Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG TH CỨ
B ng nguyên hàmả
Nguyên hàm c a nh ngủ ữ
hàm s s c p th ngố ơ ấ ườ
g pặ
Nguyên hàm c a nh ng hàm sủ ữ ố
th ng g pườ ặ Nguyên hàm c a nh ngủ ữ
hàm s h pố ợ
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1≠+
+
=+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=
∫xCx
x
dx
Cedxe xx +=
∫
( )
10
ln ≠<+=
∫aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫sincos
Cxxdx +−=
∫cossin
Cxdx
x+=
∫
tan
cos
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫1
( ) ( ) ( )
1
1
11≠+
+
+
=+ +
∫
α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1≠++=
+
∫xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫cos
1
sin
( ) ( )
Cbax
a
dx
bax ++=
+
∫tan
1
cos
1
2
( ) ( )
Cbax
a
dx
bax ++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
Cudu +=
∫
( )
1
1
1≠+
+
=+
∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫uCu
u
du
Cedue uu +=
∫
( )
10
ln ≠<+=
∫aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫sincos
Cuudu +−=
∫cossin
Cudu
u+=
∫tan
cos
1
2
Cudu
u+−=
∫cot
sin
1
2
I. Đ I BI N S Ổ Ế Ố
TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PH NG PHÁP GI I TOÁNẮ ƯƠ Ả
1. Đ i bi n s d ng 2ổ ế ố ạ
Đ tính tích phân ể
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta th c hi n các b c sau:ự ệ ướ
B c 1.ướ Đ t t = u(x) và tính ặ
/
dt u (x)dx=
.
B c 2.ướ Đ i c n: ổ ậ
x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b
.
B c 3.ướ
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví d 7.ụ Tính tích phân
2
e
e
dx
Ix ln x
=ò
.
Gi iả
Đ t ặ
dx
t ln x dt x
= =Þ
2
x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
= = =Þ
ò
.
V y ậ
I ln 2=
.
Ví d 8.ụ Tính tích phân
4
3
0
cosx
I dx
(sin x cosx)
p
=+
ò
.
1
H ng d n:ướ ẫ
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sin x cosx) (tan x 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
. Đ t ặ
t tan x 1= +
ĐS:
3
I8
=
.
Ví d 9.ụ Tính tích phân
3
1
2
dx
I(1 x) 2x 3
=+ +
ò
.
H ng d n:ướ ẫ
Đ t ặ
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln 2
=
.
Ví d 10.ụ Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=+
ò
.
H ng d n:ướ ẫ
Đ t ặ
32
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x (t 1)
-
=Þ
++
ò
L
; đ t ặ
t tan u=L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=+
ò
, r i đ t ồ ặ
t 1 x= +
s tính nhanh h n.ẽ ơ
2. Đ i bi n s d ng 1ổ ế ố ạ
Cho hàm s f(x) liên t c trên đo n [a;b], đ tính ố ụ ạ ể
( )
b
a
f x dx
∫
ta th c hi n các b c sau:ự ệ ướ
B c 1.ướ Đ t x = u(t) và tính ặ
/
( )dx u t dt=
.
B c 2.ướ Đ i c n: ổ ậ
, x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
.
B c 3.ướ
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫
.
Ví d 1.ụ Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=-
ò
.
Gi iả
Đ t ặ
x sin t, t ; dx costdt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= = = =Þ Þ
6 6
2
0 0
cost cost
I dt dt
cost
1 sin t
p p
= =Þ-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ò
.
V y ậ
I6
p
=
.
Ví d 2.ụ Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.
2
H ng d n:ướ ẫ
Đ t ặ
x 2sin t=
ĐS:
I=p
.
Ví d 3.ụ Tính tích phân
1
2
0
dx
I1 x
=+
ò
.
Gi iả
Đ t ặ
2
x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p÷
ç
= - = +Î Þ
÷
ç÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t 4
p
= = = =Þ Þ
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt 4
1 tan t
p p
+p
= = =Þ+
ò ò
.
V y ậ
I4
p
=
.
Ví d 4.ụ Tính tích phân
3 1
2
0
dx
Ix 2x 2
-
=+ +
ò
.
