Chuyên đề so sánh phân số: Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi

Ồ ƯỠ Ố Ề Ọ CHUYÊN Đ SO SÁNH PHÂN S TRONG B I D NG H C SINH GI Ỏ I

ế ể

ệ

ươ

ng TH Hoàng Đan Tam D ng Vĩnh Phúc

ễ Tác gi : Nguy n Th Ki m ườ ng Tr

ộ

ỗ

ế

ễ

ự

ườ

ệ ể

ề ạ ộ

ầ ế ớ

ạ ươ ườ

ạ ề ạ

ể ằ

ệ

ọ

ẻ ng, thi vào chuyên ngành đào t o giáo viên Ti u h c, sau 4 năm dùi mài kinh s ạ ọ ư ướ

ờ

ớ

ấ c vào đ i. Cái duyên v i ngành cùng cái duyên cu c đ i đã g n th y giáo tr

ạ ọ ư ọ ệ ố t nghi p và nhi ng đ i h c đ a th y đ n v i ngh d y h c, t m b ng t ộ ầ

ẻ ừ ữ

ắ ễ

ề

ấ

ươ ế ệ ọ

ề

ể

ệ

ấ

ọ ủ ọ

ọ ạ

ườ

ế

ỏ ế

ạ

i th y t n t y, t n tâm, d y gi

i, có công c a th y, đ n nay hàng trăm h c sinh đang h c t ầ ậ ụ ậ ơ ấ ờ

ướ

ứ

ươ i các tr ọ ử ớ c qua th i th u. Ban biên t p xin trân tr ng g i t ọ ễ

ườ

ủ

ế

ể

ầ

ọ ể ủ

ậ

ả

ộ

ọ

ế , m i ý ki n xin g i v

ệ c nhi u s đóng góp c a quý đ c gi ả ơ

ậ ưở ng tr ề ự ọ

ỉ

ả ưở Phó hi u tr ệ ờ ớ i thi u L i gi ọ ố ộ ạ i m t làng quê huy n Mê Linh, thành ph Hà N i, năm 1995, yêu ngh d y h c, Sinh ra t ọ ạ ng Đ i h c s ph m Hà N i 1, h c chàng thanh niên tr Nguy n Th Ki m, d thi và đ vào tr ử ầ xong ph n đ i c ổ ế ả t huy t tu i trên gi ng đ ẻ ầ ẻ ờ tr là hành trang b ế ể ườ ớ v i ng i và đ t Tam D ng, say ngh , yêu tr , t nh ng năm 2001, th y giáo Nguy n Th Ki m đã ữ ồ ưỡ ng r t nhi u th h h c sinh ti u h c c a huy n Tam D ng thành nh ng con ngoan, trò b i d ữ ạ ạ ọ ẫ ầ ủ ỏ ng Đ i h c v n gi gi i l ắ ị ế ườ ả i h t lòng vì h c sinh đã dìu d t, trang b ki n trong tim hình nh ng ệ ữ ạ i các b n nh ng kinh nghi m th c cho mình b ươ ệ ng ti u h c Hoàng Đan huy n Tam D ng quý c a th y Nguy n th Ki m, Phó hi u tr ử ề ỉ t nh Vĩnh Phúc. Ban biên t p mong đ ị đ a ch hòm th

ượ ư qh.tamduong@gmail.com. Trân tr ng c m n!

ế Ki n th c phân s đ c đ a vào d y

ứ ố ọ ọ ủ ế

ố ượ ư ớ ớ ẫ ố ạ ố ạ ở ể ộ ắ ầ ừ ớ Ti u h c b t đ u t l p 4. N i dung so ọ ượ c h c ch y u thông qua so sánh phân s có ớ ậ i ử ố ượ s đ ố c gi

ệ ở ế ệ ậ sánh phân s h c sinh l p 4 và l p 5 đ cùng m u s và khác m u s ; d ng bài t p so sánh phân s có cùng t thi u ẫ ố ti t Luy n t p.

ư ự ế ề

ố ớ ọ ầ ẫ ố ồ khi so sánh các phân s v i nhau, ta có nhi u cách so sánh, ố

ặ ồ Nh ng trên th c t ữ trong đó có nh ng cách so sánh phân s nhanh g n mà không c n quy đ ng m u s ho c quy đ ng t ử ố s .

ệ ạ ọ

ử ụ ạ ố ớ i gi

ậ ệ i thi u cùng b n đ c cách nh n di n d ng toán so sánh phân ả ủ ự i c a nh ng bài toán so sánh phân s không s d ng tr c ồ ữ ử ố ố Sau đây tôi xin gi ố ờ s và cách trình bày l ẫ ố ồ ế ti p quy đ ng m u s và quy đ ng t s các phân s .

