Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

Ậ DÃY CÁC S VI T THEO QUY LU T

ủ

Ố Ế ố ứ ố ạ Bài 1: Tìm s h ng th n c a các dãy s sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ... f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ... h) 3, 6, 10, 15, 21, ... i) 2, 8, 20, 40, 70, ...

ẫ ướ

(

H ng d n: a) n(n+2) b) (3n2)3n n n + ( 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n2)(3n+1) 3) g)

n n (

n n + ( 2 + 1)( 2 1)( 3 Bài 2: Tính:

a,A = 1+2+3+…+(n1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100

ướ ẫ H ng d n:

a,A = 1+2+3+…+(n1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(41)+3.4.(52)+...+99.100.(10198) 3A = 1.2.3+2.3.41.2.3+3.4.52.3.4+...+99.100.10198.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300

ổ

T ng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n 1) n A = (n1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính:

A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ướ ẫ Các chuyên đ B i d H ng d n:

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) A = 333300 + 4950 = 338250

ổ A = 1.3+2.4+3.5+...+(n1)(n+1)

T ng quát: A= (n1)n(n+1):3 + n(n1):2 A= (n1)n(2n+1):6

Bài 4: Tính:

A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102

ướ ẫ H ng d n:

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) A = 333300 + 9900 A = 343200

Bài 5: Tính:

A = 4+12+24+40+...+19404+19800

ẫ ướ

A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100

H ng d n: 1 2 A= 666600

Bài 6: Tính:

A = 1+3+6+10+...+4851+4950

ướ ẫ H ng d n:

2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 A= 333300:2 A= 166650

Bài 7: Tính:

A = 6+16+30+48+...+19600+19998

ướ ẫ H ng d n:

2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 A = 338250:2 A = 169125

Bài 8: Tính:

A = 2+5+9+14+...+4949+5049

ướ ẫ H ng d n:

2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 A = 343200:2 A = 171600

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d Bài 9: Tính:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100

ướ ẫ H ng d n:

4A = 1.2.3.4+2.3.4(51)+3.4.5.(62)+...+98.99.100.(10197) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.51.2.3.4+3.4.5.62.3.4.5+...+98.99.100.10197.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755

ổ T ng quát:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n2)(n1)n A = (n2)(n1)n(n+1):4

Bài 10: Tính:

A = 12+22+32+...+992+1002

ướ ẫ H ng d n:

A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050

ổ T ng quát:

A = 12+22+32+...+(n1)2+n2 A = (n1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6

Bài 11: Tính:

A = 22+42+62+...+982+1002

ướ ẫ H ng d n:

A = 22(12+22+32+...+492+502)

Bài 12: Tính:

A = 12+32+52+...+972+992

ướ ẫ H ng d n:

A = (12+22+32+...+992+1002)(22+42+62+...+982+1002) A = (12+22+32+...+992+1002)22(12+22+32+...+492+502)

Bài 13: Tính:

A = 1222+3242+...+9921002

ướ ẫ H ng d n:

A = (12+22+32+...+992+1002)2(22+42+62+...+982+1002)

Bài 14: Tính:

A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992

ướ ẫ H ng d n:

A = 1.2(31)+2.3(41)+3.4(51)+...+98.99(1001) A = 1.2.31.2+2.3.42.3+3.4.53.4+...+98.99.10098.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)(1.2+2.3+3.4+...+98.99)

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d Bài 15: Tính:

A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101

ướ ẫ H ng d n:

A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)

A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99) Bài 16: Tính:

A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102

ướ ẫ H ng d n:

A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50)

Bài 17: Tính:

A = 13+23+33+...+993+1003

ướ ẫ H ng d n:

A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002) A = [1.2(31)+2.3(41)+3.4(51)+...+98.99(1001)] +(12+22+32+...+992+1002) A = 1.2.31.2+2.3.42.3+3.4.53.4+...+98.99.100 98.99+(12+22+32+... +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...+992+1002)

Bài 18: Tính:

A = 23+43+63+...+983+1003

ẫ ướ

H ng d n: Bài 19: Tính:

A = 13+33+53+...+973+993

ẫ ướ

H ng d n: Bài 20: Tính:

A = 1323+3343+...+9931003

ướ ẫ H ng d n: Chuyên đ :ề Ứ

Ỉ Ệ

Ỉ Ố Ằ

Ấ

Ủ T L TH CTÍNH CH T C A DÃY T S B NG NHAU

Ơ Ở

Ế

A. C S LÍ THUY T

Ỉ Ệ ị Ứ I. T L TH C 1. Đ nh nghĩa:

a (cid:0) b

c d

ỉ ệ ứ ứ ủ ộ ẳ ặ T l ỉ ố th c là m t đ ng th c c a hai t s (ho c a : b = c : d).

ố ố ạ ủ ỉ ệ ứ ọ c g i là các s h ng c a t l ạ ố ạ th c; a và d là các s h ng ngoài hay ngo i

ượ ố ạ

Các s a, b, c, d đ ỉ ỉ t , b và c là các s h ng trong hay trung t . 2. Tính ch t:ấ

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d ad (cid:0) Tính ch t 1ấ : N u ế

thì và a, b, c, d 0(cid:0) Tính ch t 2ấ : N u ế

a (cid:0) b ad (cid:0) a (cid:0) c

c d bc b d

b a

, , , thì ta có các t l d (cid:0) b ỉ ệ ứ th c sau: d (cid:0) c

a (cid:0) b ậ

c a T m t trong năm đ ng th c trên ta có th suy ra các đ ng th c còn l

ứ ể ẳ ạ i.

c d Nh n xét: II. TÍNH CH T C A DÃY T S B NG NHAU

a (cid:0) b

ca db

ừ ộ Ấ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ấ Tính ch t: T suy ra: (cid:0) (cid:0) Ủ c d ẳ ứ Ỉ Ố Ằ a c b d

...

ca db ỉ ố ằ cba db f

c d

e f

e f ỉ ố

ấ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) suy ra: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tính ch t trên còn m r ng cho dãy t s b ng nhau: cba db f

a b ế thi

ả ở ộ a b ề (gi t các t s trên đ u có nghĩa).

b 3

c 5

a 2 t a : b : c = 2 : 3 : 5

(cid:0) (cid:0) ỉ ệ ớ ố ta nói các s a, b, c t l ố v i các s 2, 3, 5. ỉ ố * Chú ý: Khi có dãy t s

Ta cũng vi

Ạ

ƯƠ

ế B. CÁC D NG TOÁN VÀ PH

Ị Ủ Ạ

Ả NG PHÁP GI I Ứ

Ỉ Ệ Ế D NG I: TÌM GIÁ TR C A BI N TRONG CÁC T L TH C.

(cid:0) y

x (cid:0) 2

y 3

(cid:0) ố ế t và Ví d 1ụ : Tìm hai s x và y bi

iả :

ặ ẩ Gi ụ Cách 1: (Đ t n ph )

2(cid:0)

3(cid:0) k

x 2

(cid:0) (cid:0) Đ t ặ , suy ra: ,

k 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

x t: 8 12

(cid:0)

y 3 ả thi (cid:0)x (cid:0)y ,8

(cid:0) (cid:0)

ế 4.2 4.3 y 12 ử ụ ỉ ố ằ

20 5

ỉ ố ằ ấ ủ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Theo gi Do đó: KL: ấ ủ Cách 2: (s d ng tính ch t c a dãy t s b ng nhau): Áp d ng tính ch t c a dãy t s b ng nhau ta có: x 2 ụ y 3

x y 32 x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Do đó:

y 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

x y KL: Cách 3: (ph

(cid:0) (cid:0)

12 ế ươ ng pháp th ) x y 2 2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ả ế T gi thi t

y 3 y 2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mà

ồ ưỡ ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

(cid:0)x

(cid:0) Do đó: ề 12.2 3 (cid:0) (cid:0) KL:

x (cid:0) 3

y 4

y (cid:0) 3

z 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) t: ế và , Ví d 2ụ : Tìm x, y, z bi

Gi i:ả

x 9

x 3

y 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ả ế (1) T gi thi t:

y 3

z 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (2)

(cid:0) (cid:0) ừ T (1) và (2) suy ra: (*)

y 12 x 9 x 2 18

y 12 z 20 y 12 y 3 36

z 20 z 20

x 2 18

y 3 36

z 20

6 2

z 20

y 12

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Do đó:

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 9 x 9 y 12 z 20 ,27

,36

(cid:0) (cid:0) (cid:0) KL:

y 12

x 9

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ặ ả ư ủ ( sau đó gi i nh cách 1 c a VD1). Cách 2: Sau khi làm đ n (*) ta đ t

z 20 ng pháp th : ta tính x, y theo z)

ế

ừ ả Cách 3: (ph ế T gi thi

z 5

z 3 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ t: y 3

x 3

z 3 5 4

y 4

y 3 4

z 9 20

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

z 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mà

(cid:0)y

z 9 20 (cid:0)x

z 3 5 60.9 20

(cid:0) (cid:0) Suy ra: ,

60.3 5 y

,27

,36

(cid:0)yx .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) KL:

x (cid:0) 2

y 5

ố ế ằ và t r ng: Ví d 3ụ : Tìm hai s x, y bi

iả :

ặ ẩ Gi ụ Cách 1: (đ t n ph )

2(cid:0)

5(cid:0)

x 2

(cid:0) (cid:0) Đ t ặ , suy ra ,

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

(cid:0)x (cid:0)y

40 2.2 2.5

kk 5.2 4 10

y 5 ả ế Theo gi thi t: yx . 2(cid:0)k + V i ớ ta có:

(cid:0)

(cid:0)k

2(cid:0)

ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

4 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

)2.(2 )2.(5 x

(cid:0)x (cid:0)y ho c ặ

y ,4 ấ ủ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y 10 ử ụ 0(cid:0)

ỉ ố ằ

ể ề Các chuyên đ B i d + V i ớ ta có: ,4 KL: Cách 2: ( s d ng tính ch t c a dãy t s b ng nhau) Hi n nhiên x

x (cid:0) 2

y 5

x 2

xy 5

40 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ủ ả ớ ượ Nhân c hai v c a v i x ta đ c:

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

4(cid:0)x

5.4 2

4 2

y 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + V i ớ ta có

(cid:0)x

4(cid:0)

y 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + V i ớ ta có

4 2 ho c ặ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 10 ươ ng pháp th ) làm t

x y KL: Cách 3: (ph

ế ụ ng t

Ụ

5.4 2 10 ươ ủ ự cách 3 c a ví d 1. Ậ Ậ BÀI T P V N D NG:

ế ằ ố t r ng:

124

z 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) và b) , và

y (cid:0) 5 (cid:0)xy

x (cid:0) 3 x (cid:0) 2

y 4 y 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và c) d) và Bài 1: Tìm các s x, y, z bi z 21 z 4 5

(cid:0) y

z y

y x

x z

x 10 x 2 3 x (cid:0) 5

y 6 y 3 4 y 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e) và f) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ế ằ ố t r ng:

124

z 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) và b) , và

y (cid:0) 5 (cid:0)xy

x (cid:0) 3 x (cid:0) 2

y 4 y 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và c) d) và Bài 2: Tìm các s x, y, z bi z 21 z 4 5

(cid:0) y

z y

y x

x z

x 10 x 2 3 x (cid:0) 5

y 6 y 3 4 y 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e) và f) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y 7,2

ố ế ằ t r ng: Bài 3: Tìm các s x, y, z bi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) và b) và

xyz

810

3 z 5

y 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) và d) và

2 x 2 10 (cid:0) x

(cid:0) y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e) f) và (cid:0) (cid:0)

1 y x t r ng:

z x y y x z ố : Tìm các s x, y, z bi

y 7,2

ế ằ Bài 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) và b) và

xyz

810

3 z 5

2 x 2

y 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) và d) và

10 (cid:0) x

(cid:0) y

1 y

z x

ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Các chuyên đ B i d 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f) và e) (cid:0) (cid:0)

21 18

61 x 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ề x y Bài 5: Tìm x, y bi y (cid:0) (cid:0)

21 18

y z ế ằ t r ng: y 41 24 ế ằ t r ng: y 41 24

61 x 6

Bài 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) : Tìm x, y bi y (cid:0) (cid:0)

dcba

0(cid:0)

c dba

d cba

a dcb dc ba =

b dca d a cb =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và Bài 7: Cho (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ Tìm giá tr c a: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

dcba

0(cid:0)

ba dc c + + a b d

cb da d = + + a b c

a + + b c d

b + + a c d

+ + + a b c d + + + a b c d

)

1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) i: ả ( Vì )

ươ ự Gi =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a3b= b a => 3(a b) = (ab) =>4(ab) = 0 =>a=b T =>a=b=c=d=>A=4 ng t

ố ế ằ t r ng:

x y

7 3

x 19

Bài 8: Tìm các s x; y; z bi = và 5x – 2y = 87; a) b) và 2x – y = 34;

y 21 + 2x 1 5

2x 3y 1 6x

x 8

y 64

- - b) và x2 + y2 + z2 = 14. c)

z 216 Bài 9: Tìm các s a, b, c bi Bài 10: Tìm các s x, y, z bi

3y 2 7 ế ằ t r ng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. ế t : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y)

ố ố

ặ Giai a) Đáp s : x = 9; y = 12; z = 15 ho c x = 9; y = 12; z = 15.

ố ừ ề

ừ b) T đ bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. T đó tìm đ c : x = 4/3; y = 2/3.

ế ằ ệ ủ ằ ươ ủ ằ t r ng hi u c a a và b b ng th ng c a a và b và b ng hai

0(cid:0)

ượ ừ ượ ố ữ ỉ Bài 11. Tìm hai s h u t a và b bi ủ ầ ổ l n t ng c a a và b ? c: a = 3b, t Giai. Rút ra đ

ế ỉ ố ằ ỗ ỉ ố ị ủ t a+b+c .Tìm giá tr c a m i t s đó ? Bài 12: Cho ba t s b ng nhau: đó suy ra : a = 2,25; b = 0,75. c + . Bi

ố ọ ng THCS l n l v i 9;10;11;8. Bi ế ằ t r ng

b + a a b ộ ườ ố

ố ủ ườ ng đó?

ầ ượ ỉ ệ ớ t t l ố ọ ứ ẳ ỏ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

) +

)

2 c d

+ ab

= � 1) �

- - i: ả ứ ab ậ ( � ab ab �

a + b c c ủ ố Bài 13. S h c sinh kh i 6,7,8,9 c a m t tr ơ ố ọ ề ố ọ s h c sinh kh i 6 nhi u h n s h c sinh kh i 9 là 8 em. Tính s h c sinh c a tr ế ố ằ Bài 14: Ch ng minh r ng n u có các s a, b, c, d th a mãn đ ng th c: 2 2 ab dc ab ab 2 2 (2 ộ ỉ ệ ứ thì chúng l p thành m t t l th c. ( + � � ab ab . 2 Gi � � => ab(ab2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 v i m i a,b) =>a2b22abcd+ c2d2=0 =>(abcd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

ớ ọ

ề ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

Ứ

Ạ

D NG II: CH NG MINH T L TH C

ồ ưỡ Ỉ Ệ

C D

A (cid:0) B ỏ ằ

ể ứ ỉ ệ ứ ườ ộ ố ươ Đ ch ng minh t l th c: ta th ng dùng m t s ph ng pháp sau:

ươ ứ : Ch ng t r ng A. D = B.C Ph ng pháp 1

ươ ỏ ằ ứ : Ch ng t ỉ ố r ng hai t s và có cùng giá tr .ị Ph ng pháp 2

C D ấ ủ ỉ ệ ứ th c.

ử ụ ng pháp 3

A B : S d ng tính ch t c a t l ứ ầ

Ph M t s ki n th c c n chú ý:

(

(cid:0) (cid:0) +) ươ ộ ố ế a na b nb

a b

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) +) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ả ế ỉ ố ề

a b ộ ố

c d

ba ba

ọ : ( gi thi Sau đây là m t s ví d minh h a (cid:0) (cid:0) (cid:0) ỉ ệ ứ ứ ằ th c .Ch ng minh r ng: Ví d 1ụ : Cho t l (cid:0) (cid:0) ụ a (cid:0) b t các t s đ u có nghĩa) dc dc

iả :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ac ac

ad ad

bc bc

bd bd

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi Cách 1: (PP1) dcba ( )( Ta có: dcba ( )( (1) (2)

) ) c d

a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ả ế T gi thi t: (3)

(

dcba )(

)

(

dcba )(

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ T (1), (2), (3) suy ra:

ba ba

dc dc

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đpcm) (cid:0) (cid:0)

Cách 2: (PP2)

a b

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t ặ , suy ra

ba ba

kb kb

b b

k k

kb ( kb (

)1 )1

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

dc dc

kd kd

d d

k k

kd ( kd (

)1 )1

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ba ba

dc dc

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ T (1) và (2) suy ra: (đpcm) (cid:0) (cid:0)

Cách 3: (PP3)

a b

c d

a c

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ả ế T gi thi t:

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ỉ ố ằ ấ ủ ụ Các chuyên đ B i d Áp d ng tính ch t c a dãy t s b ng nhau ta có:

a c

b d

ba dc

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ba ba

dc dc

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đpcm) (cid:0) (cid:0)

ả ạ i có đúng không ? H iỏ : Đ o l

a (cid:0) b

c d

ab cd

a c

b d

(cid:0) (cid:0) ỉ ệ ứ ứ ằ th c . Ch ng minh r ng: Ví d 2ụ : Cho t l (cid:0)

Gi iả :

a b

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ả ế Cách 1: T gi thi t: (1)

cab

abc

abd

acbc

adbd

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: (2)

acd

2 cdb 2

acad 2

bd bc . 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

cab

acd

2 cda T (1), (2), (3) suy ra:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (3) (cid:0)2 b ừ

ab cd

a c

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (đpcm) (cid:0)

a b

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cách 2: Đ t ặ , suy ra

ab cd

bbk . ddk .

kb kd

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: (1)

a c

b d

2 kb 2 kd

b d

2 kb 2 kd

b d

bk ( dk (

) )

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ab cd

a c

b d

(cid:0) (cid:0) ừ T (1) và (2) suy ra: (đpcm) (cid:0)

ab cb

a b

c d

a c

b d

a c

b d

a c

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ả ế thi t: Cách 3: T gi (cid:0)

ab cd

a c

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (đpcm) (cid:0)

Ụ

Ậ

Ậ BÀI T P V N D NG:

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

a (cid:0) b

c d

ỉ ệ ứ ỉ ệ ứ ứ ớ ả ế th c: ằ . Ch ng minh r ng ta có các t l th c sau: (v i gi thi t các t s ỉ ố Bài 1: Cho t l

ề đ u có nghĩa).

a 3 a 3

b 5 b 5

c 3 c 3

d 5 d 5

ba dc

a c

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2) 1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) 2

ab cd

ba ba

dc dc

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4) 3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a 2005 c 2006

b 2006 d 2007

c 2005 a 2006

d 2006 b 2007

a 2 a 3

b 5 b 4

c 2 c 3

d 5 d 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6) 5) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a ba

c dc

a a

7 7

ac 5 ac 5

b 7 b 7

bd 5 bd 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8) 7) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a (cid:0) b

c d

ỉ ệ ứ th c: . Bài 2: Cho t l

ỉ ệ ứ ứ ớ ả ế ỉ ố ề ằ Ch ng minh r ng ta có các t l th c sau: (v i gi thi t các t s đ u có nghĩa).

ba ba

dc dc

a 3 a 3

b 5 b 5

c 3 c 3

d 5 d 5

ba dc

a c

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) 2

ab cd

a 2 a 3

b 5 b 4

c 2 c 3

d 5 d 4

a 2008 c 2009

b 2009 d 2010

c 2008 a 2009

d 2009 b 2010

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) d) e) f) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a ba

c dc

a a

7 7

ac 5 ac 5

b 7 b 7

bd 5 bd 5

7a 11a

3ab 2 8b

7c 11c

3cd 2 8d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g) h) i) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - -

a b

b c

c d

cba dcb

a d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ . Ch ng minh r ng: Bài 3: Cho (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a b

b c

c d

cba dcb

a d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ . Ch ng minh r ng: Bài 4: Cho (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a 2003

b 2004

c 2005

(cid:0) (cid:0) Bài 5: Cho

cbba )(

)

(

2008

= = ...

