x4(n) = x1(–n) Baøi taäp 2.3 Tính bieán ñoåi Z vaø veõ sô ñoà khoâng-cöïc töông öùng cuûa caùc tín hieäu sau : 1) x(n) = (1 + n).u(n) 2) x(n) = (an + a-n).u(n) 3) x(n) = (-1)n 2nu(n) 4) x(n) = n.an sinωon.u(n) 5) x(n) = n.an cosωon.u(n) 6) x(n) = A.rn cosωon.u(n) (0< r
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 2 1 8) x(n) =   [u(n) – u(n – 10)]  2 Baøi taäp 2.4 Xaùc ñònh bieán ñoåi Z cuûa caùc tín hieäu sau : 1) x(n) = n(-1)n u(n) 2) x(n) = n2 u(n)  π  3) x(n) = (-1)n  cos n  u(n)  3  4) x(n) = (-1)n u(n) 5) x(n) = -n.an u(-n – 1) 6) x(n) = {1, 0, -1, 0, 1, -1,. . .} Baøi taäp 2.5 Bieåu dieãn bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu : n y(n) = ∑ x (k ) k = −∞ qua X(z) Baøi taäp 2.6 Söû duïng bieán ñoåi Z ñeå tính toång chaäp cuûa caùc tín hieäu sau :  1  n   khi n ≥ 0  3  x1(n) =  −n  1   2  khi n < 0   n 1 x2(n) =   u(n)  2 Baøi taäp 2.7 Xaùc ñònh tín hieäu nhaân quaû x(n) bieát bieán ñoåi Z ngöôïc cuûa noù 1 X(z) = (1 − 2z )(1 − z ) −1 −1 2 Baøi taäp 2.8 Duøng pheùp chia, xaùc ñònh bieán ñoåi Z ngöôïc cuûa tín hieäu x(n) : 1 + 2z −1 X(z) = 1 − 2z −1 + z 2 Baøi taäp 2.9 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 81
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Xaùc ñònh tín hieäu nhaân quaû x(n) bieát bieán ñoåi Z cuûa noù 1 + 3z −1 1) X(z) = 1 + 3z −1 + 2z −2 1 2) X(z) = 1 1 − z −1 + z −2 2 z −6 + z −7 3) X(z) = 1 − z −1 1 + 2 z −2 4) X(z) = 1 − z −2 1 1 + 6z −1 + z −2 5) X(z) = 4 (1 − 2z −1 + 2z −2 )1 − 1 z −1     2  2 − 1,5z −1 6) X(z) = 1 − 1,5z −1 + 0,5z −2 1 + 2z −1 + z −2 7) X(z) = 1 + 4z −1 + 4z −2 1 θ= 4 Imz 1 r= θ 2 Rezr -1/2 -1/4 0 r Hình BT.2.9 1 8) Cho X(z) bôûi sô ñoà khoâng cöïc vôùi G = 4 1 −1 1− z 9) X(z) = 4 1 1 + z −1 2 Baøi taäp 2.10 Xaùc ñònh moïi tín hieäu x(n) coù theå thu ñöôïc töø bieán ñoåi Z 5z −1 X(z) = ( (1 − 2z −1 ) 3 − z −1 ) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 82
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Baøi taäp 2.11 Xaùc ñònh toång chaäp cuûa caùc caëp tín hieäu sau baèng caùch duøng bieán ñoåi Z : 1 n   1 n  1) x1(n) =   u(n – 1) ; x2(n) = 1 +    u(n)  4   2    n 1 2) x1(n) = u(n) ; x2(n) = δ(n) +   u(n)  2 n 1 3) x1(n) =   u(n) ; x2(n) = cosπn.u(n)  2 4) x1(n) = n.u(n) ; x2(n) = 2n u(n-1) Baøi taäp 2.12 Xaùc ñònh toång chaäp cuûa caùc caëp bieán ñoåi Z sau baèng caùch duøng bieán ñoåi Z moät phía. 1) x1(n) = {1, 1, 1, 1, 1} ; x2(n) = {1, 1, 1} n n 1 1 2) x1(n) =   u(n) ; x2(n) =   u(n)  2  3 3) x1(n) = {1, 2, 3, 4} ; x2(n) = {4, 3, 2, 1} Baøi taäp 2.13 Söû duïng bieán ñoåi Z moät phía ñeå xaùc ñònh y(n), n ≥ 0 trong tröôøng hôïp sau : 1 1 1) y(n) + y(n – 1) − y(n – 2) = 0 ; y(-1) = y(-2) = 1 2 4 2) y(n) – 1,5y(n – 1) + 0,5(n – 2) = 0 ; y(-1) = 1, y(-2) = 0 1 n 1 3) y(n) = y(n – 1) + x(n) ; x(n) =   u(n), y(-1) =1 2  3 1 4) y(n) = y(n – 2) + x(n) ; x(n) = u(n), y(-1) = 0, y(-2) = 1 4 Baøi taäp 2.14 Chöùng minh raèng hai heä thoáng sau laø töông ñöông : 1) y(n) = 0,2y(n-1) + x(n) – 0,3x(n-1) + 0,02x(n-2) 2) y(n) = x(n) – 0,1x(n-1) Baøi taäp 2.15 Xeùt heä thoáng Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 83
