Đề tài nghiên cứu khoa học " nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong xây dựng lượng tử hình chữ nhật "

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG DỰ BỊ ĐHDT TRUNG ƯƠNG NHA TRANG

- - - - -

NGUYỄN ĐÌNH HIÊN

NGHIÊN CỨU ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

BỘ MÔN: LÝ - SINH

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Nha trang, tháng 6 năm 2010

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu

và kết quả nghiên cứu nêu trong đề tài là trung thực, được các đồng tác

giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công

trình nghiên cứu nào khác.

Tác giả đề tài

Nguyễn Đình Hiên

ii

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này, tôi trân trọng bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu, Hội đồng khoa học, trưởng bộ

môn Lý - Sinh, cùng toàn thể quí thầy cô và các anh chị công nhân viên

của nhà trường đã động viên, chia sẽ, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi

hoàn thiện đề tài này.

Tác giả đề tài

Nguyễn Đình Hiên

iii

MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

MỞ ĐẦU 3

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . 10

1.1. Phép chiếu toán tử loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Bán dẫn dây lượng tử và Hamiltonian của hệ electron-

phonon khi có mặt điện trường . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . 13

1.2.2. Hamiltonian của hệ electron - phonon trong điện

trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Tính toán giải tích hàm dạng phổ . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1. Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn . . . . . . 16

1.3.2. Sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II

để tính biểu thức tenxơ độ dẫn . . . . . . . . . . 20

Chương 2. TÍNH GIẢI TÍCH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ

TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT . 24

2.1. Biểu thức độ rộng vạch phổ . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Biểu thức của hàm dạng phổ . . . . . . . . . . . 24

2.1.2. Biểu thức độ rộng vạch phổ . . . . . . . . . . . . 34

1

2.2. Biểu thức công suất hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Chương 3. LẬP TRÌNH ĐỂ KHẢO SÁT SỐ VÀ VẼ

ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào

tần số trường ngoài. . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2. Khảo sát sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ

vào nhiệt độ và kích thước của dây. . . . . . . . . 47

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hiện nay trên thế giới đã và đang hình thành một ngành khoa học

và cộng nghệ mới, có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ tác động mạnh

mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật cũng như đời

sống-kinh tế xã hội ở thế kỷ 21. Đó là Khoa học và Công nghệ Nano.

Đây là lĩnh vực mang tính liên ngành cao, bao gồm vật lý, hóa

học, y dược-sinh học, công nghệ điện tử tin học, công nghệ môi trường

và nhiều công nghệ khác. Theo trung tâm đánh giá công nghệ thế giới

(World Technology Evaluation Centrer), trong tương lai sẽ không có

ngành công nghiệp nào mà không ứng dụng công nghệ nano [4].

Khoa học và Công nghệ Nano được định nghĩa là khoa học và công

nghệ nhằm tạo ra và nghiên cứu các vật liệu, các hệ thống, các cấu trúc

và các linh kiện có kích thước trong khoảng từ 0,1 đến 100 nm, với rất

nhiều tính chất khác biệt so với vật liệu khối [4]. Thật vậy, các nhà

nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của chất bán dẫn giảm xuống

một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều thì các tính chất

vật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang thay đổi một cách đột ngột.

Chính điều đó đã làm cho các cấu trúc nano trở thành đối tượng của các

nghiên cứu cơ bản, cũng như các nghiên cứu ứng dụng. Các tính chất

của các cấu trúc nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình

dạng và kích thước cỡ nanomet của chúng [1], [4].

Khi giảm kích thước của vật rắn xuống theo một phương nào đó

(phương x) chỉ còn vào cỡ vài nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn với

bước sóng de Broglie của hạt tải điện) thì các electron có thể vẫn chuyển

động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng (y,z), nhưng chuyển động của

3

chúng theo phương x sẽ bị giới hạn. Hệ electron như vậy gọi là hệ điện

tử chuẩn hai chiều và chất bán dẫn được gọi là bán dẫn chuẩn 2 chiều

(giếng lượng tử và siêu mạng).

Nếu kích thước của vật rắn theo phương y cũng co lại chỉ còn vào

cỡ vài nanomet, khi đó các electron chỉ có thể chuyển động tự do theo

phương z, còn chuyển động của chúng theo các phương y và x đã bị

lượng tử hóa. Hệ electron như vậy gọi là hệ điện tử chuẩn một chiều và

chất bán dẫn như vậy gọi là bán dẫn chuẩn 1 chiều hay dây lượng tử.

Tương tự, nếu kích thước của vật rắn theo cả 3 phương đều co lại chỉ

còn vào cỡ vài nanomet thì chuyển động của các electron theo 3 phương

(x-y-z) đều bị giới hạn hay nói cách khác các electron bị giam giữ theo cả

3 chiều, thì hệ được gọi là một "chấm lượng tử". Tuy nhiên, định nghĩa

này có phần không chặt chẽ, ví dụ, các đám (clusters) bao gồm một số

ít nguyên tử không được coi là các chấm lượng tử, bởi vì mặc dù kích

thước của các đám này nhỏ hơn bước sóng de Broglie, nhưng tính chất

của chúng phụ thuộc rất mạnh vào số nguyên tử tạo nên chúng. Chỉ có

các đám lớn hơn, có cấu trúc mạng hoàn toàn xác định và tính chất của

chúng không còn phụ thuộc vào số nguyên tử nữa, mới được coi là các

chấm lượng tử [1], [2].

Những vật liệu có cấu trúc như trên gọi là vật liệu thấp chiều hay

bán dẫn chuẩn thấp chiều, cấu trúc này có nhiều tính chất mới lạ so với

cấu trúc thông thường, cả về tính chất quang, điện cũng như mật độ

trạng thái.

Việc chuyển từ hệ điện tử 3 chiều sạng hệ điện tử chuẩn 1 chiều đã

làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều

tính chất vật lý trong đó có tính chất quang, điện của vật liệu. Sự giam

giữ điện tử trong các dây lượng tử làm cho các phản ứng của hệ điện

4

tử đối với các tác dụng ngoài (từ trường, điện trường, điện từ trường...)

xảy ra khác biệt so với trong hệ điện tử 3 chiều và 2 chiều. Cấu trúc

bán dẫn một chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của các vật

liệu, đồng thời cũng đã làm xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới ưu việt

hơn mà các hệ điện tử 3 chiều và 2 chiều không có. Các vật liệu bán dẫn

mới với các cấu trúc 1 chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết

bị dựa trên những nguyên tắc hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có

tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và trong lĩnh

vực quang-điện tử nói riêng. Đó là lý do tại sao các bán dẫn có cấu trúc

1 chiều đã, đang và sẽ được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.

Về mặt thực nghiệm, sự phát triển của các mẫu bán dẫn chất lượng

cao đã mở ra một khả năng mới cho việc nghiên cứu. Với những mẫu

như thế, chúng ta có khả năng đo được trực tiếp khối lượng hiệu dụng

của electron, đại lượng phản ánh cấu trúc của vùng dẫn mini và thời

gian phục hồi dịch chuyển hạt tải thông qua hàm dạng phổ cộng hưởng

electron-phonon. Cho đến nay, đây là phương pháp trực tiếp nhất và

chính xác nhất để cung cấp những thông tin như thế.

Về mặt lý thuyết, việc nghiên cứu các tính chất mới của điện tử

trong bán dẫn thấp chiều đã và đang nhận được sự quan tâm của rất

nhiều nhà Vật lý. Mặc dù có khá nhiều cách tiếp cận vấn đề này nhưng

phép chiếu toán tử vẫn là một phương pháp được quan tâm với lý do là

với các toán tử chiếu hoàn toàn xác định, chúng ta có thể thu được một

công thức độ dẫn khá hoàn hảo, biểu thức hàm dạng phổ tường minh

[15]. Lý thuyết của Cho và Choi dùng để tính tốc độ hồi phục trong Ge

và Si bỏ qua tán xạ thế biến dạng bằng cách sử dụng các toán tử chiếu

phụ thuộc trạng thái loại I, được định nghĩa bởi Badjou và Argyres [14].

Tuy nhiên, trong lý thuyết này, sự phát xạ (hấp thụ) phonon không được

giải thích một cách chặt chẽ. Nói cách khác, mặc dù có xét đến hiệu ứng

5

nhiều hạt nhưng hàm phân bố của điện tử và phonon chỉ được kết hợp

ngẫu nhiên.

Để khắc phục các nhược điểm trên, chúng tôi áp dụng một phương

pháp chiếu mới, đó là phương pháp chiếu phụ thuộc trạng thái loại II.

Phương pháp này có ưu điểm là khắc phục được sự phân kỳ của thế tán

xạ, chứa tường minh các hàm dạng phổ và sẽ đưa ra được tất cả các

dịch chuyển có thể có của electron. vì vậy, bằng cách sử dụng phép chiếu

toán tử phụ thuộc trạng thái loại II, biểu thức của tenxơ độ dẫn sẽ được

diễn tả một cách tường minh hơn.

Cộng hưởng electron-phonon ( Electrophonon resonance-EPR ) là

một hiện tượng thú vị xảy ra trong bán dẫn dưới tác dụng của trường

ngoài. Hiện tượng này liên quan đến tính kỳ dị của mật độ trạng thái

của electron trong bán dẫn. Khi hiệu số hai mức năng lượng của electron

bằng năng lượng phonon cùng với điều kiện thế đặt vào đủ lớn thì sẽ

xảy ra sự cộng hưởng EPR [30]. Nếu quá trình hấp thụ LO-phonon

có sự hấp thụ hoặc phát xạ photon thì ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởng

electron-phonon dò tìm quang học (Optically detected electron-phonon

resonance-ODEPR) [30]. Hiện tượng EPR được bắt đầu nghiên cứu kể từ

năm 1972 bởi Bryskin và Firsov cho trường hợp bán dẫn không suy biến

đặt trong điện trường mạnh, cho đến nay đã có một số công trình nghiên

cứu vấn đề này, chẳng hạn nhóm của Sang Chil Lee và đồng nghiệp [28];

nhóm Se Gi Yu [41] ... Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong

các thiết bị lượng tử hiện đại đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiểu

biết tính chất chuyển tải lượng tử của hạt tải điện trong bán dẫn.

Vì vậy, nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR cũng sẽ cho ta thu được

các thông tin của hạt tải và phonon.

Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong bán dẫn dây lượng

6

tử đã và đang được các nhà khoa học rất quan tâm. Sở dĩ như vậy là đối

với một bán dẫn có độ thuần khiết cao thì tương tác electron-phonon là

loại tương tác chủ yếu. Nó sẽ góp phần làm sáng tỏ các tính chất mới

của khí electron chuẩn 1 chiều dưới tác dụng trường ngoài, từ đó cung

cấp thông tin về tinh thể và tính chất quang của dây lượng tử bán dẫn

cho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử và quang tử.

Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài "Nghiên cứu về độ rộng

vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật" làm đề tài nghiên

cứu của mình.

2. Lịch sử nghiên cứu của đề tài

Ở trong nước:

Ở nước ta, ngành khoa học công nghệ nano là một trong những

lĩnh vực được các nhà khoa học quan tâm và đi sâu nghiên cứu từ năm

1995. Mỗi nhóm tác giả tập trung nghiên cứu những vấn đề riêng, nhưng

vấn đề "Độ rộng vạch phổ" trong bán dẫn thấp chiều nói chung hay dây

lượng tử nói riêng chưa được quan tâm nhiều.

Trong những năm gần đây, một số tác giả của trường ĐHSP Huế

đi sâu nghiên cứu về phản ứng của hệ electron - phonon dưới tác dụng

của trường ngoài. Có một số tác giả nghiên cứu những vấn đề liên quan

như: Cộng hưởng cyclotron khi có mặt tương tác electron-phonon trong

bán dẫn hố lượng tử, dò bằng quang học cộng hưởng electron-phonon

trong hố lượng tử, hiệu ứng Cerenkov trong bán dẫn dây lượng tử hình

trụ.

Ở nước ngoài:

Trong những năm gần đây, có một số nhóm tác giả chú tâm nghiên

cứu về cộng hưởng electron - phonon trong bán dẫn thấp chiều như:

7

Se Gi Yu, Pevzner V. B. và Kim K. W.: Nghiên cứu cộng hưởng

electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ, tập trung vào nghiên cứu

sự khác nhau về quy tắc lọc lựa để khảo sát khả năng phát hiện sự giam

giữ electron trong dây lượng tử [41].

Sang Chil Lee, Jeong Woo Kanga, Hyung Soo Ahn, Min Yang, Nam

Lyong Kang, Suck Whan Kim: Sử dụng độ dẫn quang thu được từ

phương pháp toán tử chiếu Mori để khảo sát tính chất của cộng hưởng

electron-phonon trong hố lượng tử.

Tuy vậy, chưa có tác giả nào đề cập đến vấn đề độ rộng vạch phổ

trong dây lượng tử hình chữ nhật mà đề tài dự kiến thực hiện.

3. Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật dưới

tác dụng của trường ngoài.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II

để tìm độ dẫn điện và độ rộng vạch phổ do tương tác electron-phonon

trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế vô hạn dưới tác dụng của

trường laser, từ đó khảo sát số về độ rộng vạch phổ.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều

hạt trong vật lý thống kê, trong đó tập trung nhiều vào phương pháp

toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II.

- Lập trình mathematica để tính số và vẽ đồ thị.

8

6. Giới hạn đề tài

Đề tài này tập trung nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng

tử hình chữ nhật với các giới hạn sau:

- Chỉ xét trường hợp phonon khối (3 chiều).

- Chỉ xét phần tuyến tính của độ dẫn.

- Bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại.

7. Bố cục của đề tài

Đề tài gồm có ba phần chính được phân bố thành ba chương:

Chương 1. Một số vấn đề tổng quan.

Chương 2. Tính toán giải tích độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử

hình chữ nhật.

Chương 3. Khảo sát số và đồ thị.

9

NỘI DUNG

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

Chương này trình bày tổng quan về phép chiếu toán tử loại II,

bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật, về Hamiltonian của hệ

electron-phonon khi có mặt trường ngoài; trình bày tính toán

giải tích để thu được biểu thức tenxơ độ dẫn và hàm dạng phổ.

1.1. Phép chiếu toán tử loại II

Phép chiếu toán tử lần đầu tiên được Hazime Mori đưa ra vào năm

1965 khi nghiên cứu sự chuyển tải của hệ nhiều hạt [32], gọi là phép

chiếu toán tử Mori. Qua quá trình nghiên cứu, phép chiếu toán tử Mori

phát triển với nhiều cách định nghĩa toán tử chiếu khác nhau tùy vào

mục đích tính toán. Chẳng hạn, để khai triển biểu thức của tenxơ độ

µ,ν

dẫn được cho bởi (cid:88) (1.1) (cid:104)...Ji(cid:105)µ,ν, σij(ω) = i ω

trong đó Ji là phần tử thứ i của mật độ dòng điện trung bình, đã định

nghĩa hai toán tử chiếu như sau [39]

P... ≡ Q ≡ 1 − P, (1.2) Ji, (cid:104)...(cid:105)µ,ν (cid:104)Ji(cid:105)µ,ν

µ aν)...}, trong dấu ... là toán tử nào đó, ρeq là toán

với (cid:104)...(cid:105)µ,ν = TR{ρeq(a+

tử mật độ cân bằng của hệ.

Nếu toán tử dòng được khai triển

α aβ, với ja = jx + ijy thì (1.1) trở thành

α,β(ja)α,βa+

(cid:80) Ji =

α aβ(cid:105)µ,ν,

µ,ν

α,β

(cid:88) (cid:88) (1.3) σij(ω) = (ja)α,β(cid:104)(...)a+ i ω

10

Khi đó, các toán tử chiếu có thể được định nghĩa theo cách khác như

sau

P... ≡ Q ≡ 1 − P. (1.4) a+ α aβ, (cid:104)a+ (cid:104)...(cid:105)µ,ν α aβ(cid:105)µ,ν

Ta thấy, phương chiếu được chọn sao cho toán tử P luôn là phương

của toán tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương còn lại vuông

góc với phương chiếu của P là Q = 1 - P. Do đó P tác dụng lên toán

tử chọn làm phương chiếu A thì bằng chính toán tử A, Q tác dụng lên

toán tử A bằng không và tích hai toán tử chiếu bằng không.

Chẳng hạn, với các toán tử chiếu của Suzuki A. và Ashikawa M.

[39] thì

(1.5) Ji = Ji, QJi = (1 − P )Ji = 0, P Q = QP = 0 P Ji = (cid:104)Ji(cid:105)µ,ν (cid:104)Ji(cid:105)µ,ν

Phép chiếu thứ nhất chọn phương chiếu là toán tử dòng điện, không

phụ thuộc trạng thái, nên gọi là phép chiếu không phụ thuộc trạng thái.

α aβ, phụ thuộc vào hai trạng thái α và β, nên gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái.

Phép chiếu thứ hai chọn phương chiếu là các toán tử a+

Đây là hai kỹ thuật chiếu được sử dụng nhiều nhất khi nghiên cứu độ

dẫn từ [14].

