Chuyên đề Góc nội tiếp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung Chuyên đề Góc nội tiếp dưới đây để nắm bắt được các dạng bài toán về Chứng minh hai góc bằng nhau, Tính số đo góc; Tính độ dài, tính diện tích; Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng;... Đây là Tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đang học và ôn thi môn Hình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Góc nội tiếp

GÓC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  có đỉnh A nằm trên đường tròn và hai cạnh AB, AC là hai dây cung được gọi là góc nội tiếp Góc BAC Cung BC nằm bên trong được gọi là cung bị chắn.  1  sd BAC sd BC (số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn). 2 Tính chất: Trong một đường tròn: * Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau. * Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. * Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. * Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc. Bài 1: Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB và dây AC . N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng   NAB CAN  Bài 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90  . Vẽ các dây   ADC MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng DMB    OAC Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  có đường cao AH . Chứng minh rằng BAH . Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn  O  . Biết AB / /DE, BC / EF. chứng minh rằng   DAF ADC . Bài 5: Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung   CAM BC không chứa A sao cho BAD  . Chứng minh rằng  . ADB  CDM   45 . Tính số đo của góc CBD Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  đường kính BD. Biết BAC    60 . Vẽ đườn tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC  tính số đo góc ODE
 A Bài 8: Cho ABC nội tiếp  O  . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho xBA  .  Tính sô đo góc OBx   90 , trong dó I là tâm đường tròn nội Bài 9: Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích. Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa đường tròn sao cho    90 . Biết CD  CE  a . Tính DE theo a. ACD  BCE   45o , C Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm , B   15o . Tính dộ dài AC , BC , AB và diện tích tam giác ABC . Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích : a)Tam giác MAB; b)Tam giác MIK. Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng. Bài 1: Cho đường tròn  O  đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90  . Vẽ các dây MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng. Bài 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB . Vẽ đường tròn  K  tiếp xúc với đường tròn  O  tại C. Các dây CA, CB cắt đường tròn  K  lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng E, K, F thẳng hàng. Bài 3: Cho đường tròn  O  đường kính AB . Điểm M chuyển động trên  O  , M  A, M  B . Kẻ MH  AB . Kẻ đường tròn  O1  đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D. Chứng minh rằng C, D, O thẳng hàng.   45 nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao BH, CK cắt đường tròn  O  Bài 4: Cho ABC nhọn có BAC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng . Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  , trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC. Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng  AKH  90. Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn  M ; MB  ,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Bài 4: Cho hai đường tròn  O  và  O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn  O’ . Dây AC của  O  cắt  O’ ở D, dây OE của  O’ cắt  O  ở F như trên hình. Chứng minh rằng: OD ⊥ BC  cắt đường tròn  O  tại D. đường tròn  D, DB cắt Bài 5: Cho ABC nội tiếp  O  . Tia phân giác góc BAC đường thẳng AB tại Q (khác B), cắt đường thẳng AC tại P (khác C). Chứng minh rằng AO  PQ Bài 6: Trong đường tròn  O  có dây AC và BD vuông góc với nhau tại E . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh rằng IM  AD . Bài 7: Cho đường tròn  O  , đường kính AB . S là một điểm nằm bên ngoiaf đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M , N . Gọi H giao điểm của BM và AN . Chứng minh rằng SH  AB . Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A, tiếp xúc với (O’) tại B. tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:   QBR a) QAR ; b) Tam giác BPR cân; c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 3. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao IC MC điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:  . ID MD Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE và CF là các đường cao. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại S, các đường thằng BC và OS cắt nhau tại M. AB BS a) Chứng minh rằng:  . AE ME b) Chứng minh rằng: AEM ∽ ABS . c) Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AS và BC. Chứng minh rằng NP vuông góc với BC. Bài 5. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp HAC . Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh: a) CH là tia phân giác của góc ACE. b) HO //EC . Bài 6. Cho hình vuông ABCD; M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Chứng minh AC vuông góc KM.
