Đ s 8ề ố
Đ THI H C KÌ 1 – Năm h c 2010 – 2011Ề Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11 Nâng caoớ
Th i gian làm bài 120 phútờ
Câu 1: (4 đi m)ể
1) a) L p b ng bi n thiên và v đ th c a hàm s : ậ ả ế ẽ ồ ị ủ ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
trên đo n ạ
4 2
;
3 3
π π
� �
−
� �
� �
.
b) T đó suy ra đ th c a hàm s : ừ ồ ị ủ ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
trên đo n ạ
4 2
;
3 3
π π
� �
−
� �
� �
.
2) Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a)
x x
2 2
sin 2 cos 3 1+ =
b)
x x x
2 2
3sin 2sin2 7cos 0+ − =
c)
x x
xx x
2cos2 sin2
3 cot 3 sin cos
� �
+ = +
� �
� �
Câu 2: (3 đi m)ể
1) Trong khai tri n ể
n
x(1 )−
v i ớn là s nguyên d ng. Tìm ố ươ n bi t h s c a s h ng ch a ế ệ ố ủ ố ạ ứ x là –7.
2) Trên m t k sách có 8 quy n sách Anh và 5 quy n sách Toán. L y ng u nhiên 5 quy n. Tínhộ ệ ể ể ấ ẫ ể
xác su t đ trong 5 quy n sách l y ra có:ấ ể ể ấ
a) Ít nh t 3 quy n sách Toánấ ể b) Ít nh t 1 quy n sách Anh.ấ ể
Câu 3: (1,5 đi m) Trong m t ph ng Oể ặ ẳ xy, cho các đi m A(3; 0), B(0; 3), C(0; –3). G i ể ọ d là đ ngườ
th ng đi qua 2 đi m A, B.ẳ ể
1) Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ d
′
là nh c a đ ng th ng ả ủ ườ ẳ d qua phép đ i x ng tr c Oố ứ ụ x.
2) M là đi m di đ ng trên đ ng tròn tâm O đ ng khính BC. Tìm quĩ tích tr ng tâm G c aể ộ ườ ườ ọ ủ
∆MBC.
Câu 4: (1,5 đi m) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang v i AD // BC và AD = 2BC. G iể ớ ọ
G là tr ng tâm c a ọ ủ ∆SCD.
1) Xác đ nh giao tuy n c a các c p m t ph ng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC), (SAB) vàị ế ủ ặ ặ ẳ
(SCD).
2) Xác đ nh giao đi m H c a BG v i mp(SAC). T đó tính t s ị ể ủ ớ ừ ỉ ố
.
--------------------H t-------------------ế
H và tên thí sinhọ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đ s 8ề ố
ĐÁP ÁN Đ THI H C KÌ 1 – Năm h c 2010 – 2011Ề Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11 Nâng caoớ
Th i gian làm bài 120 phútờ
Câu 1:
1) a) L p b ng bi n thiên và v đ th c a hàm s : ậ ả ế ẽ ồ ị ủ ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
trên đo n ạ
4 2
;
3 3
π π
� �
−
� �
� �
.
Đ t ặ
u x 3
π
= +
⇒ V i ớ
x4 2
;
3 3
π π
� �
−�
� �
� �
thì
[ ]
u;
π π
−�
.
+ Hàm s ố
y usin=
ngh ch bi n trên các kho ng ị ế ả
; , ;
2 2
π π
π π
� �� �
− −
� �� �
� �� �
⇒ Hàm s ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
ngh ch bi n trên các kho ng ị ế ả
4 5 2
; , ;
3 6 6 3
π π π π
� �� �
− −
� �� �
� �� �
+ Hàm s ố
y usin=
đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả
;
2 2
π π
� �
−
� �
� �
⇒ Hàm s ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả
5;
6 6
π π
� �
−
� �
� �
B ng bi n thiên:ả ế
x
y
5
6
π
−
6
π
2
3
π
0
–2
2
0
b) Đ th c a hàm s ồ ị ủ ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
trên đo n ạ
4 2
;
3 3
π π
� �
−
� �
� �
.