Ngoài ra, dựa trên hình thức luận Mori, người ta đưa ra nhiều

phương pháp chiếu khác nhau, tùy thuộc vào mục đích tính toán, như

kỹ thuật chiếu cô lập, kỹ thuật chiếu mật độ cân bằng, ...

Như vậy, một cách tổng quát, có hai loại kỹ thuật chiếu: kỹ thuật

chiếu một electron và kỹ thuật chiếu hệ nhiều electron. Kỹ thuật chiếu

hệ nhiều electron được sử dụng rộng rãi hơn vì trên thực tế, nói chung

hình thức luận hệ nhiều hạt trong vật rắn không thể rút gọn về hình

thức luận một hạt. Các phép chiếu hệ nhiều hạt được sử dụng nhiều

nhất là phép chiếu phụ thuộc trạng thái và phép chiếu độc lập trạng

thái. Phép chiếu phụ thuộc trạng thái lại được chia thành hai loại khác

11

nhau, đó là phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I và loại II do nhóm

tác giả Kang N. L. và cộng sự đưa ra trong những năm gần đây [6], [12].

Ta đã biết, Badjou và Argypres [6] là nhóm tác giả đầu tiên đưa ra

phép chiếu phụ thuộc trạng thái trong tính toán công suất hấp thụ của

cyclotron trong bán dẫn. Nhóm tác giả này định nghĩa phép chiếu phụ

thuộc trạng thái như sau:

(1.6)

αβ ≡ 1 − P (k) αβ ,

P (k) αβ X ≡ (cid:104)X(cid:105)αβJk/(cid:104)Jk(cid:105)αβ Q(k)

α aβ]}, Jk là thành phần thứ k của toán tử dòng của hệ. Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái | α(cid:105), | β(cid:105), toán tử P (k) αβ tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử Jk. Phép

trong đó (cid:104)X(cid:105)αβ ≡ TR{ρeq[X, a+

chiếu này được gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I.

Nhóm Kang. N. L. và Choi. S. D. đã định nghĩa phép chiếu phụ

γ aδ/(cid:104)a+

α aβ(cid:105)γδ,

thuộc trạng thái loại II [12] như sau:

(1.7)

P γδ αβX ≡ (cid:104)X(cid:105)γδa+ αβ ≡ 1 − P γδ Qγδ αβ,

γ aδ]}. Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái αβ tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên

trong đó (cid:104)X(cid:105)γδ ≡ TR{ρeq[X, a+ | α(cid:105), | β(cid:105), | γ(cid:105), | δ(cid:105), toán tử P γδ

α aβ.

phương của toán tử a+

α aβ, ta có

α aβ ≡

Khi X = a+

γ aδ,

α aβ(cid:105)γ,δ α aβ(cid:105)γ,δ

a+ γ aδ = a+ P γδ αβa+ (cid:104)a+ (cid:104)a+

α aβ ≡ (1 − P γδ

α aβ = 0.

αβa+

αβ)a+

Qγδ

Nhiều công trình của nhóm Kang, Choi, Sug đã đưa ra phép chiếu độc

lập trạng thái [22], [23], trong đó biểu thức của tenxơ độ dẫn chứa các

thừa số có thể tính được một cách độc lập với trạng thái. Tuy nhiên,

12

khi sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái trong nhiều bài toán khác

nhau [19], [36], nhóm này đã thu được biểu thức của tenxơ độ dẫn và

hàm dạng phổ với dạng phù hợp hơn. Đặc biệt từ biểu thức của hàm

dạng phổ thu được có thể giải thích được quá trình chuyển mức năng

lượng của electron kèm theo sự phát xạ hoặc hấp thụ phonon khi điều

kiện bảo toàn năng - xung lượng được thỏa mãn.

Năm 2008, nhóm Kang, Choi [12] đã đưa ra kĩ thuật chiếu phụ

thuộc trạng thái loại II, so sánh với kĩ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái

loại I của nhóm Badjou và Argyres [6] và nhận thấy nhiều ưu điểm vượt

trội của phép chiếu loại II này. Phép chiếu loại I chỉ áp dụng cho trường

hợp khoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhất là không đổi. Phép

chiếu loại II áp dụng cho trường hợp tổng quát hơn, đó là trường hợp

khoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhất là có thể thay đổi [12].

Đây chính là sự mới mẻ và có nhiều ưu điểm nổi bậc của phép chiếu này.

1.2. Bán dẫn dây lượng tử và Hamiltonian của hệ

electron-phonon khi có mặt điện trường

1.2.1. Bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật

Mô hình dây lượng tử hình chữ nhật hay được đề cập đến trong các

công trình nghiên cứu về mặt lý thuyết cũng như thực nghiệm. Các loại

thế giam giữ hay được sử dụng nhất là thế cao vô hạn, thế parabol, thế

tam giác. Sử dụng loại thế nào là tùy thuộc vào điều kiện của từng bài

toán (các giả thiết về cấu hình electron, cấu trúc hình học của dây, nhiệt

độ, trường ngoài, ...), yêu cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của hố

thế đó.

Xét mô hình dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn bên

13

ngoài dây.

Hàm sóng và năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ

nhật có tiết diện (Lx × Ly) và chiều dài Lz được cho bởi:

(cid:112) |α >= |nα, (cid:126)k >= sin( ) sin( ). (1.8) πnxx Lx πnyy Ly eikz √ Lz 2 LxLy

(cid:195) (cid:33)

ε = + + (1.9) (cid:126)2π2 2m∗ (cid:126)2k2 2m∗ = εn + (cid:126)2k2 2m∗ n2 x L2 x n2 y L2 y

Trong đó (cid:126)k = (0, 0, k) và m∗ lần lượt là véctơ sóng và khối lượng

hiệu dụng của electron.

1.2.2. Hamiltonian của hệ electron - phonon trong điện trường

Xét một hệ điện tử không tương tác với nhau mà chỉ tương tác với

phonon trong một dây lượng tử đặt trong điện trường ngoài biến thiên

3(cid:88)

theo thời gian có dạng

l=1

(cid:126)E(t) = Ele−iωt(cid:126)el,

với (cid:126)el, El và ω lần lượt là vectơ đơn vị, biên độ và tần số của điện trường

theo phương l.

Hamiltonian toàn phần của hệ eletron-phonon trong biểu diễn lượng

tử hóa lần thứ hai được xác định bởi biểu thức [19]

(1.10) H(t) = Heq + Hint(t),

trong đó Heq và Hint(t) tương ứng là phần cân bằng và không cân bằng

của Hamiltonian.

Nếu bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại, khi đó Hamiltonian

cân bằng của hệ bao gồm Hamiltonian của hệ electron, phonon tự do có

14

dạng chéo Hd và Hamiltonian tương tác electron - phonon không chéo

V , chúng có dạng [28]

(1.11) Heq = Hd + V = He + Hph + V,

η

(cid:88) He = a+ η aηεη,

(cid:126)q b(cid:126)q,

(cid:126)q

(cid:88) Hph = (cid:126)ω(cid:126)qb+

η aµ(b(cid:126)q + b+

−(cid:126)q).

η,µ,(cid:126)q

(cid:88) V = Cη,µ((cid:126)q)a+

Trong các biểu thức trên, He và Hp là các Hamitonian của hệ electron và hệ phonon tự do; a+ η (aη) là toán tử sinh (toán tử hủy) của electron ở trạng thái η với năng lượng εη = (cid:104)η|he|η(cid:105); b+ (cid:126)q (b(cid:126)q) là toán tử sinh (hủy) phonon có vectơ sóng (cid:126)q, năng lượng (cid:126)ω(cid:126)q. Đại lượng Cη,µ((cid:126)q) = V(cid:126)q(cid:104)η|ei(cid:126)q(cid:126)r|µ(cid:105) là yếu

tố ma trận tương tác electron - phonon, (cid:126)r là vectơ vị trí của electron, V(cid:126)q

là thừa số kết cặp, phụ thuộc vào mode của phonon.

Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo

thời gian được cho bởi [38]

(cid:126)E(t) (cid:126)J. (1.12) Hint(t) = − i ω

Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, biểu thức Hamiltonian tương tác có

thêm thừa số e∆t, với ∆ → +0. Lúc đó (1.12) trở thành

(1.13) Hint(t) = − E(cid:96)e−i¯ωtJ(cid:96). i ω

với ¯ω = ω − i∆.

15

1.3. Tính toán giải tích hàm dạng phổ

1.3.1. Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn

Khi hệ electron-phonon trong bán dẫn được đặt trong điện trường

biến thiên theo thời gian thì trong hệ sẽ xuất hiện độ dẫn quang. Giả sử

độ dẫn suy ra từ mật độ dòng điện được viết theo khai triển của toán

tử mật độ thành tổng các số hạng từ bậc một đến bậc n. Bây giờ ta tìm khai triển của toán tử mật độ dòng điện (cid:126)J.

Giá trị trung bình của một đại lượng bất kỳ theo phương pháp

thống kê lượng tử bằng vết nhiều hạt của tích đại lượng này với toán

tử mật độ. Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, toán

tử mật độ cân bằng của hệ lúc này là ρeq. Khi có mặt trường ngoài phụ

thuộc thời gian, toán tử mật độ thay đổi theo thời gian và có thể khai

triển thành

(1.14) ρ(t) = ρeq + ρint(t),

trong đó ρint(t) là toán tử mật độ khi có nhiễu loạn. Phương trình Liou-

ville cho toán tử mật độ có dạng

i(cid:126) = [H(t), ρ(t)] ≡ L(t)ρ(t), (1.15) ∂ρ(t) ∂t

L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L(t)X ≡ [H(t), X],

với X là toán tử tuyến tính bất kỳ. Toán tử Liouville cũng có thể phân

tích thành hai thành phần, L(t) = Leq + Lint(t), tương ứng với các thành

phần Heq và Hint(t).

Thay biểu thức của H(t) và ρ(t) trong (1.10) và (1.14) vào phương

trình (1.15) ta được

+i(cid:126) i(cid:126) = [Heq, ρeq]+[Heq, ρint(t)]+[Hint(t), ρeq]+[Hint(t), ρint(t)]. ∂ρeq ∂t ∂ρint(t) ∂t

16

Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian nên

i(cid:126) (1.16) = [Heq, ρeq] = 0, ∂ρeq ∂t

vì vậy phương trình Liouville trở thành

(1.17) i(cid:126) = [Heq, ρint(t)] + [Hint(t), ρeq] + [Hint(t)ρint(t)]. ∂ρint(t) ∂t

Để tìm ρint(t), ta định nghĩa toán tử mật độ trong biểu diễn Dirac

[25]

int(t) = eiHeqt/(cid:126)ρint(t)e−iHeqt/(cid:126). ρD

(1.18)

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (1.18) theo thời gian

i(cid:126) = i(cid:126)eiHeqt/(cid:126)( e−iHeqt/(cid:126) Heq)ρint(t)e−iHeqt/(cid:126) + i(cid:126)eiHeqt/(cid:126) ∂ρint(t) ∂ρD int(t) ∂t i (cid:126) ∂t

Heq)e−iHeqt/(cid:126) i (cid:126)

e−iHeqt/(cid:126). + i(cid:126)eiHeqt/(cid:126)ρint(t)(− = −eiHeqt/(cid:126)[Heq, ρint(t)]e−iHeqt/(cid:126) + i(cid:126)eiHeqt/(cid:126) ∂ρint(t) ∂t

Thay biểu thức (1.17) vào số hạng thứ hai ở vế phải và rút gọn, ta được

i(cid:126) = eiHeqt/(cid:126)[Hint(t), ρeq]e−iHeqt/(cid:126) +eiHeqt/(cid:126)[Hint(t), ρint(t)]e−iHeqt/(cid:126). ∂ρD int(t) ∂t

(1.19)

Mặt khác, ta có đẳng thức (phụ lục 1)

eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126) = eiLeqt/(cid:126)A,

nên biểu thức (1.19) có thể viết lại thành

i(cid:126) = eiLeqt/(cid:126)Lint(t)ρeq + eiLeqt/(cid:126)Lint(t)ρint(t). ∂ρD int(t) ∂t

Tích phân hai vế của biểu thức này từ −∞ đến t với điều kiện ban đầu

ρD int|t→−∞ = 0, ta được

(cid:90) t (cid:90) t

int(t) =

−∞

−∞

i(cid:126)ρD dueiLequ/(cid:126)Lint(u)ρeq + dueiLequ/(cid:126)Lint(u)ρint(u).

(1.20)

17

int(t) = eiLeqt/(cid:126)ρint(t), thay vào vế trái của (1.20) rồi nhân

Từ phụ lục 1: ρD

bên trái của hai vế với e−iLeqt/(cid:126), viết gọn lại ta được

(cid:90) t (cid:90) t

−∞

−∞

i(cid:126)ρint(t) = dueiLeq(u−t)/(cid:126)Lint(u)ρeq + dueiLeq(u−t)/(cid:126)Lint(u)ρint(u).

(1.21)

Đổi biến tích phân t1 = t − u, ta suy ra

(cid:90) ∞

0 (cid:90) ∞

ρint(t) = dt1e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)ρeq

0

+ dt1e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)ρint(t − t1). 1 i(cid:126) 1 i(cid:126)

Đây là biểu thức của toán tử mật độ nhiễu loạn khi có trường ngoài

tại thời điểm t. Toán tử mật độ lúc này được phân tích thành tổng hai

thành phần, một thành phần chứa toán tử mật độ trung bình và thành

phần kia chứa toán tử mật độ nhiễu loạn tại thời điểm t − t1. Viết biểu

thức này cho ρint(t − t1) bằng cách thay t bởi (t − t1), sau đó thay biểu

thức thu được vào biểu thức của ρint(t), ta được

(cid:90) ∞

0

ρint(t) =

1 i(cid:126) (cid:90) ∞ dt1e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)ρeq (cid:90) ∞

0 (cid:90) ∞

0 (cid:90) ∞

+ dt1 dt2e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)e−iLeqt2/(cid:126)Lint(t − t1 − t2)ρeq

0

0

+ dt1 dt2e−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1)e−iLeqt2/(cid:126) 1 (i(cid:126))2 1 (i(cid:126))2

× Lint(t − t1 − t2)ρint(t − t1 − t2).

Tiếp tục thay biểu thức của ρint(t−t1−t2) . . . cho đến ρint(t−t1−. . .−tn),

ta được biểu thức khai triển của toán tử mật độ đến số hạng thứ n,

∞(cid:88)

(cid:90) ∞ (cid:90) ∞ (cid:90) ∞

0

0

0

n=1

dt1 dt2 · · · dtne−iLeqt1/(cid:126)Lint(t − t1) ρint(t) = 1 (i(cid:126))n

× e−iLeqt2/(cid:126)Lint(t − t1 − t2) · · · e−iLeqtn/(cid:126)Lint(t − t1 − · · · − tn)ρeq

≡ ρ(1)(t) + ρ(2)(t) + · · · + ρ(n)(t),

(1.22)

18

trong đó ρ(i)(t), với i = 1, . . . , n, là ma trận thứ i trong khai triển.

Từ khai triển của toán tử mật độ, ta có thể tìm giá trị trung bình

của một đại lượng động lực bất kỳ một cách chính xác (khai triển đến

bậc n). Ở đây ta quan tâm đến độ dẫn của hệ. Trung bình theo tập hợp

∞(cid:88)

∞(cid:88)

thống kê (emsemble average) của thành phần thứ k (k ≡ x, y, z) của toán tử mật độ dòng điện (cid:126)J được cho bởi [21]

k (cid:105) =

n=1

n=1

(cid:104)J (n) (1.23) (cid:104)Jk(cid:105)ens = TR{Jkρ(n)(t)},

trong đó TR là phép lấy vết nhiều hạt (many-body trace) , (cid:104)..(cid:105) là kí hiệu

trung bình thống kê và toán tử dòng của hệ nhiều electron Jk được viết

dưới dạng khai triển theo các toán tử dòng của một electron jk

γ aδ,

α aβ, J(cid:96) =

γδ

αβ

(cid:88) (cid:88) (1.24) (j(cid:96))γδa+ Jk = (jk)αβa+

với (jk)αβ ≡ (cid:104)α | jk | β(cid:105), (j(cid:96))γδ ≡ (cid:104)γ | j(cid:96) | δ(cid:105).

