Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
1.PH¦¥NG TR×NH §êng Th¼ng
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :
0
n
a. Định nghĩa : Cho đường thẳng . Vectơ
gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
vuông góc với .
nếu giá của n
Nhận xét :
là VTPT của thì
cũng là VTPT của .
- Nếu n
kn k
0
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng
a b ( ; )
n
)
(
;
Cho đường thẳng đi qua
M x y và có VTPT
.
0
0
0
MM
n MM n .
a x (
0
x
)
b y (
y
)
0
M x y
( ; )
Khi đó
0
0
0
0
by
ax
c
c 0 (
ax
by
)
(1)
0
0
(1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng .
Chú ý :
a b ( ; )
n
ax
by
0
thì c
là VTPT của .
- Nếu đường thẳng :
c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
: :
by ax
c c
0 0
Ox Oy by
ax
:
0
• song song hoặc trùng với trục • song song hoặc trùng với trục • đi qua gốc tọa độ
:
• đi qua hai điểm
B b 0;
A a
; 0 ,
với 1
0 ab
k
tan
y b kx m
với
, là góc
x a • Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y
hợp bởi tia Mt của ở phía trên trục Ox và tia Mx
Page | 1
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng :
a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :
u
0
gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng
Cho đường thẳng . Vectơ nếu giá của nó song song hoặc trùng với .
Nhận xét :
là VTCP của thì
cũng là VTCP của .
- Nếu u
ku k
0
( ; ) a b
(
; ) b a
u
n
- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu có VTCP
thì
là một VTPT của .
b. Phương trình tham số của đường thẳng :
a b ( ; )
u
)
(
M x y và ;
là VTCP.
Cho đường thẳng đi qua
0
0
0
at
0
( ; )
MM
t R
tu
M x y .
. (1)
Khi đó
0
bt
0
x x y y
Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số
A
A x (
at y ;
bt )
Nhận xét : Nếu có phương trình tham số là (1) khi đó
0
0
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.
a
0
b 0,
a b ( ; )
u
)
(
M x y và ;
(với
) là vectơ chỉ
Cho đường thẳng đi qua
0
0
0
x
y
x
y
0
0
được gọi là phương trình chính tắc của
phương thì phương trình
a
b
đường thẳng .
Page | 2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
:
0;
d
:
0
d Cho hai đường thẳng 1
a x 1
b y 1
c 1
2
a x 2
b y 2
c 2
a
1
0
•
1d cắt 2d khi và chỉ khi
a
2
b 1 b 2
a
a
a
1
c 1
1
1
c 1
/ /
0
d khi và chỉ khi
và 0
, hoặc
0 và
0
•
d 1
2
a
a
a
2
b 1 b 2
c 2
2
b 1 b 2
c 2
2
b 1 b 2
a
a
c 1
1
c 1
1
d khi và chỉ khi
0
•
d 1
2
a
a
c 2
2
b 1 b 2
b 1 b 2
c 2
2
.
.
Chú ý: Với trường hợp
a b c khi đó 0
2
2
2
2
1
thì hai đường thẳng cắt nhau.
+ Nếu
a b 2
a b 1
2
1
thì hai đường thẳng song song nhau.
+ Nếu
a b 2
a b 1
c 1 c 2
2
1
thì hai đường thẳng trùng nhau.
+ Nếu
a b 2
a b 1
c 1 c 2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
(
;
• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định - Điểm
A x y ) 0
0
của
- Một vectơ pháp tuyến
;n a b
x
y
0
Khi đó phương trình tổng quát của là a x
b y
0
0
Chú ý:
2
2
ax
by
c
0,
a
b
nhận 0
làm
;n a b
o Đường thẳng có phương trình tổng quát là
vectơ pháp tuyến.
Page | 3
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường
thẳng kia.
có dạng
0
0
2
2
o Phương trình đường thẳng qua điểm
y
x
:
a
;M x y 0
với 0
b
a x
b y
0
0
hoặc ta chia làm hai trường hợp
x
x : nếu đường thẳng song song với trục Oy
+
0
y
x
: nếu đường thẳng cắt trục Oy
+
k x
y 0
0
0
0;
ab có dạng
1
A a
; 0 ,
B b với
o Phương trình đường thẳng đi qua
x a
y b
A
(1; 3)
B
. Viết phương trình tổng quát của
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết
1. caùc ví duï minh hoïa C 2; 0 ,
0; 4 ,
a) Đường cao AH
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC .
c) Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB .
d x :
2
3
0
y và điểm
. Viết phương trình tổng quát của
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
M
1;2
đường thẳng biết:
k 3
a) đi qua điểm M và có hệ số góc
b) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
c) đối xứng với đường thẳng d qua M
x
0
x
0
3
8
y và
y , tọa độ
. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình một đỉnh của hình bình hành là
2;2
Ví dụ 4: Cho điểm
. Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A
1; 4M
và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất .
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
1; 3
A . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và
Bài 1: Cho điểm
a) Vuông góc với trục tung
d x :
2
y 0 3
b) song song với đường thẳng
Page | 4
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
A
B
C
(0; 3)
.
Bài 2: Cho tam giác ABC biết
2;1 ,
1; 0 ,
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB .
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC .
d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC .
Bài 3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
d
x : 4
7
và song song với đường thẳng
y 0 3
a) ∆ đi qua điểm
2;5M
11
2; 5
b) ∆ đi qua
P và có hệ số góc
k .
. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ tại A, B sao
Bài 4: Cho
8;6M
đạt giá trị nhỏ nhất.
cho OA OB
DẠNG 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
(
;
• Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định - Điểm
A x y ) 0
0
của
; - Một vectơ chỉ phương u a b
0
,
t R
Khi đó phương trình tham số của là
.
at bt
0
x x y y
(
;
• Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định - Điểm
A x y ) 0
0
,
ab
0
của
; - Một vectơ chỉ phương u a b
x
y
x
y
0
0
Phương trình chính tắc của đường thẳng là
a
b
0
(trường hợp
ab thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)
Page | 5
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
Chú ý:
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng
u
n
a b ( ; )
(
b a ; )
thì
là một VTPT của .
kia và ngược lại o Nếu có VTCP
Ví dụ 1: Cho điểm
A và 1; 3
. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi
1. caùc ví duï minh hoïa 2; 3
B
trường hợp sau:
n
làm vectơ pháp tuyến
a) đi qua A và nhận vectơ
1;2
b) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB
c) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường
hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm
và
1; 3B
3; 0A
N
d
' :
b) ∆ đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
3; 4
1 4
t 3 t 5
x y
A
B
2; 3
và
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có
C . 1; 5
2;1 ,
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A
và G là trọng tâm của ABC
.
:
0
AB x
AC x
:
3
0
1 y ,
y và trọng tâm
. Viết
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC biết
1;2G
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän B
A và 2; 2
. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường
Bài 5. Cho điểm
0;1
hợp sau:
làm vectơ chỉ phương
a) đi qua A và nhận vectơ u
1;2
n
b) đi qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến
4;2
Page | 6
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
c) đi qua
và song song với đường thẳng AB
1;1C
d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Bài 6: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường
hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm
và
3; 0A
B
1; 0
d x :
0
3
b) ∆ đi qua
và vuông góc với đường thẳng
y . 1
1;2M
1
3 t
c) ∆ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng
.
' :
2 t
x y
A
2; 3
.
Bài 7: Cho tam giác ABC có
C
1;5
B 2; 1 ,
và
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm AB và trọng tâm của tam giác ABC
A
3; 1 B và
Bài 8. Cho tam giác ABC biết
C . 6; 2
1; 4 ,
a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB.
b) Viết phương trình đường cao AH.
c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác đó AM.
d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và song song với trục hoành.
f) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuông góc với trục tung.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân đỉnh là gốc
tọa độ.
h) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối
phần chứa điểm B .
và cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho :
Bài 9. Viết phương trình đường thẳng qua
3;2M
OA OB
a)
12
b) Diện tích tam giác OAB bằng 12
Page | 7
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
AB x : 2
5
0
y , đường thẳng AD qua
. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I
4;5
0
0
x
2 y và
2 y .
Bài 11. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3 x
.
Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I
3;1
, trung điểm AC là
. Điểm A thuộc
J
1; 3
3;1
Bài 12. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B .
M
N
3; 4
P lần lựợt là trung điểm của ba cạnh. Viết
Bài 13. Cho tam giác ABC biết
2;1 ,
5; 3 ,
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Câu 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
?Ox
?Ox
0 1 . ;
;0 1
.
1;0 .
;1 . 1
n 1
n 2
n 4
n 3
1;0
0; 1 .
1;1 .
1;1 .
u 1
u 2
u 3
u 4
thẳng song song với trục thẳng song song với trục B. C. D. A. . B. C. D. A.
?Oy
?Oy
0
;1 .
;0 1
.
1;1 .
1;1 .
n 2
n 4
n 1
n 3
Câu 8. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường Câu 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục thẳng song song với trục A. B. C. D.
0;1 .
;0 1
.
;1 . 1
u 3
u 4
1; 1 . u 1
u 2
B
2;3A
4;1 ?
B
A. B. C. D. Câu 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm và
A
1;4
?
; 2
2; 1 .
2 .
n 1
n 2
2
và thẳng đi qua hai điểm Câu 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường 3;2 A. B.
1;2 .
;1 .
1;1 .
2;6 .
u 4
u 2
u 1
u 3
;1 . 1
1; 2 . n 4
n 3
B. C. D. A. D. C.
?
O
; M a b
?
; A a b
0;
;
a
b
Câu 10. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường và điểm thẳng đi qua gốc tọa độ Câu 4. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường 0;0 thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm
.
a b
.
u 2
u 1
; a b
.
;0 1
.
n 2
n 1
;
; a b
B. A. A. B.
.
b a
.
u 4
u 3
;
; a b
.
.
n a b 3
n 4
D. C. D. C.
b
;0A a
0;B
?
?
B
;0A a
0; b
;a
; b a
;a b
Câu 5. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường Câu 11. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường và thẳng đi qua hai điểm thẳng đi qua hai điểm phân biệt và
;b a
u b 1
u 4
u 2
u 3
;
; b a
.
.
n 2
n a b 1
.B. . C. .D. A. A. B.
; a b
; b a
.
.
n 3
n 4
Câu 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường D. C. phân giác góc phần tư thứ nhất?
1;1 .
0; 1 .
;0 1
.
1 1 . ;
u 2
u 3
u 4
u 1
Câu 12. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường A. B. C. D. phân giác góc phần tư thứ hai?
Page | 8
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Câu 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
M và có vectơ chỉ
1; 2
1 1 . ;
0;1 .
;0 1
.
1;1 .
n 1
n 3
n 2
n 4
u
Câu 20. Đường thẳng d đi qua điểm A. B. C. D.
3;5
u
3
:
:
d
d
có phương trình tham số là: phương . Câu 13. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
t 5 2
2; 1 Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d ?
5 t
y
t
1 3 t x 2 y
x
;2 1
. . B. A.
.
1; 2 . n 2
n 1
2
3
t
:
:
d
d
5
y
t
y
x
1 5 t x 2 3 t
;6 3
B. A. . . D. C.
.
3;6 .
n 4
n 3
D. C.
4; 2
Câu 21. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ
n
u
1;2
1
2
t
Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d ?
:
:
d
d
. Câu 14. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là có phương trình tham số là: phương
t
x 2 y
x y
; 2
. . B. A.
4 .
2;1 .
2;4 .
;2 1
.
u 1
u 4
u 2
u 3
2
t
:
:
d
d
B. C. D. A.
2
u 3; 4
t
t x y
x y t
Đường thẳng vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:
0; 2
M và có vectơ chỉ
. . D. C. . Câu 15. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
4 3 ; .
4; 3 .
n 1
n 2
u
3;0
Câu 22. Đường thẳng d đi qua điểm B. A. có phương trình tham số là: phương
;4 3
.
n 3
3; 4 . n 4
3
2
t
:
:
d
d
2
0
3 t
0 x y
x y
D. C. . . B. A.
thẳng d có một vectơ pháp tuyến là
2; 5
:
:
d
d
2
t
3 x y
3 x t 2 y
. Đường thẳng vuông góc với d có một Câu 16. Đường n . . D. C. vectơ chỉ phương là:
2 .
5;2 .
; 5 u 1
u 2
:
d
B. A. Câu 23. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
2
2; 5 .
;5 .
u 4
u 3
1 6
t
2 x y
? thẳng D. C.
6;0
2;6
6;0
3; 4 u
0;1
u 1
u 4
u 3
u 2
. Câu 17. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là . . B. .C. .D. A.
Đường thẳng song song với d có một vectơ pháp tuyến là: Câu 24. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
4 3 ; .
4;3 .
n 1
n 2
t
1 5 x : 2 3 3 y t
B. A. ?
;4 3
.
n 3
3; 4 . n 4
D. C.
5;3
1;6 .
u 2
5; 3 u 3
u 1
u 4
;3
1 2
thẳng d có một vectơ pháp tuyến là Câu 18. Đường . A. B. .D. .C.
n
2; 5
. Đường thẳng song song với d có một vectơ
B
2;5
2; 1 A và
2 .
5; 2 .
; 5 u 1
u 2
.
.
chỉ phương là: Câu 25. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai . điểm B. A.
2
2; 5 .
;5 .
1 6
u 4
u 3
t
t
2 t x 6 y
2 x y
2
B. A. D. C.
.
.
5
t 6
1 2
6
y
t
t
x
x y
Câu 19. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương? D. C.
Page | 9
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
A. 1. B. 2 . C. 4 . D. Vô số.
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
4
3
t
t
.
.
A
B
2 2
–1;3
3;1
t
y
t
3 2 x 2 y
x
1 2
1 2
1 2
1 2
t
t
t
t
.
.
Câu 26. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai B. A. và . điểm
2
y
y
t
x 3 y t
x 3 t
x y t
x
1 2
t
. . B. A. D. C.
y
t
x 3 y t
2 3 x t 1
A
–2;1
1 4
t
Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành . . D. C. và phương trình đường thẳng chứa
B
1;1A
2;2
ABCD có đỉnh x 3 y t
. Viết phương trình tham số của cạnh CD là và có phương Câu 27. Đường thẳng đi qua hai điểm
1
1
2
2 4
3 t
t
.
.
trình tham số là: đường thẳng chứa cạnh AB .
2
t 1 2
y
t
y
t
x t 2
x
2 2
y
t
y
x
x 1 3 t
2
t
2 3 t
2 3 t
.
.
B. A. . . B. A.
2 1
t t
x y
x y t
x 1 4 y t
x 1 4 t y
D. C. . . D. C.
3; 7 A và
1; 7 B có
M
3;5
Câu 28. Đường thẳng đi qua hai điểm Câu 33. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua phương trình tham số là: và song song với đường phân giác của góc điểm
t 7
7
y
t
t x y
x
t
t
phần tư thứ nhất. . . B. A.
3 x 5 y t
3 x 5 t y
3
x
. . B. A.
t 7
y
t
x y
t 1 7
. . D. C.
t
y
t
5 x t 3 y
3 x t 5
O
. . D. C.
0;0
1; 3 M ?
4; 7
Câu 29. Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình và tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Câu 34. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
M và song song với trục Ox .
1
t
1 4
t
điểm
7
1 t x 3 3 t y
x 3 y t
t
y
x 7 t
4 x y
7
t
. . B. A. . . B. A.
6
y
t
7
x t 3 y t
1 2 x t 3
t x y
x 4 y
. . D. C. . . D. C.
B
C . Đường thẳng đi qua điểm B
0;3
3; 1
2;0A
B
C
7;3 .
1;4A
3;2
5
7
.
.
