CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

487
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 6i c. 56i Giải: a. Gọi iy là một căn bậc hai của 12i

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a.  5  12i Giải: b. 8  6i c. 33  56i a. Gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 5  12i tức là  x  iy  2 2 2 d.  3  4i .v n h  5  12i  x  y  2ixy  5  12i  x 2  y 2  5  2 2  x  y  5  2 x  4  x  2   2 xy  12  2 2  x  y  13   2 y  9  x  2   y  3  x  2 2 4 c Do b  12  0  x, y cùng dấu do đó  hoặc  y  3  y  3 o Vậy 5  12i có 2 căn bậc hai là z1  2  3i và z2  2  3i. b. Tương tự gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 8  6i tức là ih 2  x  iy   8  6i  x 2  y 2  2ixy  8  6i u x2  y 2  8  2 2 x  y  8  2 x  9  x  3   2 2  2  2 xy  6  x  y  10  y 1   y  1 Do b  6  0  x, y cùng dấu do đó  Vx  3 y  1 Vậy 8  6i có 2 căn bậc hai là 3  i và 3  i.  x  3 hoặc   y  1 c. Gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 33  56i tức là 2  x  iy   33  56i  x 2  y 2  2ixy  33  56i  x 2  y 2  33  2 2  x  y  33  2  x  49  x  7   2 2  2  2 xy  56  x  y  65   y  16   y  4 x  7  x  7 Do b  56  0  x, y trái dấu do đó  hoặc   y  4 y  4 Vậy 2 căn bậc hai của 33  56i là 7  4i và 7  i 4. d. Gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 3  4i tức là
2  x  iy   3  4i  x 2  y 2  2ixy  3  4i  x 2  y 2  3  x 2  y 2  3  x2  1   x  1   2 2  2  2 xy  4 x  y  5  y  4   y  2 x  1  x  1 Do b  4  0  x, y cùng dấu do đó  hoặc  y  2  y  2 Vậy 2 căn bậc hai của 3  4i là 1  2i và 1  2i. Bài 2: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a. 4 + 6 5 i b. 1  2 6i Giải: a. Giả sử z  x  iy  x, y    là một căn bậc hai của w  4  6 5i  3 5 x2  y 2  4  y   (1) 2 x n 2 Khi đó: z  w   x  yi   4  6 5i     2 xy  6 5   x 2  45  4 (2) .v   x2 (2)  x4 – 4x2 – 45 = 0  x2 = 9  x = ± 3. h x=3y= 5 x = -3  y = - 5 Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + 5 i và z2 = -3 - 5 i b. Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2 6 i 2 4 2 Khi đó: z 2  w   x  yi   1  2 6i    c 2 xy  2 6    x 2  y 2  1  y  x o    6 (1)  x 2  6  1 (2) ih   x2 (2)  x4 + x2 – 6 = 0  x2 = 2  x = ± 2 . x= 2 y=- 3 x=- 2 y= 3 V u Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 2 - 3 i và z2 = - 2 + 3 i Dạng 2: Phương trình bậc hai Bài 1: Giải các phương trình sau: a. x 2   3  4i  x  5i  1  0; (1) b. x 2  1  i  x  2  i  0; (2) Giải: 2 a. Ta có    3  4i   4  5i  1  3  4i . Vậy  có hai căn bậc hai là 1+ 2i và −1 − 2i. 3  4i  1  2i 3  4i  1  2i Do đó pt (1) có hai nghiệm là: x1   2  3i; x2  1 i 2 2 2 b. Ta có   1  i   4  i  2   8  6i . Vậy  có hai căn bậc hai là 3 + i và −3 − i.
