CHUYÊN Đ 1Ề
SO SÁNH HAI LU TH AỸ Ừ
A. M c tiêu.ụ
- Khi h c ki n th c v lu th a v i s mũ t nhiên t m t trong lo iọ ế ứ ề ỹ ừ ớ ố ự ừ ộ ạ
bài t p mà các em th ng g p là so sánh hai lu th a.ậ ườ ặ ỹ ừ
- Giáo viên c n b sung cho h c sinh v ki n th c so sánh hai lu th a.ầ ổ ọ ề ế ứ ỹ ừ
- T đó h c sinh v n d ng linh ho t vào gi i bài t p.ừ ọ ậ ụ ạ ả ậ
B. N i dung chuy n đ t.ộ ề ạ
I. Ki n th c c b n.ế ứ ơ ả
1. Đ so sánh hai lu th a, ta th ng đ a v so sánh hai lu th a cùng c sể ỹ ừ ườ ư ề ỹ ừ ơ ố
ho c cùng s mũ.ặ ố
+ N u hai lu th a có cùng c s (l n h n 1) thì lu u th a nào có sế ỹ ừ ơ ố ớ ơ ỹ ừ ố
mũ l n h n s l n h n.ớ ơ ẽ ớ ơ
+ N u hai lu th a có cùng s mũ (>0) thì lu th a nào có c s l nế ỹ ừ ố ỹ ừ ơ ố ớ
h n s l n h n.ơ ẽ ớ ơ
2. Ngoài hai cách trên, đ so sánh hai lu th a ta còn dùng tính ch t b c c u,ể ỹ ừ ấ ắ ầ
tính ch t đ n đi u c a phép nhân. ấ ơ ệ ủ
(a<b thì a.c<b.c v i c>0).ớ
Ví d : So sánh 32ụ10 và 1615, s nào l n h n.ố ớ ơ
H ng d n:ướ ẫ
Các c s 32 và 16 tuy khác nhau nh ng đ u là lu th a c a 2 lên ta tìmơ ố ư ề ỹ ừ ủ
cách đ a 32ư10 và 1615 v lu th a cùng c s 2.ề ỹ ừ ơ ố
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
II. Áp d ng làm bài t p.ụ ậ
Bài 1: So sánh các s sau, s nào l n h n?ố ố ớ ơ
a) 2711 và 818. b) 6255 và 1257
c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n ∈ N* )
H ng d n:ướ ẫ
a) Đ a v cùng c s 3.ư ề ơ ố
b) Đ a v cùng c s 5.ư ề ơ ố
c) Đ a v cùng s mũ 12.ư ề ố
d) Đ a v cùng s mũ nư ề ố
Bài 2: So sánh các s sau, s nào l n h n?ố ố ớ ơ
a) 523 và 6.522
b) 7.213 và 216
c) 2115 và 275.498
H ng d n:ướ ẫ
a) Đ a hai s v d ng m t tích trong đó có th a s gi ng nhau 5ư ố ề ạ ộ ừ ố ố 22.
N u m>n thì aếm>an (a>1).
N u a>b thì aến>bn ( n>0).
b) Đ a hai s v d ng m t tích trong đó có th a s gi ng nhau là 2ư ố ề ạ ộ ừ ố ố 13.
c) Đ a hai s v d ng m t tích 2 lu th a c s là 7 và 3.ư ố ề ạ ộ ỹ ừ ơ ố
Bài 3: So sánh các s sau, s nào l n h n.ố ố ớ ơ
a) 19920 và 200315.
b) 339 và 1121.
H ng d n :ướ ẫ
a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540.
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
Bài4: So sánh 2 hi u,hi u nào l n h n?ệ ệ ớ ơ
72 45-7244và 72 44-7243.
H ng d n:ướ ẫ
7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
7244-7244=7244(72-1)=7244.71.
Bài5:Tìm x
N∈
bi t:ế
a, 16x<1284.
b, 5x.5x+1.5x+2
≤
100...0:218.
H ng d n:ướ ẫ
a, Đ a 2v v cùng c s 2.ư ế ề ơ ố
⇒
lu th a nh h nỹ ừ ỏ ơ
⇒
s mũ nh h n.ố ỏ ơ
T đó tìm x.ừ
b, Đ a 2v v cùng c s 5ư ế ề ơ ố
⇒
x.
Bài6:Cho S=1+2+22+23+.....+29.
