B NG T NG K T LÝ THUY T CH NG 2Ả Ổ Ế Ế ƯƠ
STT KHÁI NI MỆQUY T C,TÍNH CH T,CÁCH CH NG MINHẮ Ấ Ứ
1
2
3
4
5
Vec t là đo n th ngơ ạ ẳ
đ nh h ng,m t đi m làị ướ ộ ể
m t đ u,đi m kia làộ ầ ể
đi m cu iể ố
Ba vec t g i là đ ngơ ọ ồ
ph ng n u giá c aẳ ế ủ
chúng cùng song song
v i m t m t ph ngớ ộ ặ ẳ
Hai đ ng th ng vuôngườ ẳ
góc khi và ch khi gócỉ
gi a chúng b ng 90ữ ằ 0
Đ ng th ng vuông gócườ ẳ
v i m t ph ng n u nóớ ặ ẳ ế
vuông góc v i m iớ ọ
đ ng th ng n m trongườ ẳ ằ
m t ph ng đó.ặ ẳ
Liên h gi a quan hệ ữ ệ
song song và vuông góc
c a đ ng th ng và m tủ ườ ẳ ặ
ph ng.ẳ
•Qui t c ba đi m: ắ ể
,AB BC AC OA OB BA+ = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
•Qui t c hình bình hành ABCD: ắ
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
•I là trung đi m AB: ể
0IA IB+ =
uur uur r
•AM là trung tuy n c a tam giác ABC:ế ủ
( )
1
2
AM AB AC= +
uuuur uuur uuur
•G là tr ng tâm tam giác ABC: ọ
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
•G là tr ng tâm t di n ABCD:ọ ứ ệ
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
•Cho
, ,abc
r r r
trong đó
,a b
r r
không cùng ph ng.ươ
đ ng ph ng ồ ẳ
⇔
có b s (m,n) duy nh t saoộ ố ấ
cho:
c ma nb= +
r r r
.
•N u ế
, ,abc
r r r
không đ ng ph ng thì v i m i vecồ ẳ ớ ỗ
t ơ
d
ur
ta tìm đ c b s (m,n,p) duy nh t saoượ ộ ố ấ
cho :
d ma nb pc= + +
ur r r r
•
( )
( )
( )
( )
0 0
, , ; , 90 , 90a b c d c d a b= = ⇒ =
.
•
( ), ( )a P b P a b⊥ ⇒ ⊥P
•
,a c c b a b⊥ ⇒ ⊥P
•
( )
( ), .
b
P
a P b hc a b a b
′ ′
⊂ = ⊥ ⇔ ⊥
.
•
. 0AB CD AB CD⊥ ⇔ =
uuur uuur
•N u đ ng th ng d vuông góc v i hai đ ngế ườ ẳ ớ ườ
th ng c t nhau,cùng n m trong m t ph ngẳ ắ ằ ặ ẳ
(P) thì d vuông góc v i (P).ớ
•Hai m t ph ng song song ,m t đ ng th ngặ ẳ ộ ườ ẳ
vuông góc v i m t ph ng này thì cũng vuôngớ ặ ẳ
góc v i m t ph ng kia.ớ ặ ẳ
•Hai m t ph ng phân bi t cùng vuông góc v iặ ẳ ệ ớ
m t đ ng th ng thì song song v i nhau.ộ ườ ẳ ớ
•Hai đ ng th ng song song ,m t m t ph ngườ ẳ ộ ặ ẳ
vuông góc v i đ ng th ng này thì cũngớ ườ ẳ
vuông góc v i đ ng th ng kia.ớ ườ ẳ
•Hai đ ng th ng phân bi t cùng vuông gócườ ẳ ệ
v i m t m t ph ng thì song song v i nhau.ớ ộ ặ ẳ ớ
•Cho a//(P),đ ng th ng nào vuông góc v i aườ ẳ ớ
thì cũng vuông góc v i (P).ớ
•N u m t đ ng th ng và m t m t ph ngế ộ ườ ẳ ộ ặ ẳ
(không ch a đ ng th ng đó)cùng vuông gócứ ườ ẳ
v i m t đ ng th ng thì chúng song song v iớ ộ ườ ẳ ớ
nhau.