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 1 − 2z −1 + 2z −2 − z −3 H(z) = ; ROC : 0,5 < z
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 1 n n −1 1 1 x(n) =   u(n) −   u(n – 1)  2 4  2 thì ngoõ ra laø : n 1 y(n) =   u(n)  3 1) Haõy xaùc ñònh ñaùp öùng xung h(n) vaø haøm truyeàn ñaït H(z) cuûa heä thoáng thoaû maõn ñeà baøi. 2) Tìm phöông trình sai phaân ñaëc tröng cho heä thoáng naøy 3) Xaùc ñònh sô ñoà thöïc hieän heä thoáng vaø sô ñoà naøy duøng ít boä nhôù nhaát 4) Xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa heä thoáng. Baøi taäp 2.20 Haõy tìm mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng nhaân quaû : 1 H(z) = −1 1 + a 1z + a 2 z 2 Baèng caùch tìm caùc ñieåm cöïc vaø cho chuùng naèm trong voøng troøn ñôn vò. Baøi taäp 2.21 Xeùt heä thoáng noái gheùp nhö hình veõ sau, bieát : h(n) = an u(n) ( a
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 1 −2 z −1 +z H(z) = 2 3 2 −2 1 − z −1 + z 5 25 1) Tìm ñaùp öùng xung h(n) cuûa heä thoáng. 2) Tìm ñaùp öùng baäc neáu y(-1) = 1 vaø y(-2) = 2. Baøi taäp 2.23 Xeùt heä thoáng ñöôïc ñaëc tröng bôûi sô ñoà khoâng – cöïc : 1) Xaùc ñònh haøm truyeàn ñaït vaø ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng bieát H(z) z =1 = 1. 2) Heä thoáng coù oån ñònh khoâng ? 3) Veõ sô ñoà thöïc hieän heä thoáng vaø xaùc ñònh phöông trình sai phaân bieåu dieãn heä thoáng. Baøi taäp 2.24 Moät maïch loïc ñeä quy coù haøm truyeàn ñaït : z6 H(z) = 6z 6 + 5z 5 + 4z 4 + 3z 3 + 2z 2 + z + 1 1) Haõy kieåm tra tính oån ñònh maïch loïc 2) Haõy thöïc hieän nhö caâu (1) vôùi : (z + 2) 2 H(z) = 6z 6 + 5z 5 + 4z 4 + 3z 3 + 2z 2 + z + 1 Baøi taäp 2.25 Moät maïch loïc soá ñaëc tröng bôûi haøm truyeàn ñaït : z4 H(z) = 4z 4 + 3z 3 + mz 2 + z + 1 Tìm khoaûng giaù trò cuûa m ñeå maïch loïc oån ñònh. Baøi taäp 2.26 Tìm bieán ñoåi Z ngöôïc :   1 1024 − z −10  X(z) =   vôùi z >0 1024  1 − 1 z −1   2  Baøi taäp 2.27 : Cho heä thoáng tuyeán tính baát bieán : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 86
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 10 y(n – 1) − y(n) + y(n + 1) = x(n) 3 heä thoáng laø oån ñònh. Haõy xaùc ñònh ñaùp öùng cuûa heä thoáng khi ngoõ vaøo laø: x(n) = u(n) + + Baøi taäp 2.28 z- Cho heä thoáng TTBB : 2 1) Xaùc ñònh phöông trình bieåu dieãn + 3 z- + quan heä x(n) vaø y(n) z- 2) Heä thoáng coù oån ñònh khoâng ? 1 − 9 z- Hình BT.2.28 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 87