BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
CHỦ ĐỀ : QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I.I.I.I. KIKIKIKIẾẾẾẾN THN THN THN THỨỨỨỨC CC CC CC CƠ BƠ BƠ BƠ BẢẢẢẢNNNN
1. Định nghĩa và các phép toán:
(cid:1) Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+
.
=
.
'
'
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
.
+
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) • Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB BC AC = . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) • Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB A AC D + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp AB AD AA ABCD A B C D , ta có: ' '
(cid:1) Phép cộng, trừ vectơ:
k
(cid:2) Hai vectơ a
)
(cid:2) k b .
.
(cid:2) (cid:2) 0b ≠
! ⇔ ∃ ∈
= 1k ≠ ), điểm O tùy ý.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM
Ta có:
=
k
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương: (cid:2) (cid:2) ℝ a và b : ( • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA kOB − MA k MB . = 1 −
Ta có:
• Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2
(cid:2) 0
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) IA IB+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB +
=
= • Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ∆ ABC, điểm O tùy ý. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA GB GC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG 3
Ta có:
(cid:2) 0
=
+
+
+
+
(cid:1) Lưu ý:
= 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:
phẳng.
(cid:1) Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt
(cid:2) , trong đó a
(cid:2) và b
không cùng
(cid:2) (cid:2) (cid:2) a b c , ,
phương.
đồng phẳng
m n ,
(cid:2) (cid:2) (cid:2) c m a n b . .
:
! ⇔ ∃
∈
=
+
(cid:2) (cid:2) (cid:2) Khi đó: a b c , , (cid:1) Cho ba vectơ
ℝ (cid:2) không đồng phẳng, x
tùy ý.
(cid:2) (cid:2) (cid:2) a b c , ,
ℝ
(cid:2) .
(cid:2) .
:
(cid:2) (cid:2) x ma nb p c . +
+
∈
m n p Khi đó: ! , , ∃
(cid:1) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
= 3. Tích vô hướng của hai vectơ:
.
(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB u AC v ,
=
=
(cid:4)0 BAC
(0
0 180 )
≤
≤
Khi đó: (
(cid:2) (cid:2) ) (cid:4),u v BAC =
(cid:1) Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có:
Cho
. Khi đó:
(cid:1) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
=
0
)
(cid:2) v =
( .cos (cid:2) (cid:2) u v = .
(cid:2) v
, ta có:
(cid:2) (cid:2) u v , (cid:2) (cid:2) u v .
0
⊥ ⇔ =
• Với • Với
hoặc (cid:2) 0
(cid:2) (cid:2) (cid:2) u v ≠ 0 , (cid:2) (cid:2) u = 0 (cid:2) (cid:2) u v ≠ ,
(cid:2) (cid:2) u v . (cid:2) , quy ước: 0 (cid:2) (cid:2) (cid:2) u v u .
II.II.II.II. KKKKỸỸỸỸ NĂNG CƠ B NĂNG CƠ BẢẢẢẢNNNN NĂNG CƠ B NĂNG CƠ B
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 1 | T H B T N
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
BTN_7_2 • Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một
vectơ với một số).
• Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng
tâm của tam giác.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
′
,
ABC A B C′ .
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , CB b=
(cid:2) ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA a=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM a c
(cid:2) b
= + −
(cid:2) c
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM a c
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM b c
(cid:2) b
(cid:2) a
. D.
= − +
= − +
= + −
1 2
1 2
1 2
1 2
Ví dụ: Cho hình lăng trụ (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AA c= (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM b a A. . C. . B. .
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB′
Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì
. Khi đó :
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ BB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ AA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ AA
(cid:2) c
.
1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC CB +
=
+
=
+
+
=
+
=
+
(cid:2) (cid:2) a b = − + +
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Hướng dẫn :
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng • Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng
+
+
(cid:2) 0 = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
B. .
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
+
+
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OC OD + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 OC OB OA = 2
1 2
1 2
. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD C. D. . . Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A. OA OC OB OD + = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 OB OC = 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB CD=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Hướng dẫn:
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OD OC =
− ⇔ =
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) hoặc AC BD= . Khi đó (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ) BA CD AB DC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
A. .
: Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD .
+
+ ⇔ − (cid:2) 0 = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BD
B.
.
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OC ⇔ −
=
−
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA ⇔ =
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC
C.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC OB =
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB ⇔ −
=
−
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA ⇔ =
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OC OB OD = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OC OD + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 OB OC OA = 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 CD 2
Vậy chọn A.
D.
Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
III. KKKKIIIIẾẾẾẾN THN THN THN THỨỨỨỨC CC CC CC CƠ BƠ BƠ BƠ BẢẢẢẢNNNN III. III.III.
(cid:2) 0
(cid:2) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a
song song hoặc trùng
(cid:2) a ≠ Vectơ với đường thẳng d.
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
2. Góc giữa hai đường thẳng:
'a ,
'b cùng đi qua một điểm. Khi đó: (cid:5)( a b ,
(cid:1) Cho
a a , ' // (cid:2) (cid:2) , u v
0
0
(cid:1) Giả sử
90 ≤ ≤ ϕ
)
Khi đó: (cid:5)( a b ,
0
0
0
) 180
90 ϕ ϕ < ≤ −
) ) (cid:4)( b b và a b // ' ' ', = (cid:2) (cid:2) ),u v ϕ= lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và ( . ( 0 (
)
ϕ = 180
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 2 | T H B T N
BTN_7_2
(cid:7)
0
0
.
0
(cid:1) Nếu
a
.
90
b ⊥ ⇔
=
a
b
(cid:1)
) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó:
(cid:2) (cid:2) u v .
(cid:2) 0
⊥ ⇔ =
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) //a b hoặc a b≡ thì (cid:5)( ) a b = , 3. Hai đường thẳng vuông góc: (cid:5)( a b , (cid:2) (cid:2) , u v
//a b . Nếu a
c⊥ thì b
c⊥ .
(cid:1) Giả sử (cid:1) Cho
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
′
′
′
′
BD
IV. KKKKỸỸỸỸ NĂNG CƠ B NĂNG CƠ BẢẢẢẢNNNN : : : : IV. NĂNG CƠ B NĂNG CƠ B IV. IV.
A D
BC
′ ⊥
′⊥
⊥
BD
′ ⊥
B. BB D. C. A B DC . . . .
Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc Ví dụ :Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? ′ ⊥ A. A C BD Hướng dẫn Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
d
a
a
,
( ) α
( ) α
d ⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
a b
I.I.I.I. KIKIKIKIẾẾẾẾN THN THN THN THỨỨỨỨC CC CC CC CƠ BƠ BƠ BƠ BẢẢẢẢNNNN 1. Định nghĩa:
( ) α
⊥ d d ⊥ a b , ( ) ⊂ α ∩ = I a b
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: ⇒ ⊥ d
3. Tính chất:
b
)α ( ⇒ ⊥
a
(cid:1)
a b //
b ) ( ⊥ ⇒ α ( ) α
(cid:1)
) β
(
(cid:1) ⇒ ⊥ a
( ) ( ) // α β
a
⊥
(cid:1)
//a
(cid:1) Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. a b ∈ ( ) ⊥ α ≠ a a b ⊥ ( ) ( ) // α β ( ) a ⊥ α ) ( ) ( ≠ α β ( ) ⊥ ⇒ a α ( ) β
a
⇒ ⊥ b
( ) α ( ) b α ⊥
(cid:1)
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 3 | T H B T N
BTN_7_2
(cid:7)
a
//
( ) α
⊥
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) ) ( ⊄ a α ⊥ ⇒ b a ( ) b α
a
b
b
(cid:1)
Cho
,
a ⊥ ⇔ ⊥ '
( ) a α⊂
'b là hình chiếu của b lên (
)α . Khi đó:
( b α⊄
)
4. Định lý ba đường vuông góc: và
090 .
)α thì góc giữa d và (
)α là
'd với
'd là
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
)α thì góc giữa d và (
)α là thì góc giữa d và
0
0 0
.
90ϕ≤ ≤
hình chiếu của d trên ( (cid:1) Chú ý: góc giữa d và (
)α . )α là ϕ thì
(cid:1) Nếu d vuông góc với ( (cid:1) Nếu d không vuông góc với (
II.II.II.II. KKKKỸỸỸỸ NĂNG CƠ B NĂNG CƠ BẢẢẢẢNNNN NĂNG CƠ B NĂNG CƠ B
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?
( ) d α⊥
thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (
.
A. Nếu đường thẳng
)α . ( ) d α⊥ )α thì d vuông góc với
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì
và đường thẳng
a⊥ .
a
a
,
( ) α
( ) α
d ⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
.
