Chuyên đ :ề PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH MŨ GV: NGUY N ĐÌNH HUYƯƠ Ả ƯƠ Ễ
A. KI N TH C C N NHẾ Ứ Ầ Ớ
1.Công th c mũ:ứ
* Các đ ng th c c b n:ẳ ứ ơ ả
1) a a a
α β α β
+
=
2)
αα β
β
−
=
aa
a
3)
( )a a
α β αβ
=
4)
( )ab a b
α α α
=
5)
αα
α
� � =
� �
� �
a a
bb
V iớ
>, 0a b
,
,
α β
là nh ng s th c tuỳ ý.ữ ố ự
* Cho
,
α β
là các s th c tuỳ ý , ta có:ố ự
1) V i ớ
1a>
thì
2) V i ớ
0 1a< <
thì
a a
α β
α β
> <�
Nh n xét:ậ V i ớ
0a>
thì
a a
α β α β
= =�
* Cho
0a b< <
và s th c ố ự
m
, ta có:
1)
0
m m
a b m< >�
2)
0
m m
a b m> <�
Nh n xét :ậ V i ớ
> , 0;a b a b
thì
0a b
α α α
= =�
.
* N u ế
n
là s t nhiên l thì ố ự ẻ
< <�
n n
a b a b
,
n n
a b a b< <�
v i m i ớ ọ
,a b
Chú ý :
* Cho s th c ố ự
0a>
;
,m n
là hai s nguyên, ố
0n>
:
=
m
nm
n
a a
.
* Lũy th a v i s mũ nguyên âm và mũ 0 thì c s khác không.ừ ớ ố ơ ố
* Lũy th a v i s mũ h u t và s th c thì c s d ng.ừ ớ ố ữ ỉ ố ự ơ ố ươ
2. Công th c Logaritứ
a. Đ nh nghĩa: cho ị
0, 1a a>
; b > 0. Ta có:
α
α
= =�logab a b
Ví d : ụ
2 2
log 8 8 2 3 log 8 3
x
x x= = = =� � �
Ta có kí hi u: ệ
10
log lga a=
(lô ga th p phân c a a) và ậ ủ
log ln
ea a=
(loga t nhiên c a a ). ự ủ
b. Nh n xét: T đ nh nghĩa, ta có:ậ ừ ị
log 1 0
a
=
log 1
aa =
log x
aa x=
c. Tính ch t: ấ
Cho
, 0; 0 1x y a> <
. Ta có:
log ( ) log log
a a a
xy x y = +
log log log
a a a
xx y
y= −
Chú ý : N u ế
0xy >
thì
log ( ) log | | log | |
a a a
xy x y= +
và
log log | | log | |
a a a
xx y
y= −
d. Công th c đ i c s : Cho ứ ổ ơ ố
0 , 1; 0a b c< >
, ta có:
log
log log
a
b
a
c
cb
=
.
T đó ta có các h qu sau:ừ ệ ả
Chuyên đ :ề PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH MŨ GV: NGUY N ĐÌNH HUYƯƠ Ả ƯƠ Ễ
1
log .log 1 log log
a b a
b
b a b a
= =� �
αα
α
=
1
log log , 0
a
ab b
log log . log
b b a
c a c =
log log
b b
c a
a c =
Nh n xét:ậ Ta có:
log loga
ab b
αββ
α
=
và
1
log log
n
a a
b b
n
=
3. Hàm s mũ:ố
a. Đ nh nghĩa: Là hàm s có d ng ị ố ạ
x
y a=
v i ớ
0; 1a a>
b. Tính ch t: Hàm s mũ ấ ố
(0 1)
x
y a a= <
có các tính ch t sauấ
• T p xác đ nh là ậ ị
ﾡ
và t p giá tr là ậ ị
(0; )+
• Liên t c trên ụ
ﾡ
.
•
1a
>
hàm đ ng bi n, t c là ồ ế ứ
1 2 1 2
x x
a a x x> >�
.
•
0 1a
< <
hàm ngh ch bi n, t c là ị ế ứ
1 2 1 2
x x
a a x x> <�
.
• Gi i h n : ớ ạ
1
0
1
lim (1 ) lim (1 )
xx
x x
x e
x
+ = + =
và
0
1
lim 1
x
x
e
x
−=
• Đ o hàm: ạ
()
( ) ' ln '
x x x x
a a a e e= =�
và
()
' . ' ln
u u
a a u a=
4. Hàm s Lôgaritố
a. Đ nh nghĩa: Là hàm s có d ng ị ố ạ
loga
y x=
, trong đó
0 1a<
.
b. Tính ch t: Các tính ch t c a hàm s lôgaritấ ấ ủ ố
• Liên t c trên t p xác đ nh ụ ậ ị
(0; )D= +
và t p giá tr ậ ị
ﾡ
•
1a
>
hàm đ ng bi nồ ế
1 2 1 2
log log 0
a a
x x x x> > >� �
•
0 1a
< <
hàm s ngh ch bi n ố ị ế
1 2 1 2
log log 0
a a
x x x x> < <� �
• Gi i h n: ớ ạ
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
+=
• Đ o hàm: v i ạ ớ
0x
ta có
( ) ( )
= =�
1 1
ln | | ' log | | ' ln
a
x x
x x a
và
( )
'
ln | | ' u
uu
=
, u
0
.
