Đề thi chọn HSG năm 2013-2014 môn Toán lớp 7 – Trường THCS Đáp Cầu

Chia sẻ: Đào Thị Hằng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

284
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn HSG năm 2013-2014 môn Toán lớp 7 – Trường THCS Đáp Cầu sẽ giới thiệu tới các bạn 5 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 120 phút có kèm hướng dẫn chi tiết cho giáo viên và các bạn học sinh tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG năm 2013-2014 môn Toán lớp 7 – Trường THCS Đáp Cầu

PHÒNG GD&ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn : Toán 7 Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1:( 3đ ) a) Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 b) Tìm x, y, z biết: x 1 y  2 z  3   và x  2 y  3z  14 2 3 4 Câu 2:( 3đ ) a) Chứng minh rằng: 12 50.54 20 .2 3 chia hết cho 36 55 2x  5 b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M = có giá trị nhỏ nhất. x Câu 3:( 1đ ) Tìm x  z thỏa mãn điều kiện sau: ( x 2  5 ) ( x 2  36 ) < 0 Câu 4:( 2,5đ ) Cho xAˆ y = 900 có At là phân giác. Trên tia At lấy điểm B. Kẻ BC vuông góc với Ax ( C thuộc Ax ), kẻ BD vuông góc với Ay ( D thuộc Ay ). Trên đoạn BC lấy điểm M. Từ M kẻ 1 tia tạo với MA một góc bằng CMˆ A , tia này cắt đoạn thẳng BD tại N. Tính MAˆ N Câu 5:( 0,5đ ) Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác. ...............................................Hết............................................
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1:( 3 đ ) a) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số phải tìm. Vì 0  a, b, c  9 và ba chữ số a, b, c không thể đồng thời bằng 0 nên 1  a  b  c  27 ( 0,25đ ) Mặt khác số phải tìm là bội của 18 Nên a  b  c  9 hoặc 18 hoặc 27 ( 0,25đ ) Theo giả thiết ta có: a b c abc    1 2 3 6  (a  b  c )  6 ( 0,25đ ) Do đó : a + b + c= 18 ( 0,25đ ) Suy ra a  3; b  6; c  9 ( 0,25đ ) Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn Vậy số phải tìm là 396; 936. ( 0,25đ ) x 1 y  2 z  3 b) Đặt   t ( 0,25đ ) 2 3 4  x  2t  1; y  3t  2 ; z  4t  3 ( 0,25đ ) x  2 y  3z  14  2t  1  2(3t  2)  3(4t  3)  14 ( 0,25đ )  t 1 ( 0,25đ ) Từ đó tìm được: x = 3; y = 5; z = 7 ( 0,5đ ) Câu 2:( 3 đ ) a) 12 50.54 20.2 3  (3.2 2 ) 50 .(33.2) 20 .2 3 ( 0,25đ ) 50 100 60 20 3  3 .2 .3 .2 .2 ( 0,25đ )  3110.2110.213 ( 0,25đ )  9 55.4 55.213 ( 0,25đ )  (36) 55 .213 ( 0,25đ ) (36 55.213 ) 36 55 nên 12 50 .54 20.2 3 36 55 ( 0,25đ ) 2x  5 5 b) M   2 ( 0,25đ ) x x 5 M nhỏ nhất  lớn nhất ( 0,25đ ) x 5  Xét x  0 thì  0 (1) (0,25đ ) x 5  Xét x  0 thì  0  x  0 x 5 lớn nhất  x nhỏ nhất ( 0,25đ ) x Mà x nguyên, dương nên x  1 5 Khi đó:  5 (2) ( 0,25đ ) 1 5 So sánh (1) và (2) thì có giá trị lớn nhất bằng 5 x
Vậy M min  3  x  1 ( 0,25đ ) Câu 3:( 1 đ ) ( x 2  5)( x 2  36)  0  x 2  5 và x 2  36 trái dấu ( 0,25đ ) 2 2  x 5  0  x 5 Mà x 2  5  x 2  36 nên   2  2 ( 0,25đ )  x  36  0  x  36  5  x 2  36 Do đó x 2 bằng 9; 16; 25 ( 0,25đ )  x bằng  3 ;  4 ;  5 ( 0,25đ ) Câu 4:( 2,5 đ ) x t C M B E N N A D y Hình vẽ đúng, chính xác (0,25đ ) Chứng minh được ACB  ADB (ch, gn)  AC  AD ( 0,5đ ) Kẻ AE  MN ( 0,25đ ) Chứng minh được MCA  MEA (ch,gn) ( 0,25đ )  CAˆ M  EAˆ M ( 0,25đ ) Chứng minh được EAN  DAN (ch,cgv) ( 0,25đ )  EAˆ N  DAˆ N (0,25đ ) Chứng minh được MAˆ N  45 0 ( 0,5đ ) Câu 5: ( 0,5đ ) ( Dùng PP phản chứng để chứng minh ) Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất, chẳng hạn a  c, khi đó a2  c2 và b2 < ( a + c )2  4c2 . Do đó a2 + b2 < 5c2 , trái với giả thiết . Vậy suy ra đfcm = = = =//= = = = (Thí sinh giải cách khác, nếu đúng nhóm chấm phân biểu điểm tương tự.)