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ¸ và có , và Viết phương trình tham số và song song với AC có phương trình tham số là: của đường trung tuyến CM của tam giác.
.
.
5 t 3
t
1 3 t
x y
x y
3 5 t
y
x y
3 5 t x 7
3 5 t
2
t
.
.
B. A. B. A.
.
.
t
t 3 5 t
7 3
3
t
x y
x y
x y
x y
D. C. D. C.
0; 2
P
Q . Đường thẳng đi qua điểm A
3;2A
4;0
B
C
A
2;4
5;0
. 2;1
Page | 10
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ¸ và có , và Trung tuyến BM của tam và song song với PQ có phương trình tham số là: giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng:
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
A và có vectơ pháp
1; 2
.
.
25 2
27 2
n
2;4
Câu 44. Đường thẳng d đi qua điểm A. 12. B. C. 13. D. có phương trình tổng quát là: tuyến
0.
2
0.
2
: d x
: d x
4 y
5 y
2
d
y
x
: d x
: 2 0. 4
4 0. y
0; 2
M và có vectơ chỉ
2017
: d x
2 y
0 ?
u
Câu 37. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến? A. B. A. 1. B. 2. C. 4. D. Vô số. D. C. Câu 38. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của Câu 45. Đường thẳng d đi qua điểm
3;0
0; 2
có phương trình tổng quát là: phương
n 1
1; 2 n 2
0.
:
0.
:
d x
2 d y
2;0
. . A. B. A. B.
2;1
n 4
n 3
0.
:
:
2 d y
2 0. d x
. . D. C. D. C.
A
4;5
2017
d
y
x
: 3
0 ?
n
Câu 39. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của và có vectơ pháp Câu 46. Đường thẳng d đi qua điểm
3;2
3;0
3; 1
n 2
n 1
4 2
t
có phương trình tham số là: tuyến . . A. B.
6;2
6; 2
n 3
n 4
y
2 t x 1 3 t y
x 5 3 t
1 2
t
. . B. A. . . D. C.
1 2
t
3 t
x 3 y t
5 2 t x 4 y
:
?
d
y
x 3 t
Câu 40. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của . . D. C.
1;2
Câu 47. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của
2; 1
n 2
n 1
:
d
x y
3 5 t 1 4 t
. . B. A. ? đường thẳng
1;2
n 4
1; 2 n 3
5
0
5
0
x
x
17 y .
17 y .
. . D. C. B. 4 A. 4
0
5
5
0
x
x
17 y .
17 y .
: 2
2018
d
x
3 y
0 ?
Câu 41. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của D. 4 C. 4
3; 2
2;3
u 2
u 1
:
d
6
7
t
15 x y
3;2
Câu 48. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của . . A. B. ? đường thẳng
2; 3
u 3
u 4
0
0
15 x .
15 x .
. . D. C.
A
3;2
0
x
x
15 y
0 .
9 y .
B
3;3
A. B. , Câu 42. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với D. C. 6 có một vectơ pháp tuyến là:
6;5
0;1
n 1
n 2
: d x
3 y ?
1;0
. . B. A. Câu 49. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của 0 đường thẳng
3;5
n 4
n 3
.
.
t 3
t 3
t
t
x y
x y
3
2
0
:
y
x
. Vectơ nào sau đây
. . D. C. A. B.
3
Câu 43. Cho đường thẳng
.
.
2 1
t
x t y t
x y
–2;6
không phải là vectơ pháp tuyến của ? D. C.
1; –3
n 1
n 2
. . B. A.
: 3
2
d
x
6 0 ? y
3;1
n 3
n 4
; 1
1 3
Page | 11
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Câu 50. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng . . C. D.
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
x
A
B
C
2;0 ,
0;3 ,
–3;1
.
.
3
3
y
t
3 x t 2 y t
t 3 2
. Câu 56. Cho tam giác ABC có A. B.
x
t
x
0
– 3
x
y
3 y .
0 .
Đường thẳng d đi qua B và song song với AC có phương trình tổng quát là:
.
.
3
3
y
t
y
t
3 2
5 – 15
0
x
y
2 t 3 2
0 .
15 y .
A. 5 – x B. 5 C. D.
: 3
2018
0
d
x
5 y
. Tìm mệnh đề
D. – 15 x C.
.
M
1;0
2
t
x t : y
n
Câu 51. Cho đường thẳng Câu 57. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua sai trong các mệnh đề sau: và vuông góc với đường thẳng điểm
3;5
0
0
x
x
2 y .
2 y .
. A. d có vectơ pháp tuyến
5; 3 u
0
2
0
2
x
x
1 y .
1 y .
k .
B. 2 A. 2 . B. d có vectơ chỉ phương D. C.
5 3
2;1
M
: 3
0
5
x
y .
C. d có hệ số góc và vuông góc với
5 t
D. d song song với đường thẳng có phương trình tham số là: đường thẳng Câu 58. Đường thẳng d đi qua điểm 1 3 x t : 2 y
1;2M
2 3 t
5 t
.
.
: 2
12
3
0
x
y
có phương trình tổng quát
2 x 1 3 t y
x 1 5 y t
và song song với Câu 52. Đường thẳng d đi qua điểm B. A. đường thẳng
.
.
là:
0
3
0
3
x
x
8 y .
8 y .
2
2
y
y
1 3 x t 5 t
1 5 x t 3 t
6
0
0
3
x
x
1 y .
8 y .
D. C. B. 2 A. 2
D. 4 C. 4 Câu 59. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
A
1;2
: 3
13
0
1
x
y
.
: 6
0
4
x
x
và song song với đường thẳng điểm
1 là:
0.
2
0.
6
x
x
y
y
Câu 53. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng
1 13 x t 3 2 y t
1 13 x t 2 3 y t
0.
4
0.
1
x
x
12 y
1 y
B. 4 A. 3 . . A. B.
1 13 t
D. 6 C. 3
y
M
1;2
1 3 x t 2 13 t
x 3 2 y t
. . D. C. và vuông góc với Câu 54. Đường thẳng d đi qua điểm
: 2
0
y
có phương trình tổng quát là:
: 2
0
x
y
4 .
A
1;2
0
2
0
x
x
y .
3 y .
Câu 60. Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm đường thẳng 3 x và vuông góc với đường thẳng
1 2
t
B. A. 2
0
0
2
x
x
2
1 y .
5 y .
t
x 2 y t
x t 4 y
1 2
t
t
. . B. A. D. C.
4; 3 A
t
x 2 y t
1 2 x 2 y
3 2
t
:
d
Câu 55. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm . . D. C.
y
1 3 t
x
. và song song với đường thẳng
2; 5
2
0
17
0
3
x
x
6 y .
y .
0
2
2
0
x
x
6 y .
6 y .
0
0
x
x
3 y .
3 y .
Page | 12
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Câu 61. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và song song với đường phân giác góc phần điểm B. 2 A. 3 tư thứ nhất. D. 3 C. 3 B. A.
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
0
0
0.
0.
7
x
x
x
x
3 y .
1 y .
9 y
1 y
0.
2
x
0. 2 x
A. C. D. 2 B. 2
D. C.
3; 1 tư thứ hai.
3; 7 A và
1; 7 B là:
0
0
x
x
4 y .
4 y .
điểm Câu 62. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với đường phân giác góc phần Câu 69. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm
0.
7
0.
7
y
y
0
0
x
x
4 y .
4 y .
A. B. B. A.
0.
x
x
0. 4 y
6 y
A
B
) C
D. C. D. C.
( 1;1 , 0; 2 ,
4;0
4;2 . phương trình đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ
M tư thứ hai.
0.
0.
x
x
3 y
Câu 70. Cho tam giác ABC có điểm Câu 63. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua và vuông góc với đường phân giác góc phần Lập .A
2 y
t
4
t
4 x y t
t x y
0.
0.
2
x
x
3 y
A. B. 2 . . B. A.
y
D. C.
B
1; 4 A và
5;2
t 4
t
t
x y
x t 4 y
. . D. C. Câu 71. Đường trung trực của đoạn AB với
3
0.
2
x
x
1 y
0. 3 y
có phương trình là:
M
1;2
0.
0.
x
x
1 y
4 y
B. 3 A. 2 điểm Câu 64. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua và song song với trục Ox .
0
0
2 y .
1 x .
0
1
0
A và
D. C. 3 B. A.
4; 1
x .
2 y .
B có phương trình là:
1; 4
Câu 72. Đường trung trực của đoạn AB với D. C.
6; 10
M
1.
0.
x
x
y
y
10
t
0.
y
x
1. y
x
Câu 65. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm và vuông góc với trục Oy . A. B.
:
d
y
2 x t 10
x 6 y
B
D. C. . . A. B.
1; 4 A và
1;2
:
:
d
d
Câu 73. Đường trung trực của đoạn AB với
10
10
t
t
6 x y
6 x y
0.
0.
1
x
1 y
. . D. C. có phương trình là:
1;5B
3; 1 A và
0.
1
0.
4
x
y
y
0.
3
6
0.
y
x
x
10 y
B. A. Câu 66. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm là: D. C.
A và
1; 4
B có phương trình là :
3; 4
0.
0.
x
x
8 y
6 y
B. 3 A. Câu 74. Đường trung trực của đoạn AB với
0.
0.
x
2 y
D. 3 C. 3
4 y
–2;0
A
B
0;3
0.
4
0.
2
y
x
0
3
0
x
4 y .
6 y .
A. B. Câu 67. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại và là: D. C.
0
0
6 y .
4 y .
B. 3 – 2 x A. 2 Câu 75. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
2; 1 ,
A
4;5
B
C
3;2 .A
D. 2 – 3 x C. 3 – 2 x có và . Lập phương trình đường
B
2;5
2; 1 A và
3
13
0.
7
x
y
x
0. 11 y
Page | 13
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
cao của tam giác ABC kẻ từ Câu 68. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm là: B. 3 A. 7
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
0.
7
0.
3
x
x
1 y
13 y
2; 1 ,
A
Câu 77. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC C. 3 D. 7
B
4;5
C
3;2 . .C
có và Lập phương trình đường
2; 1 ,
A
B
4;5
0.
0.
3
x
x
1 y
3 y
3;2 . .B
0.
11
0.
x
x
y
11 y
cao của tam giác ABC kẻ từ có Lập phương trình đường và Câu 76. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC C B. A. cao của tam giác ABC kẻ từ
5
0.
5
x
x
0. 13 y
20 y
0.
5
0.
3
x
x
37 y
D. 3 C. 3 B. 3 A. 3
5 y
D. 5 C. 3
DẠNG 3: Xét vị trí tương đối của hai đường
1. Phương pháp giải:
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
.
Ta xét hệ
(I)
+ Hệ (I) vô nghiệm suy ra
.
+ Hệ (I) vô số nghiệm suy ra
+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm.
Chú ý: Với trường hợp
khi đó
+ Nếu
thì hai đường thẳng cắt nhau.
+ Nếu
thì hai đường thẳng song song nhau.
+ Nếu
thì hai đường thẳng trùng nhau.
Page | 14
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau
x
y
y
:
2
0;
x : 2
3 0
a)
1
2
y 2
5
x
:
0;
x : 2
y 4
b)
10 0
2
1
x : 2
y 3
5
0;
:
x
5
0
c)
1
2
x : 2
y 3
4
0;
x 4
y 6
:
d)
0
1
2
,
AB BC CA là ,
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng
AB x : 2
2
y
0 ;
BC
x : 3
y 2
1
0 ;
CA x : 3
0
y
. 3
x : 3
y
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng
0 2
2
m
x 3)
2 y m
0
1
x my m
(
2 1)
và
. 0
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng
1 : (
2 :
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của
2 trong các trường hợp
1 và
m
m 0,
1
b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau
d
x
y
2
0
;
d
x : 9
0
3
y . 4
a) Biết
2;2A
và hai đường cao có phương trình 1 :
2
x : 2
y 3
0
A , phương trình đường cao kẻ từ B là
; phương trình trung tuyến đi
b) Biết (4; 1)
x ' : 2
y 3
qua đỉnh C là
0.
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 14: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
:
x
3
y
0;
d
x : 2
y 2
0
a d ) 1
2
:
y 6
x 4
2
0;
x : 2
y 3
0
d
1
b d ) 1
2
x : 3
y 2
1
0;
d
:
x
y 3
0
4
c d ) 1
2
(0;2)M
x : 3
0,
y
:
x
2
y
và điểm 0
Bài 15: Cho hai đường thẳng
1
3 2
a) Tìm tọa độ giao điểm của
1 và
2 .
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 15
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt
1 và
2 lần lượt tại A và B sao cho B là
trung điểm của đoạn thẳng AM
Bài 16: Cho hai đường thẳng có phương trình:
2
2
a : (
b x )
1;
y
a : (
2 b x )
ay
b
a
với
2 b 0
1
2
a) Tìm quan hệ giữa a và b để
1 và
2 cắt nhau
b) Tìm điều kiện giữa a và b để
1 và
2 cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.
:
kx
0;
y
: (1
2 k x )
ky 2
1
0
2 . k
Bài 17: Cho 2 đường thẳng
1
k 2
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng
1 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k .
b)
1 luôn cắt
2 . Xác định toạ độ giao điểm của chúng.
:
mx
x my
0;
m
1
y
:
2
0
Bài 18: Cho hai đường thẳng
1
2
Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng.
A
2; 1
B và các đường thẳng
Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm
0;1 ,
x 1)
m (
y 2)
0
2
d
m x )
m (
y 1)
m 3
5
, m
0
2 : (2
d m 1 : (
a) Chứng minh 1d và
2d luôn cắt nhau.
lớn nhất.
b) Gọi P là giao điểm của 1d và
2d . Tìm m sao cho PA PB
x my
y m
mx
m
0,
1
:
0
3
, (với m là tham số thực). Chứng minh rằng với
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : m
m
'
(0; 0)
x : 5
AB
H
0
2
0
7
: 4 x
AC
21 y và
y và 6
là trực tâm
mọi m R thì hai đường thẳng đó luôn cắt nhau tại 1 điểm nằm trên một đường tròn cố định. Bài 21: Tam giác ABC biết
,A B .
của tam giác. Tìm tọa độ điểm
d
x : 3
0
3
và đường thẳng
y . Tìm hình chiếu của A lên d .
Bài 22: Cho điểm
2;1A
A
B
1;2
và đường phân giác trong CK có phương trình là
Bài 23: Cho tam giác ABC biết
4;6 ,
x 3
22
9
0
y . Tính toạ độ đỉnh C của tam giác.
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän
Câu 78. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng A. Trùng nhau. B. Song song.
10
0
6
0
2
d
x
x
1 y và
y .
2 : 3
1 : d
C. Vuông góc với nhau.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 16
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
x
4
t
2
0
x
y
1 và
.
1 : 7
2
y
t 1 5
:
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Câu 79. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
0
2
2
0
d
x
x
6 y và
8 y .
1 : 3 d
2 : 6
A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc với nhau. A. Trùng nhau. B. Song song. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. C. Vuông góc với nhau.
t
2
0
:
d
x
Câu 85. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
14 y .
2 : 3
d 1
1
1 : d
4 2 x 1 3 t y
x 3
y 4
0
4
d
x
và Câu 80. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
10 y .
2 : 3
và A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc với nhau. A. Trùng nhau. B. Song song.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. C. Vuông góc với nhau.
2
4
t
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 86. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
2
0
:
d
x
14 y .
2 : 5
d 1
y
t 2 2
x
x 1 5 t
:
d
:
d 1
2
1 t 2 2
y
t
y
8
t 4
trí thẳng và tương đối của hai đường và . Câu 81. Xét vị x A. Trùng nhau. B. Song song.
A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau.