D. Nếu C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( )α . bất kì đường thẳng nào nằm trong ( ) ( ||a α thì d
( ) d α⊥ Hướng dẫn : A. Đúng vì d . B. Sai vì Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (
)α thì
) ( d α⊥
a
b
.
d
d
c
c
,
⇒ ⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
( ) α
( ) α
I
⊥ d d ⊥ ( ) a b , α ⊂ ∩ = a b
a
C. Đúng vì
⇒ ⊥ d
( ) α //a ( ) d α ⊥
D. Đúng vì
Bài 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
I.I.I.I. KIKIKIKIẾẾẾẾN THN THN THN THỨỨỨỨC CC CC CC CƠ BƠ BƠ BƠ BẢẢẢẢNNNN
.b
thì góc giữa hai mặt phẳng (
)α và (
)β là góc giữa hai đường thẳng a và
d
)
(
(cid:1) Nếu 1. Góc giữa hai mặt phẳng: ) ( α⊥ a ( ) b β ⊥
) α β∩
= . Từ điểm I
d∈ , dựng
thì góc giữa hai mặt phẳng (
)α
d a , d b ,
⊥ ⊥
⊂ ⊂
( ) α ) ( β
a b
và (
0
0 0 ;90
)β là góc giữa hai đường thẳng a và b . )α và (
)β là ϕ thì
ϕ ∈
.
(cid:1) Giả sử (
(cid:1) Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng ( 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 4 | T H B T N
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
BTN_7_2 )α và S’ là diện tích của đa giác ℋℋℋℋ’ là hình chiếu
S
'
=
S ϕ .cos
)β . Khi đó
với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (
)α và
Gọi S là diện tích của đa giác ℋℋℋℋ nằm trong ( vuông góc của đa giác ℋℋℋℋ lên ( )β . (
)α vuông góc mặt phẳng (
)β thì góc giữa hai mặt phẳng (
)α và
.
3. Hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng ( )β bằng 900 (
)
(
⇒ ⊥ ( ) α β
( ) α ) ( β
⊂ a a ⊥
d
=
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
⇒ ⊥ a
(
) β
(cid:1)
⇒ ⊂ a
( ) α
) β
(cid:1)
⇒ ⊥ d
( ) γ
d
=
( ( (
(cid:1)
4. Tính chất: ( ) ( ) α β ⊥ ( ) ( ) α β ∩ ( ) a α ⊂ d a ⊥ ( ( ) ) α β ⊥ ( ) A α ∈ A a ∈ ⊥ ( a ( ) ) α γ ⊥ ( ) ) β γ ⊥ ( ) ) α β ∩
ABC
II.II.II.II. KKKKỸỸỸỸ NĂNG CƠ B NĂNG CƠ BẢẢẢẢNNNN NĂNG CƠ B NĂNG CƠ B
và đáy là tam giác vuông ở A. Khẳng định nào sau
⊥
(
)
S
ABC
.
⊥
SAB
SAC
.
⊥
( (
là góc giữa hai
thì góc ASH∠
Dạng 1 : Góc giữa hai mặt phẳng SA Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có
) ) , H BC∈ ) SBC và (
) ABC
đây sai? A. ( ) SAB ) B. ( C. Vẽ AH BC⊥ mặt phẳng (
SBC và ( )
) SAC là góc
B
A
D. Góc giữa hai mặt phẳng (
SCB∠ . Hướng dẫn :
H
SAB
⇒
SAB
ABC
.
⊥
(
)
(
)
( (
) ) ABC
⊂ SA SA ⊥
C
AB
SAB
⊂
⇒
SAB
SAC
A. Đúng vì
,
⊥
SAC
⇒ ⊥ AB
(
)
(
)
(
)
AB AC ⊥ AB SA ⊥
AC
⊥
( (
) ) SAC
B. Đúng vì
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 5 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
.
BC SH
SAH
SAH
⇒ ⊥
⊃
⇒ ⊥ BC
)
(
)
(
⇒
=
nên góc giữa hai mặt phẳng (
) SBC và
)
)(cid:4) (cid:4) SHA SH AH ;
AH BC ⊥ AH SA ⊥ )(cid:4) ( ( ) ( ( ABC SBC ; =
BC AH ⊥ BC SH ⊥ ABC là góc giữa hai đường thẳng SH và AH , là góc (cid:4)SHA . (
)
C. Đúng vì
D. Sai do cách xác định như câu C.
B. BÀI TẬP
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
.
.
.
.
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) D. AB BC AC
Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) B. AC BD⊥
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A. AD DC⊥
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C. AD BC⊥
+
=
'
'
'
.
.
.
'
'
,
,
,
A. B.
.
.
,
,
ABCD A B C D . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng? ' (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A D AA A D DD ', ', ' (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AB AD AA , '
',
,
,M N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:
C. D. Câu 2. Trong không gian cho hình hộp (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AB AD AC , ' (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AB AD AA , '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(
)
)
2(
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD +
=
A. . B. . Câu 3. Cho tứ diện ABCD . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD BC MN +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(
)
)
.
2(
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC CD +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC BD +
=
1 2 1 2
. Gọi α là
(cid:2) (cid:2) ,u v
C. . D.
Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng:
(cid:2) (cid:2) u v ( , ) .
α=
.
A.
(cid:2) (cid:2) cos( , )u v
α=
.
B. cos
α= sin
C. Nếu a và b vuông góc với nhau thì
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
,
,
,
D. Nếu a và b vuông góc với nhau thì
A B C D đồng phẳng
(cid:2) 0
A. Nếu
(cid:2) (cid:2) u v . (cid:2) (cid:2) u v = . 0 Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai? (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) thì bốn điểm AB BC CD DA +
+
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2AI AB AC
=
+
nên suy ra B là trung điểm của AC
,
,
,
C. Vì
nên 4 điểm
A B C D đồng phẳng.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA BC+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:2) = 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD 3
= −
+
D. Vì
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA BC BD
(
)
(
)
=
+
+
=
+
+
A. B. Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC CD
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC AD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA BC BD
(
)
(
)
=
+
+
=
+
+
1 3 1 4
1 4 1 4
C. D.
.
.
(cid:2) 0
A. B.
.
.
(cid:2) 0
(cid:2) 0 (cid:2) 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD CD AC DC = . . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD BC = .
C. D. Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai? (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC BD = = . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD = .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 6 | T H B T N
BTN_7_2
(cid:7)
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ
không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) , wu v ,
đồng phẳng.
A. Các vectơ
đồng phẳng.
B. Các vectơ
C. Các vectơ
không đồng phẳng.
(cid:2) v
2
,
(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) u v v w , , + (cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) u v u w , 2 , + − 2 (cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) không đồng phẳng. u v v w , 2 , + (cid:2) (cid:2) (cid:2) ) ( u v u , − − +
,
. Biểu diễn vectơ
qua
'
'
.
ABC A B C . Đặt '
(cid:1)(cid:1)(cid:2) w
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'BC
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AA u=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AB v=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC =
. Chọn đáp án đúng:
(cid:2)
D. Các vectơ
.
.
= − +
= + +
(cid:2)
(cid:2)
A. B.
.
.
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC u v ' (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC u v '
(cid:1)(cid:1)(cid:2) w (cid:1)(cid:1)(cid:2) w
= + −
= − −
,
,
A B C D đồng phẳng.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
C. D.
4
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) các vectơ u v w , , (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC u v w ' (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC u v w ' Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AC 3
thì 4 điểm (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA
= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC 3
=
− (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC ⇔ =
1 3
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
= −
A. Nếu (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB B.
thì B là trung điểm của AC .
(
'
d β⊂ )
1 2 d α⊂ ( ) và
. Nếu mặt phẳng (
)α và (
)β vuông góc với nhau thì hai đường
C. Nếu
'd cũng vuông góc với nhau.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
′
,
.
D. Cho thẳng d và
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AA
(cid:2) ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA a=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , CB b=
(cid:2) c=
ABC A B C′ . Khẳng định nào sau đây đúng?
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM a c
(cid:2) b
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM b a
(cid:2) c
Câu 11. Cho hình lăng trụ
= − +
= − +
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM a c
(cid:2) b
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM b c
(cid:2) a
A. . B. .
= + −
= + −
1 2 1 2
1 2 1 2
C. D. . .
Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC OB =
+
.
.
(cid:2) 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OC OD +
+
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
A. B.
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB OC =
+
.
.
C.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) D. OA OC OB OD
+
=
+
1 2 1 2
1 2 1 2
=
(cid:1)(cid:1)(cid:2) Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA
(cid:2) = a
(cid:1)(cid:1)(cid:2) ; SB
(cid:2) = b
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ; SC
(cid:2) = c
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ; SD
(cid:1)(cid:2) d
(cid:2)
(cid:2)
+ = +
+ = +
. .
. D. .
. Khẳng định nào sau đây đúng? (cid:2) (cid:2) A. a c (cid:1)(cid:2) (cid:2) C. a d
(cid:2) (cid:1)(cid:2) d b (cid:2) (cid:2) b c
(cid:1)(cid:2) (cid:2) B. a b c d (cid:2) (cid:2) (cid:2) a c d b
(cid:2) 0
+ = +
(cid:1)(cid:2) + + + =
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
,
(cid:2) Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB b=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AC c=
.Khẳng định nào sau đây đúng?
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD d= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) c b d + −
=
=
(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) d b c + −
)
(
)
(
A. B. . .
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) c d b + −
=
=
(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) c d b + +
)
(
)
(
1 2 1 2
1 2 1 2
C. D. . .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 7 | T H B T N
(cid:7)
′
BTN_7_2 ′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt
,
,
(cid:1)(cid:2) y=
(cid:1)(cid:2) y
(cid:2) x
(cid:2) x
(cid:1)(cid:2) y
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2
+ + +
=
= −
+ + +
.