Ủ Ơ Ị Ố Ằ Ầ Ầ PH N I: SO SÁNH PHÂN S B NG “PH N BÙ C A Đ N V ”

Ụ Ộ Ố I. M T S VÍ D

ằ ấ ố 1. Ví d 1ụ : So sánh phân s sau b ng cách nhanh nh t:

và

2012 2013

2013 2014

ậ ữ ử ể ệ ẫ ủ ỉ ệ Phát hi n và ch ra đi m chung gi a t ố và m u c a hai phân s * Cách nh n di n:

ố ằ ủ ữ ệ ạ ố (d ng phân s < 1, có Hi u gi a MS và TS c a 2 phân s b ng nhau).

+) 2012 < 2013; 2013 < 2014.

ệ ệ ệ ệ +) 2013 2012 = 1 (hi u 1); 2014 2013 = 1 (hi u 2) => Hi u 1 = Hi u 2.

* Cách trình bày bài:

ủ ơ ướ ầ ị +) B c 1: Tìm “ph n bù c a đ n v ”.

Ta có:1 = ; 1 = .

2012 2013

1 2013

2013 2014

1 2014

ướ ừ ầ ượ ế ậ ố +) B c 2: So sánh 2 “ph n bù” v a tìm đ c, k t lu n hai phân s đã cho.

Vì > nên < .

1 2013

1 2014

2012 2013

2013 2014

ằ ấ ợ ố 2. Ví d 2ụ : So sánh phân s sau b ng cách h p lí nh t:

và

1006 1007

2013 2015

ậ ữ ử ệ ể ẫ ỉ ệ Phát hi n và ch ra đi m chung gi a t

ủ và m u c a hai phân s ệ ế ữ ủ ữ ệ ạ

ủ ố * Cách nh n di n: ố (d ng phân s < 1, có hi u gi a MS và TS c a PS này chia h t cho hi u gi a MS và TS c a PS kia).

+) 1006 < 1007; 2013 < 2015;

+) 1007 1006 = 1 (H 1); 2015 2013 = 2 (H 2).

ầ (vì 2 : 1 = 2). => H 2 = 2 l n H 1

ệ ộ ướ ả ư ví d 1ụ thì ta ph i có thêm m t b ụ c ph :

c cách so sánh nh ằ ể ự Đ th c hi n đ ổ ế ố ượ Bi n đ i phân s sao cho “H1” b ng nhau “H2”.

* Cách trình bày bài:

ố ể ướ ế ằ ổ +) B c 1: Bi n đ i phân s đ có “H 1” b ng “H 2”.

(cid:0)

=

Ta th y: ấ . (cid:0)

1006 1007

2 2

2012 2014

ướ ủ ầ ằ ố +) B c 2: Tìm “ph n bù” c a hai phân s có “H 1” b ng “H 2”.

- -

1

Ta có: ; .

2012 = 2014

2 2014

2013 = 2015

2 2015

ướ ừ ầ ượ ế ậ ố +) B c 3: So sánh hai “ph n bù” v a tìm đ c, k t lu n 2 phân s đã cho.

<

Vì > nên hay

2 2014

2 2015

2012 2014

2013 2015

1006 1007

2013 2015

ể ặ Ho c có th trình bày theo cách sau đây:

ướ ủ ầ ố ử ố ằ +) B c 1: Tìm “ph n bù” c a hai phân s sao cho chúng có t s b ng nhau.

2 =

- -

1

Ta có: ; .

1006 1 = 1007 1007 2014

2013 = 2015 2015

ướ ừ ầ ượ ế ậ ố +) B c 2: So sánh hai “ph n bù” v a tìm đ c, k t lu n 2 phân s đã cho.

2 <

Vì nên .

> 2014 2015

1006 1007

2013 2015

ệ ằ ậ ấ ố 3. Ví d 3:ụ So sánh các phân s sau b ng cách thu n ti n nh t:

và

64 73

45 51

ậ ữ ử ệ ể ẫ ỉ ệ Phát hi n và ch ra đi m chung gi a t

ủ và m u c a hai phân s ệ ủ ữ ữ ủ ệ ạ ố ố * Cách nh n di n: (d ng phân s < 1, có hi u gi a MS và TS c a PS này và hi u gi a MS và TS c a PS

ỉ ố ạ ậ kia l p thành t s d ng ).

x y

+) 64 < 73; 45 < 51.

+) 73 64 = 9 (H1); 51 45 = 6 (H2).

H H

1 9 3 = = . 2 6 2

ể ự ệ ượ ộ ướ c cách so sánh nh ả ư ví d 1ụ thì ta ph i có thêm m t b ụ c ph :

Đ th c hi n đ ổ ố ế ằ Bi n đ i phân s đã cho sao cho “H1” b ng nhau “H2”.

* Cách trình bày bài:

ướ ể ế ằ ổ ố +) B c 1:Bi n đ i phân s đã cho đ có “H1” b ng “H2”.