PHÒNG GD&ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn : Toán 7 Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1:( 3đ ) a) Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 b) Tìm x, y, z biết: x 1 y  2 z  3   và x  2 y  3z  14 2 3 4 Câu 2:( 3đ ) a) Chứng minh rằng: 12 50.54 20 .2 3 chia hết cho 36 55 2x  5 b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M = có giá trị nhỏ nhất. x Câu 3:( 1đ ) Tìm x  z thỏa mãn điều kiện sau: ( x 2  5 ) ( x 2  36 ) < 0 Câu 4:( 2,5đ ) Cho xAˆ y = 900 có At là phân giác. Trên tia At lấy điểm B. Kẻ BC vuông góc với Ax ( C thuộc Ax ), kẻ BD vuông góc với Ay ( D thuộc Ay ). Trên đoạn BC lấy điểm M. Từ M kẻ 1 tia tạo với MA một góc bằng CMˆ A , tia này cắt đoạn thẳng BD tại N. Tính MAˆ N Câu 5:( 0,5đ ) Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác. ...............................................Hết............................................
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1:( 3 đ ) a) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số phải tìm. Vì 0  a, b, c  9 và ba chữ số a, b, c không thể đồng thời bằng 0 nên 1  a  b  c  27 ( 0,25đ ) Mặt khác số phải tìm là bội của 18 Nên a  b  c  9 hoặc 18 hoặc 27 ( 0,25đ ) Theo giả thiết ta có: a b c abc    1 2 3 6  (a  b  c )  6 ( 0,25đ ) Do đó : a + b + c= 18 ( 0,25đ ) Suy ra a  3; b  6; c  9 ( 0,25đ ) Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn Vậy số phải tìm là 396; 936. ( 0,25đ ) x 1 y  2 z  3 b) Đặt   t ( 0,25đ ) 2 3 4  x  2t  1; y  3t  2 ; z  4t  3 ( 0,25đ ) x  2 y  3z  14  2t  1  2(3t  2)  3(4t  3)  14 ( 0,25đ )  t 1 ( 0,25đ ) Từ đó tìm được: x = 3; y = 5; z = 7 ( 0,5đ ) Câu 2:( 3 đ ) a) 12 50.54 20.2 3  (3.2 2 ) 50 .(33.2) 20 .2 3 ( 0,25đ ) 50 100 60 20 3  3 .2 .3 .2 .2 ( 0,25đ )  3110.2110.213 ( 0,25đ )  9 55.4 55.213 ( 0,25đ )  (36) 55 .213 ( 0,25đ ) (36 55.213 ) 36 55 nên 12 50 .54 20.2 3 36 55 ( 0,25đ ) 2x  5 5 b) M   2 ( 0,25đ ) x x 5 M nhỏ nhất  lớn nhất ( 0,25đ ) x 5  Xét x  0 thì  0 (1) (0,25đ ) x 5  Xét x  0 thì  0  x  0 x 5 lớn nhất  x nhỏ nhất ( 0,25đ ) x Mà x nguyên, dương nên x  1 5 Khi đó:  5 (2) ( 0,25đ ) 1 5 So sánh (1) và (2) thì có giá trị lớn nhất bằng 5 x
Vậy M min  3  x  1 ( 0,25đ ) Câu 3:( 1 đ ) ( x 2  5)( x 2  36)  0  x 2  5 và x 2  36 trái dấu ( 0,25đ ) 2 2  x 5  0  x 5 Mà x 2  5  x 2  36 nên   2  2 ( 0,25đ )  x  36  0  x  36  5  x 2  36 Do đó x 2 bằng 9; 16; 25 ( 0,25đ )  x bằng  3 ;  4 ;  5 ( 0,25đ ) Câu 4:( 2,5 đ ) x t C M B E N N A D y Hình vẽ đúng, chính xác (0,25đ ) Chứng minh được ACB  ADB (ch, gn)  AC  AD ( 0,5đ ) Kẻ AE  MN ( 0,25đ ) Chứng minh được MCA  MEA (ch,gn) ( 0,25đ )  CAˆ M  EAˆ M ( 0,25đ ) Chứng minh được EAN  DAN (ch,cgv) ( 0,25đ )  EAˆ N  DAˆ N (0,25đ ) Chứng minh được MAˆ N  45 0 ( 0,5đ ) Câu 5: ( 0,5đ ) ( Dùng PP phản chứng để chứng minh ) Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất, chẳng hạn a  c, khi đó a2  c2 và b2 < ( a + c )2  4c2 . Do đó a2 + b2 < 5c2 , trái với giả thiết . Vậy suy ra đfcm = = = =//= = = = (Thí sinh giải cách khác, nếu đúng nhóm chấm phân biểu điểm tương tự.)