)
1 4
A. B. .
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 15. Cho hình hộp ′ ′ ABCD A B C D . (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , 'BD x= 'AC u= 'DB v= 'CA (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ) u v OI 2 (cid:1)(cid:2) y
(cid:2) (cid:2) u v
(cid:2) x
(cid:2) x
(cid:1)(cid:2) y
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2
+ + +
= −
=
+ + +
)
(
. Chọn khẳng định đúng? (cid:2) (cid:2) 1 ( u v 2 (cid:2) (cid:2) ( u v
)
( 1 4
1 2
SA
ABCD
⊥
,
C. D. . .
6
SA a=
. Tính góc α giữa
(
)
Câu 16. Cho chóp
đường SC và mặt phẳng (
.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , ) SAD ? 020 70'
020 42'
069 17 '
069 30 '
α≈
α≈
α≈
α≈
SA
C. B. . . A. . D. .
đều cạnh a ,
SAB cùng vuông góc với đáy, ABC∆
a= 2
SAC và ( )
)
.S ABC có ( Tính góc α giữa SB và (
SAC ? )
Câu 17. Cho
.
.
.
.
022 47 '
022 79'
037 45'
067 12
α≈
α≈
α≈
α≈
đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa
A. B. C. D.
ABCD ?
SC và (
)
Câu 18. Cho SAB∆
.
.
.
.
018 35'
037 45'
063 72'
α≈
α≈
α≈
01 5 62 '
α ≈
a AB BC a SA
B AD ,
, =
2 ,
=
=
A. B. C. D.
.S ABCD có đáy hình thang vuông tại A và
) SAC ?
Câu 19. Cho
.
.
.
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600. Tính góc giữa SD và mặt phẳng ( 024 5'
034 15'
073 12 '
062 8'
α≈
α≈
α≈
SA SB SC
D. A. B.
α≈ C. . , đáy là tam giác vuông tại A, (cid:4) 060
,
.S ABC có
ABC =
=
a 2 = SAC và ( )
Câu 20. Cho hình chóp
= , AB a= . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( 044 12'
076 24'
) ABC ? 063 15'
073 53'
α≈
α≈
α≈
α≈
B. A. C. D.
.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy. Tính
SCD ? )
góc giữa (
S A B và ( )
Câu 21. Cho
.
.
.
.
035 15'
075 09 '
067 19'
038 55'
α≈
α≈
α≈
α≈
,a SA
A. B. C. D.
vuông góc với mặt phẳng đáy và (
) SCD
.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa (
) SCD .
Câu 22. Cho chóp
.
.
.
.
074 12'
042 34 '
α=
α=
060α=
SBC và ( ) 030α=
,
,
SA SB SC đôi một vuông góc. Biết rằng
Hỏi góc
2.
SA SB a SC a , =
=
=
A. B. D. C.
) ABC ?
Câu 23. Cho giữa (
.
.
.
.
.S ABC có SBC và ( ) 050 46 '
063 12 '
034 73'
042 12'
α≈
α=
α=
α=
AB a SA =
A. B. C. D.
.S ABCD có đáy là hình chữ nhật,
vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt
SBC và mặt phẳng đáy?
phẳng đáy góc 450 và hợp với (
)
Câu 24. Cho
.
.
.
.
083 81'
, SAB góc 300. Tính góc giữa ( ) 062 33' 079 01'
054 44 '
α=
α=
α=
α≈
A. B. C. D.
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 8 | T H B T N
BTN_7_2
AB
AD
3a.
=
4a,
=
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 25. Cho chóp tứ giác
(cid:7) .S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
Các cạnh bên đều
ABCD ?
có độ dài 5 .a Tính góc giữa (
)
SBC và ( ) 071 21'
075 46 '
068 31'
065 12'
α=
α=
α=
α≈
B. A. C. D.
)α thì d
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
)α (
)α .
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (
vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( ) ( d α⊥
thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (
)α .
.
B. Nếu đường thẳng
)α thì
( ) d α⊥
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (
và đường thẳng
d⊥ .
) ( d α⊥
) //a α thì a
(
D. Nếu
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông
B. 2. C. 3. D. 1.
góc với ∆? A. Vô số.
Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?
B. 2. C. 3. D. 1. A. Vô số.
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
một đường thẳng thì song song nhau.
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
SA
ABC
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là: D. 12. C. 2 5 . B. 50. A. 5 2 .
.S ABCD có
và ABC△
vuông ở B . AH là đường cao của SAB△
⊥
(
)
. Câu 31. Cho hình chóp
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A.
.
SA BC⊥
AH AC⊥
. C. . . B. AH BC⊥ D. AH SC⊥
)P . Gọi H là hình chiếu của A lên (
)P . M, N là các điểm
Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng (
)P . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? . .
. .
thay đổi trong ( A. Nếu AM AN= C. Nếu AM AN>
thì HM HN= thì HM HN<
thì HM HN> thì AM AN>
B. Nếu AM AN> D. Nếu HM HN>
ABC
;
đôi một vuông góC.
)
) ( ABD ACD ;
)
BCD là trực tâm tam giác BCD.
)
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây: ( A. Ba mặt phẳng ( B. Tam giác BCD vuông. C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng ( D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
MA MB M P
⇒ ∈
=
MN
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
MN AB ⊥
.
.
) ⊂ ⇒ P
(
(
)
A. B.
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 9 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
P
MA MB
⊥ ⇒ MN AB MN
⊂
∈ ⇒ =
.
.
(
)
( M P
)
C. D.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD AA '
,
,
VẬN DỤNG THẤP
theo các vectơ
ABCD A B C D . Phân tích vectơ '
.
'
'
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AC
. Câu 35. Cho hình lập phương
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AA ' =
' 2 +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD +
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD +
A. B.
)
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA '
=
+
C. D.
( (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD +
Chọn đáp án đúng: 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA ' 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD +
)
(
1 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tích vô hướng của hai vectơ AB
và
.
'
'
'
'
Câu 36. Cho hình lập phương (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) có giá trị bằng: A C ' '
2a .
.
.
.
a
2a
2 2
22 a 2
A. B. C. D.
'
.
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) '
+
=
. Giá trị của k là:
Câu 37. Cho hình hộp A. 3.
ABCD A B C D có: ' ' B. 0.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB B C DD k AC ' ' ' + C. 2.
D. 1.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
,M N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG k OA OB OC OD
=
+
+
+
là:
Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi
)
(
.
.
1 2
1 4
ABC A B C . Đặt '
.
'
'
'CC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AA
(cid:2) a=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AB b=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AC c=
, G là trọng tâm của tứ diện
qua các vectơ
, Gọi I là điểm thuộc (cid:1)(cid:1)(cid:2) BA B C . Biểu diễn vectơ IG
'
'
'
B. C. D. 2. A. 4.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C I '
=
1 3
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C C '
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
(cid:2) c
(cid:2) c
sao cho (cid:2) (cid:2) (cid:2) ,a b c , (cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
2
2
=
(cid:2) (cid:2) a b + +
. Chọn đáp án đúng : (cid:2) (cid:2) a b + −
=
(
)
1 3
B. A.
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
(cid:2) b
1 1 4 3 (cid:2) b
(cid:2) a
(cid:2) c
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
2
2
=
(cid:2) (cid:2) a c + −
−
+
=
(
)
1 4
1 4
1 3
ABC
,a ABC
SAB )
(
).
∆
⊥
D. C.
vuông cân tại B và (
.S ABC có SAB∆
đều cạnh ABC ? )
Câu 40. Cho chóp
.
.
.
Tính góc giữa SC và ( 039 12'
046 73'
035 45'
052 67'
α=
α=
α≈
α=
A. B. C. D.
vuông góc với mặt
a SA a
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh
,
=
SA 3,
Câu 41. Cho chóp
.
.
.
027 38 '
α ≈
B. C. D.
phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ? 072 84 ' A. .
069 17 '
084 62 '
α≈
α≈
α≈
'
AA m m=
>
AB = 1,
Hỏi m bằng bao nhiêu để góc
ABC A B C có '
.
'
'
(
) 0 .
giữa
'AB và
'BC bằng 600 ?
Câu 42. Cho lăng trụ đều
1m = .
3.
5.
2.
m =
m =
m =
A. B. C. D.
là tam giác vuông cân tại
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a , SAB∆
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SC và AD ?
Câu 43. Cho chóp
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 10 | T H B T N
BTN_7_2
.
.
.
.
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) 039 22 '
(cid:7) 073 45 '
035 15 '
042 24 '
α ≈
α ≈
α ≈
α ≈
A. B. C.
vuông góc mặt
a ABC
,
=
ABCD ?
phẳng đáy là
3.
SA a=
Câu 44. Cho hình chóp
D. .S ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh (cid:4) 0 SA 60 , SBC và ( ) C. D. A.
Tính góc giữa ( B.
