SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT
LONG AN Môn TOÁN khối 11, năm học 2011-2012
Ngày thi: 05/02/2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Chú ý:
- Các giá trị phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn;
- Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính.
Bài 1. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình
4cos2 3cos 1
x x
Bài 2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2sin 3cos 1
cos + 2
x x
y
x
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm 1 1
12 13
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
và đường thẳng Δ
có phương trình
x y 0
+ =
. Tìm điểm M trên Δ sao cho tổng
MP MQ
+
nhỏ nhất.
Bài 4. Tính tổng
n
0 1 2 n 1
n
n n n n
1 1 1 1 1
1 2 3 n n 1
n 1 C
1 C 2C 3C nC
S ...
A A A A A
2012
, biết:
0 1 2
n n n
C C C 211
.
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng
2012
cm. Kéo dài BC về phía C một đoạn
CE 2012
=cm, kéo dài BD về phía D một đoạn
DF 2012
=cm. Gọi M là trung
điểm của AB. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi tứ diện với mặt phẳng (MEF).
Bài 6. Tìm cặp số
( , )
x y
nguyên dương với x nhỏ nhất thỏa phương trình:
595220)12(807156 223 2 xyxx
Bài 7. Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển của biểu thức:
8
2
3 2 5
x
x
Bài 8. Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện sau:
1
2
2 1
2012
2012
2 3
n n n
u
u
u u u
Tính gần đúng giá trị tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy số (un).
Bài 9. Giải hệ phương trình : ì+ + =
ï
ï
í
ï+ + =
ï
î
2 2 2 2 2 2
( )(1 ) 5
( )(1 ) 49
x y xy xy
x y x y x y
Bài 10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R=4,20 cm,
AB=7,69 cm, BC=6,94 cm, CD=3,85 cm. Tìm độ dài cạnh còn lại và tính diện tích
của tứ giác ABCD.
---------------------------- HẾT -------------------------------
Họ và tên thí sinh:………………………………………………. Số báo danh:……………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích đề thi.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT
LONG AN Môn Toán khối 11, năm học 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm
1
Đặt t = cosx thì 11
t và 2 2
cos2 2cos 1 2 1
x x t
Phương trình đã cho trở thành 2
8 3 3 0
t t
Giải phương trình này ta được 1,2
3 105
16
t
(thỏa đk)
Sau đó giải các phương trình
1
cos
x t
và
2
cos
x t
0
0
63 4'4,4"
360
k
0
0
145 53'13,68"
360
k
0,5
0,5
2
Ta biến đổi
2sin 3cos 1
cos + 2
x x
y
x
về pt: 2sinx + (3–y)cosx = 2y + 1
Pt có nghiệm khi
2 2
2
2 3 2 1
y y
5 61 5 61
3 3
y
+max
5 61
3
y khi x là nghiệm của pt: 2sinx + (3–ymax)cosx = 2ymax + 1
+min
5 61
3
y khi x là nghiệm của pt: 2sinx + (3–ymin)cosx = 2ymin + 1
max
min
0,93674
4,27008
y
y
0,5
0,5
3
Gọi P’ là điểm đx với P qua
M P'Q
Gọi I là trung điểm PP’
1 1
I ;
24 24
æ ö
÷
ç
Þ -
÷
ç
÷
ç
è ø
;1
P' ;0
12
æ ö
÷
ç-
÷
ç
÷
ç
è ø
25
P'Q ;1
156
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
uuur
; 25 1
P'Q: x y 0
156 12
- + =
M
M
x 0,07182
y 0,07182
= -
=
0,5
0,5
4
Ta có 0 1 2
n n n
C C C 211 n 20
0 1 2 20
19
20 20 20 20
n
1 1 1 1 1
1 2 3 20 21
C 2C 3C 21C
20C
...
A A A A A
0 1 2 20 20
20 20 20 20
C C C ... C 2
. Vậy 20
2
S
2012
=
23376,84649
1,0
5
Đặt
a 2012
=. Ta có:
2 a
NP a NI
3 3
= Þ =
(I là trung điểm NP)
2 2 0
a 13
ME BE BM 2BE.BMcos60
2
= + - =
1 a 13
MN ME
3 6
= =
Trong tam giác vuông MNI ta có:
2 2
a
MI MN NI
2
= - =
Vậy
( )
2
2
MNP 1 a
S MI.NP cm
2 6
= =
335,33333
1,0
6
Ta có :
595220)12(807156 223 2 xyxx
5952)12(80715620 2
322 xxxy
Suy ra : 20
5952)12(807156 2
32
xxx
y
Dùng máy Casio FX 570ES:
x = 11,00000
y = 29,00000
1,0
M
P'
I
Q
P
I
M
P
NF
E
D
C
B
A
Khai báo : X = X + 1 :
3 2 2
156X + 807 + (12X) - 52X - 59
Y= 20
CALC:
0 X
Nh
ấn
“
=
” cho đ
ến khi m
àn hình hi
ện Y l
à s
ố nguy
ên dương th
ì d
ừng.
7
Đặt
1
a 3 ; b 2 ; c
5
8
2 0 8 1 7 2
8 8
3 4 8
3 5 2 4 4 2 8 2
8 8 8
a x b cx C a C a x b cx ...
