Chương 3 Không gian Véc tơ

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

215
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 3 không gian véc tơ', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3 Không gian Véc tơ

BAØI GIAÛNG TOÙM TAÉT §2. TOÅ HÔÏP TUYEÁN TÍNH 2.1. Ñònh nghóa: MOÂN TOAÙN C2 Cho u1, u2, ..., uk ∈ Rn. Caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,..., uk laø caùc vectô coù daïng: (GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009) u = α1u1 + α2u2 + ... + αkuk vôùi αi ∈ R (1 ≤ i ≤ k). CHÖÔNG 3 2.2. Tính chaát: KHOÂNG GIAN VECTÔ 1) u laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk khi vaø chæ khi phöông trình α1u1 + α2u2+ ... + αkuk = u coù nghieäm (α1, α2, ..., αk)∈ Rn. §1. KHOÂNG GIAN VECTÔ Rn 1.1. Ñònh nghóa: Xeùt taäp hôïp: .v n 2) Töø ñònh nghóa ta thaáy toång cuûa hai toå hôïp tuyeán tính, tích cuûa moät soá vôùi moät toå hôïp tuyeán tính cuõng laø caùc toå hôïp tuyeán tính (cuûa u1, u2,..., uk): k k k ∑ α1u i + ∑ β1u i = ∑ (α i + βi )u i i =1 k i =1 i =1 k h ⎛ ⎞ α ⎜ ∑ α iu i ⎟ = ∑ (αα i )u i Rn = {(x1, x2,..., xn)|∀1≤ i ≤ n, xi∈R} ⎝ i =1 ⎠ i =1 4 Treân Rn ta ñònh nghóa hai pheùp toaùn nhö sau: 3) Vectô khoâng 0 luoân luoân laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk vì • Pheùp coäng vectô: Vôùi moïi u = (x1, x2,..., xn); v = (y1, y2,..., yn) ∈ Rn: u + v = (x1 + y1, x2 + y2,..., xn + yn). • Pheùp nhaân moät soá vôùi vectô: Vôùi moïi u = (x1, x2,..., xn) vaø α αu = (αx1, αx2,..., αxn). ∈ R: c2 0 = 0u1 + 0u2 + ... + 0uk 4) Moãi vectô ui, 1 ≤ i ≤ k laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk vì Vôùi hai pheùp toaùn ñoù, ta noùi Rn laø moät khoâng gian vectô treân R. o ui = 0u1 + ... + 0ui–1 + 1ui + 0ui+1 + ... + 0uk Toång quaùt hôn, moïi toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,...,uj (1 ≤ j ≤ k) ñeàu laø toå ih • Moãi phaàn töû u ∈ Rn laø moät vectô. hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk vì • Moãi soá α ∈ R laø moät voâ höôùng. α1u1+α2u2 +...+αjuj = α1u1+α2u2+...+αjuj+0uj+1 +...+0uk • Vectô 0 = (0, 0,...,0) laø vectô khoâng. u 4) Moïi toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,... ,uk-1, uk ñeàu laø toå hôïp tuyeán tính cuûa • Vectô (–u) = (-x1, -x2,..., -xn) laø vectô ñoái cuûa u = (x1, x2,..., xn). u1, u2, ..., uk-1 khi vaø chæ khi uk laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,..., uk-1. 1.2. Meänh ñeà: 2.3. Heä quaû: n Vôùi moïi u ∈ R vaø α ∈ R ta coù: 1) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0). 2) (–1)u = –u. V Cho u1, u2, ..., uk laø k vectô trong khoâng gian Rn vôùi uj = (u1j, u1j, ..., unj), 1≤ j≤ k: u1 = (u11, u21 ..., un1) u2 = (u12, u22 ..., un2) ................................ 3 4
uk = (u1k, u2k ..., unk) ⎛ 1 2 −1 1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n 1 3 −1 2 ⎟ a2 ⎟ α2 Khi ñoù vectô u = (b1, b2, ..., bn) ∈ R laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk U2 = ⎜ , B2 = ⎜ , T=⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 1 1 ⎟ ⎜ a3 ⎟ ⎜ α3 ⎟ khi vaø chæ khi heä phöông trình tuyeán tính UX = B, trong ñoù: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 1 −1 ⎠ ⎝ a4 ⎠ ⎝ α4 ⎠ ⎛ u11 u12 ... u1k ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ta tính ñöôïc detU2 = -6 neân heä U2X = B2 luoân luoân coù nghieäm X. Ñieàu naøy u u 22 ... u 2k ⎟ b2 ⎟ α U = ⎜ 21 ;B = ⎜ ;X = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ..... ...... ... ...... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ chöùng toû moïi vectô u =(a1, a2, a3, a4) ∈ R4 ñeàu laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u 4. ⎝ u n1 u n2 ... u nk ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝ αk ⎠ coù nghieäm X. §3. ÑOÄC LAÄP TUYEÁN TÍNH –PHUÏ THUOÄC TUYEÁN TÍNH Nhaän xeùt: Ñeå deã nhôù, ta noùi ma traän U coù ñöôïc baèng caùch döïng u1,u2,...,uk thaønh caùc coät, coøn ma traän B coù ñöôïc baèng caùch döïng u thaønh coät. 3.1. Ñònh nghóa: Ví duï: 4 1) Trong khoâng gian R cho caùc vectô: u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, –1, 0); .v n Cho u1, u2, ..., uk ∈ Rn. Xeùt phöông trình: α1u1 + α2u2 + ... + αkuk = 0 (1) Neáu (1) chæ coù nghieäm taàm thöôøng α1= α2 =...= αk = 0 thì ta noùi u1,u2,..., uk ñoäc laäp tuyeán tính. u3 = (–1, –1, 1, 1); u4 = (1, 2, 1, –1) Tìm ñieàu kieän ñeå vectô u = (a1, a2, a3, a4) laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa: 4h Neáu ngoaøi nghieäm taàm thöôøng, (1) coøn coù nghieäm khaùc thì ta noùi u1,u2,..., uk phuï thuoäc tuyeán tính. Noùi caùch khaùc, 2 a) u1, u2, u3; • u1, u2, ..., uk ñoäc laäp tuyeán tính khi vaø chæ khi vôùi moïi α1, α2, ..., αk ∈ R b) u1, u2, u3, u4. ta coù: Giaûi toùm taét: a) Theo Heä quaû 2.3, u = (a1, a2, a3, a4) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3 khi vaø chæ khi heä U1X = B1 coù nghieäm X, trong ñoù: o c α1u1 + α2u2+ ... + αkuk = 0 ⇒ α1 = α2 = ... = αk = 0. • u1, u2, ..., uk phuï thuoäc tuyeán tính khi vaø chæ khi toàn taïi α1, α2, ...,αk∈ R khoâng ñoàng thôøi baèng 0 sao cho: ih ⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ α1u1 + α2u2+ ... + αkuk = 0. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ α1 ⎞ 1 3 −1 ⎟ a ⎜ ⎟ U1 = ⎜ ; B1 = ⎜ 2 ⎟ ; X = ⎜ α 2 ⎟ 3.2. Nhaän xeùt: ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎜ a3 ⎟ ⎜α ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝1 0 1 ⎠ ⎝ a4 ⎠ Caùc vectô u1, u2, ... , uk phuï thuoäc tuyeán tính khi vaø chæ khi toàn taïi vectô ui U1X = B1 coù nghieäm laø: a1 – a2 – a3 + a4 = 0 hay V u Ta khaûo saùt heä treân baèng phöông phaùp Gauss thì tìm ñöôïc ñieàu kieän ñeå heä a1 + a 4 = a 2 + a 3 Vaäy u = (a1, a2, a3, a4) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3 khi vaø chæ khi a 1 + a 4 = a 2 + a 3. “phuï thuoäc” vaøo caùc vectô khaùc theo nghóa vectô ui ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc uj, 1 ≤ j ≠ i ≤ k. 3.3. Heä quaû: Cho u1, u2, ... , uk laø k vectô trong Rn. Goïi A laø ma traän coù ñöôïc baèng caùch xeáp u1, u2, ..., uk thaønh caùc doøng. Khi ñoù: u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính ⇔ A coù haïng laø r(A) = k. b) Töông töï, u = (a1, a2, a3, a4) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3, u4 khi vaø chæ khi heä U2X = B2 coù nghieäm X, trong ñoù: 5 6
3.4. Chuù yù: u1 = (2m + 1, -m, m + 1) Trong thöïc haønh, ta kieåm tra tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa caùc vectô u1, u2,..., u2 = (m-2, m – 1, m – 2) uk trong Rn nhö sau: u3 = (2m - 1, m – 1, 2m –1) Böôùc 1: Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, ..., uk thaønh caùc doøng. Tìm ñieàu kieän ñeå u1, u2, u3 ñoäc laäp tuyeán tính treân R. Böôùc 2: Duøng caùc pheùp BÑSCTD ñöa A veà daïng baäc thang R. Khi ñoù: Giaûi toùm taét: • Neáu R khoâng coù doøng 0 thì u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính. Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, u3 thaønh caùc doøng: • Neáu R coù ít nhaát moät doøng 0 thì u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính. ⎛ 2m + 1 − m m+1 ⎞ Tröôøng hôïp k = n, ta coù A laø ma traän vuoâng. Khi ñoù coù theå thay Böôùc 2 ⎜ A = ⎜ m −2 m −1 m−2 ⎟ ⎟ baèng Böôùc 2′ nhö sau: ⎜ 2m − 1 m − 1 2m − 1 ⎟ ⎝ ⎠ Böôùc 2′: Tính ñònh thöùc detA: • Neáu detA ≠ 0 thì u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính. • Neáu detA = 0 thì u1, u2, ... , uk phuï thuoäc tuyeán tính. .v n Ta tính ñöôïc ñònh thöùc cuûa A laø: m(m-1)(m+1). Do ñoù: u1, u2, u3 ñoäc laäp tuyeán tính treân R ⇔ m ≠ 0; m ≠ ± 1. Ví duï 1: Trong khoâng gian R5 cho caùc vectô: u1 = (1, 2, -3, 5, 1); u2 = (1, 3, -13, 22, -1); 4h §4. KHOÂNG GIAN CON – TAÄP SINH – CÔ SÔÛ VAØ SOÁ CHIEÀU 4.1. Ñònh nghóa: Cho W laø moät taäp con khaùc ∅ cuûa Rn. Ta noùi W laø moät khoâng gian con cuûa R , kí hieäu W ≤ Rn, neáu W thoûa caùc tính chaát sau: n u3 = (3, 5, 1, -2, 5); u4 = (2, 3, 4, -7, 4); Haõy xeùt xem u1, u2, u3, u4 ñoäc laäp tuyeán tính hay phuï thuoäc tuyeán tính. c2 1) 0 ∈ W; 2) Vôùi moïi u, v ∈ W, u + v ∈ W; o 3) Vôùi moïi u ∈ W vaø α ∈ R, αu ∈ W. Giaûi toùm taét: Ví duï: Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, u3, u4 thaønh caùc doøng: ih 1) {0} vaø Rn laø hai khoâng gian con cuûa Rn. Ta goïi ñaây laø caùc khoâng gian con ⎛1 2 −3 1⎞ 5 ⎜ 1 ⎟ 3 −13 22 −1 ⎟ taàm thöôøng cuûa Rn. A=⎜ 2) Trong khoâng gian R3 xeùt ñöôøng thaúng (D) ñi qua goác toïa ñoä O vaø coù u ⎜3 5 1 −2 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 3 4 −7 4 ⎠ vectô chæ phöông laø v = (α, β, γ) . Khi ñoù phöông trình tham soá cuûa (D) laø: Duøng caùc pheùp BÑSCTD ta ñöa ñöôïc A veà daïng baäc thang (D) x = tα; y = tβ; z = tγ vôùi t ∈ R ⎛1 ⎜ R=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0 2 −3 5 1 ⎞ 0 0 0 0 0 0⎟ 0 0⎠ ⎟ 1 −10 17 −2 ⎟ ⎟ V Vì A ∼ R vaø R coù doøng 0 neân u1, u2, u3, u4 phuï thuoäc tuyeán tính. 3 Suy ra (D) = {t(α, β, γ) | t ∈ R}. Deã thaáy raèng caùc tính chaát trong Ñònh nghóa 4.1 ñöôïc thoûa ñoái vôùi (D). Do ñoù (D) laø moät khoâng gian con cuûa R3. 3) Trong khoâng gian R3 xeùt maët phaúng (P) ñi qua goác toïa ñoä O vaø coù hai vectô chæ phöông: v1 = (α1 , β1 , γ1 ) vaø v 2 = (α 2 , β2 , γ 2 ) Ví duï 2: Trong khoâng gian R cho caùc vectô: 7 8
Khi ñoù phöông trình tham soá cuûa (P) laø: Giaû söû W coù moät cô sôû B = {u1, u2,..., uk} goàm ñuùng k vectô. Khi ñoù, vôùi moïi (P): x = t1α1 + t2α2, y = t1β1 + t2β2, z = t1γ1 + t2γ2 (t∈R) taäp con S = {v1, v2,...,vh} cuûa W goàm h vectô, ta coù: Suy ra 1) Neáu h > k thì S phuï thuoäc tuyeán tính vaø do ñoù S khoâng theå laø moät cô sôû cuûa W. (P) = {(t1α1 + t2α2, t1β1 + t2β2, t1γ1 + t2γ2) | t1, t2 ∈ R} 2) Neáu h < k thì S thì < S > ≠ W, nghóa laø S khoâng laø moät taäp sinh cuûa W = {t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2) | t1, t2 ∈ R} vaø do ñoù S khoâng theå laø moät cô sôû cuûa W. 3) Moïi cô sôû khaùc cuûa W cuõng goàm ñuùng k vectô. Soá k chung ñoù ñöôïc goïi laø Deã thaáy raèng caùc tính chaát trong Ñònh nghóa 4.1 ñöôïc thoûa ñoái vôùi (P). Do ñoù (P) soá chieàu cuûa W, kí hieäu dimW. laø moät khoâng gian con cuûa R3. 4) Neáu k = dimW thì taäp con S = {v1, v2,...,vk} cuûa W goàm ñuùng k vectô laø 4.2. Ñònh lyù vaø Ñònh nghóa: moät cô sôû cuûa W khi vaø chæ khi v1, v2,...,vk ñoäc laäp tuyeán tính. Trong khoâng gian Rn cho caùc vectô u1, u2, ... , uk. Ñaët: ={u= α1u1 + α2u2 +...+ αkuk | αi ∈ R,∀1≤ i ≤ k} (= Taäp taát caû caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,..., uk) n Khi ñoù laø moät khoâng gian con cuûa R . Ta goïi: n 4.5. Cô sôû vaø soá chieàu cuûa khoâng gian Rn: .v 1) Cô sôû chính taéc vaø dimRn: n Trong khoâng gian R , xeùt B0 = {e1, e2, ..., en} trong ñoù: • laø khoâng gian con sinh bôûi u1, u2,..., uk. • {u1,u2,...,uk} laø moät taäp sinh cuûa . Ví duï: 4h e1 = (1, 0, 0,..., 0) e2 = (0, 1, 0,..., 0) ............................ 