Bài 7. Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC. Bài 8. Cho (O; R) và một tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Trên tiếp tuyến lấy điểm C (Khác A). Gọi B là trung điểm của AC. Qua C vẽ đường thẳng cắt (O) tại E, M (theo thứ tự C, E, M). Tia BE cắt (O) tại F và tia CF cắt (O) tại N. Chứng minh: MN //AC . Bài 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) sao cho C thuộc (O), D thuộc (O’) và B nằm trong tam giác CDA. Đường thẳng CB cắt (O’) tại M. Chứng minh tia AD là phân giác của góc CAM. Bài 10. Cho hình bình hành ABCD, góc A < 90o . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng minh rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB. Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại điểm P. Trên cung nhỏ BC, lấy điểm K (K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hại tại Q.  cắt KQ tại I. Phân giác góc KBQ ; a) Chứng minh rằng CI là tia phân giác KCQ b) Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ //BC . Bài 12. Chứng minh rằng từ 2015 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn luôn chọn được ít nhất 1008 điểm mà 3 điểm bất kỳ trong đó là các đỉnh của một tam giác tù. Bài 13. Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN //AP . Chứng minh rằng:   45o . 1. Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và NOP 2. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC. 3. Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy. Bài 14. Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4AB. Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D không trùng với C). Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E. a) Tính giá trị DC, CE theo a. b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất. c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định. HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc. Bài 1: Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB và dây AC . N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng   NAB CAN 
Lời giải: ( h 1.1). C N   1 CN Ta có CAN  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2   1 NB NAB  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2 A B O   NB Lại có CN .   NAB  CAN . hình 1.1 Bài 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90  . Vẽ các dây   ADC MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng DMB . Lời giải: ( h 1.2)   AC Ta có AB  MC  MA  ( đường kính vuông góc M D với một dây).   DB Ta lại có: MD / /AB  MA  ( hai cung chắn giữa hai A B O dây song song).   DB  AC   MA   ADC   DMB  ( góc nội tiếp chắn C hai cung bằng nhau). hình 1.2
  OAC Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  có đường cao AH . Chứng minh rằng BAH . Lời giải: ( h 1.3) A Dựng đường kính AD    1 DC   CBD Ta có CAD   . ( góc nội tiếp cùng chắn một    2  cung ). O   DBC Lại có BAH  ( hai góc có các cạnh tương ứng vuông góc ). H B C   DAC  BAH   BAH   OAC . D hình 1.3 Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn  O  . Biết   DAF AB / /DE, BC / EF. chứng minh rằng ADC . E D Lời giải: ( h 1.4)   FAB Do BC / /EF  EDC   EAC   BDF    BCD AB / /ED  AEF   BFD   ACE  O Do đó BFD ECA  g.g  F C   AEC Suy ra DBF   DEF   ABC   ABC   DAF  A B hình 1.4 Bài 5: Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường   CAM tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung BC không chứa A sao cho BAD  . Chứng minh rằng  . ADB  CDM Lời giải A 1 2 O B M 1 C D  A1    A2  B  , lại có  AM  DAC ABM   ADC (góc nội tiếp) nên ABM  ADC (g.g)