) 062 17 '
014 55 '
026 33'
033 11'
α≈
α≈
α≈
α≈
SA
ABCD
⊥
, gọi E , F lần lượt
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật,
(
)
ADE
AEF
ABF
SC
SC
SC
SC
AEC
Câu 45. Cho hình chóp
⊥
⊥
⊥
⊥
. C.
.
.
.
B. D.
là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Chọn mệnh đề đúng : ( A.
)
)
(
)
(
(
)
.S ABC có SA SB SC
=
=
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (
) ABC .
Câu 46. Cho hình chóp
Khi đó khẳng định nào đúng? A. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . C. H là trọng tâm tam giác ABC . D. H là trực tâm tam giác ABC .
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc )α đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SB cắt các
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng ( đường SB , SC lần lượt tại M , N .
1.
.
MN
BC
=
1 2
SBC
.
2. SA MN⊥ không đồng phẳng. 3. A D M N , , , ) ( 4. (
) α ⊥
5. Thiết diện cắt hình chóp
.S ABCD bởi mặt phẳng (
)α là hình bình hành.
Câu 47. Cho hình chóp
Có bao nhiêu nhận định sai? B. 3 A. 0
C. 2 D. 4
không liền kề nhau.
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
1 3
1 2
5 3
1 2
A. B. C. D. . . . .
liền kề nhau.
−
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
.
.
.
5 3
1 − . 3
1 2
1 2
A. B. C. D.
EBD .
cosin của góc giữa hai mặt phẳng (
SBD và ( )
)
−
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính
.
.
.
.
5 3
1 2
1 3
1 2
B. A. C. D.
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 11 | T H B T N
(cid:7)
BC
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao
,
,
a= 3
3
AH a=
A
BTN_7_2 ( ) P⊂ vuông tại A′. Gọi
, mặt phẳng đáy BC )P . Tam giác A BC′
( P∉
0. Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của A lên (
ABC . Chọn khẳng định đúng.
) α là góc giữa (
)P và (
)
.
.
.
.
030α=
060α=
045α=
cosα=
2 3
A. B. C. D.
(
ABC . ( )
)P là mặt phẳng đi qua A và hợp với (
)
Bd , Cd lần lượt là đường thẳng đi qua B , C và vuông góc )P cắt Bd , Cd tại ABC một góc bằng 60o . (
a
6
(cid:4)DAE
,
D và E .
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
β=
3
AD =
AE a=
2
Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a .
đúng?
30o
sin
60o
β=
β =
β=
.
.
.
.
sin
β =
6 2
2 6
ABD cùng vuông góc với mặt phẳng
A. B. C. D.
ABC và ( )
)
BCD . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD , DK là đường cao của tam giác
)
DFK
ADC
DFK
⊥
⊥
.
.
DFK
ADC
ABC
ABE
⊥
⊥
.
.
Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (
( ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? ) A. ( ABE ) C. (
( (
) )
) )
( (
) )
B. ( D. (
.S ABCD có O là tâm của hình vuông ABCD , AB a= ,
)P là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (
SO SCD . Thiết diện của (
)
. a= 2 )P và
.S ABCD là hình gì?
Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều
Gọi ( hình chóp A. Hình thang vuông. C. Hình thang cân.
B. Tam giác cân. D. Hình bình hành.
góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng?
cos
cos
α=
α=
Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh có độ dài bằng a , M là trung điểm đoạn CD . Gọi α là
cos
α=
A.
.
.
.
.
30 o
α =
3 4
3 6
1 3
B. C. D.
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 12 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.2 9 2 3 4 5 6 7 8
1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 B D D C A A C A A D A B A C D
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
.
.
.
.
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) D. AB BC AC
Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) B. AC BD⊥
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C. AD BC⊥
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A. AD DC⊥ Hướng dẫn giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Tứ diện ABCD là đều nên AD
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) không thể vuông góc với D C
'
'
'
.
.
.
'
'
,
,
,
A. B.
.
.
ABCD A B C D . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng? ' (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A D AA A D DD ', ', ' (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AB AD AA , '
',
,
'
C. D. Câu 2. Trong không gian cho hình hộp (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AB AD AC , ' (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AB AD AA , '
, , Hướng dẫn giải Từ hình vẽ ta thấy các vectơ
'
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A D AA A D DD ', '
',
,
) AA D D . '
A
cùng thuộc mặt phẳng ( B
D
C
B′
A′
D′
C′
,M N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(
)
)
2(
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD +
=
A
A. . B. . Câu 3. Cho tứ diện ABCD . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD BC MN +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(
)
)
.
2(
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC CD +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC BD +
=
1 2 1 2
M
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Ta có:
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
B
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN MA AD DN + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN MB BC CN +
+
=
C. . D.
D
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có:
N
2
(
)
)
+
C
( = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BD AC + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
2
(
)
(
)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN MB MA ) + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BD AC +
=
⇔
=
⇔
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) DN CN ( + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC BD +
1 2
Hướng dẫn giải
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 13 | T H B T N
BTN_7_2
(cid:7)
. Gọi α là
(cid:2) (cid:2) ,u v
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng:
(cid:2) (cid:2) u v ( , ) .
α=
.
A.
(cid:2) (cid:2) cos( , )u v
α=
B. cos
. sin α=
.
0
(cid:2) (cid:2) u v . (cid:2) (cid:2) u v = .
C. Nếu a và b vuông góc với nhau thì
. (Theo tính chất tích vô hướng của hai
Ta có:
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C A ' '
2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) IG IC ' 4 ⇔ =
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC IC ' +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB C B ' ' +
+
+
+
)
)
(
(
vectơ)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
,
,
,
D. Nếu a và b vuông góc với nhau thì Hướng dẫn giải
A B C D đồng phẳng
(cid:2) 0
+
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
A. Nếu Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai? (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) thì bốn điểm AB BC CD DA +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2AI AB AC
=
+
nên suy ra B là trung điểm của AC
,
,
,
C. Vì
nên 4 điểm
A B C D đồng phẳng.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA BC+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:2) 0 = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD 3
= −
+
D. Vì
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
,
,
đúng với mọi điểm
A B C D ,
(cid:2) 0
+
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB BC CD DA +
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA BC BD
(
)
(
)
=
+
+
=
+
+
A. B. Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC CD
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC AD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA BC BD
(
)
(
)
=
+
+
=
+
+
1 3 1 4
1 4 1 4
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
C. D.
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA AD +
+
)
)
(
⇔
+
+
(
)
(cid:2) 0 = + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG GB GC GD + + ⇔ = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ) ( AG GA AB GA AC + ⇔ = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 4AG AB AC AD + = + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 AB AC AD AG ⇔ = 4
Hướng dẫn giải Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên suy ra: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA GB GC GD + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
.
.
(cid:2) 0
=
A. B.
.
(cid:2) 0
(cid:2) 0 (cid:2) 0
Vậy
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC BD AD BC AB CD . . .
=
=
D. Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai? (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC BD = . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD = .
không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD CD AC DC . . = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C. . AD BC = . Hướng dẫn giải Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc. (cid:2) . 0 = (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) , wu v ,
đồng phẳng.
A. Các vectơ
đồng phẳng.
,
(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) u v v w + , , (cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) u w u v + − 2 , 2
B. Các vectơ
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 14 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
không đồng phẳng.
C. Các vectơ
(cid:2) v
,
2
không đồng phẳng nên :
không đồng phẳng.
(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) u v w , , (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) không đồng phẳng, u v v w + , , (cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) u v v w + , (cid:2) (cid:2) u v
D. Các vectơ
(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) không đồng phẳng. u v v w + , 2 , (cid:2) (cid:2) (cid:2) ) ( u v u , − − + Hướng dẫn giải Vì • • •
,
hiển nhiên là đồng phẳng.
Các vectơ
(cid:2) v
2
,
(cid:2) u , − −
không đồng phẳng. , 2 (cid:1)(cid:2) (cid:2) u w + − 2 , 2 (cid:2) (cid:2) ) ( u v +
,
. Biểu diễn vectơ
qua
'
'
.
ABC A B C . Đặt '
(cid:1)(cid:1)(cid:2) w
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'BC
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AA u=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AB v=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC =
. Chọn đáp án đúng:
(cid:2)
.
.
= − +
= + +
(cid:2)
(cid:2)
A. B.
.
.
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC u v ' (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC u v '
(cid:1)(cid:1)(cid:2) w (cid:1)(cid:1)(cid:2) w
= + −
= − −
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:2) w
(cid:1)(cid:1)(cid:2) w
(cid:2) v = − +
+
=
+
+
(cid:2) (cid:2) (cid:2) u u v + = − +
,
,
A B C D đồng phẳng.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
D.
4
Câu 9. Cho lăng trụ tam giác (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) các vectơ u v w , , (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC u v w ' (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C. BC u v w ' Hướng dẫn giải Ta có: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC BC CC BA AC CC ' ' ' = Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AC 3
thì 4 điểm (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA
= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC 3
=
− (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC ⇔ =
1 3
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC
= −
A. Nếu (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB B.
thì B là trung điểm của AC .
'
d β⊂ )
. Nếu mặt phẳng (
)α và (
)β vuông góc với nhau thì hai đường
1 2 d α⊂ ( ) ( và 'd cũng vuông góc với nhau.