1) Trong khoâng gian R3, vôùi (D) laø ñöôøng thaúng ñi qua goác toïa ñoä O, coù vectô chæ phöông laø v = (α, β, γ), ta coù: (D) = {t(α, β, γ) | t ∈ R} = {tv| t ∈ R} = c2 Ta thaáy: en = (0, 0,..., 0, 1) o nghóa laø: (D) laø khoâng gian con sinh bôûi v. • B0 laø moät taäp sinh cuûa Rn vì: 2) Trong khoâng gian R3, vôùi (P) laø maët phaúng ñi qua goác toïa ñoä O, coù hai • B0 ñoäc laäp tuyeán tính . ih vectô chæ phöông laø v1 = (α1 , β1 , γ1 ) vaø v 2 = (α 2 , β2 , γ 2 ) , ta coù: Vaäy B0 = {e1, e2, ..., en} laø moät cô sôû cuûa Rn. Suy ra Rn coù soá chieàu baèng n. Ta (P) = {t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2) | t1, t2 ∈ R} goïi B0 = {e1, e2, ..., en} laø cô sôû chính taéc cuûa Rn. u = {t1v1+ t2v2 | t1, t2 ∈ R} = 2) Cô sôû baát kyø cuûa Rn: nghóa laø: (P) laø khoâng gian con sinh bôûi v1,v2. Vì dim Rn = n neân moïi cô sôû cuûa Rn phaûi goàm ñuùng n vectô. Hôn nöõa, töø 4.4 vaø 3.4 ta thaáy: Vôùi B = {u1, u2, ... , un} laø moät taäp con goàm ñuùng n vectô cuûa V 4.3. Ñònh nghóa: Rn, ta coù: Cho W laø moät khoâng gian con cuûa Rn vaø B = {u1, u2,..., uk} laø moät taäp con cuûa W. Ta noùi B laø moät cô sôû cuûa W neáu B laø moät taäp sinh ñoäc laäp tuyeán tính B = {u1, u2, ... , un} laø moät cô sôû cuûa Rn cuûa W. ⇔ u1, u2, ... , un ñoäc laäp tuyeán tính 4.4. Tính chaát: ⇔ detA ≠ 0, trong ñoù A laø ma traän coù ñöôïc baèng caùch xeáp u1, u2, ... , un thaønh caùc doøng. 9 10
Ví duï: vaø WA = . Ta goïi u1, u2, ..., um laø caùc vectô doøng cuûa A, vaø WA laø 4 khoâng gian doøng cuûa A. 1) Trong khoâng gian R , caùc vectô u1 = (1, 1, 1, 1) 5.2. Ñònh lyù: u2 = (2, 3, –1, 0) Neáu A vaø B laø hai ma traän töông ñöông doøng: A ∼ B thì WA = WB, nghóa laø A vaø B coù cuøng khoâng gian doøng. u3 = (–1, –1, 1, 1) 5.3. Nhaän xeùt: u4 = (1, 2, 1, –1) Vì caùc vectô doøng khaùc 0 cuûa moät ma traän daïng baäc thang luoân luoân ñoäc laäp taïo thaønh cô sôû cuûa R4 vì: tuyeán tính neân chuùng taïo thaønh moät cô sôû cuûa khoâng gian doøng. Töø ñaây ta suy ra 1 1 1 1 caùch tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cuûa khoâng gian doøng cuûa ma traän A nhö sau: 2 3 −1 0 • Duøng caùc pheùp BÑSCTD ñöa A veà daïng baäc thang R. = −6 ≠ 0 n −1 −1 1 1 • Soá chieàu cuûa khoâng gian doøng WA baèng soá doøng khaùc 0 cuûa R ( do ñoù 1 2 1 −1 baèng r(A)) vaø caùc vectô doøng khaùc 0 cuûa R taïo thaønh moät cô sôû cuûa WA. .v 2) Trong khoâng gian R3, caùc vectô 5.4. Caùch tìm soá chieàu vaø cô sôû cuûa moät khoâng gian con cuûa Rn khi u1 = (2m + 1, -m, m + 1) bieát moät taäp sinh: h u2 = (m-2, m – 1, m – 2) Giaû söû W = ≤ Rn (u1, u2, ..., um khoâng nhaát thieát ñoäc laäp tuyeán tính). Ñeå tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cuûa W ta tieán haønh nhö sau: u3 = (2m - 1, m – 1, 2m –1) 4 • Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, ..., um thaønh caùc doøng. taïo thaønh moät cô sôû cuûa R3 khi vaø chæ khi: det A ≠ 0 ⇔ m ≠ 0, ± 1 • Duøng caùc pheùp BÑSCTD ñöa A veà daïng baäc thang R. §5. KHOÂNG GIAN DOØNG 5.1. Ñònh nghóa: c2 • Soá chieàu cuûa W baèng soá doøng khaùc 0 cuûa R (do ñoù baèng r(A)) vaø caùc vectô doøng khaùc 0 cuûa R taïo thaønh moät cô sôû cuûa W. Ví duï: Cho ma traän A = (aij) loaïi m×n vôùi heä soá thöïc: o 1) Tìm moät cô sôû cho khoâng gian con cuûa R4 sinh bôûi caùc vectô u1, u2, u3, u4 trong ñoù: ih u1 = (1, 2, 1, 1) ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ a a 22 ... a 2n ⎟ u2 = (3, 6, 5, 7) A = ⎜ 21 u ⎜ ..... ...... ... ...... ⎟ ⎜ ⎟ u3 = (4, 8, 6, 8) ⎝ a m1 a m2 ... a mn ⎠ u4 = (8, 16, 12, 20) Ñaët: u1 = (a11, a12, ... , a1n) u2 = (a21, a22, ... , a2n) .................................. um = (am1, am2, ..., amn) V Giaûi toùm taét Khoâng gian W sinh bôûi u1, u2, u3, u4 laø khoâng gian doøng cuûa ma traän: 11 12