1  i  3  i 1  i  3  i Do đó pt (2) có hai nghiệm là: x1   1; x2   2i 2 2 Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 3 x 2  x  2  0 1 b. x 2  x  1  0 (2) c. x 3  1  0 (3) Giải: a. Ta có   23  23 i 2  0 nên ta có hai căn bậc hai của  là: 1  i 23 i 23 và i 23 . Từ đó nghiệm của pt (1) là: x1,2  6 1  i 3 b. Ta có   3  3i 2  0 nên (2) có các nghiệm là: x1,2  2 x 1  0 c. Ta có (3)   x  1  x 2  x  1  0   2 Theo b. Pt (*) có hai nghiệm là x1,2  2  x  x  1  0; (*) 1  i 3 (Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1). .v n . Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là: x  1 ; x1,2  1  i 3 2 HD: Theo bài ra ta có:     2  8i; .  23  14i. 4h Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:   4  3i;   2  5i kết quả pt bậc hai cần lập là: x 2   2  8i  x  14i  23  0 c 2 Bài 4: Tìm m để phương trình: x 2  mx  3i  0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8. Giải: o 2 ih Theo bài ra ta có: x12  x2  8   x1  x2   2 x1 x2  8 (1). 2  x  x2   m Theo Vi−et ta có  1  x1 x2  3i V u Thay vào (1) ta được m2  6i  8  m2  8  6i  m là một căn bậc hai của 8  6i. Vậy: có 2 giá trị của m là: 3 + i và −3 − i. Bài 5: Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . Giải: Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho và B  a  bi với a, b   . Theo đề phương trình bậc hai z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . nên ta có : z12  z2  ( z1  z2 )2  2 z1 z 2  S 2  2 P  ( B ) 2  2i  4i hay B 2  2i hay 2 a 2  b 2  0 (a  bi ) 2  2i  a 2  b 2  2abi  2i Suy ra :  .  2ab  2 Hệ phương trình có nghiệm (a;b) là (1; 1),(1;1) Vậy : B  1  i; B =  1  i
Bài 6: Cho z1 ; z 2 là 2 nghiệm pt 1  i 2  z 2   3  2i  z  1  i  0 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: z1 z2 a. A  z12  z2 ; 2 b. B  z12 z2  z1 z 2 ; 2 c. C   z2 z1 Giải:  3  2i 3 2 2 23 2  z1  z2    i  1 i 2 3 3 Theo Vi−et ta có:  z z  1  i  1  2  1  2 i  1 2 1 i 2 3 3  2 2 3 2 2 23 2   1  2 1  2  11  30 2 6  4 2 a. Ta có A   z1  z 2   2 z1 z2    i   2  3  3 i   i  3 3   9 9      3  2 2 2  3 2   1  2 1  2  5  2 2 1  10 2 n b. B  z1 z 2  z1  z2      i   i    i  3 3  3 3  9 9 c. Ta có C  z12  z2 z1 z2 2  1 2 1 2  A i  6  26 2 i 18 . h .v 4 3 3 Bài 7: Giải phương trình nghiệm phức trên tập số phức a. z 2  8(1  i ) z  63  16i  0 b.  2  3i  z 2   4i  3 z  1  i  0 c 2 HD: o a. Ta có  '  16(1  i) 2  (63  16i)  63  16i  (1  8i) 2 ih Từ đó ta tìm ra hai nghiệm z1  5  12i ; z2  3  4i . b. Ta có  2  3i    4i  3  1  i  0 z1  1; z 2   1  5i 13 V u Bài 8: (CĐ – 2010) Giải phương trình z 2  1  i  z  6  3i  0 trên tập hợp các số phức. Giải: 2 2 Phương trình có biệt thức   1  i   4  6  3i   24  10i  1  5i  Phương trình có hai nghiệm là: z  1  2i và z  3i. 4 z  3  7i Bài 9: (CĐ – 2009) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:  z  2i zi Giải: Điều kiện: z  1
