Chuyên đề 5: Số phức - Chủ đề 5.2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

w được gọi là một căn

2z

1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn

2

bậc hai của w .

ax

bx



0

a b c , ,



 ; a

0

 

b

2 4 

ac





x

 

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực   c Cho phương trình bậc hai . Xét , ta có

 

0 :

b a 2

b

 phương trình có nghiệm thực .



0  : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:

x 1,2

   2 a

|



|

 .



0  : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

x 1,2

  b i 2 a

 .

n

n

 1



  ...



0

 Chú ý.

 luôn có n nghiệm phức (không

A z o

A z 1

A z A  1 n

n

 Mọi phương trình bậc n :

2

  c

ax

bx





0

0

a

nhất thiết phân biệt).





2

có hai nghiệm phân biệt  Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ,x x (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét 1

S     x 1 x 2 b a

1

 c a      P x x 2. 

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức



i

|

a

|

 Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

a có các căn bậc hai là

a 

0,

+ .

a  , a có đúng một căn bậc hai là 0.

0

+

a  , a có hai căn bậc hai là

0

2a ( a là số thực khác 0) là

i . Hai căn bậc hai của

w a bi a b

 b ,

 



0

,

+ a .





z

  x

,

Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và ai và ai .  Trường hợp

  là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi

2z

w , tức là

 yi x y



2

2

2

x



y



a

2

x



yi

   

a bi

x

y

2 2 

xyi





2

xy



b

     a bi 

Gọi

;x y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x

yi



của số

i 5 12

w

  x

z

,

.

     là một căn bậc hai của số phức

w

  

i 5 12



Gọi . Mỗi cặp số thực  . phức w a bi   Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của  yi x y

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 1 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

2

x

2

2

2 3

2

  5

2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

z

  

w

x

yi

    5 12 i









x 2

 xy

y 

12

y



  

 4 6 x

    

x y

2     3

  x   y      

Ta có

w

  

i 5 12

 

Vậy . có hai căn bậc hai là 2 3i và 2 3i

2

2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan

z   1 0

z

 Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau:

 

b

2 4 

ac

   3 0

3

1



Ta có



x 1,2

i 2

1x  .

1

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là .

a .

x

 f x cho x a bằng giá trị của đa thức

  f x tại









 Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình. + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x   . + Định lý Bơdu: Phần dư trong phép chia đa thức

 f x



x a

Tức là

  f a   

x a

Hệ quả: Nếu

x

a .

 f x

  

    x a g x  0  f a  thì 

 f x  0  f a  hay

  f x  có một nghiệm

 0

 1

n

n

  ...





Nếu thì

x a

 f x



a x n

 a x a 1

0

a x  1 n

n

 1

n



2





x

  ...

 dư r

  g x

b x  1 n

b n



2

b x b 1 0

na

1na 

2na 

2a

1a

0a















r



– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau: thức Với đa thương chia cho có là

b 0

ab 1

 a 1

  b 1n

a n

b n



2

ab n

 1

a n



2

b n



3

ab n



2

a n

 3

b 1

ab 2

a 2

ab 0

 b 0

a

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ: – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau. – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có). – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới. – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH

1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.

Nhập số thuần ảo i : Phím ENG

2. Tìm các căn bậc hai của một số phức

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 2 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

i

z

3 4

  

2X

có kết quả:

3; 4

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức Cách 1: – Mode 2 (CMPLX) – Nhập hàm – Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận. Cách 2: – Mode 1 (COMP) – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập

X

Y 1;

 . 2

 .

 Pol   và 1 2i  

– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập , ta thu được kết quả X Y , Re c : 2

– Vậy 2 số phức cần tìm là 1 2i

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

  

x

Câu 1. Trong  , phương trình có nghiệm là

i 7



  1



  1









i 7

x 1

x 2

x 1

x 2

1 0 

. A. B. .

 i 7 ;

 1

 i 7 ;

 1











  1

7

i



  1





i 7

x 1

x 2

x 1

x 2

 1

 i 7 ;





C. . D. .

 i 7 ;

 1





1 4 1 4

1 4 1 4

22 x 1  4 1 4

1 4 1 4

  

3 4

i có kết quả:

2

Câu 2. Khai căn bậc hai số phức z .   i 1 2    1 2 ; i z   1 2 ; i z   i 1 2 .

