CHUYÊN Đ 1Ề SO SÁNH HAI LU TH A
Ừ
Ỹ
nhiên t ọ ạ m t trong lo i ừ ộ
A. M c tiêu. ụ - Khi h c ki n th c v lu th a v i s mũ t ặ ự ỹ ừ ườ ậ
ế bài t p mà các em th ầ ỹ ừ ọ
ứ i bài t p. ứ ề ỹ ừ ớ ố ng g p là so sánh hai lu th a. - Giáo viên c n b sung cho h c sinh v ki n th c so sánh hai lu th a. ổ - T đó h c sinh v n d ng linh ho t vào gi ạ ậ ụ ề ế ả ừ ậ ọ
ạ
ng đ a v so sánh hai lu th a cùng c s ườ ư ề ỹ ừ ơ ố ộ ế ể ỹ ừ
B. N i dung chuy n đ t. ề I. Ki n th c c b n. ứ ơ ả 1. Đ so sánh hai lu th a, ta th ho c cùng s mũ. ặ ố
+ N u hai lu th a có cùng c s (l n h n 1) thì lu u th a nào có s ơ ố ớ ừ ơ ỹ ố
ỹ ừ ế mũ l n h n s l n h n. ơ ơ ẽ ớ ớ
N u m>n thì a
m>an (a>1).
ế
ơ ố ớ + N u hai lu th a có cùng s mũ (>0) thì lu th a nào có c s l n ỹ ừ ỹ ừ ế ố
h n s l n h n. ơ ẽ ớ ơ
N u a>b thì a
n>bn ( n>0).
ế
ể ỹ ừ
2. Ngoài hai cách trên, đ so sánh hai lu th a ta còn dùng tính ch t b c c u, ấ ắ ầ tính ch t đ n đi u c a phép nhân.
ơ ớ
ỹ ừ ủ ề
ấ ơ ệ ủ (a0). ớ 10 và 1615, s nào l n h n. Ví d : So sánh 32 ụ ố H ng d n: ẫ ướ Các c s 32 và 16 tuy khác nhau nh ng đ u là lu th a c a 2 lên ta tìm ư ơ ố 10 và 1615 v lu th a cùng c s 2. ơ ố cách đ a 32ư ề ỹ ừ
3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260 Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
ụ
ơ ớ ố
N* )
ướ
II. Áp d ng làm bài t p. ậ Bài 1: So sánh các s sau, s nào l n h n? ố a) 2711 và 818. b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n ˛ H ng d n: ẫ a) Đ a v cùng c s 3. ư ề b) Đ a v cùng c s 5. ư ề c) Đ a v cùng s mũ 12. ư ề d) Đ a v cùng s mũ n ư ề ơ ố ơ ố ố ố
Bài 2: So sánh các s sau, s nào l n h n? ố ố ớ ơ
ẫ
22.
a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498 H ng d n: ướ a) Đ a hai s v d ng m t tích trong đó có th a s gi ng nhau 5 ư ừ ố ố ố ề ạ ộ
13.
ừ ố ố
ố ề ạ ố ề ạ ỹ ừ ơ ố ư ư ộ ộ
b) Đ a hai s v d ng m t tích trong đó có th a s gi ng nhau là 2 c) Đ a hai s v d ng m t tích 2 lu th a c s là 7 và 3. ớ Bài 3: So sánh các s sau, s nào l n h n. ố ố ơ
ẫ ướ
ơ ớ ệ
ẫ ướ
t:ế
ẫ ướ
ư ơ ố
ỏ ơ ỏ ơ (cid:222) lu th a nh h n
ơ ố (cid:222) x. ư
8.
2+23+24+....+210.
ướ
ữ ố ủ ọ
8.
ớ
ướ ẫ
ữ ố ữ ố ệ ệ ụ
8.
ậ
ữ ố ề ệ ớ
ng h p không có lu th a. c bao nhiêu: +Tr ữ ố ướ ỹ ừ ườ ẫ
ợ ỹ ừ
ỹ ừ
a) 19920 và 200315. b) 339 và 1121. H ng d n : a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540. 200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545 b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121. Bài4: So sánh 2 hi u,hi u nào l n h n? ệ 72 45-7244và 72 44-7243. H ng d n: 7245-7244=7245(72-1)=7245.71. 7244-7244=7244(72-1)=7244.71. Bài5:Tìm x N˛ bi a, 16x<1284. b, 5x.5x+1.5x+2 £ 100...0:218. H ng d n: a, Đ a 2v v cùng c s 2. ế ề (cid:222) s mũ nh h n. ố ỹ ừ T đó tìm x. ừ b, Đ a 2v v cùng c s 5 ế ề Bài6:Cho S=1+2+22+23+.....+29. Hãy so sánh S v i 5.2 ớ H ng d n: 2S=2+2 ẫ (cid:222) 2S-S=210-1(210=22.28=4.28<5.28). ữ ố Bài7: G i m là các s có 9ch s mà trong cách ghi c a nó không có ch s 0. ố Hãy so sánh m v i 10.9 H ng d n:Có 9 cách ch n ch s hàng trăm tri u. ọ Có 9 cách ch n ch s hàng ch c tri u.... ọ (cid:222) m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=99. Mà 99 = 9.98 < 10.98. V y: m < 10.9 t s l n nh t b ng cách dùng3 ch s 1,2,3v i đi u ki n m i Bài8: Hãy vi ỗ ấ ằ ế ố ớ ch s dùng 1 l n và ch 1 l n. ầ ỉ ầ t c đ t t H ng d n:Vi ế ấ ả ượ +Có dùng lu th a. +Xét lu th a có:1ch s . ữ ố 2ch s .ữ ố Hãy so sánh các s đó. S l n nh t là 3 ố 21. ố ớ ấ
Bài9: So sánh a) 3131 và 1739. b) và
1 212
1 355
31<3231=2155; 1739>1639 = 2156.