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng:

a a

2008

ỉ ố ằ Bài 6: Cho dãy t s b ng nhau:

... a ... a

a a

2009

2009 + + + + a 3 + + + + a 4

2009

� a =� 1 a � 2

2008 � � �

ứ ẳ CMR: Ta có đ ng th c:

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

..........

.....

...

a 1

a 1 a

a a

a 9 a 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và Bài 7: Cho

...

a 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng:

a 2003

b 2004

c 2005

(cid:0) (cid:0) Bài 8: Cho

cbba )(

)

(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng:

a (cid:0) b

b d

a d

a b

b d

(cid:0) (cid:0) ứ ế ằ thì Bài 9: Ch ng minh r ng n u : (cid:0)

..........

.....

...

a 1

a 1 a

a a

a 9 a 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và Bài 10: Cho

...

a 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng:

a (cid:0)2

ba ba

ac ac

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ạ thì . Đ o l i có đúng không? Bài 11: CMR: N u ế (cid:0) (cid:0)

a (cid:0) b

b d

a d

a b

b d

(cid:0) (cid:0) ứ ế ằ thì Bài 12: Ch ng minh r ng n u : (cid:0)

ba ba

a (cid:0) b

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) . CMR: Bài 13: Cho (cid:0) (cid:0)

+ +

a b

ỉ ệ ứ ứ ằ th c : . Ch ng minh r ng: Bài 14. Cho t l

ả

i. Ta có :

;

ab cd

c = . d baba dcdc

ab cd

b d

b d a 2 c

ba . dc .

dc dc a c 2 2

ab cd ab 2 cd 2

ba dc

ab cd

a 2 c

b d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

bac dca

dcb bad

ca ac

cb ad

bc da

bd db

ca ca

bd bd

a b

c d

u u

v v

2 2

3 3

u (cid:0) 2

v 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ế ằ thì Bài 15: Ch ng minh r ng n u: (cid:0) (cid:0)

a (cid:0)2

ba ba

ac ac

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ạ thì . Đ o l i có đúng không? Bài 16: CMR: N u ế (cid:0) (cid:0)

ya (

)

zb (

)

xc (

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 17: CMR n u ế

x acb

y z cba (

)

z (

)

x y bac (

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ba ba

dc dc

a (cid:0) b

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) . CMR: Bài 18: Cho (cid:0) (cid:0)

ồ ưỡ ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

(cid:0) yb

0(cid:0)

c d

(cid:0) ỏ ố . Các s x, y, z, t th a mãn: và Bài 19: Cho ề a (cid:0) b

xa za

yb tb

xc zc

yd td

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0)

u u

v v

2 2

3 3

v 3

u (cid:0) 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ế ằ thì Bài 20: Ch ng minh r ng n u: (cid:0) (cid:0)

;

(cid:0) (cid:0) ố ỏ Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 s khác 0 th a mãn:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) và

a d

a 3 b

b 3 c

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0)

)

zb (

)

xc (

)

z cba

x acb

y (

)

z (

)

z ya ( x y bac (

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : Bài 22: CMR n u ế (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a a 1

b b 1

c c 1

ax 2 xa 1

bx xb 1

c c 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ế ằ ị ủ . Ch ng minh r ng n u ụ thì giá tr c a P không ph Bài 23: Cho (cid:0) (cid:0)

ộ thu c vào x.

= . CMR: abc + a’b’c’ = 0. 1

a ' a

b b

b ' b

c c

Bài 24: Cho bi t :ế

(cid:0) yb

0(cid:0)

a (cid:0) b

c d

(cid:0) ố ỏ . Các s x, y, z, t th a mãn: và Bài 25: Cho

xa za

yb tb

xc zc

yd td

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0)

;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ỏ và Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 s khác 0 th a mãn:

a d

a 3 b

b 3 c

c d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0)

a a 1

b b 1

c c 1

ax 2 xa 1

bx xb 1

c c 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ế ằ ị ủ . Ch ng minh r ng n u ụ thì giá tr c a P không ph Bài 27: Cho (cid:0) (cid:0)

ộ thu c vào x.

+ 2c 13d 3c 7d

ay bx c

cx az b

x a

ứ ằ th c: ; Ch ng minh r ng: Bài 28: Cho t l - - - - - ỉ ệ ứ 2a 13b 3a 7b cy ỉ ố bz ; CMR: Bài 29: Cho dãy t s :

Ị

a c = . b d y z = = . b c Ệ Ố Chuyên đề: GIÁ TR TUY T Đ I

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ể ẽ ả ạ ủ ọ ộ ậ i toán s phát tri n đ ượ ư c t duy đ c l p, sáng t o c a h c sinh, rèn ý

ượ Các chuyên đ B i d Ụ A> M C TIÊU Thông qua vi c gi chí v ệ t qua m i khó khăn.

ổ ế ớ

ậ t) ươ ả ế ọ 1) B> TH I L Ờ ƯỢ NG 2) T ng s :(6 ti ế ố t) 3) Ki n th c c n nh :(1 ti ứ ầ ế 4) 2)Các d ng bài t p và ph ạ ng pháp gi i(5 ti t)

1. Lý thuy tế

ị ả ừ ể ệ ố ủ ụ ố ế ể ị : Kho ng cách t ộ ố đi m a đ n đi m 0 trên tr c s là giá tr tuy t đ i c a m t s a(

ố ự *Đ nh nghĩa a là s th c)

ị ị ố ố ủ ệ ố ủ ố (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ố ủ ố (cid:0) 0 a (cid:0) 0

(cid:0)

(cid:0) 0=> = xa 0=> = ax

(cid:0) ệ ố ủ ọ ớ ọ ố ề R v i m i a

* Giá tr tuy t đ i c a s không âm là chính nó, giá tr tuy t đ i c a s âm là s đ i c a nó. TQ: N u ế N u ế ế N u xa ế N u xa *Tính ch tấ ị Giá tr tuy t đ i c a m i s đ u không âm 0(cid:0)a TQ: ụ ể C th : =0 <=> a=0 ≠ 0 <=> a ≠ 0

ệ ố ằ ặ ố ị ượ ạ c l ố i hai s có giá

ố ằ ệ ố ằ ặ ố ố ằ ị * Hai s b ng nhau ho c đ i nhau thì có giá tr tuy t đ i b ng nhau, và ng tr tuy t đ i b ng nhau thì chúng là hai s b ng nhau ho c đ i nhau. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) TQ: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ ố ủ ố ủ ỏ ơ ặ ằ ồ ờ ị

ọ ố ề ớ ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ * M i s đ u l n h n ho c b ng đ i c a giá tr tuy t đ i c a nó và đ ng th i nh h n ho c ằ b ng giá tr tuy t đ i c a nó. a TQ: ơ ệ ố ủ a a và

ệ ố ớ ỏ ơ ố ố ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ơ * Trong hai s âm s nào nh h n thì có giá tr tuy t đ i l n h n TQ: N u ế

(cid:0)0

ệ ố ỏ ơ ỏ ơ ố ị ng s nào nh h n thì có giá tr tuy t đ i nh h n (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ươ b * Trong hai s d TQ: N u ế a

ệ ố ằ ộ ị (cid:0) ệ ố ủ ba . ị ba . * Giá tr tuy t đ i c a m t tích b ng tích các giá tr tuy t đ i. TQ:

ộ ươ ươ ệ ố ằ ng b ng th ị ng hai giá tr tuy t đ i. * Giá tr tuy t đ i c a m t th

ệ ố ủ a TQ: ị a (cid:0) b

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ệ ố ủ ộ ố ằ ươ ủ ị ươ ố ng s đó. ng c a giá tr tuy t đ i c a m t s b ng bình ph 2 Các chuyên đ B i d * Bình ph a (cid:0) TQ:

ị ổ ố ệ ố ủ ặ ằ ơ ớ ị

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả a ố ba ấ ba .

ứ ấ ệ ố ị ủ ứ ả ẳ ị ệ ố ủ ố ấ * T ng hai giá tr tuy t đ i c a hai s luôn l n h n ho c b ng giá tr tuy t đ i c a hai s , d u ỉ ằ b ng x y ra khi và ch khi hai s cùng d u. 0 TQ: và ạ 2. Các d ng toán : I. Tìm giá tr c a x tho mãn đ ng th c có ch a d u giá tr tuy t đ i:

A(x) (cid:0)

k

ộ ố ướ ứ ể ứ ( Trong đó A(x) là bi u th c ch a x, k là m t s cho tr c )

ệ ố ủ ứ ủ ẳ ị ị ọ ố

xA )(

xA )( xA )(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế 1. D ng 1ạ : iả : * Cách gi ả ế N u k < 0 thì không có giá tr nào c a x tho mãn đ ng th c( Vì giá tr tuy t đ i c a m i s ề đ u không âm ) N u k = 0 thì ta có (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế N u k > 0 thì ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

t:ế Bài 1.1: Tìm x, bi

(cid:0)x

1 3

5 4

1 4

1 2

1 5

1 3

3 4

7 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) c) d) a)

(cid:0)

i: x = 4,5; x =0,5

1 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) b)

iả Gi a) = 4 x= (cid:0) 4 (cid:0)x 2 a) 2x5 = (cid:0) * 2x5 = 4 2x = 9 x = 4,5 * 2x5 = 4 2x =54 2x =1 x =0,5 ạ Tóm l 1 5 3 4 =

t:ế Bài 1.2: Tìm x, bi

(cid:0)x

2535,7

5,4

75,3

15,2

(cid:0)x

4 15

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c)

t:ế Bài 1.3: Tìm x, bi

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

(cid:0)x

(cid:0) x

(cid:0)x

511

5,3

(cid:0)x 2

2 5

1 2

1 (cid:0) 3

1 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) d)

(cid:0)x

5,4

1 4

3 4

3 2

1 4

5 4

3 2

4 5

3 4

7 4

3 4

1 2

5 3

5 6

t:ế Bài 1.4: Tìm x, bi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) d)

t:ế

:5,2

5,6

3 2

11 4

15 4

7 2

1 5

x 4

2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) d) c) a) Bài 1.5: Tìm x, bi 9 4

B(x)

1 3 A(x) (cid:0)

1 2 ứ

3 4 ể

21 5 ( Trong đó A(x) và B(x) là hai bi u th c ch a x )

ứ

xA )(

xB )(

xA )( xA )(

xB )( xB )(

2. D ng 2ạ * Cách gi : iả : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ụ ấ V n d ng tính ch t: ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d) t:ế b) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bài 2.1: Tìm x, bi 4 a) x x a) * 5x4=x+2 5x x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x4=x2 5x + x = 2+ 4 6x= 2 x= ậ V y x= 1,5; x=

t:ế

3 2

5 4

7 2

5 8

3 5

7 5

2 3

4 3

1 4

7 8

5 6

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) d) Bài 2.2: Tìm x, bi 1 2

B(x)

ứ ứ : ( Trong đó A(x) và B(x) là hai bi u th c ch a x )

ể ủ ế ả ị ị

0(cid:0)

ậ ả ư i nh sau: (cid:0) (1)

A(x) (cid:0) 3. D ng 3ạ ệ ố ủ ấ * Cách 1: Ta th y n u B(x) < 0 thì không có giá tr nào c a x tho mãn vì giá tr tuy t đ i c a ọ ố ề m i s đ u không âm. Do v y ta gi xA xB )( )( ệ ề Đi u ki n: B(x)

xA )(

xB )(

xB )( xB )( ỏ ấ

(*) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ớ ề ệ ế ố ( Đ i chi u giá tri x tìm đ c v i đi u ki n ( * ) ở (1) Tr thành (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ ố ệ ả ị (cid:0) (cid:0)

(cid:0) 0 (cid:0) 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

xB )(

xA )(

xA )( xA )( ề * Cách 2: Chia kho ng xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i: N u ế N u ế Ta gi

(cid:0) ả ư i nh sau: (1)

0(cid:0)

ệ ố ị thì (1) tr thành: A(x) = B(x) ( Đ i chi u giá tr x tìm đ

ồ ưỡ Các chuyên đ B i d ế ở ố ượ ế ở ớ ị

ớ ề ng HSG Toán l p 7 (cid:0) N u A(x) ề ượ ớ ế c v i đi u ki n ) (cid:0) N u A (x ) < 0 thì (1) tr thành: A(x) = B(x) ( Đ i chi u giá tr x tìm đ ề ế c v i đi u ki n )ệ

ế

VD1: i :ả Gi a0) Tìm x (cid:0) Q bi t =2x * Xét x+ (cid:0) 0 ta có x+ =2x *Xét x+ < 0 ta có x+ = 2x

t:ế Bài 3.1: Tìm x, bi

(cid:0) x

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 3.2: Tìm x, bi a) t:ế b) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 3.3: Tìm x, bi x a) t:ế b) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 3.4: Tìm x, bi 5 a) t:ế b) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 3.5: Tìm x, bi 5 a) t:ế b) c) d)

ị ẳ ứ

ề ấ ỏ ấ ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ả m ậ xC )(

ệ ươ ứ ế ề ng ng ) - ả ả - + - = 1 1 x ố (1)

ứ ể ấ

i bài toán ( Đ i chi u đi u ki n t 3 2 ế ị ứ ẽ ế ậ ổ ị ứ ở ế ệ ố c bi u th c ch a d u giá tr tuy t đ i thành ủ ể v trái c a

ứ ẽ ượ ứ ừ 4. D ng 4ạ ệ ố ề : Đ ng th c ch a nhi u d u giá tr tuy t đ i: ệ ố ệ i:ả L p b ng xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i: * Cách gi xA xB )( )( ừ ứ ả Căn c b ng trên xét t ng kho ng gi x x ế ằ Ví d 1 :ụ Tìm x bi t r ng  Nh n xét ổ ượ ư ậ : Nh trên chúng ta đã bi n đ i đ ệ ố ấ ứ ể các bi u th c không ch a d u giá tr tuy t đ i. V y ta s bi n đ i bi u th c ẳ đ ng th c trên. T đó s tìm đ c x

x > 1 x > 3

x = 1; x – 1 < 0 (cid:0) x = 3; x – 3 < 0 (cid:0) ứ ướ Xét x – 1 = 0 (cid:0) x 3 = 0 (cid:0) ấ ả Ta có b ng xét d u các đa th c x 1 và x 3 d iả x < 1; x – 1 > 0 (cid:0) x < 3; x – 3 > 0 (cid:0) i đây:

x x – 1 x – 3 1 3 0 + 0 +

(cid:0) ả

Xét kho ng x < 1 ta có: (1) (cid:0) (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 2x + 4 = 2x – 1

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

ả ộ ị (cid:0) x = (giá tr này không thu c kho ng đang xét) 5 4 (cid:0) ả x (cid:0)

(x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 2 = 2x – 1

ả ộ ị Xét kho ng 1 3 ta có: (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x = ( giá tr này thu c kho ng đang xét) 3 2 (cid:0) ả

Xét kho ng x > 3 ta có: (1) (cid:0) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1 4 = 1 ( Vô lí)

ế ậ ậ K t lu n: V y x = . 3 2

ấ VD2 : Tìm x + =0 ậ Nh n xét x+1=0 => x=1 x1=0 => x=1 ả Ta l p b ng xét d u

1 1

ậ x x+1 x1 ứ 0 + + 0 + ả ườ ấ ợ ng h p

(cid:0) x (cid:0) 1

ế ế ế Căn c vào b ng xét d u ta có ba tr N u x<1 N u 1 N u x >1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t: ế 5 Bài 4.1: Tìm x, bi x 1 a) b)

2,1

1 5

1 2

1 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 3 t:ế 8 Bài 4.2: Tìm x, bi 6 a)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 2 3 6 e) f)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t:ế x 2 Bài 4.3: Tìm x, bi a) b)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e) f)

t:ế (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 4.4: Tìm x, bi 3 a) b)

ớ ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề 5 ồ ưỡ Các chuyên đ B i d x 2 1 c) d)

ệ ố ề ị ạ : : Xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i hàng lo t (cid:0) (cid:0) (cid:0)

C(x)

xB )(

xA )(

xC )(

0(cid:0)

ệ ỏ ấ (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ậ ở 5. D ng 5ạ B(x) A(x) )D(x ệ ề kéo theo Đi u ki n: D(x) Do v y (1) tr thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t:ế 3 Bài 5.1: Tìm x, bi x x a) b)

1,1

2,1

3,1

4,1

3 5

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d)

t:ế

...

x 101

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a)

...

100

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b)

...

