Chuyên đề 7: Hình học không gian

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Khái niệm mặt phẳng và cách xác định mặt phẳng. Khái niệm hình chóp, tứ diện, hình lăng trụ,

các loại lăng trụ.

- Vị trí tương đối của đường với đường, đường với mặt, mặt với mặt. - Quan hệ song song giữa các yếu tố: hai đường thẳng song song, đường thẳng song song mặt

phẳng, hai mặt phẳng song song.

- Nắm cách biểu diễn một hình không gian qua phép chiếu song song.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

- Xác định giao điểm của đường với mặt, giao tuyến của hai mặt. - Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, mặt phẳng song

song với mặt phẳng.

- Biết cách xác định thiết diện tạo bởi một mặt phẳng và một hình không gian.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I - BÀI TẬP CƠ BẢN

Câu 1. Mê ̣ nh đề nà o sau đây đú ng

A. Nếu mô ̣t mă ̣ t phẳ ng cắ t mô ̣ t trong hai đườ ng thẳ ng song song thı̀ mă ̣ t phẳ ng đó sẽ cắt đườ ng

thẳ ng cò n la ̣ i.

B. Hai mă ̣ t phẳ ng lầ n lươ ̣ t đi qua hai đườ ng thẳ ng song song thı̀ cắ t nhau theo mô ̣ t giao tuyến

song song vớ i mô ̣ t trong hai đườ ng thẳ ng đó .

C. Nếu mô ̣ t đườ ng thẳ ng cắ t mô ̣ t trong hai đườ ng thẳ ng song song thı̀ đườ ng thẳ ng đó sẽ cắt

đườ ng thẳ ng cò n la ̣ i.

D. Hai mă ̣ t phẳ ng có mô ̣ t điểm chung thı̀ cắ t nhau theo mô ̣ t giao tuyến đi qua điểm chung đó .

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua 1 điểm và 1 đường thẳng cho trước. B. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. C. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt. D. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

Câu 3. Ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì

A. Cùng thuộc đường thẳng. B. Cùng thuộc đường Elip.

C. Cùng thuộc một đường tròn. D. Cùng thuộc mặt cầu.

Câu 4. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

//a

A. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.



   a   d 

Câu 5. Cho thì khi đó:

            A. a song song với d . C. a trùng d .

B. a cắt d . D. a và d chéo nhau.

1 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn



BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian



 P b ;





/ /



/ /

Câu 6. Cho . Mệnh đề nào sau đây đúng:







/ /

b a

/ /



/ /

B. . A. a và b chéo nhau.











 Q b ,





 

. . C.  D. 

Câu 7. Trong các sau mệnh đề nào đúng?

A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau. B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì song song với nhau. D. Các mệnh đề trên đều sai.

Câu 8. Trong không gian hai đường thẳng không chéo nhau thì

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau : A. Trùng nhau. C. Đồng phẳng. B. Song song với nhau. D. Cắt nhau.

)P song song với nhau. Khi đó số đường thẳng phân biệt

Câu 9. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (

)P song song với a là:

nằm trong (

A. 2 B. Vô số C. 0 D. 3

)R cắt hai mặt phẳng song song (

)P và (

)Q theo hai giao tuyến a và b . Chọn

Câu 10. Cho mặt phẳng (

mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a và b song song. C. a và b trùng nhau. B. a và b cắt nhau. D. a và b song song hoặc trùng nhau.

)P và (

)Q song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai :

Câu 11. Cho hai mặt phẳng (

)P thì  cũng cắt (

)Q .

A. Nếu đường thẳng  cắt (

Q (

)

// (

P )

P (

)

B. Nếu đường thẳng thì

)Q đều nằm trong (

)P .

và song song với (

P (

 

Q (

)

A d . '

thì và C. Mọi đường thẳng đi qua điểm d D.

Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song.

B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC , G là trọng

ABC là: )

Câu 13. Cho tứ diện ABCD . Gọi

tâm tam giác BCD . Khi ấy giao điểm của MG và mặt phẳng ( A. Điểm N . B. Điểm C . C. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC . D. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN .

.S ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. G là trọng tâm tam giác SAD . Mặt

Câu 14. Cho hình chóp

GBC cắt SD tại E . Tính tỉ số

SE SD

. phẳng 

1 2

2 3

3 2

B. . C. . D. . A. 1.

2 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

)P và hai đường thẳng song song

,a b . Mệnh đề nào đúng trong các

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

a thì (

) // P

b .

(2) Nếu (

) // P

a thì (

) // b

(3) Nếu (

)P song song a thì (

Câu 15. Cho một mặt phẳng ( mệnh đề sau? ) // P (1) Nếu (

(4) Nếu (

)P cắt a thì (

(5) Nếu (

)P cắt a thì (

)P cũng cắt b . )P có thể song song với b .

)P song song với b .

3 , 4 , 5

hoặc chứa b . )P cắt b .

)P chứa a thì có thể ( (6) Nếu ( Hãy chọn phương án trả lời đúng A.       2 , 4 , 6

B.       3 , 4 , 6 C.       2 , 1 , 4 D.      

,I J lần lượt là trọng tâm các tam

.S ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm

Câu 16. Cho hình chóp

SAB SAD . M là trung điểm CD . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

giác

SCD

)

SBM .

