WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN Đ : TI P TUY N V I TR C T A Đ - CÁC TI M C NỀ Ế Ế Ớ Ụ Ọ Ộ Ệ Ậ
CHUYÊN Đ TI P TUY N V I TI M C N - V I TR C T A ĐỀ Ế Ế Ớ Ệ Ậ Ớ Ụ Ọ Ộ
BÀI TOÁN :
Cho hàm s : y=f(x;m), tìm m đ hàm s có C c đ i , c c ti u cùng v i m t đi m I t oố ể ố ự ạ ự ể ớ ộ ể ạ
thành m t tam giác đ c bi t ( cân, đ u , vuông ).ộ ặ ệ ề
Ví d 1ụ. Cho hàm s ố
( )
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1 1y x x m x m= − + + − − −
a. Kh o sát và v đ th (1) v i m=1ả ẽ ồ ị ớ
b. Tìm m đ hàm s (1) có c c đ i , c c ti u , đ ng th i các đi m c c đ i và c c ti uể ố ự ạ ự ể ồ ờ ể ự ạ ự ể
cùng v i g c t a đ O t o thành m t tam giác vuông t i O.ớ ố ọ ộ ạ ộ ạ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th .ọ ự ẽ ồ ị
b. Ta có :
( )
2 2
' 3 6 3 1y x x m= − + + −
- Đ hàm s có c c đ i , c c ti u thì : ể ố ự ạ ự ể
( )
2 2
' 3 6 3 1y x x m= − + + −
=0 có hai nghi m phân bi tệ ệ
( )
2 2
1
2
' 9 9 1 0 9 0; 0 (*)
3 3 1
3
3 3 1
3
m m m
m
x m
m
x m
∆= + −> >� � ۹
− −
= = +
−
− +
= = −
−
- V iớ đi u ki n (*) hàm s có c c đ i , c c ti u .G i ề ệ ố ự ạ ự ể ọ
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
là hai đi m c cể ự
đ i ,c c ti u c a hàm s . N u A,B cùng v i O t o thành tam giác vuông t i O thì OAạ ự ể ủ ố ế ớ ạ ạ
vuông góc v i OB : ớ
. 0OA OB =
uuur uuur
- Ta có :
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
; ; ; . 0 1OA x y OB x y OA OB x x y y= + =�
uuur uuur uuur uuur
- B ng phép chia ph ng trình hàm s cho đ o hàm c a nó , ta có :ằ ươ ố ạ ủ
( ) ( )
( )
( )
3 2 2 2 2 2 2 2
1
3 3 1 3 1 3 6 3 1 2 2 1
3 3
x
x x m x m x x m m x m
� �
− + + − − − = − − + + − + − +
� �
� �
- Ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr : ươ ườ ẳ ể ự ị
( )
2 2
2 2 1y m x m= − +
- Do đó :
- Áp d ng Vi-ét cho (1) ụ
1 2
2
1 2
2
. 1
x x
x x m
+ =
= −
, thay vào :
( ) ( ) ( )
4 2 2 2 2 2 2 4
1 2
4 1 2( 1) ( 1) 4 1 1y y m m m m m m m
� �
= − − + + + = + + −�� �
- V y : ậ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2
0 (1 ) 4 1 1 0 1 4 1 1 0x x y y m m m m m m m
� �
+ = − + − + − = − + − − =� � � �
Hay :
( ) ( )
( )
2
2 2 4
2
4 2
1
1
1 0
1 3 4 4 0; *
36
4 4 3 0 22
m
m
m
m m m m
m m m
=
=
− =
− + − = ���
=
− + + = =
Nguy n Đình S - ĐT : 02403833608ễ ỹ 1
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN Đ : TI P TUY N V I TR C T A Đ - CÁC TI M C NỀ Ế Ế Ớ Ụ Ọ Ộ Ệ Ậ
K t lu n : V i m th a mãn (*) thì hai đi m c c đ i , c c ti u c a hàm s cùng v i Oế ậ ớ ỏ ể ự ạ ự ể ủ ố ớ
t o thành tam giác vuông t i O .ạ ạ
Ví d 2ụ.Cho hàm s ố
( )
3 2
3 4y x x C= − +
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)ả ự ế ẽ ồ ị
b. G i d là đ ng th ng đi qua đi m A(-1;0) v i h s góc là k ( k thu c R). Tìm k đọ ườ ẳ ể ớ ệ ố ộ ể
đ ng th ng d c t (C)t i ba đi m phân bi t và hai giao đi m B,C ( B,C khác A ) cùngườ ẳ ắ ạ ể ệ ể
v i g c t a đ O t o thành m t tam giác có di n tích b ng 1.ớ ố ọ ộ ạ ộ ệ ằ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C)ọ ự ẽ ồ ị
b. Đ ng th ng d đi qua A(-1;0) v i h s góc là k , có ph ng trình là : y=k(x+1)=kx+kườ ẳ ớ ệ ố ươ
.