BA BM MC    . AD DC CD Kết hợp với   suy ra BAD  MCD (c.g.c)   A1  C1 . ADB  CDM Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  đường   45 . Tính số đo của góc CBD kính BD . Biết BAC  C D Lời giải: (h 1.5)    1 CB   CAB Ta có: CDB    CDB   45    2  O   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Lại có DCB A B   180  CDB  CBD   DCB   45 hình 1.5   60 . Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC  tính số đo góc ODE C Lời giải: ( h1.6) E   90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường Ta có BDC O tròn).   90 ADC vuông tại D suy ra  ADC A D B   30  EOD ACD   60 ( do EOD   2ECD   ED    hình 1.6 Mà ta lại có EOD cân tại O   60 Suy ra EOD đều  EDO
Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp  O  . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho  A xBC  . Tính sô đo góc OBx  B x Lời giải: ( h 1.7)   90 Dựng đường kính BD khi đó DCB   CDB  DBC   90 O    1 CB   CAB Mà BDC     2  A C   CBx Lại có BAC   DBC   CBx   90  DBx   90 D hình 1.7   90 , trong dó I là tâm đường tròn nội Bài 9:Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Lời giải A N I O B C D K Gọi D là giao điểm của đoạn IK và đường tròn (O).   1 sđ DN DBI   1 sđ BD  ; BID   1 sđ    BID AN  DBI   BDI cân tại D  DB  DI 2 2 2 1 IBK vuông tại B có DB  DI nên DI  DK và DB  IK . (1) 2 1 IOK vuông tại O có DI  DK nên OD  IK . (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra BD  OD  OB .   60  BAC BOD đều  BOD   60 . Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích. Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa đường tròn sao cho    90 . Biết CD  CE  a . Tính DE theo a. ACD  BCE
Lời giải Trên CDlấy Ksao cho CK  CE thì DK  CD  CK  CD  CE  a . Kéo dài DCcắt đường tròn (O) ở I.  C Ta có C  C   1 sđ EI   E đối xứng với Iqua AB EOB D . (1) 2 l 3 2    180  C4  C o ECK cân  K   DKE   OCE  (bù với hai góc trên). (2) 1 2 2 Từ (1) và (2) suy ra DKE  OCE (g.g) DE OE OB    2 . Vậy DE  2 DK  2a . DK OC OC   45o , C Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm , B   15o . Tính dộ dài AC , BC , AB và diện tích tam giác ABC . Lời giải A 45° M C B 15° 1 2 H O 1dm AOC  90o  AC  OC 2  2  dm  .   45o   B  Kẻ OM  BC .  C Ta có C  C   45o  15o  30o 2 1 3  MC  OC.cos 30o   BC  3  dm  . 2  Kẻ AH  BC . Đặt HC  x, HB  y thì x  y  3 (1) Ta có HC 2  HB 2  HC 2  HA2  AC 2  2 nên x 2  y 2  2 (2)   Từ (1) và (2) suy ra 2 xy   x  y   x 2  y 2  3  2  1 2 (3) Từ (2) và (3) suy ra  x  y   x 2  y 2  2 xy  2  1  1  x  y  1 2 (4) 3 1 6 2 Từ (1) và (4) suy ra y   dm  . Do đó AB  y 2   dm  . 2 2 1 1 3 1 3 3  S ABC  2 BC. AH  . 3. 2 2  4  dm 2 
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích : a) Tam giác MAB; b) Tam giác MIK. Lời giải C M K A I O B D a)    90 nên MA  tan B  OK  1 . AMB  90, BOK MB OB 2  MB  2MA 2R 4R 4R2 Từ  2 dễ dàng tính được MA  , MB  , S MAB  . (1)  MA  MB  4 R 2 2 5 5 5 IA MA 1 4R b) MI là đường phân giác của MAB    . Lại có IA  IB  2 R nên dễ dàng tính được IB  . IB MB 2 3 1 1 4R R R2 S KIB  IB.KO  . .  . (2) 2 2 3 2 3 1 1 1 4R2 4R2 AI  AB  S MAI  S MAB  .  . (3) 3 3 3 5 15 Từ (1), (2) và (3) suy ra 4R2 R2 4R2 R2 S MIK  S MAB  S KIB  SMAI     . 5 3 15 5 Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng. Bài 1: Cho đường tròn  O  đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90  . Vẽ các dây MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng. Lời giải ( h 1.8) M D   90 Ta có MD / /AB mà AB  MC nên MC  MD  DMC  là góc nội tiếp mà bằng 90  nên phải chắn nửa đường tròn, CMD A B O suy ra CD là đường kính, do đó ba điểm C, O, D thẳng hàng. C hình 1.8