BÀI T P LÀM THEO CH ĐẬ Ủ Ề
CH Đ 1Ủ Ề :VÉC T TRONG KHÔNG GIANƠ
A.PH NG PHÁPƯƠ :
Đ bi u di n m t véc t qua các véc t khác ,ch ng minh m t đ ng th c vécể ể ễ ộ ơ ơ ứ ộ ẳ ứ
t ,ch ng minh hai véc t vuông góc hay ba véc t đ ng ph ng …,ta s d ng các quyơ ứ ơ ơ ồ ẳ ử ụ
t c :ba đi m,hình bình hành,trung tuy n,trung đi m,tr ng tâm tam giác,tr ng tâm tắ ể ế ể ọ ọ ứ
di n,đ ng chéo hình h p.ệ ườ ộ
B.Ví dụ:
Ví d 1ụ:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Ch ng minh r ng:ứ ằ
1.
( )
) 2
)2
3 1
)2 2
i AB AD AS SB SD
ii SO BA SC DB
iii SO DC AD SB SD
+ − = +
− − =
+ − = −
uuur uuur uuur uur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uur uuur
2. Tìm đi m G sao cho ể
GS GA GB GC GD O+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur ur
Ví d 2ụ:Cho hình h p ABCD.Aộ/B/C/D/ có tâm hai đáy l n l t là O và Oầ ượ /.Các véc tơ
, ,AB a AD b AA c
′
= = =
uuur r uuur r uuur r
.Hãy bi u di n các vec t ể ễ ơ
, , , ,BD A C B D DO C O
′ ′ ′ ′ ′
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
theo
, ,a b c
r r r
.
Ví d 3ụ:Cho t di n ABCD,G là tr ng tâm tam giác BCD,I là trung đi m AG,M làứ ệ ọ ể
đi m b t kỳ.Ch ng minh r ng:ể ấ ứ ằ
) 3
)3
a MB MC MD MG
b IA IB IC ID O
+ + =
+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur
uur uur uur uur ur
Ví d 4:ụ Cho hình h p ộ
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
có tâm hai đáy l n l t là O và Oầ ượ /.M là trung
đi m c a BC,các vec t ể ủ ơ
, ,AB a AD b AA c
′
= = =
uuur r uuur r uuur r
.Hãy bi u di n các vec tể ễ ơ
, , , , ,AD O O CC BA C D O M
′ ′ ′ ′ ′ ′
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
theo
, ,a b c
r r r
,r i suy ra các b ba vec t đ ng ph ng :ồ ộ ơ ồ ẳ
( ) ( )
, , ; , ,AD O O CB BA C D O M
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
.
C.BÀI T PẬ:
Bài 1: Cho hình h p ộ
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
.
, ,AB a AC b AA c
′
= = =
uuur r uuur r uuur r
.G i I là trung đi m Bọ ể /
C/,K là giao đi m c a Aể ủ /I và B/D/.Hãy bi u di n các vec t ể ễ ơ
, ,AI AK DK
uur uuur uuur
theo
, ,a b c
r r r
.
Bài 2:Cho t di n OABC có OA=OB=OC.K các tia phân giác OM,ON,OP c a cácứ ệ ẻ ủ
góc AOB,BOC,COA.Ch ng minh r ng:N u trong ba tia OM,ON,OP có hai tia vuôngứ ằ ế
góc thì t ng c p tia còn l i cũng vuông góc t ng đôi m t.ừ ặ ạ ừ ộ
Bài 3:Cho t di n ABCD.Ch ng minh r ng:ứ ệ ứ ằ
1)
( )
2 2 2 2
1
) . .