- N u d c t (C) thì : ế ắ
( )
( )
3 2
3 4 1
2
x x kx k
y kx k
− + = +
= +
, có ba nghiêm phân bi t ệ
( )
( )
3 2 2
3 4 0 1 4 4 0x x kx k x x x k− − + − = + − + − =� �
có hai nghi m phân bi t .ệ ệ
2
1
4 4 0
x
x x k
= −
� �
− + − =
V y ậ
2
' 0
( ; ) 4 4 0 0 9(*)
( 1; ) 9 0
k
g x k x x k k k
g k k
∆ = >
< =− +− =ڹ �� − = −
V i đi u ki n : (*) thì d c t (C) t i ba đi m phân bi t A,B,C .V i A(-1;0) , do đó B,C cóớ ề ệ ắ ạ ể ệ ớ
hoành đ là hai nghi m c a ph ng trình : ộ ệ ủ ươ
- G i ọ
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;B x y C x y
v i ớ
1 2
;x x
là hai nghi m c a ph ng trình : ệ ủ ươ
2
4 4 0x x k− + − =
. Còn
1 1 2 2
;y kx k y kx k= + = +
.
- Ta có :
( )
( )
( )
( ) ( )
22 2
2 1 2 1 2 1 2 1
; 1 1BC x x k x x BC x x k x x k= − − = − + = − +�
uuur
- Kho ng cách t O đ n đ ng th ng d : ả ừ ế ườ ẳ
2
1
k
h
k
=+
- V y theo gi thi t :ậ ả ế
2 3 3 3
3
2
1 1 1 1 1
. . 2 1 2 1
2 2 2 4 4
1
k
S h BC k k k k k k
k
= = + = = = = =� � �
+
Đáp s : ố
3
1
4
k=
, thì th a mãn yêu c u c a bài toán .ỏ ầ ủ
Ví d 3ụ.Cho hàm s ố
( )
2
m
m x
y H
x
−
=+
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (H) v i m=1ả ự ế ẽ ồ ị ớ
b. Tìm m đ đ ng th ng d : 2x+2y-1=0 c t ể ườ ẳ ắ
( )
m
H
t i hai đi m phân bi t A,B sao choạ ể ệ
tam giác OAB có di n tích b ng 3/8 .ệ ằ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (H).ọ ự ẽ ồ ị
Nguy n Đình S - ĐT : 02403833608ễ ỹ
2
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN Đ : TI P TUY N V I TR C T A Đ - CÁC TI M C NỀ Ế Ế Ớ Ụ Ọ Ộ Ệ Ậ
b. Đ ng th ng d vi t l i : ườ ẳ ế ạ
1
2
y x= −
. N u d c t ế ắ
( )
m
H
t i hai đi m A,B thì t a đ A,B làạ ể ọ ộ
nghi m c a h :ệ ủ ệ
( ) ( )
2
117
1 8 2 2 0
2 2 ( ; ) 2 2 2 0 1 (*)
16
1( 2; ) 4 2 0 2
2
m x xmm
xg x m x x m g m m m
y x
−
= −
∆ = − − > <
� � �
+= + + − =� �
� � �
− = +
� �
= −
- G i ọ
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 1
; ; ; ; 2
2 2
A x x B x x AB x x x x AB x x x x x x
� � � �
− − = − − = − + − = −� �
� � � �
� � � �
uuur
- Kho ng cách t O đ n d là h , thì : ả ừ ế
2 2
11
2 2
2 2
h−
= =
+
- Theo gi thi t : ả ế
2 1
1 1 1 1 1 17 16 3
. 2.
2 2 4 4 2 8
2 2
m
S AB h x x a
∆ −
= = − = = =
Hay :
17
1 17 16 3 1
; 17 16 3 16
4 2 8 2
16 8
m
mm m
m
<
−
= − = =� ��
=
, th a mãn đi u ki n (*) .ỏ ề ệ
- Đáp s : m=1/2 .ố
Ví d 4.ụCho hàm s ố
( )
2 3
2
x
y C
x
+
=+
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)ả ự ế ẽ ồ ị
b. Tìm nh ng đi m M thu c (C) sao cho ti p tuy n t i M c t hai ti m c n t i A,B saoữ ể ộ ế ế ạ ắ ệ ậ ạ
cho vòng tròn ngo i ti p tam giác IABcó bán kính nh nh t . V i I là giao hai ti m c nạ ế ỏ ấ ớ ệ ậ
.