ướ
H ng d n: a) 31 ẫ b) So sánh 221 v i 5ớ 35
Ỹ
Ủ
Ộ
Ữ Ố Ậ
nhi u khi ta không c n bi ế t ầ ị ủ
t có ố ộ ạ ế ẳ ỉ ầ ế t giá tr c a m t s mà ch c n bi ộ ố ố
i cu i hay không ta ch c n so 2 ch s cu i cùng.Trong toán ữ ữ ố ố ề ữ ố ậ ố
ặ ế ả ộ ố
ỉ ầ
ộ ọ ế ủ ữ ố ậ ế ữ ố ậ ữ
ộ ị ỹ ừ
i bài t p có liên quan. ậ ả ể ữ ụ
ạ ề ọ ộ
ế
nào cũng có có t n cùng là 5 v i b t kì s l ậ ủ ố ẻ ớ ấ
ộ ố ẵ
nhiên nào cũng là m t s ch n. nhiên nào ố ự ớ ấ ớ ấ ộ ố ẵ ộ ố ẵ ủ
t. ộ ỹ ừ ố ặ ữ ế ệ
ộ ữ ố ậ ữ ố ậ
ố ỹ ừ ậ
ố ậ c có s t n ỹ ừ ượ ậ ằ ố
c s có t n cùng ậ ượ ố ỹ ừ ậ ằ
ỹ ừ
ố ằ
ở
ỹ ừ
ố ằ
ỹ ừ ằ ố
ươ ậ ằ
ng thì không có t n cùng b ng 2 ; 3 ; 7 ; 8. ậ
r ng các t ng sau chia h t cho 10. ỏ ằ ế ổ
ch s t n cùng c a t ng b ng 0. ỏ ữ ố ậ ướ ằ
ủ ổ nhiên n : ọ ố ự ớ
ẫ Ch ng t ằ ứ ế ế
CHUYÊN Đ 2:Ề Ừ . CH S T N CÙNG C A M T TÍCH,M T LU TH A Ộ I.Đ t v n đ . ề ặ ấ - Trong th c t ự ế m t hay nhi u ch s t n cùng c a nó.Ch ng h n, khi so s mu n bi ủ ề trúng nh ng gi ỉ ầ h c,khi xét m t s có chia h t cho 2;4;8 ho c chia h t cho 5;25;125 hay không ọ ta ch c n xét 1,2,3 ch s t n cùng c a s đó. ủ ố - Trang b cho h c sinh nh ng ki n th c tìm ch s t n cùng c a m t tích, ứ m t lu th a. - H c sinh n m v ng ki n th c này đ áp d ng gi ứ ế ắ II. N i dung c n truy n đ t. ầ I.Ki n th c c b n. ứ ơ ả 1.Tìm ch s t n cùng c a tích. ủ ữ ố ậ - Tích các s l . là m t s l ộ ố ẻ ố ẻ Đ c bi t tích c a m t s l ộ ố ẻ ệ ặ ch s t n cùng là 5. ữ ố ậ - Tích c a m t s ch n v i b t kì m t s t ủ ộ ố ự t, tích c a m t s ch n có t n cùng là 0 v i b t kì s t Đ c bi ệ ặ ậ cũng có ch s t n cùng là 0. ữ ố ậ 2. Tìm ch s t n cùng c a m t lu th a:chú ý đ n nh ng s đ c bi ủ a,Tìm m t ch s t n cùng. -Các s có t n cùng là 0;1;5;6 nâng lên lu th a nào(khác0) cũng t n cung ậ b ng .0 ; 1 ; 5 ; 6. ằ - Các s có t n cùng b ng 2 ; 4 ; 8 nâng lên lu th a 4 thì đ cùng b ng 6. ằ - Các s có t n cùng b ng 3 ; 7; 9 nâng lên lu th a 4 thì đ ố b ng 1. ằ b. Tìm hai ch s t n cùng . ữ ố ậ ậ - Các s có t n cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên lu th a nào ( khác 0 ) cũng t n ậ cùng b ng 01 ; 25 ; 76 . c. Tìm ba ch s t n cùng tr lên. ữ ố ậ ậ - Các s có t n cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên lu th a nào ( khác 0) cũng t n ậ cùng b ng 001 ; 376 ; 625. - S có ch s t n cùng b ng 0625 nâng lên lu th a nào ( khác 0) cũng t n ậ ữ ố ậ cùng b ng 0625. ằ 3. M t s chính ph ộ ố II. áp d ng làm bài t p . ụ Bài1 : Ch ng t ứ a) 175 + 244 - 1321 . b) 51n + 47102 . H ng d n: ứ Bài2 : Ch ng minh r ng v i m i s t a) 74n - 1 chia h t cho 5. b) 34n+1 + 2 chia h t cho 5.