H ng d n:ướ ẫ
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
Ix 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đ t ặ
x 1 tan t+ =
ĐS:
I12
p
=
.
Ví d 5.ụ Tính tích phân
2
2
0
dx
I4 x
=-
ò
.
ĐS:
I2
p
=
.
Ví d 6.ụ Tính tích phân
3 1
2
0
dx
Ix 2x 2
-
=+ +
ò
.
ĐS:
I12
p
=
.
3. Các d ng đ c bi tạ ặ ệ
3.1. D ng l ng giácạ ượ
Ví d 11 (b c sin l ).ụ ậ ẻ Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=ò
.
H ng d n:ướ ẫ
Đ t ặ
t cosx=
ĐS:
2
I15
=
.
Ví d 12 (b c cosin l ).ụ ậ ẻ Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=ò
.
H ng d n:ướ ẫ
Đ t ặ
t sin x=
ĐS:
8
I15
=
.
3
Ví d 13 (b c sin và cosin ch n).ụ ậ ẵ Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=ò
.
Gi iả
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx cos2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
32
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
æ ö p
÷
ç
= - + =
÷
ç÷
ç
è ø
.
V y ậ
I32
p
=
.
Ví d 14.ụ Tính tích phân
2
0
dx
Icosx sin x 1
p
=+ +
ò
.
H ng d n:ướ ẫ
Đ t ặ
x
t tan 2
=
.
ĐS:
I ln 2=
.
Bi u di n các hàm s LG theo ể ễ ố
tan 2
a
t=
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. D ng liên k tạ ế
Ví d 15.ụ Tính tích phân
0
xdx
Isin x 1
p
=+
ò
.
Gi iả
Đ t ặ
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p p Þ
( )
0
0
( t)dt t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
-pp
= - = -Þ- + + +p
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= - =p Þ
+ +
ò ò
( ) ( )
22
0 0
dt dt
t
t t
2 4 cos
sin cos 2 4
2 2
p p
p p
= = p
-
+
ò ò
20
0
t
d2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos 2 4
p p
æ ö
p÷
ç-÷
ç÷
÷
çæ ö
è ø
p p p÷
ç
= = - = p
÷
ç÷
÷
ç
æ ö è ø
p÷
ç-÷
ç÷
÷
ç
è ø
ò
.
V y ậ
I=p
.
T ng quát:ổ
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví d 16.ụ Tính tích phân
22007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=+
ò
.
Gi iả
Đ t ặ
x t dx dt
2
p
= - = -Þ
4
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p-
= -Þp p
- + -
ò
22007
2007 2007
0
cos t dx J
sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
M t khác ặ
2
0
I J dx 2
p
p
+ = =
ò
(2). T (1) và (2) suy ra ừ
I4
p
=
.
T ng quát:ổ
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx ,n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = Î
+ +
ò ò Z
.
Ví d 17.ụ Tính tích phân
62
0
sin x
I dx
sin x 3 cosx
p
=+
ò
và
62
0
cos x
J dx
sin x 3 cosx
p
=+
ò
.
Gi iả
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx 2
sin x 3 cosx sin x 3
p p
+ = = p
++
ò ò
Đ t ặ
t x dt dx
3
p
= + =Þ
⇒
1
I J ln 3
4
+ =
(2).
T (1) và (2)ừ⇒
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Ví d 18.ụ Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=+
ò
.
Gi iả
Đ t ặ
2
x tan t dx (1 tan t)dt= = +Þ
x 0 t 0, x 1 t 4
p
= = = =Þ Þ
()
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
p p
+
= + = +Þ+
ò ò
.
Đ t ặ
t u dt du
4
p
= - = -Þ
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= = = =Þ Þ
0
4
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du
4
p
p
é æ öù
p÷
ç
ê ú
= + = - + -Þ÷
ç÷
÷
ç
ê ú
è ø
ë û
ò ò
4 4
0 0
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
p p
æ ö æ ö
-÷ ÷
ç ç
= + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
+ +
ò ò
( )
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
p p
p
= - + = -
ò ò
.
5