Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 69
Quan heä treân ñöôïc söû duïng ñeå xaùc ñònh H(z) khi heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông
trình sai phaân vôùi heä soá haèng döôùi daïng :
y(n) = -∑
=
−
N
1k
k)kn(ya + ∑
=
−
M
0k
k)kn(xb
Laáy bieán ñoåi Z caû hai veá :
Y(z) = -∑
=
N
1k
k)z(Ya z-k + ∑
=
M
0k
k)z(Xb z-k
Y(z)
+∑
=
−
N
1k
k
kza1 = X(z)
∑
=
−
M
0k
k
kzb
H(z) = )z(X
)z(Y = ∑
∑
=
−
=
−
+N
1k
k
k
M
0k
k
k
za1
zb (2.26)
→Nhaän xeùt khi bieát tín hieäu vaøo x(n) vaø ñaùp öùng xung h(n), ñeå tìm ñaùp öùng ngoõ ra
y(n) ta thöïc hieän caùc böôùc sau :
° Bieán ñoåi Z x(n) vaø h(n)
x(n) →←z X(z), h(n) →←z H(z)
° Tìm Y(z) = X(z) H(z)
° Bieán ñoåi ngöôïc z cuûa Y(z) ñeå tìm y(n)
Ví duï 2.18 :
Haõy xaùc ñònh haøm truyeàn ñaït H(z) vaø ñaùp öùng xung h(n) cuûa heä thoáng nhaân quaû
ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân :
y(n) = 2
1 y(n-1) + 2x(n)
Giaûi :
Laáy bieán ñoåi Z caû hai veá cuûa phöông trình
Y(z) = 2
1z-1 Y(z) + 2X(z)
H(z) = )z(X
)z(Y =
1
z
2
1
1
2
−
−
⇒ h(n) = 2 n
2
1
u(n)
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 70
b. Haøm truyeàn ñaït cuûa caùc heä thoáng keát noái :
Trong nhieàu tröôøng hôïp, ta gaëp hai hay nhieàu loïc maéc noái tieáp (coøn goïi laø maéc choàng)
hoaëc song song. Luùc ñoù tính toaùn ñaùp öùng taàn soá toaøn theå thuaän lôïi hôn laø tính toaùn ñaùp
öùng xung cho toaøn theå.
• Haøm truyeàn ñaït gheùp noái tieáp : Hình 2.6
H(z) = H1(z) . H2(z) … Hn (z) vôùi n nguyeân döông (2.28)
• Haøm truyeàn ñaït gheùp song song : Hình 2.7
H(z) = H1(z) + H2(z) + … + Hn (z) vôùi n nguyeân döông (2.29)
• Ñaëc bieät khi hai loïc nhö nhau maéc noái tieáp, ta coù :
H(z) = H12(z)
2.5.2 Giaûi Phöông Trình Sai Phaân Tuyeán Tính Heä Soá Haèng Nhôø Bieán Ñoåi Z
Vì vieäc giaûi phöông trình sai phaân thöôøng ñi keøm vôùi ñieàu kieän ñaàu khaùc khoâng.
Vì vaäy ta caàn öùng duïng bieán ñoåi Z moät phía ñeå giaûi phöông trình Tröôùc heát, ta xeùt bieán
ñoåi Z cuûa haøm soá :
x(n – m) vôùi n ≥ 0 (2.30)
x(n – m) →←z Xm(z) = ∑
∞
=
−
0n
)mn(x z-n Ñaët k = n– m
=∑
∞
−= mk
)k(x z-k-m = z-m ∑
∞
−= mk
)k(x z-k
= z-m
+
∑∑
−
−=
∞
=
−−
1
mk0k
kk z)k(xz)k(x
H1(z) H2(z)
X(z) Y(z) = [H1(z) H2(z)]X(z)
Hình 2.6
H1(z)X(z)
H1(z)
H2(z)
X(z) Y(z) = [H1(z) + H2(z)]X(z)
Hình 2.7
H1(z)X(z)
H2(z)X(z)
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 71
= z-m
−+ ∑
=
m
1k
k
z)k(x)z(X
Ví duï 2.19 :
Giaûi phöông trình sai phaân sau
2x(n – 2) – 3x(n – 1) + x(n) = 3n-2 vôùi n ≥ 0
Bieát ñieàu kieän ñaàu x(-2) = - 9
4 , x(-1) = - 3
1
Giaûi :
Laáy bieán ñoåi Z moät phía 2 veá cuûa phöông trình :
2
{
}
)2(x)1(xz)z(Xz 12 −+−+ −− - 3
{
}
)1(x)z(Xz 1−+
− + X(z) = 3-2 3z
z
−
Thay : x(-2) = - 9
4 , x(-1) = - 3
1
Ta ñöôïc : X(z) = )3z)(1z(
z
−−
Ñeå tìm bieán ñoåi ngöôïc Z, ta seõ phaân chia X(z) thaønh toång hai phaân thöùc:
X(z) = - 2
1
1z
z
− + 2
1
3z
z
− = - 2
1
1
z1
1
−
− + 2
1
1
z31
1
−
−
Suy ra x(n) = - 2
1u(n) + 2
13nu(n)
Mieàn hoäi tuï ROC z > 3
2.5.3 Ñoä Oån Ñònh Vaø Tieâu Chuaån Jury
2.5.3.1 Söï Oån Ñònh Cuûa Moät Heä Thoáng Tuyeán Tính Baát Bieán
OÅn ñònh laø moät ñaëc tính quan troïng ñoái vôùi baát kyø moät heä thoáng naøo ñöôïc söû duïng
trong thöïc teá. Moät heä thoáng baát kyø ñöôïc goïi laø oån ñònh khi vaø chæ khi vôùi daõy ñaàu vaøo bò
chaën, ta coù daõy ñaàu ra cuõng bò chaën. Noùi khaùc ñi, khi khoâng coù tín hieäu ôû ñaàu vaøo cuûa
heä thoáng, nhöng cuõng coù theå ôû ñaàu ra cuûa heä thoáng xuaát hieän tín hieäu, ñoù chính laø
tröôøng hôïp heä thoáng khoâng oån ñònh.