t ng a) , b) , c), d) có ch s t n cùng là 0 ho c 5 ặ ứ ướ
ứ ỏ ổ
ủ
ướ
˛ N*)
đ u có d ng 2n + 1 (n ạ ộ ố ẻ ề
˛ N*)
ạ ộ ố ẵ
ữ ố ậ ủ
n)m , trong đó an có hai ch s t n cùng là 01
ư ề ạ ữ ố ậ ẫ
liên ti p có t n cùng là 7. H i tích đó có bao nhiêu ố ẻ ủ ế ậ ỏ
ừ ố ẻ ộ
ế ả ề ậ ậ
ặ ậ liên ti p thì ho c tích có t n cùng b ng 5 ho c t n ế ế ặ ậ ằ
ằ
liên ti p thì tích có t n cùng là 3 ho c 5 ho c 9 trái ừ ố ẻ ề ừ ố ẻ ế ậ ặ ặ
ừ ố ụ ỉ
c) 24n+1 + 3 chia h t cho 5. ế d) 24n+2 + 1 chia h t cho 5. ế e) 92n+1 + 1 chia h t cho 10. ế H ng d n : Ch ng t ẫ ỏ ổ ữ ố ậ Ch ng t t ng e) có ch s t n cùng là 0. ữ ố ậ Baì4: Tìm ch s t n cùng c a các sô sau: ữ ố ậ 7 5 6 7 a) 2345 b) 5796 H ng d n ẫ : 7 56 là m t s l 5 67 là m t s ch n có d ng 2n ( n Bài5 : Tìm hai ch s t n cùng c a . 99 a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101 . 16101 H ng d n : đ a v d ng (a ướ ho c 76 . ặ Bài 6: Tích c a các s l th a s ? ừ ố 2 đ lo i tr . * H ng d n : Dùng P ướ ể ạ ừ ẫ ừ ố - N u tích là 5 th a s l liên ti p tr lên thì ít nh t cũng có m t th a s có ấ ở ế ừ ố ch s t n cùng là 5 do đó tích ph i có t n cùng là 5 , trái đ bài ,v y th a s ữ ố ậ c a tích nh h n 5. ỏ ơ ủ - N u tích có 4 th a s l cùng b ng 9 , trái đ bài. - N u tích có 2 th a s l ế đ bài. ề V y tích đó ch có 3 th a s ví d : (...9 ). ( ...1 ). (...3 ) = 7. ậ Bài 7: Tích A = 2.22. 23. ... . 210x 52 . 54 . 56. ... .5 14 t n cùng là bao nhiêu ch s ậ ữ ố
0.
H ng d n: Tích c a 1 th a s 2 và 1 th a s 5 có t n cùng là 1 ch s 0. ừ ố ừ ố ữ ố ướ ủ ẫ ậ
đó suy ra S không ph i là s chính ph ng. ừ ủ ả ố ươ
Bài 8: Cho S = 1 + 31 +32+ 33 +...+ 330. Tìm ch s t n cùng c a S, t H ng d n: 2S = 3S - S =3
31 -1 =328. 33 -1.
ữ ố ậ ẫ ướ
= ( 34 )7 . 27 -1 = ...1. 27 -1 = ...6.
(cid:222) đpcm.
ố ươ
ữ ố ậ
ế m +5n (m,n ˛ N*)?
ớ ˛ N*.
(cid:222) m = 4k (k˛ N*).
ng không có t n cùng là 3 ậ 1 đ n 10 000, có bao nhiêu ch s t n cùng nhiên t ố ự ừ i d ng 8 c d ế ượ ướ ạ n có t n là 5 v i n ậ 8m có t n cùng là 6 ậ
các s ph i đ m có d ng 8 (cid:222) 2S = ...6 (cid:222) S = ...3. S chính ph Bài 9: Trong các s t t đ b ng 1 mà vi ằ H ng d n: 5 ẫ ướ (cid:222) Vì 85 > 10 000 (cid:222) m = 4. (cid:222) ạ ố ả ế
4 + 5n v i n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 s . ố
ớ
nhiên n nào tho mãn: ả ố ự
2 = 20072007... 2006.
ẫ ướ
ng có t n cùng là 6 ố ậ ươ
2. ế
ố ự
nhiên nào ủ ố
ẫ ướ
ng l p l
ệ ượ ậ ạ ậ ậ
nhiên n và n ữ ố ậ ủ ứ ằ
5 là như
(cid:222) ch s t n cùng t ữ ố ậ ữ ố ậ ủ ẫ ươ ng
ướ ủ 5. ng c a n
5 - n ) 10
5 - n = n.(n-1).(n +1).(n2+1).
i t ả ươ ậ
ữ ậ
nhiên n .Ch ng minh r ng : ằ
ứ ữ ố ẵ ữ ố ậ ế ằ
ư
ữ ố ẻ ằ
4 t n cùng b ng 1. N u ế ằ
Bài10: Có s t n2 = 20072007... 2007không? H ng d n: n n2 là s chính ph (cid:222) n2 4. Mà 20072007... 2006 không chia h t cho 4 ( vì 06 không chia h t cho 4). ế V y không có s t ậ Bài 11: Tìm 4 ch s t n cùng c a s : ữ ố ậ A = 51994. 4 = 0625 t n cùng là 0625 H ngd n: 5 ậ 55 = 3125 t n cùng là 3125 ậ 56 t n cùng là 5625 ậ 57 t n cùng là 8125 ậ 58 t n cùng là 0625 ậ 59 t n cùng là 3125 ậ 510 t n cùng là 5625 ậ 511 t n cùng là 8125 ậ 512 t n cùng là 0625 ậ ................................................ i là 4 Chu kì c a hi n t ặ ạ ủ (cid:222) 54m+2 t n cùnglà 5625 Suy ra 54m t n cùng là 0625 (cid:222) 51994 t n cùng là 5625 Mà 1994 có d ng 4m+2 Bài 12: Ch ng minh r ng ch s t n cùng c a các s t ố ự nhau. H ng d n: Cách 1: Xét ch s t n cùng c a n ứ Cách2: Đ a v ch ng minh ( n ư ề ứ Bi n đ i n ổ ế các bài t p trên: ng t Bài t p gi ự ậ Bài 13:Tìm ch s cu i cùng c a s : ủ ố ữ ố ố 9 a) A = 99 4 b) B = 23 Bài14: Tìm hai ch t n cùng c a s : ủ ố a) M = 2999 b) N = 3999 Bài 15: Cho s t ố ự a) N u n t n cùng b ng ch s ch n thì n và 6n có ch s t n cùng ậ nh nhau b) N u n t n cùng b ng ch s l ậ n t n cùng b ng ch s ch n khác 0 thì n ữ ố ẵ khác 5 thì n ậ 4 t n cùng b ng 6. ằ ậ ế ằ ậ
CHUYÊN Đ 3Ễ NGUYÊN LÍ ĐIRICLÊ VÀ BÀI TOÁN CHIA H TẾ .
