CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
Gv: Phan Hữu Thế
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
;a b
và
0
;x a b
, đạo hàm
của hàm số tại điểm
0
x
là :
0
0
00
' lim
x x
f x f x
f x x x
.
1.2. Chú ý :
Nếu kí hiệu
0 0 0
;
x x x y f x x f x
thì :
0
0 0
00
0
' lim lim
x x x
f x x f x
y
f x
x x x
.
Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số
y f x
có đồ thị
0
'
f x
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị
của hàm số
y f x
tại
0 0 0
,
M x y C
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm
0 0 0
,
M x y C
là :
0 0 0
'
y f x x x y
.
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho
; ; :u u x v v x C
là hằng số .
' ' 'u v u v
. ' '. '. . .u v u v v u C u C u
2 2
'. '. .
, 0
u u v v u C C u
v
v u
v u
Nếu
, .
x u x
y f u u u x y y u
.
3.2. Các công thức :
0 ; 1
C x
1 1
. . . , , 2
n n n n
x n x u n u u n n
1
, 0 , 0
2 2
u
x x u u
x u
sin cos sin . cosx x u u u
cos sin cos .sinx x u u u
2 2
1
tan tan
cos cos
u
x u
x u
2 2
1
cot cot
sin sin
u
x u
x u
.
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
Gv: Phan Hữu Thế
4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
vi phân của hàm số
y f x
tại điểm
0
x
là :
0 0
.df x f x x
.
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
f x
thì tích
.f x x
được gọi là vi phân của
hàm số
y f x
. Kí hiệu :
. .df x f x x f x dx
hay
.dy y dx
.
4.2. Công thức tính gần đúng :
0 0 0
.f x x f x f x x
.
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
Định nghĩa :
f x f x
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
s f t
tại thời điểm
0
t
là
0 0
a t f t
.
5.2. Đạo hàm cấp cao :
1
, , 2
n n
f x f x n n
.
B. BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x
0
baèng ñònh nghóa ta thöïc hieän caùc böôùc:
B1: Giaû söû
x laø soá gia cuûa ñoái soá taïi x
0
.
B2: Tính
y = f(x
0
+
x) – f(x
0
).
B3: Tính x 0
y
lim
x
.
Baøi 1: Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:
a)
2
y f(x) 2x x 2
taïi 0
x 1
b)
y f(x) 3 2x
taïi x
0
= –3
c)
2x 1
y f(x)
x 1
taïi x
0
= 2 d)
y f(x) sin x
taïi x
0
=
6
Baøi 2: (NC) Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a.
3
khi
khi
2 2
10 16 2
x x x
f x x x
tại 0
2
x
. b)
2
3 2
y f x x x
VẤN ĐỀ 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC
Baøi 1: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) 4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
b) 7
3
y 3 x 5x 3
x
c)
4 2
7
4 3 2
x x
y x
x
x
d)
3
76 4
3 2
x
y x
x
x
Baøi 2: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a)
3 2
y (x 2)(1 x )
b)
2 2 2
y (x 1)(x 4)(x 9)
c)
2
y (x 3x)(2 x)
d)
1
y x 1 1
x
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
Gv: Phan Hữu Thế
Baøi 3: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a)
3
y
2x 1
b)
2x 1
y
1 3x
c)
2
2
1 x x
y
1 x x
d) 2
x 3x 3
y
x 1
e) 2
2x 4x 1
yx 3
f)
2 x 1
y
x 1
Baøi 4: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a)
2 4 2 5
y (x x 1) (1 2x )
b)
2 3 2 2
( 1) ( 1)
y x x x x
c)
3
2x 1
y
x 1
d)
2
3
(x 1)
y
(x 1)
e)
2 2
1
y
(x 2x 5)
f)
3 2
y (x 2). 1 x
Baøi 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) 2
y 2x 5x 2
b) 33
y x x 2
c)
y x x
d) 2
y (x 2) x 3
e) 2
4x 1
y
x 2
f)
2
4 x
yx
g) 3
3
x
y (x 2)
x 1
h)
3
y 1 1 2x
Baøi 6: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a)
y x.cosx
b)
2
sin x
y
1 cosx
c)
3
y sin (2x 1)
d) 4 4
cos siny x x
e)
2
y sin 2 x
f)
y cot 2x
g) sin
sin
x x
y
x x
h)
2 3
y 2sin 4x 3cos 5x
i)
2 3
y (2 sin 2x)
k) 3 5
2 1
y tan2x tan 2x tan 2x
3 5
l)
2 2
sin cos cos3y x
m)
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x
Baøi 7: a) Cho hàm số
x
x
xf
sin1
cos
. Tính
4
';
2
';';0'
ffff .
b) Cho hàm số
x
x
xfy 2
2
sin1
cos
. Chứng minh:
3 ' 3
4 3
f f
VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.
Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x
0
, y
0
)
(C)
laø: 0 0 0
y f '(x )(x x ) y (*)
2.
Nhaéc laïi: Cho (
): y = ax + b. Khi ñoù:
+ d
(d) ( ) k a
+ d
1
(d) ( ) k
a
Baøi 1: Cho haøm soá (C):
2
y f(x) x 2x 3.