2 i z 1 2 ;

2

2

  1 2 ; i z    i 1 2 .       i 1 2 . A. 1 z z C. 1 B. 1 z z D. 1

z

3 8 0  

Câu 3. Trong  , nghiệm của phương trình là



2;

z

  1

  1

i 3



2;

z

   1

   1

i 3

. .

z A. 1

2

i z 3 ; 3

z B. 1

2

i z 3 ; 3

 

2;

z

   1

i z 3 ;

   1

i 3

 

2;

z

  1

  1

i 3

. .

z C. 1

2

3

z D. 1

2

i z 3 ; 3

z

  

2 4

z

i có nghiệm là

Câu 4. Trong  , phương trình

z

  

3 4

i .

z

  

2 4

z

  

4 4

i .

z

  

5 4

i .

i .

 

a bi x

;

 

A. B. C. D.

a bi là hai nghiệm của phương trình:

x 1

2

2

2

2

2

2

2

Câu 5. Hai giá trị

x



2

ax a 



b



0

x



2

ax a 



b



0

2

2

2

2

2

2

A. . B.

x



2

ax a 



b



0

x



2

ax a 



b



0

C. . D. . .

4 0

i 3

i

i 2 3

Câu 6.

i 4

i 4

i

2 3 [NC] Trong  , phương trình z iz  i z    z 

 z   z

  có nghiệm là z   1     i 3 z 

z       z 1 

2

A. B. . . C. . D. .

z

z   có nghiệm là

1 0

2

i 3

1



i 5

1



i 3

2

2

Câu 7. Trong  , phương trình

2

i 3

1



i 5

1



i 3

i 3 5 z       i 3 5 z 

 z    z  

 2  2

 z    z  

2

 z    z  

2

i ra kết quả:

A. . B. . C. . D. .

i i A. B. . . C. . D. . i i i i Câu 8. Tính căn bậc hai của số phức   8 6 z z   i 3   z 3          z z 3 3   z    3     z 3  3   i z      z 3 

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 3 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

z



5



0

4

Câu 9. Trong  , nghiệm của phương trình là

5

i .

4

2

5 i 5 A. . B. . D. C. 5i . z   5 z   i 5   z     z  

z

  

i 5 12

là

 

2 3

z

z

 

2 3

i .

i .

A. B. . D. . C. Câu 10. Trong  , nghiệm của phương trình 2 3   i z      z 2 3 i  2 3   i z      z 2 3 i 

z

2 4 

z

 

5 0

Câu 11. Trong  , nghiệm của phương trình

z

2 

i .

z

2  

z

2  

i .

i .

i . A. B. C. D. i là z    2      z 2 

z

2;



2

S

S

;

i

0 

i

; 2

S



2

;

i

là

Câu 12. Trong  , tập nghiệm của phương trình   . A. B.

  i 1 2 C.  S

   i

 i



2 2  z   . i

  2

  . i



   . i

D.

i . Tìm căn bậc hai của z .

z

3 4

Câu 13. Cho

  A. 2  i và 2  i .

B. 2  i và 2  i .



3 2

 i .

C. 2  i và 2  i . D. 3 2 i và

z

1 

i . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z :

Câu 14. [NC] Cho



i

sin



i

sin

  8

 7 8

 7 8

  8

  

 2 cos  

  

  

và 4 . A. 4 2 cos



i

sin

 4

 4

  

. B. 2 cos



i

sin

  4

     4

  

  

. C. 2 cos



i

sin



i

sin

 8

 8

  8

  8

  

  

  

2

z



i

z

2 2 

iz

0

. D. 4 2 cos và 4 2 cos

      1



có nghiệm là Câu 15. [NC] Trong  , phương trình 

  i 2

  ; 2i .

 1 2

  i ;





3 2

3 2

 i



C. ; 4i . B. 1 i ; 1 i

  i 1





 2 1 2

2 2

4

A. , D. 1 2i ; 15i ; 3i . , i .

z





 25 0



2



i

;



2

Câu 16. Trong  , phương trình có nghiệm là

D.

26 z   i . B. 3; 4

  i .

  i .







  . i

A. 8; 5 C. 5; 2

z

i 2

5

3

i .

2

i .

2

i .