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c)

...

x 101

100 101 1 .99 100 1 99.97 1 397 . 401

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) Bài 5.2: Tìm x, bi 1 2 101 101 1 1 2.1 3.2 1 1 3.1 5.3 1 1 5.1 9.5

3 101 1 4.3 1 7.5 1 13.9 ỗ ợ

ạ

: D ng h n h p: t:ế

2 xx

(cid:0)x

3 4

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c)

t:ế 6. D ng 6ạ Bài 6.1: Tìm x, bi 4 5 Bài 6.2: Tìm x, bi

(cid:0)x

1 2

3 4

2 5

1 5

1 2

3 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c)

1 2

3 4

1 2

3 4

t:ế Bài 6.3: Tìm x, bi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t:ế Bài 6.4: Tìm x, bi x 3 4 a) b) c)

(cid:0) (cid:0)

0BA

ủ ứ ế ấ ị

ấ ẳ ươ ng pháp b t đ ng th c. ằ ổ ố ỉ

0(cid:0)

ồ (cid:0) B ả 7. D ng 7ạ ậ ụ ệ ố ẫ V n d ng tính ch t không âm c a giá tr tuy t đ i d n đ n ph ậ ộ ố ủ * Nh n xét: T ng c a các s không âm là m t s không âm và t ng đó b ng 0 khi và ch khi ố ạ các s h ng c a t ng đ ng th i b ng 0. A * Cách gi ổ ủ ổ i chung: ờ ằ

ồ ưỡ ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) ề A (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B1: đánh giá: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) B

0(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ẳ B2: Kh ng đ nh: (cid:0) (cid:0)

ả Bài 7.1: Tìm x, y tho mãn:

9 (cid:0) 25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c)

ả Bài 7.2: Tìm x, y tho mãn:

5,1

2007

2008

3 4

2 7

2 3

11 17 (cid:0) B

23 13 0(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) a) b)

1 3 4 2 ướ ạ i d ng

0(cid:0)

ư ế ổ ả nh ng k t qu không thay đ i

ể (1) i: ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) * Chú ý1: Bài toán có th cho d (cid:0) B * Cách gi A 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) B

0(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ T (1) và (2) (cid:0) (cid:0)

ả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 7.3: Tìm x, y tho mãn: 8 b) a) c)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả 0 Bài 7.4: Tìm x, y tho mãn: y b) a) c)

ự ủ ấ ng t

ệ ố ươ ứ ỹ ừ ậ ể ế ợ ị ế ươ ẵ ư * Chú ý 2: Do tính ch t không âm c a giá tr tuy t đ i t lu th a b c ch n nên có th k t h p hai ki n th c ta cũng có các bài t ấ ủ nh tính ch t không âm c a ự . ng t

2007

2008

ả ứ ẳ

2006

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 2008 (cid:0)

2007

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 7.5: Tìm x, y tho mãn đ ng th c: a) 0 c) (cid:0) b) d)

ả

2000

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b)

2004

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 7.6: Tìm x, y tho mãn : a) (cid:0) y x c) (cid:0) 3 d) (cid:0) (cid:0)

ả Bài 7.7: Tìm x, y tho mãn:

2007

2008

2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b)

2006

2008

2007

2008

1 2

3 4

1 2

2007 2008

4 5

6 25

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ba .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 8. D ng 8ạ * Cách gi : iả : S d ng tính ch t: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ b ử ụ ừ T đó ta có:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t:ế Bài 8.1: Tìm x, bi 8 a) b) c)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) e) f)

t:ế (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 8.2: Tìm x, bi 2 a) d) b) e) c) 3 f)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x

ệ ố ấ ể ỏ ấ ậ ả L p b ng xét d u đ b d u giá tri tuy t đ i 1 t:ế Bài 1: Tìm x, bi 8 6 3 a) ấ ả Ta l p b ng xét d u

3 3

0 + + 0 + ả ườ ấ x 2 ậ x x+3 2x6 ứ ợ ng h p

ở ươ ng trình tr thành

ỏ

(cid:0) x (cid:0)

(cid:0) ỏ x (cid:0) 3)

ế

ỏ Căn c vào b ng xét d u ta có ba tr ế * N u x<3 Khi đó ph 6 2x x 3 = 8 3x = 8 3 3x = 5 x = ( không th a mãn x<3) ế * N u 3 3 6 2x + x + 3 = 8 x = 1 x = 1 ( th a mãn 3 * N u x >3 2x6 + x + 3 = 8 3 x = 11 x = ( th a mãn x >3)

ắ ừ ngoài vào trong

ị t:ế ệ ố ỏ ấ B d u giá tr tuy t đ i theo nguyên t c t 2 Bài 1: Tìm x, bi

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

(cid:0)x

1 2

4 5

(cid:0) (cid:0) a)

ỏ * + = = = 2x1= 2x = + 1 x= <=> <=> 2x1= 2x = + 1 x= * + = = (không th a mãn)

ứ ử ụ

ẳ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ấ ẳ ươ ng pháp b t đ ng th c: S d ng ph 3 ứ ả Bài 1: Tìm x, y tho mãn đ ng th c: 3 a) xy2 =0 x=1 <=> y+3 =0 y= 3

ả 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2007

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả 2008

ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bài 2: Tìm x, y tho mãn : a) (cid:0) y Bài 3: Tìm x, y tho mãn: a) Bài 4: Tìm x tho mãn: 3 a) ặ ị ứ ấ ệ ố ứ ả ẳ ị II – Tìm c p giá tr ( x; y ) nguyên tho mãn đ ng th c ch a d u giá tr tuy t đ i:

0(cid:0)m

(cid:0) (cid:0) v i ớ

(cid:0) B

0(cid:0)

1. D ng 1ạ * Cách gi : A iả : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế * N u m = 0 thì ta có (cid:0) (cid:0)

mB (cid:0)

ả ư i nh sau: (cid:0) (cid:0) * N u m > 0 ta gi A

(cid:0)0

ế mB 0(cid:0)A ừ ừ ươ ứ (1) nên t Do (1) ta có: t đó tìm giá tr c a ị ủ B và A t ng ng .

2007

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả y ặ ố 2008 Bài 1.1: Tìm c p s nguyên ( x, y) tho mãn: 0 0 a) b) c) (cid:0)

ặ ố ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 1.2: Tìm c p s nguyên ( x, y) tho mãn: 4 (cid:0) a) b) c)

ặ ố ả Bài 1.3: Tìm c p s nguyên (x, y ) tho mãn:

ề (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ 7 ồ ưỡ Các chuyên đ B i d x 5 5 2 a) b) c) ng HSG Toán l p 7 y d)

ả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ố 4 5 Bài 1.4: Tìm c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: b) a) c) d)

3 2 y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ố b) ả 2 2 y c) d) (cid:0) (cid:0) ớ v i m > 0.

(cid:0) (cid:0) Bài 1.5: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: y 3 a) 2. D ng 2ạ * Cách gi A mB

mBA : iả : Đánh giá (1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

mk (cid:0)

(cid:0)0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ừ ả ư ạ ớ T (1) và (2) t đó gi i bài toán nh d ng 1 v i

3(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả x ặ ố Bài 2.1: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: y y a) 5 b) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả x 3 Bài 2.2: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: x a) ặ ố 24 b) c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ử ụ ứ ả 3. D ng 3ạ : S d ng b t đ ng th c: ị ủ ẩ ố xét kho ng giá tr c a n s .

ả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố Bài 3.1: Tìm các s nguyên x tho mãn: c) b) a) d)

ề ả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ờ ồ b) x +y = 4 và 2 ặ ố y 2 3(cid:0) Bài 3.2: Tìm các c p s nguyên ( x, y) tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau. a) x + y = 4 và x c) x –y = 3 và d) x – 2y = 5 và

ả ờ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ố y 1 ồ b) x – y = 3 và (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

d) 2x + y = 3 và ủ

2 8 ấ ủ

x 2 ệ ố

ộ ị : (cid:0)

x 1 2 ế ợ xBxA ( ). )(

4 ấ yA )(

xBxA ). )(

(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) : K t h p tính ch t không âm c a giá tr tuy t đ i và d u c a m t tích iả : yA )( ị ủ ượ Bài 3.3: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn đ ng th i: y 4 a) x + y = 5 và c) x – y = 2 và 4. D ng 4ạ * Cách gi Đánh giá: c giá tr c a x. tìm đ

251

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố Bài 4.1: Tìm các s nguyên x tho mãn: b) (cid:0) a) (cid:0) ặ ố Bài 4.2: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: b) (cid:0) a) (cid:0) x 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ố 1 c) (cid:0) ả c) (cid:0) ả 1 Bài 4.3: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: b) (cid:0) a) (cid:0) c) (cid:0)

ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ề ử ụ ứ : ng pháp đ i l p hai v c a đ ng th c

ố ậ ứ ươ ả ẳ

: S d ng ph iả : Tìm x, y tho mãn đ ng th c: A = B mA (cid:0) mB (cid:0) Các chuyên đ B i d 5. D ng 5ạ ế ủ ẳ * Cách gi Đánh giá: Đánh giá: (1) (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ T (1) và (2) ta có: (cid:0) (cid:0)

ả

12 31

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ố Bài 5.1: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: (cid:0) 22 b) a) (cid:0) (cid:0)

2 (cid:0)

6 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 (cid:0)

5 12

ả Bài 5.2: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: ặ ố 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 (cid:0)

10 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) d) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 2

20 2

ả Bài 5.3: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn: ặ ố 14 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) a) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2007

30 5

6 2008

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ể ứ III – Rút g n bi u th c ch a d u giá tr tuy t đ i:

ứ ấ ề ị ỏ ấ ệ ố ị ả ệ ố ồ ọ i chung: Xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i r i thu g n:

5,3

1,4

5,3

1,4

(cid:0) ọ (cid:0) Cách gi ọ ứ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ (cid:0) x 5,3 ớ ể Bài 1: Rút g n bi u th c sau v i 1,4 a) b)

3,1

5,2

ứ ọ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể 5,2 Bài 2: Rút g n bi u th c sau khi x < 1,3: x a) b)

ứ ể ọ Bài 3: Rút g n bi u th c:

5,2

7,1

1 5

2 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c)

3 5

1 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ể ọ Bài 4: Rút g n bi u th c khi

1 7

3 5

4 5

3 5

2 6

1 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b)

ứ ể ọ Bài 5: Rút g n bi u th c:

8,0

9,15,2

1,4

(cid:0) x

1,4

2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ a) v i x < 0,8 b) v i ớ

ề ớ

(cid:0) x

1 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ v i ớ d) c) v i x > 0 ồ ưỡ 1 2 ng HSG Toán l p 7 1 2 Các chuyên đ B i d 1 5

==============&=&=&==============

ị ể ứ : IV – Tính giá tr bi u th c

ị ủ ứ ể Bài 1: Tính giá tr c a bi u th c:

;5,1

75,0

;5,1

75,0

2 b

a 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) M = a + 2ab – b v i ớ b) N = v i ớ

;5,2

25,0

;

a 3

ab 3

3 4

ị ủ ứ ể Bài 2: Tính giá tr c a bi u th c: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) v i ớ b) v i ớ

;

25,0

3 2 x

3 b

a 5 (cid:0) 3

1 3

1 3 1(cid:0)x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) v i ớ d) v i ớ

ứ ể ị ủ Bài 3: Tính giá tr c a các bi u th c:

(cid:0)x

;

1 2

2(cid:0) 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) v i ớ b) v i ớ

1(cid:0)x 2

5 2 x 3

x 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ c) v i x = 4 d) v i ớ (cid:0)

ấ ỏ ấ ủ ứ ấ ệ ố ứ ộ ể ị

ấ ị

ệ ố ậ ụ ủ ừ ấ ị ị ớ ử ụ S d ng tính ch t không âm c a giá tr tuy t đ i: ủ ế i ch y u là t ệ ố ấ ủ ấ tính ch t không âm c a giá tr tuy t đ i v n d ng tính ch t c a b t

ị ủ ứ ể V – Tìm giá tr l n nh t – nh nh t c a m t bi u th c ch a d u giá tr tuy t đ i: ủ ạ 1. D ng 1: ả * Cách gi ứ ể ẳ đ ng th c đ đánh giá giá tr c a bi u th c:

5,0

5,3

4,1

ấ ủ ị ớ ứ ể Bài 1.1 : Tìm giá tr l n nh t c a các bi u th c: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) d) (cid:0) (cid:0)

32,10

5,5

5,1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g) e) f)

5,2

8,5

8,5 x

5,2

8,5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) h) i) k) (cid:0) (cid:0)

1 2

12 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) l) m) n) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

4,3

7,1

7,3

3,4

ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ B ứ 5,3 ể 8,2

2,14

4,8

5,7

5,17

5,2

8,5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ỏ Bài 1.2: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: a) d) b) e) c) f)

9,4

8,2

9,15,1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g) h) i)

3 2 (cid:0) 3 5 7 12

415

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) k) l) m)

ấ ủ ị ớ ứ ể Bài 1.3: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

1 3

158

4 5

20 y 4

ồ ưỡ ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề 15 7

2 3

24 23

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e) d) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ấ ủ ị ớ ể Bài 1.4: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ 13 (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) a) b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

8 7

15 12

28 2

ể ị ỏ Bài 1.5: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) a) c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ 6 5 ứ 14 8

ấ ủ ứ ể ị ỏ Bài 1.6: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

421

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ ỏ ấ ệ ố ị ủ ứ ề ể ả ị ị 2. D ng 2ạ : Xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i xác đ nh kho ng giá tr c a bi u th c:

ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ B ứ x ể 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ỏ Bài 2.1: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 6 a) d) b) e) c) f)

ỏ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ B 3 ể 1 ị 5 c) ứ : Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: Bài 2.2 x A 34 2 b) a)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể x ị ớ 4 ứ x 2 Bài 2.3: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: a) ấ ủ B b) c)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể x ị ớ 6 ứ Bài 2.4: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 38 a) ấ ủ B b) c)

ỏ ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ B ể 2 ứ 6 : Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: Bài 2.5 A x b) a) c)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ử ụ ứ ạ 3. D ng 3: S d ng b t đ ng th c

ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ B ứ x 2 ể 4 ỏ Bài 3.1: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 5 a) b) c)

ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ x ấ ủ B 3 ể 7 ỏ Bài 3.2: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2 a) b) c)

ấ ủ ể (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ B ị 5 ỏ Bài 3.3: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x a) b)

ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ồ ưỡ x 1 ề x 24 ng HSG Toán l p 7 31 Các chuyên đ B i d c) d)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ ứ ể ỏ Bài 3.4 ị : Cho x + y = 5 tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ ứ ể Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá tr c a bi u th c:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ ứ ể ỏ ị Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

ấ ủ ứ ể ỏ ị Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ố Ự

Ậ

Ế DÃY S T NHIÊN VI T THEO QUY LU T, ế

Ố Ế

Ậ

DÃY CÁC PHÂN S VI T THEO QUY LU T( ti p)

4321

100

...

ướ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 1 : Tính t ng:ổ 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … 2008 ẫ H ng d n: (cid:0)A Bài 2: Cho

ế

ướ a) Tính A. b) A có chia h t cho 2, cho 3, cho 5 không ? ướ ự nhiên. Bao nhiêu c t c) A có bao nhiêu c nguyên ?

...

ướ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

19 ỏ ố ạ

ố ạ

ị ủ

....

ướ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

19 ố ạ ứ

ị ủ

ố ạ ủ ẫ H ng d n: (cid:0)A Bài 3: Cho ế t A = 181. H i A có bao nhiêu s h ng ? a) Bi ế b) Bi t A có n s h ng. Tính giá tr c a A theo n ? ẫ H ng d n: (cid:0)A Bài 4: Cho ế a) Bi t A có 40 s h ng. Tính giá tr c a A. b) Tìm s h ng th 2004 c a A.

(

)12

...

(

)42

(

)47

655

ẫ ướ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ

ướ ẫ

ế … + (x+2009) = 2009.2010 H ng d n: Bài 5: Tìm giá tr c a x trong dãy tính sau: H ng d n: Bài 6: a) Tìm x bi

t : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010

(cid:0)S

11.9

101.99

999

1001

9999

10001

99999

100001

ướ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ổ

ướ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

100 3 33 ... ế ằ nhiên n bi

ẫ H ng d n: Bài 7: Tính t ng: ẫ H ng d n: (cid:0)A Bài 8: Cho ố ự Tìm s t t r ng 2A + 3 = 3

ồ ưỡ ớ ề ng HSG Toán l p 7

2004

ướ

....

33 ổ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ

. ươ ằ ố Các chuyên đ B i d ẫ H ng d n: (cid:0)A Bài 9: Cho a) Tính t ng A. 130A b) Ch ng minh r ng ả c) A có ph i là s chính ph ng không ? Vì sao ?

2003

2004

ẫ

...

331

(cid:0)A ứ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ướ H ng d n: : Bài 10 a) Cho

ỹ ừ ủ

2003

2004

...

ỹ ừ ủ ằ 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)A

...

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 Ch ng minh r ng A chia h t cho 3, 7 và 15.

ế

2 + 23 + … + 22003 + 22004 chia h t cho 42

ế ổ ằ b) Ch ng minh r ng t ng 2 + 2 ằ

ẫ

3 3 ằ Ch ng minh r ng: 4A 1 là lu th a c a 3. ớ ộ ứ b) Ch ng minh r ng A là m t lu th a c a 2 v i (cid:0)A 24 2 ẫ ướ H ng d n: Bài 11: a) Cho ứ ứ ướ H ng d n: Bài 12:

ỏ

Cho A = 2 + 22 + 23 + ............+299 + 2100 ế ứ Ch ng t A chia h t cho 31 ẫ ướ

H ng d n: Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596

 126

ứ

3.2.1(cid:0)A

......

30.29

33.32.31

........

60.59 ế

302

ủ a, Ch ng minh: S ữ ố ậ b, Tìm ch s t n cùng c a S

ế a) Ch ng minh: B chia h t cho b) Ch ng minh: B A chia h t cho 61.

2001

2002

ướ ẫ

(cid:0)A

...

20032(cid:0)B

2 So sánh A và B.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và ẫ ướ H ng d n: : Cho Bài 14 (cid:0)B ứ ứ H ng d n: Bài 15: Cho

+ +

ẫ ướ

3 3

... 3

100 3

+ 2 3 3 ế

3n .

ế ằ ố ự t r ng 2M+3 = nhiên n bi

ướ

H ng d n: Bài 16: Cho M = a. M có chia h t cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm s t ẫ H ng d n: Bài 17: Cho bi u th c:

ể ọ ứ M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119 ể ứ

ứ ế a) Thu g n bi u th c M. b) Bi u th c M có chia h t cho 5, cho 13 không? Vì sao?

ướ ẫ ể H ng d n:

ề ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

...

1 3

1 6

1 10

2 nn (

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ự ế nhiên n bi t: Bài 18: Tìm s t (cid:0) ồ ưỡ 2003 2004

ẫ

.....

ướ H ng d n: Bài 19:

2 2 + 1.3 3.5

2 99.101

a) Tính:



3 4.1

3 10.7

3 nn (

2 5.7 3 7.4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) Cho (cid:0)

(cid:0) ứ Ch ng minh: S 1

A =

+ + ...

ướ ẫ H ng d n:

2 2003

B =

+ + ...

Bài 20 : So sánh:

2 60.63 5 40.44

2 63.66 5 44.48

2 117.120 5 5 2003 76.80

và

ẫ

ướ H ng d n: Bài 21:

(cid:0)A

1 238

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) Tính

(cid:0)M

....

1 40 1 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) Tính:

1 10 1 3 (cid:0)S

...

1 88 1 10 1 3.2.1

1 154 1 15 1 4.3.2

1 340 2 2004 . 2005 1 .99.98

100

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ổ c) Tính t ng:

ướ ẫ H ng d n:

(cid:0)A

...

1 100

1 2

1 2 2

1 3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và B = 2. Bài 22: So sánh:

ẫ ướ

A =

+ + ...

B =

+ + ...

H ng d n: Bài 23: So sánh:

2 63.66

2 117.120

2 2006

5 40.44

5 44.48

5 76.80

5 2006

và

ướ

2 60.63 ẫ H ng d n: Bài 24. Tính

2 2 + 15 35

2 2 2 63 99 143

+ + ...

a. A =

3 +

3 + +

3 + + +

1 2 1 2 3 1 2 3 4

3 + + + 1 2 ... 100

b. B = 3+ .

ẫ ướ

ứ ị

...

1 3

...

1 99.1

1 97.3

1 95.5

1 1.99

1 99 1 3.97

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) H ng d n: Bài 25: Tính giá tr các bi u th c: 1 97 ể 1 5 a) A = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

...

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

...

1 4 97 3

1 3 98 2

b) B = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Các chuyên đ B i d 1 100 1 99 ề 1 2 99 1

ướ

...

1 2

1 3

1 100

1 2

2 3

3 4

99 100

ằ ẫ H ng d n: ứ Bài 26: Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 100 (cid:0) (cid:0)

ướ ẫ H ng d n:

bi t:ế Bài 27: Tính

...

1 200

1 199

2 198

3 197

198 2

199 1

1 4

A B 1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và B = A =

1 2 ẫ

;....

ố ầ ủ : Tìm tích c a 98 s đ u tiên c a dãy: ướ H ng d n: Bài 28

1 3

1 35

1 15

ủ 1 24

ướ

1 8 ẫ

;

;...