2
) . . .
a AB CD AD BC AC BD
b AB CD AC DB AD BC O
= + − −
+ + =
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur
2)N u AB vuông góc v i CD và AC vuông góc v i DB thì AD vuông góc v i BC.ế ớ ớ ớ
Bài 4: Cho hình h pộ
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
.M t m t ph ng c t b n c nh hình h pộ ặ ẳ ắ ố ạ ộ
AA/,BB/,CC/,DD/ theo th t t i M,N,P,Q.G i E,F l n l t là trung đi m c a AC vàứ ự ạ ọ ầ ượ ể ủ
MP.G i G và Gọ/ l n l t là tr ng tâm các tam giác ABC và MNP.Ch ng minh r ng:ầ ượ ọ ứ ằ
( ) ( )
( )
1 1
) .
2 4
1
)3
a EF AM CP AM BN CP DQ
b GG AM BN CP
= + = + + +
′= + +
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
uuuur uuuur uuur uuur
Bài 5:Trong không gian cho ba vec t ơ
, ,a b c
r r r
không đ ng ph ng.ồ ẳ
a)G i ọ
2 , 3 , 2 3x a b y b c z c a= − = − = −
r r r ur r r r r r
.Ch ng minh ba vec t ứ ơ
, ,x y z
r ur r
đ ng ph ng.ồ ẳ
b)Ch ng minh ba vec t ứ ơ
, ,la mb nb lc mc na− − −
r r r r r r
đ ng ph ng.ồ ẳ
Bài 6: Cho hình h pộ
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
..G i G và Gọ/ l n l t là tr ng tâm các tam giácầ ượ ọ
A/BD và B/CD.
a)Ch ng minh A,G,Gứ/ th ng hàng và AG=GGẳ/=G/C.
b)Tính AC/ theo AA/=a,AB=b,AC=c,
·
·
·
, ,BAD DAA BAA
α β γ
′ ′
= = =
.
CH Đ 2Ủ Ề .TÍNH GÓC GI A HAI Đ NG TH NGỮ ƯỜ Ẳ
A.PH NG PHÁPƯƠ :
Đ tính góc gi a hai đ ng th ng a,b chéo nhau trong không gian ta có th áp d ngể ữ ườ ẳ ể ụ
m t trong hai cách sau:ộ
•Tìm m t góc gi a hai đ ng th ng c t nhau l n l t song song v i hai đ ngộ ữ ườ ẳ ắ ầ ượ ớ ườ
th ng a,b;đ a vào m t tam giác,s d ng các h th c trong tam giác (đ c bi t làẳ ư ộ ử ụ ệ ứ ặ ệ
đ nh lý cosin)ị
•L y các vec t ấ ơ
;u v
r r
cùng ph ng v i a,b ,bi u di n ươ ớ ể ễ
;u v
r r
qua các vec t đãơ
bi t,tính ế
cos( , )u v
r r
r i suy ra góc (a,b).ồ
B.Ví d :ụ
Ví d 1ụ: Cho hình h pộ
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
có t t c các c nh b ng nhau và b ng a,ấ ả ạ ằ ằ
·
·
·
0 / 0
60 , 120BAD BAA DAA′
= = =
.G i O,Oọ/ là tâm hai đáy hình h p.Tính:ộ
·
( )
·
( )
·
( )
·
( )
, , , , , , ,A B AC AC BC B O DC DO AC
′ ′ ′ ′ ′
.
Ví d 2ụ:Cho t di n ABCD có AB =AC=AD=a;BC=CD=DB= ứ ệ
2a
.
a)Tính
·
( )
,AC BD
b)Ch ng minh r ng AB ứ ằ
⊥
CD,AD
⊥
BC.
C.BÀI T PẬ:
Bài 1:Cho t di n ABCD có tam giác ABC vuông cân đ nh B,AB=a,tam giác ADCứ ệ ở ỉ
vuông cân đ nh A,BD= ở ỉ
3a
.Tính
·
( )
·
( )
, , ,AB DC AD BC
.