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C) .ọ ự ẽ ồ ị
b.Ti p tuy n c a (C) t i ế ế ủ ạ
( )
0 0
;M y
là
( ) ( )
0
2
0
0
1 1
: 2 2
2
d y x x x
x
� �
= − + −
� �
� � +
+
� �
- d c t ti m c n đ ng : x=-2 t i A ắ ệ ậ ứ ạ
( ) ( )
0
2
0 0
0
1 1 2
2 2 2
2 2
2
A
y x x x
x
= − − + − = −�+ +
+
- d c t ti m c n đ ng : y=2 t i B ắ ệ ậ ứ ạ
( ) ( )
0 0
2
0
0
1 1
2 2 2 2
2
2
B B
x x x x
x
x
= − + − = −� �
+
+
- Nh v y : ư ậ
( ) ( )
0
0
1
2;2 ; 2 2;2 ; 2;2
2
A B x I
x
� �
− − + −
� �
+
� �
- Ta có :
( )
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1
0; ; 2 4;0 ; 2 4; ; . .2 2 1
2 2 2 2 2
IA IB x AB x S IA IB x
x x x
� � � �
− + + − = = + =�
� � � �
+ + +
� � � �
uur uur uuur
Nguy n Đình S - ĐT : 02403833608ễ ỹ 3
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN Đ : TI P TUY N V I TR C T A Đ - CÁC TI M C NỀ Ế Ế Ớ Ụ Ọ Ộ Ệ Ậ
Do :
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 2
2
0
02
00
1
2 2 4 2 2
. . . . 1 1 1
1 2 4 2 . 1
4 4 2 4 2 2
x x x
IA IB AB IA IB AB
S R x
R x x
+ + + +
= = = = = + =� �
++
D u b ng xáy ra khi :ấ ằ
( ) ( ) ( )
0 0
2 4
0 0 0
2
00 0
1
2 2 2
1 1 1 2
4 2 ; 2 ; 2 1
42
22 2 2
2
x y
x x x
xx y
= − − = +�
+ = + = + =� � � �
+= − + = −�
-K t lu n : Có hai đi m M th a mãn yêu c u bài toán .ế ậ ể ỏ ầ
Ví d 5ụ. Cho hàm s ố
( ) ( )
2; 0;1
m
m x
y C A
x m
−
=+
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) v i m=1ả ự ế ẽ ồ ị ớ
b. G i I là giao hai ti m c n . Tìm m đ trên đ th t n t i đi m B sao cho tam giácọ ệ ậ ể ồ ị ồ ạ ể
IAB vuông cân t i A . ạ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C) .ọ ự ẽ ồ ị
b. Đ th hàm s có ti m c n đ ng : x=-m; ti m c n ngang : y=-1, do đó I(-m;-1) .ồ ị ố ệ ậ ứ ệ ậ
-N u B thu c đ th hàm s thì : ế ộ ồ ị ố
0
0
3
; 1 m
B x x m
� �
− +
� �
+
� �
- Ta có :
( )
0 0
0 0
3 6
;2 ; ; 2 ; . 4
m m
IA m AB x IA AB mx
x m x m
� �
= − = + −�
� �
+ +
� �
uur uuur uur uuur
- N u tam giác IAB vuông cân t i A thì :ế ạ
0
0
00
22
2 2
2 2 2 2 0
00
0
63
4 0 22
. 0
3
4 2 42
mmx
m
mx x m x m
IA AB
mxIA AB m
m x m x
x m
+ − = − = −
++
=
� � �
� � �
� � �
� �
=� �
� �
+ = + − + = + −
� � � �
� �
+� �
� �
uur uuur
0
0
0 0
2
0
22
0
2
22
33
22
21
3 4 0
2
4
3
43 4 0
2
2
x
x
mx x
mmm
x m m
m m
m
m
m
xm m
m
m
=
=
=
− = −
� �
− =
+=� � � � �
− − =
� � � �
−
� � � � =
=+ − =
− = −
+
- V y v i x=-2 , thì y=ậ ớ
( )
( )
( )
( )
0 1 2;0
4 1 2; 4
1 4 2;1
5 4 2;5
m B
m B
m B
m B
= − −� �
− = − −� �
= − −� �
= −� �
; V i x=2 , thì y=ớ
( )
( )
( )
( )
4 1 2; 4
0 1 2;0
5 4 2;5
1 4 2;1
m B
m B
m B
m B
− = − −� �
=
= −
=
Nguy n Đình S - ĐT : 02403833608ễ ỹ
4
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN Đ : TI P TUY N V I TR C T A Đ - CÁC TI M C NỀ Ế Ế Ớ Ụ Ọ Ộ Ệ Ậ
Ví d 6.ụ Cho hàm s ố
( )
2 1
1
x
y C
x
+
=+
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) ả ự ế ẽ ồ ị
b.Tìm tham s m đ đ ng th ng d : y=-2x+m c t đ th t i hai đi m phân bi t A,Bố ể ườ ẳ ắ ồ ị ạ ể ệ
sao cho di n tích tam giác OAB b ng ệ ằ
3
.
