Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền phức Z

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

316
lượt xem 61
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Công thức biến đổi Z ngược: Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ. Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng. Các phương pháp biến đổi Z ngược: Thặng dư. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa. Phân tích thành tổng các phân thức tối giản....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền phức Z

Chương 2: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN PHỨC Z 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: ∞ • Biến đổi Z của dãy x(n): X (z) = ∑ x ( n) z −n (*) n=−∞ Trong đó Z – biến số phức Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía ∞ Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): X ( z ) = ∑ x ( n) z −n (**) n =0 • Nếu x(n) nhân quả thì : (*) ≡ (**) • Ký hiệu: x(n) ←Z → X(z)  hay X(z) = Z{x(n)} Z −1 X(z) ← → x(n) hay x(n) = Z-  1 {X(z)}
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) • Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong Im(Z) phẳng phức sao mặt R cho X(z) hội tụ. x+ R OC Rx- • Để tìm ROC của X(z) ta áp Re(z) dụng 00 tiêu chuẩn Cauchy • Tiêu chuẩn Cauchy: ∞ Một chuỗi có dạng: ∑ x(n) = x(0) + x(1) + x(2) +  n =0 1 hội tụ lim x(n) < 1 n nếu: n →∞
Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n) ∑ [a u( n )] z ∞ ∞ ∞ n ( ) ∞ X( z ) = ∑ x( n )z −n = n −n = ∑ a .zn −n = ∑ az −1 n=−∞ n=−∞ n =0 n =0 Theo tiêu chuẩn Cauchy, Im(z) X(z) sẽ hội tụ: ROC 1 X( z ) = /a/ 1 − az −1 Re(z) n 1 n 0 Nếu lim  az  −1  a n →∞  : 1 Vậy: X( z ) = −1 ; ROC : Z > a 1 − az
Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n- 1) ∑ [− a u( −n − 1 )] z ∞ ∞ −1 X( z ) = ∑ x( n )z − n = n −n =− ∑ a n .z − n n=−∞ n=−∞ n=−∞ m m ( ) ( ) ∞ ∞ = − ∑ a −1 z = − ∑ a −1 z +1 Im(z) m =1 m =0 Theo tiêu chuẩn Cauchy, /a/ Re(z) X(z) sẽ hội tụ: 0 ROC 1 n X ( z ) = − ∑ (a z ) + 1 = ∞ −1 −1 m=0 1 − az 1n  a −1 z n 
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.2.1 Tuyến tính Z x1 (n) ←→ X 1 ( z ) : ROC = R1 • Nếu: x2 (n) ← Z X 2 ( z ) : ROC = R 2 → • Thì: a1 x1 (n) + a2 x2 (n) ← Z a1 X 1 ( z ) + a2 X 2 ( z ) → ROC chứa R1∩ R2 Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/
Im(z) Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có: ROC /a/ Re(z) Z 1 R1 : z > a a u ( n) ← n → 0 1 − az −1 Im(z) 1 − b u (− n − 1) ← n →Z R2 : z < b /b/ 1 − bz −1 Re(z) 0 Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: ROC Im(z) 1 1 a nu( n ) − b nu( − n − 1 ) ← Z → + ROC /b/ 1 − az −1 1 − bz −1 Re(z) 0 R = R1 ∩ R2 : a < z < b /a/
2.2.2 Dịch theo thời gian Nếu: x( n ) ← Z X ( z ) → : ROC = R Thì: x( n − n0 ) ← Z z − n X ( z ) : ROC = R' → 0 R trừ giá trị z=0, khi n0>0 Với: R' =  R trừ giá trị z=∞, khi n0 a 1 − az x(n)=anu(n-1)=a.an-1u(n- az −1 V ậy ←Z → −1 :z >a 1) 1 − az :
2.2.3 Nhân với hàm mũ a Z Nếu: x ( n) ←→ X ( z ) :nROC = R Thì: a x(n) ← n → X ( a −1 z ) : ROC = a R Z Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của x1(n)=u(n) và x2(n)=anu(n) ∞ 1 Z x( n ) = u( n ) ←→ X ( z ) = ∑ u( n )z = −1 ;R : z >1 −1 n=−∞ 1− z n n Z −1 1 a x( n ) = a u( n ) ←→ X ( az ) = −1 ; R' : z > a 1 − az
2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z Nếu: x(n) ← Z X ( z ) : ROC = R → Z dX(z) Thì: n x(n) ←→ − z : ROC = R dz Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n) Z 1 x ( n) = a u ( n) ← n → X ( z ) = −1 ; ROC : z > a 1 − az Z dX ( z ) az −1 g( n ) = nx( n ) ←→ G( z ) = − z = −1 2 :z >a dz (1 − az )