)

SBC .

)

SBD )

A. IJ / /( B. IJ / /( C. IJ / /( D. IJ / /(

Câu 17. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

) và (

) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (

) đều

A. Nếu hai mặt phẳng (

) .

song song với mọi đường thẳng nằm trong (

) và (

) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (

) đều

B. Nếu hai mặt phẳng (

) .

song song với (

) có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng này cùng song song với

) thì ( (

) và (

) song song

C. Trong (

D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song

song với mặt phẳng cho trước đó

ABCA B C . M là '

'G G lần lượt là trọng tâm các tam giác . Mệnh đề nào sau đây sai ?

ABCA B C .Gọi ' AM



'A'

'/ /

ABB

'A'

Câu 18. Cho lăng trụ

' điểm trên cạnh AC sao cho A. ACC









BCC

'B'

(

MGG

') / /

BCC

'B'

B. .

'MG cắt mặt phẳng 





C. Đường thẳng . D.

Câu 19. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (Với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng không

song song hoặc trùng với phương chiếu). A. Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng. B. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. C. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. D. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng.

AD BC , / /

Câu 20. Hình nào sau đây có thể coi là hình biểu diễn của hình thang ABCD có

 AB BC CD a

 ,



a 2

A

D

A

D

A

D

C

B

C

B

C

Hình 1 A. Hình 2 . Hình 2 B. Hình 1. Hình 4 D. Hình 4 . Hình 3 C. Hình 3 .

3 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

)P và đường thẳng

P (

)

. Mệnh đề nào sau đây đúng: Câu 21. Cho mặt phẳng (

P (

)

P (

)

A. Nếu thì A d

  



(

)

B. Nếu A d thì A A A d C.

,A B C cùng thuộc (

)P và

,A B C thẳng hàng thì

,A B C d

D. Nếu 3 điểm

Câu 22. Mê ̣ nh đề nà o sau đây sai

A. Qua hai đườ ng thẳ ng không ché o nhau có duy nhất mô ̣ t mă ̣ t phẳ ng. B. Qua hai đườ ng thẳ ng cắ t nhau có duy nhất mô ̣ t mă ̣ t phẳ ng. C. Qua hai đườ ng thẳ ng song song có duy nhất mô ̣ t mă ̣ t phẳ ng. D. Qua mô ̣ t điểm và mô ̣ t đườ ng thẳ ng không chứ a điểm đó có duy nhất mô ̣ t mă ̣ t phẳ ng.

A B C D E sao cho không có bố n điểm nà o cù ng nằ m trên mô ̣ t mă ̣ t phẳ ng. Số

Câu 23. Cho năm điểm

,AB AD lầ n lươ ̣ t lấ y cá c điểm

,M N sao cho

hı̀ nh tứ diê ̣ n có cá c đı̉ nh lấ y từ năm điểm đã cho là : A. Năm. C. Ba. B. Sá u. D. Bố n.

 . Go ̣ i

,P Q lầ n lươ ̣ t là trung điểm cá c ca ̣ nh

,CD CB . Mê ̣ nh đề nà o sau đây đú ng

1 3

Câu 24. Cho tứ diê ̣ n ABCD . Trên cá c ca ̣ nh

AM AN  AB AD A. Tứ giá c MNPQ là mô ̣ t hı̀ nh thang.

B. Tứ giá c MNPQ là hı̀ nh bı̀ nh hà nh.

M N P Q không đồ ng phẳ ng.

C. Bố n điểm

D. Tứ giá c MNPQ không có cá c că ̣ p ca ̣ nh đố i nà o song song.

 qua trung điểm củ a ca ̣ nh AB , song song AC và BD cắ t tứ diê ̣ n đều ABCD

Câu 25. Mă ̣t phẳ ng 

theo thiết diê ̣ n là mô ̣ t: A. Hı̀ nh chữ nhâ ̣ t. C. Hı̀ nh thoi. B. Hı̀ nh vuông. D. Hı̀ nh thang cân.

,O O và không cù ng nằ m trong Câu 26. Cho hai hı̀ nh bı̀ nh hà nh ABCD và ABEF lầ n lươ ̣ t có tâm 1

BCE .

)

B. mô ̣ t mă ̣ t phẳ ng. Mê ̣ nh đề nà o sau đây sai? CDE . ) A.

ADF .

)

BDE .

)

2O O song song vớ i mă ̣ t phẳ ng ( 2O O song song vớ i mă ̣ t phẳ ng (

C. D.

BDI

Câu 27. Cho hı̀ nh chó p .S ABCD có đá y ABCD là hı̀ nh bı̀ nh hà nh. Go ̣ i ,M I lầ n lươ ̣ t là trung điểm củ a

 qua M và song song vớ i mă ̣ t phẳ ng 



sẽ cắ t hı̀ nh cá c ca ̣ nh

,AB SC . Mă ̣ t phẳ ng  chó p thı̀ thiết diê ̣ n là mô ̣ t hı̀ nh A. Tứ giá c.