Tính oån ñònh cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian cuõng coù theå ñöôïc
bieåu dieån thoâng qua caùc ñaëc tính cuûa haøm truyeàn ñaït.
Trong phaàn tröôùc cuûa baøi hoïc ta ñaõ bieát raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå baûo ñaûm tính
oån ñònh cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian laø :
∑
∞
−∞=n
)n(h < ∞(2.31)
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 72
ROC
Maët phaúng Z
1
Hình 2.8
0
r
ROC
1
Hình 2.9
Trong mieàn Z, ñieàu kieän naøy seõ töông ñöông vôùi vieäc ROC cuûa haøm truyeàn ñaït H(z)
phaûi chöùa voøng troøn ñôn vò.
Thaät vaäy vì : H(z) = n
n
z)n(h −
∞
−∞=
∑
Ta suy ra : )z(H ≤ ∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(h = ∑
∞
−∞=n
)n(h n
z−(2.32)
Ñaùnh giaù bieåu thöùc naøy taïi z = 1
Ta suy ra : 1z
)z(H = ≤ ∑
∞
−∞=n
)n(h
Ñeå ñieàu kieän oån ñònh trong mieàn thôøi gian
(töùc laø ∑
∞
−∞=n
)n(h < ∞) ñöôïc baûo ñaûm thì roõ raøng haøm
truyeàn ñaït H(z) cuõng phaûi hoäi tuï vôùi z = 1
(ñieåm hoäi tuï naèm treân voøng troøn dôn vò trong maët
phaúng Z).
Nhö vaäy ta coù theå ñöa ra keát luaän, ñeå heä
thoáng oån ñònh thì voøng troøn ñôn vò phaûi thuoäc ROC cuûa haøm truyeàn ñaït H(z).
→ Keát luaän :
Heä thoáng tuyeán tính baát bieát theo thôøi gian laø oån ñònh neáu vaø chæ neáu ROC cuûa
haøm heä thoáng coù chöùa voøng troøn ñôn vò. Hình veõ beân minh hoaï ñieàu naøy.
Ñoái vôùi moät heä nhaân quaû, ñieàu kieän oån
ñònh coù theå ñöôïc thu heïp laïi trong moät chöøng
möïc naøo ñoù. Thaät vaäy, ta ñaõ bieát raèng heä thoáng
nhaân quaû coù ñaùp öùng xung thoaû ñieàu kieän: h(n)
= 0, n< 0, hay noùi caùch khaùc h(n) phaûi laø daõy
nhaân quaû. Neáu heä thoáng ñöôïc bieåu dieãn trong
mieàn Z thì ROC cuûa H(z) phaûi laø mieàn naèm
ngoaøi voøng troøn vôùi baùn kính naøo ñoù vaø ñeå heä
thoáng oån ñònh thì ROC cuûa H(z) laïi phaûi chöùa
voøng troøn ñôn vò.
Vaäy ñeå heä thoáng laø nhaân quaû vaø oån ñònh thì
ROC cuûa H(z) laø z > r, vôùi r < 1
Ta cuõng nhaän xeùt laø ROC khoâng theå chöùa baát cöù moät cöïc naøo cuûa H(z). Do vaäy, suy ra
raèng moät heä thoáng LTI nhaân quaû vaø oån ñònh khi vaø chæ khi taát caû caùc cöïc cuûa H(z) naèm
beân trong voøng troøn ñôn vò.
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 73
Ví duï 2.21 :
Xeùt moät heä thoáng LTI coù haøm truyeàn ñaït :
H(z) =
α
−z
1
Vôùi α laø moät soá thöïc, döông.
Haõy tìm ñieàu kieän oån ñònh cuûa heä thoáng ?
Giaûi :
Ñieåm cöïc cuûa H(z) laø z = α . Vaäy ñeå heä thoáng oån ñònh ta phaûi coù
α< 1. Baây giôø ta haõy kieåm tra laïi ñieàu naøy trong mieàn thôøi gian. Tröôùc heát ta thöïc hieän
pheùp bieán ñoåi ngöôïc Z ñeå tìm ñaùp öùng xung h(n).
Ta coù H(z) = α−z
1 = 1
1
z1
z
−
−
α
−
Suy ra h(n) = 1n−
α u(n – 1)
h(0) = 0; h(1) = 1; h(2) = α; h(3) = α2
Tröôøng hôïp α < 1 Tröôøng hôïp α > 1
Ví duï2.22 :
Xeùt heä thoáng LTI ñöôïc ñaëc tröng bôûi haøm truyeàn ñaït H(z)
H(z) = 21
1
z5,1z5,31
z43
−−
−
+−
− =
1
z
2
1
1
1
−
−
+ 1
z31
2
−
−
Haõy chæ ra ROC cuûa H(z) vaø xaùc ñònh h(n) trong nhöõng ñieàu kieän sau :
a) Heä thoáng laø oån ñònh.
b) Heä thoáng laø nhaân quaû.
c) Heä thoáng laø khoâng nhaân quaû.
Giaûi :
h(n)
0123
1α
α2
n
Heä oån ñònh
h(n)
0123
1
α
α2
n
Heä khoâng oån ñònh
Hình 2.10