Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 5

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

121
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Động lực học chất lỏng 5.1. Mở đầu Để mô tả những chuyển động chất lỏng trong một miền nhất định, cần có sẵn một tập hợp các phương trình vi phân có thể giải bằng giải tích hoặc bằng số nhờ áp dụng những điều kiện ban đầu và những điều kiện biên. Những phương trình cơ bản cần thiết là phương trình liên tục (bảo toàn khối lượng) và phương trình chuyển động (bảo toàn năng lượng) theo Định luật thứ hai của Newton (1642 -1727). Những phương trình chuyển động đối với một chất lỏng không nhớt được...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Chương 5

Ch¬ng 5. §éng lùc häc chÊt láng 5.1. Më ®Çu §Ó m« t¶ nh÷ng chuyÓn ®éng chÊt láng trong mét miÒn nhÊt ®Þnh, cÇn cã s½n mét tËp hîp c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n cã thÓ gi¶i b»ng gi¶i tÝch hoÆc b»ng sè nhê ¸p dông nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn. Nh÷ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cÇn thiÕt lµ ph¬ng tr×nh liªn tôc (b¶o toµn khèi lîng) vµ ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (b¶o toµn n¨ng lîng) theo §Þnh luËt thø hai cña Newton (1642 -1727). Nh÷ng ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®èi víi mét chÊt láng kh«ng nhít ®îc biÕt lµ ph¬ng tr×nh EULER. ViÖc tÝch ph©n ph¬ng tr×nh Euler ®èi víi dßng ch¶y kh«ng quay kh«ng nÐn dÉn ®Õn ph¬ng tr×nh BERNOULLI mµ liªn hÖ nh÷ng thay ®æi vËn tèc, ¸p suÊt vµ mùc níc trong chÊt láng kh«ng nhít vµ còng thÝch hîp khi nh÷ng hiÖu øng cña nhít kh«ng ®¸ng kÓ. Nh÷ng ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®èi víi mét dßng ch¶y nhít ®îc biÕt lµ ph¬ng tr×nh NAVIER-STOKES. Nh÷ng ph¬ng tr×nh ®èi víi mét dßng ch¶y rèi ®îc gäi lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh REYNOLDS. 5.2. Ph¬ng tr×nh liªn tôc (c©n b»ng khèi lîng) 5.2.1 ThÓ tÝch ®iÒu khiÓn T rong h×nh 5.1, khèi lîng ®i vµo trong khu vùc mét khèi ch÷ nhËt víi nh÷ng mÆt song song cã c¸c c¹nh x, y vµ z theo híng +x lµ U y z, vµ ®i ra khái nã theo híng +x lµ khèi lîng trong ®ã céng víi suÊt biÕn thiªn cña khèi lîng theo híng +x nh©n víi x. §©y lµ nh÷ng sè h¹ng bËc nhÊt:  Uyz  ( Uyz ) x . x Khèi lîng rßng ®Õn theo híng +x trªn thêi gian ®¬n vÞ lµ sù kh¸c nhau gi÷a chóng: 39