Ta có:
x khi x
y x
x khi x
2sin 2sin 0
3 3
2sin 32sin 2sin 0
3 3
π π
π
π π
� � � �
+ +
� � � �
� � � � � �
= + =
� � � � � �
� � − + + <
� � � �
� � � �
Do đó đ th (Cồ ị ′) c a hàm s ủ ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
có th đ c suy t đ th (C) c a hàm sể ượ ừ ồ ị ủ ố
y x2sin 3
π
� �
= +
� �
� �
nh sau:ư
+ Trên đo n ạ
2
;
3 3
π π
� �
−
� �
� �
thì (C′) trùng v i (C).ớ
2
-π -π/2 π/2
-2
-1
1
2
x
y
2
3
π
5
6
π
−
4
3
π
−
O
3
π
−
6
π
+ Trên đo n ạ
4;
3 3
π π
� �
− −
� �
� �
thì l y đ i x ng ph n đ th (C) qua tr c hoành.ấ ố ứ ầ ồ ị ụ
2) Gi i ph ng trình:ả ươ
a)
x x
2 2
sin 2 cos 3 1+ =
⇔
x x1 cos4 1 cos6 1
2 2
− +
+ =
⇔
x xcos6 cos4=
⇔
x x k
x x k
6 4 2
6 4 2
ππ
= +
= − +
⇔
x k
x k 5
ππ
=
=
⇔
x k 5
π
=
b)
x x x
2 2
3sin 2sin2 7cos 0+ − =
⇔
x x x x
2 2
3sin 4sin .cos 7cos 0+ − =
(*)
+ V i ớ
xcos 0
=
, ta th y không tho PT (*)ấ ả
+ V i ớ
xcos 0
, chia 2 v c a PT (*) cho ế ủ
x
2
cos
, ta đ c:ượ
(*) ⇔
x x
2
3tan 4tan 7 0+ − =
⇔
x
x
tan 1 7
tan 3
=
= −
⇔
x k
x k
47
arctan 3
ππ
π
= +
� �
= − +
� �
� �
c)
x x
xx x
2cos2 sin2
3 cot 3 sin cos
� �
+ = +
� �
� �
(*). Đi u ki n ề ệ
x
x
sin 0
cos 0
⇔
x m 2
π
(1).
V i ĐK (1) thì (*) ớ⇔
x x x x x
x x
x
2
2
cos cos2 .cos sin2 .sin
3 3. sin .cos
sin
+
+ =
⇔
x x
x x
x
2
2
cos cos
3 3.sin .cos
sin
+ =
⇔
x x
2
2sin 3sin 1 0− + =
⇔
x
x
sin 1
1
sin 2
=
=
⇔
x k loai�
x k
x k
2 ( )
2
2
6
52
6
ππ
ππ
ππ
= +
= +
= +
V y PT có nghi m ậ ệ
x k x k
5
2 ; 2
6 6
π π
π π
= + = +
.
Câu 2:
1) Khai tri n ể
n
x(1 )−
.
S h ng ch a ố ạ ứ x là:
n
C x nx
1 1
( )− = −
. Theo gi thi t ta suy ra đ c: ả ế ượ
n n7 7− = − =�
.
2) S cách l y ng u nhiên 5 quy n sách t 13 quy n sách là: ố ấ ẫ ể ừ ể
C5
13 =
1287 (cách) ⇒
n( ) 1287
Ω
=
.
