Đ s 7ề ố
Đ THI H C KÌ 1 – Năm h c 2010 – 2011Ề Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11 Nâng caoớ
Th i gian làm bài 120 phútờ
Câu 1: (4 đi m)ể
1) Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ
y x xsin2 3cos2 1= − −
.
2) Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a)
x2sin 3 0+ =
b)
x x x
2 2
3
4sin sin2 cos 0
2
− − =
c)
xx
x x
2
cos 2(1 sin )
sin cos(7 )
π
= +
+ +
Câu 2: (3 đi m)ể
1) Trên m t k sách có 12 quy n sách khác nhau, g m 4 quy n ti u thuy t, 6 quy n truy n tranhộ ệ ể ồ ể ể ế ể ệ
và 2 quy n truy n c tích. L y ng u nhiên 3 quy n t k sách.ể ệ ổ ấ ẫ ể ừ ệ
a) Tính xác su t đ l y đ c 3 quy n đôi m t khác lo i.ấ ể ấ ượ ể ộ ạ
b) Tính xác su t đ l y đ c 3 quy n trong đó có đúng 2 quy n cùng m t lo i.ấ ể ấ ượ ể ể ộ ạ
2) Tìm h s c a s h ng ch a ệ ố ủ ố ạ ứ
x10
trong khai tri n ể
P x x
x
5
3
2
2
( ) 3
� �
= −
� �
� �
.
Câu 3: (1,5 đi m) Trên đ ng tròn (O; R) l y đi m A c đ nh và đi m B di đ ng. G i I là trung đi mể ườ ấ ể ố ị ể ộ ọ ể
c a AB. Tìm t p h p các đi m K sao cho ủ ậ ợ ể ∆OIK đ u.ề
Câu 4: (1,5 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. G i M, N l n l t là trungể ọ ầ ượ
đi m c a AB và SC.ể ủ
1) Tìm giao tuy n c a (SMN) và (SBD).ế ủ
2) Tìm giao đi m I c a MN và (SBD).ể ủ
3) Tính t s ỉ ố
MI
MN
.
--------------------H t-------------------ế
H và tên thí sinhọ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đ s 7ề ố
ĐÁP ÁN Đ THI H C KÌ 1 – Năm h c 2010 – 2011Ề Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11 Nâng caoớ
Th i gian làm bài 120 phútờ
Câu 1:
1) Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
y x xsin2 3cos2 1= − −
Ta có:
y x xsin2 3cos2 1= − −
=
=
x2sin 2 1
3
π
� �
− −
� �
� �
⇒
y3 1−
(vì
x1 sin 2 1
3
π
� �
− −
� �
� �
)
⇒
ymin 3= −
khi
x k
12
ππ
= − +
;
ymax 1=
khi
x k
5
12
ππ
= +
.
2) Gi i ph ng trình:ả ươ
a)
x2sin 3 0+ =
⇔
x k
x
x k
2
33
sin 4
22
3
ππ
ππ
= − +
= − = +
b)
x x x
2 2
3
4sin sin2 cos 0
2
− − =
⇔
x x x x
2 2
4sin 3sin .cos cos 0− − =
(*)
+ V i ớ
xcos 0
=
thì (*) ⇔
xsin 0
=
(vô lí) ⇒
xcos 0
=
không tho (*)ả
+ V i ớ
xcos 0
. Chia 2 v c a (*) cho ế ủ
x
2
cos
, ta đ c:ượ
(*) ⇔
x x
2
4tan 3tan 1 0− − =
⇔
x
x
tan 1 1
tan 4
=
= −
⇔
x k
x k
41
arctan 4
ππ
π
= +
� �
= − +
� �
� �
V y PT có nghi m:ậ ệ
x k x k
1
; arctan
4 4
ππ π
� �
= + = − +
� �
� �
c)
xx
x x
2
cos 2(1 sin )
sin cos(7 )
π
= +
+ +
⇔
xx
x x
2
1 sin 2(1 sin )
sin cos
−= +
−
(*)
Đi u ki n:ề ệ
x x x msin cos 0 4
ππ
− +�۹
(1)
V i đi u ki n (1) thìớ ề ệ (*) ⇔
x x x(1 sin )(1 3sin 2cos ) 0+ − + =
⇔
x
x x
sin 1 (2)
3sin 2cos 1 (3)
= −
− =
• (2) ⇔
x k2
2
ππ
= − +
(tho (1))ả
• (3) ⇔
x x
3 2 1
sin cos
13 13 13
− =
⇔
( )
x1
sin 13
α
− =
(v i ớ
2 3
sin ; cos
13 13
α α
= =
)
⇔
x k
x k
1
arcsin 2
13 1
arcsin 2
13
α π
α π π
− = +
− = − +
⇔
x k
x k
1
arcsin 2
13 1
arcsin 2
13
α π
α π π
= + +
= + − +
(tho (1))ả
V y PT có nghi m:ậ ệ
x k2
2
ππ
= − +
;
x k x k
1 1
arcsin 2 ; arcsin 2
13 13
α π α π π
= + + = + − +
(v i ớ
2 3
sin ; cos
13 13
α α
= =
)
2
Câu 2:
1) S cách ch n 3 quy n sách tè k sách: ố ọ ể ệ
C3
12
= 220 ⇒
n( ) 220
Ω
=
.