Hãy so sánh S v i 5.2ớ8.
H ng d n: 2S=2+2ướ ẫ 2+23+24+....+210.
⇒
2S-S=210-1(210=22.28=4.28<5.28).
Bài7: G i m là các s có 9ch s mà trong cách ghi c a nó không có ch s 0.ọ ố ữ ố ủ ữ ố
Hãy so sánh m v i 10.9ớ8.
H ng d n:Có 9 cách ch n ch s hàng trăm tri u.ướ ẫ ọ ữ ố ệ
Có 9 cách ch n ch s hàng ch c tri u....ọ ữ ố ụ ệ
⇒
m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=99.
Mà 99 = 9.98 < 10.98.
V y: m < 10.9ậ8.
Bài8: Hãy vi t s l n nh t b ng cách dùng3 ch s 1,2,3v i đi u ki n m iế ố ớ ấ ằ ữ ố ớ ề ệ ỗ
ch s dùng 1 l n và ch 1 l n.ữ ố ầ ỉ ầ
H ng d n:Vi t t t c đ c bao nhiêu: +Tr ng h p không có lu th a.ướ ẫ ế ấ ả ượ ườ ợ ỹ ừ
+Có dùng lu th a.ỹ ừ
+Xét lu th a có:1ch s .ỹ ừ ữ ố
2ch s .ữ ố
Hãy so sánh các s đó.ố
S l n nh t là 3ố ớ ấ 21.
Bài9: So sánh a) 3131 và 1739. b)
21
2
1
và
35
5
1
H ng d n: a) 31ướ ẫ 31<3231=2155; 1739>1639 = 2156.
b) So sánh 221 v i 5ớ35
CHUYÊN Đ 2:Ề
CH S T N CÙNG C A M T TÍCH,M T LU TH AỮ Ố Ậ Ủ Ộ Ộ Ỹ Ừ .
I.Đ t v n đ .ặ ấ ề
- Trong th c t nhi u khi ta không c n bi t giá tr c a m t s mà ch c n bi tự ế ề ầ ế ị ủ ộ ố ỉ ầ ế
m t hay nhi u ch s t n cùng c a nó.Ch ng h n, khi so s mu n bi t cóộ ề ữ ố ậ ủ ẳ ạ ố ố ế
trúng nh ng gi i cu i hay không ta ch c n so 2 ch s cu i cùng.Trong toánữ ả ố ỉ ầ ữ ố ố
h c,khi xét m t s có chia h t cho 2;4;8 ho c chia h t cho 5;25;125 hay khôngọ ộ ố ế ặ ế
ta ch c n xét 1,2,3 ch s t n cùng c a s đó.ỉ ầ ữ ố ậ ủ ố
- Trang b cho h c sinh nh ng ki n th c tìm ch s t n cùng c a m t tích,ị ọ ữ ế ứ ữ ố ậ ủ ộ
m t lu th a.ộ ỹ ừ
- H c sinh n m v ng ki n th c này đ áp d ng gi i bài t p có liên quan.ọ ắ ữ ế ứ ể ụ ả ậ
II. N i dung c n truy n đ t.ộ ầ ề ạ
I.Ki n th c c b n.ế ứ ơ ả
1.Tìm ch s t n cùng c a tích. ữ ố ậ ủ
- Tích các s l là m t s l . ố ẻ ộ ố ẻ
Đ c bi t tích c a m t s l có t n cùng là 5 v i b t kì s l nào cũng cóặ ệ ủ ộ ố ẻ ậ ớ ấ ố ẻ
ch s t n cùng là 5.ữ ố ậ
- Tích c a m t s ch n v i b t kì m t s t nhiên nào cũng là m t s ch n. ủ ộ ố ẵ ớ ấ ộ ố ự ộ ố ẵ
Đ c bi t, tích c a m t s ch n có t n cùng là 0 v i b t kì s t nhiên nàoặ ệ ủ ộ ố ẵ ậ ớ ấ ố ự
cũng có ch s t n cùng là 0. ữ ố ậ
2. Tìm ch s t n cùng c a m t lu th a:chú ý đ n nh ng s đ c bi t.ữ ố ậ ủ ộ ỹ ừ ế ữ ố ặ ệ
a,Tìm m t ch s t n cùng.ộ ữ ố ậ
-Các s có t n cùng là 0;1;5;6 nâng lên lu th a nào(khác0) cũng t n cungố ậ ỹ ừ ậ
b ng .0 ; 1 ; 5 ; 6.ằ
- Các s có t n cùng b ng 2 ; 4 ; 8 nâng lên lu th a 4 thì đ c có s t nố ậ ằ ỹ ừ ượ ố ậ