Từ đó ta tìm được số hạng trung bình bậc 1 của toán tử mật độ

dòng

∞(cid:90)

(cid:190) (cid:189)

(cid:126) t1Lint(t − t1)ρeq

k (cid:105) = TR{Jkρ(1)(t)} =

0

. (1.25) (cid:104)J (1) dt1e− iLeq Jk TR 1 i(cid:126)

Theo [38], Hamiltonian tương tác phụ thuộc trường ngoài biến thiên

theo thời gian

(cid:126)E(t) (cid:126)J = − (1.26) E(cid:96)e−i¯ωtJ(cid:96). Hint(t) = − i ω i ω

Do đó

(cid:126)E(t) (cid:126)J = − (1.27) E(cid:96)e−i¯ω(t−t1)J(cid:96). Hint(t − t1) = − i ω i ω

Từ (1.25) và (1.27) ta tìm được

∞(cid:90)

(cid:189) (cid:184)(cid:190) (cid:183)

k (cid:105) =

0

(cid:104)J (1) − TR Jk dt1e− iLeq (cid:126) t1 E(cid:96)e−i¯ω(t−t1)J(cid:96), ρeq 1 i(cid:126) i ω

19

(cid:190) (cid:189) ∞(cid:90)

(cid:126) +i¯ω)t1E(cid:96)e−i¯ωtJk[J(cid:96), ρeq]

0

= − TR dt1e(− iLeq 1 (cid:126)ω

(cid:126)

)t1 |∞ 0

(cid:170) = − (cid:169) E(cid:96)e−i¯ωte−i( Leq −(cid:126)¯ω TR Jk[J(cid:96), ρeq] 1 (cid:126)ω (cid:126) −i(Leq − (cid:126)¯ω)

= (1.28) TR{E(cid:96)e−i¯ωt((cid:126)¯ω − Leq)−1Jk[J(cid:96), ρeq]}. i ω

Áp dụng TR{A, [B, C]} = TR{C[A, B]}, ta viết lại (1.28) như sau

k (cid:105) =

(cid:104)J (1) (1.29) TR{ρeq[((cid:126)¯ω − Leq)−1Jk, J(cid:96)]E(cid:96)e−i¯ωt}. i ω

Ta đặt

E(cid:96)(¯ω) = E(cid:96)e−i¯ωt,

(1.30) σk(cid:96)(ω) = TR{ρeq[((cid:126)¯ω − Leq)−1Jk, J(cid:96)]}, i ω

và (1.29) trở thành

k (cid:105) = σk(cid:96)(ω)E(cid:96)(¯ω).

(cid:104)J (1) (1.31)

Đại lượng σkl(ω) được gọi là tenxơ độ dẫn tuyến tính. Thay (1.24)

vào (1.30) ta được biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn

αβ

γ,δ

(cid:88) (cid:88) (1.32) σk(cid:96)(ω) = (jk)αβ(j(cid:96))γδΛγδ(¯ω), i ω

α aβ(cid:105)γδ và (cid:104)X(cid:105)γδ = TR{ρeq[X, a+

γ aδ]}.

với Λγδ(¯ω) = (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+

1.3.2. Sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để tính

biểu thức tenxơ độ dẫn

Trong phần trên, biểu thức của độ dẫn tuyến tính có dạng

αβ

γ,δ

(cid:88) (cid:88) (1.33) (jk)αβ(j(cid:96))γδΛγδ(¯ω), σk(cid:96)(ω) = i ω

α aβ(cid:105)γδ.

Bây giờ ta tìm biểu thức cụ thể của Λγδ(¯ω) = (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+

20

Để thực hiện điều đó, ta định nghĩa hai toán tử chiếu phụ thuộc

αβ và Qγδ

αβ như sau [12]

trạng thái loại II P γδ

αβX ≡

P γδ a+ γ aδ, (cid:104)a+ (cid:104)X(cid:105)γδ α aβ(cid:105)γδ

αβ ≡ 1 − P γδ αβ,

Qγδ

trong đó

γ aδ]},

(cid:104)X(cid:105)γ,δ ≡ TR{ρeq[X, a+

α aβ, ta có

γ aδ = a+ a+

γ aδ,

α aβ ≡

với X = a+

α aβ(cid:105)γ,δ α aβ(cid:105)γ,δ

P γδ αβa+ (cid:104)a+ (cid:104)a+

α aβ = 0.

α aβ ≡ (1 − P γδ

αβ)a+

αβa+

Qγδ

α aβ của Λγδ(¯ω). Bằng cách tác dụng

Trước hết, ta tính ((cid:126)¯ω −Leq)−1a+

P0 + Q0 = 1 về bên phải của toán tử Leq, ta được

α aβ = ((cid:126)¯ω − Leq(P0 + Q0))−1a+

α aβ = (((cid:126)¯ω − LeqQ0) − LeqP0)−1a+

α aβ.

((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (1.34)

Sử dụng đẳng thức (AB) [12]: (A − B)−1 = A−1 + A−1B(A − B)−1,

α aβ(cid:105)γ,δ

đối với phương trình (1.34), ta có

α aβ =

α aβ(cid:105)γ,δ

+ ((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ a+ γ aδ a+ α aβ (cid:126)¯ω Leq(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

(1.35) + LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Leq a+ γ aδ (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

= SH1(1.35) + SH2(1.35) + SH3(1.35),

α aβ = 0 hay Q0a+

α aβ = 0.

αβLda+

trong đó ta đã tính đến Qγδ

α aβ(cid:105)γ,δ

Thay Leq = Ld + Lν vào SH2(1.35) và SH3(1.35)

α aβ(cid:105)γ,δ

SH2(1.35) = (1.36) a+ γ aδ (Ld + Lν)(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+

21

α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

= a+ γ aδ + a+ γ aδ

= a+ γ aδ + a+ γ aδ, Ld(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ εγ,δ(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ Lν(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ Lν(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

γ aδ = εγ,δa+

γ aδ (Phụ lục 4).

trong đó ta đã sử dụng Lda+

α aβ(cid:105)γ,δ

SH3(1.35) =

α aβ(cid:105)γ,δ

LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Ld a+ γ aδ (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

+ LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lν a+ γ aδ (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

= LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1εγ,δ a+ γ aδ

α aβ(cid:105)γ,δ

(1.37) + LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lν a+ γ aδ

= LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lν a+ γ aδ. (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

Thay (1.36) và (1.37) vào (1.35), ta suy ra

α aβ = εγ,δ(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

+ a+ γ aδ + a+ γ aδ ((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ a+ α aβ (cid:126)¯ω Lν(cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

+ LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lν a+ γ aδ (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω(cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

γ aδ

γ aδ

= +

+ + }. × { a+ α aβ (cid:126)¯ω εγ,δa+ (cid:126)¯ω (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ Lνa+ γ aδ (cid:126)¯ω LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+ (cid:126)¯ω

(1.38)

Lấy trung bình hai vế (1.38), ta nhận được

α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ =

α aβ(cid:105)γ,δ (cid:126)¯ω

γ aδ(cid:105)γ,δ

(cid:104)a+ (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ + (1.39) (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+ (cid:126)¯ω

γ aδ(cid:105)γ,δ α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

+ }. {εγ,δ + (cid:104)Lνa+ (cid:104)a+ (cid:104)LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+ (cid:104)a+

22

Đặt

γ aδ(cid:105)γ,δ α aβ(cid:105)γ,δ

γ aδ(cid:105)γ,δ

(1.40) , Ωγ,δ = (cid:104)Lνa+ (cid:126)(cid:104)a+

α aβ(cid:105)γ,δ

Γγ,δ(¯ω) = (cid:104)LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+ (cid:126)(cid:104)a+

γ aδ, a+

γ aδ]}/(cid:126)(cid:104)a+

α aβ(cid:105)γ,δ.

= TR{ρeq[LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+

(1.41)

Thay (1.40), (1.41) vào (1.39) và chuyển vế

α aβ(cid:105)γ,δ =

α aβ(cid:105)γ,δ (cid:126)¯ω − εγ,δ − (cid:126)Ωγ,δ − (cid:126)Γγ,δ(¯ω)

(cid:104)a+ . (1.42) (cid:104)((cid:126)¯ω − Leq)−1a+

Thay (1.42) vào Λγδ(¯ω), ta suy ra

α aβ(cid:105)γ,δ (cid:126)¯ω − εγ,δ − (cid:126)Ωγ,δ − (cid:126)Γγ,δ(¯ω)

(cid:104)a+ (1.43) . Λγ,δ(¯ω) =

Thay (1.43) vào (1.33) ta có biểu thức tenxơ độ dẫn

α aβ(cid:105)γ,δ (cid:126)¯ω − εγ,δ − (cid:126)Ωγ,δ − (cid:126)Γγ,δ(¯ω)

αβ

γ,δ

(cid:88) (cid:88) (cid:104)a+ . (1.44) (jk)αβ(j(cid:96))γδ σk(cid:96)(ω) = i ω

trong đó Ωγ,δ và Γγ,δ(¯ω) được gọi là các hàm dạng phổ cho trường hợp

tuyến tính. Ta có thể chứng minh được Ωγ,δ(¯ω) = 0 (Phụ lục 5), nên

(1.43) và (1.44) được viết lại như sau

α aβ(cid:105)γ,δ (cid:126)¯ω − εγ,δ − (cid:126)Γα,β(¯ω)

(cid:104)a+ , (1.45) Λγ,δ(¯ω) =

α aβ(cid:105)γ,δ (cid:126)¯ω − εγ,δ − (cid:126)Γγ,δ(¯ω)

αβ

γ,δ

(cid:88) (cid:88) (cid:104)a+ . (1.46) σk(cid:96)(ω) = (jk)αβ(j(cid:96))γδ i ω

23

Chương 2.

TÍNH GIẢI TÍCH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

Chương này trình bày tính toán giải tích tường minh độ rộng

vạch phổ cho mô hình được chọn. Biểu thức của hàm dạng

phổ có chứa độ dịch phổ và độ rộng vạch phổ thể hiện các quá

trình chuyển mức của electron do tương tác với phonon và điện

trường ngoài.

2.1. Biểu thức độ rộng vạch phổ

2.1.1. Biểu thức của hàm dạng phổ

Bây giờ ta tính biểu thức hàm dạng phổ trong (1.46). Sử dụng tính

chất hoán vị vòng của vết và tính chất giao hoán của ρeq với Heq, ta có

hệ thức (Phụ lục 6)

(cid:169) TR ρeq[LeqQ0X, a+ (2.1) (cid:169) . = TR ρeq[Lνa+ − TR (cid:169) ρeq[LνP0X, a+ (cid:170) γ aδ] (cid:170) γ aδ, X] (cid:170) γ aδ]

γ aδ vào (2.1), ta được

Thay X = ((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+

(cid:169) TR ρeq[LeqQ0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+

γ aδ, a+ γ aδ, ((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+

(cid:169) (2.2) ρeq[Lνa+ = TR

(cid:169) . − TR ρeq[LνP0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+ (cid:170) γ aδ] (cid:170) γ aδ] γ aδ, a+ (cid:170) γ aδ]

24

Thay (2.2) vào (1.41), ta có

γ aδ, ((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ

Γγ,δ(¯ω) = TR (cid:169) ρeq[Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ

(2.3) /(cid:126)(cid:104)a+ (cid:169) ρeq[LνP0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+ − TR (cid:170) γ aδ] γ aδ, a+ /(cid:126)(cid:104)a+ (cid:170) γ aδ]

= SH1(2.3) − SH2(2.3).

γ aδ, a+

α aβ(cid:105)γ,δ

γ aδ]

α aβ(cid:105)γ,δ = 0.

γ aδ(cid:105)γ,δa+ ρeq[Lν((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1 (cid:104)Lνa+ (cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ

(cid:169) /(cid:126)(cid:104)a+ Toán tử P0 tác dụng lên các toán tử trong SH2(2.3) (cid:170) γ aδ] (cid:190) SH2(2.3) = TR (cid:189) ρeq[LνP0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+ γ aδ , a+ /(cid:126)(cid:104)a+ = TR

(2.4)

Thay (2.4) vào (2.3), ta có

γ aδ, ((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ.

(cid:169) (2.5) /(cid:126)(cid:104)a+ Γγ,δ(¯ω) = TR ρeq[Lνa+ (cid:170) γ aδ]

Thay LeqQ0 = Leq(1 − P0) = Leq − LeqP0 vào (2.5), rồi sau đó áp dụng đẳng thức (AB) [12]: (A + B)−1 = A−1 − A−1B(A + B)−1 , ta được

γ aδ, ((cid:126)¯ω − Leq + LeqP0)−1Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ

α aβ(cid:105)γ,δ

/(cid:126)(cid:104)a+ (cid:169) ρeq[Lνa+ (cid:170) γ aδ] Γγ,δ(¯ω) = TR (cid:169) /(cid:126)(cid:104)a+ = TR ρeq[Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ

(cid:169) /(cid:126)(cid:104)a+ − TR ρeq[Lνa+ (cid:170) γ aδ, ((cid:126)¯ω − Leq)−1Lνa+ γ aδ] γ aδ, ((cid:126)¯ω − Leq)−1LeqP0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+ (cid:170) γ aδ]

= SH1(2.6) − SH2(2.6).

(2.6)

Giả sử tương tác là yếu, khi đó ta có thể lấy gần đúng ρeq ≈ ρd.

Thay Leq = Ld + Lν vào SH1(2.6), rồi sau đó áp dụng đẳng thức (AB)

γ aδ, ((cid:126)¯ω − Ld − Lν)−1Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ

(cid:169) /(cid:126)(cid:104)a+ ρd[Lνa+ (cid:170) γ aδ]

γ aδ, ((cid:126)¯ω − Ld)−1Lνa+ α aβ(cid:105)γ,δ γ aδ, ((cid:126)¯ω − Ld)−1Lν((cid:126)¯ω − Leq)−1Lνa+

γ aδ]

α aβ(cid:105)γ,δ.

/(cid:126)(cid:104)a+ SH1(2.6) = TR (cid:169) ρd[Lνa+ = TR (cid:170) γ aδ] (cid:169) (cid:170) /(cid:126)(cid:104)a+ + TR ρd[Lνa+

(2.7)

25

ν ≈ 0, nên (2.7) được viết lại

Xét gần đúng thế tán xạ bậc hai thì L2

γ aδ, ((cid:126)¯ω − Ld)−1Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ.

(cid:169) (2.8) /(cid:126)(cid:104)a+ SH1(2.6) = TR ρd[Lνa+ (cid:170) γ aδ]

Toán tử P0 tác dụng lên các toán tử ở bên phải của nó trong

SH2(2.6)

γ aδ, ((cid:126)¯ω − Leq)−1LeqP0((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1Lνa+

(cid:169) SH2(2.6) = TR ρeq[Lνa+ (cid:170) γ aδ]

α aβ(cid:105)γ,δ (cid:189)

/(cid:126)(cid:104)a+ (cid:190)

γ aδ, ((cid:126)¯ω − Leq)−1Leq((cid:126)¯ω − LeqQ0)−1 (cid:104)Lνa+ (cid:104)a+

γ aδ(cid:105)γ,δ α aβ(cid:105)γ,δ

= TR ρd[Lνa+ a+ γ aδ]

α aβ(cid:105)γ,δ = 0.

/(cid:126)(cid:104)a+

(2.9)

Thay (2.8) và (2.9) vào (2.6), ta được

γ aδ, ((cid:126)¯ω − Ld)−1Lνa+

α aβ(cid:105)γ,δ.

(2.10) /(cid:126)(cid:104)a+ Γγ,δ(¯ω) = TR (cid:169) ρd[Lνa+ (cid:170) γ aδ]

Bây giờ ta tìm biểu thức giải tích cho hàm dạng phổ. Với toán tử

sinh hủy electron, ta có (cid:169) (cid:170) TR ρda+ = fαδα,β,

α aβ ρdaβa+ α

α ]+ − a+

α aβ)

(cid:169) (cid:170) (cid:169) (cid:170) TR = TR ρd([aβ, a+ = (1 − fα)δα,β.

Với toán tử sinh hủy phonon, ta có (cid:111) (cid:110)

(cid:126)q b(cid:126)q(cid:48)

TR ρdb+ = N(cid:126)qδ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) , (cid:111) (cid:111)

(cid:126)q ] + b+

(cid:126)q b(cid:126)q(cid:48) )

= TR TR (cid:110) ρd([b(cid:126)q(cid:48) , b+ = (1 + N(cid:126)q)δ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) , (cid:110) ρdb(cid:126)q(cid:48) b+ (cid:126)q

kBT )]−1 là hàm phân bố Fermi-Dirac của electron

kBT )−1]−1 là hàm phân bố Bose-Einstein của phonon có năng

trong đó fα = [1+exp( εα−εF

ở trạng thái |α(cid:105); εF là năng lượng Fermi ở nhiệt độ T ; N(cid:126)q = [exp( (cid:126)ω(cid:126)q lượng (cid:126)ω(cid:126)q.

Biểu thức hàm dạng phổ (2.10) có thể tính cụ thể từ khai triển các

số hạng và tính trung bình thống kê theo toán tử mật độ.

26

Thay các Hamiltonian tương ứng cùng toán tử Liouville vào, ta có

(Phụ lục 7)

α aβ(cid:105)γ,δ = TR

α aβ, a+

(cid:104)a+ (2.11) (cid:169) ρd[a+ = (fδ − fγ)δγ,βδα,δ. (cid:170) γ aδ]

Thay (2.11) vào (1.46), sau đó lấy tổng theo γ và δ, ta được

αβ

(cid:88) (2.12) σk(cid:96)(ω) = (jk)αβ(j(cid:96))βα i ω fβ − fα (cid:126)¯ω − εαβ − (cid:126)Γαβ(¯ω)

Theo phụ lục 7-11 ta có các hệ thức sau

α aβ =

η aβ +

η aβ

−(cid:126)qa+

(cid:88) (cid:88) Lνa+ Cη,α((cid:126)q)b+ Cη,α((cid:126)q)b(cid:126)qa+

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

(2.13)

α aµ −

α aµ,

−(cid:126)qa+

µ,(cid:126)q (cid:88)

µ,(cid:126)q (cid:88)

− Cβ,µ((cid:126)q)b+ Cβ,µ((cid:126)q)b(cid:126)qa+

η aα

η aα +

β aα =

−(cid:126)qa+

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

Cη,β((cid:126)q)b+ Lνa+ Cη,β((cid:126)q)b(cid:126)qa+

β aµ −

β aµ,

−(cid:126)qa+

µ,(cid:126)q

µ,(cid:126)q Ldb+

η aα = (εη,α + (cid:126)ω−(cid:126)q)b+

η aα.