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C) .ọ ự ẽ ồ ị
b. N u d c t (C) t i hai đi m phân bi t A,B thì :ế ắ ạ ể ệ
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 1 ( ; ) 2 4 1 0 1
24 8 1 0
12( 1; ) 1 0
2
xg x m x m x m
x m m m
xy x m g m
y x m
+
= − − + − =
= − + ∆ = − − − >
� � �
� � �
+
� � �
= − + − = −
= − +
2
8 0m m R+ >� � �
. Ch ng t v i m i m d luôn c t (C) t i hai đi m phân bi t A,Bứ ỏ ớ ọ ắ ạ ể ệ
- G i : ọ
( ) ( )
1 1 2 2
; 2 ; ; 2A x x m B x x m− + − +
. V i : ớ
1 2
,x x
là hai nghi m c a ph ng trình (1) ệ ủ ươ
- Ta có :
( )
( )
( ) ( )
1
2 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1
;2 4 5AB x x x x AB x x x x x x= − − = − + − = −�
uuur
.
- G i H là hình chi u vuông góc c a O trên d , thì kho ng cách t O đ n d là h :ọ ế ủ ả ừ ế
2
5
2 1
m m
h= =�+
- Theo gi thi t : ả ế
2 1 2
1 1 1 1
. 5 . . 8 3
2 2 2 2 4
5
x x
S AB h m
−∆
= = = = + =
V y : ậ
2 2 2 2 2
8 4 .3 8 4 .3 40 2 10 (*)m m m m+ = + = = =� � �
V i m th a mãn đi u ki n (*) thì d c t (C) t i A,B th a mãn yêu c u bài toán .ớ ỏ ề ệ ắ ạ ỏ ầ
Ví d 7ụ. Cho hàm s ố
( ) ( )
3 2
3 3 1 1 3
m
y x x m x m C= − + − + +
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) v i m=1 .ả ự ế ẽ ồ ị ớ
b. Tìm m đ hàm s có c c đ i , c c ti u , đ ng th i các đi m c c đ i và c c ti uể ố ự ạ ự ể ồ ờ ể ự ạ ự ể
cùng v i g c t a đ O t o thành m t tam giác có di n tích b ng 4 .ớ ố ọ ộ ạ ộ ệ ằ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C).ọ ự ẽ ồ ị
b. Đ hàm s có c c đ i , c c ti u thì : ể ố ự ạ ự ể
( )
2
' 3( 2 1 ) 0 ; 0 *y x x m m= − + − > ∆ = >�
- V i đi u ki n (*), hàm s có CĐ,CT . G i ớ ề ệ ố ọ
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
là hai đi m c c tr . V iể ự ị ớ
1 2
,x x
là hai nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
2
( 2 1 )x x m− + −
=0 (1) .
- B ng phép chia ph ng trình hàm s cho đ o hàm c a nó , ta đ c :ằ ươ ố ạ ủ ượ
1'( ; ) 2 2 2
3 3
x
y y x m mx m
� �
= − − + +�� �
� �
. Suy ra ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m c cươ ườ ẳ ể ự
tr là d : y= -2mx+2m+2 .ị
1 1 2 2
2 2 2; 2 2 2y mx m y mx m= − + + = − + +�
.
- Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
;2 ( ) 4 4 1AB x x m x x AB x x m x x x x m= − − = − + − = − +�
uuur
- G i H là hình chi u vuông góc c a O trên (AB), h là kho ng cách t O đ n AB thì :ọ ế ủ ả ừ ế
Nguy n Đình S - ĐT : 02403833608ễ ỹ 5