ủ ầ H ng d n: ố ạ Bài 29: Tính t ng 100 s h ng đ u tiên c a dãy sau:

1 336

ổ 1 176

1 66 ẫ

1 6 H ng d n:

ướ

A B

bi t:ế Bài 30: Tính

...

1 20.19

1 6.5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A =

...

1 13

1 4.3 1 12

1 18.17 1 20

1 19

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B =

ướ

...

....

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 2.1 1 11 ẫ H ng d n: t: ế Bài 31: Tìm x, bi 1 102

1 110 .10

1 11.1

1 12.2

1 110 100 .

1 101 ẫ

ướ

+ 4

(cid:0) (cid:0)

a +

n N 2,

a +

a a

a , v i (ớ a

n N

a + + ...

+ + , v i (ớ a ... + + 6 a ... + 1 2 , v i (ớ a

(cid:0) (cid:0) ) (cid:0) (cid:0) ) n N * )

S 2 ẫ

= + +

+ +

A <

1 4 4

... 4 ,

100 4

ướ H ng d n: Bài 32: Tính : = + + a) a a S 1 + = + 2 b) a S 1 1 = + c) H ng d n:

B 3

ứ ằ . Ch ng minh r ng: . Bài 33 Cho

ẫ ướ

ị ủ ứ ể H ng d n: Bài 34: Tính giá tr c a bi u th c:

+ +

a A )

+ +

= +

b B )

ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7 ề = +

Các chuyên đ B i d 9 99 999 ... 999...9 1 2 3 ch s�� 50 9 99 999 ... 999...9 1 2 3 ch s�� 200

ứ ấ

ệ ố

ị

ả

Chuyên đ 1: ề i toán ch a d u giá tr tuy t đ i.

ướ ẫ H ng d

ế (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1Ki n th c c b n: x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ơ ả 0 x

xx ;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ơ ả

y ạ

ạ 2 Các d ng toán c b n: x bi * D ng toán 1: Tính tế

(cid:0)x

1(cid:0)

2(cid:0)

3 5

3 13

1 2

(cid:0) 1) 2) 3)

....

.....

1 4.1

x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5) 4)

....

1 7.4 1 2

1 100 .97 1 4

1 3

1 5

1 5 1 5.3 4 9.5

1 49.47 4 .97 101

1 x x 2 101

1 3.1 4 5.1

4.33.22.1

....

.99

100

2 1(

...

2)(

)

1 5

1 100 1 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 9) 8)

ạ ế * D ng 2: Tìm x bi t

(cid:0)x .2

(cid:0)x

3(cid:0)x

1 5

1 3

3 5

25 (cid:0) 8

5 23

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 1) 2) 3) 4)

(cid:0)x

75,1

5,2

25,1

1 3

3 7

2 3

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5) 6) 7)

2 (cid:0)

(cid:0)x

x )73(

(cid:0)x

2 (cid:0)x

11 10

1 4

(cid:0) (cid:0) 8) 9) 10) 11)

1 5 * D ng 3: Tìm x, y, z bi

0(cid:0)

ạ ế t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1)

(

)

1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3) 4)

1 2 x

1 3 43

1 2 x )(1

(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5)

0 6) ể

ứ ạ 2) 5 2 y ị ủ *D ng 4: Tính giá tr c a các bi u th c sau.

(cid:0)x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) v i ớ 1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ 2) v i x=y=2

1 4

1(cid:0) 3 y 1(cid:0)x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3) v i ớ

1(cid:0)x

ồ ưỡ ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề 3 2 x 4)

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v i ớ v i ớ x xy 5) 6)

ạ v i ớ ể (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x ứ 13

5,6(cid:0)x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v i ớ 15

y 3 ọ * D ng 5: Rút g n các bi u th c sau v i ớ 5 2 v i ớ

1) 2) N= 3) P=

ạ *)D ng 6: Tìm giá tr l n nh t , giá tr nh nh t. (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 3(cid:0)x ị ỏ ấ x 25,4

5,0

25,0

x 7 ị ớ ỏ

5,4

75,0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2005

2004

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ấ ủ ấ ủ ấ ủ

ị 1, Tìm giá tr nh nh t c a: ị ớ D 2, Tìmgiá tr l n nh t c a : ị ỏ 3, Tìm giá tr nh nh t c a : ự ọ h c : 3 Các bài toán t

ớ ứ

Bài 1: Tính giá tr bi u th c: A= 2x+2xyy v i | x| = 2,5 và y = 3/4 Bài 2: Tìm x , y bi

ỏ ị ể t: ế a) 2.| 2x3|= 1/ 2 b) 7,5 3 |52x|=4,5 c) | 3x4|+ |3y+5| = 0 ấ ị Bài 3: Tìm giá tr nh nh t:

ấ

a) | 3x 8,4| 14,2 b) |4x3|+|5y+7,5| +17,5 ị ớ Bìa 4: Tìm giá tr l n nh t: F= 4 |5x2| | 3y+12|

Ề Ố Ậ

Ố Ự

Ậ

ế ố ậ ướ ạ ố ố t các s th p phân sau d i d ng phân s t ả i gi n

)21(,4:)6(3,2)1(,12

(cid:0) (cid:0)

3)3(,0

)2(4,0

1 3

(cid:0) (cid:0) CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN V S TH P PHÂN S TH C CĂN B C HAI. Bài toán 1: Vi 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)8,(6) b) (cid:0) c)

116 99

ể ổ ỳ ướ ạ d ố ậ i d ng s th p phân ễ ố ữ ố Bài toán 3: Tính t ng các ch s trong chu k khi bi u di n s

ạ

ố ố

81,11(

(cid:0)B

(cid:0)A

4).25,6:56,4( 31,2

125,0.4

ẫ ủ ứ ễ ố ậ i gi n bi u di n s th p phân 0,(12) ơ ể ả ế ả ế (cid:0) (cid:0) b) a) (cid:0)

ể ọ ầ vô h n tu n hoàn. ủ ử ổ và m u c a phân s t Bài toán 4: Tính t ng c a t ể ị ị ủ Bài toán 5: Tính giá tr c a bi u th c sau và làm tròn k t qu đ n hàng đ n v 25,2).19,8 75,6 ứ Bài toán 6: Rút g n bi u th c

(cid:0)M

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0)

)6(1,0)3(,05,0 )3(8,0)6(,15,2

(cid:0) (cid:0)

ứ Bài toán 7: Ch ng minh r ng:

ằ 0,(27)+0,(72)=1

tế Bài toán 8: Tìm x bi

(,0)3(,0

384615 )

)2(,0

3 13

)3(,0)6(1,0 )6(1,1)3(,0

)3(0,0

50 85

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)

)

(;

3 2 m )(1

m 5 6)2

c) (cid:0) )62(,0)37(,0 e) x:0,(3)=0,(12) Bài toán 9: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cho phân s ố (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ ố ố

ễ ể ậ ạ ầ ố

ữ ạ Ề Ố Ậ

Ố Ự

Ậ

m mm ( ả ằ a) Ch ng minh r ng A là phân s t i gi n. b) Phân s A có bi u di n th p phân là h u h n hay vô h n tu n hoàn? vì sao? CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN V S TH P PHÂN S TH C CĂN B C HAI. Bài toán 10: So sánh các s sauố

5,0

100

25 (cid:0)

1 9

9 16

4 25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) và b) và (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)



(cid:0) (cid:0)

(cid:0) 2

2 (cid:0)

ậ ố

2 ; (cid:0) 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

c) tế ươ ớ ng thì c) CMR: v i a, b d tế Bài toán 11: Tìm x bi ủ a) x là căn b c hai c a các s : 16; 25; 0,81; a b) (cid:0) 2 Bài toán 12: Tìm x bi

(cid:0)x

1 2 (cid:0)

x (cid:0)

9 16

(cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) (cid:0)

(cid:0)x

25 9

1 1

(cid:0) (cid:0) ộ ố ị . CMR v i ớ và thì A có giá tr là m t s nguyên Bài toán 13: Cho (cid:0)

16 9 ể

x x ố

ộ ố ể ị Bài toán 14: Tìm các s nguyên x đ các bi u th c sau có giá tr là m t s nguyên

7 x

3 x

x x

1 3

(cid:0) (cid:0) a) b) c) C= (cid:0) ứ 2 (cid:0)x (cid:0) (cid:0) ể ố ố ị Tìm s nguyên x đ A có giá tr là s nguyên Bài toán 15: Cho (cid:0)

:25,54,2:22

2 :2:

1 7

5 7

22 81

ệ ự Bài toán 16: th c hi n phép tính (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ị ể ứ ợ Bài 17: Tính giá tr bi u th c sau theo cách h p lý.

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

1 49

(cid:0)A

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

64 2

4 7

2 7

4 343

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ằ ợ Bài toán 18: Tính b ng cách h p lý.

(cid:0)M

25 204

5 374

5 196

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ẳ ứ Bài toán 19: Tìm các s x, y, z tho mãn đ ng th c ả 2 ố 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)M

225

2 3

49 4

1 3

6 7

1 3

1704 445

ệ ự Bài toán 20: th c hi n phép tính (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ụ

23 Ố Ữ Ỉ

CHUYÊN Đ :Ề NHÂN, CHIA S H U T ÁP D NG. **********

.31

0, 75.8

1 3

1 2

1 + 6

1 7

1 2

5 4 : 9

5 7

�� : ��

� + � �

4 � � � � 5 : � � � � 9 � � � �

- - - - - c) b) a) Bài toán 1: Tính 11 23

� 2 � � 3 4

3 4 � 13 � �

25 16

27 8

2 3

1 + 2

9 125 � : � 16 64 �

� � �

3 � � � � 4 � �

12 23 � .230 � � 1 3

1 + 25 2 7

5 27 3 10 + 3 7

� � �

5 6 �� : 12 ��

- - - - e) g) d) -

A =

....

1 4 � 1 � � Bài toán 2: Tính 1 1.2

= -

- - - a) b)

66.

124.( 37) 63.( 124)

n 333333 303030

1 � v i ớ n N(cid:0) �+ 1 � 33333333 42424242

1 99.100 � � �

1 1 � �� 1 ..... 1 1 � �� 2 3 � �� 7 33 3333 � � 2020 4 12 �

� � �

+ + +

1 2.3 1 1 1 � + - + � 3 11 2 � Bài toán 3: Tính A = + 1

+ (1 2)

+ + (1 2 3)

....

(1 2 3 .... 16)

1 2

1 16

1 3 tế

- - c) d)

Bài toán 4: Tìm x bi

+ x

2 3

3 10

1 + = x 3

� = � �

- - a) b) c)

x +

3 7

3 � � 4 � 3 8

21 13 3 7

1 7

2 3 3 14

5 x + = 7 � 1) 2 � �

1 � = � 3 �

- - d) e) g)

- - - - . So sánh A v i ớ Bài toán 5: Cho

1 .....

1 2 1 4

1 9 11 21

2 5 1 1 � �� 1 ..... � �� 10 3 � �� 1 1 � �� 100 9 � ��

� . So sánh B v i ớ � �

- - - - Bài toán 6: Cho

ề ớ ng HSG Toán l p 7

193 + 17

33 34

� . � �

� 3 � � � 193 386 � �

1,11 0,19 13.2 + 2, 06 0,54

7 8

1 4

23 26

� 5 � �

� 0,5 : 2 � �

- Bài toán 7: Tính Các chuyên đ B i d 1931 9 � + . � 2 � ồ ưỡ � � � - - - - Bài toán 8: Cho

�� : � �� 1931 3862 � �� 1 1 � � + : 2 � � 4 2 � � x Z(cid:0) ể đ A

ọ

1 3

ị

0,125

0, 2

- - - - -

5 8

0,375

0,5

1 7 3 7

3 10

b) a) - - - - - - a) Rút g n A, B b) Tìm Bài toán 9: Tính giá tr các bi u th c sau 3 1 3 64 3 7 13 4 16 1 2 2 1 2 4 16 7 13 3 ể 3 256 1 64

1 :

= 128

5 :

1 - + 5 3 - + 5 4141 4242

20 21

636363 646464

1 1 + - 3 2 3 + 4 ��

� 4 � �

��

� � �

- - - - t ế Bài toán 10: Tìm x bi

Ộ Ố

Ị

Ệ Ố Ủ

Ế

x(cid:0)

Ứ : ị ấ ả i toán :

x(cid:0)

ủ

x (cid:0) y / / /x/ /y/

a(cid:0)

ố (cid:0) ộ ố ộ ổ ủ ủ (cid:0) ỏ ơ ệ

ớ (cid:0) (cid:0) Chuyên đ :ề I. GIÁ TR TUY T Đ I C A M T S A.KI N TH C ộ ố ư ệ ố ủ Giá tr tuy t đ i c a m t s l u ý các tính ch t sau trong gi ộ ố 1/ GTTĐ c a m t s thì không âm / x / ơ ặ ằ ớ 2/ GTTĐ c a m t s thì l n h n ho c b ng s đó / x / ơ ổ ớ 3/ GTTĐ c a m t t ng không l n h n t ng các GTTĐ /x + y / ệ Hi u không nh h n hi u các GTTĐ / xy/ 4/ GTTĐ : V i a > 0 thì: /x / = a <=> x = a / x / > a <=> (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ậ :

ị ủ ạ (cid:0) (cid:0) ứ : ớ ị ể ứ ộ 22 v i /x / = 0,5

ể 1 ặ ả / x/ < a <=> a< x< a Ệ B. LUY N T P 1. D ng: Tính giá tr c a m t Bi u th c Bài 1 : Tính Gía tr bi u th c A = 3 x Gi i: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 ho c x = 0,5

ế ế

N u x = 0,5 thì A = 0,75 N u x = 0,5 thì A = 2,75 ể ọ ứ ấ ứ ị ệ ố Rút g n Bi u th c có ch a d u Giá tr tuy t đ i

ể ạ 2. D ng : ứ ọ Bài 2 : Rút g n bi u th c A = 3 ( 2x 1 ) / x 5 / (cid:0) Gi i : v i x 5

ớ ớ

ợ ứ ị ủ ế ớ 0 <=> x (cid:0) 0 thì / x 5 / = x 5 0 <=> x < 5 thì / x – 5 / = x + 5 ỏ ng h p ng v i hai kh ang giá tr c a bi n x

ả ế ế ị ủ ứ ấ ứ ẳ Tính giá tr c a bi n trong Đ ng th c có ch a d u GTTĐ:

ế ế t 2 / 3x – 1 / + 1 = 5

ả

ườ ả ả v i x –5 < ườ Xét c 2 tr (cid:0) 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2 a/ N u x b/ N u x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( x + 5 ) = 7x – 8 ạ 3. D ng: Bài 3 : Tìm x . Bi Gi Xét c hai tr i : Ta có / 3x 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và 2 ợ ng h p :

ề ớ ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7

b/ 3x 1 = 2 => x =

ị ứ

ế ủ ổ

ả ườ 0 Do đó (1) x y ra 4 tr i : Ta bi n đ i /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /A/ ợ ng h p :

ố ợ ườ ng h p :

ả

0, b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> b = b (không x y ra ) 0, b (cid:0) (cid:0) ậ ứ ầ ỏ ẳ 0 thì (1) a = b = a + b <=> Đ ng th c n y luôn luôn 0, b (cid:0) 0 th a mãn bài toán .

ả ỏ 0 thì (1) a + b = a + b <=> a = a ( không x y ra ) (cid:0) ế ả ị

0, b (cid:0) ứ ủ ể ặ 0 ho c a < 0 , b > 0 ệ ố : ứ ấ

ủ (cid:0) ọ ớ 0 => 2 / 3x – 1 / (cid:0) 0

ủ ậ 4 i 3x – 1 = 0 <=> x = 1/3

ủ

ằ ạ i=2

GTNN

ủ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 ủ

(cid:0) ọ ớ 0 => / 4 / x 2 / (cid:0) 10

ậ 10 i x = 2

GTLN

khix

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

GTLNlla

khix

2/3

ủ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Các chuyên đ B i d a/ 3x – 1 = 2 => x = 1 1 3 ớ ẳ Bài4 : V i giá tr nào c a a,b ta có đ ng th c : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )? ả Gi / A / = A <=> A (cid:0) a/ a = 0 thì b tùy ý b/ b = 2 thì a tùy ý c/ a > 0 thì b < 2 d/ a < 0 thì b > 2 Bài 5 : Tìm các s a , b sao cho a + b = / a / / b / (1) HD: Xét 4 tr a/ a (cid:0) b/ a (cid:0) đúng.V y : a c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> a = b . Vây a < 0 và b = a th a mãn bài toán . d/ a < 0 , b (cid:0) ậ K t lu n : Các giá tr a,b ph i tìm là a 4 . D ngạ Tìm GTNN , GTLN c a bi u th c ch a d u GT tuy t đ i Bài 6: a/Tìm GTNN c a A = 2 / 3x – 1 / 4 V i m i x ta có / 3x – 1 / Do đó 2 / 3x 1 / 4 (cid:0) ạ V y GTNN c a A = 4 t b/ Tìm GTNN c a B= 1,5 + /2 x / ạ HD: B đ t GTNN b ng 1,5 t c/ Tìm GTNN c a C = /x3/ HD:Ta có x 0 Bài 7: a/ Tìm GTLN c a B = 10 4 / x 2 / V i m i x ta có / x – 2 / Do đó 10 4 / x 2 / (cid:0) ạ ủ V y GTLN c a B = 10 t ủ b/ Tìm GGLN c a B = / x+2 / HD: C= /x+2/ c/ Tìm GTLN c a C= 1 /2x3/ HD: D = 1/2x3/

ủ ớ Bài 8: Tìm GTNN c a C = ố v i x là s nguyên

ặ ặ

ủ

6 (cid:0)x 3/ Xét / x / > 3 => C > 0 Xét / x / < 3 => / x / = 0;1ho c 2 => c = 2 ;3 ho c 6 ậ V y GTNN c a C = 6 <=> x = 2 ; 2 . Bài 9 Tìm GTLN c a C = x / x /

ủ

ề ớ ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7

(cid:0) ấ 0 (cid:0) ủ ừ ậ 0

3 2 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) : Tìm giá tr bi u th c : 4/

3(cid:0)

ứ ọ ể (cid:0) ớ

ằ ớ (cid:0) ằ ớ x < 3và b ng 2x 5 v i x ớ 3.