−(cid:126)qa+

−(cid:126)qa+ Ldb(cid:126)qa+

η aα,

η aα = (εη,α − (cid:126)ω(cid:126)q)b(cid:126)qa+

− Cα,µ((cid:126)q)b+ Cα,µ((cid:126)q)b(cid:126)qa+

β aµ = (εβ,µ − (cid:126)ω(cid:126)q)b(cid:126)qa+

β aµ,

Ldb(cid:126)qa+

β aµ = (εβ,µ − (cid:126)ω−(cid:126)q)b+

β aµ,

−(cid:126)qa+

−(cid:126)qa+

Ldb+

β aα Cη,β((cid:126)q)((cid:126)¯ω − Ld)−1b(cid:126)qa+

η aα +

η aα

−(cid:126)qa+

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

((cid:126)¯ω − Ld)−1Lνa+ (cid:88) (cid:88) = Cη,β((cid:126)q)((cid:126)¯ω − Ld)−1b+

β aµ −

β aµ

−(cid:126)qa+

µ,(cid:126)q

µ,(cid:126)q

− Cα,µ((cid:126)q)((cid:126)¯ω − Ld)−1b+ Cα,µ((cid:126)q)((cid:126)¯ω − Ld)−1b(cid:126)qa+

= SH1(2.14) + SH2(2.14) − SH3(2.14) − SH4(2.14),

(2.14)

η aα

η,(cid:126)q

(cid:88) SH1(2.14) = , Cη,β((cid:126)q) b(cid:126)qa+ (cid:126)¯ω − εη,α + (cid:126)ω(cid:126)q

27

η aα

η,(cid:126)q

(cid:88) SH2(2.14) = , Cη,β((cid:126)q) b+ −(cid:126)qa+ (cid:126)¯ω − εη,α − (cid:126)ω−(cid:126)q

β aµ

µ,(cid:126)q

(cid:88) SH3(2.14) = , Cα,µ((cid:126)q) b(cid:126)qa+ (cid:126)¯ω − εβ,µ + (cid:126)ω(cid:126)q

β aµ

−(cid:126)qa+ b+ (cid:126)¯ω − εβ,µ − (cid:126)ω−(cid:126)q

µ,(cid:126)q

(cid:88) SH4(2.14) = . Cα,µ((cid:126)q)

Thay các số hạng SH1(2.14), SH2(2.14), SH3(2.14) và SH4(2.14) vào

(2.14), ta được

β aα

((cid:126)¯ω − Ld)−1Lνa+

η aα

η aα

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

β aµ

β aµ

(cid:88) (cid:88) + = Cη,β((cid:126)q) Cη,β((cid:126)q) b(cid:126)qa+ ((cid:126)¯ω − εη,α + (cid:126)ω(cid:126)q) b+−(cid:126)qa+ (cid:126)¯ω − εη,α − (cid:126)ω−(cid:126)q

−(cid:126)qa+ b+ (cid:126)¯ω − εβ,µ − (cid:126)ω−(cid:126)q

µ,(cid:126)q

µ,(cid:126)q

− − Cα,µ((cid:126)q) Cα,µ((cid:126)q) b(cid:126)qa+ (cid:126)¯ω − εβ,µ + (cid:126)ω(cid:126)q

η aα

η aα

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

β aµ

β aµ

(cid:88) (cid:88) + = Cη,β((cid:126)q) Cη,β((cid:126)q) b(cid:126)qa+ ((cid:126)¯ω − εη,α + (cid:126)ω(cid:126)q) b+(cid:126)qa+ (cid:126)¯ω − εη,α − (cid:126)ω(cid:126)q

(cid:126)q a+ b+ (cid:126)¯ω − εβ,µ − (cid:126)ω(cid:126)q

µ,(cid:126)q

µ,(cid:126)q

− − Cα,µ((cid:126)q) Cα,µ((cid:126)q) b(cid:126)qa+ (cid:126)¯ω − εβ,µ + (cid:126)ω(cid:126)q

η,α ((cid:126)q)b(cid:126)qa+

η aα +

η,α ((cid:126)q)b+

η aα

(cid:126)q a+

(cid:88) (cid:88) = Cη,β((cid:126)q)G(+) Cη,β((cid:126)q)G(−)

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

(2.15)

β aµ −

β aµ,

β,µ((cid:126)q)b(cid:126)qa+

β,µ((cid:126)q)b+

(cid:126)q a+

µ,(cid:126)q

µ,(cid:126)q

− Cα,µ((cid:126)q)G(+) Cα,µ((cid:126)q)G(−)

trong đó

α,β((cid:126)q) = [(cid:126)¯ω − εα,β ± (cid:126)ω(cid:126)q]−1.

G(±) (2.16)

28

Thay (2.11), (2.13), (2.15) vào (2.10), rồi lấy tổng theo γ và δ, ta được

(cid:48)

η aα]} SH1.1

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβ, b(cid:126)qa+

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48),η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

(fβ − fα)(cid:126)Γα,β(¯ω) (cid:88) = )Cη,β((cid:126)q)G(+) Cη(cid:48),α((cid:126)q

η aα]} SH1.2

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβ, b+

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48) ,η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

+ )Cη,β((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β aµ]} SH1.3

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβ, b(cid:126)qa+

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

− )Cα,µ((cid:126)q)G(+) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β aµ]} SH1.4

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβ, b+

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q

− )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

(cid:48)

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b+

η aα]} SH2.1

(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβ, b(cid:126)qa+

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48),η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

(cid:88) + )Cη,β((cid:126)q)G(+) Cη(cid:48),α((cid:126)q

η aα]} SH2.2

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b+

(cid:126)q a+

(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβ, b+

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48),η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

+ )Cη,β((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β aµ]} SH2.3

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b+

(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβ, b(cid:126)qa+

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

− )Cα,µ((cid:126)q)G(+) Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

β aµ]} SH2.4

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b+

(cid:126)q a+

(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβ, b+

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q

− )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

(cid:48)

η aα]} SH3.1

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

α aµ(cid:48) , b(cid:126)qa+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48),η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

(cid:88) − )Cη,β((cid:126)q)G(+) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

η aα]} SH3.2

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

α aµ(cid:48) , b+

(cid:126)q a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48),η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

− )Cη,β((cid:126)q)G(−) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

α aµ(cid:48) , b(cid:126)qa+

β aµ]} SH3.3

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

+ )Cα,µ((cid:126)q)G(+) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

α aµ(cid:48) , b+

β aµ]} SH3.4

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q

+ )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

(cid:48)

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b+

η aα]} SH4.1

α aµ(cid:48) , b(cid:126)qa+

(cid:126)q(cid:48) a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48) ,η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

(cid:88) − )Cη,β((cid:126)q)G(+) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b+

η aα]} SH4.2

α aµ(cid:48) , b+

(cid:126)q a+

(cid:126)q(cid:48) a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48) ,η,(cid:126)q

− )Cη,β((cid:126)q)G(−) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

29

(cid:48)

α aµ(cid:48) , b(cid:126)qa+

β aµ]} SH4.3

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b+

(cid:126)q(cid:48) a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

(cid:88) + )Cα,µ((cid:126)q)G(+) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

α aµ(cid:48) , b+

β aµ]} SH4.4

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b+

(cid:126)q a+

(cid:126)q(cid:48) a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q

+ )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

(2.17)

Trong (2.17) có 16 số hạng, trong đó có 8 số hạng chứa hoặc 2 toán

tử sinh phonon hoặc 2 toán tử hủy phonon, đó là SH1.1, SH1.3, SH2.2,

SH2.4, SH3.1, SH3.3, SH4.2, SH4.4. Tám số hạng này sẽ cho đóng góp

bằng 0 vì trị trung bình của hai toán tử cùng sinh phonon hoặc cùng

hủy phonon bằng không. Thật vậy, chẳng hạn từ (2.17) ta chứng minh

η(cid:48) aβ, b(cid:126)qa+

η aα]a+

với SH1.1, áp dụng khai triển giao hoán tử, ta có (Theo phụ lục 12)

η(cid:48) aβ)} η aαa+

η(cid:48) aβ}

(2.18)

η aβδη(cid:48),α)}

η aα] + [b(cid:126)q(cid:48) , b(cid:126)qa+ η aα]} + TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) , b(cid:126)q]a+ η(cid:48) aαδβ,η − a+

TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+ η aα]} η(cid:48) aβ, b(cid:126)qa+ = TR{ρd(b(cid:126)q(cid:48) [a+ η(cid:48) aβ, a+ = TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q[a+ = TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q}TR{ρd(a+

= 0.

Trong tám số hạng còn lại có bốn số hạng cho đóng góp bằng không

đó là SH1.2, SH2.1, SH3.4, SH4.3.

η(cid:48) aβ, b+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβ)} η aαa+

η aα] + [b(cid:126)q(cid:48) , b+ η aα]} + TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) , b+

η aα]a+ (cid:126)q ]a+

η(cid:48) aβ} η aαa+

η aβδη(cid:48),α)} + TR{ρda+

(cid:126)q a+ TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+ η aα]} (cid:126)q a+ η(cid:48) aβ, b+ = TR{ρd(b(cid:126)q(cid:48) [a+ η(cid:48) aβ, a+ (cid:126)q [a+ = TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+ η(cid:48) aαδβ,η − a+ (cid:126)q (a+ = TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+

η(cid:48) aβδ(cid:126)q(cid:48),(cid:126)q}

η aαa+

Thật vậy, ta chứng minh với SH1.2

η aβδη(cid:48),α} + TR{ρda+

(cid:126)q a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aαδβ,η} − TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+

η(cid:48) aβδ(cid:126)q(cid:48),(cid:126)q}

η aβ}δη(cid:48),α

(cid:126)q }TR{ρda+

(cid:126)q }TR{ρda+

η(cid:48) aα}δβ,η − TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+

= TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+

η aαa+

η(cid:48) aβδ(cid:126)q(cid:48),(cid:126)q}

= TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+ + TR{ρda+

30

= (1 + N(cid:126)q)δ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) fη(cid:48) δβ,ηδη(cid:48),α − (1 + N(cid:126)q)δ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) fηδη(cid:48),αδη,β + fηδη,β(1 − fαδη(cid:48),αδ(cid:126)q(cid:48),(cid:126)q)

= 0.

Vì η (cid:54)= β nên δη,β = 0

Đối với 4 số hạng còn lại khác 0, ta tính cụ thể cho một số hạng rồi

suy ra tương tự cho các số hạng còn lại

Theo phụ lục 13 ta có

(cid:48)

β aµ]}

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβ, b+

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

SH1.4 (cid:88) = − )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β aµ − b+

β aµb(cid:126)q(cid:48) a+

β,µ((cid:126)q)TR{ρd(b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβb+

η(cid:48) aβ)}

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

= − )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β aµ − b+

β aµa+

β,µ((cid:126)q)TR{ρd(b(cid:126)q(cid:48) b+

(cid:126)q a+

(cid:126)q b(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβa+

η(cid:48) aβ)}

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

= − )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β aµ}

β,µ((cid:126)q)[TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβa+

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q

= − )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

(cid:48)

β aµa+ (cid:126)q b(cid:126)q(cid:48) a+ )Cα,µ((cid:126)q)G(−)

β aµ}

η(cid:48) aβ}] β,µ((cid:126)q)[TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+

(cid:126)q }TR{ρda+

η(cid:48) aβa+

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q

− TR{ρdb+ (cid:88) = − Cη(cid:48),α((cid:126)q

β aµa+

(cid:126)q b(cid:126)q(cid:48) }TR{ρda+

η(cid:48) aβ}]

− TR{ρdb+

(cid:48)

β,µ((cid:126)q)[(1 + N(cid:126)q)δ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) fη(cid:48) δη(cid:48),µ(1 − fβ)δβ,β

η(cid:48),(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q

(cid:88) = − )Cα,µ((cid:126)q)G(−) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β,µ((cid:126)q)[(1 + N(cid:126)q)fµ(1 − fβ) − N(cid:126)qfβ(1 − fµ)],

(cid:126)q,µ

(cid:88) = − − N(cid:126)qδ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) fβδβ,β(1 − fµ)δη(cid:48),µ] Cµ,α((cid:126)q)Cα,µ((cid:126)q)G(−)

(cid:48)

β aµ]}

β,µ((cid:126)q)TR{ρd[b+

(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aβ, b(cid:126)qa+

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48),µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:88) SH2.3 = − )Cα,µ((cid:126)q)G(+) Cη(cid:48),α((cid:126)q

β,µ((cid:126)q)[N(cid:126)qfµ(1 − fβ) − (1 + N(cid:126)q)fβ(1 − fµ)],

(cid:126)q,µ

= − Cµ,α((cid:126)q)Cα,µ((cid:126)q)G(+)

31

(cid:48)

η aα]}

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b(cid:126)q(cid:48) a+

α aµ(cid:48) , b+

(cid:126)q a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48) ,η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:88) SH3.2 = − )Cη,β((cid:126)q)G(−) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

η,α ((cid:126)q)[(1 + N(cid:126)q)fα(1 − fη) − N(cid:126)qfη(1 − fα)],

η,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

= − Cβ,η((cid:126)q)Cη,β((cid:126)q)G(−)

η,α ((cid:126)q)TR{ρd[b+

η aα]}

α aµ(cid:48) , b(cid:126)qa+

(cid:126)q(cid:48) a+

µ(cid:48),(cid:126)q(cid:48) ,η,(cid:126)q (cid:88)

SH4.1 = − )Cη,β((cid:126)q)G(+) Cβ,µ(cid:48) ((cid:126)q

η,α ((cid:126)q)[N(cid:126)qfα(1 − fη) − (1 + N(cid:126)q)fη(1 − fα)].

η,(cid:126)q

= − Cβ,η((cid:126)q)Cη,β((cid:126)q)G(+)

Từ kết quả tính toán được, ta có

β,µ((cid:126)q)[(1 + N(cid:126)q)fµ(1 − fβ) − N(cid:126)qfβ(1 − fµ)]

(cid:126)q,µ (cid:88)

(cid:88) − (fβ − fα)(cid:126)Γα,β(¯ω) = |Cµ,α((cid:126)q)|2G(−)

β,µ((cid:126)q)[N(cid:126)qfµ(1 − fβ) − (1 + N(cid:126)q)fβ(1 − fµ)]

(cid:126)q,µ (cid:88)

− |Cµ,α((cid:126)q)|2G(+)

η,α ((cid:126)q)[(1 + N(cid:126)q)fα(1 − fη) − N(cid:126)qfη(1 − fα)]

− |Cβ,η((cid:126)q)|2G(−)

η,(cid:126)q (cid:88)

(2.19)

η,α ((cid:126)q)[N(cid:126)qfα(1 − fη) − (1 + N(cid:126)q)fη(1 − fα)].

η,(cid:126)q

− |Cβ,η((cid:126)q)|2G(+)

Thay (2.16) vào (2.19), sau đó nhóm các số hạng lại, ta được

(cid:126)q,η

(fα − fβ)(cid:126)Γα,β(¯ω) = (cid:88) − |Cβ,η((cid:126)q)|2(cid:163)(1 + N(cid:126)q)fα(1 − fη) (cid:126)¯ω − εη,α − (cid:126)ω(cid:126)q N(cid:126)qfη(1 − fα) (cid:126)¯ω − εη,α − (cid:126)ω(cid:126)q

(cid:164) − + (1 + N(cid:126)q)fη(1 − fα) (cid:126)¯ω − εη,α + (cid:126)ω(cid:126)q

(cid:126)q,η

(cid:88) − + N(cid:126)qfα(1 − fη) (cid:126)¯ω − εη,α + (cid:126)ω(cid:126)q |Cα,η((cid:126)q)|2(cid:163)(1 + N(cid:126)q)fη(1 − fβ) (cid:126)¯ω − εβ,η − (cid:126)ω(cid:126)q N(cid:126)qfβ(1 − fη) (cid:126)¯ω − εβ,η − (cid:126)ω(cid:126)q (2.20)

− (cid:164) . + N(cid:126)qfη(1 − fβ) (cid:126)¯ω − εβ,η + (cid:126)ω(cid:126)q (1 + N(cid:126)q)fβ(1 − fη) (cid:126)¯ω − εβ,η + (cid:126)ω(cid:126)q

Biểu thức (2.20) là biểu thức tính hàm dạng phổ theo các hàm

phân bố electron và phonon. Dưới tác dụng của điện trường ngoài, các

32

electron chuyển mức kèm theo sự hấp thụ hoặc phát xạ một phonon.

Mỗi số hạng trong (2.20) thể hiện một quá trình tương tác giữa các hạt

và sự dịch chuyển electron giữa các mức. Chẳng hạn với số hạng thứ

tư, fη(1 − fα) thể hiện quá trình một electron ở trạng thái trung gian

η chuyển về trạng thái ban đầu α. Quá trình dịch chuyển này kèm theo

phát xạ một phonon năng lượng (cid:126)ω(cid:126)q và một photon năng lượng (cid:126)¯ω.