(cid:2)
(cid:2)
(với
,m n là duy nhất) của định lý về các
(cid:2) thỏa mãn biểu thức c ma nb
4
=
−
=
+
C. Nếu
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
′
,
.
D. Cho thẳng d và Hướng dẫn giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD AC AB 3 vectơ đồng phẳng.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AA
(cid:2) ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA a=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , CB b=
(cid:2) c=
ABC A B C′ . Khẳng định nào sau đây đúng?
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM a c
(cid:2) b
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM b a
(cid:2) c
Câu 11. Cho hình lăng trụ
= − +
= − +
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM a c
(cid:2) b
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM b c
(cid:2) a
A. . B. .
= + −
= + −
1 2 1 2
C. D. . .
1 2 1 2 Hướng dẫn giải
Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB′
=
+
1 2
1 2
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ BB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ AA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ AA
(cid:2) c
=
+
=
+
+
=
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC CB +
+
(cid:2) (cid:2) a b = − + +
1 2
Khi đó: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 AM 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 15 | T H B T N
BTN_7_2
(cid:7)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC OB =
.
.
(cid:2) 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OC OD +
+
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
A. B.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB OC =
+
+
.
.
C.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) D. OA OC OB OD
+
=
+
1 2 1 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) hoặc AC BD=
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) 1 2 1 2 Hướng dẫn giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB CD= Khi đó (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OD OC =
− ⇔ =
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+
+ ⇔ − (cid:2) 0 = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OC ⇔ −
+
+
=
−
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA ⇔ =
(Loại)
•
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB ⇔ −
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC OB =
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA ⇔ =
−
=
+
+
(Loại)
•
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) • OA OC OB OD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) • OA OB OC OD + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 OB OC OA = 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
=
: O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD . (Loại)
1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 CD 2 (cid:1)(cid:1)(cid:2) Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA
(cid:2) = a
(cid:1)(cid:1)(cid:2) ; SB
(cid:2) = b
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ; SC
(cid:2) = c
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ; SD
(cid:1)(cid:2) d
(cid:2)
(cid:2)
+ = +
+ = +
. .
(cid:2) (cid:1)(cid:2) d b (cid:2) (cid:2) b c
D. .
(cid:1)(cid:2) (cid:2) B. a b c d (cid:2) (cid:2) (cid:2) a c d b
(cid:2) 0
(cid:1)(cid:2) + + + =
. Khẳng định nào sau đây đúng? (cid:2) (cid:2) A. a c (cid:1)(cid:2) (cid:2) C. a d . + = + Hướng dẫn giải
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:2)
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD , khi đó
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) SO
2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) SA SC SB SD =
+
=
+
,
(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) . . Vậy a c d b + = + (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB b= , AC c=
.Khẳng định nào sau đây đúng?
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD d= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) c b d + −
=
=
(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) d b c + −
)
(
)
(
A. B. . .
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) c d b + −
=
=
(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) c d b + +
)
(
)
(
1 2 1 2
1 2 1 2
C. D. . .
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
.
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MD MA =
+
+
= −
+
+
=
(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) c d b + −
)
(
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
′
′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt
,
,
(cid:1)(cid:2) y=
(cid:1)(cid:2) y
(cid:2) x
(cid:2) x
(cid:1)(cid:2) y
Hướng dẫn giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2
=
+ + +
= −
+ + +
.
)
1 4
′ ′ ABCD A B C D . (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'BD x= 'DB ) (cid:1)(cid:2) y
(cid:2) x
(cid:2) (cid:2) u v
(cid:2) x
(cid:1)(cid:2) y
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2
Câu 15. Cho hình hộp (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , 'AC u= 'CA v= (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) u v OI 2 A. B. .
+ + +
= −
=
+ + +
)
(
. Chọn khẳng định đúng? (cid:2) (cid:2) 1 ( u v 2 (cid:2) (cid:2) ( u v
)
( 1 4
1 2
C. D. . .
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 4OI OA OB OC OD + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ ′ C A D B A C B D +
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 4 ⇔ =
+
+
1 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′
) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ′ ′ ′ AC BD CA DB +
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 4 ⇔ = −
)
(
( 1 2
Hướng dẫn giải Do I là tâm hình bình hành ABCD nên
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 16 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
(cid:2) (cid:2) u v
(cid:2) x
(cid:1)(cid:2) y
(cid:1)(cid:1)(cid:2) OI 2 ⇔ = −
+ + +
)
(
1 4
SA
ABCD
⊥
,
6
SA a=
. Tính góc α giữa
.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,
(
)
Câu 16. Cho chóp
) SAD ?
đường SC và mặt phẳng (
. A. B. .
020 42' 069 17 '
020 70' 069 30 '
α≈ α≈
α≈ α≈
S
SAD
Ta có
. Tức D là
⇒ ⊥ CD
(
)
D. .
hình chiếu vuông góc của C lên (
) SAD
SAD là (cid:4)CSD .
⇒ Góc giữa SC và (
)
2
SD
2 SA
AD
a
;
7
=
A
D
(cid:4) CSD
tan
20 42 '
=
(cid:4) 0 CSD ≈
+ CD SD
= 1 = ⇒ 7
C. . Hướng dẫn giải CD AD ⊥ CD SA ⊥
SAB cùng vuông
SAC và ( )
) SA
Tính
a= 2
C
B
đều cạnh a , SAC ? )
Câu 17. Cho
.
.
A. B.
.
.S ABC có ( góc với đáy, ABC∆ góc α giữa SB và ( 022 47 ' 037 45'
022 79' 067 12 .
α≈ α≈
α≈ α≈
S
BH
SAC
.AC Dễ chứng minh
(
)
) SAC .
SAC là góc (cid:4). BSH
D.
⇒ Góc giữa SB và (
a
a
3
2
SH
2 SA
AH
BH
;
=
+
=
=
17 2
2
H
A
C
⇒
(cid:4) BSH
tan
0 22 47'
=
⇒ ≈ α
3 17
đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt
C. Hướng dẫn giải Lấy H là trung điểm ⊥ suy ra H là hình chiếu vuông góc của B lên ( )
ABCD ?
phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa SC và (
)
B
Câu 18. Cho SAB∆
.
α≈
α ≈
A. B.
.
.
018 35' . 037 45'
01 5 62 ' 063 72'
α≈
α≈
D.
C. Hướng dẫn giải
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 17 | T H B T N
BTN_7_2
(cid:7)
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Lấy H là trung điểm AB khi
S
SH
ABCD
⊥
(
).
ABCD là (cid:4). ) SCH
a
a
3
5
2
2
SH
CH
HB
BC
,
=
=
+
=
2
2
⇒
(cid:4) SCH
tan
0 37 45 '
α
= ⇒ ≈
3 5
A
D
H
B
C
a AB BC a SA
B AD ,
, =
2 ,
=
=
đó ⇒ Góc giữa SC và (
.S ABCD có đáy hình thang vuông tại A và
) SAC ?
Câu 19. Cho
.
A. B.
.
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600. Tính góc giữa SD và mặt phẳng ( 024 5' . 073 12 '
034 15' 062 8' .
α≈ α≈
α≈ α≈
nên
D.
S
SAC
⊥
và DC SA⊥ SAC là (cid:4)SD C . )
(
)
, vậy góc giữa SD và (
10,
6,
2
DC Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy là góc (cid:4)SCA nên (cid:4) 06 0 . S C A = SA a =
CD a =
D
⇒
(cid:4) D C
tan S
0 24 5 '
α
= ⇒ ≈
=
A
SD a = CD SD
1 5
SA SB SC
a
C. Hướng dẫn giải Dễ chứng minh DC AC⊥
2
, đáy là tam
.S ABC có
=
=
B
C
, , AB a= . Tính góc giữa ) ABC ?
= giác vuông tại A, (cid:4) 060 hai mặt phẳng (
ABC = SAC và ( )
Câu 20. Cho hình chóp
B. A.
044 12' 073 53'
076 24' 063 15'
α≈ α≈
α≈ α≈
S
a
SA SB SC
2
, nếu ta hạ
=
=
=
⊥
thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp
( ABC
.BC
∆
SAC
⇒
Ta có:
Góc giữa
( ⊥
D.
C
B
H
SMH
ABC là (cid:4).
) H ( SAC và ( )
(
)
C. Hướng dẫn giải Từ giải thiết có. ABC SH ⇒ là trung điểm ) ) ABC AC = ∩ ) ( AC SHM
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 18 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
M
SMH⇒
(cid:4) 073 53' ≈
(cid:4)tan ⇒ SMH
2 3
=
=
HM
,
3
=
SH a =
(cid:7) SH MH
a 2
A
.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy. Tính
SCD ? )
góc giữa (
S A B và ( )
Câu 21. Cho
.
.
α≈
α≈
B. A.
.
.
075 09 ' 038 55'
035 15' 067 19'
α≈
α≈
) SCD là .AB
S
Dễ chứng minh
nên góc giữa
(
)
d
)
D.
) SAB và (
.Từ đó dễ dàng tính
SCA =
AD a
2,
( Ta dễ thấy góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc (cid:4) 045 được SA AC a =
= .