C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
3 t
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. trí thẳng
:
d
:
d 1
2
y
t 3
4
2 2 t
x
t
:
d
:
d 1
2
y
y
8
t 4
trí thẳng và . tương đối của hai đường Câu 87. Xét vị 2 x 2 t tương đối của hai đường 2 t x y 2 và . Câu 82. Xét vị 3 x 2 6 t A. Trùng nhau. B. Song song.
A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau.
C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
:
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
d 1
2
t
2 t x 3 y
:
d
thẳng và Câu 88. Cho hai đường Câu 83. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
2
9
t
x
t
3 x
y
3 t 1
5 t x 1 7
:
:
.
1
2
8
t
y
t
và .
4 3
9 2 1 3
3 2 1 y
M
Khẳng định nào sau đây là đúng:
1; –3
2d .B.
1d và
2d cắt nhau tại
. A. 1d song song A. Trùng nhau. B. Song song.
M
3; –1
2 d . D.
2d cắt nhau tại
1d trùng với
1d và
C. Vuông góc với nhau. . C.
:
d 1
1 x t 5 3 y t
0
d
1 y .
2 : – 2 x
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. thẳng và Câu 89. Cho hai đường Câu 84. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 17
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
.
.
2
y
t
1 3 t x 2 t y
1 3 t x
Khẳng định nào sau đây là đúng: D. C.
2d .B.
2d song song với trục Ox .
A. 1d song song
0;
M
4
3
0
x
2d cắt trục Oy tại
1 y ?
1 2
.
.
Câu 95. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng . C.
M
1d và
2d cắt nhau tại
t 3 3 t
t 3 3 t
4 x y
4 x y
1 3 ; 8 8
B
C
.
.
A. B. . D.
4; 3 A ,
5;1
2;3
t 3
4 t 3 3 t
t
x y
8 x y
, và Câu 90. Cho bốn điểm D. C.
D
2; 2 AB và CD .
. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
Câu 96. Đường thẳng nào sau đây có vô số điểm chung với
1
x t y
A. Trùng nhau. B. Song song. ? đường thẳng
1
t
.
.
C. Vuông góc với nhau.
1 2018
t
0 x y
x 0 y
B
B. A. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
1;2A
4;0
1; 3 C và
1 2018
t
.
.
7; 7
1
1
y
t
x
1 x y
D . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD .
, , D. C. Câu 91. Cho bốn điểm
3 t
y
2 x 5 7 t
Câu 97. Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với A. Trùng nhau. B. Song song. ? đường thẳng C. Vuông góc với nhau.
3
0.
3
x
0. 1 y
1 y
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. B. 7 A. 7 x
2018
2018
x
x
3 y
7 y
0.
0.
: 2
–
1
d
x
y
Câu 92. Các cặp đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau? D. 7 C. 3
0.
2
1 : d
1 2
t
x t y
2
4
0
10
x
d
m
x m y
10 y và
0 trùng
1
1 : 3 d
2 : 2
2
0
.
d
x và
và A. Câu 98. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
1 : d
2 :
t 0
x y
2
2m .
m .
B. nhau?
1 m . C.
2m . D.
: 2
0
:
2
x
d
x
y
3 y và
0. 1
d 1
2
B. A. C.
0
: 4
2
x
d
x
y
3 y và
0. 1
2
2
0
y
m
và
1
1 : d mx m
1
0
d
x
y . Nếu
2 : 2
1d song song
2d thì:
2
0
3
x
1 y ?
1. m
2. m B.
1. m C.
2. m D.
Câu 99. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường D. 1 : 2 d thẳng có phương trình Câu 93. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng
2
0
0
3
x
x
1 y .
5 y .
3
0
x
4 y và
A. B. A. 2
1 : 2 d
0
6
0
3
x
x
3 y .
2 y .
:
d
Câu 100. Tìm m để hai đường thẳng D. 4 C. 2
2
y
mt
2 3 x t 1 4
3
0
x
4 y ?
.
. m
2. m C.
cắt nhau. Câu 94. Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với đường thẳng
1 m B. 2
1 . m D. 2
1 2
.
.
A.
1 2
1 2
y
y
x t 3 t
x t 3 t
A. B.
Câu 101. Với giá trị nào của a thì hai đường thẳng
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 18
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
m .
m . C.
:
1
0
d
y và
2
1 : 2 – 4 x d
5 4
1 m . B. 2
9 m . D. 8
9 8
a
y
t
1
1 at x 3 nhau?
A. vuông góc với
2. a
1 a .
Câu 109. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
2. a B.
1. a D.
1 2
t
x
:
x
3 m
3 y
d
0 và
1 : 4 d
2
4
y
mt
2
2
t
m .
m . C.
A. C. trùng nhau? Câu 102. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
:
d
:
2
d 1
8 m . B. 3
4 m . D. 3
4 3
8 3
y
y
mt 1 2
m t
2 x 3 t
x 6
A. và trùng nhau?
2
m .
2 m . C.
2m . D.
1 m . B. 2
2
2
0
2
3
2
x
my
6 y và
0 song
1 : 3 d mx
2 : d m song?
Câu 110. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng A.
1
m
1;
m
1.
m .
Câu 103. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng
2m . D.
2
2
x
t
3
:
d
x
y m
0 trùng nhau.
2 : 4
d 1
1
y
mt
A. B. m .C. và
1m .
3 m . B.
Câu 111. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
m . D. m .
m
t
1
4 3
:
14
2
0 y song song?
d 1
2 : d mx
t
8 x 10 y
C. A. và
2
1m .
Câu 104. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
m . D. m .
4
0
x
y
x
m 2
1
y
0
m và
3
1 : 2 d
2
1 m m
d m 2 : song?
A. . B. C. song
3.
m
1. m B.
1. m C.
2. m D.
2
1
0
x
y m
2 và
3
1 : d m
Câu 112. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng A.
2
2
1
0
d
m
x my m
cắt nhau?
2 :
10
0
4
1
x
3 my
mx
y
và
0 cắt nhau.
1 : 2
2 :
1
1
Câu 105. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng
1m . B.
2m . D.
2
2
10
m .B.
1m . C. Không có m .D. Với mọi m
m m
m m
2
t
. A. . C. A. 1 . Câu 113. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng Câu 106. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
1
2
2
19
0
20
mx
y
m
y
0
1
x m
1
1 :
2 :
1
y
m
t
x m
1
1 mt x : y m t
:
và trùng nhau? và
3
m .
1m . D.
vuông góc?
1
m .
2m . C. Không có m .D.
4 m . C. 3
A. Không có m .B. A. Với mọi m .B.
: 5
10
2
0
y
và trục hoành.
2
0
2
2
6
2
x
my
6 y và
0 cắt
1 : 3 d mx
2;0 .
Câu 107. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng tọa độ giao điểm của đường thẳng Câu 114. Tìm x
0;2 .
0;5 .
2;0 . D.
2 : d m nhau?
1 và
m
m
1 .
A. B. C.
1 m . B.
1m .C. m D.
:
d
A. tọa độ giao điểm của đường thẳng
t 5 15 t
2 3 t
x
3
0
:
x
d
10 y và
và trục tung. Câu 108. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng Câu 115. Tìm 2 x y
;0
1 : 2 d
2
0; 5 . C.
0;5 . D.
5;0
y
mt
2 3
1 4
vuông góc? . . A. B.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 19
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
0
d
x
7 y .
3 : 2
7
3
0
0
x
16 y và
6
0
5
0
x
x
12 y
5 y .
.
và vuông góc với đường thẳng Câu 116. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 10 x .
10;18
10; 18
10; 18
.B.
10;18 . C.
10
0
2
0
x
x
12 y
.
10 y .
B. 6 A. 3 . A. .D.
4
3
x
t
0
4
x
:
.
d
:
D. C. 6 Câu 117. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng
2
d 1
2
y
y
1 4 t 7 5 t
x 5 t
9
2
0
m
m
1 : 3 d 1 y
2 : 5
và Câu 124. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng 15 y , 13 lần d có lượt 1 2 y và x trình phương 0 3 : d mx
1;7 .
3;2 .
2; 3 . D.
5;1 .
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
: 2
0
3
x
19 y và
1 d
5.
.
m
5. m C.
A. B. C.
22
t
1 . m B. 5
1 m D. 5
:
d
2
55 5 t
A. Câu 118. Cho hai đường thẳng 2 . Tìm toạ độ giao điểm của hai đường
x y thẳng đã cho.
3
0
: 2
– 4
d
x
y
1 d
Câu 125. Nếu ba đường thẳng
2;5 .
10;25 . C.
1;7 .
5;2 .
2 : 5 – 2 x 3 – 2
y
y và 0
0 , 3 : d mx
A. B. D.
–2;0 ,
:
B
A
d
1;4
t
.
.
Câu 119. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây? và đường thẳng . Tìm tọa
x t 2 y độ giao điểm của đường thẳng AB và d .
12 5
12 5
0 ; – 2 .
A. B. C. 12. D. 12.
2;0 .
–2;0 . C.
0;2 . D.
A. B.
d
y
0
2 : 5
3 – 4
ax
y
0
1 : d
thì ba đường 2 – 1 trị nào của m 0 x thẳng và
:
d
2
3
m .
5 m . B.
5m . C.
3m . D.
y
1 x 3 3 t
Câu 126. Với giá 15 1 : 3 – 4 y , x d 3 : 0 15 – 4 y đồng quy? d mx Câu 120. Xác định a để hai đường thẳng t và cắt nhau tại một điểm nằm trên trục A.
2.
1. a
2. a
hoành.
1. a C.
a D.
– 1
x
2 :
y – – 7 y
B. A. trị nào của m 2 thì ba đường 1 0 y thẳng và
1 : 2 d 3 : d mx
2
2
5m .
Câu 127. Với giá 0 x d , 0 đồng quy? Câu 121. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng
6 m . B.
6m . C.
5 m . D.
3
:
x
– my m
d
0 và
1 : 4 d
2
6
t 2
y
t
x
A. cắt nhau tại một
30
11
0
d
: 51 x
y
0m hoặc
0m hoặc
2m .
6 m . B.
.
.
.
.
P
N
Q
M
0m hoặc
0m hoặc
6m .
điểm thuộc trục tung. đi qua điểm nào Câu 128. Đường thẳng sau đây? A.
2 m . D.
1;
3 4
4 1; 3
3 1; 4
4 1; 3
0
5 y ,
t
:
?
d
x
d
y
A. B. C. D. C.
d
0 ,
2 : 2
3
y
t
1 2 x
1 : 3 – 2 x d 0 . Phương trình 2d , và song song với
1d và
thẳng 4 – 1 y Câu 129. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng Câu 122. Cho ba đường 4 – 7 3 : 3 x
–7;0
N
M
Q
P
3; 2
2; –1
3;5
53
0
32 – 53
x
x
y
32 y
0 .
.
đường thẳng d đi qua giao điểm của 3d là: . A. . B. . C. . D.
7
5
0
x
y không đi qua điểm
B. 24 A. 24 Câu 130. Đường thẳng 12
0
y
x
53 y .
0 .
;0
P
Q
nào sau đây? D. 24 – 32 – 53 C. 24 – 32 x
1;1M
1; 1 N .C.
1;
5 12
17 7
0
3
d
x
x
. . B. .D. A.
1 y ,
1 : d
2 :
của hai đường thẳng Câu 123. Lập phương trình của đường thẳng đi qua giao điểm 0 5 3 y
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 20
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
P
N . C.
M
1;3
1; 2
3;1
Q
3;8
1 2
t
?
x 3 5 t y
Câu 131. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng . . B. . D. A.
DẠNG 4. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
• Điểm A thuộc đường thẳng
( hoặc
) có
dạng
• Điểm A thuộc đường thẳng
(ĐK:
) có dạng
với
hoặc
với
x : 3
1. caùc ví duï minh hoïa y 4
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
0 12
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn
E
,
b) Tìm điểm B thuộc và cách đều hai điểm
5; 0
F 3; 2
c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm
lên đường thẳng
1;2M
1
t
x
y 2
6
0
:
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng
và
.
t
x ' : y
qua đường thẳng
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm
A
1; 0
b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với
' qua
K
;2
A
B
1; 4
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết
, đường thẳng BC đi qua điểm
1; 4 ,
.
7 3
Tìm toạ độ đỉnh C.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 21
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
I
D
3;
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD . Biết
là trung điểm của cạnh CD,
và đường phân
7 5 ; 2 2
3 2
1
0
y
x
:
BAC có phương trình là
. Xác định tọa độ đỉnh B.
giác góc
B
d x :
2
2
Ví dụ 5: Cho đường thẳng
y và 2 điểm 0
và
. Tìm tọa độ điểm M trên d
0;1A
3; 4
MA MB
2
là nhỏ nhất.
sao cho
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
14
0
x , phương trình các cạnh AB: 4
y , AC:
Bài 24: Cho tam giác ABC có trọng tâm
G
2; 0
5
2
0
2 x
y . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
d
d
1
x
0
y . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông
y và 2 : 2 x 0
Bài 25: Cho hai đường thẳng 1 : ABCD biết rằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
x
0
3
, đường cao qua đỉnh B có phương trình
y và 7
Bài 26: Cho tam giác ABC có đỉnh
2;1A
1
0
x
đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình
y . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của
tam giác.
:
x
2
y
0,
d
:
x
8
0
y
. Tìm toạ độ các
Bài 27: Cho điểm
2;2A
d và các đường thẳng: 1
2
điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
2; 1
A và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần
Bài 28: Tam giác ABC biết
y 2
0,
1
x
:
y 3
6
0
x ' : 2
lượt là
. Xác định tọa độ
,B C .
0
. Trên trục Ox , lấy điểm B có hoành độ
Bài 29: Cho điểm
2;1A
Bx , trên trục Oy , lấy điểm C có
0
tung độ
Cy sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác
ABC lớn nhất.
d
y
0
x . Điểm B nằm trên đường thẳng : 2
Bài 30: Cho tam giác ABC cân tại B, với
A
1; 1 ,C 3;5
. Viết phương trình các đường thẳng AB, BC.
y 2
0
3
x
:
và hai điểm
và
. Tìm tọa độ điểm M
Bài 31: Cho đường thẳng
2;5A
B
4;5
trên sao cho
2
2 2MA MB
a)
đạt giá trị nhỏ nhất
đạt giá trị nhỏ nhất
b) MA MB
đạt giá trị lớn nhất
c) MA MB
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 22
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
và phương trình các đường phân
Bài 32: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết
0
x
3
x giác trong góc B, C lần lượt là 2
y và 2
1;1A y . 3 0
' đối xứng với đường thẳng qua điểm I biết
Bài 33: Viết phương trình đường thẳng
I
x : 2
3
y
I
( 1; 3);
b) 0
a) ( 3;1);
2 t
2 x t : 1 y
AB x
:
1
2
0
và
y . Viết phương trình các cạnh còn lại và các
2; 3
Bài 34: Cho hình vuông tâm I
đường chéo .
y
3
0
; điểm A, B
x Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A biết phương trình cạnh BC là: 3
thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2
( 2, 0)
, đường phân giác trong góc A có phương trình là
Bài 36: Cho tam giác ABC có
C AB
OM 2
5x
0
3
y và thỏa mãn
với
. Tìm tọa độ điểm A, B
2; 3M
4
0
x
nằm trên
Bài 37: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB y . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm và AC có phương trình
E
1; 3
A
B
và giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường
đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. ( 3, 3) Bài 38: Cho hình thoi ABCD có (1, 2);
d x :
0.
2
y Tìm toạ độ C và D.
thẳng
0
1
y và phương trình
BD x : 2
0
1
đường thẳng
y ; đường thẳng AC đi qua
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình
Bài 39: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng : AB x 1;1 M
chữ nhật ABCD .
