http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯ
ỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán lớp 11
Thời gian làm bài: 90 phút ( không kể phát đề)
Phần chung cho các thí sinh ( 8,0 điểm)
Câu I. (3,0 điểm) Tính các giới hạn:
1.
(
)
x 2
lim 2x 5 2
→
+ +
2.
2
2
x 1
x 3x 4
lim
x 1
→
+ −
3.
2
2
2n 3n 1
lim
n 2
+ +
+
Câu II. (2,0 điểm) Cho hàm số
2x 1
y
x 5
+
=
+
(1).
1. Chứng minh rằng với
∀ ≠ −
x 5
thì
(
)
y x 5 .y ' 2
+ + =
.
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1), biết tiếp tuyến cùng với hai
trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng
1
8
.
Câu III. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một.
Góc giữa AB và mặt phẳng (SBC) là 60
0
.
SCB 30 ,BC 2a
= ° =
.
1. Chứng minh rằng SB vuông góc với (SAC).
2. Chứng minh rằng SA vuông góc với BC.
3. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tính SH theo a.
Phần Riêng (2,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn.
Câu IVa. (2,0 điểm)
1. Tính đạo hàm của hàm số
y x.sin x cos x
= +
.
2. Cho hàm số 2 3 2
y (m m).x 3(m 4).x 3(m 3)x 1
= + − + + + +
. Tìm m để y’(1)=12.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu IVb. ( 2,0 điểm)
1. Tính đạo hàm của hàm số
(
)
= +
3
2
y x 1
.
2. Cho hàm số
= + +
y 3 sin x cos x x. 2
. Tìm x để y’=0.
-----------------------------Hết-----------------------------
http://toanhocmuonmau.violet.vn
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN, LỚP 11.
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì cho
điểm từng phần tương ứng.
Câu Sơ lược các bước giải Điểm
1)
(
)
→
+ + =
x 2
lim 2x 5 2 5
1
2)
2
2
x 1 x 1
x 3x 4 x 4 5
lim lim
x 1 x 1 2
→ →
+ − +
= =
− +
1
I
(3đ)
3)
2
2
2n 3n 1
lim 2
n 2
+ +
=
+
1
1) TXĐ :
{
}
\ 5
−
ℝ
( )
2
9
y'
x 5
=+
0,5
Ta có :
( ) ( ) ( )
2
2x 1 9 2x 10
y x 5 y' x 5 . 2
x 5 x 5
x 5
+ +
+ + = + + = =
+ +
+
0,5
2) Gọi
2a 1
M a; ,a 5
a 5
+
≠ −
+
Tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại M có phương trình là :
( ) ( )
2
2 2
2a 1 9x 2a 2a 5
y y'(a).(x a) y
a 5 a 5 a 5
+ + +
= − + ⇔ = +
++ +
0,25
II
(2đ)
Tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
( )
2 2
2
2a 2a 5 2a 2a 5
A ;0 ,B 0;
9a 5
− − − + +
+
Tiếp tuyến cùng hai trục tọa độ tạo thành tam giác OAB vuông tại O có diện tích
là :
1
8
(
)
2
2
2
2a 2a 5
1 1 1
OA.OB
2 8 9(a 5) 4
+ +
⇔ = ⇔ =
+
0,25
http://toanhocmuonmau.violet.vn
2
a 1
4a a 5 0
5
a
4
=
⇔ + − = ⇔
= −
Với a=1 pttt là :
x 1
y
4 4
= +
Với
5 16x 2
a PTTT : y
4 25 5
−
=⇒= +
0,5
1)
theo giả thiết ta có
( )
SB SA
SB SAC
SB SC
⊥
⇒⊥
⊥
1
2)
( )
SB SA
SA SBC SA BC
SC SA
⊥
⇒⊥⇒⊥
⊥
1
3)
AH BC M
∩ =
Ta có :
( )
AH BC
BC SAH BC SH
SA BC
⊥
⇒⊥⇒⊥
⊥
(1)
Tương tự ta có :
SH AC(2)
⊥
Từ (1), (2) ta có :
2 2 2
1 1 1
SH (ABC) SH AM
SH SA SM
⊥
⇒
⊥
⇒
= +
Mà
⊥
⇒
= +
⇒
= + +
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
BC SM
SM SB SC SH SA SB SC
0,25
Xác định được
(
)
AB,(SBC) (AB,SB) SBA 60
= = = °
0,25
III
(3đ)
Tính được
a 15
SB a,SC a 3,SA a 3 SH
5
= = = ⇒=
0,5
1)
y x.sin x cos x y' x.cosx
= + ⇒=
1
2)
= + − + + + +
⇒= + − + + +
2 3 2
2 2
y (m m).x 3(m 4).x 3(m 3)x 1
y' 3(m m).x 6(m 4).x 3(m 3)
0,25
2
y'(1) 12 3(m m) 6(m 4) 3(m 3) 12
= ⇔ + − + + + =
0,25
IVa
(2đ)
=
⇔ = ⇔
= −
2
m 3
m 9
m 3
KL....
0,5
1)
(
)
(
)
3 2
2 2
y x 1 y' 6x x 1
= + ⇒= +
1
IVb
(2đ)
2)
y 3 sin x cos x x. 2 y' 3cosx-sinx+ 2
= + + ⇒=
0,25
http://toanhocmuonmau.violet.vn
π −
=⇒⇔ + =
2
y' 0 3cosx-sinx=- 2 cos x
6 2
0,25
( )
7
x k2
12 k
11
x k2
12
π
= + π
⇔ ∈
π
= − + π
ℤ
0,5
Tổng 10
Môn thi: TOÁN 11 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (2 điểm).
1. Giải phương trình: a) 2 2
2 2sin 2
tan cot 2
x
x x
.
2. Giải phương trình:
2 2
25 9
2sin 2cos tan
4 2
0
2 cos 1 2 sin 1
x x x
x x
Bài 2 (3 điểm).
1. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
*
1
4
14 4 1 2
9
n n n
u
u u u n N
.
Tìm công thức số hạng tổng quát
n
u
của dãy số.
2. Cho n là số tự nhiên,
2.
n
Chứng minh đẳng thức sau:
2 2
2 0 1 2 2 2 2 1 2
1 2 ... 2 1 ( 1)2 .
n n n
n n n n n
n C n C n C C C n n
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và
hai chữ số lẻ.
Bài 3 (2 điểm).
1. Cho dãy số
k
{x }
xác định bởi: k
1 2 k
x ...
2! 3! (k 1)!
Tính :
1 2 3 2012
lim ...
n n n n
n
x x x x
2. Cho hàm số :
2
31 sin 1
0
( )
0 0.
ví i
ví i
x x x
f x x
x
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Bài 4 (3 điểm).
Cho tam giác đều ABC
1. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho
222
MA MB MC
. Hãy tính góc
฀
BMC
2. Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh
AC và SB . Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI
Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1.
---------- Hết ----------
SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
Trường THPT Nhã nam
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11
N¨ m h ä c 2012 – 2013
ĐỀ ĐỀ XUẤT 2