B. D NG TOÁN VÀ PH NG PHÁP GI I:Ạ ƯƠ Ả
1. Các ph ng trình mũ c b n:ươ ơ ả
1.
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
a a f x g x= =�
; a,b > 0. 2.
= =�
( ) ( ) log
f x
a
a b f x b
; a,b > 0.
3.
( ) ( ) ( ) ( ) log
f x g x
a
a b f x g x b= =�
; a,b > 0.
Đ gi i ph ng trình mũ thì ta ph i tìm cách chuy n v các ph ng trình c b n trên.ể ả ươ ả ể ề ươ ơ ả
Chuyên đ :ề PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH MŨ GV: NGUY N ĐÌNH HUYƯƠ Ả ƯƠ Ễ
Ví d 1ụ: Gi i các ph ng trình và b t ph ng trình sau:ả ươ ấ ươ
23 4 1
1) 2 4
x x x+ − −
=
+
+ = −
3 5 8
2) (2 3) (2 3)
x x
2
2
3) 8 36.3
x
x
x−
+=
3
1 2 1 3
4) 2 . 4 .8 2 2.0, 125
x x x+ − − =
33x 3
5) 2 . 4 . 0.125 4 2
x x =
2 2 2
6) 2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
− − =
1 2
7) 2 .3 .5 12
x x x
. 8)
125.3.2 21 =
−− xxx
9)
x
x
x
−
+=2
23.368
10)
22
5 6
1 1
3
3x
x x +
+ − =
Bài 1: Gi i các ph ng trình sau: ả ươ
1)
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x+ + + +
+ + = + +
2)
2
2 5 2 1
3 27
x x x+ + +
=
3)
25 6 3
5 2
x x x− + −
=
4)
1
2 .5 10
x
xx
−
=
5)
25 4
2 2 4
( 3) ( 3)
x x x
x x
− + +
+ = +
6)
517
73
32 0, 25.128
xx
xx
++
−−
=
( x=10).
7)
2x 2
x
3 9 9
.
4 16 16
−
� � =
� �
� �
8)
1
2 . 27 . 5 180
x
x x x
+=
.
9)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
. 10)
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
11)
25
x 6x 2
2 16 2
− − =
12)
x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3
− − − −
+ + = − +
13)
x x 1 x 2
2 .3 .5 12
− − =
14)
x x 1 x 2 x x 1 x 2
5 5 5 3 3 3
+ + + +
+ + = + +
2. Các phưng pháp gi i PT mũ th ng g p:ơ ả ườ ặ
2.1. Ph ng pháp đ t n phươ ặ ẩ ụ
Cũng nh PT vô t và l ng giác, đ gi i PT mũ ta có th dùng ph ng pháp đ t n ph . T c là taư ỉ ượ ể ả ể ươ ặ ẩ ụ ứ
thay th m t bi u th c ch a hàm s mũ b ng m t bi u th c ch a n ph mà ta đ t và chuy n vế ộ ể ứ ứ ố ằ ộ ể ứ ứ ẩ ụ ặ ể ề
nh ng ph ng trình – b t ph ng trình ma ta đã bi t cách gi i. Ph ng pháp đ t n ph r t phongữ ươ ấ ươ ế ả ươ ặ ẩ ụ ấ
phú và đa d ng, đ có đ c cách đ t n ph phù h p thì ta ph i nh n xét đ c quan h c a các cạ ể ượ ặ ẩ ụ ợ ả ậ ượ ệ ủ ơ
s có trong ph ng trình. ố ươ
*D ng 1ạ:
(x)
( ) 0
f
F a =
.V i d ng này ta đ t ớ ạ ặ
( ), 0
f x
t a t= >
(trong đkxđ c a f(x)) và chuy n vủ ể ề
ph ng trìnhươ
( ) 0F t =
, gi i tìm nghi m d ng t c a ph ng trình, t đó ta tìm đ c x. ả ệ ươ ủ ươ ừ ượ
Ta th ng g p d ng:ườ ặ ạ
2 (x) ( )
. . 0
f f x
m a n a p+ + =
.
Ví d 2:ụ Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
1) 2.16 15.4 8 0
x x
− − =
2
cos2 cos
2) 4 4 3 0
x x
+ − =
− − − − −
− =
2 2
2 2 1
3) 9 7.3 2
x x x x x x
−
− =
x 1
4) 2 2 1
x
+
++ =
4
41
2
5) 2.3 9 9
x
x x x
2 2
2
6) 2 2 3
x x x x− + −
− =