SAC và ( )

B. Lu ̣ c giá c. C. Tam giá c. D. Ngũ giá c.

C. BD Câu 28. Giao tuyến của ( A. SC

SBD là : ) B. AC

SAB và ( )

D. SO

Câu 29. Giao tuyến của ( A. SC

) SCD là : B. SB

SBC là : )

SAD và ( )

C. SI D. BC

Câu 30. Giao tuyến của ( A. SA B. SJ C. SB D. SO

4 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

II - BÀI TẬP NÂNG CAO KỸ NĂNG

A B C D không cùng thuộc một mặt phẳng .Trên các đoạn thẳng

AB AC BD , ,M N P sao cho MN không song song với BC . Khi đó giao tuyến củ a

Câu 31. Cho bốn điểm

)MNP không thuô ̣ c mă ̣ t phẳ ng: )MNP

ACD )

BCP )

lần lượt lấy các điểm hai mă ̣ t phẳ ng ( BCD và ( ) BCD ) A. ( C. ( B. ( D. (

A B C D không cùng nằm trong một mă ̣ t phẳ ng. Trên các đoạn thẳng AB ,M N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I .

Câu 32. Cho bốn điểm

  ,   ABD MNC ,

  ,   ,

  ACD MNC ,   ABD MNC ,

  ,   ,

 BCD  ACD

và AD lần lượt lấy các điểm Điểm I thuộc những mă ̣ t phẳ ng :  A.  ABD ACD BCD  C.  BCD B.  D. 

 cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc 

 . Trên cạnh AB lấy

Câu 33. Trong mă ̣ t phẳ ng 

,SA AB ta lấy lần lượt hai điểm .

,M N . sao cho MN

một điểm P và trên các đoạn thẳng

,E D lầ n lươ ̣ t là giao điểm củ a MN vớ i mă ̣ t phẳ ng 

 SPC và

ABC . Trong tam giá c AMD có bao nhiêu tứ giá c?



không song song với AB . Go ̣ i

,M N lần lượt là trung điểm

,BD AD . Các điểm

,H G lần lượt

mă ̣ t phẳ ng  A. 3 B. 2 C. 5 D. 4

Câu 34. Cho tứ diện ABCD . Các điểm ,

D. AB . là trọng tâm các tam giác A. MN .

BCD ACD . Đườ ng thẳ ng HG ché o vớ i đưở ng thẳ ng nà o sau đây? B. CD .

C. CN .

)

.S ABCD , đáy là hình bình thang (

AD BC . M là trung điểm SC . Mặt phẳng

Câu 35. Cho hình chóp

SQ SD

bằng qua AM ,song song với BC cắt đường thẳng SD tại Q .Tỉ số

3 4

1 2

4 3

A. B. C. 1 D.

Câu 36. Cho các hình vẽ và các mệnh đề:

A

F

O

C

B

C

E

B

E

Hình 2

Hình 1

A

F

O

E

C

B

E

B

O

Hình 3

Hình 4

5 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

(1) : Hình 1 là hình biểu diễn tam giác đều ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác. (2) : Hình 2 là hình biểu diễn tam giác đều ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác.

(3) : Hình 3 là hình biểu diễn tam giác ABC vuông tại A và tâm đường tròn ngoại tiếp O của

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

(4) : Hình . 4 . là hình biểu diễn tam giác ABC cân tại A , có  120

tam giác.

BAC   và tâm đường tròn

ngoại tiếp O của tam giác.

Các mệnh đề đúng là: A. (3) , (4) . B. (2) , (3) . C. (1) . D. (1) , (4) .

A B C D lần lượt là trung

Câu 37. Cho hình chóp

mp A B M với '

(

)

SA SB SC SD . Gọi M là điểm bất kì trên BC . Thiết diện của

.S ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , .S ABCD là :

điểm các cạnh

,M N lần lượt là hai điểm lấy trên các cạnh

B. Hình thang. C. Hình thoi. D. Hình chữ nhật. hình chóp A. Hình bình hành.

 là mặt  là:

Câu 38. Cho hình chóp SABCD với

,AB CD . Gọi  phẳng qua MN và song song với SA . Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  A. Hình thang.

B. Tam giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.

BCD theo phương chiếu AD là:



BCD

Câu 39. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hình chiếu song song K của G



B. Trực tâm tam giác BCD D. Là điểm H sao cho  trên mặt phẳng  A. Là điểm bất kì trong tam giác BCD C. Trọng tâm tam giác BCD 

A B C S không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng . Gọi

,I H lần lượt là

Câu 40. Cho bốn điểm

,SA AB .Trên SC lấy điểm K sao cho:

 IHK . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

)

trung điểm của .Gọi E là giao điểm của

đường thẳng BC với mặt phẳng (

//KE SB

BE BC

1  2

BE BC

1  4

ABCD . Trên đoạn SC lấy một

A. B. KI cắt AB C. D.



ABM . Khi đó AN :

Câu 41. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mă ̣ t phẳ ng 





ABM



SBC



ABM



SAD

điểm M không trùng với S và C .Go ̣ i N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng 



ABM



SCD



ABM



SAC

A. B.

 

 

 

 

 

 

 

 

C. D.

,M N lần lượt thuộc các cạnh

, DD '

,M N

ABCD A B C D và các điểm '

Câu 42. Cho hình hộp .(

không trùng với các đầu mút của các cạnh ). Thiết diện của hình hộp bị cắt bởi mặt phẳng MNB là :  A. Hı̀ nh thoi; C. Hı̀ nh bı̀ nh hà nh; B. Hı̀ nh chữ nhâ ̣ t; D. Hı̀ nh thang cân;

