UBND QUẬN ĐỐNG ĐA
Đề chính thức
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 –
2018
MÔN TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài : 90 phút
Ngày kiểm tra : 18 tháng 4 năm 2018
Bài I. (2,5 điểm)
Cho biểu thức
21x
Ax
và
3 4 1
22
xx
Bx x x



với
0, 4xx
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
9x
b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho
B
PA
. Tìm x để
PP
Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự
kiến. Trong thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản
phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm
hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu
sản phẩm?
Bài III. (1,5 điểm)
Cho parabol
2
P : y x
và đường thẳng
1) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi
m1
2) Tìm
m
để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
M x ; y ; N x ; y
sao cho
1 2 1 2
y y x x 1
Bài IV. (3,5 điểm)
Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ các tiếp tuyến MA,
MB với đường tròn (O) (với A và B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB
của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA,
MB.
1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.
2) AC cắt DE tại P, BC cắt DF tại Q.
Chứng minh
PAE
đồng dạng với
PDC
suy ra
..PA PC PD PE
.
3) Chứng minh AB // PQ.
4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn
(O)
thì trọng tâm G của tam giác
ABC
di chuyển trên đường nào?
Bài V. (0,5 điểm)
Cho các số thực
,,abc
thỏa mãn
7; 15a b c ab bc ca
Chứng minh rằng :
11
3
a
.
HDG:
Bài I. (2,5 điểm)
Cho biểu thức
21x
Ax
và
3 4 1
22
xx
Bx x x



với
0, 4xx
d) Tính giá trị của biểu thức A khi
9x
e) Rút gọn biểu thức B
f) Cho
B
PA
. Tìm x để
PP
Hướng dẫn giải:
a) Thay
9x
(Thỏa mãn điều kiện
0x
) vào biểu thức A, ta có:
2 9 1
9
2.3 1
3
7
3
A
A
A
Vậy,
9x
thì
7
3
A
b) Rút gọn:
2
3 4 1
22
341
( 2) 2
34
( 2)
44
( 2)
2
( 2)
2
xx
Bx x x
xx
Bx x x
x x x
Bxx
xx
Bxx
x
Bxx
x
Bx







c)
2 2 1 2
:21
B x x x
PAx x x
2
00
21
x
P P P x
Mà
2 1 0x
với mọi
0, 4xx
nên:
20 2 0 2 4
21
xx x x
x
Vậy để
PP
thì
04x

Bài II. (2,0 điểm)Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Trong
thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy
không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày.
Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Hướng dẫn giải:
Gọi số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là
x
(sản phẩm)đk:
*; 0x N x
thì số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày ở thực tế là
5x
(sản phẩm).
Số ngày theo kế hoạch là:
75
x
(ngày)
Số ngày trong thực tế là:
80
5x
(ngày).
Vì trong thực tế xí nghiệp hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:
2
75 80 1 75( 5) 80 ( 5)
5
10 375 0
x x x x
xx
xx
15x
(TMĐK) hoặc
25x
(loại).
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất 15 sản phẩm.
Bài III. (1,5 điểm) Cho parabol
2
P : y x
và đường thẳng
1) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi
m1
2) Tìm
m
để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
M x ; y ; N x ; y
sao cho
1 2 1 2
y y x x 1
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) :
2
2
x 2m 1 x 2m
x 2m 1 x 2m 0 *
a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi
m1
Thay
m1
vào phương trình (*)
2
x 3x 2 0
x 1 y 1
x 2 y 4






Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là
1;1 & 2;4
b) Tìm
m
để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
M x ; y ; N x ; y
sao cho
1 2 1 2
y y x x 1
Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
0
22
2m 1 8m 2m 1 0 m
1
0m
2
Áp dụng định lý Viet:
12
12
x x 2m 1
x x 2m
2
11
2
22
1 2 1 2
22
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
2
yx
M, N P yx
y y x x 1
x x x x 1
x x 3x x 1
2m 1 6m 1
4m 2m 0
2m 2m 1 0
m 0 TM
1
m KTM
2

Vậy
m0
để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
M x ; y ; N x ; y
sao cho
1 2 1 2
y y x x 1
Bài IV. (3,5 điểm) Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ các tiếp tuyến
MA, MB với đường tròn (O) (với A và B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB
của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA, MB.
1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.
2) AC cắt DE tại P, BC cắt DF tại Q.