2

5

i .

Câu 17. Trong  , phương trình có nghiệm là

1   z B. 

A.  1





C.  1



D. 



z

3 1 0  

3

2

3

1

5

1

3

5

Câu 18. Trong  , phương trình có nghiệm là

 i 2

 i 2

 i 4

 i 4

A. 1 ; . B. 1 ; . C. 1 ; . D. 1 ; .

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 4 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

có nghiệm là

Câu 19. Trong  , phương trình   i . A. 1; 2

4 1 0   z   i . B. 2; 2

  i .

C. 3; 4 D. 1;  i .

là

  có nghiệm là

28 z

i z ;

i

i z ;

i

. C. 11 . . Câu 20. Trong  , căn bậc hai của 121 B. 11i . A. 11i D. 11i và 11i

2

2

i z ;

i

i z ;

i

. . A. 1 z B. 1 z

2

2

1   4 1   4

z 4 5   4 1   4

1 0 1 4 1 4

1   4 2   4

1 4 1 4

1   4 1   4

3 4 1 4

z

22 z

. . C. 1 z D. 1 z Câu 21. Phương trình 1 4 1 4

2 z 1

2 2

 3 z   . Khi đó giá trị của 3 0 là Câu 22. Biết 1 ;z z là hai nghiệm của phương trình 2

9  . 4

9 4

2

D. A. . C. 4 . B. 9 .

z



az b

  có một nghiệm phức là

0

 

i 1 2

Câu 23. Phương trình

. Tổng 2 số a và b bằng: D. 4 .

z C. 3.

z

A. 0 . B. 3 .

z

2 4 z

  . Khi đó phần thực của

5 0

2 z 1

2 2

là z là hai nghiệm phức của phương trình 2

2



|

z

|

2 |

D. 7. Câu 24. Gọi 1 ;z A. 5. C. 4. B. 6.

z 2

  . Khi đó

4 0

2

có giá trị là z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2

B. – 8. C. 4 .

 | A z 1 D. 8.

3 z  có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?

8

Câu 25. Gọi 1 ;z A. 7 .

z

22 z

Câu 26. Phương trình A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

2 z 1

2 2

2,z z là hai nghiệm của phương trình

 3 z   . Khi đó giá trị của 3 0 là Câu 27. Biết 1

9 4

9  . 4

2

A. 4. C. 9. B. . D.

z

z 2

Câu 28. Phương trình sau có mấy nghiệm thực:

A. 0.

2 0   C. 2.

B. 1. D. Vô số nghiệm.

Câu 29. Tìm các căn bậc hai của 9 . B. 3. A. 3i . C. 3i . D. 3 .

z

4 4 0  

có nghiệm là

i



A. .

1 i

  i 1 4     i .   1 3

C. ; Câu 30. Trong  , phương trình     1 4 ;   i 1 3 ;  

 1 2   i ; B.  D. ±

  1 2   i .   1  i .

z

2 2 z

  trên tập số phức ta được nghiệm là

7 0

Câu 31. Giải phương trình

z

 

i 1 2 2

A. . B. z   1 i 6 .

z

  1

i 2

C. . D. z   1 i 7 .







A. . . C. . D. 2. 5i    3 3 5i  3  5i Câu 32. Căn bậc hai của số phức 4 6 5i   B.  là 



Câu 33. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 56i

A. 6. B. 7. . Phần thực của z là C. 4. D. –4.

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 5 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

3

2

z



z

i

i i

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

; 1i  .

 ; ;1i i

   là 1 0 

. Câu 34. Tập nghiệm trong  của phương trình   . ;i;1; 1 A.  B. 

z C. 

  . ; ; 1

D. 

2

2

Câu 35. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm

z



 2 4





0



 2 4





z

0

2

2

A. . B. .

z



 2 4





0

 2 4







z

0

 

 i z  i z

 i 11 2   i 11 2 

 

    

4 3 ; i  i z  i z

   2  i 11 2   i 11 2 

i là  

2

2

z

 |

z

|

C. . D. .

 ? z

Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện

2

2





az b

 

0

a b ,

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

  có hai nghiệm là 3 i và 1 2i

a  ?

 i z



. Khi đó Câu 37. Phương trình 

 .