(cid:0) (cid:0) Ta th y: ấ = ; = . (cid:0) (cid:0)

64 2 128 = 73 2 146

45 3 135 = 51 3 153

64 73

45 51

ướ ủ ầ ằ ố +) B c 2: Tìm “ph n bù” c a hai phân s có “H1” b ng “H2”.

- -

1 .

Ta có: ;

128 18 = 146 146

135 18 = 153 153

ướ ừ ầ ượ ế ậ ố +) B c 3: So sánh hai “ph n bù”v a tìm đ c, k t lu n 2 phân s đã cho.

.

Vì nên hay

18 18 > 143 153

128 135 < 146 153

64 45 < 73 51

ấ ằ ố ợ 4. Ví d 4: ụ So sánh các phân s sau b ng cách h p lí nh t:

v à

2323 2424

20132013 20142014

ậ ữ ử ể ệ ẫ

ệ Phát hi n và ch ra đi m chung gi a t ỉ ủ ư ạ ố ố ủ và m u c a hai phân s ặ ạ ố ữ ố ố i nhóm ch s gi ng

* Cách nh n di n: ạ (d ng phân s < 1, nh ng TS và MS c a 2 phân s có d ng l p l nhau).

+) 2323 < 2424; 20132013 < 20142014.

ố ữ ố ố ố

ữ ố ữ ố ố ữ ố +) S 2323 có 2 nhóm ch s 23; s 2424 có 2 nhóm ch s 24; s 20132013 có 2 nhóm ch s 2013 và s 20142014 có 2 nhóm ch s 2014.

ụ ư ví d 1, ví d 2, ví d 3 nêu trên

Đ th c hi n đ ộ ướ ụ ố ớ ế

c cách so sánh nh ổ ề ủ ụ ệ ủ ọ ứ ằ thì ta ph iả ượ ệ ể ự ủ ụ Bi n đ i v 2 phân s m i sao cho hi u c a MS và TS c a PS c ph : có thêm m t b ố ệ ủ ứ ấ ằ th nh t b ng hi u c a MS và TS c a PS th hai b ng cách rút g n các phân s .

* Cách trình bày bài:

ướ ố ớ ề ế ổ ố +) B c 1:Bi n đ i hai phân s đã cho v hai phân s m i.

(cid:0) (cid:0)

=

ấ Ta th y: ; . (cid:0) (cid:0)

2323 2424

23 101 23 24 101 24

20132013 20142014

2013 10001 2014 10001

2013 2014

ướ ủ ầ ằ ố +) B c 2: Tìm “ph n bù” c a hai phân s có “H1” b ng “H2”.

1

- -

1 .

Ta có: ;

23 1 = 24 24

2013 = 2014 2014

ướ ừ ầ ượ ế ậ ố +) B c 3: So sánh hai “ph n bù”v a tìm đ c, k t lu n 2 phân s đã cho.

1 >

<

.

Vì nên hay

1 24 2014

23 2013 24 2014

2323 20132013 2424 20142014

Ệ Ạ Ậ Ậ ƯỚ II. CÁCH NH N XÉT, NH N DI N D NG TOÁN VÀ CÁC B Ả C GI I

1. Ví d 1:ụ

ủ ể ặ * Đ c đi m c a bài toán

ẫ ố ử ố +) T s (TS) < M u s (MS);

+) MS1 TS1 = MS2 TS2.

ướ ả * Các b c gi i

ị ủ ướ ầ ố ủ ơ +) B c 1: Tìm “ph n bù c a đ n v ” c a 2 phân s đã cho.

ướ ừ ầ ượ ế ậ ố +) B c 2: So sánh 2 “ph n bù” v a tìm đ c, k t lu n 2 phân s đã cho.

2. Ví d 2:ụ

ủ ể ặ * Đ c đi m c a bài toán

+) TS < MS;

ườ ặ ợ ng h p 1) ho c MS2 TS2 = n x (MS1 TS1)

ườ +) MS1 TS1 = n x (MS2 TS2) (Tr (Tr ợ ng h p 2).

ướ ả * Các b c gi i

ướ ả ườ ặ ợ ng h p 1; ho c nhân

ố ứ ườ ố ứ ủ ớ ủ +) B c 1: Nhân c TS và MS c a phân s th 2 v i n trong tr ả c TS và MS c a phân s th 1 v i n trong tr ớ ợ ng h p 2.

ướ ủ ầ ằ ố +) B c 2: Tìm ph n bù c a 2 phân s đã có “H1” b ng “H2”.

ướ ượ ừ ế ậ ầ ấ ố c, k t lu n 2 phân s ban đ u (theo c u

ầ +) B c 3: So sánh hai “ph n bù” v a tìm đ trúc: Vì…………….nên……………hay…………… .).