⎛1 2 1 1 ⎞ Cho W laø taäp taát caû caùc nghieäm (x1,x2,x3,x4) cuûa heä phöông trình tuyeán tính ⎜ ⎟ ⎜3 6 5 7 ⎟ thuaàn nhaát: A =⎜ 4 8 6 8⎟ ⎧ x1 + 2x 2 − 3x 3 + 5x4 = 0 ⎜ ⎟ ⎜ 8 16 12 20 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ x1 + 3x 2 − 13x 3 + 22x 4 = 0 ⎨ (1) Duøng caùc pheùp BÑSCTD ta ñöa A veà daïng baäc thang R nhö sau: ⎪3x1 + 5x 2 + x 3 − 2x4 = 0 ⎪2x1 + 3x2 + 4x 3 − 7x4 = 0 ⎩ ⎛1 2 1 1⎞ Ta giaûi heä (1) baèng phöông phaùp Gauss: ⎜ ⎟ 0 0 1 2⎟ R=⎜ ⎛1 2 −3 5 ⎞ ⎛ 1 2 −3 5 ⎞ ⎜0 0 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 −13 22 ⎟ ⎜ 0 1 −10 17 ⎟ ⎝0 0 0 0⎠ A=⎜ ∼ ⎜3 5 1 −2 ⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 3 4 −7 ⎠ ⎝ 0 0 0 0⎠ n Do ñoù W coù dimW = 3 vôùi cô sôû laø : B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)} Vaäy heä ñaõ cho töông ñöông vôùi heä sau: .v 4 2) Tìm moät cô sôû cho khoâng gian con cuûa R sinh bôûi caùc vectô u1, u2, u3 ⎧ x1 + 2x 2 − 3x 3 + 5x4 = 0 ⎨ trong ñoù: ⎩ x 2 − 10x3 + 17x 4 = 0 h u1 = (1, –2, –1, 3) Choïn x3 = α, x4 = β, ta tính ñöôïc: ⎧ x1 = −17α + 29β u2 = (2, –4, –3, 0) ⎨ u3 = (3, –6, –4, 4) Giaûi 2 4 ⎩ x2 = 10α − 17β Vaäy heä (1) coù voâ soá nghieäm vôùi hai aån töï do: (x1 , x 2 , x3 , x4 ) = (−17α + 29β,10α − 17β, α, β) c Khoâng gian W sinh bôûi u1, u2, u3 laø khoâng gian doøng cuûa ma traän: vôùi α, β ∈ R tuøy yù. Do ñoù: W =< (−17,10,1, 0); (29, −17, 0,1) > ⎛ 1 −2 −1 3⎞ Ñaët u1 = (-17,10,1,0); u2 = (29,-17,0,1). Ta coù W = , hôn nöõa deã thaáy u1, u2 o ⎜ ⎟ ñoäc laäp tuyeán tính neân {u1, u2} laø moät cô sôû cuûa W vaø dimW = 2. A ∼ ⎜ 0 0 −1 −6 ⎟ = R ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ Ta goïi W laø khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát ih (1) theo ñònh nghóa toång quaùt sau: W coù dimW = 3 vaø moät cô sôû B = {v1, v2, v3}, trong ñoù: v1 = (1, –2, -1, 3) u 5.2. Ñònh nghóa: v2 = (0, 0, -1, -6) Cho ma traän A = (aij) loaïi m×n vôùi heä soá thöïc: v3 = (0, 0, 0, 1) ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ §6. KHOÂNG GIAN NGHIỆM 6.1. Ví dụ minh họa: V Nhaän xeùt: Trong Ví duï 2, ma traän daïng baäc thang R khoâng coù doøng 0 neân u1, u2, u3 ñoäc laäp tuyeán tính, vaø do ñoù {u1, u2, u3} cuõng laø moät cô sôû cuûa W. ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜ ..... ⎜ ⎝ a m1 a 22 ... a 2n ⎟ ⎟ ...... ... ...... ⎟ a m2 ... a mn ⎠ ⎟ vaø W laø taäp taát caû caùc nghieäm (x1,x2,...,xn) cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát: AX = O, nghóa laø taäp taát caû caùc nghieäm cuûa heä: 13 14
⎧a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0 W1∩W2 = {u⏐u ∈ W1 vaø u ∈ W2}. ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n Khi ñoù ⎨ ⎪............................................... 1) W1+W2 vaø W1∩W2 laø caùc khoâng gian con cuûa Rn vaø ta coù ⎪a m1 x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = 0 ⎩ dim(W1+W2 ) = dim W1 + dim W2 – dim(W1∩W2) Khi ñoù W laø moät khoâng gian con cuûa Rn. Ta goïi W laø khoâng gian nghieäm cuûa heä 2) Neáu W1 = vaø W2 = thì phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát AX = O. W1+W2 = . 5.3. Caùch tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cuûa khoâng gian nghieäm: Ta goïi: Xeùt laïi Ví duï minh hoïa 5.1 ta thaáy W coù moät cô sôû laø {u1, u2} vôùi • W1+W2 laø khoâng gian toång cuûa W1, W2 . u1= (-17,10,1,0); u2 = (29,-17,0,1). Deã thaáy: • W1∩W2 laø khoâng gian giao cuûa W1, W2 . n • u1 ñöôïc suy töø nghieäm toång quaùt baèng caùch choïn α = 1, β = 0. 