. . . A. 9 2i   B. 15 5i C. 9 2i D. 15 5i

z



z

2 6 z



13 0

 . Tính

6 

i

z

Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn

A. 17 và 4. B. 17 và 5.

2

z



0

i

C. 17 và 3. D. 17 và 2.

  . Khi đó

   1 3

 i z

 2 1



2,z z là các nghiệm phức của phương trình

1



z



3

Câu 39. Gọi

2  w z 1

2 2

z z 1 2

là số phức có môđun là

A. 2. B. 13 . C. 2 13 . D. 20 .

2 z 

2 8 | z |

Câu 40. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4   là 3 0

2

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

z

  z

z

.

0;



1

z

z



0;

z

  .

1

i

A. B. Câu 41. Tìm số phức z để   . i z

z



0;

z

  1

i z ;

  .

1

i

z

  1

i z ;

  .

1

i

C. D.

2 z 

2 | z |

Câu 42. Với mọi số ảo z, số là

A. Số thực âm. C. Số thực dương. B. Số 0. D. Số ảo khác 0.

3 1 0 z   có mấy nghiệm?

Câu 43. Trong trường số phức phương trình

2

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.



bz

  nhận số phức

0

c

z

1z

  làm một

i

Câu 44. Giá trị của các số thực b, c để phương trình

  2   2 2 A. . B. . C. . D. .   2 c   2 2 2 nghiệm là b  2  c  b    b    c b    c

z

2 7 z



15 0

 có hai nghiệm

2,z z . Giá trị biểu thức

1

Câu 45. Trên tập hợp số phức, phương trình

2 A. –7.

 là  z z z 1 2 z 1

3

B. 8. C. 15. D. 22.

  x

yi

z



 18 26 i

thỏa mãn Câu 46. [NC] Tìm số nguyên x , y sao cho số phức z

3 3 3 x   3 A. . B. . C. . D. .   1   1 1 y   1  x  y   x  y   x   y   

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 6 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

z



i



24 z

 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong

0

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

4

Câu 47. Trên tập số phức, cho phương trình sau: 

6

z

39 z

  có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?

số các nhận xét sau? 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực  . 2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức  . 3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực. 4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức. 5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức. 6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 48. Phương trình A. 3.

8 0 B. 4.

C. 2. D. 6.

2 2 z

  và A, B là các điểm biểu diễn của

5 0

1

2,z z là hai nghiệm của phương trình

I

I

I

Câu 49. Giả sử

z 2,z z . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là 1 A.

 I 

1; 0

1;1 



0;1

1; 0 

B. . . C. . D. .

 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5

Câu 50. Cho phương trình

m

 

0   . Giá trị



thì m có dạng là

A. 0.

2 z mz  i 6     a bi a b , B. 1.

b 2a C. 2 .



1

D. 1 .

2

2

41  z     2 z i  

P





z



z



z

2 z 1

2 2

2 3

 1

 1

 1

  là 1

i

Câu 51. Gọi , z , là các nghiệm phức của phương trình . Giá trị của z z , 1 z 4

 17 8

2 4 17 9

9 17

17 9

A. . B. . C. . D. .

2  z mz

  có tổng bình phương

0

i

Câu 52. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai

  .

   . 1 i



 1 i .

   . 1 i



hai nghiệm bằng 4i là A. C. D. 1 i B. 

  trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương

z

 

10

Câu 53. Cho phương trình

là

2 2 .

B. . C. . D. .

 trình có hai nghiệm 1 A. i 2 2 2

2 z mz m  2 2,z z thỏa mãn   m

1 0 2 z 1 i 2 2 2

 

m

m

 

i 2 2 2

m

  

i 2 2 2

2

z

z 2

  , trong đó

8 0

2

1z có phần ảo dương. Giá

Câu 54. Gọi ,z z là hai nghiệm của phương trình 1

w



2



z



z 1

trị của số phức là

.

 z 2 1 B. 10.

C. 8. . A. 12 6i D. 12 6i

Câu 55. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình A. 3. B. 1.

4 1 0 z   trên tập số phức là bao nhiêu? C. 2.