2.2.5 Đảo biến số Nếu: x(n) ← Z X ( z ) : ROC = R → Z Thì: x(− n) ←→ X (z ) : ROC = 1 R -1 Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(- n) 1 x ( n) = a u ( n) ← n Z → X ( z ) = −1 ; ROC : z > a 1 − az ⇒ y ( n ) = (1 a ) u ( − n ) = a − n u ( − n ) = x ( − n ) n Áp dụng tính chất đảo biến số: −1 1 1 Y(z) = X(z ) = = ; ROC : z < 1 / a ( ) 1− a z −1 −1 1 − az
2.2.6 Liên hiệp phức Nếu: x(n) ← Z X ( z ) : ROC = R → Thì: x * ( n) ← Z X * (z*) : ROC = R → 2.2.7 Tích 2 dãy x1 (n) ← Z X 1 ( z ) : ROC = R 1 → Nếu: x2 (n) ← Z X 2 ( z ) : ROC = R 2 → 1 z 2π ∫ Thì: x1 (n) x2 (n) ← Z → X 1 (ν ) X 1  ν −1 dν : ROC = R 1  R 2 c ν  2.2.8 Định lý giá trị đầu Nếu x(n) nhân quả thì: x(0) = Lim X(z) Z →∞
Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả Theo định lý giá trị đầu: x(0) = lim X(z) = lim e1/z = 1 Z →∞ Z →∞ 2.2.9 Tổng chập 2 dãy x1 (n) ← Z X 1 ( z ) : ROC = R1 → Nếu : x2 (n) ← Z X 2 ( z ) : ROC = R 2 → Thì: x1 (n) * x2 (n) ← Z X 1 ( z ) X 2 ( z ) ;ROC có chứa R1 ∩ → R2
Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1) n Z 1 x( n ) = ( 0.5 ) u( n ) ←→ X ( z ) = −1 ; ROC : z > 0.5 1 − 0.5 z n Z 1 h( n ) = −2 u( −n − 1 ) ←→ H ( z ) = −1 ; ROC : z < 2 1− 2z 1 1 Y ( z ) = X ( z )H ( z ) = −1 . −1 ; ROC : 0 ,5 < z < 2 ( 1 − 0.5 z ) ( 1 − 2 z ) 1 1 4 1 Z-1 =− . −1 + . −1 ; ROC : 0 ,5 < z < 2 3 ( 1 − 0.5 z ) 3 ( 1 − 2 z ) 1 4 n y (n) = x(n) * h(n) = − (0.5) u (n) − 2 u ( − n − 1) n 3 3
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) X(z) R a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1 ∩ R2 x(n-n0) Z-n0 X(z) R’ an x(n) X(a-1z) R nx(n) -z dX(z)/dz R x(-n) X(z -1) 1/R x*(n) X*(z*) R x1(n)x2(n) 1 z R1 ∩ R2 2πj ∫C X 1 (v) X 2  v −1 dv v x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞) x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1 ∩ R2
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC δ (n) 1 ∀z u(n) 1 /z/ >1 −1 -u(-n-1) 1− z /z/ /a/ -an u(-n-1) 1 − az −1 /z/ < /a/ nan u(n) /z/ > /a/ az −1 -nan u(-n-1) (1 − az −1 ) 2 /z/ < /a/ cos(ω on)u( (1-z-1cosω o)/(1-2z- /z/ >1 n) 1cosω o+z-2) sin(ω on)u( (z-1sinω o)/(1-2z-1cosω o+z- /z/ >1
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 1 ∫ X ( z )z dz (*) n −1 x( n ) = 2πj C Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ  Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng • Các phương pháp biến đổi Z ngược:  Thặng dư  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa  Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: • Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa: Re s[ F ( z )] Z = Z ci = 1 d ( r −1) (r − 1)! dz ( r −1) [ F ( z )( z − zci ) r ] Z = Z ci • Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa: Re s[ F ( z )] Z = Zci = [ F ( z )( z − zci )] Z = Z ci b) Phương pháp: • Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zn-1 :
1 x ( n) = ∫ 2πj C X ( z ) z n−1dz (*) Trong đó: • Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C • Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci  Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n) z Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z ) = ( z − 2) Thay X(z) vào (*), ta được 1 1 z ∫ X ( z ) z dz 2πj ∫ ( z − 2 ) z n −1dz n −1 x ( n) = = 2πj C C
 Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính là 2 n −1 zn • n≥ 0: X ( z ) z = có 1 điểm cực đơn Zc1=2 ( z − 2) Im(z) Thặng dư tại Zc1=2: ROC 2 Re(z)  z  n  z n  0 Res   = ( z − 2)  = 2 n  ( z − 2 )  Z = 2  ( z − 2)  Z =2 C n −1 1 1 Zc1=2 đơn, • n