Diendantoanhoc.net
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF
Tháng 07/2015
Diendantoanhoc.net
Lêi nãi ®Çu
Taøi lieäu naøy khoâng phaûi laø taøi lieäu chính thöùc cuûa Dieãn ñaøn toaùn hoïc (VMF)
nhöng do caù nhaân toâi laø thaønh vieân cuûa trang dieãn ñaøn thaûo luaän toaùn hoïc naøy neân
toâi xin maïo muoäi ghi xuaát xöù laø VMF mong quaûn trò cuûa trang web boû qua yeáu toá
treân.
Haøng naêm moãi giaùo vieân trung hoïc phoå thoâng ñeàu laøm moät saùng kieán kinh
nghieäm veà lónh vöïc chuyeân moân giaûng daïy, tuy nhieân löôïng kieán thöùc maø thaày (coâ)
daøy coâng boû ra nghieân cöùu ña phaàn bò boû queân. Hoâm nay toâi coá gaéng toång hôïp laïi
caùc saùng kieán kinh nghieäm ñeå ñöa vaøo chung thaønh moät taøi lieäu “CAÙC CHUYEÂN
ÑEÀ TOAÙN PHOÅ THOÂNG”. Ñeå tieän cho vieäc toång hôïp vaø theo doõi, toâi chia ra
thaønh nhieàu taäp vôùi ñoä daøy moãi taäp taàm khoaûng 50 trang. Chæ laø vieäc toång hôïp noäi
dung caùc saùng kieán ñeå cho caùc baïn tham khaûo neân coù ñieàu gì sai soùt mong caùc baïn
boû qua.
Ngöôøi toång hôïp
CD13
Taäp 3 naøy goàm caùc noäi dung:
+ Theâm moät caùch tieáp caän nöõa ñeå tính tích phaân
+ Khai thaùc moät BÑT (1)
+ Khai thaùc moät BÑT (2)
+ Söû duïng tieáp tuyeán ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc
+ Moät soá ñònh höôùng cô baûn giaûi phöông trình haøm
+ Kó thuaät giaûm bieán trong baøi toaùn tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát.
Diendantoanhoc.net
THÊM MỘT CÁC TIẾP CẬN NỮA ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học – cao đẳng thường có bài toán về tính tích phân.
Bài viết này xin trao đổi với các bạn về một hướng tiếp cận ( cách “tư duy”) để tính tích phân trong phạm
vi phương pháp “ đặt ẩn phụ” . Tác giả gọi tên là “ đặt ẩn phụ không làm thay đổi cận của tích phân”.
+ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên
; a b
nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì
)()(|)()( aFbFxFdxxf b
a
b
a
.
+ Định nghĩa trên không phụ thuộc vào kí hiệu biến số dưới dấu tích phân.
+ Một số tính chất cần chú ý:
+
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
+
ba;c )()()(
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf
Bài toán 1: Tính tích phân I=
5
3
3
23 23 dxxx
Khi gặp bài toán này, chắc chắn rằng tất cả các bạn đều nghĩ cách khai triển biểu thức dưới
dấu tích phân để đưa về các tích phân cơ bản để tính. Đó là một cách suy nghĩ thường hay gặp
phải. Nhưng bạn hãy thử làm xem sao, và hãy thử thay (x3-3x2+2)3 bằng (x3-3x2+3)7 , (x3-3x2+3)9
.... rồi tính nhé!. Sau đó mời các bạn nghiên cứu lời giải sau:
Lời giải: Đặt x=2-t
3: 5
5: 3
dx dt
x t
x t
3 5 5
333
3 2 3 2 3 2
5 3 3
53
3 2
3
(2 ) 3(2 ) 2 3 2 3 2
3 2 2 0 0
I t t dt t t dt t t dt
x x dx I I I
Khi đọc xong lời giải trên chắc chắn các bạn sẽ đặt câu hỏi : Tại sao lại đặt ẩn phụ như
vậy?. Để tìm câu trả lời xin mời các bạn nghiên cứu tiếp bài toán sau:
Bài toán 2: Cho f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a; a]. Chứng minh rằng 0)(
a
a
dxxf
Đây là một bài tập khá quen thuộc với các bạn khi học tích phân và nhiều bạn đã biết cách
giải. Xong các bạn hãy xem kỹ lời giải sau để “ phát hiện” ra vấn đề nhé!
Lời giải: Đặt x=-t :
:
dx dt
x a t a
x a t a
( ) ( ) ( )
a a a
a a a
I f x dx f t dt f t dt
. Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x)=-f(x) do đó
( ) ( ) ( ) 2 0 0
a a a
a a a
I f t dt f t dt f x dx I I I
Qua 2 bài toán trên, điểm chung của cách đặt ẩn phụ là gì?
Câu trả lời là : Đặt ẩn phụ nhưng không làm thay đổi cận của tích phân.
Vậy sử dụng suy nghĩ này vào bài toán thực tế như thế nào ? Các bạn hãy chú ý một số
điểm sau:
Diendantoanhoc.net
- Bài toán 1, 2 có thể tổng quát thành : Chứng minh rằng nếu hàm f (x) liên tục và thoả
mãn: f(a+b-x) =-f(x) thì
b
a
dxxf 0)( . Việc chứng minh bài toán này xin dành cho độc
giả (bằng cách đặt x=a+b-t là cách đặt mà cận không hề thay đổi!)