D. 0.

z

2 2 z

6 0

  . Trong đó 1z có phần ảo âm. Giá trị

Câu 56. Gọi

2

,z z là hai nghiệm của phương trình 1 2 biểu thức là | 3   z | |  | M z 1 z 1

4



x



72 0

 trên tập số phức có các nghiệm là

 A. 6 2 21 .  B. 6 2 21 .  C. 6 4 21 .  D. 6 4 21 .

.

22 x 24  x . hoặc 2 2 2i   hoặc 2 2 2i  

2



z

. . Câu 57. Phương trình A. 2 2i C. 1 2 2i B. 2 2i D. 1 2 2i   hoặc 1 2 2i hoặc 2 2 2i  

4  A z 1

4 2

2,z z là các nghiệm phức của phương trình

z  3 z   . Khi đó 7 0 có giá trị là

Câu 58. Gọi 1 A. 23. B. 23 . C. 13. D. 13 .

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 7 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

E. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN 1.2

3 2 4 5 6 7 8

1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 C B B C B C D D D D B A A C D B A A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

2

2

Câu 1. Chọn A.

 

b



4

ac



2 1



4.2.1

  

i 7 7

 0

7

Ta có:



x 1,2

  1 i 4

Nên phương trình có hai nghiệm phức là .

w x

 

,

Câu 2. Chọn A.

  là một căn bậc hai của số phức

z

  

3 4

 yi x y



2

x

2

2

i . 1 2

2

  3

2

Giả sử

w

  

x

z

yi

    3 4 i









x 2

 xy

y 

4

y



  

 1 2 x

    

x y

1     2

  x   y      

Ta có:

2

  1 2 ; i z    i 1 2 z Do đó z có hai căn bậc hai là 1

Câu 3. Chọn B.

3

2



2





 1

2 2 Ta có: z     8 0 z 2  2 z  4   0 z z  2 z   4 0 z    3  z   z  2     

z  2 z  2

   z 1 i 3     z 1 i 3

z    1 i 3 z    1 i 3          

2

2



Câu 4. Chọn A.

z

 

,

  

z

a



b

 a bi a b



2

2

a

  3

a



b

a  

2

2

2



Đặt .

a



b

 

a bi

 

2 4

i , suy ra

b



4



4

  

   b 

Thay vào phương trình:

S







a 2

x 1

Câu 5. Chọn c.

2

2

a



b

x 2 

P x x  . 2

1

  

2

2

2

2

Áp dụng định lý đảo Viet : .

x



Sx P

    0

x

2

 ax a



b



0

2

,x x là hai nghiệm của phương trình: Do đó 1

 

b

ac



i 3



4.1.4

 

 25 0



2

i 5

i 5





i z ;



  i 4

Câu 6. Chọn B. 2 4 

2

  3 i 2

  i 3 2

Nên phương trình có hai nghiệm phức là 1 z

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 8 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

 

b

ac



4.1.1

  

3 0

2    1

1



i 3

1



i 3

Câu 7. Chọn D. 2 4 



;



x 1

x 2

2

2

Nên phương trình có hai nghiệm phức là

w x

 

,

Câu 8. Chọn B.

  là một căn bậc hai của số phức

z

 

8 6

 yi x y



2

x

2

2

i . 3 1

2



8

2

Giả sử

w

  

x

z

yi

   8 6 i









x 2

 xy

y 

6

y



  

 9 3 x

    

x y

3     1

  x   y      

Ta có:

2

  3 i z ;    3 i z Do đó z có hai căn bậc hai là 1

2

2

4

Câu 9. Chọn B.

z  5        5 0 z z i 5

  x

,

 yi x y



2

2

2

z

     i 5 12

x

yi

     i 5 12

  

i 5 12

xy



2

x

y



  là một nghiệm của phương trình. 2

2

x

2

2

2 3

x



y

 

5







2

xy



12

y



  

 4 6 x

    

x y

2     3

 x     y      

z

 

2 3 ;

i z

  

i 2 3

Câu 10. Chọn A. z Giả sử

Do đó phương trình có hai nghiệm là

2

z



4

z

   

5 0

z

2

2

1

2

z

z



2

          i i

Câu 11. Chọn C.

Câu 12. Chọn D.