ủ ứ :

ủ ủ

ủ (cid:0) ủ

ứ ủ

ủ Các chuyên đ B i d Xét x (cid:0) 0 => C = x x = 0 (1) Xét x < 0 => C = x – ( x ) = 2x < 0 (2) T (1) và (2) ta th y C V y GTLN c a C = 0 <=> x ị ể ứ Bài 10 ớ a/ A = 6 x v i x = 2/3 (đs 20/9) ớ b/ B = 2/x/ 4/y/ v i x = ½ và y = 3 (đs 8 ) Bài 11 : Rút g n bi u th c : a/ 3 (x 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 v i x ớ ;5x+ 3 v i x < 3) b/ 2 / x – 3 / / 4x 1 / (đs: = 2x+5 v i x < ¼ ; B ng 6x+7 v i ¼ (cid:0) ể Bài 12 : Tìm GTNN c a các bi u th c a / A = 2 / 3x – 2 / 1 => GTNN c a A = 1 <=> x = 2/3 b/ B = 5 / 1 – 4x / 1 => GTNN c a B = 1 <=> x = 1/4 c/ C = x 2 + 3 / y – 2 / 1 => GTNN c a C = 1 <=> x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN c a D = 0 <=> x 0 ể Bài 13: Tìm GTLN c a các bi u th c : e/ E = 5 / 2x 1 / => GTLN c a E = 5 <=> x = 1/2

ủ f/ F = => GTLN c a F =1/3 <=> x =2 (cid:0)

1 3/2 2 /

(cid:0)x x (cid:0) /

ố ớ g/ G = v i x là s nguyên

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 x

(cid:0) HD : Xét 3 TH : * x * x = 1 <=> C = 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * x

2 x

ấ ấ ớ ỏ ấ ớ ỏ Ta th y G l n nh t khi ấ nh nh t . Mà ấ l n nh t <=> x nh nh t

2 x ủ

ứ

ế t /x/ < a <=> a < x < a

t c x = 1 khi đó G = 3 => GTLN c a G = 3 <=> x= 3 BÀI 14: Tìm x sao cho : a/ / x 2 / < 4 HD: Ta đã bi Nên /x2/<4 < 4 <=> 4 < x 2 <4 <=> 4+2 < x < 4 + 2 <=> 2 < x < 6

1 2

(cid:0) (cid:0) ủ ể ả ị Bài 15: Cho A = /x Tìm kho ng gía tr nào c a x thì bi u

ứ ế

3 2 ụ

ấ ậ ả ộ th c A không ph thu c vào bi n x ? HD: Ta l p b ng xét d u :

x 1/2 3/2

ồ ưỡ ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

ề x 1/2 x 3/2 / + 0 + 0 / +

Xét các tr ợ ng h p: (cid:0)

(cid:0) x

2/3(cid:0)

(cid:0) ườ x<1/2 => A =(1/2 x) (3/2x ) = 1 1/2 => A = (x 1/2 )(3/2 x ) = 2x 2

ặ ị ể

ậ ụ ế

ộ Ị Ủ

Ẳ

Ị

ươ : (cid:0) X >3/2 => A = (x 1/2)(x 3/2) = 1 ứ ớ V y v i x < 1/2 ho c x > 3/2 thì giá tr bi u th c A không ph thu c vào bi n x Ể Ả Ế Ứ II.GÍA TR C A BI N Đ X Y RA Đ NG TH C Ứ Ệ Ố Ấ Ặ HO C BĐT CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I 1/Ph ng pháp chung

ặ ể ị ủ ệ ố ấ ẳ

ả ứ ả ấ ồ ẳ ể ậ ứ ử ấ ị ệ ố ứ ấ ị

3 I:Ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ế ằ t r ng : (1)

ư ứ ấ ả

ế Đ tìm giá tr c a bi n trong đ ng th c ho c B t đ ng th c ch a d u giá tr tuy t đ i là xét ị ủ các kho ng giá tr c a bi n đ l p b ng xét d u r i kh d u giá tr tuy t đ i . Ví d ụ 16: Tìm x .Bi a/ GI Xét x1 = 0 <=>x = 1 và xét x3 = 0 <=> x = 3 x1< 0 <=> x < 1 x3 < 0 <=> x < 3 x1> 0 <=> x > 1 x3 > 0 <=> x > 3 Ta có b ng xét d u các đa th c x1 ; x3 nh sau : 1 3 x 0 + / + x 1 / 0 + x 3

ẳ ứ

ị

ị ầ ầ ả ộ

ả ả

ậ ả Đ ngth c (1) (x+1)+(x+3)=6 (x1)+(3x)= 6 (x1)+(x3) = 6 2x=2 0x = 4 2x = 10 x=1 (không có giá tr x = 5 ộ (giá tr n y thu c nào tho mãn (1) ( giá tri n y thu c kho ng đang xét) kho ng đang xét) V y x = 1 và x = 5 thì tho mãn (1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x b/ x x+2 x5 2 5 0 + / + / 0 +

ả ượ ạ * Xét kho ng x <2 Ta đ c 2x = 4 <=> x= 2 (lo i)

(cid:0) x

5(cid:0)

ồ ưỡ ớ

(cid:0) x

ượ ớ ề ả ng HSG Toán l p 7 ả ậ Các chuyên đ B i d ọ Ta đ c 0x = 0 đúng v i m i x trong kho ng đang xét . V y 2

(cid:0) x

5(cid:0)

(cid:0) Xét kho ng2 5(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ 2 4

(cid:0) Xét kho ng x >5 Ta đ oc 2x=10 <=> x = 5 ( lo i) ạ ự ả ế K t lu n: x x x 2 c/ x x+3 x 4 3 4 0 + / + / 0 +

(cid:0) x

4(cid:0)

ả

ủ ị

ả ộ ộ c 2x = 7 <=> x= 3,5( thu c kho ng đang xét) ượ ả c 0x = 1=> không có giá tr nào c a x tho mãn. c 2x = 7 <=>x = 3,5 không thu c kho ng đang xét .

ế ả *Xét kho ng x < 3 ta đ ả *Xét kho ng 3 ả * Xét kho ng x>4 Ta đ K t lu n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ta đ ượ ậ : v y x = 3,55 ậ t: ế x 1 (2)

ươ Ví d 17:ụ Tìm x , Bi ự : T

(cid:0) x

3(cid:0)

ị ầ ả ng t (cid:0) Xét kho ng x< 1 Ta có (2) =>(1x)+*3x)3x<3<=>x>1( Giá tr n y không

3(cid:0)

ị thì (2)=>(x1)+(3x)2x>1 => Ta có các giá tr 1

ả ộ thu c khoo ng đang xét) (cid:0) Xét kho ng 1 ả (3) ả (cid:0) Xét kho ng x >3 => ta có (x1)+(x3)x<5.

ị

ừ ậ T (3) và (4) các giá tr c n tìm là : 3

ữ ạ Ta có các giá tr : 3

ở ệ . Trong nh ng d ng ể trên ta có th

)(xf

i b ng cách khác đ ngi n h n.

a(cid:0) )(xg(cid:0) )(xg(cid:0)

ố ươ

)(xf (cid:0))(xf

)(xg

ng pháp chung đã nêu ơ ả ằ = a ( a là h ng s d = g(x) <=>1/g(x) 0(cid:0) )(xf ng) <=>f(x)= & 2/f(x)= = 0 <=>f(x)=

)(xf

hay )(xg

ố ươ ố ươ ằ ừ + < a ( a là h ng s d > a ( a là h ng s d = 0 <=> f(x)=0 và g(x) = 0 ng ) <=>a< f(x)a

)(xf

ả ừ ư ạ Cách gi i t ng d ng nh sau :

ằ ố ươ ng)

ị ủ ộ ượ ộ D ng 1ạ ầ ượ t xét Ta l n l ỗ ầ M i l n tìm đ = a ( a là h ng s d f(x) = a và f(x) = a ượ c m t giá tr c a x ta đ ố c m t đáp s .

ớ ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7 Các chuyên đ B i d

(cid:0)x

(cid:0) (cid:0) t :ế

293

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ề BÀI 18: Tìm x . Bi 4 26 a/ HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = 19 5x = 15 5x = 23 x = 3 x = 23/5 = 4,6 V y x = 3 ; 4,6 16 ậ

(cid:0) (cid:0)

)(xf

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b/ HD: ....<=> x=1 và x = 10. 1 ủ ả Không có giá tr nào c a x tho mãn (cid:0) (cid:0) (cid:0) ẫ Ta có: ị .

c/ 3 4 HD: (cid:0)x ướ d/ H ng d n: Xét = g(x) D ng 2ạ

ệ ả ả

ả 0

ặ ả Ta ph i tìm x ph i tho mãn c hai điêù ki n: 1/ g(x) (cid:0) 2/ f(x) = g(x) ho c f(x) = g(x)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

5 ề

5,2 x

mdk

0 5

t /(4

)1(

khongtmdk

)1(

x ậ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ấ ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 19: Tìm x . t: ế a/ Bi Xét đi u ki n th nh t: 2x5 x 21 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ệ ề Xét đi u ki n th hai (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

5 V y x = 4 t:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế . b/ Bi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ấ ề ệ Xét đi u ki n th nh t 5x3

3 5 x

tmdk

)1(

3 x

tmdk

)1(

79 ậ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề ệ ứ Xét đi u ki n th hai (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

53 V y x = 1 ; 3 x 8

)(xg

)(xf

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c/ Bi t: ế (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 4 (cid:0))(xf ả

= 0

ệ ề

ặ ...<=> D ng 3ạ hay ả Ta ph i tìm x tho mãn hai đi u ki n f(x) = g(x) ho c f(x) =g(x)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ặ

ệ BÀI 20 : Tìm x . ế 5 t: a/ Bi HD: Ta có 17x5 = 17x +5 Ho c 17x5 = 17x 5 17x17x = 5+5 17x+17x = 5+5 0 x = 10 34x = 0 Vô nghi m x = 0

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

ậ

xg )(

xf )( ả

0 ả

b/ Bi (cid:0) (cid:0) (cid:0) ....<=> x =22 và 2 (cid:0) (cid:0)

ề ệ V y x = 0 ế t: / 3x+ 4 / = 2 / 2x 9 / 4 HD: D ng 4ạ . Ta ph i tìm x tho mãn 2 đi u ki n f(x)=0 và g(x)=0

BÀI 21 : Tìm x .Bi

13 14

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ t : ế 3 7

13 14

3 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ờ ằ ố ạ ả ồ HD: a/ <=> c hai s h ng đ ng th i b ng 0.

3 7

x + 13/14 = 0 <=> x = 13/14 và x 3/7 = 0 <=>x=3/7. (cid:0) ậ V y x =

13 14 ả x

2,4

/38,1 y

/ 12/

/2,4

38,1 2,4

0 0

38,1 1,2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ố b/ Tìm c p s x,y tho mãn : 38,1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HD: b/ ....<=>

(

)(1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c/

hoac

)3 x

3 hoac 1

)(1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HD: c/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 ả

xx ( x ( ặ ố ự d/ Tìm c p s th c x ; y tho mãn: / 2x0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0

/)5(1,0.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) HD: <=> / 2x

5 9

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) <=>

24 99 24 99 8 33

(cid:0) (cid:0) (cid:0) <=> / 2x

3&0

8 33

1 10 1 10 7 45 7 45

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Vì: /2x

8 33

7 45

8 33 7 45

7 45

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Nên: /2x /+/3y+ <=> (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

xf )(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ư ằ ( a là h ng s d ong) D ng 5ạ

. BÀI 22: Tìm x.

(cid:0)x

ớ ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7 (cid:0) ế Các chuyên đ B i d <=> 5 < 3x 1 < 5 ề t HD : a/

(cid:0)x

(cid:0) t ế

11 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ Bi 4 < 3x < 6 4/3 < x < 2 b/ Bi HD:b/ ...<=> 37 < 10x+7 < 37 <=> 4,4 < x < 3 ...<=>19 (cid:0) c/ Bi 38x t ế

(cid:0) a

xf )(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) D ng 6ạ

f(x) > a . f(x) < a

BÀI 23: Tìm x .

(cid:0)x

(cid:0) a/ Bi t; ế

x x

15 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HD: ...... <=> (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)x 2

(cid:0) (cid:0) b/ Tìm x . Bi t ế (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .......<=> (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 5 2 ặ ố

ề ệ ả Bài 24. Có bao nhiêu c p s nguyên (x;y) tho mãn đi u ki n sau : (cid:0)

ế ế ặ ố ặ ố c 2 c p s là (0;4)và(0;4) ượ c 4 c p s là ((1;3);(1;3);

(cid:0) 2 thì y = (cid:0) (cid:0) 3 thì y = (cid:0)

ế ế ượ ượ c 4 c p s là :................... c 4 c p s là :...................

c 2 c p s là .................... ẳ ượ ặ ố ứ (cid:0)

ự ả

4(cid:0) a/ 4(cid:0) ượ HD: N u x =0 thì y = ta đ (cid:0) 1 thì y = (cid:0) 3 ta đ N u x= (1;3);(1;3) ặ ố 2 ta đ N u x= ặ ố 1 ta đ N u x= (cid:0) 4 thì y = 0 ta đ ặ ố ế N u x= ả ượ ấ ả ậ t c 16 c p s tho mãn đ ng th c đã cho c t V y ta đ 4(cid:0) x y b/ ặ ố ấ ả ươ t c 7 + 10 +6+2 = 25 c p s tho mãn BĐT đã cho có t ng t HD. T BÀI 25: ả a/ Tìm x tho mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 x ) > 0 HD: a/ Cách 1

3/2

3/2 x

4/1

khongthedo

ngthoixayr a

3/2 (

)

x x

4/1

03/2 x 0

4/1

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Các chuyên đ B i d x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (x + 2/3 )( 1/4 x) > 0<=> (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ả ấ

<=> 2/3 < x < 1/4 ậ Cách 2: L p b ng xét d u: Giá tr xị ấ d u x+3/2 ấ d u 1/4x ứ ấ ủ d u c a B.th c 2/3 1/4 0 + / + + / + 0 2/3 + 1/4

1 x

x 2 3

ứ ể ế ậ V y Bi u th c > 0 n u 2/3 < x < 1/4 (cid:0) (cid:0) ả b/ Tìm x tho mãn: (cid:0)

2/1

khongthexa

yra

(

)

01 x

4/1

1 x

x 2 3

2/1

01 x

1 x

x 2 3 ậ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HD: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ

Ứ

ể V y bi u th c < 0 khi 3 < x < 1/2 Chuyên đ 2:ề CH NG MINH TAM GiÁC

Ủ Ổ

ế ứ ầ ớ :

ộ ổ ủ

ỗ ủ ề ớ

ề ớ ằ ằ ộ

ủ ổ ổ ủ ằ ộ

ủ ề ổ

ở ỉ ạ ổ ộ ộ ằ đ nh c a m t ngôi sao năm c nh ? (cid:0) ủ ẽ ứ BC ) Ch ng minh :

ủ ị

(cid:0)

ẽ ắ ạ ộ i O .

ẽ ạ ộ ? E ẳ i B và C c t nhau t i I . Tính góc BIC theo ?

$1.. T NG BA GÓC C A TAM GIÁC Ki n th c c n nh ằ ộ 1 T ng 3 góc c a m t tam giác b ng 180 đ . ọ ụ 2 Trong tam gíác vuông 2 góc nh ph nhau . ổ ằ 3 M i góc ngoài c a tam giác b ng t ng hai góc trong không k v i nó. ơ ớ 4 Góc ngoài c a tam giác l n h n 1 góc trong không k v i nó . ứ BAÌ 1 a/ Ch ng minh t ng 3 góc trong tam giác b ng 180 đ ?(B ng cách khác SGK) ứ b/ Ch ng minh t ng các góc ngoài c a m t tam giác b ng 360 đ ? ứ c/ Ch ng minh góc ngoài c a tam giác b ng t ng hai góc trong không k ? BÀI 2: a/ Tính t ng các góc b/ Cho (cid:0) ABC : AC >AB . V phân giác AD ( D Góc ADC góc ADB = góc B góc C ? ử ụ HD. S d ng đ nh lý góc ngoài c a tam giác . BÀI 3 Cho (cid:0) ABC có góc A = (cid:0) V tia phân giác BD và CE ( D tu c AC; E thu c AB ) c t nhau t a/ Tính góc BOC theo (cid:0) ạ b/ V phân giác ngoài t

(cid:0)

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

0 +

ướ ổ H ng d n ẫ : T ng quát : Ô = 90 và góc I = 90 0

ˆ ˆ CBBA

2 ủ ˆ ˆ BC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) t = 20 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 ˆ ế BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài c a tam giác ABC . Bi ˆ ˆ ˆ = 3 Bˆ = 180 0 , HD : ..=> Â = Bˆ + 20 0 , CBA ˆC = 140 0 ˆA =100 0 ; ˆB = 120 0 , => Bˆ = 60 0 , Â = 80 0 ; Cˆ = 40 0 & ứ ˆ (cid:0) BA ˆ BÀI 5 : V thêm và dùng đ nh lý góc ngoài . Ch ng minh : AÔ B = a A

ƯỜ

NG H P B NG NHAU C A HAI TAM Gia

ẽ ị

ề ạ ạ

ạ

ạ ọ

(cid:0) vuông cân ˆ: 090 ABC A

(cid:0) O b B Ủ Ợ Ằ $2. CÁC TR Tam giác vuông Tam giác C nh huy n + C nh góc vuông TH 1. CCC Hai c nh góc vuông TH 2. CGC ề ọ ề TH 3. GCG C nh GV+ G.nh n k ; C.Huy n +G.nh n Ệ : Ộ Ố $ 3. TAM GIÁC VÀ M T S TAM GIÁC Đ C BI T (cid:0) Ặ . Đ UỀ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ABC : Đ nh nghĩa VUÔNG ABC : Aˆ = 90 0 AB=BC=AC AB=AC

ˆ ˆ ˆ CBA

ˆ ˆ (cid:0) CB

Bˆ =

=180 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Quan h cácệ góc 60 0 = 90 0 = 45 0

(cid:0)

. Cân ABC: AB = AC ˆ ˆ (cid:0) CB ˆ 180 A(cid:0) 2 Bˆ20 (cid:0) Â=180

(cid:0) ạ ổ

AB (cid:0) BC BC > AB BC > AC

Quan h cácệ c nhạ AB=AC AB=BC=AC AB=AC= c BC= c 2 ạ ạ Tam giác A,B,C không ẳ th ng hàng ˆ ˆ (cid:0) Â+ CB ˆ ˆ C A 1 ˆ ˆ C B 1 1 c nh< T ng và > Hi u ệ i 2c nh còn l

ạ ẽ ạ ỉ ứ i I . V tia phân giác ngoài t

ộ

B 44

BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 đ , ộ Bˆ = 60 đ . Hai tia phân giác c a góc B và C c t ắ ủ ộ A ạ ắ nhau t i D . Ch ng minh góc BDC = góc C i đ nh B c t tia CI t ? HD: Tính góc C = 40 đ . Tính góc BDC = 180 0 –(90 +30)

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d ộ = 40đ =>gócC =góc

ẳ ể ủ ườ ủ ạ ớ ng th ng AB v i tia phân giác c a góc ngoài t i

ọ ỉ

Cˆ => góc C = 18 0

ề

ẻ ộ

  CB

(cid:0) ộ ộ =54+18 =72 đ =>gócE =180–(81+72)= 27 đ .

BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 Bˆ và Bˆ = 3 Cˆ . a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ G i E giao đi m c a đ đ nh C . Tính góc AEC ? B HD : a/Qui v góc C =>góc A+B+C =10 ộ ộ => Bˆ = 54 đ ; Â = 108 đ . ơ ề b/ K tia AC x k bù v i góc ACB=> góc AC x = 162 đ A => AC E = 81 đ vàộ Â 2 = C

ỏ ỷ ệ ớ l v i 3;2;1 .H i tam giác ABC là

ộ

ạ i A .

PQR .

ố ẻ ế ằ liên ti p và AB < (cid:0) (cid:0) ộ ABC (cid:0) ủ ế ộ t

ọ ộ ạ

E BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C t tam giác gì ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 đ => Tamgiác ABC vuông t BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi b ng 21 cm . Đ dài 3 canh là 3 s l ạ BC < CA . Tim đ dài 3 c nh c a tam giác A. Bi A HD : G i đ dài 3 c nh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và CA = 2n +5 . Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2 =>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm

ABD

ABC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ CDB ấ CDA ứ ằ ?