Phương trình đã cho tương đương với z 2   4  3i  z  1  7i  0 2 2 Phương trình có biệt thức    4  3i   4 1  7i   3  4i   2  i  4  3i  2  i 4  3i  2  i Phương trình có hai nghiệm là: z   1  2i và z   3  i. 2 2 25 Bài 10: Giải phương trình nghiệm phức : z   8  6i z Giải: Giả sử z  a  bi với ; a,b  R và a,b không đồng thời bằng 0. 1 1 a  bi Khi đó z  a  bi ;   2 z a  bi a  b 2 25 25(a  bi ) Khi đó phương trình z   8  6i  a  bi  2  8  6i z a  b2 n 2 2 2 2   a (a  b  25)  8( a  b ) (1)   2 2 2 2 . b( a  b  25)  6(a  b ) (2) .v  3 Lấy (1) chia (2) theo vế ta có b  a thế vào (1) ta được a = 0 hoặc a = 4 4 Với a = 0  b = 0 ( Loại) Với a = 4  b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i. 4h Bài 11: Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm. Giải: c 2 Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 ( b, c  R), nên ta có : b  c  0 b  2 o 2 1  i   b 1  i   c  0  b  c   2  b  i  0    2  b  0 c  2 ih 2 Bài 12: Giải các pt sau: z  z  0 Giải: Giả sử z  x  yi, x,y   2 2 V u 2 2 x2  y2  x  0 Ta có z  z  0  x  y  2 xyi  x  yi  0   x  y  x    2 xy  y  i  0  0i   2 2 xy  y  0
x  0    x  0  y  0     x  1   x2  x  0    x  1    x2  y 2  x  0   y  0  y  0      y  0 x2  y2  x  0  y0   x  1 x2  y 2  x  0    3     y  0  x2  y2  x  0   y 2  3   y    2  y  2 x  1  0    2     4  y  3 2 x  1  0  1     3  x  1  y    2  2 x   2   2  1  x  1  x   2  2   y   3   2 Vậy: Có bốn số phức cần tìm là: z1  0, z 2  1, z3  1 2 2  3 i, z 3   1 2 2 Bài 13: Tìm m để pt z 2  mz  3i  0 có hai nghiệm z1 , z 2 thỏa z12  z 2  8 . 2 3 i .v n h Giải: 2 Ta có: z12  z2  8   z1  z 2   2 z1 .z2  8 2 Với z1  z2   b a c   m, z1 .z 2   3i a 2 4 c 2 2 2 Suy ra: z1  z2  8   z1  z 2   2 z1 .z2  8   m   2.3i  8  m 2  8  6i   3  i   m    3  i  . 2 2 o Bài 14: Cho số phức z thoả mãn z 2  2 z  3  0 . Gọi f  z  là số phức xác định bởi ih 17 15 14 2 f ( z )  z  z  6 z  3 z  5 z  9 . Tính mô đun của f  z  Giải: Ta đặt z 2  2 z  3  0 (1) V u (1) có   2  0 nên (1) có 2 nghiệm phức là  1 z  1 i 2  z2  1  i 2  | z1 |  | z2 |  3 f ( z )  z  z  6 z  3z  5 z  9  z ( z  2 z  3)  2 z14 ( z 2  2 z  3)  3( z 2  2 z  3)  z 17 15 14 2 15 2 nếu z  z1  f ( z1 )  z1 | f ( z1 ) || z1 | 3 nếu z  z2  f ( z 2 )  z 2 | f ( z2 ) || z2 | 3 Vậy | f ( z ) |  3 Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai và phương trình bậc cao Phương pháp 1: Phương pháp phân tích thành nhân tử:
Bài 1: Cho phương trình sau: z 3   2 – 2i  z 2   5 – 4i  z – 10i  0 1 a. Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo. b. Giải phương trình (1). Giải: a. Đặt z = yi với y  R 3 2 Phương trình (1) có dạng:  iy    2i  2  yi    5  4i  yi  – 10i  0  iy 3 – 2 y 2  2iy 2  5iy  4 y – 10i  0  0  0i đồng nhất hoá hai vế ta được: 2 y 2  4 y  0   3 2 giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2  y  2 y  5 y  10  0  Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i. b. Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i n  vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng: z 3   2 – 2i  z 2   5 – 4i  z – 10i   z – 2i   z 2  az  b  (a, b  R) .v đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5.  z  2i  z  2i  1   z – 2i   z  2 z  5   0   2 2 z  2z  5  0    z  1  2i   z  1  2i 4h 2 Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm. Bài 2: Giải các phương trình: 1. z3 – 27 = 0 2. z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y  Z Giải: oc ih z  1 z  1 1. z – 27  0   z – 1  z  3z  9   0   2 3 2   z  3  3 3i u  z  3z  9  0  2,3  2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. 3 V 2. Ta có:  x  yi   x 3 – 3 xy 2   3x 2 y – y 3  i  18  26i Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:  2  x 3  3 xy 2  18  3 3 x y  y  26  Từ hệ trên, rõ ràng x  0 và y  0. Đặt y = tx , hệ  18  3 x 2 y – y 3   26  x 3 – 3 xy 2   18  3t  t 3   26 1  3t 2   18t 3 – 78t 2 – 54t  26  0   3t  1  3t 2 – 12t – 13  0. 1 Vì x, y  Z  t  Q  t   x  3 và y  1  z  3  i. 3