 ( Uyz )x .  x T¬ng tù, khèi lîng rßng ®i vµo trong khu vùc theo híng +y vµ +z lµ:   ( Vzx)y vµ  ( Wyx)z .  y z Møc t¨ng cña khèi lîng trong khu vùc (nÕu kh¸c kh«ng) lµ:  ( yzx) t vµ nh vËy:     ( Uyz ) x  ( Vzx)y  ( Wyx) z = ( yzx) .  y x z t H×nh 5.1. Khèi lîng vµo vµ ra mét thÓ tÝch phÇn tö V× y vµ z kh«ng ®æi theo x; z vµ x kh«ng ®æi theo y; x vµ y kh«ng ®æi theo z vµ x, y vµ z kh«ng ®æi theo t, chóng ta cã thÓ chia cho ®¹i lîng x y z lµ thÓ tÝch cña khu vùc ®îc xÐt. Sau ®ã ta nhËn ®îc:  ( U )  ( V )  ( W )     . (5.2.1) x y z t §èi víi chÊt láng cã mËt ®é kh«ng ®æi,  lµ h»ng sè nªn /t = 0, vµ ph¬ng tr×nh (5.2.1) trë thµnh: U V W   0 (5.2.2) x y z ®èi víi c¶ dßng ch¶y æn ®Þnh lÉn kh«ng æn ®Þnh (vËn tèc cã thÓ thay ®æi theo thêi gian còng nh vÞ trÝ trong chÊt láng). §iÒu nµy còng cã thÓ biÓu thÞ nh sau (xem Phô lôc B): divV  .V  0 . 40
5.2.1 Dßng nguyªn tè Bëi v× kh«ng cã dßng ch¶y nµo xuyªn qua c¸c biªn (theo ®Þnh nghÜa), dßng khèi lîng qua mçi mÆt c¾t ngang lµ kh«ng ®æi. Gi¶ thiÕt Vi p h¸p tuyÕn víi mÆt ph¼ng Ai th×:  V dA  const dßng khèi lîng = (5.2.3) i i Ai  V dA  const . dßng thÓ tÝch = (5.2.4) i i Ai Dßng thÓ tÝch ®îc gäi lµ lu lîng Q (= Vi Ai ). 5.2.3 Dßng ch¶y kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu trong lßng dÉn hë H×nh 5.2 cho thÊy mét t×nh huèng dßng kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu. §é s©u níc h vµ vËn tèc trung b×nh ®é s©u U lµ nh÷ng hµm cña vÞ trÝ x vµ thêi gian t. BÒ réng b cña dßng ch¶y lµ mét hµm cña x. Lu lîng lµ: Q  Udz  bhU .  A Thay ®æi khèi lîng chÊt láng sau thêi gian t do sù thay ®æi cao ®é bÒ mÆt chÊt láng lµ: h h b (h  t ) x  bhx  b tx . (5.2.5) t t H×nh 5.2. Dßng kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu T hay ®æi khèi lîng chÊt láng sau thêi gian t do gi¸ trÞ rßng cña dßng ch¶y ®Õn vµ ®i lµ: Q Q Qt   (Q  x)t    xt . (5.2.6) x x C©n b»ng nh÷ng biÓu thøc (5.2.5) vµ (5.2.6) dÉn ®Õn: 41
h Q b  0 (5.2.7) t x h  (bhU ) b 0  hoÆc (5.2.8) t x NÕu b kh«ng ®æi theo híng x (db/dx = 0), th×: h  (hU )  0 (5.2.9) t x ®èi víi dßng æn ®Þnh (h/t = 0) cho thÊy:  (hU )  0 hoÆc hU  q  const (5.2.10) x q   Udz lµ lu lîng ®Æc trng trªn bÒ réng ®¬n vÞ. h §èi víi dßng ch¶y kh«ng æn ®Þnh hai chiÒu ngang trong lßng dÉn hë cã thÓ dÉn ra ph¬ng tr×nh sau: h  (hU )  (hV )   0 (5.2.11) t x y trong ®ã: U = vËn tèc dßng ch¶y trung b×nh ®é s©u theo híng x, V = vËn tèc dßng ch¶y trung b×nh ®é s©u theo híng y. Ph¬ng tr×nh (5.2.11) còng cã thÓ dÉn ra tõ ph¬ng tr×nh (5.2.2) b»ng c¸ch tÝch ph©n theo ®é s©u. Gi¶ thiÕt vËn tèc theo híng ngang lµ V = 0 vµ do ®ã lµ V / y = 0, cho thÊy: zs U W )dz  0  ( x  (5.2.12) z zb trong ®ã: zs = cao ®é bÒ mÆt chÊt láng ë trªn mÆt ph¼ng tham chiÕu, zb = cao ®é ®¸y ë trªn mÆt