=
A
D
⇒
(cid:4) DSA
tan
0 35 15 '
.
α
= ⇒ ≈
1 2
B
C
.S ABCD có đáy là hình vuông vuông góc với mặt phẳng đáy
cạnh và (
SBC và ( )
) SCD .
C. Hướng dẫn giải SAB và ( Ta thấy giao tuyến của ( ) đường d qua S và song song với d SAD ⊥ SCD là (cid:4)DSA .
.
.
A. B.
042 34 ' .
α= 060α=
α= 030α=
S
)DSC và đáy là
nên SA a=
D. Câu 22. Cho chóp ,a SA SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa ( ) 074 12' .
Dễ chứng minh
N
SCD AM SBC
AN
,
⊥
⊥
suy
ra góc giữa
SB SD , . )
(
)
M
,AN AM
SCD là góc giữa
.
,M N là trung điểm ( SBC và ( )
(
)
2
AM AN MN
=
=
=
D
= (cid:4) 060 MAN⇒
.
=
DB a 2
2
A
,
,
C. Hướng dẫn giải Dễ chứng minh được góc giữa ( (cid:4) 045 SDA = Lấy
.S ABC có
B
rằng
2.
SA SB a SC a , =
=
SA SB SC đôi một vuông góc. Biết ) SBC
Hỏi góc giữa (
C
và (
Câu 23. Cho
.
.
A. B.
.
.
= ) ABC ? 050 46 ' 034 73'
063 12 ' 042 12'
α≈ α=
α= α=
D.
SH BC
BC
SAH
(
)
)
⊥ ⇒ ⊥
Hạ
⇒ Góc giữa (
SBC và ( )
ABC là (cid:4). SHA
SB SC a
6
⇒
SH
(cid:4) SHA
tan
0 50 46'
.
α
=
=
= ⇒ ≈
. BC
3
6 2
C. Hướng dẫn giải
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 19 | T H B T N
BTN_7_2
AB a SA =
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 24. Cho
(cid:7) .S ABCD có đáy là hình chữ nhật,
vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt
SBC và mặt phẳng đáy?
, SAB góc 300. Tính góc giữa (
)
)
phẳng đáy góc 450 và hợp với (
.
B. A.
.
.
079 01' . 054 44 '
083 81' 062 33'
α= α≈
α= α=
D.
S
(cid:4) (cid:4)0 B C SCA
Dễ thấy rằng
0 30 .
45 , S
=
=
2
2
x
a
⇒ = SA
+
2
2
SB
SBA
AB
x
22 a
+
=
+
2 SA 0
SBC
SB
BC
.tan 30
∆ ⇒ = ⇒ ∆
=
2
x
22 a
3.
x ⇔ +
=
x a ⇔ =
2
2
D
A
AC
x
a
= ⇒ =
+
SA a
BC x ⇒ =
C
2. có (cid:4)tan
2
nên
.
Xét SAB∆
SBA =
054 44 '
α≈
B
AD
AB
=
C. Hướng dẫn giải
Câu 25. Cho chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình chữ 4a, 3a. = Các cạnh bên đều nhật cạnh ) SBC và ( ) có độ dài 5 .a Tính góc giữa ( ABCD ?
α=
A. B. C.
075 46 '
071 21' 065 12'
α= α≈
S
SH
).
(
D.
068 31' α= Hướng dẫn giải ABCD ⊥ Hạ Do các cạnh bên bằng nhau nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy, tức H là tâm đáy. Lấy I là trung điểm BC nên
góc giữa (
SBC và ( )
ABCD là (cid:4). ) SIH
3
2
2
IH
=
a SH 2 ,
=
SC HC −
=
.
a 5 2
D
⇒
A
(cid:4) SIH
tan
0 65 12'
.
⇒ ≈ α
=
5 3 4 Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
I
H
C
)α thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm
)α (
)α .
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai B đường thẳng cắt nhau nằm trong ( trong (
) ( d α⊥
thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (
.
B. Nếu đường thẳng
)α thì
)α . ( ) d α⊥
và đường thẳng
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (
d⊥ .
) ( d α⊥
) //a α thì a
(
D. Nếu
• Đường thẳng d có thể vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trên mặt phẳng (
)α nên
Hướng dẫn giải:
đáp án này sai.
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 20 | T H B T N
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
• Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (
BTN_7_2 )α thì lúc đó nó vuông góc với mọi đường
thẳng nằm trong mặt phẳng (
)α nên nó vuông góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng.
• đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì nó sẽ )α là hiển
)α và do đó d vuông với mọi đường thẳng nằm trong (
vuông góc với mặt phẳng ( nhiên đúng.
• Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (
)α thì d song song hoặc trùng với giá của véc tơ
d⊥ là đúng.
pháp tuyến của mặt phẳng (
)α do đó nếu đường thẳng
) //a α thì a
(
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông
C. 3. D. 1. B. 2.
góc với ∆? A. Vô số. Hướng dẫn giải Qua điểm O có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước chúng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với đường thẳng ∆.
Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?
B. 2. D. 1. C. 3.
A. Vô số. Hướng dẫn giải: Qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. Hướng dẫn giải: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nếu hai đường thẳng này đồng phẳng. Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau trong không gian. Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là: D. 12. C. 2 5 . B. 50.
A. 5 2 . Hướng dẫn giải:
2 3
2 4
2 5
50
5 2
+
+
=
=
Vậy đáp án đúng là 5 2 .
SA
ABC
Độ dài đường chéo của hình hộp là
.S ABCD có
và ABC△
vuông ở B . AH là đường cao của SAB△
⊥
(
)
. Câu 31. Cho hình chóp
.
AH AC⊥
. C. . . B. AH BC⊥ D. AH SC⊥
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? SA BC⊥ A. Hướng dẫn giải: ABC SA
⊥
.
nên SA BC⊥
)
.
Ta có △ Mà ABC
( vuông tại B: AB BC⊥
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 21 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
SA BC ⊥
BC AH
SAB
AH SC
SBC
⇒ ⊥
⊂
;
.
⇒ ⊥
⊂
(
)
(
)
AB
BC
AH BC ⊥ AH SB ⊥
⊥
AC AB
SAB
△ thì ABC
vuông tại A (Vô lý).
Nếu
⇒ ⊥
⊂
(
)
AH AC ⊥ SA AC ⊥
là sai.
Vậy AH AC⊥
)P . Gọi H là hình chiếu của A lên (
)P . M, N là các điểm
Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng (
)P . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? . . . .
thay đổi trong ( A. Nếu AM AN= B. Nếu AM AN> C. Nếu AM AN> D. Nếu HM HN>
thì HM HN= thì HM HN> thì HM HN< thì AM AN>
,AM AN và hình chiếu (
)
) ,HM HN . Đường
thì
”.
Hướng dẫn giải Theo tính chất mối liên hệ giữa đường xiên ( xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại. Mệnh đề sai là “Nếu AM AN> HM HN<
ABC
;
đôi một vuông góC.
)
) ( ABD ACD ;
)
BCD là trực tâm tam giác BCD.
)
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây: ( A. Ba mặt phẳng ( B. Tam giác BCD vuông. C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng ( D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc. Hướng dẫn giải:
AB
ACD
AC
ABD
⊥
⊥
;
;
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên
(
)
(
)
do đó ba mặt phẳng (
( AD ABC ⊥
ABC ; ( )
)
AH
BCD
⊥
ABD ; ( ) (
AH CD CD ABH
CD BH
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
) • Gọi H là hình chiếu của A trên ( )
( ⊥ AH BCD
) BCD . (
)
BC DH
AH BC CD ADH
⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Tương tự
ACD đôi một vuông góc. ) ⇒ ⊥ )
(
( ⊥ AH BCD
)
Do đó H là trực tâm của tam giác BCD .
• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên
AB
ACD
AB CD
⊥
AC
ABC
AC BD
⊥
AD
ABC
AD BC
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
) ) )
( ( (
Vậy hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
• Vậy tam giác BCD vuông là sai.
MA MB M P
⇒ ∈
=
MN
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
MN AB ⊥
.
(
P
MA MB
A. B.
⊥ ⇒ MN AB MN
⊂
.
.
) (
. )
( ) ⊂ ⇒ P ) ( ∈ ⇒ = M P
C. D.
Hướng dẫn giải:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 22 | T H B T N
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
MA MB
∈ ⇒ =
BTN_7_2 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm A và B ⇒ Nếu
( M P
)
AB
Mặt phẳng
là mặt phẳng
trung
trực của AB ⇒
do đó Nếu
(
)P
( P⊥
)
MN
MN AB ⊥
.
) ⊂ ⇒ P
(
MA MB M P
.
⇒ ∈
=
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm A và B ⇒ Nếu
(
)
P
(
)
⊂
Nếu
là sai vì MN có thể là đoạn thẳng đi qua A và vuông góc với AB
lúc đó
⊥ ⇒ MN AB MN ) ( //MN P .
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD AA '
,
,
VẬN DỤNG THẤP
theo các vectơ
ABCD A B C D . Phân tích vectơ '
.