6.2. Ví duï: Trong khoâng gian R4 cho caùc vector • u2 ñöôïc suy töø nghieäm toång quaùt baèng caùch choïn α = 0, β = 1. .v u1 = (1, 2, 1, 1) v1 = (1, 3, 1, 1) Ta goïi {u1, u2} laø moät heä nghieäm cô baûn cuûa (1). u2 = (3, 6, 5, 7) v2 = (2, 7, 2, 2) Tröôøng hôïp toång quaùt, ñeå tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cuûa khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát AX = O, ta tieán haønh caùc böôùc sau: u3 = (4, 8, 6, 8) v3 = (3, 10, 4, 3) • Giaûi heä AX = O tìm nghieäm toång quaùt. • Tìm moät heä nghieäm cô baûn cuûa heä AX = O nhö sau: Giaû söû nghieäm toång quaùt cuûa heä AX = O phuï thuoäc vaøo k tham soá töï do α1, α2,..., αk: 4h u4 = (8, 16, 12, 20) v4 = (6, 21, 7, 6) Ñaët W1 = vaø W2 = a) Tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cho moãi khoâng gian W1, W2, W1+W2. - Choïn α1 = 1; α2 = 0,..., αk = 0, ta ñöôïc nghieäm u1. - Choïn α1 = 0; α2 = 1,..., αk = 0, ta ñöôïc nghieäm u2. .......................................................... .............. c2 b) Tìm soá chieàu cuûa W1∩W2. Giaûi toùm taét a) Tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cho moãi khoâng gian W1, W2, W1+W2. - Choïn α1 = 0; α2 = 0,..., αk = 1, ta ñöôïc nghieäm uk. o • W1 laø khoâng gian doøng cuûa ma traän: ih Khi ñoù {u1, u2,..., uk} laø moät heä nghieäm cô baûn. ⎛1 2 1 1 ⎞ ⎛1 2 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Nhaän xeùt: Coù theå tìm heä nghieäm cô baûn baèng caùch taùch caùc tham soá nhö 3 6 5 7 ⎟ ⎜0 0 1 2⎟ A1 = ⎜ ∼ trong ví duï minh hoïa 5.1. ⎜4 8 6 8 ⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u ⎝ 8 16 12 20 ⎠ ⎝ 0 0 0 0⎠ • Khoâng gian nghieäm W coù dimW = k vaø moät cô sôû laø heä nghieäm cô baûn {u1, u2,..., uk} ñaõ tìm. Vaäy W1 coù dimW1 = 3 vôùi cô sôû {a1, a2, a3}, trong ñoù a1= (1,2,1,2); a2= (0,0,1,2); a3= (0,0,0,1). V • §6. KHOÂNG GIAN TOÅNG VAØ KHOÂNG GIAN GIAO • W2 laø khoâng gian doøng cuûa ma traän: ⎛1 3 1 1⎞ ⎛1 3 1 1⎞ 6.1. Ñònh lyù: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 7 2 2⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟ A2 = ⎜ ∼ Cho W1,W2 laø hai khoâng gian con cuûa Rn. Ñaët: ⎜ 3 10 4 3⎟ ⎜0 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ W1+W2 = {u = u1 + u2⏐u1 ∈ W1, u2 ∈ W2}, ⎝ 6 21 7 6⎠ ⎝ 0 0 0 0⎠ 15 16
Vaäy W2 coù dimW2 = 3 vôùi cô sôû {b1, b2, b3}, trong ñoù b1= (1,3,1,1); b2= 0 ⎛ α1 ⎞ ⎜ 0⎟ (0,1,0,0); b3= (0,0,1,0). ⎜α ⎟ [u]B = ⎜ 2 ⎟ ⇔ u = α1 u1 + α 0u 2 + ... + α 0 u k 0 2 k • W 1 + W2 ⎜ .... ⎟ ⎜ α0 ⎟ Vì W1 = < a1, a2, a3> vaø W2 = < b1, b2, b3> neân ⎝ k⎠ W1 + W2 = < a1, a2, a3, b1, b2, b3 > Suy ra W1 + W2 laø khoâng gian doøng cuûa ma traän: 7.2. Heä quaû: ⎛1 2 1 1⎞ ⎛1 2 1 1⎞ Giaû söû B = {u1, u2, ..., uk} laø moät cô sôû cuûa W ≤ Rn trong ñoù: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 2⎟ ⎜ 0 1 0 0⎟ u1 = (u11, u21 ..., un1) ⎜0 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 1 0⎟ A=⎜ ⎟∼⎜ ⎟ u2 = (u12, u22 ..., un2) ⎜1 3 1 1⎟ ⎜0 0 0 1⎟ n ⎜0 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ................................ ⎜ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 0 ⎠ ⎝ 0⎟ ⎠ uk = (u1k, u2k ..., unk) .v Vaäy W1+W2 coù dim(W1+W2) = 4 vôùi cô sôû {c1, c2, c3, c4}, trong ñoù Khi ñoù vôùi moïi vectô u = (b1, b2 ..., bn) ∈ W, ta coù: c1= (1,2,1,1); c2= (0,1,0,0); c3= (0,0,1,0); c4= (0,0,0,1). ⎛ b1 ⎞ h b) Ta coù: ⎜ ⎟ b [u]B = X ⇔ UX = ⎜ 2 ⎟ dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 – dim(W1∩W2) ⎜ .... ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎝ bk ⎠ Suy ra: trong ñoù: 2 dim(W1∩W2 ) = dim W1 + dim W2 – dim(W1+W2) = 3 + 3 – 4 = 2. ⎛ u11 u12 ... u1k ⎞ c ⎜ ⎟ u u 22 ... u 2k ⎟ §7. TOÏA ÑOÄ VAØ MA TRAÄN CHUYEÅN CÔ SÔÛ U = ⎜ 21 ⎜ ..... ...... ... ...... ⎟ o ⎜ ⎟ 7.1. Ñònh lyù: ⎝ u n1 u n2 ... u nk ⎠ Cho W laø moät khoâng gian con cuûa Rn vaø B = {u1, u2, ..., uk} laø moät cô sôû laø ma traän coù ñöôïc baèng caùch döïng u1, u2, ..., uk thaønh caùc coät. ih cuûa W. Khi ñoù, vôùi moïi vectô u ∈ W, phöông trình: 7.3. Heä quaû: α1u1 + α2u2 + ... + αkuk = u (1) Ñoái vôùi cô sôû chính taéc B0 = {e1, e2, ..., en} cuûa khoâng gian Rn, ta coù: u luoân luoân coù duy nhaát moät nghieäm. Goïi (α1 , α 0 ,..., α 0 ) laø nghieäm cuûa (1). Ta ñaët: 0 2 k ⎛ α1 ⎞ 0 ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ α ⎜ ⎟ ∀u = (α1 , α 2 ,..., α n ) ∈ R n ,[u]B0 = ⎜ 2⎟. ⎜ α0 ⎟ ⎜ .... ⎟ Nhö vaäy, [u]B ⎜ .... ⎟ ⎜ α0 ⎟ ⎝ k⎠ V = ⎜ 2 ⎟ : Toïa ñoä cuûa vectô u theo cô sôû B. ⎜ ⎟ ⎝ αn ⎠ Noùi caùch khaùc, toïa ñoä cuûa vectô u theo cô sôû chính taéc Bo cuûa Rn chính laø ma traän coät töông öùng cuûa u. Ví duï: 17 18