ph¼ng tham chiÕu, h = zs - zb = ® é s©u. V× zs vµ zb lµ nh÷ng hµm sè cña x, ph¶i øng dông quy t¾c Leibnitz nh sau: a( x) b f db da  x ) f ( x, y)dz   x dz  f ( x, b) dx  f ( x, a) dx . x b ( a ¸p dông quy t¾c Leibnitz víi ph¬ng tr×nh (5.2.12) dÉn ®Õn: z dz s dz b s  Udz U ( x, z s ) dx  U ( x, zb ) dx  W ( x, z s )  W ( x, zb )  0 . (5.2.13) x zb zs Coi q  U h  Udz , Ub = U(x,zb) vµ Us = U (x,zs), W s = W(x,zs) vµ Ws = W(x,zs ) dÉn  zb ®Õn: 42
dz dz q  U ó s  U b b  Ws  Wb  0 . (5.2.14) x dx dx Ph¬ng tr×nh (5.2.12) cã thÓ ®îc chi tiÕt h¬n n÷a b»ng viÖc ¸p dông ®iÒu kiÖn biªn ®éng häc, chØ râ r»ng vËn tèc kÕt qu¶ ë biªn lu«n lu«n song song víi biªn, dÉn ®Õn: z s z s Ws  U ó  (5.2.15) x t z z Wb  U b b  b . (5.2.16) x t Thay ph¬ng tr×nh (5.2.15) vµ (5.2.16) vµo ph¬ng tr×nh (5.2.14) dÉn ®Õn: q z s z b   0 (5.2.17) x t t h  (hU )  0.  hoÆc (5.2.18) t x 5.3. C©n b»ng ®éng lîng 5.3.1. §Þnh luËt thø hai cña Newton §Þnh luËt thø hai cña Newton ph¸t biÓu r»ng lùc tæng hîp t¸c ®éng lªn mét khèi lîng ®· cho tû lÖ víi ®é biÕn thiªn ®éng lîng tuyÕn tÝnh cña khèi lîng ®ã theo thêi gian. Trong c¸ch viÕt vect¬: F dt  d ( mV ) (5.3.1) d F (mV ) . hoÆc (5.3.2) dt Ph¬ng tr×nh (5.3.2) còng ®îc gäi lµ c©n b»ng ®éng lîng. §èi víi mét khèi lîng kh«ng ®æi nã cho thÊy: F  ma . (5.3.3) Trong c¸ch viÕt v« híng: dU Fx  m  ma x dt dV Fy  m  ma y (5.3.4) dt dW Fz  m  ma z . dt 5.3.2. §éng lîng vµ n¨ng lîng ®i qua mét mÆt c¾t 43
§éng lîng trªn ®¬n vÞ thêi gian vµ trªn ®¬n vÞ bÒ réng ®i qua mét mÆt c¾t nhá cã chiÒu cao dz lµ: U2dz. (5.3.5) LÊy tÝch ph©n theo ®é s©u, ®éng lîng tæng céng trªn ®¬n vÞ bÒ réng vµ thêi gian ®i qua mét mÆt c¾t cã chiÒu cao h cña mét lßng dÉn h×nh ch÷ nhËt réng lµ: h 2 2  U dz  hU   qU (5.3.6) 0 h 1 2  U dz víi (5.3.7) 2 hU 0 U = vËn tèc trung b×nh ®é s©u U = vËn tèc ph©n bè theo híng th¼ng ®øng  = hÖ sè hiÖu chØnh q = lu lîng ®Æc trng. §éng lîng trªn ®¬n vÞ thêi gian ®i qua mét mÆt c¾t cã diÖn tÝch A tuú ý: QU (5.3.8) A 1 2  U dA . (5.3.9) 2 AU 0 HÖ sè  n»m trong ph¹m vi tõ 1 ®Õn 1,5, phô thuéc vµo ph©n bè vËn tèc thùc tÕ. Trong trêng hîp ph©n bè vËn tèc l«garit, hÖ sè lµ  = 1,03. T¬ng tù, ®éng n¨ng trªn ®¬n vÞ thêi gian ®i qua mét mÆt c¾t lµ: 2  QU / 2 (5.3.10) A 1 3  U dA . víi (5.3.11) 3 AU 0 HÖ sè  còng ®îc ¸p dông trong ph¬ng tr×nh Bernoulli (xem môc 6.1), mµ vÒ c¬ b¶n lµ ph¬ng tr×nh n¨ng lîng. HÖ sè  = 1,08 ®èi víi ph©n bè vËn tèc l«garit. 5.3.3. øng dông Cã thÓ øng dông ph¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng lîng ®Ó x¸c ®Þnh c¸c lùc t¹i c«ng tr×nh, nh sÏ thÊy trong vÝ dô sau. H×nh 5.3 cho thÊy dßng ch¶y díi mét cöa cèng. Lùc F3 trªn ®¬n vÞ bÒ réng t¹i cöa cèng cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng viÖc ¸p dông ph¬ng tr×nh (5.3.1) trªn miÒn ABCD. Nh÷ng vËn tèc ch¶y vµo vµ ch¶y ra trung b×nh ®é s©u lµ U 1 vµ U 2 . §éng lîng trªn ®¬n vÞ bÒ réng ®i vµo mÆt c¾t 1 trong thêi gian t lµ: 1q U 1 t. 44