a) G i A là bi n c "Trong 5 quy n sách l y ra có ít nh t 3 quy n sách Toán"ọ ế ố ể ấ ấ ể
+ N u l y 3 quy n Toán và 2 quy n Anh thì s cách l y là: ế ấ ể ể ố ấ
C C
3 2
5 8
. 280=
+ N u l y 4 quy n Toán và 1 quy n Anh thì s cách l y là: ế ấ ể ể ố ấ
C C
4 8
5 8
. 40=
+ N u l y 5 quy n Toán thì s cách l y là: ế ấ ể ố ấ
C5
51=
⇒
n A( ) 280 40 1 321= + + =
⇒ P(A) =
n A
n
( ) 321 107
( ) 1287 429
Ω
= =
b) G i B là bi n c "Trong 5 quy n sách l y ra có ít nh t 1 quy n sách Anh"ọ ế ố ể ấ ấ ể
S cách l y ra 5 quy n sách mà không có quy n sách Anh nào là: ố ấ ể ể
C5
51=
⇒ S cách l y ra 5 quy n sách trong đó có ít nh t 1 quy n sách Anh là: 1287 – 1 = 1286ố ấ ể ấ ể
⇒
n B( ) 1286=
⇒ P(B) =
1286
1287
.
Câu 3:
3
a) Xét phép đ i x ng tr c Ox. G i Aố ứ ụ ọ ′, B′ l n l t là nh c a A, B qua phép đ i x ng tr c Ox.ầ ượ ả ủ ố ứ ụ
Vì A(3; 0), B(0; 3) nên A′(3; 0) ≡ A, B′(0; –3) ≡ C. M t khác A, B ặ∈ d ⇒ A′, B′ ∈ d′.
⇒ Ph ng trình đ ng th ng dươ ườ ẳ ′:
x y 1
3 3
+ =
−
⇔
x y 3 0− − =
.
b) PT đ ng tròn (C) có tâm O, đ ng kính BC: ườ ườ
x y
2 2 9+ =
.
G là tr ng tâm c a ọ ủ ∆MBC ⇒
OG OM
1
3
=
uuur uuur
⇒
O
V M G
1
,3
:
� �
� �
� �
a
V y quĩ tích đi m G là đ ng tròn (Cậ ể ườ ′) nh c a đ ng tròn (C) qua phép v t tâm O t s ả ủ ườ ị ự ỉ ố
k1
3
=
.
PT đ ng tròn (Cườ ′) là:
x y
2 2 1+ =
.
Câu 4:
a) Giao tuy n c a các c p m t ph ng:ế ủ ặ ặ ẳ
• Trong (ABCD), g i O = AC ọ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)
M t khác, S ặ∈ (SAC) ∩ (SBD)
Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO
• Trong (ABCD), g i E = AB ọ∩ CD ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (SBD)
M t khác, S ặ∈ (SAB) ∩ (SCD)
Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SE
• Ta có S ∈ (SAD) ∩ (SBC). G i Sọx = (SAD) ∩ (SBC).
Mà AD // BC nên Sx // AD // BC.
V y giao tuy n c a 2 mp (SAD) và (SBC) là đ ng th ng Sậ ế ủ ườ ẳ x đi
qua S và song song v i AD, BC.ớ
S
AD
B C
M
G
I
H
M
DA
B C
I
N
J
B MI
G
S
K
H
b) Trong (ABCD), g i I = BM ọ∩ AC ⇒ I ∈ (SBM)
Trong (SBM), g i H = BG ọ∩ SI ⇒ H = BG ∩ (SAC)
G i N là trung đi m c a AD ọ ể ủ ⇒ MN // AC (MN là đ ng trunh cình c a ườ ủ ∆ACD)
J là giao đi m c a AC và BN ể ủ ⇒ J là giao đi m c a 2 đ ng chéo hình bình hành ABCNể ủ ườ
T IJ // MN ừ⇒ I là trung đi m c a BM.ể ủ
Trong ∆SBM, v GK // SI ẽ
Trong ∆SIM ta có: GK // SI ⇒
MI MS
MK MG 3= =
(vì G là tr ng tâm c a ọ ủ ∆SCD) ⇒
IM
IK
3
2
=
Trong ∆BHG, ta có: HI // GK ⇒
HB IB IM
HG IK IK
3
2
= = =
. V y ậ
HB
HG
3
2
=
.
==============================
4
S
AD
B C
O
E
x