2

2



 1

 1

1 1 z i  z  2 z   i 1 2    0 z 1 z      i 2               2 i i 1 1 z i i 

w x

 

,

Câu 13. Chọn C.

  là một căn bậc hai của số phức

z

 

3 4

 yi x y



2

x

2

2

i . 2 1

2



3

2

Giả sử





w

  

x

z

yi

   3 4 i





x 2

 xy

y 

4

y



  

 4 2 x

    

x y

2     1

  x   y      

Ta có:

2

  2 i z ;    2 i Do đó z có hai căn bậc hai là 1 z

Câu 14. Chọn A.

4

4





i

sin

;





i

sin

z có các căn bậc hai là

w 1

w 2

 7 8

 7 8

  8

  8

 2 cos  

  

 2 cos  

  

Ta có z    1 i   i sin   4  4              2 cos     

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 9 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 15. Chọn A.

2

   1



2

2

2





 1

i i z  i z  iz 2    0  2 z i   0 z        i   z    z

Câu 16. Chọn D.

2

4

2

2

2

2

   



 

 

z   2  i z  6 z  25 0 z 3  16 0 i 3 4 3 z z z   2  i            i 4 

0

z



0



0

z







z

   2

i

2

2

z

i

1 z



iz 2

 

1 0

z



i

 

2 0

z

   i

i 2



    

0   

  2 1

 z     

 z    

Câu 17. Chọn C.

    1

  z  

z i 2

z

3

1

3

2

Câu 18. Chọn B.

z



z

   

1 0

z

z

  z

  0

   z 1



 1

 1

  1 2

 2

z

  

1 0

z

  

hoặc

1

1

4

2

z

   

1 0

z

z



z

0

1

z



 1

 1

 1

2

1 i

1 0

 

z

 z  z             z 

  z    

Câu 19. Chọn D.

Câu 20. Chọn B.

z

   

121

z

z



11 ;

i z

 

i 11

 i 11

2

Ta có: . Do đó z có hai căn bậc hai là

i

2

  '

b

'



ac

       4 0

4 8

z 1,2

 2 2 8

i   4

1 4

Câu 21. Chọn A.



S



z

z 1

2

2

3 2

z



S



2

P

Câu 22. Chọn D.

2   z 1

2 2

9     3 4

3 4





1

2

b     a 3 2

c a

     P z z . 

2

z



az b

  nên ta có:

0

    

a b

ai 2

b

0

     3

i 3 4

a b

Theo Viet, ta có:



Câu 23. Chọn C. Vì 1 2 z   i 2     1 2 a i là một nghiệm của phương trình   1 2 i

Câu 24. Chọn B.

2

2

z



S



2

P





 16 2.5 6

2   z 1

2 2

 S  z 4 z 1 b    a Theo Viet, ta có:

1

2

  5 c a      P z z . 

2

2

2

z



2

z

   

4 0

z

3 0

i 3

1

z

|



|

z

|

 8



2 1

        A z | 1

2

Câu 25. Chọn D.

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 10 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

2

 z

3

2

z

  

8

z

2

z



2

z



4

  

0

z

2

z





3





2 1





   

 

z

   1

i 3

   0 

Câu 26. Chọn A.

Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm.

S





z

z 1

2

2

3 2

z



S



2

P

Câu 27. Chọn D.

2   z 1

2 2

9     3 4

3 4





b     a 3 2

c a

     P z z  1 2

2

ac

     nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

1 0

1 2

Áp dụng định lý Viet, ta có:

  

 b

Câu 28. Chọn A. 

2

Câu 29. Chọn A.

 

9 9.i

Ta có nên 9 có các căn bậc hai là 3i và 3i .

2

Câu 30. Chọn D.

4

2

    1     1

 

z i z  i 2 z    4 0 z i z i 2          

z

2 2 

z

   

7 0

z

    

6 0

1

z

i 6



2 1

Câu 31. Chọn B.

Câu 32. Chọn C.

2

2

2

 Giả sử w là một căn bậc hai của 4 6 5i

w

 

i 4 6 5

  w

3



   w

i 5



3

5

i





. . Ta có:  

Câu 33. Chọn B.

 33 56 i



 7 4 i

  

i 7 4

z



2

Ta có: . Do đó phần thực của z là 7.

3

2

2

Câu 34. Chọn D.