,M N lần lượt là trung điểm của

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

,SD DC . Điểm P thay đổi trên cạnh BD ,

mp MNP và

(

)

 . Giá trị k để thiết diện của

BP BD

Câu 43. Cho hình chóp

hình chóp là tứ giác.

k 

k 

1 2

3 k  4

2 3

3 4

1 2

A. B. C. D.

6 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

ABC ACD ADB . Diện ,

G G G bằ ng k lầ n diê ̣ n tı́ ch tam giá c BCD, khi đó k bằ ng:

, G G G lần lượt là trọng tâm các tam giác Câu 44. Cho tứ diện ABCD , gọi



, tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng 

4 9

2 3

3 4

1 2

A. . B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SAB đều,

Câu 45. Cho hình chóp

,H K lần lượt là trung điểm của

,SA SB . M là một điểm trên cạnh AD ,

AM x



  x

)

HKM cắt BC tại N . Đặt

. Giá trị x để diện tích thiết diện . Gọi 

x 

SC SD a   mặt phẳng  HKMN đạt giá trị nhỏ nhất là:

a

x  0

a x  2

a 3 4

A. B. C. D. x

,M N lần lượt là trung điểm của

,SA SD .

.S ABCD đáy là hình bình hành tâmO . Gọi

Câu 46. Cho hình chóp

,P Q R lần lượt là trung điểm của

Gọi

mp SBC

(

)

AB ON SB . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: mp MOR mp SCD ) ) / /

(

C. A. PQ cắt

mp MON

(

) / /

mp SBC )

(

PQ mp SBC ) (

/ /

,H K lần lượt là trung điểm các cạnh

B. D.

)

,AB BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau “thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (

HKM “

)

(

)

(

)

(

)

mp HKM là một hình thang mp HKM là một tam giác mp HKM là một tứ giác mp HKM là một tam giác hoặc một tứ giác

Câu 47. Cho tứ diện ABCD . Gọi

A. Thiết diện của tứ diện ABCD với B. Thiết diện của tứ diện ABCD với C. Thiết diện của tứ diện ABCD với D. Thiết diện của tứ diện ABCD với

chéo AC và BF ta lấy các điểm ,M N sao cho AM BN Câu 48. Cho hai hình vuông có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường P chứa MN và song . Mặt phẳng 

M N . Khẳng định nào sau đây đúng

MNM N là hình bình hành

mp D

( EF)

' ' mp D ( EF)

song với AB cắt AD và AF lần lượt tại

,AC BF cắt nhau A. C. MN song song với

B. Tứ giác D. MN cắt

AC a BD b ;



SABCD ABCD là hình bình hành tâm O và có

 . Tam giác  di động song song với SBD và đi qua I trên đoạn

  x

OC . Đặt AI

x

Câu 49. Cho hình chóp

 là:

SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng  a 2

  

   2

.Khi đó diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 

2

 b a x 2

  b a x 2 3 a

 2  3  3 A. B. C. D. a a a

B 

, AB a . Gọi O là trung điểm . Gọi M là một

060  sao cho SB a và SB OA  qua M song song với SB và OA , cắt   x

,N P Q . Đặt

BM x



)

BC SC SA lần , 

Câu 50. Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông tại A ,  của BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng  điểm trên cạnh AB , mặt phẳng  lượt tại . Diện tích thiết diện của hình chóp và mặt phẳng 



x 



x 

lớn nhất khi:

3 a 2

a 3 2

2 a 3

a 2 3

A. B. C. D.

7 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN

3 2 8 7 6 5 4

1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D A B A D B C B A D C D C A D B C B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B C C A A A D C D D

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

b và 

 cắ t a thı̀ 

 cắ t b .

Nếu Câu 1. Chọn A. // a

Câu 2. Chọn D.

Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” Sai vì có thể hai mặt phẳng trùng nhau. Mệnh đề “Tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt” sai vì thiếu điều kiện 3 điểm không thẳng hàng. Mệnh đề “Tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua 1 điểm và 1 đường thẳng cho trước” sai vì thiếu điều kiện điểm không nằm trên đường thẳng.

3 điểm cùng thuộc hai mặt phẳng thì 3 điểm ấy thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng mà giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

Câu 3. Chọn A.

Câu 4. Chọn B.

Chọn đáp A vì điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau là không đồng phẳng.

 . Nếu mặt phẳng 

 chứa a và cắt 

Câu 5. Chọn A.

Chọn đáp án A vì đây chính là định lý 2 SGK trang 61 chuẩn: “Cho đường thẳng a song song  theo giao tuyến là b thì b song song mặt phẳng  với a ”

Câu 6. Chọn D.

)Q không có

/ /

Đáp án A đúng vì hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung nên a và (



 Q b ,



 P .

điểm chung, b và (P) không có điểm chung hay

Câu 7. Chọn B.

,a b . Gọi 

 là mặt phẳng chứa a và song song với b , 

P là mặt phẳng cắt 

 và 

Cho hai đường thẳng chéo nhau

,a b

 / /a



 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng  b

 và cắt 

  theo hai giao  P . Khi đó phép chiếu song song chiếu lên mặt

,a b có hình chiếu

 / /a

 . b

tuyến

 , Vì  nhưng không song song  phẳng 

là mặt phẳng chứa b và song song với a . Gọi    / /  nên  và  P theo phương d , hai đường thẳng chéo nhau

8 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 8. Chọn C.