cùng b ng 6.ằ
- Các s có t n cùng b ng 3 ; 7; 9 nâng lên lu th a 4 thì đ c s có t n cùngố ậ ằ ỹ ừ ượ ố ậ
b ng 1.ằ
b. Tìm hai ch s t n cùng .ữ ố ậ
- Các s có t n cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên lu th a nào ( khác 0 ) cũng t nố ậ ỹ ừ ậ
cùng b ng 01 ; 25 ; 76 .ằ
c. Tìm ba ch s t n cùng tr lên.ữ ố ậ ở
- Các s có t n cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên lu th a nào ( khác 0) cũng t nố ậ ỹ ừ ậ
cùng b ng 001 ; 376 ; 625.ằ
- S có ch s t n cùng b ng 0625 nâng lên lu th a nào ( khác 0) cũng t nố ữ ố ậ ằ ỹ ừ ậ
cùng b ng 0625.ằ
3. M t s chính ph ng thì không có t n cùng b ng 2 ; 3 ; 7 ; 8.ộ ố ươ ậ ằ
II. áp d ng làm bài t p .ụ ậ
Bài1 : Ch ng t r ng các t ng sau chia h t cho 10.ứ ỏ ằ ổ ế
a) 175 + 244 - 1321 .
b) 51n + 47102 .
H ng d n:ướ ẫ Ch ng t ch s t n cùng c a t ng b ng 0.ứ ỏ ữ ố ậ ủ ổ ằ
Bài2 : Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n :ứ ằ ớ ọ ố ự
a) 74n - 1 chia h t cho 5.ế
b) 34n+1 + 2 chia h t cho 5.ế
c) 24n+1 + 3 chia h t cho 5.ế
d) 24n+2 + 1 chia h t cho 5.ế
e) 92n+1 + 1 chia h t cho 10.ế
H ng d n : Ch ng t t ng a) , b) , c), d) có ch s t n cùng là 0 ho c 5ướ ẫ ứ ỏ ổ ữ ố ậ ặ
Ch ng t t ng e) có ch s t n cùng là 0.ứ ỏ ổ ữ ố ậ
Baì4: Tìm ch s t n cùng c a các sô sau:ữ ố ậ ủ
7 5
6 7
a) 2345 b) 5796
H ng d nướ ẫ : 7
56 là m t s l đ u có d ng 2n + 1 (nộ ố ẻ ề ạ
∈
N*)
5
67 là m t s ch n có d ng 2n ( nộ ố ẵ ạ
∈
N*)
Bài5 : Tìm hai ch s t n cùng c a .ữ ố ậ ủ
99
a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101 . 16101
H ng d n : đ a v d ng (aướ ẫ ư ề ạ n)m , trong đó an có hai ch s t n cùng là 01ữ ố ậ
ho c 76 .ặ
Bài 6: Tích c a các s l liên ti p có t n cùng là 7. H i tích đó có bao nhiêuủ ố ẻ ế ậ ỏ
th a s ?ừ ố
* H ng d n : Dùng Pướ ẫ 2 đ lo i tr .ể ạ ừ
- N u tích là 5 th a s l liên ti p tr lên thì ít nh t cũng có m t th a s cóế ừ ố ẻ ế ở ấ ộ ừ ố
ch s t n cùng là 5 do đó tích ph i có t n cùng là 5 , trái đ bài ,v y th a sữ ố ậ ả ậ ề ậ ừ ố
c a tích nh h n 5.ủ ỏ ơ
- N u tích có 4 th a s l liên ti p thì ho c tích có t n cùng b ng 5 ho c t nế ừ ố ẻ ế ặ ậ ằ ặ ậ
cùng b ng 9 , trái đ bài.ằ ề
- N u tích có 2 th a s l liên ti p thì tích có t n cùng là 3 ho c 5 ho c 9 tráiế ừ ố ẻ ế ậ ặ ặ
đ bài.ề
V y tích đó ch có 3 th a s ví d : (...9 ). ( ...1 ). (...3 ) = 7.ậ ỉ ừ ố ụ
Bài 7: Tích A = 2.22. 23. ... . 210x 52 . 54 . 56. ... .5 14 t n cùng là bao nhiêu ch sậ ữ ố
0.