B C BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x l y A , B và trên Oy l y C,D sao cho OA=OC ; AB = CD . Ch ng minh r ng : a/ b /& D

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ABC

cgc

CDB

ABD

cgc

CDA (

(

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Các chuyên đ B i d C HD :

ẳ ng th ng qua

ế ườ ớ

ườ ẳ ứ ự ườ ọ ơ ọ ườ t AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .G i đ ớ ẳ ể giao đi m các đ ng th ng qua C và ng th ng b và c ; a và c ; a và

ộ ?

A B BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Bi A và song song v i BC là a .Đ ng qua B song song v i CA là b và đ song song v i AB là c . G i M,N,P theo th t ạ b . Tìm đ dài các c nh tam giác MNP

ABC

BAP

gcg

CNA (

);

MCB . ạ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ

ấ ạ

ABC A HD : Ch ng minh ủ =>Các c nh c a tam giác MNP dài g p đôi các c nh ươ ứ t NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm .

ủ ng ng c a tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ;

B C

(cid:0) ạ ủ ẻ AM và CK AM(cid:0) .

ọ ứ

ủ

ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

MH gocHCB

BHM HCM

CKM KBM

gocKBC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) M ể BÀI 12 : G i M trung đi m c nh BC c a tam giác ABC , k BH Ch ng minh : a/ BH // CK ể A b/ M trung đi m c a HK c/ HC // BK ? H H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc v i AM . B M C b/ c/

ề ẽ ấ ọ i ta v phía ngoài tam giác y

cgc

AMN

)

MLC

( cgc

ALN

(

)

ề BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đ u nh n . Ng ba tam giác đ u LMA ; MNB và NLC . Ch ng minh r ng : LB = MC = NA ? (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ LMB ườ ằ NA HD : => LB = MC = NA . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

L A

M N

ắ ộ

ạ i M . a/ Ch ng minh góc BIC là góc tù ?

B BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 đ ; ộ Bˆ = 60 đ . Phân giác góc B;góc C c t nhau tai I và ứ ắ AI c t BC t b/ Tính góc BIC ?

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d A HD:a/ Góc I 1 > góc A 1 Góc ngoài tam giác BIM Góc I 2 > góc A 2 góc ngoài tam giác CIM

 góc I > góc A = 90 đ = > góc BIC là góc tù . ộ

ắ ộ ạ i D .

ˆ ˆ ˆ DABD

ˆ ˆ AC 2

ˆ DD (cid:0) ˆ

ố (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 20 0

ˆ ˆ DD 1 ˆD =100 0 ,

ˆ ˆ CB ˆD = 80 0

ộ = 180 đ =>

C b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 đ .ộ M B BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 đ . Tia phân giác góc A c t BC t Tính s đóc góc ADC ? góc ADB ? A HD : => Ta có Mà

ọ ẽ ạ ằ ẳ

ố ớ ẽ ạ ẳ ằ

ứ

ABE

(cid:0) (cid:0)

ADC (cid:0) ọ

= KBHgocDAH BKH

ADH

=> DE = BE ớ D D BE ? (gcg ) ể & ể B D C BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nh n . V đo n th ng AD vuông góc và b ng AB ( D ố ớ khác phía C đ i v i AB ) V đo n th ng AE vuông góc và b ng AC ( E khác phía B đ i v i ằ AC ) . Ch ng minh r ng : a/ DC = BE ? b/ DC (cid:0) E HD : a/ D c./ G i H là giao đi m AB v i CD và K là giao ớ A đi m DC v i BE.

ắ ở D . Trên tia đ i BD

ố ứ ể ấ ố

ể ằ

KCA

(cgc

)

(cid:0) (cid:0) ứ ABE (cid:0)

B C BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 Cˆ . Tia phân giác góc B c t AC ấ l y đi m E sao cho BE = AC . Trên tia đ i CB l y đi m K sao cho CK = AB . Ch ng minh r ng : AE = AK ? HD : Ch ng minh góc ABE = góc ACK => AE = AK . A => D

B C K

ề ớ ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7

ớ ể

ố ấ ể ố ứ ể

ể ủ

AKM

BKC

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

gocKAM BC

cgc ( CEB

AEN

gocKBC AN BC //

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ẳ

ể

Các chuyên đ B i d ể BÀI 18 : Cho tam giác ABC v i K là trung đi m AB và E trung đi m AC . Trên tia đ i tia KC ấ l y đi m M sao cho KM = KC . Trên tia đ i EB l y đi m N sao cho EN = EB . Ch ng minh A là trung đi m c a MN ? HD: M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N th ng hàng (1) AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2) ủ ừ T (1) &(2) => A là trung đi m c a MN . K E

(cid:0) ẽ ề ạ (cid:0) i A là có AB = AD ; AC = AE . K AH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN

ứ ằ

ể

B C BÀI 19 : Cho tam giác ABC. V v phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông t ẻ ADB ; ACE vuông góc AH . Ch ng minh r ng a/ DM = AH N E b/ MN đi qua trung đi m DE . D M

BAH

ADM

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ươ ự câu a => EN=AH =>DM=EN ng t

DMO

)

OE ẽ ể

gcg ( ể

ứ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ENO ể OD

ọ

ủ ứ ể ằ

ˆ DFC

BDC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) A HD : a/ ...=> b/ ...=> t Ch ng minh DM//EN và g i O giao đi m MN và B H C DE => ẻ BÀI 20 : Cho tam giác ABC. g i D trung đi m AB và E trung đi m AC. V đi m F sao cho E là trung đi m c a DF . Ch ng minh r ng : A a/ DB = CF b/

D E F c/ DE // BC & DE = BC

1 2 BD

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

AED DBC (cid:0)

CE F FCD

(cgc) (cgc )

(cid:0) (cid:0) HD: a/ ...=> B C b/ ...=>

BDC

FCD

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c/ ...=> .

ạ

ườ ắ

ẽ ườ ứ ạ ng th ng //AB c t BC t i K.Tacó EN//BK

ứ ắ ượ c NK=EB;EN=BK

ADM

NKC

(

)

ấ ể ẽ BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên c nh AB l y đi m D ; E sao cho AD = BE. Qua D và E v ứ ự ở ng song song BC chúng c t AC theo th t M và N . Ch ng minh DM + EN = BC ? các đ ẳ A HD: Qua N v đ EB//NK nên ch ng minh đ ằ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)  AD= NK ( vì cùng b ng EB ).  Ch ng minh cgc ứ ...=>....

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d N E

ắ ạ ắ i I và c t

ˆ ˆ CB 1

120 2

ứ ự ứ B F C BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C c t nhau t AC ; AB theo th t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A HD : ...=>

ˆ CIB

BIC

ˆ I 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) D ; E . Ch ng minh : ID = IE ? ˆ ˆ CB 2 120

ˆ I 4 ˆ I 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

BIK

BIE

ˆ I 1 IK

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

( CIK

CDI

)

(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ˆ E I D IK phân giác CIB gcg ) gcg

ˆ&ˆ EBDECA

ˆ CKB

ạ ạ B K C ẳ BÀI 23 : Cho hai đo n th ng AB và CD c t nhau t i E . Các tia phân giác (cid:0) (cid:0) ở ứ ắ c t nhau K . Ch ng minh : ? ắ CDBCAB 2

KGB

ọ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể AGC

ˆ ˆ BK 1 ˆ ˆ CK

KHC

DHB

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) K D HD: G i K là giao đi m CK&BE. H là giao đi m BK&DE A H Xét G Xét

ˆ K

ˆ ˆ ˆ DAK

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ E T (1) &(2) => 2 => ể ˆ ˆ (1) CA 1 ˆ ˆ (2) BD ˆ ˆ DA 2

ớ

ử ặ ặ ử ứ ứ ẳ ẳ ấ

ẽ ấ C B ờ ể BÀI 24 : Cho tam giác ABC v i M trung đi m BC . Trên n a n t ph ng không ch a C b AB ờ ẽ v A x vuông góc AB và l y D sao cho AD = AB . Trên n a m t ph ng không ch a B b AC v Ay vuông góc AC và l y AE = AC .

1 2 DE

ứ ED : a/ AM =

ạ ạ ẳ ấ ỏ DE = 2AM t o ra đo n th ng g p đôi

ể ứ ằ ấ

)

(

gt 0

A (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

180

)

DAE ˆ 0 Avi 1

180 ˆ

ứ Xét ˆ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

( ˆ

vibu

)ˆ A

(

ABK ˆ Và AEAD ˆ ˆ ˆ ˆ BB CB 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ch ng minh b/ AM (cid:0) H E HD :a/ Đ ch ng t ố AM b ng cách trên tia đ i MA l y MK = MA và đi ch ng minh DE = AK AE AD ); ˆ (1) A 2 ˆ ACBAKBA 180 (2)

EADKBA

ABK

DAE

DE 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ V y :

ˆ HADD

ˆ HDA

ể (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B M C b/ G i H là giao đi m AM&DE ; Ta có ˆ ọ HADKAB

ề ớ ng HSG Toán l p 7

ẽ ề ộ ọ BÀi 25 Mi n trong góc nh n xÔy v Oz sao cho xÔz = ể yÔz .Qua đi m A thu c ồ ưỡ Các chuyên đ B i d 1 2

ở ứ ấ ắ ẽ B .Trên tia Bz l y D sao cho BD = OA . Ch ng minh tam

ABEA

(cid:0) ADE

ˆ& (cgc

)

(cid:0) EBˆ => AO=AD => (cid:0) AOD cân

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ẽ HBOEBA (cid:0) (cid:0) Oy v AH vuông góc O x c t Oz gíc AOD cân ? ể ứ HD : Đ ch ng minh AO = AD ta v DE = OB ˆ A Ta th y :ấ BEA 90 AOB (cid:0) =>

ủ

ẽ ề ẽ

ể ẽ ứ

ủ ọ ớ

(cid:0) (cid:0) ẽ ễ ứ d dàng ch ng minh đ ượ c

E D B O H h BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác c a góc xÔy . M là đi m mi m trong góc yOz. V MA vuông góc O x,V MB vuông góc Oy,V MC vuông góc Ot . Ch ng minh 0C = MA – MB ? ể HĐ: G i E , I là giao đi m c a MC v i Oy;O x. y => (cid:0) EOI đ u => OC = EK . ề EKMA ; z M V EH B MH = MB ; EK = OC

 MAMB = MA – MH = HA = EK = OC

H E t

ắ ộ ở D.

gcg

)1(

(

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) trên c nhạ BDK ứ ạ Ch ng minh tam gíac DKE cân t i D

O I x A K BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 đ . Tia phân giác góc B c t AC ứ Ch ng minh BC = BD + AD ˆ ˆ&60 KDB EDB BDA =>DK = DE (2)

ứ ạ i E=>DE=EC (3)

ừ Và ch ng minh tamgiác DEC cân t T (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD

ẽ ườ ể ấ ố

ố ấ ứ

ABI

cgc

KCA ( ộ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

B K E C ọ BÀI 28 : Cho tam giác ABC nh n. V đ ng cao BD ,CE . Trên tia đ i BD l y đi m I. Trên ể tia đ i CE l y đi m K sao cho BI = AC , CK = AB . Ch ng minh (cid:0) AIK vuông cân ? HD : Ch/minh A Góc AIK=90 đ (vì góc E = góc K (cmt) Suy ra : tam giác AIK vuông cân

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d B C

ể ể ể ồ ấ

ể (cid:0)

ứ ọ E F ứ ể

F E

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

E(2 ß OM

OMB

ONE

cgc

AB & F E AB gocM OM

OAB (

90do

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ộ ấ BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 đ L y đi m A trên O x và đi m B trên Oy . R i l y đi m E trên tia ố đ i O x và đi m F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA . a/ Ch ng minh AB = E F và AB b/ G i M,N là trung đi m AB, E F Ch ng minh tam giác OMN vuông cân ? cgv) HD : a/ & b/ y OMN vuông cân B F

N M

E O A

ạ ể ầ ượ ấ t l y 2 đi m M và N sao cho AM

ọ ằ ứ

ộ

ˆ B 1

cgc 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ACM ề CBN (

BOCcoB

ˆ& C 1 60

CM )ˆ

Cˆ O

180

120

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ổ ệ ) ˆ( CB

ề BÀI30: Cho tam giác đ u ABC, Trên 2 c nh AB,AC l n l ể = CN . G i O là giao đi m CM và BN . Ch n ninh r ng : A a/ CM = B N ố b/ S đo góc BOC không đ i khi M và N di đ ng trên AB,AC tho mãn đi u ki n AM = CN. M HD: a/ b/ N O

ị B C Chuyên đ :ề TAM GIÁC VUÔNG TAM GIÁC CÂN ..... A. TAM GIÁC VUÔNG : 1/ Đ nh nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ?

ớ ề ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7

ˆ (cid:0) CB ˆ

090 2

(cid:0)

ABC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ộ ˆ: A

ị ộ

0 ;90

AB .

ABC 2

AH 2

;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; (cid:0) (cid:0) Các chuyên đ B i d 2/ Tính ch t : ấ Tam giác ABC : Â=90 đ <=> Đ nh lý PyTago: 090 ố B ba s Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29).... ệ ứ Các h th c trong tam giác vuông: ˆ: A BC BH

ABC

ˆ: A

;90

1 2

AMCS

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ọ

ằ ề ề

ợ ằ ề ườ ạ ng h p hai tam giác vuông b ng nhau: 2 cgvChuy n

ố ộ ẽ ạ i A và góc C = 45 đ . V phân giác AD.Trên tia đ i AD

ấ ố

ứ

(

FCB 0

135 CF 0

ướ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

90 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ˆ (cid:0)FC BE ˆ FFBA ˆ ˆ BFBA

90 )

hayE

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A C F Mà: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) S AMB = ộ ộ ộ ằ Tam giác vuông có m t góc nh n b ng 60 đ (30 đ ) ạ ử là n a tam giác đ u ( c nh b ng c nh huy n ). Các tr Toán nâng cao: BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông t ấ l y AE = BC.Trên tia đ i CA l y CF = AB . Ch ng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF . ứ ẫ : a/ Ch ng minh : BÂE = H ng d n BAE cgc ) A Ch/minh : ˆ: ˆ D b/ ABF A ˆ (ˆ BF cmt ˆ FB

ể ể

ứ

DMEDBAME

ADB

;

ướ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ AB ẫ : Trên tia đ i AD l y DE = DA ố cgc ( ) BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung đi m BC; D trung đi m BM . Ch ng minh : AC = 2 AD A H ng d n =>

)1(

EMD 1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) => AB=ME=

gocngoai

(

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ˆ MBA

cmt

(

(cid:0) (cid:0)

2 (2) và AM chung (3)

CMAEMA

(cid:0) ặ ;ˆ MABBAMCMMAME 2 ˆ M ); ˆ ậ

AMC

2AD

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ MCME (1) B D M C M t khác: 1 ˆ Mà: BM 1 ˆ V y : E T (1),(2) và(3) suy ra

ACE

ề (cid:0) ạ ớ ấ ồ ưỡ ẽ ộ i A và góc B= 60 đ . V tia C x và l y CE = CA (cid:0) ớ ấ ng HSG Toán l p 7 BC ứ

ẳ (cid:0) ướ

ứ (cid:0) ẫ : a/ Ta có CA = CE (gt) => CEAcan ộ ế đ u ề (cid:0)

ˆ EACCABABF

180

90 ẳ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ể Các chuyên đ B i d BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông t ( CE và CA cùng phía v i BC). Kéo dài CB và l y F sao cho BF = BA . Ch ng minh : a/ ề đ u b/ E,A,F th ng hàng ? H ng d n Ch ng minh ti p góc ACE = 60 đ Suy ra : CAE E b/ Ta có : BA = BF (gt) => BFAcan Suy ra : góc BA F = 30 đ ;ộ A ˆ V y:ậ Ta suy ra ba đi m F;A;E th ng hàng .EAF

ắ ạ ạ i A . Tia phân giác góc B và C c t nhau t ẻ i O . Qua O k

ạ ạ i E .

135

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ˆ( B 180 DBOcan

)ˆ C 2 DB

180 DO

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

can OC ậ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

F B C BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông t ườ ắ i D và c t AC t đ ng song song BC,cát AB t ổ ứ Ch ng minh : a/ Góc BOC không đ i . b/ DE = DB + EC ˆ A HD : a/ COB b/ O D E V y DB+EC=DO+OE=DE

ẻ

ố ấ ườ ẳ ạ ứ i F. Ch n minh :

ướ

ˆ H

ˆ B

ˆ& B

ˆ2 H

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ẫ Ta có BH= BE => (cid:0) BEH cân => ˆ2 ˆ H H

ˆ H

Fˆ&ˆ HAC

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ậ

ừ

B Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. K AH vuông góc BC : BÀI 5 ắ ộ (H thu c BC) . Trên tia đ i BA l y BE = BH . Đ ng th ng EH c t AD t FH = FA = FC . ˆ HE (cid:0) ˆ A H ng d n: ˆ ˆ Mà H C 1 ậ F V y tam giác FHC cân =>HF = HC (1) ặ M t khác : Â = 90 B V y tam giác FAH cân => FA = FH (2) H C T (1) và (2) => HF = FA = FC E

ộ Ở ề ẽ mi m ngoài tam giác v các tam giác vuông cân

' , FF vuông góc xu ng BC . FF

ứ ừ ố (cid:0) (cid:0) ẳ ng D D ' DD

ẳ ộ Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 đ . ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF). a/ Ch ng minh : D,A,F th ng hàng ? ườ ẻ b/ T A và F k các đ ứ Ch ng minh : HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 đ =>A,D,F th ng hàng

DBD

DD '

ề ớ Các chuyên đ B i d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ồ ưỡ BAH ng HSG Toán l p 7 BH

CFF

AHC '

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ẻ A b/ K AH BC =>

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) AB ;

ˆ CAB

120

(cid:0) (cid:0) ẻ ừ ạ K AD phân giác góc A .T A h DE

AC .

ẽ ườ ạ ắ ng th ng // AD c t AB t i M , tam giác

(cid:0) đ uề

ứ ộ

B C Bài 7 : Cho ABC : DF (cid:0) a/ Tam giác DE F tam giác gì ? ẳ b/ Qua C v đ ACM là tam giác gì ? A HD: a/ Ch ng minh DE = DF và góc EDF = 60 đ => F b/Tam giác ACM đ u .ề E

ừ ủ ẳ Tam giác ABC có AB > AC .T trung đi m M c a BC k đ

ắ ạ ứ ể ắ i H c t AB,AC l n l ẻ ườ ầ ượ ạ t t ng th ng vuông góc i E và F . Ch ng minh

;

B D C : BÀI 8 ớ v i tia phân giác góc A và c t tia phân giác t r ng:ằ (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ BE = CF b/ AE =

ˆ BBCA 2

(cid:0) c/ góc BME =

CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF

AB (cid:0)

2 AC

AB (cid:0)

ứ HD: a/ Ch ng minh góc F = góc E ẻ K CD // AB =>BE=CD (1) A Mà (cid:0) b/ Ta có AE = AB BE Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC AC  AE=

ươ ự E T ng t : 2BE=ABAC => BE =

(cid:0)EC

EMˆB&FˆBCˆAFˆ

2 BEˆ

(cid:0)

BˆBCˆAEMˆ2B

EMˆB

BˆBCˆA 2

M C c/ Ta có : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ứ Ổ Ế F B. TAM GIÁC CÂN B SUNG KI N TH C:

Các chuyên đ B i d

ằ ấ ộ ồ ưỡ ộ ng HSG Toán l p 7 ớ ố ớ ệ ạ ọ 1. Trong m t tam giác vuông có m t góc nh n b ng 30 đ thì c nh đ i di n v i góc y

ề ộ ử ạ ề ằ b ng n a c nh huy n.