A
B
3; 2
S , tọa độ các đỉnh
và trọng tâm G
Bài 40: Cho tam giác ABC có diện tích
2; 3 ,
3 2
0
8
y . Tìm tọa độ đỉnh C
x của tam giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3
M
(1; 1)
x : 3
5
y
0,
d
:
x
y
4 0.
Bài 41: Cho điểm
d và hai đường thẳng 1
2
,d d lần lượt tại
,A B sao cho
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt 1
2
MA MB 2
3
0.
; phương trình các
Bài 42. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh
C
4;1
đường trung tuyến AA', đường phân giác BB' của tam giác đó lần lượt là x 2
0,
3
y
y
x
0 6
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 23
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
4; 1
A và phương trình hai đường trung tuyến
Bài 43. Cho tam giác ABC có
BB
x ' : 8
3
y
0,
CC
9
0
x ' : 14
y 13
. Tính tọa độ
,B C
;
ABC phương trình các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ
Bài 44: Cho tam giác
13
2
0
0.
6
9
x
đỉnh A lần lượt là
x y và 13
y Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường
I
tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( 5; 1).
H
, trực tâm
và
Bài 45. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh
5; 3A
3;2
M
;2
trung điểm cạnh BC là
.
1 2
M
1; 3
là trung điểm của BC, CA
Bài 46: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết
1; 4 ,
N
H
và
là trực tâm tam giác ABC .
1 5 ; 3 3
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 24
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
(
;
• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định - Điểm
A x y ) 0
0
- Một vectơ pháp tuyến
của
;n a b
x
y
0
Khi đó phương trình tổng quát của là a x
b y
0
0
Chú ý:
2
2
0,
ax
by
c
a
b
0 nhận
làm vectơ
;n a b
o Đường thẳng có phương trình tổng quát là
pháp tuyến.
có dạng
0
0
2
2
y
x
:
a
0
với 0
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. ;M x y o Phương trình đường thẳng qua điểm b y b
a x
0
0
hoặc ta chia làm hai trường hợp
x
x : nếu đường thẳng song song với trục Oy
+
0
y
x
+
: nếu đường thẳng cắt trục Oy
k x
y 0
0
0
0;
ab có dạng
1
A a
; 0 ,
B b với
o Phương trình đường thẳng đi qua
x a
y b
(1; 3)
A
B
C
. Viết phương trình tổng quát của
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết
2; 0 ,
0; 4 ,
a) Đường cao AH
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC .
c) Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB .
Lời giải
BC
là vectơ pháp tuyến của AH
nên BC
a) Vì AH
là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát
0
0
y
x
1.
0
x
hay
y . 2
là
1; 1 BC 2
suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC 1.
Ta có
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC
làm vectơ pháp tuyến.
x
x
y
B
C
B
y C
x
y
I
,
Gọi I là trung điểm BC khi đó
I
I
2
1 2
2
7 2
1 7 ; 2 2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 1
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
x
y
1.
1.
0
x
Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực BC là
hay
0 3 y
7 2
1 2
0
hay 2 1 x
y . 4
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB có dạng
x 2
y 4
n
d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là
do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB
2;1
2.
x
1.
y
3
0
n
nên nhận
làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là
hay
1
x 2
2;1 y . 0 5
0
y
. c
Cách 2: Đường thẳng song song với đường thẳng AB có dạng 2 x
3
5
c
c
. 0
Điểm C thuộc suy ra 2.1
0
y . 5
x Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2
d x :
0
2
3
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
y và điểm
. Viết phương trình tổng quát của đường
M
1;2
thẳng biết:
a) đi qua điểm M và có hệ số góc
k 3
b) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
c) đối xứng với đường thẳng d qua M
Lời giải:
3
y
x m 3
k có phương trình dạng
. Mặt khác
a) Đường thẳng có hệ số góc
M
m
m
2
3.
1
5
0
y
x 3
5
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng là
x hay 3
y . 5
x
y 2
0
3
y
x
do đó hệ số góc của đường thẳng d là
b) Ta có
dk .
1 2
3 2
1 2
1
k 2
Vì
dk k .
d nên hệ số góc của là k thì
:
y
x m 2
M
m
m
2.
2
Do đó
,
2 1
0
y
2
2
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng là
x x hay 2
y . 2
2.2
0
3
c) Cách 1: Ta có 1
1; 2
sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng có VTPT là
.
do đó M d vì vậy đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua M n
d , gọi
'A đối xứng với A qua M khi đó
'A
Ta có
1;2A
'AA .
Ta có M là trung điểm của
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 2
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
x
x
A
A
'
x
M
2.
3
x
2 x
x
'
A
3;2
' A
2
y
y
y
M 2 y
1 1 2.2 2
A
A
'
A
'
M
A y A
y
M
2 2
1.
x
2
y
2
0
x
2
0
hay
y . 7
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng là
3
'
là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d ,
;A x y là điểm đối xứng với A qua M .
Cách 2: Gọi
;A x y 0
0
x
x
x
x
0
0
x
1
M
x
x
'AA suy ra
Khi đó M là trung điểm của
y
y
y
y
0 y
y
2 4
0
0
0
y
2
M
2 2
2 2
A d
x
3
x
y
2
y 2
7
3
0
x 0
Ta có
2. 4
suy ra 0
0
y 02
x
2
0
Vậy phương trình tổng quát của đối xứng với đường thẳng d qua M là
y . 7
x
0
x
8
0
3
y và
y , tọa độ một đỉnh
. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình của hình bình hành là
2;2
Lời giải
Đặt tên hình bình hành là ABCD với
, do tọa độ điểm A không là nghiệm của hai phương trình đường
BC x
:
3
A 0
2;2 CD x :
y ,
y 0 8
thẳng trên nên ta giả sử
1.
x
3.
y
2
/ /
AB CD nên cạnh AB nhận
làm VTPT do đó có phương trình là
Vì
2
0
1; 3
CDn
x
3
y 0 4
hay
1.
x
1.
y
2
0
1; 1
Tương tự cạnh AD nhận
làm VTPT do đó có phương trình là
hay
2
BCn
x
y 4 0
Ví dụ 4: Cho điểm
. Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A và B
1; 4M sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất .
Lời giải:
a
b 0,
0
1
0;
. Khi đó đường thẳng đi qua A, B có dạng
. Do
Giả sử
A a
; 0 ,
B b với
x a
y b
M AB
nên
1
1 a
4 b
OAOB .
ab
Mặt khác
.
OABS
1 2
1 2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 3
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
1
2
16
ab
S
Áp dụng BĐT Côsi ta có
8
OAB
1 a
4 b
4 ab
a
b 2;
nhỏ nhất khi
do đó 1
8
Suy ra OABS
1 a
4 b
1 a
4 và b
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
hay 4 1 x
y 0 8
x 2
y 8
3. Bài tập luyện tập.
1; 3
A . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và
Bài 1: Cho điểm
a) Vuông góc với trục tung
d x :
2
b) song song với đường thẳng
y 3 0
lỜI GIẢI
làm VTPT do đó phương trình tổng quát của đường thẳng là
3)
0.
0
3 y .
0;1 nhận j a) hay y 1.( x 0
Oy 1
n
nhận
làm VTPT do đó phương trình tổng quát của đường thẳng là
1.
x
y 2.(
1;2 0
3)
2
0
x
hay
5 y .
/ /d b) 1
A
B
C
(0; 3)
.
Bài 2: Cho tam giác ABC biết
2;1 ,
1; 0 ,
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB .
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC .
d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC .
Lời giải
BC
là VTPT nên có phương trình tổng quát là
1; 3
3.
1.
1
0
y
x
3
0
x
hay
5 y .
a) Ta có đường cao AH đi qua A và nhận
2
x
x
y
B
C
B
y C
x
y
I
,
b) Gọi I là trung điểm AB khi đó
I
I
2
1 2
2
1 2
1 1 ; 2 2
3; 1
làm VTPT nên có phương trình tổng quát là
Đường trung trực đoạn thẳng AB đi qua I và nhân
AB
3.
x
1.
y
0
x hay 3
y 0 2
1 2
1 2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 4
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
1
0
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng BC có dạng
x hay 3
y . 3
x 1
y 3
3; 1
d) Đường thẳng BC có VTPT là
do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên
n
3.
x
1.
y
1
0
3; 1
nhận
làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là
hay
2
n
x 3
0
y . 5
Bài 3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
d
x : 4
7
a) ∆ đi qua điểm
và song song với đường thẳng
y 0 3
2;5M
2; 5
11
b) ∆ đi qua
P và có hệ số góc
k .
Lời giải
/ /d
4; 7
nên VTPT của d cũng là VTPT của nên đường thẳng nhận
làm VTPT và
n
x
7
y
5
0
7
a) Vì u
hay 4 0 x
y ; 27
làm VTCP do đó phương trình tổng quát là 4
2
7; 4
11
y
11
x m
k nên có dạng
. Mặt khác P nên
b) Đường thẳng ∆ có hệ số góc m 27 5
11.2
m
y 0 27
Vậy phương trình tổng quát của là 11 x
. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ tại A, B sao cho
Bài 4: Cho
OA OB
8;6M đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
:
0;
,
Gọi
thẳng cần
tìm có dạng
:
1 . Vì
A a
; 0 ,
B b a b . Vậy đường 0
x a
y b
M
1
b
6 b
8 a
a 6
a
8
OA OB
b
a
a
a
8
14
8 3
14
Ta có:
6 a
a
8
48
8
a
a
8
4 3,
b
6
4 3
Dấu bằng xảy ra
x
y
:
1
Suy ra
8
4 3
6
4 3
Ví dụ 1: Cho điểm
A và 1; 3
. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp
DẠNG 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. 2; 3
B
sau:
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 5
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
n
a) đi qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến
1;2
b) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB
c) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Lời giải:
n
.
a) Vì nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là u
2;1
1;2
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là
t
x t 2 1 : y 3
làm VTCP
b) Ta có
AB
3;6
mà song song với đường thẳng AB nên nhận u
1;2
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là
:
x t 2 y t
c) Vì là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận
làm VTPT và đi qua trung điểm I của
( AB −
)3;6
đoạn thẳng AB .
và ∆ nhận
làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng là
Ta có
I
;0
( u −
)1; 2
−
t
.
:
1 2
1 2 x 2 t y
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm
và
3; 0A
1; 3B
N
d
' :
b) ∆ đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
3; 4
1 4
t 3 t 5
x y
Lời giải:
AB
a) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B nên nhận
làm vectơ chỉ phương do đó
2; 3
t 2
3
x
; phương trình chính tắc là
; phương trình tổng quát là
phương trình tham số là
3
2
y 3
3
3
x
2
x 3 t y hay 3 y 2 x
y 0 9
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 6
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
'd nên VTCP của
làm VTPT và
3;5
'd cũng là VTPT của nên đường thẳng nhận u
3
x
5
y
0
4
5; 3
làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là
hay
3
b) v
3
x
y
x 3
11
0
5
y ; phương trình tham số là
; phương trình chính tắc là
3 4
t 5 t 3
5
4 3
x y
A
B
2; 3
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có
và
C . 1; 5
2;1 ,
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của ABC
.
Lời giải:
1; 8
a) Ta có
suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
BC
2 3
x t y t 8
M
AM
do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến AM nhận
b) M là trung điểm của BC nên
7 ; 2 2
t
làm VTCP nên có phương trình là
1
y
3 ; 1 2 7 2 x 2 2 t
(
;
)
là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC
c) Gọi
D x y D
D
BD
DC
Ta có
AB AC
2
2
2
2
1
2 5
Mà
và
AB
3
2
2
AC
1
2
5
1
3 5
suy ra
x
x
x
(1
2
)
D
D
D
BD
DC
DC
D
)
G
là trọng tâm
AB AC
2 3
8 ( ; 5
1 5
1 1 ; 3 3
y
y
y
( 5
3
)
D
D
D
2 3 2 3
8 5 1 5
của tam giác ABC
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 7
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
DG
19;2
làm VTCP nên có phương trình là
Ta có
suy ra đường thẳng DG nhận u
19 15
.
2 t
2 ; 15 1 19 x t 3 1 y 3
AB x
:
0
AC x
:
3
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC biết
y , 1
y và trọng tâm 0
. Viết
1;2G
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
Lời giải:
x
1
y
0
x
1
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
A
1;2
3
0
2
x
y
y
Gọi
;M x y là trung điểm của BC
AG
y 1;
2
AG
GM 2.
M
2;2
,
suy ra
Vì G là trọng tâm nên
2; 0 ,
GM x
x 2.( y 2.(
1) 2)
2 0
;
AB
1
1
0
y
y
x
x
x
do đó
B x
B x y B
B
B
B
B
B
;1B
B
;
AC
3
0
x
x
3
3
;
do đó
C x y C C
y C
C
y C
C
C x x C
C
x
x
B
C
x
M
x
x
x
B
C
B
Mà M là trung điểm của BC nên ta có
y
x
x
x
4 0
2 2
B
y C
C
B
C
y
M
2 2
B
C
2;5
BC
0;6
suy ra phương trình đường thẳng BC là
.
Vậy
2; 1 ,
1
y
t 6
x 2
3. Bài tập luyện tập.
B
A và 2; 2
. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
Bài 5. Cho điểm
0;1
làm vectơ chỉ phương
a) đi qua A và nhận vectơ u
1;2
n
b) đi qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến
4;2
c) đi qua
và song song với đường thẳng AB
1;1C
d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 8
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
Lời giải:
a) Phương trình tham số của đường thẳng là
2 t
2 x t : 2 y
n
làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là
.
b) Vì nhận vectơ
u
1;2
4;2
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là
t 2
t x 2 : 2 y
mà song song với đường thẳng AB nên nhận
làm VTCP
c) Ta có
AB
2; 3
u
2; 3
1
t 2
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là
1
t 3
x : y
làm VTPT và đi qua trung điểm I của
d) Vì là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận
AB
2; 3
đoạn thẳng AB .
1;
I
Ta có
làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng là
và nhận u
3;2
1 2
x
1
t 3
:
.
t 2
y
1 2
Bài 6: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm
và
B
1; 0
3; 0A
d x :
3
0
b) ∆ đi qua
và vuông góc với đường thẳng
y . 1
1;2M
t 3
c) ∆ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng
.
' :
1 t 2
x y
Lời giải
AB
a) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B nên nhận
làm vectơ chỉ phương do đó
4; 0
t 4
3
; phương trình chính tắckhông có ; phương trình tổng quát là
y 0
phương trình tham số là
x y 0
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 9
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
1; 3
b)
d nên VTPT của d cũng là VTCP của nên đường thẳng nhận
làm VTCP nên phương
u
t
x
1
x
1
trình tham số là
; phương trình chính tắc là
; phương trình tổng quát là
2
1
y 2 3
x 3
y 3 t y 5 0
/ / '
u
nên VTCP của
' cũng là VTCP của nên đường thẳng nhận
làm VTCP nên phương
c)
3;2
3 t
; phương trình chính tắc là
; phương trình tổng quát là 2 x
y 0
trình tham số là
t 2
x 3
y 2
x y
A
2; 3
và
.
Bài 7: Cho tam giác ABC có
C
1;5
B 2; 1 ,
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm AB và trọng tâm của tam giác ABC
LỜi giải :
4; 2
suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
a) Ta có
AB
2 3
4 t t 2
x y
2
BC
suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
1; 8
3
x t 8 y t
x
3; 6
suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
CA
2 1
3 t 6 t y
M
;1
AM
;2
do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến AM nhận
b) M là trung điểm của BC nên
7 2
t
làm VTCP nên có phương trình là
3 2 7 2 x 2 y 1 t 2
G
0; 2
I , trong tâm của tam giác ABC là
c) Trung điểm của AB là
1 1 ; 3 3
IG
IG
:
do đó
Khi đó ta có
y
t 7
1 7 ; 3 3
x t 2
A
B và 3; 1
Bài 8. Cho tam giác ABC biết
C . 6; 2
1; 4 ,
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 10
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB.
b) Viết phương trình đường cao AH.
c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác đó AM.
d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và song song với trục hoành.
f) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuông góc với trục tung.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân đỉnh là gốc tọa độ.
h) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B .