ề
A. Đ t v n đ : ặ ấ ọ ề ệ
ả ứ ở ộ ệ ế
ồ ệ
ể ữ ư ượ ư ả ạ ư ọ duy sáng t o đ làm đ ạ ậ c nh ng bài t p
ạ
ấ
ế ế ộ ồ
ầ
ồ ỏ ậ ụ ệ
ệ i ta c g ng di n đ t theo ngôn ng toán h c thông ọ ờ ả ồ ễ ỏ ố ắ ồ q+1 con th tr lên. ỏ ở i bài toán v n d ng nguyên lí điriclê c n suy ả ố ữ
ườ
ố ứ ố ự ể ọ
nhiên b t kì. Ch ng minh r ng có th ch n ra 2 s mà ằ ế
ố ỏ ỏ ố ượ ấ c nh t trong m y
ể ế ằ ố ư ỉ ố
ộ ố ư ỉ
ố ư ệ
ờ
ể ấ ấ ỉ
ố ư nhiên chia cho 8 mà ch có 8 s nhiên b t kì cho 8 thì s d r ch có th l y m t trong 8 ố ố ự ộ ỉ ị
ố ố
nhiên , bao gi cũng có th ố ự ể ờ
˛ N* ).
ố ọ ố ế ọ
ụ ậ
cũng có ít nh t hai nhiên b t kì bao gi ấ ố ự ấ ằ ờ
ố
ướ
ấ ố ố ố
ố ư (cid:222) hi u hai s này chia (cid:222) hai s này có ch s ữ ố ữ ố ậ ệ ố ệ
ố
ộ nhiên b t kì ch có ch s t n cùng là m t ộ ố ự ữ ố ậ ấ ố ỉ
ố
i m t b i c a 13 g m toàn ch s 2. ồ ồ ạ ữ ố ứ
ướ ẫ
2..
Sau khi h c xong v phép chia ngoài vi c rèn luy n các kĩ năng tính
ế
toán thành th o phép chia giáo viên c n ph i m r ng ki n th c liên quan đ n
ầ
phép chia nh phép đ ng d , m i liên h nguyên lí điriclê và bài toán chia
ố
h t... giúp h c sinh rèn kh năng t
ế
nâng cao.
B.N i dung c n truy n đ t.
ề
ầ
ộ
B. Ki n th c c b n.
ứ ơ ả
N u nh t a con th vào b cái l ng mà a = b.q + r (0< r 2 ; 22 ; 222 ; 2222 ;...; ữ ố fi có hi u hai s chia h t cho 13. ố ố ế ỏ ố ạ ệ ừ ố ư (cid:222) ệ ố
ố ấ
ạ có ít nh t hai s có
ố
ố ố ư (cid:222) hi u hai s chia h t cho 19. Mà hi u hai s có d ng: ư i hai s có t ng ho c hi u chia ổ ố ặ ằ ệ ứ ố ẻ ồ ạ chia cho 8 thì s d ch có th là m t trong 4 s 1 ; 3 ; 5 ; 7. Ta ộ ể ố ố ư ỉ
ồ ặ ư
ặ ư
ỏ ồ ạ
i ố ư ố ẻ ồ ộ l n h n 3. Ch ng minh r ng t n t ỉ
(cid:222) đpcm.
ơ ố
i hai s có ồ ạ ố ớ ứ ằ ặ ế
ộ ố ố ớ ướ ẫ ơ ố ư ỉ
ặ ư ố
ặ ư nhiên b t kì luôn ch n ra đ c hai s ố ự ượ ố ấ ọ ế ổ
ướ .
ẻ ẵ ỏ nhiên b t kì. Ch ng minh r ng ta luôn ch n đ c 4 s ọ ượ ố ứ ấ ằ 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 .
ọ ượ ổ
ướ ố 3 + ẳ
c 2 s có t ng chia h t cho 2 Ch ng ế ậ ố ổ ọ ượ ố ạ ẳ i ch n đ i ch n đ
ọ ượ ố
ẳ ế ố c hai s chia h t cho hai, ch ng h n a
ạ
c 2 s , ch ng h n chia h t cho 2, ch ng
ẳ
ố ế
ạ
ẳ
c 2 s chia h t cho 2 ch ng
ế ọ ượ ị 14 ch s 2.
Có 14 s xét , trong phép chia cho 13
ệ
Mà hi u hai s ( s l n tr s nh ) có d ng:
ố ớ
22 ... 2000 ... 0 = 22 ... 2 . 10n.
(cid:222) 22 ... 2 . 10n 13 mà ( 10n , 13 ) =1.
(cid:222) 22 ... 2 13 ( đpcm ).