 1

 1

z  z      1 0 z z z  i 1   z       0 z 

2

2

z



Sz P

    0

z

 2 4



Câu 35. Chọn B. S       i 2 4 Áp dụng định lý Viet, ta có: . P   .    11 2 i   

 0

,  là hai nghiệm của phương trình:



 i z

  11 2 i



Do đó

z

 

,

Câu 36. Chọn A.

  là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:

 a bi a b



2

2

2

2

2

2

2

z

 |

z

|

a bi

z



a



b

   

a bi

a

b 2



bi



2

abi

0

a

b 2

2



0

   



    b

 ab i

   



  b

0

2



0

b 2

2

0



b 2

 

a

0







2

ab



0

  a   b 

 

b

1 2

  a    b       a  

a          

1 2 1 2 Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 11 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

S





z

 

    

a

4

i

i

4

     a

i 9 2

2

i

Câu 37. Chọn A.







z 1

2

a 

i

2

Theo Viet, ta có:

z

2 6 

z



13 0

  

z

3

    

4 0

i 3 2

z

2

 :

z

 

3 2

i



z



 

i 3 2







     i 1 4

z

  

i 1 4



17

9 15  i  i 3 3

 18 72 i 18

6 

i

z

6  i 3 3 :

z

 

i 3 2



z

 

i 3 2







    i 3 4

z

 

i 3 4



5

Câu 38. Chọn B.

z

i

6 

i

3

13 9  i  i 3

 30 40 i 10

6 

i

z

+) Nếu 6  i z +) Nếu 6 

Câu 39. Chọn D.

2

 S  z      i 1 3 z 1 b a Theo Viet, ta có:

 2 1



1

2

2

2



z



3



S



5

P

i 1 3



     2 4 i

w

i

|

|

 4 16



20

 i         P z z . 



 10 1



2  w z 1

2 2

z z 1 2

c a    

z

 

,

Câu 40. Chọn C.

  là nghiệm của phương trình.

 a bi a b



2

2

2

2

2

2

2

Gọi

4

 a bi





b

   3 0

a



b



2

abi



8

a



b

  3 0

4





 8 a





2

2

2

2

 b 4

 

 

1



3

4

a

b

a



2

2



12

a



b 4



8

abi

   3 0



ab



0

0

  

 12  

 a b



1

2

ab  2

2

2

 

a

4

a



4

 ab b



1

Ta có:







1 4

0

ab



0

 a 0     1 b 

  

0

    b

0

    a    b

hoặc

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức

z

 

,

Câu 41. Chọn C.

  là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có:

 a bi a b



2

2

b



0

a



2

2

1   1

0

i

z

2     z

a bi a bi

 

z



a bi







2   

a 2

 ab

b 

 2 b

  

i

1 0

 z 0    z 1     z 1 

   a    b 

0 0

 a   b    a    b 

Gọi

z



Câu 42. Chọn B.

 bi b

   .

2

2

2

2

Do z là số ảo nên z có dạng:

z



|

z

2 |



bi



b

 

b



b

 . 0



2

Ta có:

Câu 43. Chọn B.

3

2

1



 1

     1

z     1 0 z z 0 z 1  i 3

 z    z  2 Vậy phương trình có ba nghiệm trong trên tập số phức.

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 12 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

z



bz

c

0

  là một nghiệm của

i

  nên ta có: 0

Do Câu 44. Chọn C. 1z

2

 1



 1



  b   2  i  b       0 b c bi c i  i 2   0    2 c  2 b c   b    

Câu 45. Chọn B.

2

z S   z 1 b     7 a Theo Viet, ta có:

 15  c a

2

     P z z 1 2       S P z   7 15 8   z 1 z z 1 2

3

3

3

2

z



18 26

  

x

i

yi



  

x

i

3

2 x yi



3

xy



3 y i



 18 26 i



3

2

3

  x (

3

xy

)



3

2 x y





i

 

18 26 

2

2

2

Câu 46. Chọn C.

3

2

2

3   x   2 3 x y 

y  x x 

18 26  i  

3

x



3

x



2

2

 

1

y

x



3

y



6

2

2





3

y

  18

3  y 18  3 xy  18    y  26 y 3  y 26 x     

 x x



6

6

loai





2

x



3

y



3

y

 

11

        x     

      x   2   

2

2

Do x, y nguyên nên

y

3

x



y

  

26

x

3;

y

 1





4

4

2

2





z

i

4

z

  

0

z

i

  4

z

Mà







2

2

z

  1

z



i



iz 2

1 0









2

2

2

z

2

3

i

z



i 2

 

3 0

iz 4



z

 

1 0

z 



z



i

  2 iz

  1    



   z  

   

 

 

   

   

Câu 47. Chọn D. 