Bài 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB . Vẽ đường tròn  K  tiếp xúc với đường tròn  O  tại C. Các dây CA, CB cắt đường tròn  K  lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng E, K, F thẳng hàng. Lời giải (h 1.9) C K F E   90 nên ECF Xét  O  có ACB   90   A B D O   90 nên EF là đường kính Xét đường tròn  K  vì ECF  Suy ra ba điểm E, K, C thẳng hàng hình 1.9   45 nội tiếp đường tròn  O  . Các đường cao BH, CK cắt đường tròn  O  Bài 3: Cho ABC nhọn có BAC lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng Lời giải ( h 1.10). Ta có: BH  AC  ABH vuông tại H D B   45  ABH Mà BAH   45 hay EBA   45 (1) K Mặt khác có CK  AB suy ra ACK vuông tại K O   45  KCA Mà KAC   45 H A C   DCA Ta lại có DBA  ( cùng chắn cung AD ) E   45 (2) Nên ABD hình 1.10   DBA Từ (1)(2)  EBD   ABE   90 nên DE là đường kính của  O  hay D, O, E thẳng hàng   90 . Lấy điểm C thuộc  O ' và ở Bài 4: Cho hai đường tròn  O  và  O '  cắt nhau tại A và B sao cho OAO' bên ngoài đường tròn  O  . Kẻ các tia CA, CB cắt đường tròn  O  tại D, E . Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng. Lời giải ( h 1.11) D A   1 AOB Xét  O  có AEB  (1) 2 C   1 AO Xét  O '  có ACB  'B (2) O O' 2 Từ (1); (2) ta có B AEB   1 AOB   ACB 2   AO   ' B  90  E hình 1.11   90  DAE Nên EAC   90 nên DE là đường kính của  O 
Vậy D, O, E thẳng hàng. Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Lời giải A 1 2 H O 1 B C I 21 K H Dễ chứng minh Hđối xứng với Kqua BC, suy ra K H (1) 2 1 2  Ta lại có K  phụ H A1 nên K  (2) 1 1 2  phụ K Từ (1) và (2) suy ra K  . Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2 1 Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  , trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC. Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng  AKH  90. Lời giải A 21 I 1 K O H B M C N D Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC . Vẽ bán kính OD đi qua M thì D là điểm chính giữa của cung BC nên A, K , D thẳng hàng. Vẽ đường kính AN. Dễ chứng minh đươch BHCN là hình bình hành  H , M , N thẳng hàng và 1 OM  AH  AI . Tứ giác AOMI có AI // OM , AI  OM nên là hình bình hành  OA // MI    A1  K1 2
Kết hợp với   A1  D  A2 nên K1 A2  IK  IA  IH . Vậy  AKH  90o . Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn  M ; MB  ,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM. Lời giải A 1 2 K O C B 1 D M  A1   A2 mà   (góc nội tiếp)nên  A2  B . A1  B 1 1 MBD  MAB (g.g) MD MB MD MK     . MB MA MK MA   Kết hợp với DMK  KMA ta có DMK  KMA (c.g.c)   MKA  MDK   90 . Vậy DK  AM . Bài 4: Cho đường tròn  O  , đường kính AB . S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M , N . Gọi H giao điểm của BM và AN . Chứng minh rằng SH  AB . Lời giải (h 1.12) S   ANB Ta có: AMB   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) N M Xét SAB có AN, BM là hai đường cao. Mà H là giao điểm của H AN và BM suy ra H là trọng tâm SAB .  SH là đường cao trong SAB  SH  AB . A B O hình 1.12
 cắt đường tròn  O  tại D . đường tròn  D, DB cắt Bài 5: Cho ABC nội tiếp  O  . Tia phân giác góc BAC đường thẳng AB tại Q (khác B ), cắt đường thẳng AC tại P (khác C ). Chứng minh rằng AO  PQ Lời giải (h 1.13) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AO với  O  , PQ .   QBC Ta có CPQ   APQ   ABC  P D K   AKC Mà ABC  C   AKC  APQ  .(1) I O A B   CAK Lại có AKC   90 (2) Q   PAK Từ (1)(2) suy ra APQ   90 hình 1.13   API Xét API có PAI   90  AIP   90 Hay AO  PQ Bài 6: Trong đường tròn  O  có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh rằng IM  AD . Lời giải (h 1.14). B Gọi E  IM  AD . M A I C AC  BD tại I nên BCI vuông tại I. Mà MB  MC  MI  MB ( tính chất đường trung tuyến E O trong tam giác vuông) nên MBI cân.   MBI do đó MIB   BIM  mà NID  đối đỉnh do đó   NID MBI . D   BCA  ( góc nội tiếp chắn AB  ). hình 1.14 Ta có BDA   MBI Mà BCA   90 ( BCI vuông tại I.)   BDA Suy ra NID   90  AEI   90 hay MI  AD .