Trong đó 1 + N(cid:126)q xuất hiện như là điều kiện phát xạ phonon. Mẫu số thể

hiện quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo toàn năng lượng,

nghĩa là εη − (cid:126)ω(cid:126)q − (cid:126)¯ω = εα. |Cβ,η((cid:126)q)|2 thể hiện trạng thái trung gian

η bị nhiễu loạn bởi tương tác với các phonon [19], [20], [21], [25]. Các

số hạng còn lại cũng có thể giải thích hoàn toàn tương tự. Nghĩa là các

electron hấp thụ hoặc phát xạ một photon có năng lượng (cid:126)¯ω rồi dịch

chuyển giữa các mức cơ bản α, β và mức trung gian η kèm theo hấp thụ

hoặc phát xạ một phonon có năng lượng (cid:126)ω(cid:126)q. Ta có thể lập bảng và vẽ

sơ đồ các quá trình chuyển mức giữa các trạng thái như sau:

SH Chuyển mức Định luật BTNL Phonon (cid:126)ωq Photon (cid:126)ω

1 η → α phát xạ phát xạ εη − (cid:126)ωq − (cid:126)ω = εα

2 α → η hấp thụ hấp thụ εα + (cid:126)ωq + (cid:126)ω = εη

3 α → η phát xạ hấp thụ εα − (cid:126)ωq + (cid:126)ω = εη

4 η → α hấp thụ phát xạ εη + (cid:126)ωq − (cid:126)ω = εα

5 β → η phát xạ phát xạ εβ − (cid:126)ωq − (cid:126)ω = εη

6 η → β hấp thụ hấp thụ εη + (cid:126)ωq + (cid:126)ω = εβ

7 η → β phát xạ hấp thụ εη − (cid:126)ωq + (cid:126)ω = εβ

8 β → η hấp thụ phát xạ εβ + (cid:126)ωq − (cid:126)ω = εη

33

Hình 2.1: Sơ đồ chuyển mức của electron giữa trạng thái trung gian η và các trạng thái

cơ bản α và β.

Trong hình 2.1, các dấu mũi tên thẳng nằm ngang chỉ phonon năng

lượng (cid:126)ωq và mũi tên lượn sóng chỉ photon năng lượng (cid:126)ω. Mũi tên nằm

trước quá trình chuyển mức chỉ sự hấp thụ và nằm sau chỉ sự phát xạ.

Các con số chỉ thứ tự các số hạng trong biểu thức tính hàm dạng phổ.

2.1.2. Biểu thức độ rộng vạch phổ

Hàm dạng phổ thu được ở (2.20) là một biểu thức phức do có chứa

¯ω = ω − i(cid:52), nên có thể phân tích thành

(2.21) Γα,β(¯ω) = Aα,β(ω) + iBα,β(ω),

trong đó Aα,β(ω) = Re[Γα,β(¯ω)] và Bα,β(ω) = Im[Γα,β(¯ω)] lần lượt được

gọi là độ dịch vạch phổ và độ rộng vạch phổ trong độ dẫn tuyến tính.

Để tìm các đại lượng này ta áp dụng đồng nhất thức Dirac [5], [20]

(cid:181) (cid:182)

(x − is)−1 = P + iπδ(x), (2.22) lim s→0+ 1 x

(cid:181) (cid:182)

1 x

trong đó P là giá trị chính và δ(x) là hàm Delta-Dirac.

34

Lúc này độ dịch phổ và độ rộng vạch phổ có dạng

η,α ((cid:126)q))

(cid:126)q,η

Aα,β(ω)(cid:126)(fα − fβ) = (cid:88) |Cβ,η((cid:126)q)|2{(fα(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)P (G(−)

η,α ((cid:126)q))}

− (fη(1 − fα + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfα)P (G(+)

β,η ((cid:126)q))

(cid:88) + |Cα,η((cid:126)q)|2{(fη(1 − fβ + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfβ)P (G(−)

η,(cid:126)q − (fβ(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)P (G(+)

β,η ((cid:126)q))},

(2.23)

η,α ((cid:126)q))

(cid:126)q,η

Bα,β(ω)(cid:126)(fα − fβ) = (cid:88) |Cβ,η((cid:126)q)|2{(fα(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)P (G(−)

η,α ((cid:126)q))}

− (fη(1 − fα + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfα)P (G(+)

β,η ((cid:126)q))

β,η ((cid:126)q))}

η,(cid:126)q − (fβ(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)P (G(+) (cid:88)

(cid:88) + |Cα,η((cid:126)q)|2{(fη(1 − fβ + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfβ)P (G(−)

η,α ((cid:126)q)]−1)

(cid:126)q,η

= |Cβ,η((cid:126)q)|2{(fα(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)δ([G(−)

η,α ((cid:126)q)]−1)}

− (fη(1 − fα + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfα)δ([G(+)

β,η ((cid:126)q)]−1)

η,(cid:126)q − (fβ(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)δ([G(+)

β,η ((cid:126)q)]−1)}

(cid:88) + |Cα,η((cid:126)q)|2{(fη(1 − fβ + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfβ)δ([G(−)

Ta được

(cid:126)q,η

Bα,β(ω)(cid:126)(fα − fβ) = (cid:88) |Cβ,η((cid:126)q)|2{(fα(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)δ((cid:126)ω − εη,α − (cid:126)ω(cid:126)q)

− (fη(1 − fα + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfα)δ((cid:126)ω − εη,α + (cid:126)ω(cid:126)q)}

35

η,(cid:126)q

(cid:88) + |Cα,η((cid:126)q)|2{(fη(1 − fβ + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfβ)δ((cid:126)ω − εβ,η − (cid:126)ω(cid:126)q)

(2.24)

− (fβ(1 − fη + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfη)δ((cid:126)ω − εβ,η + (cid:126)ω(cid:126)q)}.

Để thu được biểu thức độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình

chữ nhật có thế cao vô hạn ta cần tính tường minh yếu tố ma trận

tương tác electron-phonon. Yếu tố ma trận tương tác electron chứa hệ

số tương tác electron-phonon và các trạng thái electron. Sử dụng biểu

thức (Cη,α((cid:126)q) = V ((cid:126)q)(cid:104)η|ei(cid:126)q(cid:126)r|α(cid:105)) đới với yếu tố ma trận tương tác electron-

phonon, và hàm sóng (1.8) thì đại lượng Cη,α((cid:126)q) trở thành

Cη,α((cid:126)q) = V ((cid:126)q)(cid:104)η|ei(cid:126)q(cid:126)r|α(cid:105) = V ((cid:126)q)(cid:104)nη, (cid:126)kη|ei(cid:126)q(cid:126)r|nα, (cid:126)kα(cid:105)

z |ei(cid:126)q(cid:126)r|nα, kα z (cid:105)

= V ((cid:126)q)(cid:104)nη, kη

z |eiqzz|kα

z (cid:105)(cid:104)nη|ei(qxx+qyy)|nα(cid:105)

= V ((cid:126)q)(cid:104)kη

z +kα

z +qz)z

(cid:90) +∞

−∞

dzei(−kη =

4V ((cid:126)q) Ω (cid:90) Ly (cid:90) Lx

0

0

× dy sin( y)eiqyy sin( dx sin( x)eiqxx sin( y) x) nη yπ Ly nα y π Ly nη xπ Lx nα xπ Lx

z ,kα

z +qz,

x,nα x

y,nα y

= (qx)δkη (qy)Inη Inη 8πV ((cid:126)q) Ω

trong đó

Ω = LxLyLz,

(cid:90) Ly

y,nα y

0 (cid:90) Lx

y)eiqyy sin( y), dy sin( (qy) = Inη (2.25)

x,nα x

0

x)eiqxx sin( x). dx sin( (qx) = Inη nη yπ Ly nη xπ Lx nα y π Ly nα xπ Lx

Từ đây bình phương yếu tố ma trận có dạng như sau

z ,kα

y,nα y

x,nα x

z +qz.

(2.26) |Cη,α((cid:126)q)|2 = |Inη (qy)|2|Inη (qx)|2δkη 64π2|V ((cid:126)q)|2 Ω2

36

Trong biểu thức độ rộng vạch phổ ở phương trình (2.24) có chứa

tổng theo trạng thái của electron |η(cid:105) và tổng theo vectơ sóng phonon

z (cid:105) nên ta phân tích tổng theo |η(cid:105) thành tổng theo chỉ =

z (

η →

nη

kη z

(cid:126)q. Do |η(cid:105) ≡ |nη, kη (cid:80) (cid:80) (cid:80)

x,nη nη y

kη z

số mức năng lượng nη và tổng theo vectơ sóng kη (cid:80) (cid:80) ). Ngoài ra, vectơ sóng electron và phonon là những đại lượng

được xem một cách gần đúng là liên tục nên phép lấy tổng có thể chuyển

thành các tích phân như sau

z =

−∞

−∞

η

nη

x,nη nη y

(cid:90) +∞ (cid:90) +∞ (cid:88) (cid:88) (cid:88) → dkη (2.27) dkη z , Lz 2π Lz 2π

−∞

−∞

−∞

(cid:126)q

(cid:90) +∞ (cid:90) +∞ (cid:90) +∞ (cid:88) (2.28) → dqz. dqy dqx Ω 8π3

Thành phần vectơ sóng phonon (cid:126)q xuất hiện trong yếu tố ma trận

tương tác electron-phonon, còn thành phần vectơ sóng electron kη xuất

hiện trong các hàm phân bố electron và trong đối số hàm Delta ở biểu

thức độ rộng vạch phổ. Để tính tường minh biểu thức tốc độ hồi phục

(cid:126)q trước.

ở phương trình (2.24) ta tiến hành lấy tích phân theo (cid:126)q, nghĩa là tính (cid:80) tổng

⊥ + q2 z,

Xét tương tác electron và phonon quang dọc và chú ý q2 = q2

khi đó thế tán xạ V ((cid:126)q) được cho bởi [34]

(cid:162) |V ((cid:126)q)|2 = −

y + q2

y + q2 z z + q2

d)2

(cid:162) − = (2.29) e2(cid:126)ωl 2(cid:178)0Ω e2(cid:126)ωl 2(cid:178)0Ω (cid:161) 1 χ∞ (cid:161) 1 χ∞ q2 (q2 + q2 d)2 x + q2 q2 x + q2

y + q2

d)2 ,

= HS × (q2 (q2 y + q2 z z + q2

1 χ∞

(cid:161) 1 χ0 1 χ0 x + q2 q2 x + q2 (cid:162) , Ω là thể tích của hệ; χ∞, χ0 lần lượt là trong đó HS = e2(cid:126)ωl 2(cid:178)0Ω − 1 χ0

hằng số điện môi cao tần và hằng số điện môi tĩnh. Giả sử phonon ta

xét không tán sắc, nghĩa là (cid:126)ω(cid:126)q ≈ (cid:126)ωl ≈ hằng số.

37

Thay (2.26) vào biểu thức của tốc độ hồi phục và sử dụng tính chất (cid:82) của hàm Delta - Dirac f (x)δ(x − a)dx = f (a) ta được

(cid:88)

y,nα y

x,nα x

(cid:126)q

x,nη nη y

|Inη (qy)|2|Inη Bα,β(ω)(cid:126)(fα − fβ) = (cid:88) 64π2|V ((cid:126)q)|2 Ω2 (qx)|2 Lz 2π

z

z

(2.30) , εnη,nβ) − Bδ(+qα+ (cid:164) , εnη,nβ)

y ,nη y

x,nη x

(cid:126)q

x,nη nη y

(cid:163) Aδ(−qα+ (cid:88) × (cid:88) + |Inβ (qy)|2|Inβ 64π2|V ((cid:126)q)|2 Ω2 (qx)|2 Lz 2π

z

z

(cid:163) Cδ(−qα+ × , εnα,nη) − Dδ(+qα+ (cid:164) , εnα,nη)

trong đó ta đã ký hiệu:

+ + N(cid:126)q) − N(cid:126)qf α +,

A = fα(1 − f α

+(1 − fα + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfα,

B = f α

C = f α

+(1 − fβ + N(cid:126)q) − N(cid:126)qfβ, + + N(cid:126)q) − N(cid:126)qf α +,

D = fβ(1 − f α

z

δ(−qα+ (cid:164) ), , εnη,nβ) = δ((cid:126)(ω − ωl) + (εnη − εnβ) + (cid:163) (kα + qz)2 − k2 β

z

(cid:163) (cid:164) δ(+qα+ , εnη,nβ) = δ((cid:126)(ω + ωl) + (εnη − εnβ) +

z

δ(−qα+ ), , εnα,nη) = δ((cid:126)(ω − ωl) + (εnα − εnη) +

z

δ(+qα+ , εnα,nη) = δ((cid:126)(ω + ωl) + (εnα − εnη) + (kα + qz)2 − k2 ), β α − (kα + qz)2(cid:164) (cid:163) k2 (cid:163) α − (kα + qz)2(cid:164) k2 ). (cid:126)2 2m∗ (cid:126)2 2m∗ (cid:126)2 2m∗ (cid:126)2 2m∗

(2.31)

f α + là hàm phân bố Fermi - Dirac của một electron, trong đó ta đã

thay k bằng kα + qz.

kη=kα+qz

(cid:163) (cid:175) (cid:175) (cid:164)−1, ) = 1 + exp( f α + ≡ fη

2m∗ (kα + qz)2 +εnη, với εnη = π2(cid:126)2

ηx L2 x

) trong đó εη = (cid:126)2 εη − εF kBT 2m∗ ( n2 + n2 ηy L2 y

38

Hàm phân bố điện tử và phonon có dạng

, fµ = , N(cid:126)q = 1 eβ0(cid:126)ωl − 1 1 eβ0(εµ−εF ) + 1

kBT , với ωl là hằng số nên N(cid:126)q không phụ thuộc vào (cid:126)q.

trong đó β0 = 1

Do các biến độc lập nhau nên ta có thể lấy tích phân riêng đối với

+ ( tức là chứa trong các đại lượng A, B, C và D). Còn tích phân theo dq⊥ chỉ chứa trong Inη,nα, Inβ,nη ở

từng biến. Tích phân theo dqz chứa trong V ((cid:126)q) ở (2.29), trong các δ và trong hàm phân bố Fermi - Dirac f α

(2.25) và V ((cid:126)q) ở (2.29).

Từ (2.28), (4) và sử dụng tính chất hàm Delta - Dirac (cid:82) f (x)δ(x − a)dx = f (a) để tính tích phân theo dqz trước, ta được

x,nα x

y,nα y

x,nη nη y

(cid:90) (cid:88) (qx)|2 (qy)|2 dqx|Inη dqy|Inη Bα,β(ω)(cid:126)(fα − fβ) = (cid:90) 4Lz π2Ω

x,nη x

y ,nη y

x,nη nη y

(cid:163) (2.32) (cid:90) (cid:90) A(q1)|V (q1)|2 − B(q2)|V (q2)|2(cid:164) (cid:88) + (qx)|2 (qy)|2 dqx|Inβ dqy|Inβ × 4Lz π2Ω

(cid:163) × C(q3)|V (q3)|2 − D(q4)|V (q4)|2(cid:164)

trong đó A(q1), B(q2), C(q3) và D(q4) tương ứng với các đại lượng A, B,

C và D trong phương trình (2.31) bằng cách thay thế qz lần lượt bởi q1,

q2, q3 và q4; với qi (i = 1, 2, 3, 4) là nghiệm của phương trình làm cho đối

số của hàm delta trong phương trình (2.31) bằng không, nghĩa là:

(cid:164) = 0, (cid:126)(ω − ωl) + (εnη − εnβ) + (cid:163) (kα + qz)2 − k2 β

(cid:164) = 0, (cid:126)(ω + ωl) + (εnη − εnβ) +

= 0, (cid:126)(ω − ωl) + (εnα − εnη) +

(cid:163) = 0. (cid:126)(ω + ωl) + (εnα − εnη) + (cid:163) (kα + qz)2 − k2 β (cid:163) α − (kα + qz)2(cid:164) k2 α − (kα + qz)2(cid:164) k2 (cid:126)2 2m∗ (cid:126)2 2m∗ (cid:126)2 2m∗ (cid:126)2 2m∗

39

Đại lượng V (q1) tương ứng là V (q) trong biểu thức (2.29) trong đó

qz được thay bởi q1:

x + q2 q2 x + q2

y + q2

y + q2 1 1 + q2

d)2

|V (q1)|2 = HS × (q2

Để thực hiện phép lấy tích phân theo dqx và dqy trong phương trình

(2.32), ta sử dụng kết quả của các tác giả Ridley và Lee, trong đó hệ số

dạng được khai triển dưới dạng [31], [35]:

x+nα

x+nα

x−nα

x,nα x

x )π/Lx + δqx,−(nη

x )π/Lx + δqx,(nη

x )π/Lx

x)π/Lx + 2δqx,0δnη

x +nη

x,nα x

(qx)|2 = |Inη (cid:163) δqx,(nη 1 4 (2.33) (cid:164) + δqx,(nα

y,nα y

(qy)|2. Thay x bằng y vào biểu thức trên ta có dạng của đại lượng |Inη

x,nη x

x,nη x

(qx)|2 tìm được bằng cách (qx)|2 và |Inβ Tương tự, dạng của |Inβ

thay η → β và α → η.