Bài 3: Cho dãy s : 10 ; 10
ố
Ch ng minh r ng t n t
ồ ạ
ằ
ứ
H ng d n:
ẫ
ướ
Dãy s có 20 s , xét trong phép chia cho 19
ố
cùng s d
ế
ệ
10m -10n = 10n ( 10m-n -1 ).
(cid:222) 10n (10m-n -1 )19 mà (10n, 19 ) =1.
(cid:222) 10m-n -1 19.
Hay 10k chia 19 d 1( 0 < k < 20 ).
Bài 4: cho 3 s l
. Ch ng minh r ng t n t
h t cho 8.
ế
H ng d n:
ẫ
ướ
M t s l
ộ ố ẻ
chia 4 s d này làm 2 nhóm ( hai l ng ).
ố ư
Nhóm 1 d 1 ho c d 7.
ư
Nhóm 2 d 3 ho c d 5.
ư
( ba "th " ) mà ch có hai nhóm s d ( hai "l ng" ) nên t n t
Có ba s l
hai s cùng thu c m t nhóm
ộ
ố
Bài 5: Cho ba s nguyên t
ố
t ng ho c hi u chia h t cho 12.
ệ
ổ
ể
l n h 3 chia cho 12 thì s d ch có th là
H ng d n: M t s nguyên t
m t trong 4 s 1 ; 5 ; 7 ; 11 chia thành 2 nhóm: nhóm d 1 ho c d 11; nhóm
ư
ộ
d 5 ho c d 7.
ư
(cid:222) đpcm.
Bài 6: Ch ng minh r ng trong ba s t
ằ
ứ
có t ng chia h t cho 2.
H ng d n: Có 2 l ng là ch n - l
ồ
ẫ
Và có ba th là ba s .
ố
Bài 7: Cho b y s t
ả ố ự
có t ng chia h t cho 4.
ế
H ng d n: G i 7 s đó là a
ọ
ẫ
Theo bài t p trên ta ch n đ
h n ạ
a 1 + a 2 = 2k 1 .Còn 5 s l
a 4 = 2k 2 . Còn ba s , l
ố ạ
h n aạ 5+ a6 = 2k3. Xét ba s kố 1, k2,k3 ta l a ch n đ
h n kạ ư ậ Hay a1+a2+a3+a4=4m chia h t cho 4 ế nhiên b t kỳ luôn ch n đ ố ự ọ ượ ấ ố
c ba s có ằ ế nhiên nào cũng ch có m t trong ba d ng 3k, H ng d n: B t kỳ s t ạ ộ ỉ ố ự ẫ ấ (cid:222) ng h p 1: Có ít nh t 3 s cùng m t d ng Bài 8: Ch ng minh r ng trong 5 s t
ứ
t ng chia h t cho 3
ổ
ướ
3k+1, 3k+2 ( k˛ N)
ợ
ườ ấ ộ ạ ố T ng c a 3 s này
ủ ổ ố ợ ộ ạ T ng 3 s ng h p 2: Có 2 s thu c m t d ng nào đó suy ra m i d ng có ít
ộ ố (cid:222)
ố ở
3
3 d ng có ít nh t là m t s ố
T ng 3 s
ố ở ỗ ạ
ổ ộ
ạ ấ nhiên l b t kỳ. Ch ng minh r ng luôn ch n đ c 4 s ẻ ấ ọ ượ ứ ằ ố Tr
chia h t cho 3.
ế
Tr
ườ
ộ ố (cid:222)
nh t là m t s
ổ
ấ
d ng chia h t cho 3.
ế
ạ
Bài 9: Cho năm s t
ố ự
có t ng chia h t cho 4. ế ổ ướ chia h t cho 4 thì s d ch là 1 ho c 3. T c là
ố ư ỉ ứ ế ặ ặ H ng d n: M t s l
ẫ
ộ ố ẻ
ch có m t trong 2 d ng 4k+1 ho c 4k+2.
ạ
ộ
N u có ít nh t b n s thu c cùng 1 d ng t ng c a 4 s đó chia h t cho
ấ ố ố s l
ố ẻ ỉ
ế ủ ế ạ ổ ộ ố 4. N u không nh v y thì m i d ng có ít nh t 2 s , ta ch n 2 s ế ư ậ ố ở ạ
d ng ấ ọ ố ế ổ nhiên vào 6 m t c a 1 con súc s c. Ch ng minh r ng khi ắ ằ
cúng tìm ỗ ạ
d ng kia thì t ng c a 4 s này chia h t cho 4.
ố
ủ
ặ ủ
ứ
ặ t 6 s t
ố ự
ố
ắ ể ấ ờ này và 2 s
ố ở ạ
Bài 10: Vi
ế
ta gieo súc s c xu ng bàn thì trong 5 m t có th nhìn th y bao gi
c 1 hay nhi u m t đ t ng các s trên đó chia h t cho 5.
đ
ượ ố ế
1, a2, a3, a4, a5. ố ặ ướ ặ ể ổ
ọ i song. ổ ế
ế ế ổ (cid:222) i hai t ng có cùng s
ivà Sj (1£ ố
i ề
H ng d n: G i các s trên 5 m t là a
ẫ
Xét 5 t ng:ổ
S1= a1.
S2= a1+a2
S3=a1+a2+a3.
S4=a1+a2+a3+a4.
S4=a1+a2+a3+a4+a5.