§éng lîng trªn ®¬n vÞ bÒ réng ra khái mÆt c¾t 2 trong thêi gian t lµ: 2q U 2 t. H×nh 5.3. Lùc t¹i cöa cèng Bá qua lùc ma s¸t ®¸y (FW = 0), c©n b»ng ®éng lîng lµ: ( (1/2)gh12 - (1/2)gh22 - F3 )t = ( 2q U 2 -  1q U 1 )t F3= (1/2) (gh12 - gh22 ) -  ( 2q U 2 -  1q U 1 ). (5.3.12) Cã thÓ tÝnh to¸n F3 k hi biÕt lu lîng ®Æc trng q, hÖ sè  vµ ®é s©u h1 vµ h2. 5.4. Ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng 5.4.1. C¸c lùc t¸c ®éng lªn nh÷ng phÇn tö chÊt láng Nh÷ng lùc t¸c ®éng lªn mét phÇn tö chÊt láng nãi chung cã hai lo¹i: 1. nh÷ng lùc khèi vµ 2. nh÷ng lùc mÆt. Nh÷ng lùc khèi lµ nh÷ng lùc t¸c ®éng lªn thÓ tÝch hoÆc khèi lîng cña mét phÇn tö chÊt láng (vÝ dô träng lùc). Nh÷ng lùc mÆt lµ nh÷ng lùc t¸c ®éng lªn bÒ mÆt cña mét phÇn tö chÊt láng. Nh÷ng lùc mÆt gåm cã nh÷ng lùc th¼ng gãc víi bÒ mÆt (¸p suÊt) vµ nh÷ng lùc tiÕp tuyÕn víi bÒ mÆt (lùc trît). H×nh 5.4 cho thÊy nh÷ng øng suÊt bÒ mÆt trªn mét phÇn tö chÊt láng ®èi víi mét chÊt láng kh«ng nhít. Trong trêng hîp nµy kh«ng cã nh÷ng øng suÊt nhít. Nh÷ng øng suÊt bÒ mÆt chØ lµ nh÷ng øng suÊt ph¸p tuyÕn do ¸p suÊt . Trong môc 3.2 ®· chØ ra r»ng ¸p suÊt lµ ®¼ng híng (®¹i lîng v« híng b»ng nhau trong tÊt c¶ c¸c híng). Nh vËy, x = y = z = - p. (5.4.1) 45
H×nh 5. 4. øng suÊt ph¸p tuyÕn cña chÊt láng trong mét chÊt láng kh«ng nhít H×nh 5.5 cho thÊy nh÷ng øng suÊt bÒ mÆt trªn mét phÇn tö chÊt láng nhít ®ang chuyÓn ®éng. Cã nh÷ng øng suÊt ph¸p tuyÕn () vµ nh÷ng øng suÊt tiÕp tuyÕn (). Nh÷ng øng suÊt tiÕp tuyÕn lµ nh÷ng øng suÊt trît. ChØ sè ®Çu tiªn cña øng suÊt chØ ra híng cña øng suÊt; chØ sè thø hai chØ ra mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi híng trong ®ã øng suÊt t¸c ®éng. Nh vËy yx t¸c ®éng theo híng y vµ trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc x. §Þnh luËt Pascal kh«ng hîp lÖ: x  y  z. H×nh 5.5. Nh÷ng øng suÊt tiÕp tuyÕn (trît) vµ ph¸p tuyÕn trong mét chÊt láng nhít §èi víi chÊt láng Newton nh÷ng øng suÊt trît lµ: 46