ộ ộ 2. M t tam giác vuông có góc nh n b ng 30 đ (hay b ng 60 đ ) thì tam giác vuông đó

ằ ạ ằ ệ ọ ố ề ạ ạ ố

ử ọ ộ ộ ề ệ ằ b ng n a tam giác đ u.C nh đ i di n góc vuông là c nh tam giác đ u và c nh đ i di n ề góc nh n 60 đ là chi u cao tam gióc đ u.

ử ạ ề ằ ộ ố ề 3. Trong m t tam giác vuông có m t c nh góc vuông b ng n a c nh huy n thì góc đ i

ệ ạ ớ ạ ộ ạ ằ ấ ộ di n c nh v i c nh góc vuông y b ng 30 đ .

4. Trong tam giác cân:

ạ ằ

ế ứ ứ ằ

ằ ạ ạ ng cao ng v i 2 c nh bên b ng nhau.

ớ Hai trung tuy n ng v i 2c nh bên b ng nhau. ớ Hai phân giác ng v i 2 c nh bên b ng nhau. ớ ứ ườ Hai đ IỎ : TOÁN CHO HS GI

ọ ộ ườ ọ ầ ượ t là trung

ể

ị ạ ủ

ứ ể

BÀI 9: Cho tam giác nh n ABC có góc Â= 60 đ . Đ ng cao BD. G i M,N l n l đi m AB ; AC. a/ Xác đ nh d ng c a tam giác BMD ? Tam giác AMD ? ấ b/ Trên tia AB l y đi m E sao cho AE=AN . Ch ng minh CE vuông góc AB ? HD: A D M E N

ề ớ ạ

ộ ề

ế ạ i E =>

ể ạ ạ ấ i A. Trên c nh BC l y 2 đi m M,N sao cho

B C ế ứ Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuy n ng v i c nh huy nAB nên: MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân. Mà Â=60 đ => tam giác AMD đ u. ộ b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 đ =>tam giác AEN ề đ u=>EN=NA=CN=AC:2. ậ V y tam giác EAC có trung tuy n EN=AC:2=>tam giác EAC vuông t CE vuông góc AB Cho tam giác ABC vuông t BÀI 10: BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ? HD: B N = 1 = M 1

ˆ B

ˆ M

180 2

A C (cid:0) (cid:0) ạ Tam giác BAM cân t i B=>

ˆ C

ˆ N

180 2

(cid:0) (cid:0) ạ Tam giác CAN cân t i C=>

ˆ NAM

180

)ˆ

180

135

ồ ưỡ ớ ề ng HSG Toán l p 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ˆ( NM 1 ườ

ằ ế ng cao AH và trung tuy n AM chia góc A thành 3 góc b ng

ứ

ề

Các chuyên đ B i d V y : ậ BÀI 11: Cho tam giác ABC đ nhau. a/ Ch ng minh tam giác ABC vuông ? ấ b/ Tam gi cBM là tam giác đ u ? HD: A

ư ẽ

MAH

MAI

ˆ C

CAH

ng ).

hC .

(

ˆ&30

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B H M C a/ V MI vuông góc AC . Ch ng minh 1 2

ạ i A.

ề ằ ộ ộ Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông t ộ ộ b/ Ta có góc C=30 đ ;góc B=60 đ ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có m t góc b ng 60 đ => tam giác ABM đ u.

ạ ằ ộ ộ ộ

BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 đ ,góc C b ng 60 đ . Kéo dài BC m t đo n CD sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ? HD: A

ẻ ạ ộ H 1 2 2 1 1 B C D K BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông t i H và góc C=60 đ => góc

CDH

can

ˆ BCA

HDBcan

)1(

ˆ B 1

ˆ D 1

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Xét

1 2 ộ

ạ i H có góc B2=7530=45 đ =>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2).

ừ tam giác HAB vuông t T (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân.

ˆ D

ˆ BDA

ˆ H

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta suy ra

ồ ưỡ ớ ề ng HSG Toán l p 7

Ị PYTAGO

: Các chuyên đ B i d Đ NH LÝ: Ế KI N TH C B SUNG

Ứ Ổ ạ ằ ề

;

)

(

)

);

(

)

x 1

y 1

xByxA 1

x 1

y 1

ẳ ả ả ể 2 ạ ạ ộ ự i 2 đi m trong m t ph ng to đ : 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ạ ứ ấ

1. Trong tam giác vuông cân có c nh bên băng a thì c nh huy n b ng a 2. Kho ng cách gi x x ( ( BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32. ằ Trên c nh AC l y M sao cho AM =7. Ch ng minh r ng : a/ Tam giác ABC vuông ? b/ góc AMB = 2góc C. HD: A 7 M

24 32

B 40 C

40.40 2

(cid:0) (cid:0)

1600

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

1600 32.32 24.24 ABCvuongta

(cid:0) AC 1600

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ Tam giác ABC có: BC AB V y ậ

24 AC

7 AM

(cid:0) (cid:0) ứ b/ Ch ng minh ram giác MBC cân : BM= (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ậ

Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài) V y góc AMB = 2. góc c ườ BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đ ng cao AH = 24 . Tính BC ? A A

25 24 24 26 25 26

ượ

c HB= 7 ; HC= 10 ữ ọ

ằ ằ ế ế

ạ ạ ộ ề ỷ ệ l 8 và 15. C nh huy n 51 cm. B H C H B C (H1) (H.2) Tính đ N u góc B nh =>H n m gi a BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1) N u góc B tù => H n m ngoài BC=>BC=HCHB=107=3 (h2) ủ BÀI 15: Đ dài hai c nh góc vuông c a tam giác vuông t

ề ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ạ

k )8(

2601

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ạ s tam giác ABC vuông t 2 2 )15( i A. =>AB=8k và AC=15k 2 2 51 3

ậ

ạ ể ố Cho tam giác ABC vuông t

ườ ứ ạ ạ ấ i A. Đ ng cao AH,trên đó l y đi m D. Trên tia đ i HA i F . Ch ng minh EB vuông góc ắ i D c t AC t

Các chuyên đ B i d ộ Tính đ dài 2 c nh góc vuông ? ả ử HD: Gi Ta có AC k 289 V y AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m ườ BÀI 16: ấ l y E sao cho HE=AD. Đ ng vuông góc AH t E F ? HD: A

D F

B H C

)

(

)

(

ị ượ c: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

BH 2

AH 2

DF 2

(

)

(

E Vì AD=HE=>AH=DE ụ Áp d ng Đ nh lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta đ AD 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

) ạ

HE ả

ị i E=> EB vuông góc E

BF ậ ộ

ấ ỏ ố ọ : M t cây tre cao 9 m. B gãy ngang thân. Ng n cây ch m đ t và cáh g c 3m . H i

V y theo đ nh lý đ o Py ta go=> tam giác BE F vuông t ạ ị BÀI 17 ố ể đi m gãy cách g c bao nhiêu mét ? HD : B

ể ấ ọ ố

AC 2

CD 2

met

)

C x? = A D ể ề ọ G i AB chi u cao cây tre . Đi m gãy C . Ng n cham đ t cách g c 3 m là đi m C thì CB=CD . (cid:0) (cid:0) Tam giác vuông ACD có : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ạ ộ ể ẳ

ặ BÀI 18: Trong m t ph ng to đ cho các đi m A(5;4); B(2;3) và C(6;1). Tính các góc tam giác ABC ? HD x

ồ ưỡ ề ớ ng HSG Toán l p 7

Các chuyên đ B i d 4 A(5;4)

3 B(2;3)

1 C(6;1)

)34(

)1(10

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x O 2 5 6 Ta có :

)2(10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)2AB 2 AC BC

)25( )65( )26(

)14( )31(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ABCvuong

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ừ ậ ộ ộ T (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB V y góc A =90 đ . góc B = góc C= 45 đ

ƯỜ Ợ Ằ NG H P B NG NHAU

Ủ CÁC TR C TAM GIÁC VUÔNG

ế BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuy n AM cũng là phân giác .

ứ

a/ Ch ng minh tam giác ABC cân. b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ? HD: (H.1) A A

F D H K

(H.1) B M C (H.2) B E C

HAM

KAM

MKA

(

)

ẽ a/ V thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

HMB

KMC

cgv

MH ˆ ˆ CB

ABC

cantaiA

(

)

ứ Ch ng minh (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC =>BM= 2

ườ

ề ằ BÀI 20: Cho tam giác có ba đ ng cao b ng nhau. ứ a/ Ch ng minh tam giác đó đ u ?

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

3a 2

ế ỗ ườ ộ ộ b/ Cho bi t m i đ ng cao có đ dài ỗ ạ . Tính đ dài m i c nh tam giác đó?

;........

)

deu .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ng cao b ng nhau là: AD=BE=C F. cgv ABC ằ ˆ ˆ CB ườ ch

ˆ ˆ AC ạ

i D có (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

FBC ỗ ạ x

ứ ọ ộ 2 AD HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đ a/ Ta ch ng minh ECB ( b/ G i đ dài m i c nh là x.Xét tam giac ADC vuông t a

ằ ể ọ ộ i Â và Â=80 đ . G i O là đi m n m trong tam goác sao cho

ứ ộ

: ạ Cho tam giác ABC cân t BÀI 21: ộ góc OBC=30 đ ;góc OCB=10 đ . Ch ng minh tam giác COA cân.? M M

A A

O O

ộ ộ ử ề ẽ ẳ ặ ờ B C B C (H.1) ( H.2) ộ HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 đ => gocB=Góc C= 50 đ V thêm tam giác đ u BCM9 M,A thu c n a m t ph ng b BC)

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

CMABMA CA

2: 60 can COA . ộ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)  góc MCA=6050=10 độ  

AMB AMC CCC ( OBC AMC gcg ) ( ạ Cho tam giác ABC cân t

ể ằ i A và góc Â= 100 đ .Goi O là đi m n m trên tia phân giác

ộ

COAcantaiC

OAˆC

0 80

ề ử (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ặ ˆ OCA ẳ 2:40 ờ 020 (cid:0) (cid:0) ươ (180 ng t ự 20)

ẻ ườ ạ ng vuông góc AB t i B và vuông góc AC

ườ ạ ng n y c t nhau t i C. hai đ i D.

ứ

BÀI 22: góc C sao cho góc CBO=30 đ . Tính góc CAO ? ẽ HD: (Xem hình 2) V tam giác đ u BCM9M,A cùng n a m t ph ng b BC). bài 19=> Ch ng minh t Suy ra: 2: Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. K đ ầ ắ ạ t a/ Ch ng minh AD là phân giác góc A ? b/ So sánh AD & CD ? HD: (H1) A A ( Hình 2)

1 2 D E

ồ ưỡ ớ ề Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

ˆ A (cid:0)

ˆ A 2

B C B M N C D

ạ

ể ộ

ừ ạ ườ ứ ớ ể ng vuông góc v i BC. Ch ng minh BM=CN ?

ứ

ể ấ ọ ừ

ạ ườ ể ứ ẳ

ể ớ ng th ng AE ; BF cùng vuông góc v i tia OM . Ch ng minh AE=BF ? ứ

ứ (xem h.1) a/ Ch ng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> Suy ra AD phân giác góc Â ươ ứ b/ Suy ra AD=CD ( 2 c nh t ng ng) ộ ộ BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là m t đi m thu c AB và E là môt đi m thu c AC sao cho AD=AE. T D và E h đ HD: ( xem hình 2) Ch ng minh BD=EC&góc B = góc C Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN ấ BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x l y đi m A. Trên O y l y đi m B. G i M trung đi m AB. T A, B h đ HD: Ch ng minh tam giác MAE=tam giác MBF x (Ch+gn)=>AE=BF A

E M F

ẻ ắ ạ i O. K OE,O F,OG th ứ

ớ vuông góc v i AC,AB,BC.

ạ i D . Ch ng minh góc BOD=góc góc COG

BOG(ch

gn)

(1)

O y BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C c t nhau t ự t ứ a/ Ch ng minh OE = O F=O ứ ắ b/ Tia AO c t BC t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) BO ß COG

COE(ch

gn)

OG(2)

u T

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ư a/ Ch ng minh: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

AOE

ˆ B

ˆ C

Aˆ

ˆ;ˆ BA

ˆ A 2

ˆ&ˆ CB 1

(2)&(1) 1 2

FO 1 2

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b/

ˆ B

180

ˆ A 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1)

ˆ GOB

)2(

ˆ B 1

(cid:0) (cid:0) ộ

ˆ GOB )3( 

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ

DOGDOCDOGGOB Ể

1 2 DOCGOB Ứ

Ạ Ố

Ị Ủ

Suy ra 2 ặ M t khác tam giác vuông BOG(góc G=90 đ )=> ˆ ˆ ừ T (1) và(2) => CA ˆ T (3) và (4)=> GOCDOB Ạ Ố Ứ Ể BI U TH C Đ I S – GIÁ TR C A BI U TH C Đ I S ị ủ ể

1(cid:0)y

9 y

y y

9 x

x 4 x 3

4 3

ứ ;5(cid:0)x Bài 1:Tính giá tr c a bi u th c : A = x2 + 4xy – 3y3 v i ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ ứ ể ( x (cid:0) 3y ; y (cid:0) 3x) Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá tr c a bi u th c : B = (cid:0) (cid:0)

ồ ưỡ ớ ề ng HSG Toán l p 7

)(2

(

)

xy )(2 16 y 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ 2 xy Các chuyên đ B i d ể Bài 3: Tính giá tr c a các bi u th c sau : 4 2 ứ 4 )( ớ a) A = v i x = 4 và y = 8 (cid:0)

và b = 2

x 2 (cid:0) x

1 4

1 1

ứ ế b) B = 2m2 – 3m + 5 v i ớ m = 1 1(cid:0)a c) C = 2a2 – 3ab + b2 v i ớ ị ủ ị Bài 4: Xác đ nh các giá tr c a bi n đ bi u th c sau có nghĩa : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c)

1 2

x 1

(cid:0) (cid:0) ứ ể v i ớ x = ị ủ Bài 5: Tính giá tr c a bi u th c : N= (cid:0) ể ể by c 3(cid:0) xy 6 2 x 2

ể ị ủ

2 – 12x + 7 có giá tr b ng 7

ị ằ

x 5 x 10

y 3 y 3

y 5

ế ị ằ ứ (cid:0) A = v i ớ (cid:0) Bài 6 : Tìm các giá tr c a bi n đ : a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá tr b ng 0 b) B = x ể ị ủ Bài 7 : Tính giá tr c a bi u th c sau : x (cid:0) 3

z x

x y

y z

ị ủ ứ ể Bài 8: Cho x, y, z (cid:0) 0 và x – y – z = 0 .Tính giá tr c a bi u th c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bài 9:

2 + ( y

1 2 – 10 ) 5

ủ ứ ể a) Tìm GTNN c a bi u th c C = ( x+ 2)

2 (cid:0)

(cid:0)x

ủ ứ ể b) Tìm GTLN c a bi u th c sau : D = (cid:0) (cid:0)

5 x

x 2

(cid:0) ứ ể ủ ể ị .Tìm các giá tr nguyên c a x đ : Bài 10: Cho bi u th c E = (cid:0)

ị ấ ỏ

3(cid:0)y

ủ ể ị ứ

2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ

x ứ

ứ ủ ể ể ậ ị a) E có giá tr nguyên b) E có giá tr nh nh t Bài 11: Tìm các GTNN c a các bi u th c sau : a) (x – 3)2+ 2 b) (2x + 1)4 – 1 c) (x2 – 16)2 + ể Bài 12: Tìm GTNN c a bi u th c :A = ị Bài 13: Tìm các giá tr nguyên c a x ,đ bi u th c sau nh n giá tr nguyên : (cid:0)

x 10 x 5

15 1

(cid:0)

ằ ứ ể ồ ờ

ữ ứ ố

8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nh n giá tr d

ị ươ ứ ứ ể ằ ậ ớ ọ ng v i m i giá

ấ ủ ị ớ ứ ể ỏ ị A = Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b (cid:0) Z Ch ng minh r ng không th đ ng th i có f(17) = 71 và f(12) = 35 Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Ch ng minh r ng không có nh ng s nguyên a, b, c nào làm ằ cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000 Bài 16: Ch ng minh r ng bi u th c P = x ị ủ tr c a x. Bài 17: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B = v i x ớ ấ 7 11

ớ ề ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7

ẳ ứ

(cid:0)5

ọ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) B = (12x + 3y) + (5x – 2y)

ổ

ỏ ằ r ng :

ị ủ

ứ ứ 2 + x + 3 luôn luôn có giá tr d ứ ng v i m i giá tr c a x . ị ủ ọ ị ươ ọ ớ ể ể ớ ng v i m i giá tr c a x.

ố ữ ỷ ế ằ Các chuyên đ B i d ứ Bài 18: Ch ng minh các đ ng th c sau : a) x2 – y2 = (x+ y) (x y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b a) = a2 – b2 d) a( b c) – b(a + c) + c( a – b) = 2bc e) a( 1 b) + a( a2 – 1) = a (a2 b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) ứ ạ ố ể Bài 20: Rút g cn bi u th c đ i s sau : (cid:0)y a) A = ( 15x + 2y) (cid:0) x 3 5 ể ế ừ ố ặ Bài 21: Đ t th a s chung đ vi t các t ng sau đây thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2 d) x2+ 5x + 6 Bài 22: Ch ng t a) Bi u th c x b) Bi u th c – 2x Bài 23*: Tìm x, y là các s h u t ị ươ 2 + 3x – 8 không nh n giá tr d t r ng: ậ bi

25 2 (cid:0)n

1 (cid:0) x

2 (cid:0) x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) d) (x2) + y 2= 0 (n(cid:0) N)

x x

x 2 x

3 1

Bài 24: Tìm x, y là các s nguyên bi ế : t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

b*) Ơ

Ạ

ố 2 1 Ơ Ứ Ồ Ứ Đ N TH C, Đ N TH C Đ NG D NG ậ ơ ả Bài t p c b n

ộ ơ ứ

ự : ừ Bài 1: C ng và tr các đ n th c : a)3a2 b+ ( a2b) + 2a2b – ( 6a2b) b)(7y2) + (y2) – ( 8y2) c)(4,2p2) + ( 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + ( 2a)n + 6an Bài 2: Th c hi n các phép tính sau

x 6

x 3

2 5

1 3

(cid:0) (cid:0) a) b) 3ab. ac – 2a.abc a2bc ệ x 3 2

2 5

2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) .c2 a2.(c.c)2 + ac2.ac a2c2 (cid:0) (cid:0)

1 2 4 3 2y và B = xy2 .Ch ng t

(cid:0) Z và x + y chia h t cho

ứ ơ ứ ỏ ằ ế ế r ng n u x,y

ế ứ

ị

k+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k (cid:0) N)

ứ

n – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n (cid:0) N; n (cid:0) 0)

2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1

ị

ế t A = x ỏ ằ r ng A + B + C = xyz ạ ứ ồ ứ ớ ơ ơ Bài 3: Cho các đ n th c A = x 13 thì A + B chia h t cho 13 ể Bài 4: Cho bi u th c : P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n (cid:0) N) ủ ớ V i giá tr nào c a a thì P > 0 ể : Cho bi u th c: Q = 5x Bài 5 ủ ớ V i giá tr nào c a x và k thì Q < 0 t : xế Bài 6: Tìm x bi Bài 7: Bi ứ Ch ng t Bài 8: Tìm các đ n th c đ ng d ng v i nhau trong các đ n th c sau:

ồ ưỡ ớ ề ng HSG Toán l p 7

5 yx

5 yax

3 xyx

3 yx

2 ;5;4;

;

1 9

(cid:0)

ổ

52 zy

(cid:0) (cid:0) a)

4 3

Các chuyên đ B i d 1 7 : Tính t ng : Bài9 1 3 2 4

axy

bxy

7 3 ể

(cid:0) (cid:0) b)

ọ ứ

Nâng cao

Bài10: Rút g n các bi u th c sau : a) 10n+1 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n c)90.10k – 10k+2 + 10k+1 d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n 1

2x2 + 4b2x2 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a (cid:0) 0; b (cid:0) 0)

ứ

2 + Bx + C = 0

ỏ ằ ứ r ng : Ax

(cid:0) N*

ằ

có t n cùng b ng ch s không

ậ ữ ố ớ ằ

ế

ế t A + B = 0 ế : Cho A = ( 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z bi

(cid:0)x

2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ v i x =a

(cid:0) 3

(cid:0) 1

(cid:0) 4

1 6

3 (cid:0)x 4

ể Bài 1: Cho bi u th c M = 3a ủ Tìm GTNN c a M Bài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = 2x6y3 ; C = 6x7y3 .Ch ng t ứ Bài 3: Ch ngminh r ng v i n a) 8.2n + 2n+1 b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia h t cho 25 c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia h t cho 300 Bài 4 Bài 5: Rút g n:ọ 2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4 ớ a) M + N – P v i M = 2a b) 2y – x x y x 2 3 2 (cid:0)x 1 c) 5x – 3 t :ế Bài 6: Tìm x,bi a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( 4x – 0,8) = 3,6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = ) – b) ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

abc

(cid:0) (cid:0) = 666

cab ộ ố

bca là m t s chính ph

1 1 3 3 abc ( a > b > c) sao cho : abc nào mà t ng ổ bca

abc

cab

(cid:0) (cid:0) ươ nhiên nhiên ng không ?