1) Trong khoâng gian R3, moïi vectô u = (a, b, c) coù toïa ñoä theo cô sôû chính taéc B0 laø: Vaäy vôùi u = (a,b,c), ta coù: ⎛a⎞ ⎛ 4a − b − c ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ [u]B0 = ⎜ b⎟ [u]B = ⎜ −a + b − c ⎟ ⎜ c⎟ ⎜ −a + c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2) Trong khoâng gian R3, cho caùc vectô: u1 = (1, 2, 1) 7.4. Ñònh lyù: u2 = (1, 3, 1) Cho W laø moät khoâng gian con cuûa Rn coù dimW = k vaø hai cô sôû cuûa W u3 = (2, 5, 3) nhö sau: a) Chöùng minh B = {u1, u2, u3} laø moät cô sôû cuûa R3. b) Tìm toïa ñoä cuûa vectô u = (a,b,c) ∈ R3 theo cô sôû B. ⎜ n B1 = {u1, u2, ..., uk} .v B2 = {v1, v2, ..., vk} ⎛ p1 j ⎞ ⎟ p2 j ⎟ h Giaûi toùm taét Ñaët: [v j ]B1 = ⎜ , 1 ≤ j ≤ k vaø PB1 → B 2 laø ma traän vuoâng caáp k coù caùc coät laàn löôït ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎜ p kj ⎟ ⎟ 4 ⎝ ⎠ laø [v1 ]B1 ,[v2 ]B1 ,...,[v k ]B1 , nghóa laø: a) B = {u1, u2, u3} laø moät cô sôû cuûa R3 vì detA ≠ 0 ( detA=1 ). 2 ⎛ p11 p12 ... p1k ⎞ b) Vôùi u = (a,b,c), ta coù: ⎜ ⎟ p p22 ... p2k ⎟ PB1 → B 2 = ⎜ 21 c ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ... ... ... ... ⎟ [u]B = ⎜ α 2 ⎟ ⇔ α1u1 + α 2u 2 + α 3u 3 = u ⇔ UX = B (1) ⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ p k1 p k2 ... p kk ⎠ o ⎝ 3⎠ Khi ñoù PB → B2 khaû nghòch vaø laø ma traän duy nhaát thoûa: trong ñoù: 1 ih ∀u ∈ W, [u]B1 = PB1 → B2 [u]B2 ⎛ 1 1 2⎞ ⎛a⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ U = ⎜ 2 3 5 ⎟ ; B = ⎜ b ⎟ ; X = ⎜ α2 ⎟ Ta goïi PB laø ma traän chuyeån cô sôû töø B1 sang B2. → B2 ⎜1 1 3⎟ ⎜c⎟ ⎜α ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ 7.5. Meänh ñeà: Ta giaûi heä treân baèng phöông phaùp Gauss: Ta coù: ⎛1 1 2 a ⎞ ⎛1 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ a ⎞ ⎟ (U | B) = ⎜ 2 3 5 b ⎟ → ⎜ 0 1 1 −2a + b ⎟ ⎧α1 + α 2 + 2α 3 = a; ⎜ 1 1 3 c ⎟ ⎜ 0 0 1 −a + c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎧α1 = 4a − b − c; ⎠ V u Cho W laø moät khoâng gian con cuûa Rn coù dimW = k vaø B1, B2 , B3 laø ba cô sôû cuûa W. Khi ñoù: 1) PB 2 → B1 = (PB1 → B2 )−1 2) PB1 → B 3 = PB1 → B 2 PB2 → B 3 ⎪ ⎪ 7.6. Heä quaû: (1) ⇔ ⎨ α 2 + α 3 = −2a + b; ⇔ ⎨α 2 = − a + b − c; ⎪ α 3 = −a + c. ⎪α = −a + c. Cho B1= {u1, u2, ..., un}; B2 = {v1, v2, ..., vn} laø hai cô sôû cuûa khoâng gian Rn. ⎩ ⎩ 3 Goïi B0 = {e1, e2, ..., en} laø cô sôû chính taéc cuûa Rn. Khi ñoù: 19 20
1) PB 0 → B1 laø ma traän coù ñöôïc baèng caùch döïng caùc vectô u1, u2, ..., un ⎛ 4 −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ PB → B 0 = ⎜ −1 1 −1 ⎟ thaønh caùc coät. ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2)PB1 → B0 = (PB0 → B1 )−1 −1 Caùch 2: Duøng tính chaát: PB → B 0 = (PB 0 → B ) 3) Neáu qua moät soá pheùp BÑSCTD ma traän PB 0 → B1 bieán thaønh ma traän ñôn vò In thì cuõng chính qua nhöõng pheùp bieán ñoåi ñoù ma traän PB seõ bieán thaønh Vì B0 laø cô sôû chính taéc cuûa R3 neân ma traän PB 0 →B coù ñöôïc baèng caùch döïng 0 → B2 ma traän PB , nghóa laøø: caùc vectô u1, u2, u3 thaønh caùc coät: 1 → B2 BÑSCTD (PB0 → B1 PB 0 → B 2 ) ⎯⎯⎯⎯⎯ (In PB1 → B2 ) → ⎛1 1 2⎞ ⎜ ⎟ Ví duï: PB 0 → B = ⎜ 2 3 5 ⎟ . n ⎜1 1 3⎟ 1) Trong khoâng gian R3, cho caùc vectô: ⎝ ⎠ u1 = (1, 2, 1) Suy ra ma traän chuyeån cô sôû töø B sang B0 laø: .v u2 = (1, 3, 1) ⎛ 4 −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ PB → B 0 = (PB 0 → B )−1 = ⎜ −1 1 −1 ⎟ u3 = (2, 5, 3) h ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ a) Chöùng minh B = {u1, u2, u3} laø moät cô sôû cuûa R3. 