U V  xy   (  ) (5.4.2) y x V W  yz   (  ) z y W U  zx   (  ). x z Nh÷ng øng suÊt ph¸p tuyÕn ®èi víi chÊt láng Newton ®îc x¸c ®Þnh bëi Stokes (1845), nh sau: U 2 U V W  x   p  2  (   ) x 3 x y z V 2 U V W  y   p  2  (   ) (5.4.3) x 3 x y z W 2 U V W  z   p  2  (   ). z x 3 x y §èi víi chÊt láng kh«ng nhít,  = 0 vµ nh vËy hiÓn nhiªn lµ x = y = z = - p. §èi víi chÊt láng nhít ®ang chuyÓn ®éng, trung b×nh céng cña ba øng suÊt ph¸p tuyÕn gäi lµ ¸p suÊt: -p = 1/3 (x + y +z ). (5.4.4) ¸p suÊt p lµ ®¼ng híng, bëi v× cã thÓ thÊy r»ng ph¬ng tr×nh (5.4.4) hîp lÖ ®èi víi bÊt kú ®Þnh híng nµo cña hÖ täa ®é. 5.4.2. Ph¬ng tr×nh Euler §èi víi mét dßng ch¶y chÊt láng kh«ng nhít kh«ng nÐn ®îc ( = 0), Euler (1707- 1783) ¸p dông ph¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng lîng cho mét phÇn tö chÊt láng. §èi víi mét phÇn tö chÊt láng trong mét träng trêng (xem h×nh 5.4) ®iÒu nµy dÉn ®Õn: p Fx   xyz x p Fy   xyz (5.4.5) y p xyz  gxyz . Fz   z Khèi lîng cña phÇn tö chÊt láng lµ: xyz . (5.4.6) Nh÷ng gia tèc ax, ay, az cho trong ph¬ng tr×nh 4.4.7. ¸p dông ph¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng lîng dÉn ®Õn: U 1 P U U U U V W   x z t x y 47
V 1 P V V V U V W  (5.4.7)  y z t x y W 1 P W W W g. U V W   z z t x y Trong c¸ch viÕt vect¬: dV 1   P  g . (5.4.8)  dt Cã vÎ l¹ lïng khi xÐt chuyÓn ®éng cña nh÷ng chÊt láng kh«ng nhít, mét khi tÊt c¶ c¸c chÊt láng thùc ®Òu nhít. Tuy nhiªn, trong nhiÒu trêng hîp nh÷ng sè h¹ng nhít kh«ng ®¸ng kÓ so víi nh÷ng sè h¹ng ¸p suÊt vµ sè h¹ng gia tèc. Mét vÝ dô quan träng cña dßng ch¶y (lý tëng) kh«ng quay kh«ng nhít lµ dßng thÕ, sÏ ®îc m« t¶ trong Ch- ¬ng 7. 5.4.3. Ph¬ng tr×nh Bernoulli T Ých ph©n nh÷ng ph¬ng tr×nh Euler ®èi víi dßng ch¶y æn ®Þnh kh«ng quay kh«ng nÐn dÉn ®Õn ph¬ng tr×nh Bernoulli mµ liªn hÖ nh÷ng thay ®æi vËn tèc, ¸p suÊt vµ mùc níc trong chÊt láng kh«ng nhít. Ph¬ng tr×nh Euler ®èi víi dßng æn ®Þnh theo híng x: U U U 1 P U V W  . (5.4.9) z  x x y 1 V U 1 U W  xy  ( ) vµ  zx  (   ) ph¬ng tr×nh (5.4.9) cã B»ng viÖc cho 2 x y 2 z x thÓ biÓu thÞ nh sau: U V W 1 P  2V xy  2W zx   V W U . (5.4.10)  x x x x Coi thÕ träng lùc lµ gz (®éc lËp víi x), dÉn ®Õn: P 12 12 1 2 ( U  V  W )  2V xy  2W zx   (  gz ) . (5.4.11) x  x 2 2 2 §èi víi dßng ch¶y kh«ng quay: xy = yz = 0, dÉn ®Õn: P  2 (V   gz )  0 . (5.4.12)  x Nh÷ng biÓu thøc t¬ng tù cã thÓ dÉn xuÊt theo nh÷ng híng y vµ z. P 2 Nh vËy, nh÷ng gradient cña sè h¹ng (V   gz ) b»ng kh«ng. §iÒu nµy cã  nghÜa lµ sè h¹ng v« híng: P 2 (V   gz )  const (5.4.13)  48