'
'
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
. Câu 35. Cho hình lập phương
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD +
' 2 +
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD +
A. B.
)
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
C. D.
( (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA AB AD '
=
+
+
Chọn đáp án đúng: 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA ' 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD +
)
(
1 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
.
+
=
Ta có:
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AA ' +
+
=
=
+
và
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tích vô hướng của hai vectơ AB
.
'
'
'
'
Hướng dẫn giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Lưu ý phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD : AB AD AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AA AB AD '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'A C '
Câu 36. Cho hình lập phương có giá trị bằng:
.
2a .
.
.
a
2a
2 2
22 a 2
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AB ,
°
2
a
A. B. C. D.
'
.cos
a a . .1
=
=
=
) (cid:4) BAC = = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( A C AB ', '
Hướng dẫn giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ) Ta có: ( A C AB ', = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇒ A C AB A C AB '. ' . '
'
.
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) '
+
=
. Giá trị của k là:
45 ) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB B C DD k AC ' ' ' + C. 2.
ABCD A B C D có: ' ' B. 0.
. Vậy
Ta có
D. 1.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB BC CC '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB B C DD ' ' '
1k = .
=
+
+
=
=
+
Câu 37. Cho hình hộp A. 3. Hướng dẫn giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC '
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
,M N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG k OA OB OC OD
+
+
=
+
là:
Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi
(
)
.
.
1 2
1 4
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
=
⇔
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GO OC +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GO OD +
+
B. C. A. 4. D. 2.
+ (
)
(
)
(cid:2) ) 0 =
)
(
Hướng dẫn giải Vì G là trọng tâm tứ diện nên: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) GA GB GC GD 0 + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( GO OB GO OA + +
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 23 | T H B T N
BTN_7_2
(cid:7)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG OA OB OC OD 4
⇔
+
+
+
=
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
.
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GO OA OB OC OD 4 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG ⇔ =
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OC OD +
+
+
(cid:2) 0 = ⇔ )
(
Vậy
.
k =
+ 1 4 1 4
ABC A B C . Đặt '
.
'
'
'CC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'AA
(cid:2) a=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AB b=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AC c=
qua các vectơ
, G là trọng tâm của tứ diện
, Gọi I là điểm thuộc (cid:1)(cid:1)(cid:2) BA B C . Biểu diễn vectơ IG
'
'
'
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C I '
=
1 3
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) C C '
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
(cid:2) c
sao cho (cid:2) (cid:2) (cid:2) ,a b c , (cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
(cid:2) c
2
2
=
(cid:2) (cid:2) a b + +
. Chọn đáp án đúng : (cid:2) (cid:2) a b + −
=
(
)
1 3
A. B.
.
.
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
(cid:2) a
(cid:2) b
1 1 4 3 (cid:2) b
(cid:2) a
(cid:2) c
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
2
2
=
(cid:2) c + −
=
+
−
(
)
1 4
'
BA B C nên : '
'
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
4
=
4
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC '
⇔
=
+
2
4
⇔
+
4
D. C.
1 1 3 4 Hướng dẫn giải Ta có: G là trọng tâm của tứ diện (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG IB IA IB IC ' ' ' + + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ) ( ( ) IC CB IG IC C A ' ' ' + + + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ( ) IC IC IG IC CB C B ' ' ' ' + + + + = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) CB AC AA CC IG ' 0 2 − + +
⇔
=
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) IC C B ' ' ' + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) C A ' ' (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB AC −
' 2 +
1 3
(cid:2) a
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG
4
(cid:2) c
=
⇔
−
−
+
(cid:2) (cid:2) ( 2 b c
(cid:2) a
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IG ⇔ =
) (cid:2) (cid:2) c 2b 3 −
+
1 3 1 3 1 1 4 3
ABC
,a ABC
SAB )
(
).
∆
⊥
đều cạnh
vuông cân tại B và (
.S ABC có SAB∆
ABC ? )
Câu 40. Cho chóp
.
.
.
Tính góc giữa SC và ( 039 12'
046 73'
035 45'
052 67'
α=
α=
α≈
α=
ABC
⊥
B. C. D.
.AB Dễ thấy
nên CH là hình chiếu vuông góc của SC
(
)
SH ABC là (cid:4). SCH
lên (
ABC . Góc giữa SC và (
)
)
a
a
3
5
⇒
SH
HC
(cid:4) SCH
,
tan
0 35 45'
=
=
= ⇒ ≈
α
.
2
2
3 5
A. Hướng dẫn giải Lấy H là trung điểm
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình
vuông góc với mặt
vuông cạnh
a SA a
,
SA 3,
Câu 41. Cho chóp
.
α≈
C. B.
069 17 ' .
D.
= phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ? 072 84 ' A. . 027 38 ' .
α ≈
.SD Khi đó góc cần tìm là
S
α≈ 084 62 ' α≈ Hướng dẫn giải Lấy M là trung điểm góc giữa OM và
.OC
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 24 | T H B T N M
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
2
2
2
2
Ta có MC là trung tuyến
⇒ SCD MC
22 a
∆
=
−
=
SC DC + 2
SD 4
=
2
2
MO OC MC
cosMOC
⇒ MC a 2 có : Xét MOC ∆ (cid:4) 2 =
= −
− + MO OC 2. .
1 2 2
069 17 '
α⇒ ≈
'
AA m m=
>
AB = 1,
Hỏi m bằng bao nhiêu để góc
ABC A B C có '
.
'
'
(
) 0 .
giữa
'AB và
'BC bằng 600 ?
Câu 42. Cho lăng trụ đều
1m = .
3.
5.
2.
m =
m =
m =
B. C. D.
A
C
,
BB B C AB '
',
',
khi đó
//
',
,M N P là trung điểm Lấy MP AB MN BC '. //
P
.
Suy ra góc cần tìm là góc giữa
MP MN ,
MP MN =
=
. Lấy Q là trung điểm
A B ' '.
B
2 1 m + 2
2
2
m
⇒ = PN
2 PQ QN +
=
1 + . 4
2
2
PN
M
=
= ± , từ đó
'C
'A
Suy ra (cid:4) 2 PM MN − + cosPMN PM MN 2. .
1 2
tính được
2.
m =
Q
N
A. Hướng dẫn giải
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông là tam giác vuông cân tại S và nằm
'B
Câu 43. Cho chóp
.
.
.
.
073 45 '
039 22 '
035 15 '
042 24 '
α ≈
α ≈
α ≈
α ≈
C. D. B.
cạnh a , SAB∆ trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SC và AD ? A. Hướng dẫn giải
Ta có
(cid:4). SCB Dễ
//BC AD nên góc giữa SC và AD là góc giữa SC và BC , vậy góc cần tìm là
tan
SCB =
.
035 15'
α⇒ ≈
chứng minh SBC∆
vuông tại B nên (cid:4) 1 2
vuông góc mặt
a ABC
,
=
ABCD ?
phẳng đáy là
3.
SA a=
.S ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh (cid:4) 0 SA 60 , SBC và ( )
Tính góc giữa (
Câu 44. Cho hình chóp
014 55 '
026 33'
) 062 17 '
033 11'
α≈
α≈
α≈
α≈
S
BC
.BC Do (cid:4) 060 ABC = SAH ⊥ ) (
đều. Dễ chứng minh
nên ⇒ Góc
B. C. D.
.
AH
,
3
SA a =
=
2
A
D
A. Hướng dẫn giải Lấy H là trung điểm ABC∆ cần tìm là (cid:4)SHA . a 3
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 25 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
⇒
.
(cid:4) (cid:4) 0 SHA
SHA
tan
26 33'
≈
H
1 = ⇒ 2
C
B
SA
ABCD
⊥
, gọi E , F lần lượt
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật,
(
)
là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Chọn mệnh đề đúng :
SC
ADE
SC
AEF
Câu 45. Cho hình chóp
⊥
⊥
.
.
SC
AEC
SC
ABF
B. A.
⊥
⊥
.
.
( (
) )
SA
⊥
BC SA
⇒ ⊥
;
BC
BC AE
;
⇒ ⊥
BC SA ⊥ BC AB ⊥
D. C.
) ( ) ( Hướng dẫn giải ) ( ABCD ) ( ABCD ⊂
AE SC
⇒ ⊥
AE BC ⊥ AE SB ⊥
.
Tương tự ta cũng có AF SC⊥ AEF
SC
⊥
Vậy
.
(
)
.
.S ABC có SA SB SC
=
=
)
SA SB SC
,
,
nên hình chiếu vuông góc của
ABC lần lượt
Câu 46. Cho hình chóp
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC . Khi đó khẳng định nào đúng? A. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . C. H là trọng tâm tam giác ABC . D. H là trực tâm tam giác ABC . Hướng dẫn giải Do SA SB SC =
=
lên mặt phẳng (
)
HA HB HC
,
,
là
. Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
thỏa HA HB HC =
=
.S ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc )α đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SB cắt các
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng ( đường SB , SC lần lượt tại M , N .
1.
.
MN
BC
=
1 2
SBC
.