Lời giải:
AB
x : 5
0.
2
y 13
a)
AH
x : 3
y 1 0
b)
M
;
AM
x : 11
7
0
7; 11
AM
y . 39
,
c) Gọi M là trung điểm của BC nên
9 2
3 2
x d) 3
y 0. 12
G
suy ra đường thẳng cần tìm là
y .
e) Trọng tâm của tam giác
10 1 ; 3 3
1 3
y .
f) Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục tung có dạng là:
3 2
x
0
y . 5
g)
AK
BK 2
K
sao cho
. Khi đó
h) Lấy K AB
7 2 ; 3 3
CK
11; 8
CK x : 8
y 11
26
0.
và cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho :
Bài 9. Viết phương trình đường thẳng qua
3;2M
OA OB
a)
12
b) Diện tích tam giác OAB bằng 12
Lời giải
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 11
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
1
,
a
b 0,
0
Gọi
. phương trình cần tìm có dạng
. Mặt khác
; 0 ,
B b 0;
A a
x a
y b
OA a OB
,
b
x
y
:
y 3
0;
x : 2
a)
8 0
1
9 2
x : 2
y 3
b)
0 12
AB x : 2
5
0
y , đường thẳng AD qua gốc tọa độ
. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của O , và tâm hình chữ nhật là I
4;5
Lời giải:
CD x : 2
11
y
0,
BC x
:
y 2
A
C
10;9
;
0 28
2;1 ,
x
0
0
y và 2
y . 2
x Bài 11. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3
.
Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I
3;1
Lời giải:
AB
x : 3
2
y
0,
AD x
:
0
2
y
A
1;1
C
5;1
Gọi
. Khi đó
,
CD x : 3
14
y
0,
AD x
:
y
6 0
, trung điểm AC là
. Điểm A thuộc Oy và
J
3;1
1; 3
Bài 12. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B .
Lời giải:
B
2;6
6;2
a
. BC đi qua gốc tọa độ nên OB
và OC
cùng phương suy ra
a C ,
a
6
a
6
a 5
A a 0; 2 2
M
N
3; 4
P lần lựợt là trung điểm của ba cạnh. Viết phương
Bài 13. Cho tam giác ABC biết
2;1 ,
5; 3 ,
trình các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
x
12
y 2
x 0, 5
28
y
x 0, 2
y 3
0
ĐS: 7
. 18
Đáp án trắc nghiệm:
0
y có VTCP i
1;0
nên một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là i
1;0 .
Câu 1. Trục Ox: Chọn A.
x có VTCP
0
j
j
0;1
0;1 .
nên một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là Câu 2. Trục Oy: Chọn B.
AB
u
4; 2
A
3;2
1; 4B
2;1 .
và có VTCP là hoặc Chọn B. Câu 3. Đường thẳng đi qua hai điểm
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 12
-
n¨m häc 2018
.
u OM
Tµi liÖu to¸n 10 OM
; a b
; a b
đường thẳng OM có VTCP: Câu 4. Chọn B.
AB
; a b
AB
b
a ;
.
u
AB
đường thẳng AB có VTCP: Câu 5.
; a b
x
0
y VTPT:
n
hoặc Chọn A.
1; 1
VTCP:
u
Câu 6. Đường phân giác góc phần tư (I):
1;1 .
VTPT:
n
0
0
y m
m
Chọn A.
0;1 .
VTPT:
x m
0
m
0
n
Câu 7. Đường thẳng song song với Ox: Chọn A.
1;0 .
AB 2; 2
Câu 8. Đường thẳng song song với Oy: Chọn D.
đường thẳng AB có VTCP u 1; 1
VTPT n
1;1 .
Chọn C. Câu 9.
u
AB
OA
; a b
; a b
VTPT
a
.
đường thẳng AB có VTCP Câu 10.
n b ;
Chọn C.
AB
u
.
n
; a b
; a b
; b a
x
0
y VTPT
n
đường thẳng AB có VTCP VTPT Chọn C. Câu 11.
1;1 .
Câu 12. Góc phần tư (II): Chọn A.
n 3
1; 2
hoặc Chọn D.
Câu 13. Đường thẳng d có VTCP: u 2; 1
VTPT n
3;6 .
.
u
4; 2
1 ;
2
hoặc Chọn C.
Câu 14. Đường thẳng d có VTPT: n
VTCP u
2; 4
1 2
3; 4 .
n
u d
3; 4 d
u d
2; 5
Chọn D. Câu 15.
2; 5
2;5 .
u
n
n d
d
n d
3; 4
hay chọn Câu 16. Chọn C.
3; 4
4;3 .
u
n
u d
||
d
u d
2; 5
Câu 17. Chọn A.
2; 5
5; 2 .
n
u
u d
d
||
n d
Câu 18. Chọn A.
d
Câu 19. Chọn D.
t
M 1; 2 3;5 u d
d
0;0
d
:
.
x d : . Câu 20. PTTS Chọn B. 1 3 t 2 y t 5
Chọn C.
t
t 2
u
; 2 1
x t y
O u d
PTTS Câu 21.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 13
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
2
0;
d
:
.
Chọn D.
t
2
d ; u 3 0
3 x t y
M u d
PTTS Câu 22.
u
0;6
u
0;1 .
6 0;1
VTCP hay chọn d : Câu 23. Chọn D. t 1 6 x 2 y
u
1;6
1;6 .
u
;3
1 2
1 2
t VTCP hay chọn Câu 24. Chọn A.
A
B
AB
:
.
1 5 x : 2 y t 3 3
t
t 1 6
2; 1 AB
0;6
2 x y
AB
A u
AB
:
.
AB
Chọn A. Câu 25.
t
t 1 2
3
t
4; 2
2
2;
1;3 A B
1
x y
AB
A u
AB
1;1
1
t
:
AB
Câu 26. Chọn D.
t
1
y
t
B A
1;
1
x
AB
A u
Câu 27.
t 1
t
AB
3; 7
t
AB
:
t O AB AB 0 0 ; : . Chọn D. t x y
7
AB
2;0
2 1;0
x 3 y
AB
A u
t 3
AB
AB
M
0; 7
:
.
Câu 28. Ta có:
t
7
x y
loại A. Chọn A.
Chọn A.
0;0O
Câu 29. Kiểm tra đường thẳng nào không chứa
M 1; 3 .
Nếu cần thì có thể kiểm tra đường thẳng nào không chứa điểm
d
:
d
Câu 30. Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có
t
5 t 3
t
0;3 C A
5; 1
1. 5;1
x y
B u d
Chọn A.
d
3; 2
3
t 2
Câu 31. Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ.
2
y
t
PQ
4; 2
2 2;
1
x d :
A u d
t 1 2
t 2 M
d
d
:
.
1;0
Ta có:
t
t
x y
2;1
AB
:
.
Chọn C.
t
x y
t 2 4 t 3
1
AB u , CD D u
AB C ||
4;3
4; 3
u CD AB
A
Câu 32. Chọn B.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 14
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
t
x
0
y
VTCP
:
u
d
:
1;1
t
.
u d
5
t
3 x y
Câu 33. Góc phần tư (I) :
Chọn B.
t
4
1;0
1;0
t x d : A 0; 7 d d : . Câu 34. u Ox u d 7 y 7 x t y 4
A
7
t
M
0
CM
:
.
MC
Chọn D.
Chọn C.
2;3
5;0
5 1;
t
3
B
1; 4 3; 2
x y
A
6 t
:
.
M
MB
M
B
2 ;
Câu 35.
6; 5
3;
x y
5 t
5 2
1 2
5 2
2; 4 2;1
5
C
6 t
5 2
20;
y
BM
N
Câu 36.
N
y
5 t
N
20 5
y
N
25 2
t
Ta có: Chọn B.
d x :
y 2
2017
0
Câu 37. Chọn D.
1; 2 .
dn
Chọn B. Câu 38.
d
: 3
y
x
2017
0
2
; 6
3;1
2 .
n d
dn
d
:
hay chọn Câu 39. Chọn D.
2; 1
1; 2 .
n d
u d
t 1 2 t
3
x y
Chọn D. Câu 40.
: 2
2018
0
d
3 y
x
3; 2 .
2; 3
3; 2
dn
u d
n d
hay chọn Câu 41.
AB
0;1
AB
Chọn A.
0;1 .
n d
d
AB
n d
0
2
3
:
2
.
x
y
Chọn B. Câu 42. Gọi d là trung trực đoạn AB, ta có:
1; 3
n d
n d
n d
1 3
1 3
1; 3 n 1 2;6 n 2 ; 1 n 3
d
x
y
: 2
4
0
Chọn D. Câu 43.
1
2
2; 4
d
A 1; 2 n d
y 4
: 2
10
d
0
x
d x :
y
2
5
0.
Câu 44.
d
d
:
y
2
0.
Chọn B.
0; 2 3;0
3 1;0
0;1
n d
M u d
Chọn B. Câu 45.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 15
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
d
:
.
d
t
x y
t 4 2 t 3
5
4;5 3; 2
2;3
u d
A n d
d
d
d
x
y
: 4
5
0
:
Câu 46. Chọn A.
1
3
x y
t 3 5 t 1 4
4
4;
5;
5
3;1
n d
A u d
d
: 4
x
17
5
y
0.
Câu 47. Ta có:
d
:
x :
15
d
0
.
Chọn C.
15 6
t 7
0;7
7
15;6
d
0;1
;0 1
n d
x y
A u d
y
3
d x :
3
0
y
d
:
.
Chọn A. Câu 48.
t
t 3
t
1
0 1;
x n d
d 0;3 ;1 1
x y
A u d
Câu 49.
3
d
: 3
x
0
2
y
Chọn A.
y x 0 6 n 3; 2 d
Câu 50.
3
t
2;3
n d
d
x
: 3
y 5
2018
0
A d 0; t d : . Chọn B. y t 3 2 1; 3 2 x 3 2 u d
3
3;5 5;
n u
n d u d
u d
k
k
k
d
d
3 5
3; 5 5; 3 5 3
D đúng.
d
: 3
x
5 y
2018
0
d
||
: 3
x
0
5
y
M
d
1; 2
d
M
Câu 51. Chọn C.
: 2
3
0
12
d
x
y
c
c
1; 2 ||
: 2
12
3
0
d
x
y
d
: 2
x
3
8
Câu 52.
c
2.1 3.2
0
c
8.
y Chọn A. 0.
0;0
d
d
0;0
Vậy
6.0 4.0
0
c
c
0
.
c
x
c
d
: 6
x
4
0
d
x
x
||
: 6
4
1
0
1
O
d
: 6
x
0
4
y
d
: 3
x
2
y
O Chọn A. 0.
d
M
1; 2
M
1; 2
d
1 2.2
0
c
c
5.
Vậy Câu 53.
d
x : 2
3
y
0
d x :
y
2
c
0
d x :
5
2
Câu 54.
y Chọn D. 0.
Vậy
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 16
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
4; 3
d 2;3
4; 3
d 2;3
3; 2
n
A u
||
d
A u d
: 3
2
0
: 3
2
6
0.
x
y
x
y
Câu 55. Ta có:
. C
4
3
Choïn
d 0;3 AC
5;1
d 0;3 1;5
B n d
AC | |
AC
d
B u
5
0
1
5
0 .
d
x
y
: d x
5 y
Câu 56.
C
:1
0
3
Choïn
d
2
2
0
0
2
1
0.
d
x
y
: d x
y
:1
1
d
1;0 M 1; 2 n d
1;0 M 1; u d
Câu 57.
5 t
:
.
d
Chọn C.
t
d 3;5
1 3 t
x y
3;
d 5
; 5
3
u d
2
M 2;1 n d
d
M 2;1 u
d
x
t 1 13
d
:
.
Câu 58. Chọn B.
t
2
y
3 t
d 1; 2 3; 13
13;3
u d
A n d
1; 2 3; 13
||
d
A n
1 2 t
x
:
.
d
Câu 59. Chọn A.
d 2; 1
t
2
y
t
1; 2
d 2; 1
A u d
d
1; 2 A n
0
M
2; 5
0
2
0
3.
y
c
c
Câu 60. Chọn A.
5
d
0
0
: d x
c
y
c
2; 5 M (I) : x || d
d x :
3
Câu 61.
y Chọn B. 0.
d
M
x
0
Vậy
3; 1 d x :
y
c
0
c
c
0
4
d
:
x
y
4
3
0.
M 3; 1 y II : d
1
Câu 62.
Choïn B.
4
t
t 4
4
A
0;
4;0
d
d
t
x y
y
x
0
1;
1
M II :
n
1;1
u d
.
Câu 63.
. C
t
Choïn
t
d x t : d 4 y
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 17
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
1; 2
d
:
. 2
d
y
:
0
M x d O y ||
6; 10
d
M
t
4
:
2 ; 10
d
d
A
Câu 64. Chọn D.
t 10
y
:
0
d Oy
x
1;0
u d
6 x
:
.
Câu 65.
Choïn B.
t 10
y
2 x d
AB
; 1 3 AB
n
2;6
3;1
AB
AB
A u
AB
x
y
y
0
AB x : 3
8
0.
: 3
1
3
1
Câu 66.
Choïn D .
Ox
A
B
y
0.
:
x 3
2
1
6
x 2
y 3
Oy
A 2;0 B 0;3
AB
AB x :
2
0.
Câu 67. Chọn B.
0;6
0
2; 1 AB
1;
n AB
AB
A u
AB
3; 7
AB y :
7
0.
Chọn D. Câu 68.
AB
n
4;0
0;
1
AB
AB
A u
Câu 69. Chọn B.
Câu 70. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần viết phương trình đường thẳng AM.
B
2;0
:
2
0.
M
AM
AM
x
y
n
Ta có :
1;
1
1;1
AMu
AM
4;
2
0; 2
C
Chọn A.
A
B
d
1; 4 ,
d
: 2
x
y
3
3
0
.
Câu 71. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
I ; 1 3 A B
4;6
d
A
B
; 2 2
3
5; 2 n d
Chọn A.
;
A
B
I
d
4; 1 ,
1; 4
5 2
5 2
0
.
: d x
y
Câu 72. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
A B
d
AB
3; 3
3 1;
1
n d
Chọn B.
A
B
d
1; 4 ,
1
d y :
1
. 0
Câu 73. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
I 1; AB
d
AB
0;6
6 0;
1
1; 2 n d
Chọn A.
A
B
I
; 4 2
d
1; 4 ,
: d x
2
0.
Câu 74. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
d
AB
2;
0
AB
2 1;0
3; 4 n d
Chọn C.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 18
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
A
2; 1
: 7
11
3
0
.
x
y
Câu 75. Gọi Ah là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Ta có
h A
BC
BC
7; 3
; 7 3
h A
h A n h A
Chọn A.
B
4;5
h B
: 5
3
5
0.
x
y
Câu 76. Gọi Bh là đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. Ta có
h B
AC
AC
5;3
5; 3
h B
n h B
Chọn D.
3; 2
:
x
y
3
3
0.
Câu 77. Gọi Ch là đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. Ta có
h C
A B
AB
2;6
2 1;3
h C n h C
C h C
DẠNG 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Chọn B.