Định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng do đó đáp án A đúng.

(

Câu 9. Chọn B.

Ta có tính chất: “Đường thẳng a và mặt phẳng ( )P song song với nhau khi trong mặt phẳng )P tồn tại đường thẳng b song song với đường thẳng a ”. Do vậy chỉ cần qua một điểm bất kì )P mà không thuộc đường thẳng b ta sẽ kẻ được một đường thẳng c nằm trong mặt phẳng ( )P , do đó đường thẳng vừa kẻ này sẽ song song

)P mà không thuộc đường thẳng b là vô số.

)P mà song song với đường thẳng a sẽ là vô số.

song song với b cũng nằm trong mặt phẳng ( với đường thẳng a . Số điểm ở trong mặt phẳng (

Nên số đường thẳng chứa trong mặt phẳng ( Đáp án đúng là A.

Câu 10. Chọn A.

Ta có tính chất: “ Một mặt phẳng thứ ba cắt hai mặt phẳng song song với nhau theo hai giao tuyến song song với nhau”. Do đó đáp án A đúng.

Câu 11. Chọn D.

)P và (

)Q song song với nhau.

P (

)

Q (

)

d “Khẳng

và thì “Cho hai mặt phẳng (

  d d hoàn toàn có thể chéo nhau nữa.

định này sai vì hai đường thẳng

Câu 12. Chọn C.

Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” sai vì có thể hai đường thẳng song song. Mệnh đề “Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song” sai vì hai đường thẳng có thể chéo nhau. Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau” sai vì có thể hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng thứ ba.

9 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

mp ADN và không song song với

)

(

Câu 13. Chọn D.

ABC .

)

Đường thẳng MG và đường thẳng AN cùng nằm trên

nhau nên giao điểm của hai đường chính là điểm chung của MG và mặt phẳng (

B D

G N

Câu 14. Chọn C.

S

E

G

A

D

M

C

B

)MBC lần lượt

SAD và ( )

)MBC có G là 1 điểm chung. Mặt khác (

 SAD và (

2  3

Mặt phẳng  chứa hai đường thẳng song song là AD và BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng qua G song song với AD , giao tuyến này cắt SD tại E . Gọi M là trung điểm AD , ta có SG SE  SM SD

Câu 15. Chọn A.

)P song song a thì (

)P không thể

)P có thể chứa b . Mệnh đề (3) sai vì (

)P cắt a thì (

)P cắt b

Mệnh đề (1) sai vì (

cắt b . Mệnh đề (5) sai vì nếu ( Các mệnh đề còn lại đều đúng.

Câu 16. Chọn D.

10 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

S

J

I

A

D

F

E

M

B

C



 suy ra

,E F lần lượt là trung điểm

,AB AD . Ta có:

IJ EF . Mà

/ /

EF BD / /

SJ SF

2 3

Gọi

SI SE )

SBD , ta thu được IJ / /(

SBD . )

IJ BD . Kết hợp với IJ không nằm trên (

/ /

nên

Câu 17. Chọn B.

) và (

) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong

) ” sai vì hai đường thẳng có thể chéo

( ) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong ( nhau. Mệnh đề “Nếu (

) có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng này cùng song song

Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng (

) thì (

) và (

) song song” sai vì thiếu điều kiện hai đường thẳng đó cắt nhau.

với (

) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong

) và (

) đều song song với ( (

) ”.

Mệnh đề “Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó” sai vì vẽ được vô số đường thẳng như vậy. Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng (

Câu 18. Chọn C.

M

A

C

G

N

B

A'

C'

G'

B'

'/ /

ABB

'A'

'/ /

ACC

'A'

GG AA nên các mệnh đề

'/ /





 ( N là trung điểm BC ) nên

GM CN . Kết hợp

/ /

GG BB và

'/ /

GM CN suy

/ /

BCC

'B'

') / /

'B'

Ta có: , đều đúng. Mặt khác: 

AM AG  AN AC ra MGG (

'MG cắt mặt phẳng 



2 3  BCC



. Do vậy mệnh đề “Đường thẳng ” là

mệnh đề sai.

Câu 19. Chọn B.

Mệnh đề “Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng”

11 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

sai vì phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. Các mệnh đề còn lại đều là tính chất của phép chiếu song song và là các mệnh đề đúng.

Câu 20. Chọn C.

Hình biểu diễn của một hình là hình chiếu song song của hình ban đầu lên mặt phẳng nên hình biểu diễn phải đảm bảo các tính chất của phép chiếu song song. Hình 1, hình 4 có tỉ lệ độ dài hai đáy không giống hình thực, hình 2 có AD không song song BC . Hình 3 có thể coi là hình biểu diễn của hình thang đã cho.

Câu 21. Chọn C.

Ta có tính chất: “ Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm trên đường thẳng đó đều nằm trên mặt phẳng đó”. Do vậy đáp án A đúng.

Câu 22. Chọn A.

Nếu hai đườ ng thẳ ng trù ng nhau thı̀ có vô số mă ̣ t phẳ ng.

Câu 23. Chọn A.