trong mçi ®iÓm cña trêng dßng ch¶y ®èi víi dßng ch¶y æn ®Þnh kh«ng quay kh«ng nhít, ®îc biÕt lµ ®Þnh luËt Bernoulli (1700- 1782). Ph¬ng tr×nh (5.4.13) còng cã thÓ biÓu thÞ nh sau: P 2 (V   gz )  H e  const (5.4.14)  trong ®ã He lµ cét níc tæng céng so víi mét mÆt ph¼ng tham chiÕu n»m ngang. H×nh 5.6. Ph¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi dßng ch¶y kh«ng quay trong lßng dÉn hë H×nh 5.6 cho thÊy mét øng dông cña ph¬ng tr×nh (5.4.14) ®èi víi dßng ch¶y lßng dÉn hë. He k h«ng ®æi t¹i mçi ®iÓm. Nh vËy: V12 V2 P  z1  2  z 2  2 . g 2g 2g Ph¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi mét ®êng dßng Nh÷ng ph¬ng tr×nh Euler cã thÓ ®¬n gi¶n b»ng viÖc ®a ra mét hÖ täa ®é tù nhiªn, nh trong h×nh 5.7. Trôc s trïng víi vect¬ vËn tèc. Trôc n trïng víi b¸n kÝnh cong. Trôc b híng th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng s - n. §iÒu nµy dÉn ®Õn nh÷ng thµnh phÇn vËn tèc Vs = Vn = Vb = 0 theo nh÷ng híng s, n vµ b. Thµnh phÇn träng lùc theo híng s lµ: gz/s. T¬ng tù, nh÷ng thµnh phÇn träng lùc theo híng n vµ b lµ: gz/n vµ gz/b (xem h×nh 5.8). Nh÷ng ph¬ng tr×nh Euler cã thÓ biÓu thÞ nh sau: 49
Vs V 1 P z  Vs s   g (5.4.15)  s t s s Vn V 1 P z  Vs n   g (5.4.16)  n t s n Vb V 1 P z  Vs b   g . (5.4.17)  b t b b H×nh 5.7. HÖ täa ®é tù nhiªn (®êng dßng trong mÆt ph¼ng s - n) H×nh 5.8. Thµnh phÇn träng lùc theo híng s Híng s (däc theo ®êng dßng) P h¬ng tr×nh (5.4.15) lµ ph¬ng tr×nh Euler däc theo mét ®êng dßng trong chÊt 50
láng kh«ng nhít. §èi víi dßng æn ®Þnh (Vs / t = 0) nã cho thÊy:  Vs2 P   gz )  0 ( (5.4.18) s 2  Vs2 P   gz  const hoÆc (5.4.19) 2 däc theo mét ®êng dßng, mµ ph¸t biÓu r»ng n¨ng lîng trªn ®¬n vÞ khèi lîng trong mét dßng ch¶y kh«ng quay kh«ng nhít sÏ kh«ng ®æi däc theo mét ®êng dßng. Ph¬ng tr×nh (5.4.19) còng cã thÓ biÓu thÞ nh sau: Vs2 P  z  H e  const  (5.4.20) 2 g g däc theo mét ®êng dßng trong ®ã: He = cét níc tæng céng (m) Vs2 / 2g = cét níc lu tèc (m) P / g = cét níc ¸p suÊt z = vÞ trÝ hoÆc cét níc vÞ thÕ pn = P / g + z = cét níc ®o ¸p. Nh÷ng ph¬ng tr×nh (5.4.19) vµ (5.4.20) ph¸t biÓu r»ng ¸p suÊt nhá khi vËn tèc lín vµ ngîc l¹i, nh trong h×nh 5.9. Mét gra®ien ¸p suÊt tån t¹i ®Ó t¨ng tèc chÊt láng tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 2. Mét m¸y bay cã thÓ bay v× h×nh d¹ng cña c¸nh lµm cho vËn tèc kh«ng khÝ ë trªn c¸nh cao h¬n (¸p suÊt thÊp h¬n) so víi díi nã, dÉn ®Õn mét ¸p lùc thùc tÕ híng lªn trªn. H×nh 5.9. §êng dßng trong dßng ch¶y lßng dÉn hë T rong môc 5.4.3 thÊy r»ng ph¬ng tr×nh (5.4.11) vµ (5.4.12) hîp lÖ ®èi víi toµn bé 51