Vieát phöông trình tieáp vôùi (C):
a) Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x
0
= 1.
b) Taïi ñieåm coù tung ñoä y
0
=2.
c) Tại giao điểm với trục Oy.
d) tiếp tuyến có hệ số góc k = 2
e) Song song vôùi ñöôøng thaúng 4x – 2y + 5 = 0.
f) Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x + 4y = 0.
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
Gv: Phan Hữu Thế
Baøi 2: Cho haøm soá
3x 1
y f(x)
1 x
(C).
a) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm A(2; –7).
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh.
c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung.
d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi d: 1
y x 100
2
.
e) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi : 2x + 2y – 5 = 0.
Baøi 3: (NC) Cho hàm số
2
1
2 3
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),
biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác
OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) .
Baøi 4: (NC) Cho hàm số
3 1
1
1
x
y
x
. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và
tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm
2 ; 5
M.
Baøi 5: (NC) Cho hàm số
3 2
3 9 5
y x x x C
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
C
, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Baøi 6: (NC) Cho hàm số
2
1
x
y C
x
. Tìm điểm
M C
, biết tiếp tuyến của
C
tại
M
cắt
hai trục tọa độ tại
,A B
và tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
2
. (Khối D – 2007)
Baøi 7: (NC) Cho hàm số :
1
x
y C
x
. Viết phương trình tiếp tuyến
của
sao cho
và hai đường
1 2
: 1 ; : 1d x d y
cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Baøi 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau:
a) '
( ) 0f x
với 3 2
1
( ) 2 3 1
3
f x x x x
b)
'
( ) 5f x
với 4 3 2
1 3
( ) 1
4 2
f x x x x
Baøi 2: Cho hàm số
3 2
( ) 3 2015f x x x
. Hãy giải bất phương trình:
a) '
( ) 0f x
b) '
( ) 3f x
Baøi 3: Giải phương trình y
’
=
0 biết:
a)
sin 2 2cosy x x
b) 2
cos siny x x
.
Baøi 4: (NC) Cho hàm số :
3 2
4 5 1
3 2
m m
f x x x m x m
. Tìm
m
để :
a)
0 ,f x x
; b)
0
f x
có hai nghiệm cùng dấu.
Baøi 5: (NC) Cho hàm số
3 2
1
2 1 4
3
y x m x mx
. Tìm
m
để :
a)
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt ;
b)
'y
có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;
c) ' 0 ,y x
;
d)
' 0 , 1 ; 2
y x ;
e)
' 0 , 0
y x
.
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
Gv: Phan Hữu Thế
Baøi 6: (NC) Cho hàm số
3 2
1
1 3
3
y mx m x mx
. Xác định
m
để :
a) ' 0 ,y x
.
b)
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c)
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 2 2
1 2
3
x x
.
Baøi 7: (NC) a) Cho hàm số 2
1xxy . Chứng minh : yyx '.12 2 .
b) Cho hàm số
cot 2y x
. Chứng minh : 2
' 2 2 0
y y
.
VẤN ĐỀ 5: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO
1.
Ñeå tính ñaïo haøm caáp 2, 3, 4, ... ta duøng coâng thöùc:
(n) n 1 /
y (y ) .
2.
Ñeå tính ñaïo haøm caáp n:
Tính ñaïo haøm caáp 1, 2, 3, ... töø ñoù döï ñoaùn coâng thöùc ñaïo haøm caáp n.
Duøng phöông phaùp quy naïp toaùn hoïc ñeå chöùng minh coâng thöùc ñuùng.
Baøi 1: Cho haøm soá
f(x) 3(x 1)cosx
.
a) Tính
f '(x),f ''(x)
b) Tính
f ''( ), f '' ,f ''(1)
2
Baøi 2: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá ñeán caáp ñöôïc chæ ra:
a)
y cos x, y'''
b)
4 3 2
y 5x 2x 5x 4x 7, y''
c) x 3
y , y''
x 4
d) 2
y 2x x , y''
e)
y x sin x, y ''
f)
y x tan x, y''
g)
2 3
y (x 1) ,y''
h)
6 3 (4)
y x 4x 4, y
i)
(5)
1
y , y
1 x
Baøi 3: (NC) Cho n laø soá nguyeân döông. Chöùng minh raèng:
a)
(n) n
n 1
1 ( 1) n!
1 x
(1 x)
b) (n)
n.
(sin x) sin x
2
c) (n)
n.
(cosx) cos x
2
Baøi 4: (NC) Tính ñaïo haøm caáp n cuûa caùc haøm soá sau:
a)
1
y
x 2
b) 2
1
y
x 3x 2
c) 2
x
y
x 1
d)
1 x
y
1 x
e)
2
y sin x
f)
4 4
y sin x cos x
Baøi 5: Chöùng minh caùc heä thöùc sau vôùi caùc haøm soá ñöôïc chæ ra:
a)
y x sin x
xy'' 2(y' sin x) xy 0
b)
2
3
y 2x x
y y'' 1 0
c) 2 2 2
y x tan x
x y'' 2(x y )(1 y) 0
d)
2
x 3
yx 4
2y (y 1)y''
VẤN ĐỀ 6 (NC): ỨNG DUNG ĐẠO HÀM TÍNH GIỚI HẠN
Phương pháp :
1)
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x x x
2)
0
0
0
00
00
0
'
lim ( ' 0)
'
x x
f x f x
f x
x x g x
g x g x g x
x x