Bài 3: 1. Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3 +3z2 +3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) 2. Giải phương trình: z3 +3z2 +3z – 63 = 0 3. Cho phương trình: z 3  5 z 2  16 z  30  0 (1), gọi z1 , z2 , z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: A  z12  z2  z3 . 2 2 Giải: 1. Giả thiết  z 3  3 z 2  3z – 63  z 3   a  3 z 2   b  3a  z – 3b a  3  3  a  6  b  3a  3   3b  63 b  21  z  3  2. Áp dụng phần 1. ta có: z 3  3z 2  3 z – 63  0   z – 3  z 2  6 z  21  0   z  3  2 3i  z  3  2 3i Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. 3. z 3  5 z 2  16 z  30  0 có 3 nghiệm là: z1  3; z 2  1  3i; z3  1  3i  .v n  A  z12  z 2  3  7 2 2 Bài 4: Giải phương trình: z 4 – 4 z 3  7 z 2 – 16 z  12  0 1 4h Giải: c 2 Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1. 1   z – 1  z 3 – 3z 2  4 z – 12   0   z – 1  z – 3  z 2  4   0 z  1 o ih z  1    z  3  z  3  z  2i z  4  0 u 2    z  2i Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Giải: V Bài 5: Giải phương trình: z 4  4 z 3  7 z 2  16 z  12  0 Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có: z  1 z  4 z  7 z  16 z  12  0  ( z  1)( z  3)( z  4)  0   z  3 4 3 2 2   z  2i  Bài 6: Giải phương trình 2 z 3  5 z 2  3 z  3   2 z  1 i  0 , biết rằng phương trình có nghiệm thực Giải: 2 z 3  5 z 2  3 z  3 1 1 Phương trình có nghiệm thực   z   tức là phương trình có một nghiệm z   2 z  1  0 2 2
Phương trình  2 z  1  z 2  3 z  3  i   0 giải phương trình này ta được 1 z   ; z  2  i; z  1  i 2 Bài 7: Giải phương trình z 3  1  2i  z 2  1  i  z  2i  0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo Giải: Giả sử phương trình có một nghiệm thuần ảo z  bi , thay vào phương trình ta được 3 2  bi   1  2i  bi   1  i  bi   2i  0   b  b 2    b3  2b 2  b  2  i  0 b  b 2  0   3 2  b 1 z  i b  2b  b  2  0  Vậy phương trình tương đương với  z  i   z 2  1  i  z  2   0 ... giải phương trình này sẽ được nghiệm   Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 2 Bài 1: Giải phương trình:  z 2  z   4  z 2  z   12  0 Giải: .v n h Đặt t  z 2  z , khi đó phương trình đã cho có dạng:  1  23i  t  6  t 2  4t – 12  0   2 z  z  6  0  2 z     z  2 1  23i 2 4 t  2 z  z  2  0  c z  1  o  z  2 2 ih Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. 2 Bài 2: Giải phương trình:  z 2  3z  6   2 z  z 2  3 z  6  – 3 z 2  0 Giải: V u Đặt t  z 2  3z  6 phương trình đã cho có dang: t  z t 2  2 zt – 3z 2  0   t – z  t  3 z   0   t  3 z  z  1  5i - Với t  z  z 2  3z  6 – z  0  z 2  2 z  6  0    z  1  5i   z  3  3 - Với t  3z  z 2  3 z  6  3 z  0  z 2  6 z  6  0    z  3  3  Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 3: Cho phương trình: z 4  2 z 3 – z 2 – 2 z  1  0 1 1 a. Bằng cách đặt y  z  hãy đưa phương trình về dạng: y 2 – 2 y – 3  0. z b. Từ đó giải (1) Giải: Do z  0 không là nghiệm của (1)  chia hai vế của phương trình cho z2 ta được: 1 1 z 2 2 z – 1  2  2  0 z z 1  y  1 Đặt y  z   phương trình có dạng: y 2 – 2 y – 3  0   z y  3 1 1  i 3 - Với y  1  z   1  z  z 2 1 3 5 - Với y  3  z   3  z  