trêng dßng ch¶y trong trêng hîp dßng kh«ng nhít kh«ng quay. Trong trêng hîp dßng nhít (nh÷ng øng suÊt trît néi   0) n¨ng lîng trªn ®¬n vÞ khèi lîng gi¶m däc theo mét ®êng dßng. Th«ng thêng, nh÷ng hiÖu øng nhít cã thÓ bá qua khi xÐt mét kho¶ng c¸ch nhá däc mét ®êng dßng vµ ph¬ng tr×nh (5.4.19) vµ (5.4.20) cã thÓ øng dông nh mét sù gÇn ®óng. Híng n (th¼ng gãc víi ®êng dßng) P h¬ng tr×nh (5.4.16) lµ ph¬ng tr×nh Euler theo ph¬ng ph¸p tuyÕn. Híng n d- ¬ng theo híng cong. §èi víi dßng æn ®Þnh: Vn 1 P z Vs  g . (5.4.21)  n s n Sè h¹ng VsVn / s thÓ hiÖn gia tèc híng t©m. Tõ h×nh 5.10 cho thÊy VsVn / s = Vs / r, dÉn ®Õn: Vs2 1 P z g  0 (5.4.22)  n r n Vs2  P  z)  0 ( hoÆc (5.4.23) n g r Vs2   ( pn)  0 . hoÆc (5.4.24) r n H×nh 5.10. Thµnh phÇn dßng ch¶y th¼ng gãc víi ®êng dßng Nh÷ng ph¬ng tr×nh (5. 4. 23) vµ (5. 4. 24) ph¸t biÓu r»ng tån t¹i mét gra®ien ¸p suÊt th¼ng gãc víi ®êng dßng cong. ¸p suÊt gi¶m theo híng n d¬ng (vÒ phÝa t©m cña ®êng cong) v× cÇn cã mét ¸p lùc thùc tÕ theo híng ®ã ®Ó ph¸t sinh ®êng ®i cong cña mét h¹t chÊt láng (xem h×nh 5.11). Nh vËy, ¸p suÊt t¬ng ®èi lín ë mÆt phÝa ngoµi vµ t¬ng ®èi thÊp ë mÆt bªn trong cña ®êng cong. Gra®ien ¸p suÊt p/n lµ sè ©m, v× ¸p suÊt gi¶m theo híng n d¬ng. 52
H×nh 5.11. Gra®ien ¸p suÊt th¼ng gãc víi ®êng dßng T Ých ph©n riªng ph¬ng tr×nh (5.4.24) theo híng n dÉn ®Õn (xem thªm h×nh 5.12): 2 Vs2 pn2  pn1    dn . (5.4.25) gr 1 TÝch ph©n tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 2 theo híng n d¬ng dÉn ®Õn pn2 – p n1 < 0, hoÆc pn2 < pn1. Nh vËy, cét níc ®o ¸p nhá nhÊt vÒ phÝa t©m cña ®êng cong nh ®· ph¸t biÓu tríc ®©y. KÕt qu¶ nµy kh«ng phô thuéc vµo híng tÝch ph©n, v×: 1 Vs2 pn2  pn1    dn . gr 2 H×nh 5.12. Cét níc ®o ¸p th¼ng gãc víi ®êng dßng P h©n bè ¸p suÊt theo híng n còng cã thÓ gi¶i thÝch nh sau: trong dßng ch¶y lâm (h×nh 5.13) nh÷ng lùc ly t©m híng xuèng vµ gia t¨ng träng lùc, ph¸t sinh mét ¸p suÊt lín h¬n ¸p suÊt thñy tÜnh; trong dßng ch¶y låi nh÷ng lùc ly t©m híng lªn vµ t¸c ®éng chèng l¹i träng lùc dÉn ®Õn mét ¸p suÊt nhá h¬n ¸p suÊt thuû tÜnh (h×nh 5.13). Khi b¸n kÝnh cong lín v« tËn (r = ), gradient ¸p suÊt th¼ng gãc víi ®êng dßng b»ng kh«ng vµ kh«ng cã gia tèc th¼ng ®øng, cã nghÜa lµ ph©n bè ¸p suÊt thñy tÜnh trong trêng hîp dßng ch¶y song song. 53
Híng b (th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng s - n) P h¬ng tr×nh (5.4.17) lµ ph¬ng tr×nh Euler theo híng b, ®¬n gi¶n dßng æn ®Þnh (kh«ng cã gia tèc theo híng b) thµnh: z 1 P g 0 (5.4.26)  b b P  z)  0 ( hoÆc (5.4.27) b g ph¸t biÓu r»ng cét níc ®o ¸p (pn = P / g + z) lµ kh«ng ®æi. Dßng låi Dßng lâm H×nh 5.13. Ph©n bè ¸p suÊt trong dßng ch¶y låi vµ lâm (Chow, 1959) Nh÷ng øng dông 1. Dßng ch¶y song song trªn ®¸y dèc H×nh 5.14 cho thÊy mét dßng ®Òu song song (U / s = 0) trªn mét ®¸y dèc. H×nh 5.14. Dßng ch¶y song song trªn ®¸y dèc 54