- Nêu có 1 trong 5 t ng đó chia h t cho 5 thì bài toán đã gi
ả
- N u không có t ng nào chia h t cho 5 thì t n t
ổ
ồ ạ
ọ
ổ hi u hai t ng này chia h t cho 5. G i 2 t ng là S
ế ổ ệ ế d khi chia cho 5
ư
< J£ 5)
thì Sj -Si chia h t 5 hay (a
cho 5
Bài 11. Có t n t i hay không s có d ng ồ ạ ạ ố ế 20072007....200700...0 chia h t cho 2005.
H ng d n: ướ ẫ Xét dãy s 2007, 20072007, 200720072007,..., ố ấ ệ ệ ế ố ừ ố ạ
i m t s t ộ ố ự ố ạ ố ồ ướ ẫ trong phép chia cho 2005..... có it nh t hi u hai s chia h t cho 2005 . Hi u hai
s này ( s l n tr s nh ) có d ng 20072007...200700...0.
ỏ
ố ớ
ố
Bai 12: Ch ng minh t n t
nhiên x < 17 sao cho
ồ ạ
ứ
25x -1 17
H ng d n : Xét dãy s g m 17 s h ng sau :
25 ; 252 ; 253 ;........; 2517 Chia s h ng c a dãy (1) cho 17
ủ
ố ạ
Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = 1 " n˛ N và n ‡ 1 . ố ấ ố m Xét trong phép chia cho 17 ....dãy s trên có ít nh t hai s chia cho
17 có cùng s d .
ố ư
G i 2 s đó là 25
ọ
(cid:222)
25n - 25m 17
25m ( 25n - m -1 ) 17 vì ( 25m , 17 ) = 1 (cid:222) đpcm.
(cid:219)
CHUYÊN Đ 4Ề
NG PHÁP Đ C BI T Đ SO SÁNH HAI PHÂN S
Ể ề: A. Đ t v n đ
ặ ấ
ể ồ ố ẫ ẫ ấ ự ố ặ ể ủ
ng pháp khác. Tính ch t b c c u c a th t ố
ấ ắ ầ ủ ể
ng đ
th
ượ ử ụ
ứ ự ườ
ọ
ề
ấ ệ ầ ố ố
ề ạ ộ
ế (các so sánh
Đ so sánh hai phân s ngoài cách quy đ ng m u ho c t
ặ ử
"hai tích chéo" th c ch t là quy đ ng m u s ), trong m t s tr
ụ
ng h p c
ợ
ộ ố ườ
ồ
ộ ố
th , tuỳ theo đ c đi m c a các phân s , ta còn có th so sánh b ng m t s
ằ
ể
ph
c s d ng, trong
ươ
đó phát hi n ra phân s trung gian đ làm c u n i là v n đ quan tr ng.
ể
B. N i dung c n truy n đ t.
ầ
I. Ki n th c c b n.
ứ ơ ả
1. Dùng s 1 làm trung gian.
ố > 1 và < 1 thì > a) N u ế = 1 +N = 1 + M ; b) N u ế mà M>N thì ủ ầ ố ớ
ớ ố ế có "ph n th a" l n h n thì l n h n. ầ
ớ ơ = 1 + = 1 + ; M và N theo th t
ừ
* N u hai phân s có "ph n th a" so v i 1 khác nhau, phân s nào
ừ
ầ
ừ
Ví d : ụ
199
198 Vì > nên > = 1- M ; < c) N u ế = 1 + N n u M > N thì
ế ứ ự ọ ầ g i là "ph n thi u" hay "ph n bù" t
ế ầ ớ ơ i đ n v c a hai
ị ủ ế ố ầ
ầ ố ớ ơ i đ n v khác nhau, phân s nào
ớ ơ ị
ỏ ơ M và N theo th t
phân s đã cho.
ố
* N u hai phân s có "ph n bù" t
ố
có "ph n bù" l n h n thì ph n s đó nh h n.
ầ
Ví d :ụ = 1 - ; = 1 + Vì nên > < Ví d : So sánh và ụ ố
18
31 Gi là t c a phân s ả i: Xét phân s trung gian
ố ( Phân s này có t
ố ử ử ủ ố th nh t, có m u là m u c a phân s th 2). Ta th y: ứ ấ ẫ ủ ẫ ấ > và > suy ra > ( tính ch t b c c u) ấ ắ ầ (Ta cũng có th l y phân s ể ấ ố làm phân s trung gian).
ố b) Ví d : So sánh và ụ Gi và làm ả i: c hai phân s
ố ả đ u x p x
ỉ
ấ ề nên ta dùng phân s ố trung gian. Ta có: > = < = Suy ra > a) b) và ( n˛ N*) và II. Bài t p áp d ng:
ậ
Bài 1: So sánh
64
85 H ng d n: b) Dùng phân s
ố ướ ẫ (ho c ặ ) làm phân s trung gian.
ố b) dùng phân s ố (ho c ặ ) làm phân s trung gian.
ố - - a) và b) và c) và Bài 2: So sánh
67
73
83
77 cùng m t s đ n v nên ta s ộ ố ơ ử ẫ ướ ố ề ơ ử
ố ớ ơ ủ i đ n v .
ị H ng d n: M u c a hai phân s đ u h n t
ẫ ủ
d ng so sánh "ph n bù"c a hai phân s t
ầ
ụ
Bài 3: So sánh: a) và b) và và H ng d n: a) Hai phân s
ố ướ ẫ đ u x p x
ỉ
ấ ề nên ta dùng phân s ố làm trung gian . và b) Hai phân s ố đ u x p x
ỉ
ấ ề nên ta dùng phân s ố A = ; B = ; C = làm phân s trung gian .
ố
Baì 4: So sánh các phân s .ố
232323
2323 H ng d n : Rút g n A = .......= ướ ọ B = 1 + C = 1 + 1
1
3534
1
2322 ừ T đó suy ra : A < B < C.