z 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm Bài 4: Giải phương trình: z 4  z 3  z2  z 1  0 1 .v n Giải: 2 Do z  0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên: 4h 2 1  1 1 1 (1)  z 2  z    2  0 2 z z 1 5 c 2 o   z   z    0  z  z 2 ih  1  3i 1 5 y  2 Đặt y  z   pt có dạng:  y 2 – y   0  2 y 2 – 2 y  5  0   - Với y  2 z 1  3i  z  2 V 1 1  3i z 2 u 2  2 z 2 – 1  3i  z – 2  0  2  Ta có :   1  3i   16  8  6i   3  i  2  y  1  3i   2 1 1  phương trình (2) có 2 nghiệm: z1  1  i và z2    i 2 2 1  3i 1 1  3i - Với y   z   2 z 2 – 1  3i  z – 2  0  3 2 z 2 2 2 Ta có :   1  3i   16  8  6i   3  i  1 1  phương trình (3) có 2 nghiệm: z3  1  i và z4    i 2 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 5: Giải phương trình: z 4  6 z 2  25  0 1 Giải: Đặt z 2  t. Khi đó (1) có dạng: t 2 – 6t  25  0  2  . Ta có: ’  16  16.i 2  0 nên pt (2) có hai nghiệm là t  3  4i. Mặt khác 3  4i có hai căn bậc hai là: 2  i và 2  i còn 3  4i có hai căn bậc hai là: 2  i và 2  i Vậy: pt (1) có 4 nghiệm là: z1  2  i; z2  2  i; z3  2  i; z4  2  i. 3  zi Bài 6: Giải phương trình (ẩn z) trên tập số phức:    1. i z Giải: Điều kiện: z  i zi Đặt w  ta có phương trình: w 3  1  (w  1)(w 2  w  1)  0 iz w  1  w  1   w  1 i 3 .v n  2 w  w  1  0   2 w   1  i 3  4h 2  2 zi c - Với w  1  1 z  0 iz - Với w  1  i 3  z  i 1 i 3  o  (1  i 3 ) z   3  3i  z   3 ih 2 iz 2 1  i 3 z  i 1  i 3 u - Với w     (1  i 3 ) z  3  3i  z  3 2 iz 2 Vậy pt có ba nghiệm z  0; z  3 và z   3 . Giải: V 2 Bài 7: Giải phương trình:  z 2  3z  6   2 z  z 2  3 z  6   3z 2  0 (*) u  z Đặt: z 2  3z  6  u  (*)  u 2  2 zu  3z 2  0  (u  z )(u  3 z )  0    u  3 z   z1  1  i 5   z 2  3z  6  z  z2  2z  6  0   z2  1  i 5   2  2   z  3 z  6  3z  z  6z  6  0   z3  3  3    z4  3  3  Bài 8: Giải phương trình: ( z 2  z )( z  3)( z  2)  10 z C
Giải: PT  z ( z  2)( z  1)( z  3)  10  ( z 2  2 z )( z 2  2 z  3)  0 Đặt t  z 2  2 z . Khi đó phương trình trở thành t 2  3t  10  0 t  2  z  1  i   t  5  z  1  6 Vậy phương trình có các nghiệm: z  1 6 ; z  1  i Bài 9: Giải phương trình tập số phức: z 4  2 z 3  z 2  2 z  1  0 Giải :  1 1  1 1 Phương trình z 4  2 z 3  z 2  2 z  1  0  z 2  ( z 2  2 )  2( z  )  1  0  ( z 2  2 )  2( z  )  1  0  z z  z z (z = 0 không là nghiệm của phương trình) 1 w  1 Đặt w  z  ; phương trình trên trở thành: w2 + 2w – 3 =0   z  w  3   1 2 z   1  z  z  1  0  z   z 1 1  3i 2 3 5 .v n h 2  z   3  z  3 z  1  0  z   z 2 Vậy phương trình có bốn nghiệm: z  1  3i 2 ; z 3 5 2 2 4 Bài 10: Tìm các số thực a, b, c để có: z  2(1  i ) z  4(1  i ) z  8i  ( z  ai )( z 2  bz  c) . 3 2 Tìm môđun của các nghiệm đó. HD: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4 oc ih Từ đó giải phương trình: z 3  2(1  i ) z 2  4(1  i) z  8i  0 trên tập số phức. Phương trình  ( z  2i )( z 2  2 z  4)  0  z  2i; z  1  3i; z  1  3i  z  2 . Dạng 3: Giải hệ phương trình: Bài 1: Giải hệ phương trình:  1 V u  z 2  z2  5  2i 2 (1)  z1  z2  4  i (2) Giải: Từ (2) ta có z12  z2  2 z1 z2  15  8i. 2 Kết hợp với (1) ta có z1 z2  5  5i  z  z2  4  i Vậy ta có hệ phương trình:  1  z1 z2  5  5i Do đó z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2   4  i  z  5  5i  0 . Ta có   5  12i Nên  có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và −2 − 3i.