Thay các hệ số dạng trên vào (2.32) và lấy tích phân ta được

Bα,β(ω)(cid:126)(fα − fβ) = SH1.A(q1) − SH2.B(q2) + SH3.C(q3) − SH4.D(q4)

(2.34)

trong đó

x + nα

x)2/L2

x} + {π2(nη

y + nα

y )2/L2

y )2/L2

y} + q2

y} + q2 1 1 + q2 d

x,nη nη y {π2(nη

SH1 = (cid:183) (cid:88) {π2(nη HS (cid:164)2 Lz 4π2Ω

x − nα

x)2/L2 x + nα x} + {π2(nη

x} + {π2(nη y )2/L2 y − nα

x − nα

y − nα

x)2/L2

x} + {π2(nη

y )2/L2

y} + q2

y + nα y} + q2 1 1 + q2 d

(cid:163) {π2(nη x)2/L2 + (cid:164)2

(cid:184)

x,nα x

y,nα y

d)2 δnη

+ . δnη (q2 (cid:163) {π2(nη q2 1 1 + q2

(2.35)

Số hạng SH2 thu được từ SH1 bằng cách thay q1 → q2.

Số hạng SH3 thu được từ SH1 bằng cách thay η → β, α → η và

q1 → q3.

40

Số hạng SH4 thu được từ SH3 bằng cách thay q3 → q4.

trung gian, nghĩa là ta phải lấy tổng theo tất cả các số lượng tử nη Để tính số hạng SH1, ta phải lấy tổng theo tất cả các trạng thái x, nη y.

Nếu ta chỉ xét sự dịch chuyển của các electron trong nội vùng thì

số hạng SH1 sẽ trở thành.

x)2/L2

x} + {4π2(nα

y )2/L2

d)2

x)2/L2

x} + {4π2(nα

y )2/L2

y} + q2

y} + q2 1 1 + q2 d

x,nη nη y

SH1 = (cid:183) (cid:184) (cid:88) {4π2(nα HS (cid:164)2 + Lz 4π2Ω (q2 2q2 1 1 + q2 (cid:163) {4π2(nα

(2.36)

Các số hạng còn lại cũng được tính tương tự.

Thay SH1, SH2, SH3, SH4 và các đại lượng A(q1), B(q2), C(q3) và

D(q4) vào (2.34) ta được biểu thức tường minh của tốc độ hồi phục của

bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn:

x)2/L2

x} + {4π2(nα

y )2/L2

x)2/L2

x} + {4π2(nα

y )2/L2

y} + q2

y} + q2 1 1 + q2 d

d)2

x,nη nη y

Bα,β(ω)(cid:126)(fα − fβ) = (cid:41) (cid:183) (cid:40) (cid:88) {4π2(nα + HS {4π2(nα (q2 Lz 4π2Ω 2q2 1 1 + q2

+(q1) + N(cid:126)q x)2/L2

+(q1)} y )2/L2

y} + q2

x)2/L2

y} + q2 2 2 + q2 d

d)2

y )2/L2 (cid:184)

x} + {4π2(nα (cid:164)

(cid:164) (cid:163) 1 − f α × {fα (cid:40) (cid:41) {4π2(nα − N(cid:126)qf α x} + {4π2(nα − + (q2 {4π2(nα 2q2 2 2 + q2

× {f α − N(cid:126)qfα} 1 − fα + N(cid:126)q (cid:163) +(q2)

x)2/L2

x} + {4π2(nβ

y )2/L2

x)2/L2

y )2/L2

d)2

x} + {4π2(nβ

y} + q2

y} + q2 3 3 + q2 d

(cid:41) (cid:183) (cid:40) (cid:88) {4π2(nβ + HS + (q2 Lz 4π2Ω 2q2 3 3 + q2

nη x,nη y (cid:163) 1 − fβ + N(cid:126)q

+(q3)

x)2/L2

x} + {4π2(nβ

y )2/L2

x)2/L2

y )2/L2

d)2

y} + q2 4 4 + q2 d

y} + q2 (cid:184)

x} + {4π2(nβ (cid:164)

{4π2(nβ (cid:164) − N(cid:126)qfβ} (cid:41) × {f α (cid:40) {4π2(nβ − + (q2 2q2 4 4 + q2 (2.37)

+(q4) + N(cid:126)q

+(q4)}

{4π2(nβ (cid:163) 1 − f α . × {fβ − N(cid:126)qf α

41

Từ kết quả này ta có thể lập trình để tính số và khảo sát sự phụ

thuộc của tốc độ hồi phục vào các thông số của dây lượng tử hình chữ

nhật và trường ngoài.

2.2. Biểu thức công suất hấp thụ

Biểu thức của công suất hấp thụ có dạng như sau [13]

P (ω) = (2.38) Re[σzz(ω)] E2 0 2

Sử dụng phụ lục 14, ta được biểu thức cuối cùng của phần thực tenxơ

độ dẫn và công suất hấp thụ

α,β(ω)

nα,nβ

(cid:88) (fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω) kαkβ . (2.39) Re[σzz(ω)] = e2(cid:126)2 ωm2LxLy ((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

nα,nβ

(cid:88) (fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω) kαkβ P (ω) = . (2.40) E2 0 2 e2(cid:126)2 ωm2LxLy ((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

42

Chương 3. KHẢO SÁT SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Trong chương này biểu thức độ rộng vạch phổ trong bán dẫn

dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn sẽ được lập trình

tính số và vẽ đồ thị. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào

các thông số như nhiệt độ, kích thước dây lượng tử hình chữ

nhật và tần số của trường ngoài được khảo sát chi tiết.

3.1. Kết quả tính số và thảo luận

Biểu thức của tenxơ độ dẫn, độ rộng vạch phổ, cũng như công suất

hấp thụ đều chứa hệ số HS và các hàm phân bố của electron và phonon.

Giả sử ở đây ta xét quá trình chuyển mức giữa trạng thái trung gian η

và các trạng thái cơ bản α, β.

Biểu thức hệ số HS phụ thuộc vào kích thước dây lượng tử. Hàm

phân bố của electron chứa biểu thức của năng lượng phụ thuộc vào vectơ

sóng và chỉ số mức năng lượng. Hàm phân bố của phonon phụ thuộc vào

tần số ωl. Các hàm phân bố đều phụ thuộc vào nhiệt độ.

Như vậy, ta có thể khảo sát sự phụ thuộc của tenxơ độ dẫn, độ rộng

vạch phổ và công suất hấp thụ vào nhiệt độ, kích thước dây lượng tử và

tần số của trường ngoài đặt vào hệ ( hay tần số photon ).

Trước hết, ta lập chương trình tính toán trong đó khai báo tất cả

các giá trị của hằng số như điện tích e = 1.6×10−19 C và khối lượng hiệu

dụng của electron m∗ = 6.006 × 10−32 kg, hằng số Planck (cid:126) = 6.625 ×

10−34/(2π) Js, hằng số Boltzmann kB = 1.38066 × 10−23 J/K, hằng số

43

điện môi (cid:178)0 = 13.5, độ thẩm điện môi cao tần χ∞ = 10.9, độ thẩm điện môi tĩnh χ0 = 12.9, năng lượng mức Fermi εF = 0.05 × 1.6 × 10−19 J, tần số phonon quang dọc ωl = 36.2 × 1.6 × 10−22/(cid:126) Hz ... Khai báo biến

T -nhiệt độ, Lx, Ly, Lz-kích thước dây lượng tử, ω-tần số trường ngoài.

Thiết lập các hàm số như hàm phổ năng lượng của electron ở trạng thái

có vectơ sóng k và hàm phân bố phonon Nq. Cuối cùng là tenxơ độ dẫn,

độ rộng vạch phổ và công suất hấp thụ. Ta lần lượt khảo sát sự phụ

thuộc của tenxơ độ dẫn, độ rộng vạch phổ và công suất hấp thụ vào các

biến của nó.

44

3.1.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần

số trường ngoài.

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số trường ngoài với các giá trị

khác nhau của nhiệt độ (hình bên trái).

Đồ thị trên hình 3.1 chỉ sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào

tần số trường ngoài với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Trong tất

cả các trường hợp, các chỉ số mini vùng chạy từ 1 đến 3. Từ đồ thị ta

nhận thấy, khi nhiệt độ tăng thì số lượng đỉnh cộng hưởng không đổi

nhưng độ cao của các đỉnh cộng hưởng tăng lên. Điều đó có nghĩa là

nhiệt độ không làm ảnh hưởng đến hiệu ứng dò tìm cộng hưởng electron

- phonon. Kết quả này có thể nhận thấy bằng giải tích, vì trong đối số

của các hàm Delta - Dirac mô tả sự bảo toàn năng xung lượng không có

45

chứa nhiệt độ.

Mặc dù chưa có kết quả thực nghiệm để so sánh nhưng ta thấy đồ

thị có dáng điệu tương tự như đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công

suất hấp thụ vào năng lượng photon trong cấu trúc hố lượng tử, của

nhóm tác giả Nam Lyong Kang và Sang Don Choi [17] (hình vẽ bên

phải).

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số trường ngoài với các giá trị

khác nhau về kích thước của dây.

Đồ thị trên hình 3.2 chỉ sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần

số trường ngoài với các giá trị giảm dần về kích thước của dây. Từ đồ thị

ta nhận thấy, khi giảm dần kích thước của dây thì số lượng đỉnh cộng

hưởng không đổi mà chỉ làm thay đổi độ cao của đỉnh cộng hưởng. Khi

kích thước của dây giảm thì độ cao của đỉnh cộng hưởng tăng. Điều này

được lý giải là do khi thay đổi kích thước của dây lượng tử, khoảng cách

giữa hai mức năng lượng của electron thay đổi, do đó độ cao của đỉnh

cộng hưởng electron-phonon thay đổi. Có nhiều giá trị của kích thước

dây tại đó xảy ra cộng hưởng là do qui tắc lọc lựa giữa các trạng thái

khác nhau khi chỉ số vùng con trong dây lượng tử thay đổi.

46

3.1.2. Khảo sát sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào

nhiệt độ và kích thước của dây.

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ (hình bên trái).

Đồ thị trên hình 3.3 chỉ sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào

nhiệt độ của hệ. Từ đồ thị ta thấy, khi nhiệt độ tăng thì nửa độ rộng

vạch phổ tăng.

So sánh với đồ thị mô tả sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ

vào nhiệt độ trong cấu trúc hố lượng tử ứng với bề rộng hố Lz= 4 nm

của nhóm tác giả Nam Lyong Kang và Sang Don Choi [17], ta thấy hình

dạng của chúng là tương tự nhau (hình vẽ bên phải).

Hình 3.4: Sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào kích thước của dây (hình bên

trái).

47

Đồ thị trên hình 3.4 chỉ sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ

vào kích thước của dây. Từ đồ thị ta thấy, khi tăng dần kích thước của

dây (giảm dần tần số trường ngoài) thì nửa độ rộng vạch phổ giảm dần.

Điều đó có nghĩa là sự thay đổi của nửa độ rộng vạch phổ phụ thuộc

mạnh đồng thời vào tần số trường ngoài và kích thước của dây, do đó ta

có thể thay đổi kích thước của dây vừa thay đổi tần số trường ngoài để

dò tìm cộng hưởng.

48

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài "Nghiên cứu về độ rộng vạch phổ

trong dây lượng tử hình chữ nhật" tôi đã thu được những kết quả sau:

1. Sử dụng phương pháp chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái loại

II, chúng tôi đã tìm được biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn, độ rộng

vạch phổ, công suất hấp thụ cho bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật

với thế cao vô hạn khi có mặt điện trường. Trong đó biểu thức độ rộng

vạch phổ có chứa đầy đủ các hàm phân bố electron và phonon. Các số

hạng chứa trong biểu thức thể hiện một cách rõ ràng ý nghĩa vật lý của

các quá trình tương tác và các hiện tượng xảy ra trong bán dẫn khi có

mặt trường ngoài. Các electron có thể chuyển trạng thái nhờ hấp thụ

photon kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ phonon. Do sự lượng tử hóa năng

lượng của electron, các dịch chuyển phải đảm bảo sự bảo toàn năng-xung

lượng (qui tắc lọc lựa), nên chỉ có một số dịch chuyển cho đóng góp lớn

vào xác suất dịch chuyển. Vì vậy độ rộng vạch phổ có tính cộng hưởng

electron-phonon.

2. Các biểu thức giải tích thu được ở trên cho phép chúng ta thực

hiện tính số để nghiên cứu sự phụ thuộc của tenxơ độ dẫn, độ rộng vạch

phổ, công suất hấp thụ vào kích thước dây lượng tử, nhiệt độ và tần số

của trường ngoài. Kết quả tính số và vẽ đồ thị cho trường hợp tương tác

electron-phonon quang dọc cho thấy việc đưa trường ngoài vào hệ để dò

tìm cộng hưởng đã thể hiện rõ, đó là khi thay đổi tần số trường ngoài

thì các đỉnh cộng hưởng thay đổi.

Các kết quả nghiên cứu của đề tài có ý nghĩa hơn khi các đại lượng

tính được là những đại lượng có thể xác định được bằng thực nghiệm,

góp phần quan trọng cho nghiên cứu và ứng dụng trong khoa học công

nghệ vật liệu. Tuy nhiên, điều đáng tiếc là hiện nay vẫn chưa có những

49

kết quả thực nghiệm cụ thể để so sánh. Mặc dù vậy, những kết quả của

các công trình nghiên cứu lý thuyết thu được dựa trên phương pháp này

sẽ góp phần tích cực, tạo nên cơ sở, nền tảng và định hướng cho việc

nghiên cứu bằng thực nghiệm sau này.

Ngoài ra, bài toán cũng có thể được mở rộng cho trường hợp có

thêm từ trường, xét tương tác của electron với các loại phonon khác

nhau hoặc tương tác electron với các phonon giam giữ ... điều này làm

cho bài toán càng phức tạp hơn nhưng cũng thú vị hơn. Đây cũng chính

là hướng phát triễn tiếp theo của đề tài. Hy vọng trong tương lai chúng

tôi sẽ có điều kiện nghiên cứu tiếp những vấn đề này.

50

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Quang Báu, Bùi Đằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật

lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

2. Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004),

Lý thuyết bán dẫn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

3. Nguyễn Văn Hùng (2000), Lý thuyết chất rắn, NXB Đại học Quốc

gia Hà Nội.

4. Nguyễn Ngọc Long (2006), Cấu trúc và các tính chất của vật rắn,

NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

Tiếng Anh

5. Akira S. (1985), "Theory of cyclotron - resonance line shape for an

electron - phonon system", Phys. Rev. B, 33, p. 1047.

6. Badjou S. and Argyres P. N. (1987), "Theory of cyclotron resonance

in electron-phonon system", Phys. Rev. B, 35, p. 5964.

7. Bennett C. R., Constantinou N. C., Babiker M. and Ridley B. K.

(1995), "The interaction of electrons with optical phonons in embed-

ded circular and elliptical GaAs quantum wires", Phys. Condens.

matter, 7, p. 9819.

8. Gou B. P. and Kong X. J. (2005), "Electron energy levels for a finite

rectangular quantum wire in a transverse magnetic field", Journal

of Applied Physics, 98, p. 3710.

51

9. Gurevich V. L., Pevzner V. B., Iafrate G. (1995), "Electron-phonon

resonance in messoscopic structures", Phys. Rev. Lett., 75, p. 1352.

10. Hai G. Q., Peeters F. M. (1999), "Optically detected magnetophonon

resonances in polar semiconductor", Phys. Rev. B, 25, p. 162.

11. Harris J. J., Pals J. A., Woltjer R. (1989), "Electronic transport in

lowdi-mensional structures", Rep. Prog. Phys., 52, p. 1217.

12. Kang N. L. and Choi S. D. (2008), "Comparision of two state-

dependent projection techniques for optical transitions in solids",

J. Kor. Phys. Soc., 52, p. 1159.

13. Kang N. L. and Choi S. D. (2009), "Optical transition linewidths

due to piezoelectric phonon scattering in two - dimensitional elec-

tron system", Physical Society of Japan, 02, p. 4710.

14. Kang N. L., Cho Y. J., Choi S. D. (1996), "A many - body the-

ory of quantum - limit cyclotron transition line shapes in electron

- phonon system based on projection technique", Progress of Theo-

retical Physics, 96, p. 307.

15. Kang N. L., Cho Y. J. and Choi S. D. (1996), "A Many-Body The-

ory of Cyclotron Transition Linewidths due to Electron-Impurity

Interactions”, J. Kor. Phys. Soc., 29, p. 628.

16. Kang N. L., Choi S. D. (1997), "Magnetophonon and electrophnon

resonances in quantum wires", Physical Review B, 25, p. 6719.

17. Kang N. L., Choi S. D. (2008), "Optcal transition linewidths due to

piezoelectric phonon scattering in two - dimensional electron sys-

tems", Physical Society of Japan, 2, p. 4710.

52

18. Kang N. L., Jee J. H., Choi S. D. (2004), "A new theory of nonlinear

optical conductivity for an electron - phonon system", J. Kor. Phys.

Soc., 44, p. 938.