H ng d n: Tích c a 1 th a s 2 và 1 th a s 5 có t n cùng là 1 ch s 0.ướ ẫ ủ ừ ố ừ ố ậ ữ ố
Bài 8: Cho S = 1 + 31 +32+ 33 +...+ 330.
Tìm ch s t n cùng c a S, t đó suy ra S không ph i là s chính ph ng.ữ ố ậ ủ ừ ả ố ươ
H ng d n: 2S = 3S - S =3ướ ẫ 31 -1 =328. 33 -1.
= ( 34 )7 . 27 -1 = ...1. 27 -1 = ...6.
⇒
2S = ...6
⇒
S = ...3.
S chính ph ng không có t n cùng là 3 ố ươ ậ
⇒
đpcm.
Bài 9: Trong các s t nhiên t 1 đ n 10 000, có bao nhiêu ch s t n cùngố ự ừ ế ữ ố ậ
b ng 1 mà vi t đ c d i d ng 8ằ ế ượ ướ ạ m +5n (m,n
∈
N*)?
H ng d n: 5ướ ẫ n có t n là 5 v i nậ ớ
∈
N*.
⇒
8m có t n cùng là 6 ậ
⇒
m = 4k (k
∈
N*).
Vì 85 > 10 000
⇒
m = 4.
⇒
các s ph i đ m có d ng 8ố ả ế ạ 4 + 5n v i n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 s .ớ ố
Bài10: Có s t nhiên n nào tho mãn:ố ự ả
n2 = 20072007... 2007không?
H ng d n: nướ ẫ 2 = 20072007... 2006.
n2 là s chính ph ng có t n cùng là 6 ố ươ ậ
2.
⇒
n2
4. Mà 20072007... 2006 không chia h t cho 4 ( vì 06 khôngế
chia h t cho 4).ế
V y không có s t nhiên nàoậ ố ự
Bài 11: Tìm 4 ch s t n cùng c a s : ữ ố ậ ủ ố
A = 51994.
H ngd n: 5ướ ẫ 4 = 0625 t n cùng là 0625ậ
55 = 3125 t n cùng là 3125ậ
56 t n cùng là 5625ậ
57 t n cùng là 8125ậ
58 t n cùng là 0625ậ
59 t n cùng là 3125ậ
510 t n cùng là 5625ậ
511 t n cùng là 8125 ậ
512 t n cùng là 0625ậ
................................................
Chu kì c a hi n t ng l p l i là 4ủ ệ ượ ặ ạ
Suy ra 54m t n cùng là 0625 ậ
⇒
54m+2 t n cùnglà 5625ậ
Mà 1994 có d ng 4m+2 ạ
⇒
51994 t n cùng là 5625ậ
Bài 12: Ch ng minh r ng ch s t n cùng c a các s t nhiên n và nứ ằ ữ ố ậ ủ ố ự 5 là như
nhau.
H ng d n: Cách 1: Xét ch s t n cùng c a n ướ ẫ ữ ố ậ ủ
⇒
ch s t n cùng t ngữ ố ậ ươ
ng c a nứ ủ 5.
Cách2: Đ a v ch ng minh ( nư ề ứ 5 - n )
10
Bi n đ i nế ổ 5 - n = n.(n-1).(n +1).(n2+1).
Bài t p gi i t ng t các bài t p trên:ậ ả ươ ự ậ
Bài 13:Tìm ch s cu i cùng c a s :ữ ố ố ủ ố
9
a) A = 99
4
b) B = 23
Bài14: Tìm hai ch t n cùng c a s :ữ ậ ủ ố
a) M = 2999
b) N = 3999
Bài 15: Cho s t nhiên n .Ch ng minh r ng :ố ự ứ ằ
a) N u n t n cùng b ng ch s ch n thì n và 6n có ch s t n cùngế ậ ằ ữ ố ẵ ữ ố ậ
nh nhau ư
b) N u n t n cùng b ng ch s l khác 5 thì nế ậ ằ ữ ố ẻ 4 t n cùng b ng 1. N uậ ằ ế
n t n cùng b ng ch s ch n khác 0 thì nậ ằ ữ ố ẵ 4 t n cùng b ng 6.ậ ằ