 4  i  2  3i  z1   2  3i  z  1  2i Vậy ta có  hoặc  1 .  z  4  i  2  3i  1  2i  z2  3  i  2  2 z  w  i Bài 2: Giải hệ phương trình:  iz  w  1 Giải: Coi i như 1 tham số ta có:  D 1 1 i 1  z  D  1 1 i  x D  1  i ; Dz   i  1   và Dw  2 i 1 1 1  w  D  1  i i 1   Dy  z  w  zw  8 Bài 3: Giải hệ phương trình:  2 Giải:  z  w  zw  8  2  z  w  1 .v n h Hệ   2  z  w   2 zw  1  u  z  w Đặt:  v  zw u  v  8  2 u  2v  1 u  8  v  2 u  2u  15  0 2 4   u  5   v  13 oc  X 2  5 X  13  0  ( z; w)    5  3i 3 5  3i 3    2 ; 2    ih  u  3  X 2  3 X  5  0  ( z ; w)   3  14 ; 3  14   v  5   2    2   Giải:    V 3x  y u x  x2  y2  3  Bài 4: Giải hệ phương trình:   y  x  3y  0 x2  y 2 ( x, y  R ) (3 x  y )  ( x  3 y )i 3( x  yi ) i ( x  yi) Từ hệ suy ra: x  yi  2 2  3  x  yi  2  2 3 x y x  y2 x  y2 (3  i ) z (3  i ) Đặt z  x  yi ta được PT ẩn z  C : z  3 z 3 2 z z Giải PT bậc hai tìm được z  2  i và z  1  i . Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là ( x, y )  ( 2,1);(1, 1) . Bài 5: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:
 z  w  3(1  i ) (1)  3 3  z  w  9(1  i ) (2) Giải: 3 Từ (2) ta có:  z  w  – 3 zw  z  w   9  1  i   3 3 Thay (1) vào (3) ta được: 27 1  i  – 9 zw 1  i   9  1  i  5  5i  3 1  3i  3i 2  i 3  – zw 1  i   1  i  zw   5i 1 i  z  w  3(1  i ) Vậy ta có hệ phương trình:   z.w  5i Theo định lý Viet  z, w là các nghiệm của phương trình: t 2  3 1  i   5i  0  4  2 Ta có:   2i  1 – i  t  2  i n  Phương trình (4) có hai nghiệm   t  1  2i .v Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (z;w) là  2  i;1  2i  và 1  2i; 2  i  Bài 6: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:  z1  z2  z3  1  (1)  z1 z2  z2 z3  z3 z1  1 (2) z z z  1 (3) 4h 2  1 2 3 Giải: oc Ta có z1 , z2 , z3 là các nghiệm của phương trình:  z – z1  z – z2  z  z3   0  z 3 –  z1  z2  z3  z 2   z1 z2  z2 z3  z3 z1  z  z1 z2 z3  0 ih  z 3 – z 2  z – 1  0  z  1 và z  i Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (là hoán vị của bộ ba số 1, i và –i) u  2 6 a  a  a 2  a  5 Bài 7: Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:  a 2 b 2  ab 2  b  a 2  a   6  0 Giải: Điều kiện: a 2  a  0 2 2 2 V  a 2  a  1 Từ (1)  (a  a )  5(a  a)  6  0   2 a  a  6   1  3i a  Khi a 2  a  1   2 thay vào (2)  1  3i a   2
 1  23.i b   b 2  b  6  0  b 2  b  6  0   2  1  23.i b   2 a  3 Khi a 2  a  6   a  2 Thay vào (2)  1  5 b   6b 2  6b  6  0  b 2  b  1  0   2  1  5 b   2 Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:   1  23i  1  3i    1  23i  1  3i    1  23i  1  3i    1  23i  1  3i       2 ; 2   2 ,    2  2  ; 2 2   ;      2 2     3;  1  5 ,   3;  1  5 ,  2;  1  5 ,  2;  1  5  ; 2 ,    2 ; .v n 2 ;   h      Bài tập tự giải: Bài 1: Giải phương trình bậc 2 sau trong tập hợp các số phức 2 4 z 2 – 2  2 – i  z  6 – 8i  0. oc Bài 2: Tìm các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận số phức z  1  i làm một nghiệm. ih Đs: Vì z  1  i là một nghiệm của phương trình: z 2  bz  c  0 nên b  c  0 b   2 u (1  i) 2  b(1  i)  c  0  b  c  (2  b)i  0    2  b  0 c  2 Bài 3: Cho các số phức w1  1  2i, w2  3 – 4i. Xác định các số phức z khác 0, đồng thời thoả mãn các điều w2 kiện w1 .z là số thực và  z V  1 , từ đó lập phương trình bậc hai có nghiệm là các số số phức đã tìm được? Bài 4: Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: z 2  z  1  0 . 1  2 1   2 1  2 1  Rút gọn biểu thức P   z     z 2  2    z 3  3    z 4  4  2  z  z   z   z  2 Bài 5: Giải phương trình trên tập số phức: x   5  i  x  8  i  0 Bài 6: Giải phương trình trên tập số phức: z 2  2 z  1  6i  0 Bài 7: (ĐH – A 2009) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức 2 2 A  z1  z 2 . HD:
  36  36i 2  z1, 2  1  3i. z1  z 2  10  A  20 Đs: A = 20 Bài 8: Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 z1  z2 A 2 .  z1  z2  HD: 3 2 3 2 Giải pt đã cho ta được các nghiệm: z1  1  i , z2  1  i 2 2 2 3 2  222 Suy ra | z1 |  | z 2 |  1    2   2 ; z1  z2  2    2 2 z  z2 11 Do đó 1  ...  2 4 n ( z1  z2 ) Bài 9: Giải phương trình: .v 2 a. z 2  z  0 b.  z 2  3z  6   2 z  z 2  3 z  6   3z 2  0 Đs: a. z{0;i;i} b. z  3  3; z  1  5i Bài 10: Giải phương trình: z 2  z  0 . 4h 1 Đs: z  0, z  1 , z   2 2 3 i c Bài 11: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: 2 a.  = 2  5i b.  =  2  i 3 o c.  = 3 - i 2 ih 2 Bài 12: Giải phương trình z   cos   i sin   z  isin .cos  0 ,   R trên tập số phức Đs: z1  cos  ; z 2  i sin  2 A  z1  z 2  3 z1  z2 2 3 V u Bài 13: Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2  2 z  4  0. Tính giá trị của Bài 14: Chứng minh rằng nếu phương trình az 2  bz  c  0 (a, b, c  R) có nghiệm phức   R thì  cũng là nghiệm của phương trình đó. Bài 15: Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 2  4z  i  4z  i a.  z  2i   2  z  2i   3  0 b.   5 6 0  z i  z i Bài 16: Chứng minh rằng: a. Nếu x  iy là căn bậc hai của hai số phức a  bi thì x  yi là căn bậc hai của số phức a  bi x y a b b. Nếu x  iy là căn bậc hai của số phức a  bi thì  i là căn bậc hia của số phức 2  2 i (k  0) k k k k Bài 17: Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1 , z 2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra: a. z 2  mz  m  1  0 điều kiện: z12  z2  z1 z 2  1 2
b. z 2  3mz  5i  0 điều kiện: z13  z2  18 3 Bài 18: Giải các phương trình sau trong C. a. x 2  3.x  1  0 b. 3 2 .x 2  2 3. x  2  0 c. x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 d. 3 x 2  x  2  0 e. 3 x 2 2  2 x 3  2  0 f. 3i.x2 – 2x – 4 + i = 0 Đs: 3 1 6 a.  i b. (1  i ) c. 2  i ;1 – 2i 2 2 6 1  i 23 6 6 1 2 10  2  1 d. e.  i f.  2 10  2  i. 6 6 6 3 3 2 Bài 19: Cho phương trình z   2  i  z  3  5i  0 . Không giải phương trình hãy tính z12  z2 .z14  z2 2 4 Bài 20: Giải phương trình: z 2  (cos  i sin  ) z  icos sin   0 HD:   (cos   i sin  ) 2  4i cos  sin   cos 2  i sin 2  2i sin 2  cos 2  i sin 2  cos  2   i sin  2    cos     i sin      1 2 .v n   z  2 (cos  i sin  )   cos  -  +i sin  -     i sin     z  1 (cos  i sin  )   cos  -  +i sin  -     cos  2  4h 2  Bài 21: Giải các phuơng trình sau trên tập số phức 1. z 3  z c 2. z  z  3  4i o 3. (1  i ) z 2  2  11i  0 ih Phương trình bậc cao: Bài 1: Tìm các số thực a, b, c để có z 3  2 1  i  z 2  4 1  i  z  8i   z  ai   z 2  bz  c  Đáp số: a  2, b  2, c  4 và z  2 u Từ đó giải phương trình z 3  2 1  i  z 2  4 1  i  z  8i  0 trên tập số phức. Tìm modun của các nghiệm đó V Bài 2: Cho phương trình: (z + i)(z2  2mz + m2  2m) = 0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. Bài 3: Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z 3  iz 2  2iz  2  0. b. z 3  (i  3) z 2  (4  4i ) z  7  4i  0. Bài 4: Giải phương trình z 3  2 1  i  z 2  4 1  i  z  8i  0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo Đáp số: Phương trình có ba nghiệm là z  2i; z  1  i 3 Bài 5: Tìm 3 số thực a, b, c thỏa mãn: z 3 – 2 1  i  z 2  4 1  i  z – 8i   z  ai   z 2  bz  c 