1. Phương pháp giải:
d
:
0;
:
0
.
d Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1
a x 1
b y 1
c 1
2
a x 2
b y 2
c 2
(I)
Ta xét hệ
0 0
a x 1 a x 2
b y 1 b y 2
c 1 c 2
/ /
d + Hệ (I) vô nghiệm suy ra 1
d . 2
d + Hệ (I) vô số nghiệm suy ra 1
d 2
+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm.
0
.
.
a b c khi đó
Chú ý: Với trường hợp
2
2
2
1
thì hai đường thẳng cắt nhau.
+ Nếu
a a
2
b 1 b 2
1
+ Nếu
thì hai đường thẳng song song nhau.
a a
2
b 1 b 2
c 1 c 2
1
+ Nếu
thì hai đường thẳng trùng nhau.
a a
2
b 1 b 2
c 1 c 2
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau
:
x
2
y
0;
x : 2
y
a)
0 3
1
2
y 2
5
x
:
0;
x : 2
y 4
b)
0 10
2
1
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 19
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
x : 2
y 3
5
0;
:
x
5
c)
0
1
2
x : 2
y 3
4
0;
x 4
y 6
:
d)
0
1
2
Lời giải:
a) Ta có
suy ra
2
1 cắt
1 2
1 1
b) Ta có
suy ra
1 trùng
2
1 2
2 4
5 10
c) Ta có
suy ra
1 cắt
2
1 2
0 3
d) Ta có
suy ra
/ / 1
2
4 2
6 3
0 4
,
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng
AB BC CA là ,
AB x : 2
2
y
0 ;
BC
x : 3
y 2
1
0 ;
CA x : 3
0
y
. 3
x : 3
y
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng
0 2
Lời giải
2
0
1
1; 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
A
3
0
0
2 x 3 x
y y
x y
M
N
1; 2
Ta xác định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là
1;1 ,
2; 3
làm vectơ pháp tuyến nên có phương
MN
y 3
0
x
3
y 0 2
hay 2 x
Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ trình là 2
1
suy ra hai đường thẳng cắt nhau.
Ta có
3 2
1 3
2
m
x 3)
2 y m
1
0
x my m
(
2 1)
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng
và
0 .
1 : (
2 :
m
m 0,
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của
1
1 và
2 trong các trường hợp
b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau.
Lời giải:
2 y
x 3
1
0
x
1
0m xét hệ
suy ra
a) Với
1;2
1 cắt
2 tại điểm có tọa độ
1
x
0
y
2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 20
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
0
y 2
x
0
Với
1m xét hệ
suy ra
1 cắt
2 tại gốc tọa độ
x 2
y
x
0
y
0
b) Với
0m hoặc
1m theo câu a hai đường thẳng cắt nhau nên không thỏa mãn
0m và
1m hai đường thẳng song song khi và chỉ khi
Với
2
m
m
3
m
2
2 m
1
m
1
1 2
2m thì hai đường thẳng song song với nhau.
Vậy với
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau
d
x
y
2
0
;
d
x : 9
0
3
a) Biết
y . 4
2;2A
và hai đường cao có phương trình 1 :
2
x : 2
y 3
0
A , phương trình đường cao kẻ từ B là
; phương trình trung tuyến đi qua đỉnh C
b) Biết (4; 1) y 3 x ' : 2
là
0.
Lời giải
nên ta có thể giả sử
A d A d , 1
2
a) Tọa độ điểm A không là nghiệm của phương trình 1
2,d d suy ra
B d C d , 1
2
làm VTPT nên có phương trình là
3;9
Ta có AB đi qua A và vuông góc với 2d nên nhận u
3
x
9
y
2
9
0
làm
2
1;1
x
1.
x
1.
2
0
y
VTPT nên có phương trình là
hay
y 0
hay 3 0 x
y ; AC đi qua A và vuông góc với 1d nên nhận v 2
24
B là giao điểm của 1d và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ
0
1; 3
B
x x 3
2 24
y y 9
0
x y
1 3
x 9
0
C
;
Tương tự tọa độ C là nghiệm của hệ
y 3 4 y
x
0
2 3
2 3
y
x
2 3 2 3
C
,
và
Vậy
2;2A
B
1; 3
2 2 ; 3 3
làm VTPT nên có phương trình là
b) Ta có AC đi qua (4; 1)
A và vuông góc với nên nhận u
3;2
3
x
2
y
1
2
hay 3 0 x
y 0 10
4
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 21
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
0
6
C
6; 4
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ
3 x x 2
2 y y 3
10 0
x y
4
x
4
y
B
B
I
;
suy ra trung điểm
của AB thuộc đường thẳng
' do đó
Giả sử
B x y ;B
B
2
1 2
x
4
y
1
B
B
y 3
0
5
2.
3.
0
x hay 2
(1)
B
B
2
2
y 3
(2) 0
Mặt khác B suy ra 2 x
B
B
B
Từ (1) và (2) suy ra
5 5 ; 4 6
B
A ,
và
Vậy (4; 1)
C . 6; 4
5 5 ; 4 6
3. Bài tập luyện tập:
Bài 14: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
:
x
3
y
0;
d
x : 2
y 2
0
a d ) 1
2
:
y 6
x 4
2
0;
d
x : 2
y 3
0
1
b d ) 1
2
x : 3
y 2
1
0;
d
:
x
y 3
0
4
c d ) 1
2
Lời giải:
/ /
2d
d a) 1
d d b) 1
2
d c) 1d cắt
2
(0;2)M
x : 3
0,
y
:
x
2
0
y
và điểm
Bài 15: Cho hai đường thẳng
1
3 2
a) Tìm tọa độ giao điểm của
1 và
2 .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt
1 và
2 lần lượt tại A và B sao cho B là trung điểm của
đoạn thẳng AM
Lời giải
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 22
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
N
A
x 3
0
3
y
y
x 3
a)
b)
, 3
A
A
A
1
A
1 9 ; 4 4
B
x
y
0
2
x 2
2
. B là trung điểm AM suy ra
2
B
B
B
B
A
x
x 2
x : 29
y 3
6
0
B A
x 4
x 3
3
4
2
A
B
x
B
y x
3 4 3 8
Bài 16: Cho hai đường thẳng có phương trình:
2
2
a
a : (
b x )
1;
y
a : (
2 b x )
ay
với b
2 b 0
1
2
a) Tìm quan hệ giữa a và b để
1 và
2 cắt nhau
b) Tìm điều kiện giữa a và b để
1 và
2 cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.
Lời giải
2
2
b
0
a
b , Nếu a
. Vậy
b và 0
a) Nếu
2 cắt nhau
1
2
b 1 và
a a
b b
1 a
a
b là điều kiện cần tìm.
2
a
0
a (
2 b x )
b
y
a
0
và 1
suy ra
b) Cho
b x
2
2
1
b
a
b
a
b
kx
y
:
0;
: (1
2 k x )
ky 2
0
1
2 . k
Bài 17: Cho 2 đường thẳng
1
k 2
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng
1 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k .
b)
1 luôn cắt
2 . Xác định toạ độ giao điểm của chúng.
Lời giải
a)
1; 0M
1 luôn đi qua 1 điểm cố định là
2
3
N
;
b)
2
k 2 2
k k
1 1
k
1
:
mx
x my
0;
m
1
y
:
2
0
Bài 18: Cho hai đường thẳng
1
2
Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Lời giải
0m cắt
TH1: Nếu
1
2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 23
-
n¨m häc 2018
Tµi liÖu to¸n 10
TH2:Nếu
0m :
1
m
th1:
1 cắt
2
1 m
m 1
1
m
m
1
th2:
thì
/ / 1
2
1 m
m 1
2
m 1 m 1
1
m
1
m
th3:
thì
2
1
1 m
2
m 1
A
2; 1
B và các đường thẳng
Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm
0;1 ,
d
m x )
m (
y 1)
m 3
5
x 1)
m (
y 2)
0
2
, m
0
d m 1 : (
2 : (2
lớn nhất.
2d . Tìm m sao cho PA PB
2
2
2
max
PA PB
4
PA PB
2 PA
2
AB 2
PB
16
. Do đó
khi P là trung điểm của cung
a) Chứng minh 1d và 2d luôn cắt nhau. b) Gọi P là giao điểm của 1d và Lời giải
P
0; 1
hay
1m hoặc
2m .
AB. Khi đó
2;1
P suy ra
x my
y m
mx
m
0,
1
0
3
:
:
, (với m là tham số thực). Chứng minh rằng với mọi
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng m
m
'
3; 1
m R thì hai đường thẳng đó luôn cắt nhau tại 1 điểm nằm trên một đường tròn cố định. Lời giải Để ý rằng hai đường thẳng này vuông góc với nhau nên cắt nhau tại điểm M. Rõ ràng đường thẳng thứ nhất đi qua điểm cố định
và đường thẳng thứ hai đi qua điểm cố định
B , nên tập hợp điểm M là đường
1;1A tròn đường kính AB.
H
(0; 0)
AC
x : 4
7
0
x : 5
2
0
y và 6
y và 21
là trực tâm của
Bài 21: Tam giác ABC biết
tam giác. Tìm tọa độ điểm
AB ,A B .
Lời giải
A
0; 3
Toạ độ của A là nghiệm của hệ pt:
x 5 x 4
0
y 2 y 7
6 21
0
x y
0 3
a 5
6
a 5
a 5
b 2
6
0
b
;
Vì
hay
;B a b thuộc AB nên
2
B a
6 2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 24
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
AC
Mặt khác, H là trực tâm nên HB
suy ra HB
là VTPT của AC do đó HB
cùng phương với
4;7
ACn
6
4; 7
0
B
a
4
a 4
5 a 14
d
x : 3
3
0
và đường thẳng
y . Tìm hình chiếu của A lên d .
Bài 22: Cho điểm
2;1A
Lời giải
3
Gọi là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d . Ta có hệ số góc của đường thẳng d là
dk do đó hệ số
y
x m
góc của đường thẳng là
.
k do đó đường thẳng có dạng
1 3
1 3
A
2
.1
m
m
7 3
1 3
:
y
x
x
3
0
Vậy
y . 7
1 3
7 hay 3
Tọa độ giao điểm của và d là nghiệm của hệ
x 3 x
y y 3
3 7
0 0
1 x 5 12 y 5
A
'
Suy ra hình chiếu của A lên d là
1 12 ; 5 5
1;2
A
B
và đường phân giác trong CK có phương trình là
Bài 23: Cho tam giác ABC biết
4;6 ,
22
x 3
0
9
y . Tính toạ độ đỉnh C của tam giác.
Lời giải
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CK cắt CK và CB lần lượt tại A1, A2.
y 0 18
x Đường thẳng A1A2 (hay AA2) có phương trình là 3
Toạ độ điểm A1 là nghiệm của hệ
x 3
22
0
; 4
;2
A 1
A 2
18
x 3
0
14 3
16 3
y 9 y
Cạnh BC (hay BA2) có phương trình là
y 0 2
x 3
22
0
;2
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ
2
0
y
4 3
C
y 9
Đáp án trắc nghiệm
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 25
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
x
:
2
0
1
||
d
.
d 1
2
x
y
: 3
10
6
0
1 3
2 6
1 1
0
2
d y 1 d
: 3
x
0
2
6
y
d 1
Câu 78. Chọn B.
, d d 1
2
: 6
2
d
x
0
6; 2
8
y
3; 2
2
n 1 n 2
0
2 3 2 6 n n 2 1
cắt nhau nhưng không vuông góc. Chọn D. Câu 79.
2
2
: 1 ; d 1 n 1 x 3 y 4 1 3 d . Câu 80. Chọn C. n n 0 1 2 d 1 10 4 0 y d : 3 x 1 4 3; 4 n 2
t
x
:
1; 2
u 1
d 1
y
d
.
Câu 81.
d 1
2
t 2 2
x
t
3
2 1 2 4 B d 1
d
B
:
d
,
2; 4
2; 8
2
2
u 2
y
8
t 4
1 t 2 2
Chọn A.
4 t
:
3; 2
,
A
d 1
d 1
u 1
x y
t 2 6
||
d
.
Câu 82.
3 3
d 1
2
t 1 2
x
2 2 A d
2
:
d
2;3
2
u 2
4
y
3 t
3
2; 3
Chọn B.
t
3
3 2
A
,
:
3; 1
1
u 1
1
3 4 ; 2 3
t
y
1
4 3
.
4 3 8
1
2
x
t 9
A
t
2
1 6
:
3 2 9
9;8
u 2
2
y
t 8
9 2 1 3
x
Câu 83.
Chọn A.
Câu 84.
2
1; 5
2
1 0 7; 2 n 1 1 cắt nhau nhưng không vuông góc. Chọn D. 4 t , 1 : u 2 n 2 2 1 0 7 5 n n 2 1 y t 1 5 : 7 2 x y x 5;1
Câu 85.
4;1
2; 3
2
2
3; 2
2
: A d 1 d u , 1 1 u 2 y t 2 t 1 3 d . Chọn A. d 1 d u 1 A x d y x 4 : 3 2 14 0 n 2 u 2 2; 3
Câu 86.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 26
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
4;1
2; 5
2
2
5; 2
2
2 t : A d 1 d u , 1 1 u 2 y 1 5 t || . d Chọn B. d 1 d u 1 A 4 x : 5 2 14 0 x y d n 2 u 2 2; 5
x
3 t
:
3; 2
d 1
u 1
2 t
y
0
.
d
Câu 87.
d 1
2
u u 1 2
x
:
d
2
u 2
2
y
3 t
2 2 t
2;3
Chọn C.
x
: 2
0
:
x
y
d 1
d 1
2 t
x
: 3
8
:
d
y
x
d
2
2
5 t 1 7
y
3 t 1
2 t 3 y
7 0
: 2
7
0
x
y
x
.
M
Câu 88. Ta có
1
; 3
d 1
d 2
3
: 3
8
0
1
d 1 d
x
y
y
2
x
x
y
: 3
0
y
x
:
: 3
8
0
Chọn D.
d 1
d 1
8
y
x y
d 1 d
2
0
1
t 1 5
t 3
x : –
2
y
15 7 1 1 7
Oy d
x : – 2
y
y
d Oy M
1
0
0
x
0;
.
A, B, D sai. Câu 89.
2
2
1 2
1 2
Chọn C.
Chọn D.
1; 4
AB
4; 1
AB
n
AB
A
y
AB u ,
AB x : 2
3
8
8
3; 2
2;3
1; 2
AB
||
, A C B D Câu 90. cắt nhau nhưng không vuông góc. Chọn D. AB CD 4 1 0 u u CD u CD 1 4 u
AB CD Chọn B. .
C
D C
6; 4
1; 3
AB D u , CD
C
2 3 6 4 AC B
Câu 91. nên
Câu 92.
1; 2
2;1
1;
2
x
:
1;0
n 1
d 1
: d 1 u 1 t 1 2 loại A. (i) 0 u u 2 1 d : x t y 2 –1 0 2 x y u 2 n 2
0
d
.
t
n n 2 1
d 1
2
d
d
:
:
.
1;0
0;1
2
u 2
2
n 2
0
2 0 x y
(ii) Chọn B.
Tương tự, kiểm tra và loại các đáp án C, D.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 27
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
.
|| d d
A
: 2 x : 2
1
0
d d
0 1 3 y 3 y
x
2 2
3 3
1 1
A
1
3
x
0 y sẽ có dạng
Do đó kiểm tra chỉ thấy có
Câu 93. Xét đáp án A: Chọn A.
2
x
3
y
c
0
c
.
1
Để ý rằng một đường thẳng song song với 2
d x :
0
3
4
y
đáp án A thỏa mãn, các đáp án còn lại không thỏa mãn.