a) G i A là bi n c "L y đ c 3 quy n sách đôi m t khác lo i"ọ ế ố ấ ượ ể ộ ạ
S cách ch n 3 quy n sách đôi m t khác lo i: ố ọ ể ộ ạ
C C C
1 1 1
4 6 2
. . 48=
⇒
n A( ) 48=
.
⇒ Xác su t c a bi n c A:ấ ủ ế ố P(A) =
48 12
220 55
=
.
b) G i B là bi n c "L y đ c 3 quy n sách, trong đó có đúng 2 quy n cùng lo i"ọ ế ố ấ ượ ể ể ạ
+ S cách ch n có đúng 2 quy n ti u thuy t:ố ọ ể ể ế
C C
2 1
4 8
. 48=
+ S cách ch n có đúng 2 quy n truy n tranh:ố ọ ể ệ
C C
2 1
6 6
. 90=
+ S cách ch n có đúng 2 quy n c tích:ố ọ ể ổ
C C
2 1
2 10
. 10=
⇒ S cách ch n có đúng 2 quy n cùng lo i: 48 + 90 + 10 = 148 ố ọ ể ạ ⇒
n B( ) 148=
⇒ Xác su t c a bi n c B:ấ ủ ế ố P(B) =
148 37
220 55
=
.
2)
P x x
x
5
3
2
2
( ) 3
� �
= −
� �
� �
S h ng t ng quát th ố ạ ổ ứ k + 1 là:
kk
k k k k k k
kk
x
T C x C
x x
15 3
3 5 5
1 5 5
2 2
2
(3 ) ( 1) 3 .2 −
− −
+
� �
= − = −
� �
� �
Đ s h ng ch a ể ố ạ ứ
x10
thì
k k15 3 2 10− − =
⇔
k1=
V y h s c a s h ng ch a ậ ệ ố ủ ố ạ ứ
x10
là:
C
1 5 1 1 1
5
( 1) 3 .2 810
−
− = −
.
Câu 3:
+ Ta có
ﾷ
AIO v1=
⇒ T p h p các đi m I là đ ng tròn (C) nh n AO làm đ ngậ ợ ể ườ ậ ườ
kính.
+ Vì ∆OIK đ u nên phép quay ề
O
Q I K
0
( ,60 ) :
a
ho c ặ
O
Q I K
0
( , 60 ) :
−
a
V y t p h p các đi m K là hai đ ng tròn (Cậ ậ ợ ể ườ ′) và (C′′ ) l n l t là nh c a (C)ầ ượ ả ủ
qua các phép quay
O
Q0
( ,60 )
và
O
Q0
( , 60 )−
.
Câu 4:
a) Giao tuy n c a (SMN) và (SBD)ế ủ
Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SBD) (1)
Trong mp(ABCD), g i E = MC ọ∩ BD ⇒ E ∈ (SMN) ∩ (SBD) (2)
T (1) và (2) ừ⇒ (SMN) ∩ (SBD) = SE
b) Giao đi m c a MN và (SBD)ể ủ
Trong mp(SMN), g i I = MN ọ∩ SE ⇒ I = MN ∩ (SBD)
c) Xét hai tam giác BME và DCE, ta có MB // DC
⇒
EB EM BM
ED EC DC
1
2
= = =
G i F là trung đi m c a EC ọ ể ủ ⇒ NF // SE và E là trung đi m c a MFể ủ
⇒ IE là đ ng trung bình c a ườ ủ ∆MNF ⇒ I là trung đi m c a MNể ủ
⇒
MI
MN
1
2
=
.
===========================
3
O
A
B
I
K
S
A B
C
D
M
N
E
IF