Từ đó giải phương trình: z 3 – 2 1  i  z 2  4 1  i  z – 8i  0 Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức: z 4 – z 3  6 z 2 – 8 z – 16  0  z  1 z  2 Đáp số:  ( z  1)( z  2)( z  8)  0   2  z  2 2i   z  2 2i  Bài 7: Giải phương trình: z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0. HD: Đặt thừa số chung 1 3 1 3 Đáp số: z  1, z   i, z    i 2 2 2 2 Bài 8: Giải các phương trình sau trên C : z2 1 a. z 4  z 3   z  1  0 bằng cách đặt ẩn số phụ w  z  ; 2 z   2   b. z 2  3 z  6  2 z z 2  3 z  6  3 z 2  0 c.  z 2 2  1   z  3  0 2 .v n h Bài 9: Giải các phương trình sau trên C :   a.  z  i  z 2  1 z 3  i  0    2   b. z 2  z  4 z 2  z  12  0. Bài 10: Giải phương trình z 3  1  i  z 2   3  i  z  3i  0 4 2 3 4 2 Bài 11: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z 4 là 4 nghiệm của phương trình z  2 z  6 z  8 z  8  0 trên C 1 1 Tính tổng S  4  4  4  4 z1 z2 z3 z 4 1 1 oc Bài 12: Cho đa thức P  z   z 3   3  6i  z 2  10  18i  z  30i ih a. Tính P  3i  b. Giải phương trình P  z   0 Đs: a. P  3i   0 Bài 13: Giải các phương trình  z 1  2 V u b. z  3i, z  3  i a. z   2   biết z  3  4i là một nghiệm của phương trình  z 7 b. z 6  z 5  13z 4  14 z 3  13z 2  z  1  0 3 2  z i   z i   z i  c.       1  0  z i  z i  z i Đs: 1   3i a. z  9; z  3  4i b. z  ; z  2  3; z  2  3 2 c. z  1;0;1
Hệ phương trình Bài 1: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :  z1  z 2  4  i  2 2  z1  z 2  5  2i Bài 2: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :  z1 z 2  5  5i  2 2  z1  z 2  5  2i Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức: 1 1 1 1  x  2 y  1  2i     i x  y  5  i a.  b.  x y 2 2 c.  2 2 x  y  3  i  x 2  y 2  1  2i  x  y  8  8i  x  y  4 x  y  5  i x  y  1 d.   xy  7  4i  x 2  y 2  6  g.  1 1 2 e.  2 2  x  y  1  2i  x  y  3  2i  h.  1 1 17 1 f.  3 3 n  x  y  2  3i .v x  y  5   x  y  26  26 i  Bài 4: Giải các hệ phương trình sau 4h 2  z  12 5  z 1  z  8i  3  z i 1  z1  z2  z3  1  c   a.  b.  c.  z1  z2  z3  1  z 4 1  z  3i  1  z .z . z  1  z 8   z i  o  1 2 3 ih  z1. z 2  5  5i  z1  z2  4  i  3 5  z1  z 2  0 d.  2 2 e.  2 2 g.  2 4  z1  z2  5  2i  z1  z2  5  2i  z1 .( z2 )  1  Bài 5: Giải các hệ phương trình:  z1  z 2  4  i a.  2 2  z1  z 2  5  2i u 2  v 2  4uv  0 c.  V b.  2 d.   u  z1 .z 2  5  5.i 2  z1  z 2  5  2.i  z  2i  z u  v  2i  z  i  z 1  Đs: a.  3 – i; 1  2.i  và ( (1  2.i; 3 – i ) b.  2 – i; 1 – 3.i  ,  1 – 3i; 2 – i  ,  2  i;1  3i  , 1  3i; 2  i 
  1   3x  1  2   x y Bài 6: Giải hệ phương trình:  ( x, y  R ) .   7y 1 1    4 2   x y Bài 7: Giải hệ phương trình sau:  1  z1 z 2   2 z  2z  3  1 2  3 i 3 i  3 i 3 i  4 ; 2  và  4 ; 2  Đs:         Bài 8: Giải các hệ phương trình:  x  iy  2 z  10  z3  2z 2  2z  1  0  a.  x  y  2iz  20 ix  3iy  (1  i) z  30  2 z  i  z  z  2i  b.  2010 z   z 2011  1  0  z1  z 2  3  i  .v n h c.  2 d.  1 1 3  i z  z  5 2 z z 4 4   1 2 Căn bậc hai của số phức Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức: c 2 a. z  17  20 2i. b.  1 4 2 2 i h o c. 40  42i d. 11  4 3i a. -1 + 4 3.i Đs: a.  ( 3  2.i ) b. 4 + 6 5.i i Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: u b.  (3  5.i) c. -1 - 2 6.i c.  ( 2  3.i) d. -5 + 12.i d.  (2 + 3i) a.  1 4 3i V Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: b. 4  6 5i c.  1 2 6i