Lấ y bố n điểm trong năm điểm có năm cá ch (vı̀ bố n điểm trong năm điểm đều ta ̣ o thà nh tứ diê ̣ n)

MN BD PQ BD MN PQ //

Vı̀ Câu 24. Chọn A. //

Câu 25. Chọn B.

AB Thiết diê ̣ n là mô ̣ t hı̀ nh thoi ca ̣ nh 2

và hai đườ ng ché o bằ ng nhau(đườ ng cao thuô ̣ c ca ̣ nh đá y

củ a hai tam giá c cân bằ ng nhau) nên nó là mô ̣ t hı̀ nh vuông.

Câu 26. Chọn D.  (  Vı̀ 1 O O 2 BDE O ) 1

AD SD SC SB lầ n lươ ̣ t ta ̣ i

,SA BD nên 

 cắ t cá c ca ̣ nh

 song song vớ i Vı̀ mă ̣ t phẳ ng  N P Q K . Do đó thiết diê ̣ n là ngũ giá c MNPQK . ,

Câu 27. Chọn D.

SAC



SBD





 1

Câu 28. Chọn D.  Ta có

 SAC

S

 O SAC







 2

  

SAC



SBD



  Từ  1 và  2 suy ra 







Mà :    SBD SBD  O AC    O BD  

D

SAB



SCD





 3

Câu 29. Chọn C.  Ta có

A

J









 4

 SAB  I AB Mà :   I SAB  SCD

k O

  

 I CD 

B

  

C

SAB





  SCD Từ  3 và  4 suy ra 





 SCD SI

I

SAD



SBC









 5

Câu 30. Chọn B.  Ta có

12 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian









 6

 

SAD



SBC



 SAD  Từ  5 và  6 suy ra 







  J AD Mà :   J SAD  SBC  J BC SBC    

II - BÀI TẬP NÂNG CAO KỸ NĂNG



 1





)

 BCD  BCD MNP   P Ta có :



. Khi đó :

 2









MNP

BCD





 E BC    E MNP BCD  



. Dễ thấ y

 ACD )

Câu 31. Chọn B.    P BD     P MNP Trong mă ̣ t phẳ ng ( ABC có MN không song song với BC . Go ̣ i MN BC E     BCD    E MN MNP   Từ  1 và  2 suy ra  PE không thuô ̣ c mă ̣ t phẳ ng (

A

M

P

D

B

N

C

E

Câu 32. Chọn C.

A

M

N

D

I

B

C

ABD



ABD

  I

I MN





MNC

 

mà

I MN

 

  I MNC



 



BCD

  I

BCD

I BD

mà









mà

13 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 33. Chọn A.

Dễ thấ y có 3 tứ giá c cầ n tı̀ m: AMEP , PENB , AMNB

S

M

E

N

C

A

P

B

D



Câu 34. Chọn B.

A

N

G

C

B

H

M

D

 nên

//HG MN . Mặt khác

//MN AB nên

1 3

CH CG  CM CN . Rõ ràng, CN cắt HG . Vậy chọn đáp án là CD .

// AB

Trong tam giác CMN , ta có:

Câu 35. Chọn C.

S

M

D

A

C

B

14 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

)

ADM chính là mặt phẳng qua AM , song song với BC . Vậy giao điểm của mặt

 1

Do nên (

SQ SD  SD SD

phẳng qua AM , song song với BC và đường thẳng SD chính là D . Vậy:

Câu 36. Chọn D.

Mệnh đề (1) đúng vì tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp O nằm trên các trung ,A O E . ,AE BF . Mệnh đề (2) sai vì trong hình 2 không bảo toàn tính thẳng hàng của tuyến

,A O và trung điểm E của BC và thứ tự giữa các điểm này (tam giác ABC tù tại

Mệnh đề (3) sai vì tam giác ABC vuông thì O trùng trung điểm E của BC nên trong hình biểu diễn cũng phải bảo toàn tính chất này. Mệnh đề (4) đúng vì hình 4 bảo toàn tính thẳng

hàng của đỉnh A nên O nằm ngoài đoạn AE )

Câu 37. Chọn B.

S

D'

C'

A'

B '

D

C

N

M

A

B

A B C D là hình bình hành :

A B AB A B ’ ’

’ ’



Chứng minh

C D CD C D ’

’

;



Trong tam giác SAB , ta có :



A B C D ' //

1 2 1 2

A B C D là hình bình hành. ' ’ ’A B M với hình chóp

.S ABCD :

. Trong tam giác SCD , ta có :



Vậy : Tứ giác ' Tìm thiết diện của 

’ ’A B M và  

 ABCD

’ ’A B .

ABCD là Mx song song AB và

/’A B AB và M là điểm chung của  ’ 

’ ’A B M và  

Ta có :

 Mx AD



’ ’A B MN . Do đó chọn đáp án A.

. Vậy : Thiết diện là hình thang Do đó giao tuyến của  Gọi

Câu 38. Chọn D.

15 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

SAB M ),

SAB







(

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

 song song với SA mà





    và (SAB) đồng thời biết phương của giao tuyến là phương song

. Ta biết một điểm

  



, P thuộc SB. với MP SA + Mặt phẳng  chung M của mặt phẳng   song với SA. Vậy 



 và (SAC) đồng thời 

 song song



SAC





SAC

+ Tương tự gọi R AC MN

RQ SA Q SC ,

  SAB MP là một điểm chung của  

  





)

SCD là đoạn QN

 và (SBC) là PQ .

  và ( + Đoạn giao tuyến của  Vậy thiết diện tứ giác MNQP.