Bài 5: So sánh : 2 2 - - A = và B = - - H ng d n : Rút g n A = ......= = 1 + ướ ẫ ọ B = ......= = 1 + Vì > nên A > B Bài 6: So sánh . a) và ; b) và H ng d n : ướ a) = = 1 - ; = 1 - ; = 1 + = 1 + Hãy so sánh . v i ớ b)
= 1 +
Bài 7: Cho a , b , m ˛
+
ma
+
mb H ng d n : Ta xét ba tr ng h p =1 ; < 1 ; > 1. ướ ẫ ườ ợ = = 1 a) Tr = 1 (cid:219) a = b thì ườ ng h p :
ợ b) Tr < 1 (cid:219) a < b (cid:219) a + m = b + m ng h p :
ợ - = 1 - ; = 1 - ườ
+
ma
+
mb c) Tr > 1 (cid:219) a > b (cid:219) 10 11 ...... ườ ng h p :
ợ - 11 12 Bài 8: Cho A = . - Hãy so sánh A v i B.ớ H ng d n: D th y A<1. áp d ng k t qu bài trên n u thì ễ ấ ướ ụ ế ế ẫ ả v i m>o.
ớ
Bài 9:So sánh các phân s sau mà không c n th c hi n các phép tính m u. ầ ố ở ẫ - - A = . B = . ự
135
.
269
134
269
. ệ
133
135 ố ướ ố )6. b, ( a, ( )3. )7 v i (ớ )5 v i (ớ H ng d n: ẫ 7 7 a =( 6 5 ( . b, 3 . Ch n phân s làm phân s trung gian đ so sánh. ọ ể ố . Bài 11: Ch ng t r ng: ứ ỏ ằ . T ừ H ng d n:
ẫ
ướ
5
2
=
+
=
6
6 = . T đó ta th y:
> ừ
+ Có 15 phân s ).ố (Có 15 phân s ).ố ấ
1
29
1
44 ừ ứ CHUYÊN Đ 5Ề
T NG CÁC PHÂN S VI T THEO QUY LU T.
Ố Ế ộ ậ ặ c vi ố ượ ế ậ ể ẫ ủ
ớ ọ ả ứ ể i.
ổ ế ệ đó đ a ra cách gi ề ạ A.Đ t v n đ :
ề
ặ ấ
Khi h c phép c ng phân s m t d ng bài t p mà các em đã g p là bài toán
ố ộ ạ
ọ
ạ
và m u c a chúng đ
tính t ng các phân s mà t
t theo quy lu t. Lo i
ử
ổ
bài t p này có th coi là khó so v i h c sinh đ i trà vì ph i tìm ra quy lu t c a
ậ ủ
ậ
ả
ạ
đó tìm ra cách gi
nó t
ừ
ậ
- Vì v y giáo viên c n b sung cho h c sinh ki n th c đ phát hi n quy lu t
ọ
ầ
ậ
t
i.
ả
ư
ừ
B. N i dung c n truy n đ t:
ầ
I. Ki n th c c b n:
ứ ơ ả ộ
ế - Cho h c sinh ch ng minh hai công th c: ứ ứ ọ - . ế ế ụ ng pháp h p lí nh t:
ợ ấ ươ ằ
++
... a, A= . b, B= . c, C= ướ ổ a, C= . b, D = . c, E = . ướ ổ
+ a, F = . b, G = . c, H = . ướ ứ
+ ớ
++
... . H ng d n: áp d ng công th c 1.
Bài 4: Ch ng minh r ng v i m i n
1
5)(1 ướ V trái = ế ụ
t:ế - - - x- . ướ t:ế
++
... . H ng d n:
Bài 6: Tìm x˛ N bi
1
1
21
36 ướ ứ ằ
+ a, A = < . b, B = <3. ướ ứ a, M= <1 ( n˛ N; n ‡ 2). 2 b, N= (n˛ N;n ‡ 2). c, P= ( n˛ N;n ‡ 3). ứ
1
2
2
1
2
4
!2
!3 . H ng d n: a, M< ướ ẫ - b, N = (áp d ng ph n a làm ti p).
ầ ụ ế £ c, P = 2!. .) - ứ - . Bài 9: Ch ng minh r ng:
1
28 ằ
1
27 H ng d n: ướ ẫ - = 1+ -
..........
2 ; 103 ; ... ;1020.
i m t s chia cho 19 d 1.
ộ ố
1+k2=2m nh v y:
2k1+2k2 = 4m.
1+a2+.....+aJ) - (a1+a2+...+aJ) = ai+1+ai+2+...+aJ chia h tế
2007
20072007
so
2006
...
2007
m và 25n v i m , n
˛ N và 1 £
M T S PH
Ộ Ố ƯƠ
Ố
Ặ
Ệ
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
c
d
a >
b
g i là "ph n th a" so v i 1 c a hai phân s đã cho.
ứ ự ọ
ố
ớ ơ
200
199
1
199
199
198
1
199
200
199
1
198
1
198
c
d
a
b
c
d
a
b
1
2006
2006
2007
1
2007
2005
2006
2005
2006
2006
2007
1
2007
2. Dùng m t s phân s làm trung gian.
1
2006
ộ ố
15
37
18
37
ố ứ
18
31
18
37
15
31
15
37
18
37
18
31
15
31
12
47
1
4
1
4
19
17
12
47
19
77
12
48
19
76
1
4
1
4
12
47
19
77
19
77
12
47
ụ
+
+
73
81
1
2
n
3+n
73
85
n
n
64
81
+
1
+
3
n
n
n
2+n
1
1
456
461
123
128
2003
.