Bài 7: Cho hai đường tròn  O  và  O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn  O’ . Dây AC của  O  cắt  O’ ở D , dây OE của  O’ cắt  O  ở F như trên hình. Chứng minh rằng: OD  BC A E Lời giải(h 1.15) F Dựng hai bán kính OB, OC của  O  . O Xét đường tròn  O '  ta có BAD    1 BD   BOD  O'    2  D   1 BC Mà BAC   1 BC   BOD  .(1) 2 2 B C   BC Xét đường tròn  O  ta có BOC  (2) hình 1.15   1 BOC Từ (1),(2) ta được: BOD   BOD   DOC   hay OD là tia phân giác BOC 2 Ta lại có BOC cân tại O suy ra OD vừa là tia phân giác vừa là đường cao trong BOC Hay OD  BC Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy Bài 1. Dễ dàng chứng minh được H đối xứng với K qua BC H Suy ra K H . (1) 2 1 2 K Ta lại có: A  1 1  phụ với H nên K  (2) 1 2  phụ với K Từ (1) và (2) suy ra K  2 1 Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 2.   DPQ a) Ta có QAP  (Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung cung chắn   QBP một cung) và DPQ  (góc nội tiếp cùng chắn một cung).   QBR Từ đó suy ra QAP .   PAB b) Ta có BPR  ABP (tình chất góc ngoài của tam giác)   BQA Mặt khác, BRP   PAB  ABP. Suy ra hay tam giác BPR cân đỉnh B.
 c) Ta có BQP ABP (1) (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung)   ABP BAR  (2) (góc nội tiếp cùng chắn một cung)   PAB BPR   ABP  (3)   PQB PQR   BQR  (4)   BPR Từ (1); (2); (3) (4) suy ra PQR   BRP  Do đó: Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc PB và RB (định lí bổ sung). Bài 3.Ta có MAC ~ MDA MA AC Suy ra: MA2  MC.MD và  MD AD MB BC MBC ~ MDB suy ra:  MD BD MC MC.MD MA2 MA MB AC BC Xét    .  . (1) MD MD 2 MD 2 MD MD AD BD Mặt khác IAC ~ IDB IC AC Suy ra:  ; IBC ~ IDA IB BD IB BC Suy ra:  ; ID AD AC BC AC BC IC IB IC Do đó: .  .  .  (2) AD BD BD AD IB ID ID IC MC Từ (1) và (2) suy ra:  . ID MD Bài 4.   SBM a) Do BAE  (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) và    90 nên AEB  BMS AB BS AEB ~ BMS , suy ra:  . AE BM AB BS Mà BM  ME nên  . (1) AE ME
  MBE b) BME cân tại M nên MEB .   ABE Lại có SBM   BAE   ABE   90   AEB   AEM  SBA  (2) Từ (1) và (2) suy ra: AEM ~ ABS .   EAN c) Từ câu b, suy ra: BAP . Mà  ABP   ) AEN (cùng bù với CEF nên AEN ~ ABP , suy ra: AN NE  . (3) AP PB Vì AEM ~ ABS (câu b) và tương tự ta có: MAF ~ SAC nên  ,  AME  ASB  AMF  ASC   BSC  EMF   SBP   MEN  (do hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau) NE NM Suy ra: EMN ~ BSP   (4). PB PS AN NM Từ (3) và (4) suy ra:   NP // MS , mà MS  BC nên NP  BC. AP PS Bài 5.  a) Ta có: ABD cân nên: A A2 (1) 1  C Mặt khác: A  (cùng phụ với góc B) 1 2  C A2 (cùng chắn chung HE). 1  C Suy ra: C  1 2   sñ AH b) Ta có: O   2.C   ACE   HO // EC . 1 2 Bài 6. Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD   AIM  90. Tứ giác DAIM là hình chữ nhật (vì   AIM  IAD ADM  90 )