1; 3 .
n d
Câu 94. Kí hiệu
:
1;3
d 1
n 1
n n , 1
2
y
t 3
x t 1
không cùng phương nên loại A. (i) Xét đáp án A:
3;1
2
(ii) Xét đáp án B: không cùng phương nên loại B. d : n 2 n n , 2 x y t 3 t 1 2
d
:
,
n
1;3
3
n 3
n 3
2
y
t 1 3 x t
n
x
4
(iii) Xét đáp án C: không cùng phương nên loại C.
d
:
d d ||
.
4
4
y
t 1 3 t 2
d 1; 2 1; 3
M n 4
n 4 M d
d
: 4
x
y 0
1
3
(iv) Xét đáp án D: Chọn D.
4; 3 .
dn
Câu 95. Kí hiệu
:
0
3; 4
d 1
n 1
n n 1 d
3
3 t
4 t x y
(i) Xét đáp án A: nên Chọn A.
(ii) Tương tự kiểm tra và loại các đáp án B, C, D.
d
Câu 96. Hai đường thẳng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau. Như vậy bài toán trở thành tìm đường thẳng trùng với đường thẳng đã cho lúc đầu. Ta có
:
d
0; 1A
t
1
0; 1 1;0
x y
A d u
kiểm tra đường thẳng nào chứa điểm và có VTCP cùng phương với
du
Chọn C.
t 3 d : d : 7 x y 3 1 0. Câu 97. Ta cần tìm đường thẳng cắt t 5 7 y x 2
: 7
x
3
y
0
1
d
d 1
d 1
d
: 7
x
y
3
1
d 0 & : 7
x
y 3
2018
0
d
,
d
||
d
loại A.
2
3
2
3
2
2
x m y
d
m
10
0
2
1
2
d 1
2
d
loại B, D. Chọn C.
m 3
m 4
10 10
x
4
10
0
3
m
2.
Câu 98.
. C
Choïn
4
: 2 1 y d : 3 1 m 2 1 2 m
y
m
:
2
0
1
d d || 1
2
m m 2
1
m 2 1
1
y
1
0
2
m
2.
Câu 99.
Choïn A.
m
2
2
d mx m 1 x d : 2 2 1 m
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 28
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
d 1
d M 2
4 ; 3
2
4 3 0 x y d 1 . m Câu 100. Chọn C. : d 3 3 1 2 4 m 2 m 2; 3 n 1 n 2 x y 2 3 t 1 4 t m : 2
0
y
d 1
d
d 1
2
x
1 2
0
0
1
.
a
a
a
n n 2 1
:
d
1;
a
a
2
; 2 1 n 1 n 2
a
y
t
1
: 2 – 4 1 x 1 at 3
Câu 101. Ta có
Chọn D.
2 t
:
2; 3
u 1
d 1
d
d 1
2
2.
m
2
x
:
2; 6
,
1 2
d
A
d
; m
m
A d 1 1 2 m m 3 2
2
2
u 2
2
y
mt 1
m t
2 x 3 t y 6
Câu 102.
Chọn C.
A d
0
A
m
:
2;
2;1
d u , 1 1
d 1
d 1
2
t 2 mt
x y
d
m
.
x
d
y m
2 1 : 4
3
0
8 3
2 m 4
2 3
; 4 3
m 5 m
2
u 2
Câu 103.
: 2
0
x
y
4
m
d
4.m
Chọn D.
d 1
2
: 7
7
0
d 1 d
x
y
2
4m
Câu 104. Với loại
x
m
y
4
0
m
3
1
2
d d || 1
m
1.
1 5
x
m
y
2
1
0
2
1 1
m 2 m 4
3
d : 2 1 d m :
2
m m
thì Với
Chọn B.
2
2
M
1
2
:
0
m
;1
1
n 1
: x thoaû maõn m 0 ( ) x : 2 my 3 0 : 4 5 0 1 0 y 1 . Chọn D. Câu 105. 10 y mx : 4 1 0 1 m m 0 0 2 m m 3 4 m 0
:
20
0
1;
m
y
m
m
mx
19 x m
y 1
1
1
2
n 2
1 1
0
.
m
m
m
m
Câu 106. Ta có :
. C
1
1
1
Choïn
6
0
n 1
2
2
my
2
x
2
0
6
m
2; 2
m
2
m 3 ; 2 n 2
d mx : 3 1 d m :
y 2
Câu 107. Ta có:
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 29
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
2
2
d M d 1 2
: 3 0 y thoaû maõn 0 m : 3 0 d 1 d x y . Chọn D. 2 m 0 1 m m 2 m 2 3 m 0 m
2; 3
4 ; 3
2
d
d 1
2
2.4
m
m
0
.
0 10 y n 1 d 1 Câu 108. x 2 3 t : m d n 2 1 4 y mt : 2 3 x
3
3 .
9 8
0
3 m
y
4; 3
d 1
n 1
Chọn C.
x
1 2 t
:
,
; 2
d
A
d
m
1; 4
2
2
n 2
4
y
mt
: 4 3 x
Câu 109.
d 1
2
d
0
6
n 1
A 0 8 m . Chọn B. 8 3 8 3 m 4 d 1 2 3 m 3 m
2
2
2
0
3
2; 2
2
x
my
m
m
3 ; 2 m n 2
2
: 3 d mx 1 : d m
:
y
khoâng thoaû maõn
0
m
3
0
: 2
2
d 1 d
3 0 y
x
2
2 y
.
Câu 110. Ta có
Choïn A.
2
2
m
| | d d 1
2
0
1
m
m
2 m 2
3 6
3 m
0 m
t
m
1
A
m
:
,
8;10
1;
1
d 1
d 1
n 1
t
10
y
m
x 8 y d mx :
14
2
0
; 2
2
n 2
d
2
0
6
khoâng thoaû maõn
2
|| d d 1
0
.
m
Câu 111. Ta có:
0; 2
1;1
1
2
m
m
1
m
8 m
1
m
0
2
n 1 n 2 1 m
A 0 m m
2
1
x
y m
3
Chọn A.
2
1
2
:
0
x my m
m
2
: 0 2 d m 1 d
1
0
x
thoaû maõn
:
1
2
M d d 1 2
.
Câu 112.
1
0
m
2
: 3 2 y d 1 x d 3 m 1
0 m 2 m m
0 m
Chọn B.
Câu 113.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 30
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
2
A m
;1
1
2
2
1
d 1
2
d
2 t x m 2; : m , d u 1 1 A d 1 t y m
;1
2
2
1
2
3
y
0
x
2
Ox
: 5
x
10
2
0
y
.
mt 1 2 1 m m 2 : m u 2 . Chọn C. 1 1 mt 1 m m m 0 m 1. 1 0 2 0 m m m 1 m m 1 2 0 1 x y m t m 1 m t m m
10
2
y
x
0
y
0
5
0
:
.
Oy d
x
Chọn C. Câu 114.
2 t
5 15 t
x y
,
0
y
2 t
y
5 15 t
y
1 3 2 3
t x
: 7
16
0
y
10
x
.
Câu 115. Chọn A.
3 x 10
0
:
18
d 1 d
x
y
2
:
d 1
d 1
x y
3 2
t 4 t 5
1
3
1 7.
Chọn A. Câu 116.
x y
t 1 4
t t
t 7 5
t 5
2
1 1
t 4
t t
d
:
0
2
t t
x y
t 1 4 t 7 5
Chọn A. Câu 117.
d 1
2
d
2 22
t 2
3 55
2
x y 19 3 0 d 1 t 0 19 10 t 5 . Câu 118. d : 2 5 x y x y 22 55 t 2 t 5 : 2
Chọn A.
AB d
–2;0 , 1; 4 t x
3 8 0 A B : 4 AB x y 4 0 2 x . Câu 119. 3 8 y x 0 2 0 x y y : 2 0 d : d x y 2 y t
x
t
x
2
Ox d
Ox
A
d
2 0 ;
Chọn B.
2
2
d 1
y
y
0
0
1 t 3 3
a
a
2
4
0
2.
Câu 120.
x
t
x
0
0
Oy d
Oy
A
2
; 0
Chọn D.
2
d 2
d 1
y
y
2 6
t 2
2
0
2
m m
6
0
.
Câu 121.
6
m m
Chọn D.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 31
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
5
y
.
A
d
2
d 1
: 3 – 2 x
0
: 2
0
d 1 d
x
4 – 7 y
3 31 ; 8 16
2
3 8 31 1 6
x y
d
A
d
c
c
0
.
A d
d
x
c
c
d
x
||
: 3
y 4
0
: 3
y 4 –1
0
53 8
9 8
31 4
1
3
Ta có Câu 122.
: 3
0
: 24
32
53
0.
d
x
4 – y
d
x
y
3
53 8
3
:
1
3
0
x
y
Vậy Chọn A.
.
A
d 1
d 2
3 ;
:
5
3
0
d 1 d
x
y
2 3
y
2
2 3
x
Ta có Câu 123.
3
A d A 2. 3 0 . c c d : 2 7 0 d x y d 2 0 y c : d x 2 3 5 3
2
0
: 3
6
5
0.
: d x
y
d
x
y
5 3
: 3
x
15
4
y
0
1
A
1;
d
Vậy Chọn A.
3
d 1
d 2
3
d 1 d
: 5
x
y
1
2
0
3
2
x y
3 9
13
m
m
m
m
6
0
5.
Câu 124. Ta có:
x
: 2
0
x
y
d 1
A
d
Chọn D.
d 2
3
d 1
– 4 3
0
: 5 – 2 x
y
d
5 26 ; 9 9
2
5 9 26 9
y
2
0
12.
m
Câu 125.
5 m 9
26 3
15
0
y
1
A
d
Chọn D.
1;3
d 2
d 1
: 3 – 4 x
: 5
0
3
d 1 d
x
2 –1 y
2
x y
12 15
m
m
0
3.
Câu 126.
: 2
y
x
d
A
m
m
d
1 7
0
6.
Chọn C.
1; 1
d 1
2
3
1
d 1 d
x
x –1 0 y
y
:
2
1
0
1
2
Câu 127.
1;
0
M d
f
f M
4 3
0
80
1;
N d
f N
30
.
11
51 x
y
Chọn B.
; f x y
f
4 3
0
0
f P f Q
Câu 128. Đặt
Chọn A.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 32
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
x
d
1
2,
y
1 2; –
VN
4
1 2 t
7,
0
x
d
y
–7;0
.
N
N
d
VN
7 3
3
t
0
t t
M M d . Câu 129. 1 t 1 2 2 t 3 1 2 4 t t
3,
5
x
d
y
3;5
VN
2
3,
x
d
y
2
1
.
d
Q
t
Q
P P d . 1 t 1 2 t 3 2 3 5 t t
3;
3
t
1 2 3 t 2
7
0
x
5 y .
Chọn D.
M d
0
1;1
x
y
N d
12
7
0
.
Câu 130. Gọi 12
f x y ;
0,
0
f M f N f P
10 1; 1 f Q
5
1
2 t
1,
3
y
d
d
:
.
0
.
t
M
M
d
Đặt Chọn A.
x
1;3
t 1 2 t 3 5
3 5 t
x y
1 3
2
d
x
1, y
Câu 131. Gọi
1; 2
x
d
3,
1
N 1 t N d . t 3 5 2 t 1 2 1
y
3;1
y
d
3,
8
Q
t
Q
d
.
1
x
3;8
t 1 2 t 3 5
3 8
DẠNG 4. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.
P P d . Chọn C. t 1 2 3 5 t 3 1 2 2 5 t t
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
x
y
x
y
0
0
0
,
t R
:
( hoặc
) có dạng
• Điểm A thuộc đường thẳng
at bt
a
b
0
x x : y y
at y ;
bt
0
0
A x
2
2
a
;
:
ax
by
0
c
(ĐK:
b ) có dạng 0
với
• Điểm A thuộc đường thẳng
A t
at c b
c
A
;
t
b hoặc 0
với
a 0
bt a
2. Các ví dụ.
x : 3
y 4
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
12 0
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 33
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
E
b) Tìm điểm B thuộc và cách đều hai điểm
,
5; 0
F 3; 2
c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm
lên đường thẳng
1;2M
Lời giải:
0; 3
u
a) Dễ thấy
là một vectơ chỉ phương của nên có phương trình
4; 3
tham số là
.
t 3
3
y
M thuộc đường thẳng và t 4 x
4 ; 3
t 3
Điểm A thuộc nên tọa độ của điểm A có dạng
suy ra
A t
1
2
2
2
OA
t 4
3
t 3
t 25
t 18
7
0
4
4
7 25
t t
A
Vậy ta tìm được hai điểm là
và
1 4; 0
A 2
96 28 ; 25 25
4 ; 3
t 3
b) Vì B nên
B t
E
3; 2
,
Điểm B cách đều hai điểm
5; 0
F suy ra
2
2
2
2
2
2
EB
FB
5
t 3
3
t 4
3
t 3
1
t
t 4
6 7
B
;
Suy ra
24 7
3 7
4 ; 3
t 3
c) Gọi H là hình chiếu của M lên khi đó H nên
H t
u
t 1; 3
5
là vectơ chỉ phương của và vuông góc với
nên
Ta có
4; 3
HM t 4
HM u .
0
0
5
t
t 4 4
1
t 3 3
19 25
H
;
Suy ra
76 25
18 25
1
t
y 2
6
0
x
:
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng
và
.
t
x ' : y
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm
qua đường thẳng
A
1; 0
b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với
' qua
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 34
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
Lời giải:
t 6;
a) Gọi H là hình chiếu của A lên khi đó
H t 2
u
t 5;
là vectơ chỉ phương của và vuông góc với
nên
2;1
AH t 2
H
t
t
Ta có AH u .
0
5
2
0
2;2
t 2 2
A' là điểm đối xứng với A qua suy ra H là trung điểm của AA' do đó
x
x 2
x
x
3
A
'
H
A
'
y
y 2
y
A y
4
A
'
H
A
A
'
3; 4
Vậy điểm cần tìm là
A '
t
t
t
t 2
1
0
6
b) Thay
vào phương trình ta được
suy ra giao điểm của
1
t
5 3
x y
K
' là
và
8 5 ; 3 3
' do đó đường thẳng đối xứng với
t
A K '
;
1; 7
nên có phương trình là
đó nhận
y
1 3
1 3
Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng
7 3
' qua đi qua điểm A' và điểm K do x 3 t 7 4
0
2
Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên ta có thể làm cách khác như sau: ta có đường thẳng AH nhận u
y do đó tọa độ H là nghiệm của hệ
x làm VTPT nên có phương trình là 2
2;1
6
0
2;2
H
2
0
2 y x 2 y x
K
;2
A
B
1; 4
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết
, đường thẳng BC đi qua điểm
1; 4 ,
. Tìm
7 3
toạ độ đỉnh C.
Lời giải:
x
1
BK
;6
Ta có
làm VTCP nên có phương trình là
suy ra đường thẳng BC nhận u
2;9
4
t 9
4 3
t 2 y
C BC
C
1
2 ; 4 t
t 9
AB
2
2 ; 8 t
t 9
AC
. AB AC
0
,
suy ra
Tam giác ABC vuông tại A nên
2; 8 ,
t 2
8
t
1 0
2 2
t 8 9
C
Vậy
3;5
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 35
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
I
D
3;
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD . Biết
là trung điểm của cạnh CD,
và đường phân giác góc
3 2
7 5 ; 2 2
0
1
y
x
:
BAC có phương trình là
. Xác định tọa độ đỉnh B.