, . Nên đoạn giao tuyến với SA mà nên ta có 

Câu 39. Chọn C.

GK AD AG DK E



 với E là trung điểm của BC . Từ đó ta có:

  là trọng tâm tam giác BCD

EK EG  KD GA

1 2

+ Từ giả thiết ta có:

Câu 40. Chọn A.

16 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

S

K

I

A

C

E'

H

E

B

BC ABC và  

 IHK

ABC

IHK







SAC , có IK không song song với AC . Gọi

IK AC

 









  ABC , gọi



BC BC ,



ABC







E 1

  E 1

E HE HE





IHK







 

  E 1





IHK

 

 BC HE  ' Cách 1. (dựng điểm E, chỉ sử dụng kiến thức bài đại cương đường thẳng và mặt phẳng) Chọn mp phụ ( ABC ) Tìm giao tuyến của  Trong  Trong  E 1



E 1

E E 1

/ /

KE SB ). Vậy chọn đáp án A.

SBC và  



Suy ra:

 Sau khi dựng xong điểm E , ta sẽ quan sát thấy KE SB (hoặc quan sát kĩ hình hơn sẽ thấy “vai trò” điểm E trong tam giác ABC cũng giống như điểm K trong tam giác SAC , do đó tỉ lệ của điểm E chia đoạn BC cũng giống như tỉ lệ điểm K chia đoạn SC . Do vậy, áp dụng định lí Ta-let cho tam giác SBC ta có / / Cách 2. (Sử dụng tính chất quan hệ song song của đường thẳng và mặt phẳng) Ta có: IH là đường trung bình trong tam giác SAB nên song song với SB . Do đó hai mặt phẳng  IHK lần lượt chứa hai đường thẳng SB , IH song song với nhau sẽ cắt nhau theo giao tuyến KE song song với SB . Vậy chọn đáp án A.

Câu 41. Chọn B.

S

N

M

K

D

A

O

C

B





SBD

ABM







Ta có

 1 



Go ̣ i . Khi đó:

 O AC BD K AM SO , 









 2

  SBD

ABM



SBD



 K AM   K ABM  SBD  K SO  ABM 







     Từ  1 và  2 suy ra 

17 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

SBD . Go ̣ i N BK SD









ABM



SAD

. Khi đó : Trong mă ̣ t phẳ ng 

  N











. Dễ thấ y



 ABM SD



ABM





 N SD   N BK 

Câu 42. Chọn C.

A

D

M

N

B

C

L

A'

D'

B '

C'

 ' AA '

 MNB  AN AA '

/ /

MNB  C C ' DD ' NL 

MNB

BB C C '



ABLN

(1)

  thiết diện là tứ giác

, x đi qua N

   B B MB   D D '     L x CC L x CD ',  

 

Ta có :   MNB     Trong đó Mà : 

LN DC LN DC , / /   LN AB LN AB , / /  (2) DC AB DC AB , / /   Mă ̣ t khá c:  

Từ  1 và  2 suy ra thiết diê ̣ n cần tı̀ m là hı̀ nh bı̀ nh hà nh

Câu 43. Chọn C.

S

F

M

A

I

A

D

G

P

I

E

N

B

P

B

C

)

(

P G

mp ABCD , khi P thay đổi trên đoạn



, đường thẳng NP luôn cắt đoạn AB tại một điểm E ( E thay đổi từ trên

(SAD)

, đường thẳng

Gọi G là giao điểm của AN và BD . Trong BG  AB , E A ), đường thẳng EN cắt đường thẳng AD tại I . Trong IM cắt SA tại F . Thiết diện là tứ giác MNEF .

18 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

Khi P chạy từ G đến D , đường thẳng NP cắt đoạn AD tại I . Thiết diện là tam giác MNI .

2 k  3

Vậy đáp án là

Câu 44. Chọn A.

A

G3

P

M

B

D

K

G1

G2

N

I

J

C



 nên

I J K lần lượt là trung điểm ,

BC CD DB . Ta có:

2 / /IJ

AG 1 AI

2 3

/ /(

)

G G G và (ABC) là đường



AG 2 AJ BCD . Do vậy, giao tuyến của 

AG 3 AK 

G G G 2 3

Gọi , G G 1

,AB AC lần lượt tại

,M N

G G IK . Suy ra  3 / / thẳng qua

1G song song với BC , đường thẳng này cắt  . Thiết diện là tam giác MNP . Tam giác MNP có các cạnh tương ứng song

3MG



 AD P

 nên diện tích tam giác MNP

PM NP MN BC CD BD

2 3

song với các cạnh của tam giác BCD và

4 9

4 k  . 9

bằng lần diện tích tam giác BCD hay

Câu 45. Chọn A.