2004
2003
.
2004
2004
.
2005
2004
.
2005
ị
11
12
16
49
58
89
36
53
11
32
16
49
1
3
1
3
58
89
36
53
2
3
2
3
.
3535
3534
2323
2322
2535
.
353535
ẫ
13.11.(5
26.22
)26.22
52.44
138
137
690
548
1
4
5
4
138
137
1
137
1
4
1
137
25
26
25251
26261
531
571
40
570
531
571
530
570
40
571
1010
26261
1010
26260
25251
26261
53
57
ẫ
53
57
25
26
1
26
N*
a
b
a
b
a
b
a
b
+
ma
+
mb
a
b
a
b
ab -
b
a+m > b + m (cid:222)
=
;
B
+
+
a
b
a
b
ab
+
mb
a
b
10
10
10
10
1
1
1
1
>
1<
a
b
+
ma
+
mb
a
b
+
+
.54
.53
107
107
ẫ
53
54
H ng d n: T c a phân s A
ử ủ
54.107-53 = (53 +1).107 - 53 =...
T c a phân s B
ử ủ
135.269-133= (134+1).269 - 133=...
Bài 10: So sánh:
1
243
3
8
5
243
1
80
ướ
=
>
)
)
(
1
28
3
=
)
=
(
)
1
80
1
243
3
8
1
81
1
30
3
243
15
2
=
(
)
5
243
243
15
3
+
+
>
++
...
243
ố 153
1
1
+
15
16
1
17
1
43
1
44
5
6
+
3
6
15
45
+
+
+
(
....
)
(
++
...
)
15
30
1
30
1
30
1
45
1
45
+
++
...
++
...
(
+
>
+
++
...
++
...
1
16
1
31
1
30
1
45
1
1
15
30
1
1
45
30
T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.
ề
1
30
1
45
ả
Ổ
Ậ
=
.
m
+
mbb
(
)
1
b
1
+
mb
=
+
(
m
)2
m
)2
m
2
+
(
bmbb
)(
ướ
1
+
)(
bmb
(
ả ề ằ
+
;
+
+
++
...
1
4.3
2
9.7
1
50.49
2
39.37
+
+
++
...
1
+
+
)
mbb
H ng d n: Bi n đ i v ph i v b ng v trái.
ổ ế
ẫ
II. áp d ng làm bài t p:
ậ
Bài 1: Tính các t ng sau b ng ph
ổ
1
+
3.2
2
7.5
3
10.7
3
76.73
ứ
3
13.10
ụ
+
+
++
...
+
+
++
...
+
+
++
...
7
13.12
6
24.21
2
3
17.14
200
++
...
+
+
++
...
1
31.29
15
102
1
75.73
15
.
150
146
.98
+
+
++
...
10
140
1
2.1
2
5.3
3
7.4
H ng d n: áp d ng công th c 1.
ẫ
Bài 2: Tính các t ng sau:
7
7
7
11.10
12.11
70.69
6
6
6
18.15
21.18
90.87
2
2
2
3
3
3
197
14.11
11.8
.
H ng d n: áp d ng công th c 1.
ứ
ụ
ẫ
Bài 3: Tính các t ng sau:
1
+
27.25
15
94.90
10
56
ẫ
1
29.27
15
98.94
10
260
ụ
ằ
+
10
1400
ứ
ọ ˛ N ta luôn có:
=
+
1
6.1
n
)6
5(
H ng d n: Bi n đ i v trái v b ng v ph i.
ổ ế
+
n
ề ằ
n
5
n
ế
+
1
+
6
ả
1
16.11
ế
1
11.6
ẫ
+
+
++
...
.(
)
+
1
5
5
6.1
5(
n
n
)6
5
11.6
ứ
5
16.11
ể
5
5).(1
ặ
=
...
_
20
55.53
20
17.15
3
11
+
( áp d ng công th c 1 đ tính trong ngo c ).
Bài 5:Tìm x˛ N bi
20
20
13.11
15.13
ẫ
+
+
=
)1
2
9
2
+
xx
(
+
++
...
1
4
+
+
++
...
1
20.19.18
36
29.27.25
+
1
28
H ng d n:
ẫ
Bài 7: Ch ng minh r ng:
1
1
1
3.2.1
5.4.3
4.3.2
36
36
36
7.5.3
5.3.1
9.7.5
H ng d n: áp d ng công th c 2.
ụ
ẫ
Bài 8: Ch ng minh r ng:
ằ
+
++
...
1
2
n
+
+
<
++
...
1
4
1
2
3
1
2
6
1
2
4
1
2
8
1
n
)2(
+
+
<
++
...
1
!2
!4
!2
!5
+
+
++
...
1
).1
n
(
n
1
3.2
+
+
.(
++
...
)
!2
n
!
1
2.1
1
2
2
1
2
2
+
+
+
+
++
...
.(2
++
...
1
!3
1
2
3
1
!4
1
4.3
1
2
4
1
!5
1
2
n
1
!
n
1
3.2
1
4.3
1
5.4
1
).1
n
(
n
+
+
++
...
-=
1
++
...
1
26
1
50
1
2
1
-+
3
1
4
1
49
1
50
+
+
++
...
1
26
1
28
1
50
+++
1(
...
...
)
1
++++
3
1
2
1
25
+++
...
(2
...
)
1
2
1
2
1
50
1
50
1
2
1
++++
6
1
4
1
50
1
27
1
3
1
= 1+
3
(cid:222) đpcm.