- Từ đó ta có cách đặt tổng quát khi gặp tích phân
( )
b
a
f x dx
mà không thay đổi cận là đặt
x=a+b-t.
- Bài toán 1 còn có cách giải khác khá hay để dẫn tới một “ suy nghĩ” mới nh
ư sau:
Đặt x=1-t
3: 4
5: 4
dx dt
x t
x t
4 4
3 3
3 2 3
4 4
(1 ) 3(1 ) 2 3
.
Sử dụng kết quả chứng minh của bài toán 2 ta được I=0 ( do f(t)=-t3+3t là hàm số lẻ).
Vậy “ suy nghĩ” mới ở đây là gì? Việc đặt ẩn phụ như vậy ta đã dẫn đến tích phân có cận “đối
xứng” . Trong trường hợp tổng quát để dẫn đến cận “ đối xứng” khi gặp tích phân
( )
b
a
f x dx
các bạn hãy đặt
2
a b
x t
nhé!
Bây giờ chúng ta cùng vận dụng suy nghĩ đó để giải một số bài toán sau:
Bài toán 3: Tính tích phân 6 6
4
4
sin cos
6 1
x
x x
I dx
(Đề thi đại học năm 2000).
Lời giải: Đặt x=-t :
4 4
:
4 4
dx dt
x t
x t
(cách đặt này đã không làm thay đổi cận của tích
phân) .
Khi đó 6 6 6 6 6 6
4 4 4
4 4 4
sin ( ) cos ( ) sin cos sin cos
6 . 6 .
6 1 6 1 6 1
t x
t t x
t t t t x x
I dt dt dx
6 6 6 6
4 4 4 6 6
4 4 4
sin cos sin cos
2 6 . sin cos
6 1 6 1
x
x x
x x x x
I dx dx x x dx
4 4 4 4
2 2 2 2
4 4 4 4
3 3 5 3
1 3 in cos 1 in 2 1 in 2 4
4 4 8 8
s x x dx s x dx s x dx cos x dx
5 3 5
4
sin 4
8 32 16
- 4
xx
.
Chú ý: Bài toán 3 có dạng tổng quát sau: Nếu f(x) là hàm số liên tục, chẵn thì
b
b
b
b
x
x
b
b
xdxxfIdx
a
xf
adx
a
xf
I)(
2
1
1
)(
1
)( .
Diendantoanhoc.net
Bài toán 4: Tính tích phân I = 2
0
sin
cos 4
x x
dx
x
Thông thường khi gặp tích phân trên, hầu hết các bạn đều nghĩ đến phương pháp tính tích
phân từng phần. Xong các bạn hãy thử làm như thế và so sánh với lời giải sau:
Lời giải : Đặt 0 :
: 0
dx dt
x t x t
x t
Khi đó
0
2 2 2 2
0 0 0
( )sin( ) ( )sin sin sin
cos ( ) 4 cos 4 cos 4 cos 4
t t t t t t t
I dt dt dt dt
t t t t
2 2 2
0 0 0
sin sin sin
cos 4 cos 4 cos 4
x x x x
dx dx dx I
x x x
2 2
0 0
sin sin
2
cos 4 2 cos 4
x x
I dx I dx
x x
Đặt
0 : 1
: 1
sinxdx dt
cosx t x t
x t
1 1
2
1 1
1
2
ln
1
2 4 2 ( 2)( 2) 8 2
dt dt t
It t t t
ln 3
4
Chú ý: Bài toán 4 có thể tổng quát như sau:
Cho hàm số f(x) liên tục và thoả mãn: f(a+b-x) = f(x) . Khi đó
b
a
b
a
dxxf
ba
dxxxf )(
2
)( (
để chứng minh kết quả trên các bạn hãy đặt x= a+b-t ).
Bài toán 5: Tính tích phân I =
2
1
1 1
xdx
x
( Đề thi khối A năm 2004)
Với bài toán trên, cách đặt như thế nào để không thay đổi cận của tích phân.
Lời giải: Đặt
1x
t 1 . Khi đó 2 2
2( 1)
hay x= 1 1: 1
2 : 2
dx t dt
x t
x t
x -1 = (t -1) (t -1) (cách đặt
này đảm bảo cận không đổi !)
2
2 2 2
3 2 2
1 1 1
( 1) ( 1) 1 3 4 1 1
2 . 2 . 2 3 4 .
t t t t t
dt dt t t dt
t t t
3 2
2
2 3 4 ln | | 1
3 2
t t t t
5
2ln 2
3
.
Chú ý: Bài toán 5 có thể tổng quát dạng ( )
b
a
p x
dx
mx n c
với p(x) là đa thức chứa biến x;
m,n,c là các hằng số . Ta có thể đặt
t mx n c
hoặc
t mx n
đều giải được.
Bài toán 6: Tính tích phân 3
2
0
sin
Isin cos
x
dx
x x