2 3 ố ự Bài 7: Tìm s t ố ự Bài 8: Có s t ổ Bài9 a) ( 5x2y + 3xy2 + 7) + ( 6x2y + 4xy2 – 5) b) (2,4x3 10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2)

: Tính t ng :

c) (15x2y – 7xy26y2) + (2x2 12x2y + 7xy2)

2 yx

5 3

x (cid:0) 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) (4x2+x2y 5y3)+( )+( )+ ( )

ứ ể ọ Bài 10: Rút g n bi u th c sau

ồ ưỡ ớ ng HSG Toán l p 7

ề Các chuyên đ B i d a/ (3x +y z) – (4x 2y + 6z)

xb /

x 2 3

(cid:0)3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

6 2 yx

2 yx

7,5/

1,3

9,6

3,2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 3

x 6

2 9

7 5

xx 5 2 5

4 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d)K= 2x.(3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 3

t:ế Bài 11: Tìm x bi a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = 213 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) c) 3(x2)+ 2(x1)=10 d)

1 6 x

1 2 x

1 4 7

3 23

x 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e) f)

7 (cid:0)x

14 2(cid:0)x

2 (cid:0)

2(cid:0)x

2 3

1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g) + h) i) k) =3

1 (cid:0) 2

1 3

m) (2x1)2 – 5 =20 n) ( x+2)2 = p) ( x1)3 = (x1)

ộ ố ự ớ q*) (x1)x+2 = (x1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x1)y+1 v i y là m t s t nhiên

ƯƠ

Ch đ : ủ ề S CHÍNH PH

Ố Ộ Ố Ạ

M T S D NG BÀI T P V S Ề Ố

ƯƠ CHÍNH PH

NG Ậ NG.

ươ ộ ố ấ ng và m t s tính ch t có liên

ứ Ôn t p cho h c sinh v s chính ph ả ề ố ự ố ng.

ươ i toán d a vào s chính ph ậ ấ ể ụ ế ố ươ H c sinh có k năng áp d ng tính ch t đ nh n bi t s chính ph ng và

ả ộ ố ạ ậ ọ ư ộ ố ươ ng pháp gi ỹ ọ im t s d ng toán có liên quan.

ụ ọ ậ ụ ự ế .

Ụ I/ M C TIÊU: ế 1/ Ki n th c: quan cũng nh m t s ph ỹ 2/ K năng: gi 3/ Thái đ :ộ Giáo d c h c sinh tính chính xác và v n d ng vào th c t II/ LÝ THUY T:Ế

15;9

ố ươ ộ ố ự ủ ng c a m t s t nhiên ươ 2 (cid:0) (cid:0)

ị 1.Đ nh nghĩa: ộ ố ằ ng là m t s b ng bình ph 225 ươ ủ ố ự ượ ọ ươ ng c a các s t nhiên : 3; 15 đ ố c g i là s chính ph ng

ươ ể ậ ở ấ ng ch có th t n cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không th t n cùng b i 2; 3; 7; 8.

ể ậ ụ S chính ph Ví d : ụ 3 ố Các s 9; 225 là bình ph ộ ố 2. M t s tính ch t: ố a) S chính ph ộ ố b) M t s chính ph

.25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử s ậ ậ Th t v y ,gi = ữ ố ậ a 10( ng có ch s t n cùng là 5 thì ch s hàng ch c là 2. 100 ỉ ươ 25aM (cid:0)

ữ ố

ụ ủ ố ụ ủ ộ ố ữ ố ố ơ ị ố ẻ .

ươ ữ ố ng N=a

ữ ố a 100 ữ ố 100a và 100a là s 0 nên ch s hàng ch c c a s M là 2 ng có ch s hàng đ n v là 6 thì ch s hàng ch c c a nó là s l 2 có ch s t n cùng là 6 ữ ố ậ ặ ể ữ ố ỉ ụ ủ Vì ch s hàng ch c c a ươ c) M t s chính ph ậ ậ ả ử ố Th t v y, gi s s chính ph ị ủ ố ơ thì ch s hàng đ n v c a s a ch có th là 4 ho c 6.

ồ ưỡ ề

ươ ứ ế ả ử ủ ố ữ ố ậ s hai ch s t n cùng c a s a là b4 (n u là b6 thì ch ng minh t ớ ng HSG Toán l p 7 ự ng t ),

ữ ố ố ẻ

2 và 80b là s ch n nên ch s hàng ch c c a N là s l ữ ố ỉ ứ

ụ ủ ố ừ ố ố ố ụ ủ ừ ố . ố ớ v i

ố ẵ ,s chính ph ố ớ ố

ố ố ừ ố s A = m ươ ng ch ch a các th a s nguyên t ẻ . v i s mũ l 2 =ax .by.cz …trong đó a,b,c ,…là các s nguyên t khác

ố ế ng th thì , ố ươ d

Các chuyên đ B i d Gi Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16. Vì ch s hàng ch c c a s 100b d) Khi phân tích ra th a s nguyên t ứ ẵ ố s mũ ch n ,không ch a th a s nguyên t ả ử ậ ậ Th t v y ,gi nhau,còn x,y,z…là các s nguyên t A = m2 = (ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z…

ấ T tính ch t này suy ra ế ế ế ế

ố ố ố ố ế ế ế ế ng chia h t cho 2 thì chia h t cho 4. ng chia h t cho 3 thì chia h t cho 9. ng chia h t cho 5 thì chia h t cho 25. ng chia h t cho 8 thì chia h t cho 16.

ừ ươ ươ ươ ươ ng:

S chính ph S chính ph S chính ph S chính ph ươ

2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b)

. Ch ng minh r ng :

ể ế ượ ướ ạ ng không th vi i d ng 4n+2 c d t đ

ằ ươ (cid:0) N); ươ ộ ố ế ậ 3/ Nh n bi t m t s chính ph ẳ ằ ứ ậ ụ 4/ H ng đ ng th c v n d ng: b)2 = a2 (cid:0) (a (cid:0) 5. Các ví d :ụ Ví d 1ụ ứ ộ ố a) M t s chính ph ọ h ăc 4n +3 (n b) M t s chính ph ộ ố (cid:0) N). i d ng 3n+2(n ng không th vi

ế ố

ẻ a) M t s t ộ ố ự ố ự còn s t

ộ ố ươ ặ

ư ậ ặ ng ho c chia h t cho 4 c d i d ng 4n+2 ho c 4n+3(n

(cid:0) N) ặ N) khi đó bình

(cid:0) 1 (k(cid:0) ặ

ư b) M t s t ỉ ộ ố ự nhiên ch có th vi ạ ủ ươ ể ế ướ ạ t d iả Gi (cid:0) N), khi đó (2k)2 = 4k2 là s chia h t cho 4 ạ ẵ nhiên ch n có d ng 2k (k (cid:0) N) , ạ có d ng 2k+1 (k nhiên l Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là s chia cho 4 d 1. ư ố Nh v y m t s chính ph ể ế ựơ ướ ạ ho c chia cho 4 d 1 , do đó không th vi ể ế ướ ạ ặ t d 2 =9k2 là s chia h t cho 3 ,ho c có d ng (3k ố ng c a nó có d ng(3k)

(cid:0) 1)2= ể ng không th

ế t đ i d ng 3k ho c 3k ế ư ậ ộ ố ư

ế ướ ạ ạ ph 9k2 (cid:0) 6k +1 là s khi chia cho 3 thì d 1.Nh v y m t s chính ph ươ vi ố i d ng 3n+2(n (cid:0) N). t d

ấ ỳ ữ ố ụ

ng b t k có ch s hàng ch c khác nhau ị ề ố ữ ố

ụ ủ ữ ố ổ ố ươ ộ ố ng đó là m t s chính

iả

ươ Ví d 2:ụ ươ Cho 5 s chính ph ơ còn ch s hàng đ n v đ u là 6. ằ Ch ng minh r ng t ng các ch s hàng ch c c a 5 s chính ph ph ứ ng.

Cách 1 .

ề ớ ồ ưỡ ng HSG Toán l p 7

ị ữ ố ữ ố

ươ ụ ủ ố ế ằ t r ng 1 s chính ph ữ ố ậ ụ ủ ổ ủ

ằ ơ ng có ch s hàng đ n v là 6 thì ch s hàng ch c c a nó là ươ ng đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 khi đó t ng c a ng.

2 nên a2 4. ữ ố ậ

ữ ố ữ ố ậ ố ươ ộ ố ơ ị ố 2 là s chính ph ng có M=a .Vì v y ch s hàng ch c c a 5 s chính ph ươ 2 có ch s hàng đ n v là 6 thì ch s t n

ố ẵ ế ủ ố ấ ủ ố ể ệ ỉ

ươ ố ng

ế ằ ữ ố ươ ố ồ ờ ố ự Các chuyên đ B i d Ta bi ố ẻ s l chúng b ng :1+3+5+7+9=25 =5 ế Cách 2. N u m t s chính ph cùng c a s a là s ch n, do đó a ừ Theo d u hi u chia h t cho 4 thì 2 ch s t n cùng c a s Mch có th là 16,36,56,76,96.T đó ,ta có : 1+3+5+7+9=25=52là s chính ph Ví d 3:ụ Tìm s t t r ng 2 s 2n+1 và 3n+1 đ ng th i là 2 s chính ph ng nhiên n có 2 ch s , bi

ố ự

ẻ ươ ng l

ỉ ậ ể

ỉ ộ ậ ể ừ ị

ỉ ộ ị

2 là m t s chính ph

ộ ố ươ ỉ ng.

ố ậ ố ự

ể ố ầ ủ ế ằ ố ố đ u tiên thì p1 và p+1 không th là các s

ngươ

ố ầ ế ố đ u tiên nên p chia h t cho 2

ố iả ờ Tr l ữ ố nhiên có 2 ch s nên 10 ≤ n < 100, n là s t ố ặ do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 M t khác 2n+1 là s chính ph ị ộ nên 2n+1 ch có th nh n m t trong các giá tr :25; 49; 81; 121; 169. T đó n ch có th nh n m t trong các giá tr 12, 24, 40, 60,84. ậ ể ố Khi đó s 3n+1 ch có th nh n m t trong các giá tr : 37; 73; 121; 181; 253. ố Trong các s trên ch có s 121=11 ữ ố ầ nhiên có 2 ch s c n tìm là n=40. V y s t Ví d 4:ụ ứ Ch ng minh r ng n u p là tích c a n s nguyên t chính ph i ả Vì p là tích c a n s nguyên t Gi ủ và p không chia h t cho 4 (1) ươ ế ố s p+1 là s chính ph a) Gi

2 (m(cid:0) N) ế

ố ẻ ố ẻ ả ử ố ẵ ố ẻ ặ ng . Đ t p+1 = m 2 là s l ,vì th m là s l . , do đó m

ặ (cid:0) N)

ẫ ố ớ

ậ ế ng

ố

ươ ế ậ ủ ố ố ầ ng V y n u p là tích c a n s nguyên t đ u tiên

ươ ố

Vì p là s ch n nên p+1 là s l Đ t m=2k+1 (k Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1 do đó p=4k(k+1) là s chia h t cho 4, mâu thu n v i (1) ươ ố V y p+1 không là s chính ph ế b)Ta có p = 2.3.5…là s chia h t cho 3. ố Do đó p1 = 3k+2 không là s chính ph thì p1 và p+1 không là s chính ph ng III/ BÀI T P:Ậ

ệ ế nhiên n bi

ữ ố ậ ế ằ t r ng ề ệ ữ ố ậ ề

ề

ế ề ề ậ

BÀI GI IẢ ố ậ ừ ề (2) suy ra n + 20 có s t n N u m nh đ (1) đúng thì t ề ừ ệ cùng là 2; T m nh đ (3) suy ra n – 69 có ch s t n cùng ươ ộ ố là 3. M t s chính ph ng không có ch s t n cùng là 2 ư ậ ặ ho c 3. Nh v y n u (1) đúng thì (2) và (3) đ u sai, trái giã ệ ế thi t. V y m nh đ (1) sai và m nh đ (2) và (3) đúng. ặ Đ t n + 20 = a ệ 2; n – 69 = b2 (a, b (cid:0) N và a > b) ộ ố ộ ố ươ ươ BÀI T PẬ ố ự Tìm s t B ài 1: ề ệ trong 3 m nh đ sau có 2 m nh đ ệ ộ đúng và m t m nh đ sai: ữ ố ậ 1/ n có ch s t n cùng là 2 2/ n + 20 là m t s chính ph 3/ n – 69 là m t s chính ph ng ng

ề ớ Các chuyên đ B i d ng HSG Toán l p 7

2 – 20 = 2005

ồ ưỡ => a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1 (cid:0) (cid:0) ậ Do đó: suy ra a = 45. V y n = 45 (cid:0)

+ = a b 89 - = a b 1 2 + b2 (a, b (cid:0)

ọ ố ủ

B ài 2: ph Cho N là t ng c a 2 s chính ươ ng. Ch ng minh r ng: ươ ủ ổ ố ằ ố

G i N = a N) a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab = (a + b)2 + (a – b)2 là t ng c a 2 s chính ph ng. b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 + b2+ 4a2b2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2 ố

ủ ng. chínhph

ố

ứ ằ

ố ổ ứ ổ ủ a/ 2N cũng là t ng c a 2 s chính ươ ph ng. b/ N2 cũng là t ng c a2 s ổ ươ Cho A, B, C, D là các s chính ng. Ch ng minh r ng:(A + B) ủ chính

B ài 3: ươ ph ổ (C + D) là t ng c a 2 s ph

ủ ổ ố ươ ng.

ươ ng.

ố

ằ ứ

Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2; Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) = = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd + a2d + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là t ng c a 2 s chính ph Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0 => x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0 => 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2 ổ ủ

ươ ng.

ừ

+ c2 + d2 + 2a(a – b – c – d)

ố ứ

ươ Bài 4: Cho 3 s nguyên x, y, z sao cho: x = y + z. Ch ng minh r ng: ố 2(xy + xz – yz) là t ng c a 3 s chính ph Cho a, b, c, d là các s nguyên B ài 5: ả tho mãn: a – b = c + d. Ch ng minh 2 + b2 + c2 + d2 luôn là t ngổ ằ r ng: a ố ủ ng. c a 3 s chính ph

ố

ằ

2 + n + 1 là m t s l ộ ố

ộ ố ẵ

ẻ ng l ủ .

(1 n 1)(n 1) 2

(n 1)(n n 2) 2

+ (1 n)n 2

n + an+1 là m tộ

ừ T a – b = c + d => a – b – c – d = 0 => 2a(a – b – c – d) = 0 Nên ta suy ra: + c2 + d2 = a2 + b2 a2 + b2 = (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2 Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 = = (n2 + n + 1)2 n2 + n là m t s ch n n Suy ra (n2 + n + 1)2 là m t s chính ph a/ T bài toán ta suy ra: a Cho an = 1 + 2 + 3 +... + n ộ ố ẻ . ẻ ươ . ng l n+1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1) + + + + + = = b/ an + an+1 = ằ = (n + 1)2 ươ ươ ng liên Bài 6: Cho 2 s chính ph ứ ủ ổ ế ti p. Ch ng minh r ng t ng c a 2 ố ớ ộ s đó c ng v i tích c a chúng là ộ ố ươ m t s chính ph B ài 7: a/ Tính an+1 ứ b/ Ch ng minh r ng a ố s chính ph ng

Ộ Ố

Ậ ƯƠ

Ự

C. M T S BÀI T P T

NG T

ữ ố ố ỉ ồ nhiên A và B trong đó s A ch g m có 2m ch s 1,

ố

ữ ố ằ ố ự ỉ ồ ứ ố ươ ng.

ộ ố ự ữ ố ố ế ươ t

nhiên có 2 ch s , bi ư ữ ố ủ ố ế ằ ứ ự ượ ạ t r ng hi u các bình ph ộ ố ủ ố ươ ệ c l ng i là m t s chính ph ng c a s đó và s vi ng.

ế ằ ữ ố ươ ữ ố Bài 1. Cho 2 s t s B ch g m m ch s 4. Ch ng minh r ng : A+B +1 là s chính ph Bài 2. Tìm m t s t ở b i hai ch s c a s đó nh ng theo th t Bài3. ố Tìm s chính ph ng có 4 ch s , bi t r ng ch s hàng trăm ,

ề ớ ng HSG Toán l p 7

ị ơ ố ự ầ

ữ ố ố

ườ ố ậ ượ ữ ố ỏ ậ ấ ả ố ỗ ố ồ ố ế ố ữ ố i ta l p t t c các s có 6 ch s , m i s g m các ch s c có s nào chia h t cho 11 không ? Có s nào là s chính

ng không?

ứ ự ỳ ế ế ộ i ta vi tu ý .

t liên ti p các s : 1, 2, 3,…, 1994 thành m t hàng ngang theo m t th t ố ươ ể ế ồ ưỡ Các chuyên đ B i d ế ụ hàng nghìn ,hàng ch c, hàng đ n v là 4 s t nhiên liên ti p tăng d n. Bài 4. ừ T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 ng khác nhau. H i trong các s l p đ ươ ph Bài 5 ườ ố Ng ỏ ố ạ H i s t o thành theo cách vi ộ t trên có th là s chính ph ng không?