3. Ví d 3:ụ

ủ ể ặ * Đ c đi m c a bài toán

+) TS < MS;

ố ố +) MS1 TS1 = x; MS2 TS2 = y; (v i ớ là phân s t ả i gi n).

x m = n y

m n

ướ ả * Các b c gi i

ướ ố ứ ấ ớ ủ ả

ố ứ ớ ủ ả +) B c 1: Nhân c TS và MS c a phân s th nh t v i n; nhân c TS và MS c a phân s th 2 v i m.

ố ớ ướ ủ ầ +) B c 2: Tìm “ph n bù” c a hai phân s m i.

ướ ượ ừ ế ầ ậ ấ ố c, k t lu n 2 phân s ban đ u (theo c u

ầ +) B c 3: So sánh 2 “ph n bù” v a tìm đ trúc: Vì…………….nên……………hay…………… .).

4. Ví d 4:ụ

ủ ể ặ * Đ c đi m c a bài toán

+) TS < MS;

ả ủ ữ ố ố ố ề

ạ ố ớ ữ ủ ố c các phân s m i mà hi u gi a MS và TS c a hai phân s ặ ạ i nhóm ch s gi ng nhau; khi rút ố ệ

ệ ớ ặ +) C TS và MS c a 2 phân s đ u có d ng l p l ượ ọ g n các phân s đó ta đ ề ỉ ố ố ằ b ng nhau ho c có m i quan h v i nhau v t s .

ướ ả * Các b c gi i

ử ụ ố ể ậ

ướ ể ấ ố ớ ả ủ ủ ặ

ụ ọ ố ố i gi n. Sau đó nh n xét +) B c 1: S d ng tính ch t rút g n phân s đ có phân s t ụ ụ ể ượ ặ c xem chúng có đ c đi m c a ví d 1, ví d 2 đ c đi m c a 2 phân s m i tìm đ hay ví d 3 nêu trên.

ố ớ ướ ủ ầ +) B c 2: Tìm “ph n bù” c a hai phân s m i.

ướ ượ ừ ế ầ ậ ấ ố c, k t lu n 2 phân s ban đ u (theo c u

ầ +) B c 3: So sánh 2 “ph n bù” v a tìm đ trúc: Vì…………….nên……………hay…………… .).

ể ử ụ ủ ơ ị ầ ằ trong cách so sánh b ng “ph n bù c a đ n v ”

Tóm l ườ iạ : Ta có th s d ng ợ ng h p sau: các tr

ữ ệ

ơ ủ ặ ệ ể ữ ố ặ ố ố

ủ ế N u các phân s có đ c đi m là TS bé h n MS và hi u gi a MS và TS c a các ệ ớ ố ằ phân s b ng nhau ho c hi u gi a MS và TS c a các phân s có m i quan h v i ề ỉ ố nhau v t s .

ế ể ố ơ i các nhóm ch s ữ ố

ặ ố ể ử ụ ố ọ ặ ạ N u các phân s có TS bé h n MS và có đ c đi m l p l ố ố ấ gi ng nhau thì ta s d ng tính ch t rút g n phân s đ có phân s t ả i gi n.

ầ ố ố ớ l n h n ơ thì bé Quy t c: ắ Khi so sánh hai phân s , phân s nào có “ph n bù”

ầ ố h nơ ; phân s nào có “ph n bù” ớ ơ . bé h nơ thì l n h n

ề ủ ữ ệ ơ ố ệ ầ ; Hi u gi a MS và TS c a các phân s là đi u ki n c n

ị ướ ọ ả ợ ề đó chúng ta đ nh h ng cho h c sinh cách gi ừ i phù h p cho t ng Chú ý: TS bé h n MS là ể ừ ệ ủ đ t

đi u ki n đ ậ ụ ể bài t p c th .

ậ ậ ụ ộ ố III. M t s bài t p v n d ng

ấ ằ ố Bài 1: So sánh các phân s sau b ng cách nhanh nh t:

v à

c) a) và b)

+ +

a a

1 2

2 3

19 24

34 39

1 3 ; 3 5

5 7

ằ ấ ợ Bài 2: So sánh b ng cách h p lí nh t:

a) và b) v i ớ

201 205

2013 2015

133 135

1313 1515

ệ ậ ằ ấ Bài 3: So sánh b ng cách thu n ti n nh t:

v à

a) và b) và c)

103 105

205 208

1995 1999

2009 2015

1111 1212

141414 151515

ủ ố ờ ộ

ề ậ ượ ầ ấ ả ẻ ừ ữ ế ế ọ đón đ c phía các

Trên đây là ph n I c a chuyên đ so sánh phân s . Xin m i các đ c gi ầ c nh ng ý ki n đóng góp và chia s t ả . các ph n ti p theo. R t mong nh n đ ộ đ c gi