4 ⎛1⎞ b) Tìm ma traän chuyeån cô sôû töø B sang cô sôû chính taéc B0 cuûa R3. c) Vôùi u = (1,2,-3) ta coù: [u]B = ⎜ 2 ⎟ . Suy ra: ⎜ ⎟ 0 ⎜ −3 ⎟ 2 c) Tìm toïa ñoä cuûa vectô u = (1,2,-3) theo cô sôû B. ⎝ ⎠ Giaûi toùm taét ⎛ 5⎞ Trong Ví duï 2 ôû treân ta ñaõ chöùng minh B = {u1, u2, u3} laø moät cô sôû cuûa R3. Sau ñaây ta tìm ma traän chuyeån cô sôû töø B sang cô sôû chính taéc B0 {e1, e2, e3 } cuûa R3. o c ⎜ ⎟ [u]B = PB → B0 [u]B 0 = ⎜ 4 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ 2) Trong khoâng gian R3 cho caùc vector phuï thuoäc tham soá m∈R: ih Caùch 1: Duøng ñònh nghóa: PB → B 0 = ([e1 ]B [e2 ]B [e3 ]B ) u1 = (1, 1+m, 2); Ñeå tìm caùc toïa ñoä [e1 ]B ; [e2 ]B ; [e3 ]B , tröôùc heát ta tìm toïa ñoä [u]B vôùi u = (a,b,c) u2 = (1, –1, –m); laø moät vectô tuøy yù trong R3. Nhaéc laïi raèng, trong Ví duï 2 ôû treân ta ñaõ tìm ñöôïc: [u]B ⎛ 4a − b − c ⎞ ⎜ ⎜ −a + c ⎟ ⎝ ⎟ = ⎜ −a + b − c ⎟ ⎠ V AÙp duïng keát quaû treân laàn löôït cho caùc vectô e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1), ta suy ra: u u3 = (1–m, 2, 3). a) Tìm ñieàu kieän ñeå B(m) = {u1, u2, u3} laø moät cô sôû cuûa R3. b) Ñaët B1 = B(1) vaø B2 = B(–1). Chöùng toû B1 vaø B2 laø hai cô sôû cuûa R3. Tìm caùc ma traän chuyeåncô sôû töø B1 sang B2 vaø töø B2 sang B0 trong ñoù B0 = {e1, e2, e3} laø cô sôû chính taéc cuûa R3. Haõy tìm [u]B ; [u]B vôùi u = (1, 0, 1). 1 2 Giaûi toùm taét a) Ñaët: 21 22
⎛ 1 1+ m 2 ⎞ ⎛ −3 −4 2 ⎞ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ A=⎜ 1 −1 −m ⎟ Suy ra: PB1 → B 2 = 6 7 4⎟ ⎜1 − m 3⎜ ⎝ 2 3 ⎟ ⎠ ⎜ 6 6 3⎟ ⎝ ⎠ Ta coù: det A = m(m + 2)(m -2) ⎛1⎞ Do ñoù B(m) laø cô sôû cuûa R3 khi vaø chæ khi m ≠ 0 vaø m ≠ ±2. Vôùi u = (1, 0, 1), ta coù: [u]B = ⎜ 0 ⎟ . Do ñoù: ⎜ ⎟ 0 ⎜1⎟ ⎝ ⎠ b) Caùc giaù trò m = 1 hay m = –1 ñeàu thoûa ñieàu kieän cuûa caâu a) neân B1 = B(1) vaø B2 = B(–1) laø hai cô sôû cuûa R3. Ta coù: ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ 1⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ B1 = B(1) = {(1, 2, 2); (1, –1, –1); (0, 2, 3)} [u]B 2 = PB 2 → B 0 [u]B 0 = ⎜ 2 ⎟ ; [u]B 1 = PB 1 → B 2 [u]B 2 = 3 ⎜ 4 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝1⎠ ⎝ ⎠ B2 = B(–1) = {(1, 0, 2); (1, –1, 1); (2, 2, 3)} ----------------------------------- n Do ñoù: ⎛ 1 1 0⎞ ⎛ 1 1 2⎞ .v ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PB 0 → B1 = ⎜ 2 −1 2 ⎟ ; PB 0 → B 2 = ⎜ 0 −1 2 ⎟ ⎜ 2 −1 3 ⎟ ⎜ 2 1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Suy ra: PB 2 → B 0 = (PB 0 → B 2 ) −1 = ⎛ −5 −1 4 ⎞ 1⎜ 3⎜ ⎟ 4 − 1 −2 ⎟ ⎜ 2 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 4h Ñeå tìm PB 1 →B2 ta duøng Heä quaû 6.6: ⎛ 1 1 0 1 1 2⎞ ⎛ 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ (PB 0 → B1 PB 0 → B 2 ) = ⎜ 2 −1 2 0 −1 2 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 0 ⎛ −3 −4 2 ⎞ ⎞ 1⎜ 3⎜ ⎟⎟ 6 7 4 ⎟ ⎟ = (I3 PB1 → B 2 ) c2 o ⎜ 2 −1 3 2 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎜ 6 6 3⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎛ −5 −1 4 ⎞ ih −1 1⎜ ⎟ PB 2 → B 0 = (PB 0 → B 2 ) = ⎜ 4 − 1 −2 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 2 1 −1 ⎠ u Ñeå tìm PB 1 → B2 ta duøng Heä quaû 6.6: PB1 → B 2 =PB1 → B 0 PB 0 → B 2 = (PB0 → B1 )-1PB 0 → B 2 V −1 ⎛1 1 0⎞ ⎛ 1 1 2⎞ ⎛ −3 −4 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ = ⎜ 2 −1 2 ⎟ ⎜ 0 −1 2 ⎟ = 3 ⎜ 6 7 4 ⎟ ⎜ 2 −1 3 ⎟ ⎜ 2 1 3⎟ ⎜ 6 6 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 23 24