T õ ph¬ng tr×nh Bernoulli (5.4.24) dÉn ®Õn (r = ):  ( pn)  0 hoÆc pn = const theo híng n. n Nh vËy, P1 P  z1  2  z 2 . pn1 = pn2 hoÆc g g V× P1 = 0, P2  z 2  z1  h cos  . g Cét níc ¸p suÊt t¹i ®iÓm 2 b»ng hcos, cã nghÜa lµ cét níc trong mét èng hë ®Æt t¹i ®iÓm 2 sÏ cã chiÒu cao lµ hcos (xem h×nh 5.14). 2. èng ®o ¸p suÊt chÊt láng Pito NÕu mét c¸i èng hë ®îc ®Æt trong mét dßng ch¶y trong lßng dÉn hë, nh trong h×nh 5.15, chÊt láng sÏ d©ng lªn trong èng ®Õn mét chiÒu cao H. H×nh 5.15. èng Pito P h¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi ®êng dßng 1-2 lµ: U 12 P1 U 2 P2 2    . 2 g g 2 g g V× P1 = gh, P2 = g (h + h) vµ U2 = 0, cho thÊy: U12 = 2 g (h + H - h) = 2 gH. B»ng viÖc ®o chiÒu cao H, cã thÓ biÕt ®îc vËn tèc U1 thîng lu c¸i èng. Mét èng nh vËy ®îc gäi lµ èng Pito. §èi víi nh÷ng phÐp ®o chÝnh x¸c U1 > 0,2 m/s. VÝ dô, U1 = 0,2 m/s th× H = 2 x 10-3 m. Th«ng thêng, sö dông èng ®o ¸p suÊt chÊt láng kÕt hîp, mµ trªn thùc tÕ gåm hai èng. Mét èng hë vÒ phÝa dßng ch¶y, c¸i èng kia hë ë c¶ 2 phÝa cña phÇn n»m ngang vµ ®o cét níc ®o ¸p h (xem h×nh 5.16). 55
H×nh 5.16. èng Pito kÕt hîp 3. §Þnh luËt Torricelli (1608 1647) H×nh 5.17 cho thÊy mét thÝ nghiÖm cña Torricelli. BÒ mÆt chÊt láng gi÷ ë mét møc kh«ng ®æi. Ph¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi ®êng dßng 1-2 dÉn ®Õn: V12 P1 V2 P  H1  2  2 .  2 g g 2 g g V× V1
1 V s2 pn1  pn2    dn gr 2 1 Vs2 P1  g ( z 2  z1 )   dn gr 2 1 Vs2 P1  g ( z 2  z1 )  J víi J   dn  0 . gr 2 H×nh 5.18. Dßng ch¶y trªn mét ®Ëp trµn ®Ønh hÑp (De Vries, 1985) 5. Quay æn ®Þnh quanh mét trôc th¼ng ®øng Xo¸y cìng bøc H×nh 5.19 cho thÊy mét xo¸y cìng bøc quanh mét trôc th¼ng ®øng. ChuyÓn ®éng lµ æn ®Þnh. Mét h¹t chÊt láng t¹i ®iÓm 2 ë kho¶ng c¸ch r c¸ch ®iÓm 1 cña trôc th¼ng ®øng m« t¶ mét ®êng ®i h×nh trßn trong mÆt ph¼ng ngang víi vËn tèc V = r ( = vËn tèc gãc = const). Theo ph¬ng tr×nh (5.4.24), cã mét gra®ien ¸p suÊt theo híng n (mÆt ph¼ng ngang). V2  ( pn)  n gr V2  ( pn)   n . gr 57
H×nh 5.19. Xo¸y cìng bøc L Êy gèc trong trôc th¼ng ®øng, cho thÊy n = -r. V2 2  ( pn)  r  rr gr g 2 r 2  ( pn)   rr g 1 0  2r 2 pn2  pn1  2g  2r 2 P2 P  z 2  1  z1  . g g 2g V× z1 = z2 = 0, thÊy r»ng Pr = P2.  2 r 2 Pr  P1  . 2 Theo ph¬ng tr×nh (5.4. 27), thÊy r»ng: P/g + z = const theo híng th¼ng ®øng (¸p suÊt thñy tÜnh). Nh vËy: P0 P  z 0  1  z1 . g g V× P0 = 0 vµ z1 = 0. P1 = gz0. Nªn:  2 r 2 Pr  gz  . 2 Cao ®é bÒ mÆt chÊt láng cã thÓ m« t¶ b»ng Pr = gzs,r  2r 2 z r,s  z 0  2g 58