GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 1
CHUYÊN ĐỀ 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K.
a) f được gọi là đồng biến trên K nếu:
1 2 1 2 1 2
x , x K , x < x f(x ) < f(x )
b) f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
1 2 1 2 1 2
x , x K , x < x f(x ) > f(x )
2. Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên I thì:
f'(x) 0, x K
b) Nếu f nghịch biến trên I thì:
f'(x) 0, x K
3. Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu
f'(x) 0, x I
thì f đồng biến trên I.
b) Nếu
f'(x) 0, x I
thì f nghịch biến trên I.
c)Nếu
f'(x) 0, x I
thì f không đổi trên I.
Chú ý:
a) Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu
f'(x) 0, x I
(hoặc
f'(x) 0, x I
) và
f'(x) 0
tại
một số hữu hạn điểm của I thì f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
b) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm
f'(x) 0
trên khoảng (a;b) thì f đồng biến
trên [a;b]. Tương tự cho trường hợp f nghịch biến.
4 . Các bước xét chiều biến thiên của hàm số f (sự đồng biến nghịch biến của hàm số f).
-Tìm tập xác định.
-Tính f’(x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
-Lập bảng biến thiên.
-Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
PP:
-Tìm TXĐ của hàm số.
-Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
-Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
-Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
BÀI TÂP
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
2
3 2 4 2
3 2 x 2x + 3
) 2x + 3x + 1 b) y = 2 3 ) )
1 1
x
a y x x c y d y
x x
Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
3
2
2 2
) 25 ) ) )
100
16 6
x x x
a y x b y c y d y x
x x
Bài 3. Chứng minh rằng:
a)Hàm số
2
1
y x x
đồng biến trên khoảng
1
1;
2
và nghịch biến trên khoảng 1
;1
2
.
b)Hàm số 2
20
y x x
nghịch biến trên khoảng
; 4

và đồng biến trên khoảng
5;

.
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
5
) sin , 0;2 ) 2cos , ;
6 6
a y x x x b y x x x
Bài 5. Chứng minh rằng:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 2
a)
cos2 2 3
f x x x
nghịch biến trên R.
b)
2
cos
f x x x
đồng biến trên R.
Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y = 3 2
2x + 3x - 1
b) y = 3 2
-x + 2x - x + 1
c) y = 3 2
x - 3x + 9x + 1
d) y = 3 2
-x + 2x - 5x + 2
Bài 7. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y = 4 2
x - 2x + 5
b) y =
2 2
x (2 - x )
c) y =
42
x
+ x - 3
4
d) y = 4 2
-x - x + 1
Bài 8. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y =
x + 1
x
b) y =
3x + 1
1 - x
c) y =
2
x - 2x
1 - x
d) y =
2
-x - 2x + 3
x + 2
e) y =
2
2
x - x + 1
x + x + 1
f) y = 2
2x
x 9
g) y = x +
1
x
b) y = x -
1
x
Bài 9. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y = 2
x - 2x + 3
b) y =
x + 1
x - 1
c) y = 2
x - 4
d) y =
2
x 1 - x
DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SÔ
PP:
Sử dụng các kiến thức sau đây:
1.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu '( ) 0,
f x x K
thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu '( ) 0,
f x x K
thì f(x) nghịch biến trên K.
2.Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức 2
4
b ac
. Ta có:
0
( ) 0,
0
a
f x x R
0
( ) 0,
0
a
f x x R
3.So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2
( )
g x ax bx c
với số 0:
1 2
0
0 0
0
x x P
S
1 2
0
0 0
0
x x P
S
1 2
0 0
x x P
4.Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 3
( ) ( ), ax ( ) ( )
( ) ( ), ax ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K m f x g m
f x g m x K m f x g m
Giả sử tồn tại
min ( )
x K
f x
( ) ( ), min ( ) ( )
( ) ( ), min ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K f x g m
f x g m x K f x g m
Chú ý: để xét tính đơn điệu dạng hàm số chứa tham số còn có thể vận dụng tam thức bậc 2 tuy nhiên nó ko
năm trong chương trình dạy
BÀI TẬP
A – HÀM ĐA THỨC
Bài 1
Cho hàm số 3 2
3( 1) 3 ( 2) 1
y x m x m m x
. Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R. 2
' 3 6( 1) 3 ( 2)
y x m x m m
a. Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
3 0
' 6 9 0
3
2
a
m
m
Bài 2
Cho hàm số 3 2
1
3
y mx mx x
. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 2 1
y mx mx
Trường hợp 1:
0 ' 1 0
m y
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
2
2
2 1 0,
0
' 0
0
( ô )
0 1
mx mx x
a m
m m
m
v nghiem
m
b. Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
3 0
( ô )
' 6 9 0
a
v nghiem
m
Bài 3
Cho hàm số 2( )
y x m x m
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
3 2
'
y x mx m
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 4
3 2
2
0,
1 0
0
0
x mx m x
a
m
m
Bài 4
Cho hàm số 3 2
2 ( 1) 3
y x x m x m
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R. 2
' 3 4 1
y x x m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
2
3 4 1 0,
3 0
' 3 7 0
7
3
x x m x
a
m
m
Bài 5
Cho hàm số 2
( ) 6
y x m x mx
. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Lời giải: TXĐ: D = R. 2
' 3 2
y x mx m
Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
2
2
3 2 0,
3 0
3 0
0 3
x mx m x
a
m m
m
Vậy: Với
0 3
m
thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 6
Cho hàm số 3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
Lời giải: TXĐ: D = R. 2
' 2( 1) 3
y x m x m
Hàm số luôn luôn giảm khi
' 0,
y x
2
2
2( 1) 3 0,
1 0
( ô )
' 4 0
x m x m x
a
v nghiem
m m
Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Bài 7
Cho hàm số 3 2
1
( 1) 2( 1) 2
3
y x m x m x
. Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 2( 1)
y x m x m
Hàm số luôn tăng trên R khi
' 0,
y x
2
2( 1) 2( 1) 0,
1 0
' ( 1)( 3) 0
1 3
x m x m x
a
m m
m
Vậy: Với
1 3
m
thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 8
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 5
Cho hàm số 3 2
1 1 3
(sin cos ) sin 2
3 2 4
y x m m x x m
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
23
' (sin cos ) sin 2
4
y x m m x m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
23
(sin cos ) sin 2 0,
4
1 0
1 2sin 0
1 2sin 0
2 2 2
6 6
12 12
x m m x m x
a
m
m
k m k
k m k
Bài 9
Định m để hàm số 3 2
1
2(2 ) 2(2 ) 5
3
m
y x m x m x
luôn luôn giảm
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' (1 ) 4(2 ) 4 2
y m x m x m
Trường hợp 1:
1
1 ' 4 2 0
2
m y x x
nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1
m
Hàm số luôn giảm khi 2
1 0 1
2 3
2 3
' 2 10 12 0
a m mm
m
m m
Bài 10
Cho hàm số 2 3 2
( 5 ) 6 6 6
y m m x mx x
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải
TXĐ: D = R
2 2
' 3( 5 ) 12 6
y m m x mx
Trường hợp 1: 2
5 0 0, 5
m m m m
+
0 ' 6 0
m y
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+
5 ' 60 6
m y x
m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: 2
5 0
m m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
2 2
3( 5 ) 12 6 0,
m m x mx x
2
2
5 0
' 2 10 0
0 5
a m m
m m
m
Vậy: Với
0 5
m
thì yêu cầu bài toán được thỏa
B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Bài 11
Tìm m để hàm số
2
3
mx
y
x m
luôn đồng biến