2. SA MN⊥ không đồng phẳng. 3. A D M N , , , ) ( 4. (
) α ⊥
5. Thiết diện cắt hình chóp
.S ABCD bởi mặt phẳng
)α là hình (
Câu 47. Cho hình chóp
C. 2 D. 4
bình hành. Có bao nhiêu nhận định sai? A. 0 B. 3 Hướng dẫn giải
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 26 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
Do tam giác SBD đều nên SB SD BD
=
(cid:7) =
2
2
2
2
2 SA
AD
AB
AD
+
=
+
= + SA AB AD
AB =
vuông cân tại A .
⊥
⇒ M là trung điểm SB .
SB M
∩ =
2 SA ⇔ ⇔ = ⇒ SAB∆ ( ) SB α ( ) α
MN
SB MN SB
⊥ ⇒ ⊥
vuông tại B có
. Vậy MN là đường trung bình tam giác
SBC∆
MN BC MN
BC
||
,
=
.
SBC∆
( ) α⊂
1 2
⇒
MN SA ⊥
SA
BC
ABCD
⊥
⊃
//MN BC (
đồng phẳng. Thiết diện được tạo thành là hình thang
//
//
A D M N ,
,
,
SBC
AMN
⊥
α ⊃
có (
) AM MN
nên (
) α ⊥
(
)
(
) MN BC AD ⇒ bốn điểm vuông ADNM . ) ( ) ) ( SBC MN α ≡ = ∩ Vậy có 2 nhận định sai.
không liền kề nhau.
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
1 3
1 2
5 3
1 2
S
nên SM d⊥ và ) SAD và
)
B
A. B. C. D. . . . .
A
a
3
, MN AB a =
= .
SM SN=
=
O
M
N
2
2
C
D
MSN
2 Khi đó : (cid:4) 2 cos
=
SM SN MN − + SM SN 2 .
Hướng dẫn giải Gọi M , N là trung điểm các cạnh AD và BC , . Giao tuyến của hai mặt và SN BC⊥ SM AD⊥ ) SAD và ( ) phẳng ( SBC là đường thẳng d qua S và song song AD , BC . Vì SM AD⊥ và SN BC⊥ SN d⊥ . Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SBC là góc (cid:4)MSN . ( Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên
1 = . 3 Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
liền kề nhau.
−
.
.
.
5 3
1 − . 3
1 2
1 2
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 27 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
S
)
nên góc giữa hai mặt
SBC là góc (cid:4)BED .
E
A
B
Gọi E là trung điểm các cạnh SC , AC DE⊥ . Giao tuyến của hai mặt phẳng và SC BE⊥ SCD và ( ) ( SBC là đường thẳng SC . Vì AC DE⊥ và SC BE⊥ ) SCD và ( ) phẳng ( Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên
a
3
2
DE BE=
=
BD
AB
a
,
.
2
2
=
=
2
C
D
2
2
BD
MSN
Khi đó : (cid:4) 2 cos
=
BE DE − + BE DE 2 .
1 = − . 3
) SBD và
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
) EBD .
−
đều bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( (
.
.
.
.
5 3
1 3
1 2
1 2
. S
A. B. C. D.
a
3
2
,
.
BD
AB
a
2
2
DE BE=
=
=
=
2
E
Nên tam giác EBD cân tại E , EO BD⊥ . Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBD và ( ) EBD là góc (cid:4)SOE
a
2
2
2
A
B
,
SO
=
SB OB −
=
2
2
OE
BE
BO
=
−
O
2 a = . 2
2
2
SE
cos
(cid:4) 2 SOE =
=
=
C
D
SO OE − + SO OE 2 .
2 2
1 2
BC
Hướng dẫn giải Gọi O là trung điểm cạnh BD . Theo tính chất hình chóp đều SO BD⊥ Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên
,
,
a= 3
3
AH a=
( P⊂
A
) vuông tại A′. Gọi
( P∉
0. Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của A lên (
, mặt phẳng đáy BC )P . Tam giác A BC′
ABC . Chọn khẳng định đúng.
) α là góc giữa (
)P và (
)
Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao
.
.
.
.
030α=
060α=
045α=
cosα=
2 3
.
A. B. C. D.
)P là tam giác A BC′
Hướng dẫn giải Tam giác ABC có hình chiếu vuông góc lên (
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 28 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
2
a 3
3
và
S
. AB AC=
AH BC .
=
=
và lần lượt có hình chiếu vuông góc lên (
)P là A B′
ABC
1 2
2
2
9
2
A C′
nên A B A C ′
. Vậy tam giác A BC′
vuông cân tại A′.
S
BC
′=
=
=
′′
A BC
1 4
a 4
o
′ A BC
cos
30
α
α
=
= ⇒ =
S S
3 2
ABC
(
ABC . ( )
)P là mặt phẳng đi qua A và hợp với (
)
Bd , Cd lần lượt là đường thẳng đi qua B , C và vuông góc )P cắt Bd , Cd tại ABC một góc bằng 60o . (
a
6
(cid:4)DAE
D và E .
,
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
β=
3
AD =
AE a=
2
Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a .
2
đúng?
30o
sin
60o
β=
β =
β=
.
.
.
.
sin
β =
6 2
6
ABC là tam giác ABC nên :
A. B. C. D.
)
2
2
a
3
3
ABC
S
o cos 60
,
.
=
=
=
ABC
S S
4
AB 4
ADE
.
Mặt khác
(cid:4) DAE
AD AE .
sin
sin
.
AD AE β
=
=
ADES
1 2
1 2
2
sin
β=
=
=
.
Vậy :
S 2 ADE AD AE .
S ABC 0 cos 60 AD AE .
2 6
ABD cùng vuông góc với mặt phẳng
Hướng dẫn giải Tam giác ADE có hình chiếu vuông góc lên (
ABC và ( )
)
BCD . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD , DK là đường cao của tam giác
)
DFK
DFK
ADC
⊥
⊥
.
.
ADC
DFK
ABC
ABE
⊥
⊥
.
.
Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (
) )
( (
) )
( (
) )
B. ( D. (
( ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? ) A. ( ABE ) C. ( Hướng dẫn giải
⇒
ABE
ABE
ACD
⇒ ⊥ CD
⊥
(
)
(
)
(
)
CD BE ⊥ CD AB ⊥
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 29 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
DF
BC
⊥
⇒
ABC
ABC
DFK
•
⇒ ⊥ DF
⊥
(
)
(
)
(
)
DF
AB
DF
ABC
AC
⊥
⇒ ⊥ DF
;
•
⊥ (
)
AC
DF
⇒
DFK
ACD
DFK
⇒ ⊥ AC
⊥
(
)
(
)
(
)
⊥ DK AC ⊥
ABE
DFK
⊥
DFK
AB DK
⇒ ⊥ AB
⇒ ⊥
•
(
)
ABC
DFK
⊥
) )
( (
) )
( (
ABC
⇒ ⊥ DK
(
)
DK AB ⊥ DK AC ⊥
DK
ABC
⊥
⇒
DF DK //
hoặc DF DK≡
(vô lý)
DF
ABC
⊥
( (
ABE
DFK
⊥
là khẳng định sai.
Vậy (
) ) (
)
)
.S ABCD có O là tâm của hình vuông ABCD , AB a= ,
)P là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (
SO SCD . Thiết diện của (
)
. a= 2 )P và
.S ABCD là hình gì?
Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều
B. Tam giác cân. D. Hình bình hành.
Gọi ( hình chóp A. Hình thang vuông. C. Hình thang cân. Hướng dẫn giải
SIJ
SCD
⊥
Gọi I , J là trung điểm AB , CD . Hiển nhiên (
)
(
)
IO
(cid:5) SIJ
Khi đó
cos
0
=
=
=
>
2
2
IO SI
17 17
IO SO +
của
là góc nhọn. Gọi K là hình chiếu vuông góc
SCD thì K nằm trên đoạn SJ .
SIJ∠ )
IK
SCD
;AB IK
⊥
nên góc I lên ( Do cách xác định K ,
(
)
, nên (
)
( P≡
)
) ABK .
P
∩
khi đó M , N nằm trên
)P chính là ( ) ( SCD MN =
AB
CD
SCD
⊂
Khi đó :
,
,
//AB CD
hay ( ) Gọi ( đoạn SC , SD . ( P⊂
)
(
)
⇒
MN AB C //
// D
.S ABCD là hình là hình thang ABMN .
nên thiết diện của (
)P và hình chóp
Mặt khác IK vuông góc AB , MN tại các trung điểm I , K của hai đoạn AB , MN nên ABMN là hình thang cân.
góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng?
1
cos
cos
α=
α=
Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh có độ dài bằng a , M là trung điểm đoạn CD . Gọi α là
cos
α=
A.
.
.
.
.
30 o
α =
3 4
3 6
3
//MN AC nên góc giữa AC và BM bằng góc giữa MN và BM,
.
B. C. D.
α =
Hướng dẫn giải Gọi N là trung điểm AD , khi đó là góc (cid:4)BMN , vậy (cid:4)BMN
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 30 | T H B T N
BTN_7_2
Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)
(cid:7)
2
2
a
BN
3
cos
cos
α
BM BN=
=
=
=
;
.
.
MN =
2
(cid:4) 2 BM MN − + BMN = BM MN 2 .
3 6
a 2
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn 31 | T H B T N