S

H

K

M

D

A

C

B

N

ABCD chứa hai đường thẳng song song HK và AB nên giao tuyến

HKM và ( )

)

Mặt phẳng ( của chúng là MN cũng song song với HK và AB . Xét hai tam giác HAM và KBN có:



BN AM



SAD



; BK AH . (do SBC  ) nên HAM KBN ;  KBN MAH 

19 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

 MN a HK

;



BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

a 2

cos

HAD   . Ta tính được:

. Từ đó suy ra: MH KN . MHKN là hình thang cân có hai đáy



Sử dụng định lý hàm số cos cho tam giác SAD ta tính được  1 2

2  HM HA





HA AM .

1 2

24 x 4

  

  

= .



a 3

Đường cao của hình thang cân được tính bằng công thức:



(

)

1 2

 MN HK 2

= . Do hai đáy có độ dài không đổi nên diện tích

x  0

thiết diện bé nhất khi đường cao bé nhất đạt khi

Câu 46. Chọn A.

S

R

M

N

P

A

B

Q

O

D

C

SBC hay không.



) / /

(

)

Hai đáp án A và D trái ngược nhau nên chắc chắn một trong 2 đáp án này sai. Do vậy ta cần kiểm xem PQ có song song với mặt phẳng  mp SBC : mp MON Chứng minh

Ta có : OMN (  ) / /( SBC )

PQ mp SBC ) (

/ /

 

Xét tam giác SAC và SDB : OM SC / /   ON SB / /  Chứng minh :



M N P O ,

 PQ MNO



Ta có : đồng phẳng  OP MN / / AD MN / /

/ /

PQ mp SBC ) (

OP AD / /    PQ MNO (  ) Mà . Do vậy :  PQ SBC / /( ) MNO ( ) // (SBC)   

Câu 47. Chọn D.

HK KM là các đoạn giao tuyến của 

HKM với  

ABC và  

 BCD



 KM BD



 AD HL

Xét 2 .trường hợp : a. M ở giữa C và D b. M ở ngoài đoạn CD a. M ở giữa C và D : , Ta có :

 BCD , gọi  ABD , gọi

Trong  Trong 

20 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN .

A

H

N

L

D

B

M

K

C

 KM BD

b. M ở ngoài đoạn CD:  Trong  BCD , gọi  Vậy : thiết diện là tam giác HKL

A

M

H

D

L

B

K

C

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 48. Chọn C.

  1

  MM AB MM EF ' // ' //  P  '

   P AB //      Tương tự

M N như hình vẽ và quan sát

 ABCD MM ' //EF MM'//NN'



MNN M mới là hình thang chưa thể là hình bình hành.

. Từ đó ta vẽ được các điểm

' //

MM CD ' //



NN AB ' //





thấy ' Dễ dàng quan sát thấy

M N DF hoặc chứng minh được khẳng định đó như sau: ' AM AC

AN AF

BN BF

AM AD



BF AM ;





;

AM BN  BF AC





M N DF '

  2

MNN M



MN D

//( EF)

AM AD Từ (1), (2)

Mà

AN AF  

  ' // DEF



. Vậy chọn đáp án A.

Câu 49. Chọn D.

21 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn



 

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

 // SBD

 cắt các mặt phẳng (ABCD), (SBC), (SCD) theo các giao tuyến  là tam giác đều

nên 

+  MN BD MP SB NP SD . Vậy thiết diện của hình chóp và mặt phẳng  MNP.



SBD

BD 4

+ .











 a x 2

S MNP S

MN BD

CI CO

 AC AI CO

 a x a

  

  

  

  

  

  

SBD

    

   

a 2

  

  

2



SMN

SBD

 b a x 2

2 3 4

 3 + Mà nên S  . a

Câu 50. Chọn D.

S

P

ON

B

C

Q

M

A



+ Chứng minh MNPQ là hình thang vuông :

22 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

)//

 (



(

ABC

)



MN OA //

(1)

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian



 ( )



(

ABC

)

  OA   

 (

)//



(

SAB

)



MQ SB / /

(2)



 ( )



(

SAB

)

    

)//

 (

(



SBC

)



NP SB //

(3)

SBC

 ( )





)

(

     Từ (2) và (3), suy ra

MQ NP SB (4) //

Ta có :

 MN MQ

MN OA //



 MNPQ là hình thang

 MN NP

  

MQ NP SB

OA SB      

Từ (1) và (4), ta có:



(

MQ NP MN



Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN . + Tính diện tích của hình thang theo a và x .

MNPQ

1 2

Ta có :

Tính MN : Xét tam giác ABC .



AB BC

cos



  

BO a

a 2

0 60

 Ta có: cos





ABO

ˆ   B   BA BO 





Do đều



MN MB BN x



//MN OA

MN BM BN BO AB AO

Có

//MQ SB

Tính MQ :



 MQ AM



(

 a x

  a x

SB AB

a a

MQ AM  AB SB Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có:



 

NP CN



 a x



NP CN  SB CB

//NP SB SB CB

a a 2

 a x 2

x 3 )



x .3 .(4



x 3 )

Xét tam giác SAB , ta có:

MNPQ

 x a (4 4

1 12

Do đó :

x 3a









Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4





a 4 2

  

  

 4a²

23 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn



a .4 ²





MNPQ

1 12

a ² 3



  

BTN_7_1 Chuyên đề 7. Hình học không gian

a 2 3

x 

Đẳng thức xảy ra khi

MNPQ

a 2 3

Vậy : thì đạt giá trị lớn nhất.

24 | T H B T N Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.1