  90  DI là đường kính của (O)  IMD   90  IND N thuộc đường tròn đường kính DC   90  DNC   DNC Ta có: IND   90  90   180  I, N, C thẳng hàng.  INC Xét CDK và MIC có:   IMC DCK      90 .DC  MI  AD    CIM KDC  (Cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc).  (vì ABCD là hình Do đó: CDK  MIC  CK  MC  CMK cân tại C. CA là tia phân giác MCK vuông)  AC  KM . Bài 7. Gọi K là giao điểm của AM và BC.  chung; KBM Xét KBM và KAB có: K   KAB  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp    của O ) chắn chung BM KB KM Do đó: KBM ∽ KAB    KB 2  KM .KA (1) KA KB   MBA MCK  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây  của cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM (1)).   MBA KAC  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung AM của  O  ). và góc nội tiếp cùng chắn cung    KAC Do đó: MCK .  chung, MCK Xét KCM và KAC có K   KAC . KC KM Do đó KCM ∽ KAC    KC 2  KM .KA (2). KA KC Từ (1) và (2) ta có: KC 2  KB 2  KC  KB. Vậy AM đi qua trung điểm K của BC. Bài 8.  chung, BAE Xét BAE và BFA có ABE    1 sñ    BFA  AE    2 
Do đó: BAE ∽ BFA BA BE BC BE     (vì BC  BA ) BF BA BF BC Xét BCE và BFC có:  (chung), BC  BE . CBE BF BC   BFC Do đó BCE ∽ BFC  BCE   (hai góc nội tiếp cùng chắn chung EN)   BFC Mà EMN   EMN Do đó BCE   MN // AC. Bài 9.   BCD DBM   BDC   là góc ngoài của BDC ) ( DBM    1 sñ BC   BCD BAC  ,    2     1 sñ BD   BDC BAD     2    BAC Do đó: CAD   BAD   BCD   BDC   DBM    DBM Mà DAM  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM)   DAM Nên CAD   AD là tia phân giác của CAM . Bài 10. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành. IA  IC  IE .IA  IE .IC IBE ∽ ICD  g.g   IE.IC  IB.ID Từ đó suy ra: IE.IA  IE.IC  IB.ID  IB 2 IB IA   . IE IB IB IA  chung Ta có IBE và IAB có  và BIA IE IB Suy ra IBE ∽ IAB  c.g.c  nên IBE   IAB . Từ đó suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB (định lí bổ sung) Bài 11.   PQB a) Ta có PBK  (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
PB BK  PBK ∽ PQB  g.g    (1). PQ QB PC CK Tương tự ta có: PCK ∽ PQC  g.g    (2) PQ QC BK CK Từ (1) và (2) kết hợp với PB  PC ta có:  (3). QB QC  nên IK  BK (4) Ta có BI là phân giác KBQ IQ QB  Suy ra CI là tia phân giác KCQ MC MA b) Ta có MKC ∽ MBA  g.g    (5) KC BA MB MA MKB ∽ MCA  g.g    (6) KB CA KB CA Từ (5) và (6) vế chia theo vế   (7) (vì KC BA MB  MC ) BK KC BK QB Mặt khác theo kết quả câu a, ta có:    (8). QB QC KC QC AC QB Từ (7) và (8)    ABC ∽ QCB  c.g.c  AB QC   QBC  ACB   ACB   QAC   AQ // BC. Bài 12. Xét đường kính của đường tròn không đi qua điểm nào trong 2015 điểm đã cho (luôn tồn tại) Chọn nửa đường tròn chứa số điểm nhiều hơn  Nửa đó chứa ít nhất 1008 điểm. Xét 3 điểm bất kỳ trong số các điểm thuộc nửa đường tròn đã chọn ta có 3 điểm đó là các đỉnh của một tam giác tù (vì có một góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn). Bài 13.