Do đó phương trình có 2 nghiệm thực và 4 nghiệm phức. Vậy nhận xét 4, 6 đúng.

3

2

2

z



9

z

   

8 0

z

z



2

z

  z

z



2

z



4

 0



 1



 1



Câu 48. Chọn D. 6 Ta có:

z z

    1     2

1 0 0 2

z z

2

2

2

 

z

i

1    2

3 2

2

2

 z      1 0 z z     z i hoặc i 1 2 3    4 1 2 3 2 3 2          

z



2

z

   

4 0

z

   3

   

1

z

i 3

i 3



 1

2

 hoặc z    1 i 3     

Vậy phương trình có 6 nghiệm.



A

B

z

z

5 0

2 2 

   

    

i 1 2

4 0

z

z



 1; 2

 

I

2 1 Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

Câu 49. Chọn D.

  1; 2 ; 1; 0 

.

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 13 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 50. Chọn D.

2

,z z là hai nghiệm của phương trình đã cho Gọi 1

2

z m S   z 1 b     a Theo Viet, ta có:

1

  i 6       P z z 2. 

2

2

2

2

2



S



2

 P m



i 12

     

i 5 12

m

m

5

i 3 2

   

m

 3 2 i

z











2 2 z 1 2   a

3;

b

   

2

a

b 2

    1

3 4

c a Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có:

Câu 51. Chọn B.

   1 i z

4

1 i   1 z 

z  , ta có:

i 2

Với mọi   1   z 1   2 z i       i 1  z  z 2 i  z 1  z 2 i  3  i 2 4 5      

2

2

2





0



  P



z





z

1

i









2 z 1

2 2

2 z 3

2 4



 1

 1

 1

 1

      

 2 4 i 25

 i 9

  1    

  1      

 1   

i

i 9 2 13 16 .





   i 1 2



 25

 9

425 9.25

17 9

      z    z  1

Câu 52. Chọn A.

2,z z là hai nghiệm của phương trình.

Gọi 1

2

z m S   z 1 b     a Theo Viet, ta có:

1

2

2

z



S



  i c a

 P m



i 2

2   z 1

2 2

2

2

2

     P z z 2.  2

m



i 2

i 4

i 2

m

m

m

i

i

 2            

 1

 1



Ta có:

Câu 53. Chọn A.

2

z m S   z 1 b    a Theo Viet, ta có:

1

2

2

2

  2 m  1 c a

 2 2

 1

2 z 1

2 2

2

     P z z 2.  S P 2  z     10     10 m m      10 m 4 m   12 0

   m



2      8 0 i 2 2 2 m

Câu 54. Chọn C.

2



2 1

2

w



2



z



2

  1

  1

  1

i 7

i 7

i 7

1

i 7

  1

i 7

  

1 7 8





z 1

2

z 1

1 i 7 z  2 z     8 0 z z 0 7 1 7 i   1 z



    z  1          

   





i 7 



 

 

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 14 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC

Câu 55. Chọn D.

4

  Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1 1 0

z  z 1         1 0 z i 

2

z



2

z

   

6 0

z

        1

5 0

i 5

1

z

i z 5 ;

  1

i 5



2 1

z 1

2

Câu 56. Chọn B.

2

Do đó |  | 3  z   | 1 i 5   i 2 4 5  6  84  6 2 21   | M z 1 z 1

4

2

2

x



2

x



24

x



72 0

x

4

x



6

x



4

x



12



0

   





2

2

x



2

 

2 0

x



4

x

 

6 0

x

  2

i 2





2

2

x



4

x



 12 0

x

  

i 2 2 2

x



2

 

8 0

  

 

    

     

Câu 57. Chọn A. 2

Câu 58. Chọn A.

2

 S  z 3 z 1 b     a Theo Viet, ta có:

1

2

2

2

2

2

  7 c a      P z z . 





4 A z 1

4 2





   z  S  2 P  2 P   3 2.7   2.49 23

Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 15 | T H B T N Mã số tài liệu: BTN-CD5