19. Kang N. L. (2005), "Prediction of Intraband transition linewidths

due to longitudinal optical phonon scattering in GaN for electron

in quantum wells", J. Kor. Phys. Soc., 46, p. 1040.

20. Kang N. L. (2003), "Intraband linewidths of optical conductivity in

quantum wells due to LO phonon scattering", J. Kor. Phys. Soc.,

42, p. 379.

21. Kang N. L., Jee J. H., Choi S. D. (2004), "A new theory of nonlinear

optical conductivity for an electron - phonon system ", J. Kor. Phys.

Soc., 44, p. 938.

22. Kang N. L., Lee H. J. and Choi S. D. (2000), "Calculation of cy-

clotron resonance linewidths in Ge by using a many-body state-

independent projection technique”, J. Kor. Phys. Soc., 37, p. 339.

23. Kang N. L., Sug J. Y., Lee J. H., Jo S. G. and Choi S. D. (2001),

"A new theory of magneto - optical conductivity utilizing state-

independent projectors in a continued fraction scheme", J. Kor.

Phys. Soc., 39, p. 389.

24. Kim K. W., Stroscio M. A., Bhatt A., Mickevicius R., Mitin V. V.

(1991), "Electron-optical-phonon scattering rates in a rectangular

semiconductor quantum wire", J. Appl. Phys., 70, p. 1125.

25. Lee J. H. (2002), "Calculation of the nonlinear optical conductivity

by a quantum - statistical method", Phys. Rev. B, 65, p. 195113.

53

26. Lee J. H., Lee Y. J., Yi S. N and Ahn H. S. (2001), " Theory

of intraband optical absorption in a continued fraction formalism

utilizing projection technique", J. Kor. Phys. Soc., 59, p. 8425.

27. Lee S. C. (2008), "Optically detected electron-phonon resonance

effects in quantum wires", J. Kor. Phys. Soc., 52, p. 1832.

28. Lee S. C., Kang J. W., Ahn H. S., Yang M., Kang N. L. and Kim

S. W. (2005), "Optically detected electron-phonon resonance effects

in quantum wells", Physica E, 28, p. 402.

29. Lee S. C., Kang Y. B., Kim D. C., Ryu J. Y., Kang N. L. and Choi

S. D. (1997), "Optically detected electron-phonon resonance effects

in quantum wells", Phys. Rev. B, 55, p. 6719.

30. Lee S. C. (2007), "Optically detected magnetophonon resonance in

quantum wells", J. Kor. Phys. Soc., 51, p. 1979.

31. Lee J., Vassell M. O. (1984), "Low-field electron transport in quasi-

one-dimensional semiconducting structures", J. Phys. C: Sol. Stat.

Phys., 17, p. 2525.

32. Mori H. (1965), "Transport, collective motion and brownian mo-

tion", Progress of Theoretical Physics, 33, p. 423.

33. Mori N., Momose H., Hamaguchi C. (1992), "Magnetophonon res-

onances in quantum wires", Phys. Rev. B, 45, p. 4536.

34. Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan, Tran Cong Phong (2002),

"Calculation of the absorption coefficient of a weak electromagnetic

wave by free carriers in doped superlattices by using Kubo - Mori

method", J. Kor. Phys. Soc., 41, p. 149.

54

35. Ridley B. K. (1982), "Theory of optical-phonon limited hot-electron

transport in quantum wires", J. Phys. C: Sol. Stat. Phys., 15, p.

5899.

36. Ryu J. Y., Yi S. N., Choi S. D. (1990), "Cyclotron transition linewidths

due to electron-phonon interaction via piezoelectric scattering", J.

Phys. Condens. Matter, 2, p. 3515.

37. Smirnov A. Y., Mourokh L. G. (1997), "Electron-phonon resonance

and localization in a superlattice miniband", Phys. Lett. A, 231, p.

429.

38. Sug J. Y., Jo S. G. and Choi S. D. (2001), "The direct optical tran-

sition lineshape function from the equilibrium density projection

operator technique", Progress of Theoretical Physics, 102, p. 789.

39. Suzuki A. and Ashikawa M.(1998), "Quantum - statistical theory

of nonlinear optical conductivity for an electron - phonon system",

Physical Review B, 58, p. 4307.

40. Xu W., Peeters F. M. and Devreese J. T. (1993), "Polaron cyclotron-

resonance mass in a single GaAs quantum well", Phys. Rev. B, 48,

p. 1562.

41. Yu Se Gi, Pevzner V. B., and Kim K. W., Stroscio M. A. (1998),

"Electrophonon resonance in cylindrical quantum wires", Phys. Rev.

B, 58, p. 3580.

55

Phụ lục 1

Phương trình Liouville cho toán tử A bất kỳ không phụ thuộc tường minh vào thời gian là: i(cid:126) ∂A

|t=0 = 0 thì

∂t = [Heq, A] = LeqA, và thỏa mãn: ∂A(t)

∂t

eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126) = eiLeqt/(cid:126)A.

(P.1)

Khai triển maclaurin VT của (P.1), ta được:

∞(cid:88)

∞(cid:88)

V T =

=

Bi

∂n ∂tn (eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126))|t=0

tn n!

n=0

i=0

B0 = A(0),

B1 =

e−iHeqt/(cid:126)

= (

∂ ∂t i (cid:126)

(eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126))|t=0t HeqeiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126) + eiHeqt/(cid:126) ∂A ∂t

+ eiHeqt/(cid:126)A

Heqe−iHeqt/(cid:126))|t=0t

−i (cid:126)

=

{eiHeqt/(cid:126)(HeqA − AHeq)e−iHeqt/(cid:126)}|t=0t

=

{eiHeqt/(cid:126)[Heq, A]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0t

=

[Heq, A]t

=

LeqAt,

B2 =

t2 2!

=

{eiHeqt/(cid:126)[Heq, A]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0

i (cid:126) i (cid:126) i (cid:126) i (cid:126) ∂2 ∂t2 (eiHeqt/(cid:126)Ae−iHeqt/(cid:126))|t=0 ∂ i ∂t (cid:126)

t2 2!

= (

)2{eiHeqt/(cid:126)(Heq[Heq, A] − [Heq, A]Heq)e−iHeqt/(cid:126)}|t=0

t2 2!

= (

t2 2!

= (

)2{eiHeqt/(cid:126)[Heq, LeqA]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0

i (cid:126) i (cid:126) i (cid:126)

= (

)2{eiHeqt/(cid:126)[Heq, [Heq, A]]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0 t2 2! t2 2!

= (

)2{eiHeqt/(cid:126)LeqLeqAe−iHeqt/(cid:126)}|t=0

)2{eiHeqt/(cid:126)Leq[Heq, A]e−iHeqt/(cid:126)}|t=0 t2 2!

= (

)2LeqLeqA

i (cid:126) i (cid:126) i (cid:126)

t2 2!

Tương tự cho B3, B4, ...

+ ...,

V T = A(0) +

LeqAt + (

)2LeqLeqA

t2 2!

i (cid:126)

i (cid:126)

P.1

Khai triển maclaurin VP của (P.1), ta được:

∞(cid:88)

V P =

A

(iLeqt/(cid:126))n n!

n=0

= A(0) +

+ ...,

LeqAt + (

)2LeqLeqA

i (cid:126)

i (cid:126)

t2 2!

Như vậy ta có VT = VP.

Phụ lục 2

Ta có hệ thức sau đây suy ra từ tính chất hoán vị vòng của vết:

(P.2)

TR{A[B, C]} = TR{ABC − ACB} = TR{CAB − CBA} = TR{C[A, B]}.

Phụ lục 3

Với các toán tử sinh và hủy điện tử, ta có giao hoán tử

[a+

(P.3)

1 a2, a+

3 a4] = a+

1 a4δ2,3 − a+

3 a2δ1,4

Chứng minh

[a+

1 a2, a+

3 a4] = a+

1 a2a+

3 a4 − a+

3 a4a+

1 a2

= a+

= a+

1 a4a2

1 a4)a2 3 a+ 1 a+ 3 a2a4 1 (δ2,3 − a2a+ 1 a4δ2,3 − a+

3 )a4 1 a2a+

3 a4

= a+ = a+ = a+ = a+

3 a4 − a+ 1 a2a+ 3 a4 − a+ 1 a2a+ 3 a4 − a+ 1 a2a+ 3 a4 − a+ 1 a2a+ 1 a2a+ 3 a4 − a+ 1 a4δ2,3 − a+

3 (δ1,4 − a+ 3 a2δ1,4 + a+ 3 a2δ1,4 + a+ 3 a2δ1,4 + a+ 3 a2δ1,4 + a+ 3 a2δ1,4

Phụ lục 4

Lda+

(cid:88)

= [

γ aδ] γ aδ] = [He, a+ εη[a+

γ aδ] = [He + Hp, a+ γ aδ = [Hd, a+ γ aδ] + [Hp, a+ = [He, a+ (cid:88) η aηεη, a+ a+ γ aδ] =

γ aδ] η aη, a+

γ aδ]

(P.4)

η

η (cid:88)

=

εη(a+

η aδδη,γ − a+

γ aηδη,δ) = (εγ − εδ)a+

γ aδ

η = εγ,δa+

γ aδ

P.2

Phụ lục 5

(cid:104)Lνa+

γ aδ(cid:105)γ,δ = TR{ρeq[Lνa+ = TR{ρeq[[V, a+

(cid:88)

= TR{ρeq[[

γ aδ, a+ γ aδ]} γ aδ], a+ γ aδ]} η aµ[Cη,µ((cid:126)q)b+ a+

γ aδ], a+

γ aδ]}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q], a+

η,µ,(cid:126)q

(cid:88)

=

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

η aµ, a+

γ aδ], a+

γ aδ]}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q][[a+

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

=

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

η aδδµ,γ − a+

γ aµδη,δ, a+

γ aδ]}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q][a+

η,µ,(cid:126)q

(cid:88)

=

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

η aδ, a+

γ aδ]δµ,γ}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q][a+

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

−

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

γ aµ, a+

γ aδ]δη,δ}

(cid:126)q + Cη,β((cid:126)q)b(cid:126)q][a+

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

=

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

η aβδα,δ − a+

α aδδβ,η]δµ,γ}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q][a+

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

−

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

γ aβδα,µ − a+

α aµδβ,γ]δη,δ}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q][a+

η,µ,(cid:126)q

(cid:88)

=

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

η aβδα,δδµ,γ}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q]a+

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

−

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q]a+

α aδδβ,ηδµ,γ}

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

(P.5)

−

TR{ρeq[b+

γ aβδα,µδη,δ}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q]a+

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

+

TR{ρeq[Cη,µ((cid:126)q)b+

α aµδβ,γδη,δ}

(cid:126)q + Cη,µ((cid:126)q)b(cid:126)q]a+

η,µ,(cid:126)q

= 0

Do khi khai triển biểu thức trên ta được tám số hạng, mỗi số hạng có chứa một toán tử sinh hoặc hủy phonon nên khi lấy trung bình bằng 0.

Phụ lục 6

Sử dụng tính chất hoán vị vòng của vết và tính chất giao hoán của ρeq với Heq, ta có hệ thức:

(cid:169)

ρeq[LeqQ0X, a+

(cid:170) γ aδ]

(cid:169) ρeq[Leq(1 − P0)X, a+ (cid:169) ρeq[LeqX, a+

(cid:170) γ aδ] (cid:169) ρeq[LeqP0X, a+

− TR

(cid:170) γ aδ]

(cid:170) γ aδ]

TR = TR = TR = SH1 + SH2

P.3

(cid:170) γ aδ]

(cid:170) γ aδ] (cid:169) ρeq[XHeq, a+

SH1 = TR = TR = TR = TR

(cid:170) γ aδ]

(cid:170)

(cid:170) (cid:169) ρeq[LeqX, a+ γ aδ] (cid:169) ρeq[[Heq, X], a+ (cid:169) ρeq[HeqX − XHeq, a+ (cid:169) ρeq[HeqX, a+ − TR (cid:169) ρeq[HeqXa+ (cid:169) ρeq[XHeqa+ (cid:169) ρeqHeqXa+ (cid:169) ρeqXHeqa+

(cid:170) γ aδHeqX] (cid:170) γ aδXHeq] (cid:169) ρeqa+ (cid:169) ρeqa+

γ aδHeqX (cid:170) γ aδXHeq

(cid:170) γ aδ] γ aδ − a+ = TR γ aδ − a+ − TR (cid:170) − TR γ aδ = TR (cid:170) + TR γ aδ − TR = SH1.1 + SH1.2 + SH1.3 + SH1.4 (cid:170)

(cid:170)

(cid:170)

SH1.1 = TR = TR = TR

(cid:170)

(cid:170)

γ aδ γ aδρeq (cid:170)

(cid:170)

(cid:170)

(cid:169) ρeqHeqXa+ γ aδ (cid:169) HeqρeqXa+ γ aδ (cid:169) Xa+ γ aδHeqρeq (cid:169) ρeqXHeqa+ SH1.3 = −TR (cid:169) XHeqa+ = −TR (cid:169) ρeqa+ (cid:169) Heqρeqa+ (cid:169) ρeqHeqa+

SH1.4 = TR = TR = TR

γ aδXHeq γ aδX γ aδX

Thay SH1.1, SH1.3, SH1.4 vào SH1, ta được:

(cid:170)

(cid:169)

(cid:170)

(cid:169)

γ aδHeqX (cid:170) γ aδX

γ aδHeqρeq (cid:170) γ aδρeq

ρeqa+ (cid:169) ρeqHeqa+ (cid:170)

(cid:170)

Xa+ (cid:169) XHeqa+ (cid:169) X(a+ (cid:169) ρeq(Heqa+ (cid:169) X[a+

(cid:169) ρeq[Heq, a+

− TR + TR γ aδHeq − Heqa+ γ aδ)ρeq (cid:170) γ aδ − a+ γ aδHeq)X (cid:170) + TR

SH1 = TR − TR = TR + TR = TR

γ aδ, Heq]ρeq (cid:170)

γ aδ]X (cid:170)

(cid:169)

(cid:170)

(cid:170)

(cid:169)

XLeqa+ ρeqXLeqa+

+ TR + TR

γ aδX γ aδX

γ aδρeq γ aδ

(cid:169) ρeqLeqa+ (cid:169) ρeqLeqa+ (cid:170) γ aδ)

(cid:169) ρeqLνa+ (cid:169) ρeqLνa+

+ TR

= −TR = −TR (cid:169) γ aδX − XLeqa+ ρeq(Leqa+ = TR (cid:170) (cid:169) ρeq[Leqa+ = TR γ aδ, X] (cid:169) (cid:170) ρeq[(Ld + Lν)a+ = TR γ aδ, X] (cid:170) (cid:169) ρeq[Lda+ = TR + TR γ aδ, X] (cid:170) (cid:169) ρeq[a+ γ aδ, X] = εα,βTR

(cid:170) γ aδ, X] (cid:170) γ aδ, X]

Thay Leq = Ld + Lν vào SH2, ta có:

(cid:169)

(cid:169)

(cid:169) ρeq[LνP0X, a+

(cid:170) γ aδ] − TR

ρeq[(Ld + Lν)P0X, a+ ρeq[LdP0X, a+

(cid:170) γ aδ]

(cid:170) γ aδ]

SH2 = −TR = −TR = SH2.1 + SH2.2

(cid:169)

SH2.1 = −TR

ρeq[Lda+ (cid:169) ρeq[a+ ρeq[P0X, a+

(cid:170) γ aδ, P0X] (cid:170) γ aδ, P0X] (cid:170) γ aδ]

= −εα,βTR (cid:169) = εα,βTR = εα,β(cid:104)P0X(cid:105)γ,δ

P.4

(cid:105)γ,δ

= εα,β(cid:104)

γ aδ(cid:105)γ,δ

= εα,β

α aβ(cid:105)γ,δ

γ aδ(cid:105)γ,δ

= εα,β

δ aγ(cid:105)γ,δ

(cid:169) ρeq[X, a+ (cid:169) ρeq[a+

(cid:104)X(cid:105)γ,δa+ γ aδ (cid:104)a+ α aβ(cid:105)γ,δ (cid:104)X(cid:105)γ,δ(cid:104)a+ (cid:104)a+ (cid:104)X(cid:105)γ,δ(cid:104)a+ (cid:104)a+ = εα,β(cid:104)X(cid:105)γ,δ = εα,βTR = −εα,βTR

(cid:170) γ aδ] (cid:170) γ aδ, X]

Thay SH2.1 vào SH2, ta có:

(cid:169) ρeq[a+

(cid:169) ρeq[LνP0X, a+

− TR

SH2 = −εα,βTR

(cid:170) γ aδ, X]

(cid:170) γ aδ]

Thay SH1 và SH2 vào, ta được:

(cid:169)

(cid:169)

(P.6)

(cid:169)

(cid:169) ρeq[LeqQ0X, a+ (cid:169) ρeq[a+ ρeq[a+ ρeq[Lνa+

TR = εα,βTR − εα,βTR = TR

(cid:170) (cid:169) ρeq[Lνa+ + TR γ aδ, X] ρeq[LνP0X, a+ − TR (cid:169) ρeq[LνP0X, a+ − TR

(cid:170) γ aδ] (cid:170) γ aδ, X] (cid:170) γ aδ, X] (cid:170) γ aδ, X]

(cid:170) γ aδ] (cid:170) γ aδ]