Bài 2: Cho hình lăng tr ABC.Aụ/B/C/ đáy là tam giác đ u c nh a , ề ạ
· ·
0
60BAA CAA
′ ′
= =
c nh bên AAạ/=a.G i I là tâm m t bên AAọ ặ /B/B.Tính góc gi a ICữ/ v i AB và BC.ớ
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh a;SAB,SAC,SAD là các tamạ
giác vuông cân đ nh A.ở ỉ
a)Tính
·
( )
·
( )
·
( )
·
( )
, , , , , , ,SA BC SB DC AB SD SC AD
.
b)G i E là đi m thu c c nh AD sao cho AE=b (0<b<a),(P) là m t ph ng qua E vàọ ể ộ ạ ặ ẳ
song song v i m t ph ng (SAB).Xác đ nh và tính di n tích thi t di n c a hình chópớ ặ ẳ ị ệ ế ệ ủ
c t b i m t ph ng (P).ắ ở ặ ẳ
CH Đ 3Ủ Ề .CH NG MINH Đ NG TH NG VUÔNG GÓC V I M T PH NGỨ ƯỜ Ẳ Ớ Ặ Ẳ .
A.PH NG PHÁPƯƠ :
Đ ch ng minh đ ng th ng a vuông góc v i m t ph ng (P) ta th ng s d ng m tể ứ ườ ẳ ớ ặ ẳ ườ ử ụ ộ
trong hai cách sau:
•Ch ng minh a vuông góc v i hai đ ng th ng c t nhau trong (P).ứ ớ ườ ẳ ắ
•Ch ng minh a//b ,b vuông góc v i (P).ứ ớ
B.VÍ DỤ:
Ví d 1ụ:Cho t di n ABCD có AB vuông góc v i BC và BD,tam giác BCD vuông t iứ ệ ớ ạ
C.k BE vuông góc v i AC,EF vuông góc v i AC (F thu c AD).Ch ng minh:ẻ ớ ớ ộ ứ
a)CD
⊥
(ABC).
b)BE
⊥
(ACD).
c)EF
⊥
(ABC).
Ví d 2:ụCho t di n ABCD có AB,AC,AD vuông góc t ng đôi m t.G i H là tr c tâmứ ệ ừ ộ ọ ự
tam giác BCD,ch ng minh AH ứ
⊥
(BCD).
Ví d 3ụ:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD,SA
⊥
(ABCD).G i M,Nọ
l n l t là trung đi m c a SB,SC.Ch ng minh:ầ ượ ể ủ ứ
a)BD
⊥
(SAC).
b)MN
⊥
(SAB).
C.BÀI T PẬ:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có SB
⊥
(BCD).G i H là tr c tâm tam giác BCD,ch ngọ ự ứ
minh r ng:ằ
a)DH
⊥
(ABC).
b)CH
⊥
(ABD).
c)CD
⊥
(ABH).
Bài 2:Cho t di n ABCD có AC=AD và BC=BD.G i M là trung đi m c a CD,H làứ ệ ọ ể ủ
chân đ ng cao k t A c a tam giác AMB.Ch ng minh r ng:ườ ẻ ừ ủ ứ ằ
a)CD
⊥
(AMB).
b)AH
⊥
(BCD).
Bài 3:Cho t di n ABCD có DAứ ệ
⊥
(ABC).G i H,K l n l t là tr ng tâm tam giác ABCọ ầ ượ ọ
và tam giác BCD.Ch ng minh r ng:ứ ằ
a)HK
⊥
(BCD).
b)BD
⊥
(CHK).
Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông c nh a,tam giác SAB đ u.G i H,I l nạ ề ọ ầ
l t là trung đi m c a AB và CD,cho SC=ượ ể ủ
2a
,HK
⊥
SI.Ch ng minh r ng:ứ ằ
a)SH
⊥
(ABCD).
b)HK
⊥
(SDC).
CH Đ 4Ủ Ề :CH NG MINH HAI Đ NG TH NG VUÔNG GÓC V I NHAUỨ ƯỜ Ẳ Ớ .
A.PH NG PHÁPƯƠ :
Đ ch ng minh đ ng th ng a vuông góc v i đ ng th ng b ta có th áp d ng m tể ứ ườ ẳ ớ ườ ẳ ể ụ ộ
trong các cách sau:
•Ch ng minh góc gi a a và b b ng 90ứ ữ ằ 0.
•Ch ng minh a vuông góc v i m t ph ng ch a b.ứ ớ ặ ẳ ứ