Lời giải:
2 x
x
C
I
D
4;
Cách 1: Điểm I là trung điểm của CD nên
7 2
C
2 x
y
y C
I
D
4 7 2
x
1
;
Vì A nên tọa độ điểm A có dạng
A a a
,DA DC
không cùng phương và AB DC
Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với
x
3
4
a
B
1
x
B
1;
3
AB DC
a
B a
3
a
y
1
a
y
B
B
a
7 2
3 2
a
1
3
a
3 2
,DA DC
a
không cùng phương khi và chỉ khi
1
2
11 2
u
BAC nhận vectơ
làm vec tơ chỉ phương nên
Đường thẳng là phân giác góc
1;1
cos
; AB u
cos
AC u ;
. AB u AB u
. AC u (*) AC u
AB
AC
a
;
nên
Có
1;2 ,
5 2
4
a
a
a 2
3
2
13 2
2 a
a 13
11
0
*
( ) l
5
2
1 11 2
a
4
a
a
2 5 2
B
Vậy tọa độ điểm
2; 4
C
4;
.
Cách 2: Ta có
7 2
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
1;1
1.
1.
0
y
x
2
x hay 2
y 0 15
4
7 2
Đường thẳng d đi qua C vuông góc với nhận u
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 36
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
Tọa độ giao điểm H của và d là nghiệm của hệ:
x
y
1
0
H
x 2
15
y 2
0
13 17 ; 4 4
13 4 17 4
x y
Gọi C' là điểm đối xứng với C qua thì khi đó C' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là trung điểm của CC' do
x
H
C
'
C
'
'
;5
C
đó
2 x 2 y
5 2
x C y C
H
x y C
'
5 2 5
y C
'
DC
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là
1;2
t
Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận 5 x 2 5 2 t y
Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng ta được
t 2
5
1
t
t
suy ra 0
1;2A
5 2
3 2
1
2
x
x
B
B
AB DC
ABCD là hình bình hành nên
2
4
y
y
1 2
B
B
B
Suy ra
2; 4
M qua thuộc
Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận xét " là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
1
2 khi đó điểm đối xứng với điểm
1 và
2 "
B
d x :
2
2
Ví dụ 5: Cho đường thẳng
y và 2 điểm 0
và
. Tìm tọa độ điểm M trên d sao
3; 4
0;1A
MA MB
2
cho
là nhỏ nhất.
Lời giải:
2;1
1
MA
2 t
2 ; 4 t
t
M d M t 2
2;
t
MA MB
2
6 ; 3 t t
9
,
do đó
, t MB
2
2
MA MB
t
2
t 6
t 3
9
45
Suy ra
314 5
314 5
3 5
M
MA MB
2
nhỏ nhất khi và chỉ khi
là điểm cần tìm.
16 3 ; 5 5
3 t do đó 5
3. Bài tập luyện tập.
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 37
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
14
0
x , phương trình các cạnh AB: 4
y , AC:
Bài 24: Cho tam giác ABC có trọng tâm
G
2; 0
x 2
2
0
5
y . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Lời giải:
A
B
C
1; 0
.
ĐS:
4;2 ,
3; 2 ,
d
x
d
0
1
y . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD
y và 2 : 2 0 x
Bài 25: Cho hai đường thẳng 1 : biết rằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Lời giải:
,
;
;1
c 2
; 0
, B, D thuộc trục hoành suy ra
,
A a a C c
B b
; 0 ,
D d
A d C d , 1
2
Vì ABCD là hình vuông và B, D thuộc trục hoành nên A và C đối xứng nhau qua trục hoành do đó
A
1
a
c
Suy ra
1;1 ,
C 1; 1
1
2 c
c a a
ABCD là hình vuông suy ra BA BC
và trung điểm của AC trùng với trung điểm của BD
0
1
0
0
1
. BA BC
b
BA BC
(1)
2
2
b b
b
2
d (2)
Trung điểm của AC trùng trung điểm của BD nên
Từ (1) và (2) ta có
hoặc
0 2
2 0
b d
b d
A
B
C
0; 0
Vậy có hai hình vuông thỏa mãn có tọa độ các đỉnh là
1;1 ,
2; 0 ,
D 1; 1 ,
A
B
C
2; 0
và
1;1 ,
0; 0 ,
D 1; 1 ,
x
3
7
, đường cao qua đỉnh B có phương trình
y và đường 0
Bài 26: Cho tam giác ABC có đỉnh
1
0
2;1A x trung tuyến qua đỉnh C có phương trình
y . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác.
Lời giải:
4; 5
B
C
ĐS:
2; 3 ,
:
x
2
y
0,
d
:
x
8
0
y
. Tìm toạ độ các điểm
Bài 27: Cho điểm
2;2A
d và các đường thẳng: 1
2
B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Lời giải:
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 38
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
;2
; 8
nên tọa độ B, C có dạng
b
a C b ,
B a
B d C d ; 1
2
AB
2;
a
;
2;6
b
a AC b
Tam giác ABC vuông cân tại A nên
2
2
2
2
2
a
AC
2
a
b
a
1 2
0
AB . AB AC
2
6
1
3
b
a
a
2 a
2
6 b 0 b
b b
4 2 4
3
hoặc
Giải hệ này dễ dàng tìm được
5
a b
a 1 b 3
B
5; 3
B
C
3;5
Từ đó
hoặc
1; 3 ,
C 3; 1 ,
2; 1
A và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt là
Bài 28: Tam giác ABC biết
x
y 2
0,
1
:
x ' : 2
y 3
6
0
. Xác định tọa độ
,B C .
Lời giải:
A
BC
A
BC
Điểm
là điểm đối xứng A qua ,
là điểm đối xứng A qua
'
'' 0;2
' 0; 3
B
C
0;
,
0;
0
:
BC x suy ra
Ta có
1 2
5 3
0
. Trên trục Ox , lấy điểm B có hoành độ
Bài 29: Cho điểm
2;1A
Bx , trên trục Oy , lấy điểm C có tung độ
0
Cy sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Lời giải:
B
C
0;5
ĐS:
0; 0 ,
d
: 2 x
. Điểm B nằm trên đường thẳng
0 y . Viết
Bài 30: Cho tam giác ABC cân tại B, với
A
1; 1 ,C 3;5
phương trình các đường thẳng AB, BC.
Lời giải:
AB
x : 23
0
BC
x : 19
y 13
8
y , 24
0
ĐS:
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 39
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
y 2
3
0
x
:
và hai điểm
và
. Tìm tọa độ điểm M trên
Bài 31: Cho đường thẳng
2;5A
B
4;5
sao cho
2
2 2MA MB
a)
đạt giá trị nhỏ nhất
b) MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất
c) MA MB
đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:
2
2
2
MA MB 2
t 15
t 66
126
15
t
M
3;
t
a)
suy ra
M t 2
11 5
267 5
267 5
2
t
M
Dấu bằng xảy ra
11 5
7 11 ; 5 5
A
b) Dễ thấy A, B cùng phía với . Gọi A' là điểm đối xứng A qua
' 4;1
MA MB MA MB
'
A B '
M A B M A B
'
'
M
, dấu "=" xảy ra
Ta có
3 9 ; 2 4
' MA MB
A B '
c) Lấy A' như câu b) suy ra
dấu "=" xảy ra
'
M A B
M
3 9 ; 2 4
MA MB
và phương trình các đường phân giác trong
Bài 32: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết
1;1A
x
3
0
0
x góc B, C lần lượt là 2
y và 2
y . 3
Lời giải:
BC
x : 3
y 11
20
0
ĐS:
' đối xứng với đường thẳng qua điểm I biết
Bài 33: Viết phương trình đường thẳng
I
x : 2
3
y
I
( 1; 3);
a) ( 3;1);
b) 0
t 2
x t 2 : y 1
Lời giải:
'/ /
x ' : 2
y
d I ;
,
c 0
a)
8 5 5
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 40
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
5
c
;
;
d I
d I
'
3( ) l 13
8 5 5
5
c c
x ' : 2
y
Vậy
13 0
y
x ' : 2
b)
0 15
AB x
:
2
1
0
và
y . Viết phương trình các cạnh còn lại và các
2; 3
Bài 34: Cho hình vuông tâm I đường chéo .
Lời giải:
DC x
:
y 2
9
0;
BC
x : 2
2
y
0;
Ta có
AD x : 2
y
12
0;
AC x
:
11
y 3
0;
BD x : 3
y
0 3
y
0
3
; điểm A, B thuộc
x Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A biết phương trình cạnh BC là: 3 trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2
Lời giải:
C
; 3
a
1
Dễ thấy
B 1; 0 . Vì
C a
A, B thuộc trục hoành và tam giác ABC vuông nên
; 0A a
a
AC
AB
0; 3
1
,AB AC
, ABC là tam giác khi và chỉ khi
không cùng phương hay
a
1; 0 ,
a 1
pr
AB AC .
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có
suy ra
ABCS
1 2
2
AB BC CA
AB AC .
AB
a
1 ,
BC
2
a
1 ,
CA
3
a
, mặt khác
1
3
a
1
3
a
1
1
2 3
a
a
3
2 3
a (loại), 1
hoặc
2 suy ra
nên ta có 2 3
Vậy có hai trường hợp xảy ra ta tìm được tọa độ trọng tâm trong hai trường hợp đó là
4 3
7
G
;
,
2
G 1
1 3
2 3 3
6
4 3 2 3 6 ; 3 3
Nhận xét:
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 41
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
r
2
2
y
Cách khác: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC
. Vì
. Từ phương trình đường thẳng BC
I
x
x
3
2 3
x
1
A
C
BI
:
y
1
x
2 3
B
060
suy ra
do đó
I
x
x
1
2 3
3
A
C
Từ phương trình BC ta suy ra được Cy do đó tìm được tọa độ ba đỉnh rồi suy ra tọa độ trọng tâm.
C
( 2, 0)
0
, đường phân giác trong góc A có phương trình là 5x
y và 3
Bài 36: Cho tam giác ABC có
AB
OM 2
thỏa mãn
với
. Tìm tọa độ điểm A, B
2; 3M
Lời giải:
AB
AC
2
a a ;5
3
; 3
B
4
a
;9
a 5
,
4;6 ,
A a
a 5
, u
1;5
0
13
cos
; AB u
cos
AC u ;
Chỉ có trường hợp
26 2
a 26 2
2
1
4
2 6
a a
2
a
a 5
3
a
1
B
5; 4
0
4
x
Bài 37: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC nằm trên đường cao đi qua có phương trình
y . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm
E
1; 3
đỉnh C của tam giác đã cho. Lời giải:
(hình 3.27)Gọi H' là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A, H là giao điểm của đường thẳng và AH
; 4
Vì H nên
H a
a
A
H
B
H'
C E Hình 3.27
AH u .
0
1
a
1.
a
a
0
6
2
2
H
2;2
là vectơ chỉ phương của )
(Trong đó u
1;1
2; 2
'
H là trung điểm của đoạn thẳng AH' nên
H
Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua H nhận u
làm vectơ chỉ phương nên
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 42
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
2
t
BC
:
2
t
x y
B
t t ;
2
2
2; 2
t
Gọi
C t
EC AB .
0
E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C nên
2
t
3
1
8
t
t
t
0
0
8
8
t
hay
2
t 4 2 t t
B
C
2; 6
B
4; 0
Vậy
6;2 ,
hoặc
C 0; 4 ,
B
A
( 3, 3)
và giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường thẳng
Bài 38: Cho hình thoi ABCD có (1, 2);
d x :
0.
2
y Tìm toạ độ C và D.
Lời giải:
C
D
1; 1
C
D
10; 8
3; 4 ,
hoặc
6;13 ,
AB x
:
0
1
y và phương trình đường
Bài 39: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng
BD x : 2
0
1
thẳng
y ; đường thẳng AC đi qua
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
M
1;1
ABCD .
Lời giải:
A (
C
(1; 0)
B
(0;1)
;
;
;
D )
ĐS:
1 2 ; ) 3 3
2 ( ; 3
1 3
3; 2
A
B
S , tọa độ các đỉnh
và trọng tâm G của tam
Bài 40: Cho tam giác ABC có diện tích
2; 3 ,
0
8
x giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3
3 2 y . Tìm tọa độ đỉnh C
Lời giải:
1
; 8
a 3
S
GH
I
I là trung điểm AB thì
,
,
G a
GAB
S GAB AB
1 2
5 5 ; 2 2
2
d G AB ;
GH
2; 10
C
AB x
:
0
từ đó suy ra
hoặc
1;1C
y , 5
M
(1; 1)
x : 3
5
y
0,
d
:
x
y
0. 4
Bài 41: Cho điểm
d và hai đường thẳng 1
2
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 43
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
3
MA MB
,d d lần lượt tại
,A B sao cho 2
0.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt 1
2
Lời giải:
5),
; 4
)
A x
B d
( B x
x
.
A d 1
( ; 3 x 1
1
2
2
2
MB 3
(1)
MA 2
MB 3
Vì A, B, M thẳng hàng và
MA 2 MA 2
MB 3
(2)
MA
x (
x 1; 3
6),
x (
1; 3
x
)
MB
.
Ta có
1
1
2
2
1
x
(1)
x 2(
x 1; 3
6)
x 3(
1; 3
)
1
1
2
2
5 2 2
2
x x
A
,
B
(2; 2)
d x :
0
Suy ra
. Suy ra phương trình
y .
5 5 ; 2 2
1
x
(2)
x 2(
x 1; 3
6)
x 3(
1; 3
)
1
1
2
2
1 1
2
x x
A
2),
B
(1; 3)
0
:
. Suy ra phương trình
d x . 1
Suy ra (1;
; phương trình các đường trung
Bài 42. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh
y
C
3
y
4;1 x 0,
x tuyến AA', đường phân giác BB' của tam giác đó lần lượt là 2
6 0
Lời giải:
B
C
với C' là điểm đối xứng C qua BB'
' 5;10
3; 3 ,
4; 1
A và phương trình hai đường trung tuyến
Bài 43. Cho tam giác ABC có
BB
y
CC
x ' : 8
3
0,
0
9
x ' : 14
y 13
. Tính tọa độ
,B C
Lời giải:
B
4; 5
ĐS:
1;5 ,
C
;
0.
6
9
Bài 44: Cho tam giác 13
x
x y và 13
ABC phương trình các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần y Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam
I
0 2 lượt là giác ABC là ( 5; 1).
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 44
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
Lời giải:
8).
IM x :
7
2
/ / IM AH
A Gọi M là trung điểm BC
. Ta suy ra pt
y Suy ra tọa độ 0.
Ta có ( 3;
(3; 5).
M
M thỏa mãn
0
2 0 7 y x 13 6 9 x y
11
3)
0
5
BC
: 2( x
2 x
y
y
Pt đường thẳng
0.
a
2 ).
B BC
B a ( ; 11
4
2
IA IB
a 6
a
8
0
.
Khi đó
2
a a
B
(4; 3),
C
(2; 7)
B
(2; 7),
C
(4; 3).
hoặc
Từ đó suy ra
H
, trực tâm
và trung điểm
Bài 45. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh
3;2
5; 3A
M
;2
cạnh BC là
.
1 2
Lời giải:
BC
x : 2
y
3,
CA x :
14
y 3
0;
AB
x : 4
y 3
0 11
M
1; 3
là trung điểm của BC, CA và
Bài 46: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết
1; 4 ,
N
H
là trực tâm tam giác ABC .
1 5 ; 3 3
MN
CH NM ,
2;1
CH
:
Từ giả thiết suy ra
y
2 t
t x 1
t ; 1_2
2;7
1;5
t 2
Gọi
C t
A t
t 2
7 26 ; 3 3
HA t
t CM t 2 ,
. HACM
0
t
t
t 2
5
t 2
0
Do đó
1
7 3
26 3
2
t 15
t 86
123
0
3 41 15
t t
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 45
-
Tµi liÖu to¸n 10
n¨m häc 2018
C
B
A
,
,
C
B
A
1;1
Do đó
hoặc
.
3;5 ,
5; 3 ,
41 67 ; 15 15
71 53 ; 15 15
11 23 ; 15 15
0946798489
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng
Page | 46
-