Phụ lục 7

(cid:169)

(cid:104)a+

(cid:170) γ aδ]

(cid:169)

(cid:170)

(cid:170)

(cid:169)

(P.7)

δα,δ

(cid:170) γ aβδα,δ) (cid:169) ρda+

γ aβ

α aβ, a+ ρd[a+ α aβ(cid:105)γ,δ = TR α aδδβ,γ − a+ ρd(a+ = TR ρda+ δβ,γ − TR = TR α aδ = fαδα,δδβ,γ − fγδγ,βδα,δ = (fδ − fγ)δα,δδγ,β

Phụ lục 8

Lνa+

α aβ]

(cid:184)

α aβ = [V, a+ (cid:183) (cid:88)

=

(b(cid:126)q + b+

η aµ, a+

α aβ

−(cid:126)q)Cη,µ((cid:126)q)a+

η,µ,(cid:126)q

(cid:88)

=

Cη,µ((cid:126)q)(b(cid:126)q + b+

η aµ, a+

α aβ]

−(cid:126)q)[a+

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

=

Cη,µ((cid:126)q)(b(cid:126)q + b+

η aβδµ,α − a+

α aµδη,β)

−(cid:126)q)(a+

(cid:88)

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

=

Cη,µ((cid:126)q)(b(cid:126)q + b+

Cη,µ((cid:126)q)(b(cid:126)q + b+

α aµδη,β

η aβδµ,α −

−(cid:126)q)a+

−(cid:126)q)a+

(cid:88)

η,µ,(cid:126)q (cid:88)

)a+

=

Cη,α((cid:126)q)(b(cid:126)q + b+

α aµ

η aβ −

−(cid:126)q)a+

η,µ,(cid:126)q Cβ,µ((cid:126)q)(b(cid:126)q + b+ (cid:126)−q

µ,(cid:126)q

η,(cid:126)q

P.5

(cid:88)

(cid:88)

=

Cη,α((cid:126)q)b+

Cη,α((cid:126)q)b(cid:126)qa+

η aβ +

η aβ

−(cid:126)qa+

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

−

Cβ,µ((cid:126)q)b+

Cβ,µ((cid:126)q)b(cid:126)qa+

α aµ −

α aµ

−(cid:126)qa+

µ,(cid:126)q

µ,(cid:126)q

⇒ Lνa+ (cid:88)

(cid:88)

=

Cη,β((cid:126)q)b+

β aα Cη,β((cid:126)q)b(cid:126)qa+

η aα +

η aα

−(cid:126)qa+

(P.8)

η,(cid:126)q (cid:88)

η,(cid:126)q (cid:88)

−

Cα,µ((cid:126)q)b+

Cα,µ((cid:126)q)b(cid:126)qa+

β aµ −

β aµ

−(cid:126)qa+

µ,(cid:126)q

µ,(cid:126)q

Phụ lục 9

η aα]

η aα] = [He + Hp, b+

−(cid:126)qa+

−(cid:126)qa+

η aα] + [Hp, b+

η aα = [Hd, b+ −(cid:126)qa+

−(cid:126)qa+

Ldb+ −(cid:126)qa+ = [He, b+ (cid:88)

η aα] (cid:88)

=

), b+

η aα] +

η aα]

εη(cid:48) [a+

(cid:126)ωq(cid:48) [(b+

−(cid:126)qa+

−(cid:126)qa+

η(cid:48) aη(cid:48) , b+

(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q(cid:48) +

1 2

η(cid:48) (cid:88)

(cid:126)q(cid:48) (cid:88)

=

η aα] +

η aα

εη(cid:48) b+

(cid:126)ωq(cid:48) [b+

−(cid:126)q[a+

−(cid:126)q]a+

η(cid:48) aη(cid:48) , a+

(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q(cid:48) , b+

(cid:126)q(cid:48)

η(cid:48) (cid:88)

=

εη(cid:48) b+

η aη(cid:48) δη(cid:48) ,α]

−(cid:126)q[a+

η(cid:48) aαδη,η(cid:48) − a+

η(cid:48) (cid:88)

+

η aα

(cid:126)ωq(cid:48) (b+

−(cid:126)q] + [b+

−(cid:126)q]b(cid:126)q(cid:48) )a+

(cid:126)q(cid:48) [b(cid:126)q(cid:48) , b+

(cid:126)q(cid:48) , b+

(cid:126)q(cid:48) (cid:88)

(cid:88)

=

εη(cid:48) b+

εη(cid:48) b+

η aη(cid:48) δη(cid:48) ,α

−(cid:126)qa+

−(cid:126)qa+

η(cid:48) aαδη,η(cid:48) −

η(cid:48)

η(cid:48) (cid:88)

+

η aα

(cid:126)ωq(cid:48) (b+

−(cid:126)q])a+

(cid:126)q(cid:48) [b(cid:126)q(cid:48) , b+

(cid:126)q(cid:48)

η aα

−(cid:126)qa+

−(cid:126)qa+

(P.9)

η aα + (cid:126)ω−(cid:126)qb+ η aα

−(cid:126)qa+ −(cid:126)qa+ η aα

= εηb+ η aα − εαb+ = (εη − εα + (cid:126)ω−(cid:126)q)b+ = (εη,α + (cid:126)ω−(cid:126)q)b+ −(cid:126)qa+

Phụ lục 10

Ldb(cid:126)qa+

η aα]

η aα = [Hd, b(cid:126)qa+ = [He, b(cid:126)qa+

η aα] = [He + Hp, b(cid:126)qa+ η aα] + [Hp, b(cid:126)qa+

(cid:88)

η aα] (cid:88)

=

), b(cid:126)qa+

η aα]

η aα] +

εη(cid:48) [a+

(cid:126)ω(cid:126)q(cid:48) [(b+

η(cid:48) aη(cid:48) , b(cid:126)qa+

(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q(cid:48) +

1 2

η(cid:48)

(cid:126)q(cid:48)

P.6

(cid:88)

(cid:88)

=

η aα] +

η aα

εη(cid:48) b(cid:126)q[a+

(cid:126)ω(cid:126)q(cid:48) [b+

η(cid:48) aη(cid:48) , a+

(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q(cid:48) , b(cid:126)q]a+

η(cid:48) (cid:88)

(cid:126)q(cid:48) (cid:88)

=

η aα] +

η aα

εη(cid:48) b(cid:126)q[a+

(cid:126)ω(cid:126)q(cid:48) (b+

η(cid:48) aη(cid:48) , a+

(cid:126)q(cid:48) [b(cid:126)q(cid:48) , b(cid:126)q] + [b+

(cid:126)q(cid:48) , b(cid:126)q]b(cid:126)q(cid:48) )a+

η(cid:48) (cid:88)

(cid:126)q(cid:48) (cid:88)

=

η aα] +

η aα

εη(cid:48) b(cid:126)q[a+

(cid:126)ω(cid:126)q(cid:48) (−δ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) )b(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aη(cid:48) , a+

(cid:126)q(cid:48)

η(cid:48) (cid:88)

(cid:88)

=

η aα

εη(cid:48) b(cid:126)q[a+

η aη(cid:48) δη(cid:48) ,α] −

(cid:126)ω(cid:126)q(cid:48) δ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q(cid:48) a+

η(cid:48) aαδη,η(cid:48) − a+

η(cid:48)

(cid:126)q(cid:48)

(cid:88)

= (εη − εα)b(cid:126)qa+

η aα −

η aα

(cid:126)ω(cid:126)q(cid:48) b(cid:126)q(cid:48) δq,q(cid:48) a+

(cid:126)q(cid:48)

= (εη,α − (cid:126)ω(cid:126)q)b(cid:126)qa+

η aα

β aµ

(P.10)

β aµ = (εβ,µ − (cid:126)ω(cid:126)q)b(cid:126)qa+ β aµ = (εβ,µ − (cid:126)ω−(cid:126)q)b−(cid:126)qa+

β aµ

⇒ Ldb(cid:126)qa+ −(cid:126)qa+ ⇒ Ldb+

Phụ lục 11

SH1(2.14) (cid:88)

=

Cη,β((cid:126)q)((cid:126)¯ω − Ld)−1b(cid:126)qa+

η aα

η,(cid:126)q

(cid:88)

=

+

]bqa+

Cη,β((cid:126)q)[

η aα

1 ((cid:126)¯ω)

Ld (cid:126)¯ω((cid:126)¯ω − Ld)

η,q

(cid:88)

=

+

]bqa+

Cη,β((cid:126)q)[

η aα

1 ((cid:126)¯ω)

εη,α − (cid:126)ωq (cid:126)¯ω((cid:126)¯ω − Ld)

η,q

Chuyển vế và rút nhân tử chung, ta được:

(cid:88)

η aα

SH1(2.14) =

(P.11)

Cη,β((cid:126)q)

bqa+ (cid:126)¯ω − εη,α + (cid:126)ωq

η,q

Phụ lục 12

Từ hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy phonon (b1, b2) và hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy điện tử (a1, a2, a3, a4) ta tìm được biểu thức khai triển giao hoán tử như sau:

(P.12)

[b1a1a2, b2a3a4] = b1[a1a2, b2a3a4] + [b1, b2a3a4]a1a2 = b1b2[a1a2, a3a4] + b1[a1a2, b2]a3a4 + b2[b1, a3a4]a1a2 + [b1, b2]a3a4a1a2 = b1b2[a1a2, a3a4] + [b1, b2]a3a4a1a2

P.7

Phụ lục 13

SH1.4

(cid:88)

(cid:163)

(cid:48)

= −

(cid:164) }

)Cα,µ((cid:126)q)G(−)

β,µ((cid:126)q)TR{ρd

β aµ

Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβ, b+

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48) ,µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

= −

)Cα,µ((cid:126)q)G(−)

β aµ − b+

Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

β,µ((cid:126)q)TR{ρd(b(cid:126)q(cid:48) a+

β aµb(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβb+

η(cid:48) aβ)}

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48) ,µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

= −

)Cα,µ((cid:126)q)G(−)

β aµ − b+

β aµa+

Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

β,µ((cid:126)q)TR{ρd(b(cid:126)q(cid:48) b+

(cid:126)q b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβa+

η(cid:48) aβ)}

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48) ,µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

= −

)Cα,µ((cid:126)q)G(−)

(cid:163) β,µ((cid:126)q)

β aµ} − TR{ρdb+

β aµa+

Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+

(cid:126)q b(cid:126)q(cid:48) a+

(cid:126)q a+

η(cid:48) aβa+

(cid:164) η(cid:48) aβ}

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48) ,µ,(cid:126)q (cid:88)

(cid:48)

= −

)Cα,µ((cid:126)q)G(−)

β aµ}

(cid:163) TR{ρdb(cid:126)q(cid:48) b+ β,µ((cid:126)q)

Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

(cid:126)q }TR{ρda+

η(cid:48) aβa+

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48) ,µ,(cid:126)q − TR{ρdb+

β aµa+

(cid:126)q b(cid:126)q(cid:48) }TR{ρda+

(cid:88)

(cid:48)

= −

(cid:164) η(cid:48) aβ} )Cα,µ((cid:126)q)G(−)

Cη(cid:48) ,α((cid:126)q

(cid:163) (1 + N(cid:126)q)δ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) fη(cid:48) δη(cid:48) ,µ(1 − fβ)δβ,β β,µ((cid:126)q)

η(cid:48) ,(cid:126)q(cid:48) ,µ,(cid:126)q

(cid:164)

(P.13)

(cid:88)

− N(cid:126)qδ(cid:126)q,(cid:126)q(cid:48) fβδβ,β(1 − fµ)δη(cid:48) ,µ Cµ,α((cid:126)q)Cα,µ((cid:126)q)G(−) = −

(cid:164) . (1 + N(cid:126)q)fµ(1 − fβ) − N(cid:126)qfβ(1 − fµ)

(cid:163) β,µ((cid:126)q)

(cid:126)q,µ

Phụ lục 14

Biểu thức của công suất hấp thụ có dạng như sau [13]

P (ω) =

(P.14)

Re[σzz(ω)]

E2 0 2

(cid:88)

.

(P.15)

σk(cid:96)(ω) =

(jk)α,β(j(cid:96))β,α

i ω

fβ − fα (cid:126)¯ω − εα,β − (cid:126)Γα,β(¯ω)

α,β

(P.16)

Γα,β(¯ω) = Aα,β(ω) + iBα,β(ω).

Thay (P.16) vào (P.15) ta được

(cid:88)

σkl(ω) =

(jk)α,β(jl)β,α

i ω

fβ − fα (cid:126)ω − i(cid:126)a − εα,β − (cid:126)[Aα,β(ω) + iBα,β(ω)]

(P.17)

α,β (cid:88)

=

(jk)α,β(jl)β,α

i ω

fβ − fα (cid:126)ω − εα,β − (cid:126)Aα,β(ω) − i(cid:126)[Bα,β(ω) + a]

α,β

Sử dụng điều kiện gần đúng Lorentz [17] ta bỏ qua đại lượng Aα,β(ω)

(cid:88)

σkl(ω) =

(jk)α,β(jl)β,α

(P.18)

i ω

fβ − fα (cid:126)ω − εα,β − i(cid:126)Bα,β(ω)

α,β

P.8

Nhân tử và mẫu số của (P.18) với lượng liên hợp phức ((cid:126)ω − εα,β) + i(cid:126)Bα,β(ω) ta được

(cid:88)

(fβ − fα)[((cid:126)ω − εα,β) + i(cid:126)Bα,β(ω)]

(jk)α,β(jl)β,α

σkl(ω) =

i ω

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

α,β

(cid:88)

(cid:164)

(cid:163)

(fβ − fα)((cid:126)ω − εα,β)

(fβ − fα)(cid:126)Bα,β(ω)

=

i −

(jk)α,β(jl)β,α

1 ω

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

α,β(ω)

α,β

(cid:88)

(cid:164)

(cid:163)

(fβ − fα)((cid:126)ω − εα,β)

(fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω)

=

+ i

(jk)α,β(jl)β,α

(P.19)

1 ω

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

α,β(ω)

α,β

Suy ra

(cid:88)

(fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω)

.

(P.20)

Re[σkl(ω)] =

(jk)α,β(jl)β,α

1 ω

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

α,β

Tính (jk)α,β và (jl)β,α

(P.21)

(jz)α,β = (cid:104)α|jz|β(cid:105), jz =

ie(cid:126) m

∂ ∂z

Thay hàm sóng vào và tính đạo hàm theo phương z ta được

(cid:90)

dxdysin(

x)sin(

x)sin(

y)sin(

y)

(P.22)

(jz)α,β = −

kβ2πδkβ ,kα

4e(cid:126) mΩ

πnα x Lx

πnα y Ly

πnβ y Ly

πnβ x Lx

Tương tự

(cid:90)

x)sin(

x)sin(

y)sin(

y)

(P.23)

dxdysin(

(jz)β,α = −

kα2πδkβ ,kα

4e(cid:126) mΩ

πnβ x Lx

πnβ y Ly

πnα y Ly

πnα x Lx

Suy ra

(cid:88)

(cid:88)

(jz)α,β(jz)β,α =

kβkαδkβ ,kαδkα,kβ

α,β

64π2e2(cid:126)2 m2Ω2 (cid:90) Lx

α,β (cid:90) Ly

x)sin2(

x)sin2(

y)sin2(

y).

×

dx

dysin2(

πnβ x Lx

πnα y Ly

πnβ y Ly

πnα x Lx

0

0

(P.24)

Vì các biến độc lập với nhau nên ta dẽ dàng tính được các tích phân trên, rồi thay vào (P.24) ta được

(cid:88)

(cid:88)

(jz)α,β(jz)β,α =

kβkαδkβ,kαδkα,kβ .

(P.25)

4π2e2(cid:126)2 m2Ω2 LxLy

α,β

α,β

(cid:90) +∞

(cid:90) +∞

(cid:88)

(cid:88)

dkα

dkβ.

(P.26)

→

Lz 2π

Lz 2π

−∞

−∞

αβ

nα,nβ

(cid:82)

f (x)δ(x − a)dx =

Chuyển tổng thành tích phân (P.26) và sử dụng tính chất của hàm Delta f (a) ta viết lại biểu thức của (P.25) như sau

(cid:88)

(cid:88)

kαkβ.

(jz)α,β(jz)β,α =

(P.27)

e2(cid:126)2 m2LxLy

α,β

nα,nβ

(cid:88)

(fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω)

.

(P.28)

Re[σkl(ω)] =

(jk)α,β(jl)β,α

1 ω

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

α,β

P.9

Suy ra

(cid:88)

(fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω)

(P.29)

.

Re[σzz(ω)] =

(jz)α,β(jz)β,α

1 ω

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

α,β

Thay (P.27) vào (P.29) ta được

(cid:88)

(fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω)

kαkβ

.

(P.30)

Re[σzz(ω)] =

e2(cid:126)2 ωm2LxLy

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

nα,nβ

Cuối cùng ta thu được biểu thức của công suất

(cid:88)

(fα − fβ)(cid:126)Bα,β(ω)

P (ω) =

kαkβ

(P.31)

.

E2 0 2

e2(cid:126)2 ωm2LxLy

((cid:126)ω − εα,β)2 + (cid:126)2B2

α,β(ω)

nα,nβ

P.10