C a x b cx C a x b cx ... C x b cx
Ta thấy
8
x
chỉ có trong các số hạng
3
3 5 2
8
C a x b cx
và
4
4 4 2
8
C a x b cx
với hệ số tương ứng là
3 5 2 4 4 4
8 8
C a 3bc và C a b
Vậy hệ số của số hạng chứa
8
x
là :
3 5 2 4 4 4
8 8
C a 3bc C a b
+
3260,72569
1,0
8
Khai báo: (Dùng máy Casio FX 570ES)
D D 2:A 2B 3A:B 2A 3B:X X A B
CALC:
2 D, 2012 A, 2012 B, 0 X
Nhấn “=” cho đến khi D = 20. Đọc kết quả ở biến X
3037423,05118 1,0
9
Ta thấy
x y 0
= =
là nghiệm của hệ phương trình.
Với
x 0 ; y 0
¹ ¹
, hệ đã cho
2 2
2 2
1 1
x y 5
x y
1 1
x y 49
x y
ì
ï
ï+ + + =
ï
ï
ï
í
ï
ï+ + + =
ï
ï
ï
î
.
Đặt
1 1
u x , v y
x y
= + = +
hệ trở thành
2 2
u v 5
u 7 u 2
v 2 v 7
u v 53
ìì ì
+ =
= = -
ïï ï
ï ï ï
Þ Ú
í í í
ï ï ï
= - =
+ = ï ï
î î
ï
î
Từ đó hệ có nghiệm 7 3 5 7 3 5
1; ; ; 1
2 2
æ ö æ ö
± ±
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
x y 0,00000
= =
x 1,00000
y 6,85410
ì= -
ï
ï
í
ï=
ï
î
x 1,00000
y 0,14589
ì= -
ï
ï
í
ï=
ï
î
x 6,85410
y 1,00000
ì=
ï
ï
í
ï= -
ï
î
x 0,14589
y 1,00000
ì=
ï
ï
í
ï= -
ï
î
1,0
10
sin / 2
ACB AB R
1
sin ( / 2 )
ACB AB R
1
2sin ( / 2 )
AOB AB R
Tương tự :
1
2sin ( / 2 )
BOC BC R
1
2sin ( / 2 )
COD CD R
0
360 ( )
AOD AOB BOC COD
,
2 sin
2
AOD
DA R
2
1
(sin sin sin sin )
2
ABCD
S R AOB BOC COD AOD
4,29329
DA
ABCD
S 29,64389
0,5
0,5
Ghi chú:
- Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm;
- Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả. Chấm hướng giải đúng 0,2 điểm;
- Không nêu tóm tắt cách giải trừ 0,2 điểm.
O
A
B
D
C
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải toán-lý-hoá-sinh trên MTCT
LONG AN Môn thi: Toán Khối: 11 – GDTX
Ngày thi: 05-02-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 90 phút (không kể phát đề)
Chú ý: + Tất cả các giá trị gần đúng lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn.
+ Khi làm bài thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải, hoặc có thể ghi bước tính toán cuối cùng để
ra kết quả.
Bài 1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức:
f(x) = 2
tan x sin x
tan x 2
, biết x = 420
Bài 2. Tính gần đúng giá trị a,b,c nếu đường tròn 2 2
x y ax by c o
đi qua ba
điểm M(-3;4), N(-5;7), P(4;5)
Bài 3. Tính gần đúng tất cả các nghiệm ( bằng độ, phút, giây ) của phương trình:
2cos2x + 5cosx = 1
Bài 4. Tính gần đúng tất cả các nghiệm ( bằng độ, phút, giây ) của phương trình:
5sinx – 4cosx =
13
Bài 5. Tính gần đúng toạ độ giao điểm M, N của đường tròn 2 2
10 5 30
x y x y
và đường thẳng qua hai điểm A(-4; 6), B(5; -2)
Bài 6. Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:
5
3x 2y 1 0
2x 3y
1
9x 6y 4 0
4x 6y
Bài 7. Tính gần đúng hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển 2
9
5
x
x
.
Bài 8. Trong một lớp học có 21 học viên nam và 17 học viên nữ. Cần chọn 7 học viên đi
tham gia chiến dịch mùa hè xanh của đoàn viên, trong đó có 4 học viên nam và 3
học viên nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn?
Bài 9. Cho tam giác ABC có các cạnh a=22cm, b=15cm, c=20cm.
a/ Tính gần đúng góc C (độ, phút, giây)
b/Tính gần đúng diện tích tam giác ABC.
Bài 10. Tìm số dư trong phép chia 201236 cho 1975.
Hết.
.
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải toán-lý-hoá-sinh trên MTCT
LONG AN Môn thi: Toán Khối: 11 – GDTX
Ngày thi: 05-02-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC KHỐI 11
Ghi chú:
.Tất cả các giá trị gần đúng lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn, nếu sai chữ số thập phân thứ 5
thì trừ 0,2đ, sai chữ số thập phân thứ 4 thì trừ 0,4đ. Sai 1 trong những chữ số còn lại thì chấm điểm
tóm tắt cách giải theo hướng dẫn chấm.
. Nếu kết quả đúng và có tóm tắt cách giải (không cần giống hướng dẩn chấm) thì chấm trọn điểm.
. Nếu kết quả đúng mà không có tóm tắt cách giải thì trừ 0,1 điểm cho cả câu.
. Nếu kết quả không đúng thì chấm phần tóm tắt cách giải theo hướng dẫn chấm.
(Các cách giải khác hợp lý, đúng, chấm theo thang điểm tương đương).
Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm
Bài 1:Tính tóan thông thường
f(420)= 0,55840
1,0
Bài 2: Hệ pt
3a 4b c 25
5a 7b c 74
4a 5b c 41
(0,5đ)
a 0,04347
b 16,30434
c 40,34782
1,0
Bài 3:
Biến đổi phương trình trở thành
4cos2x+5cosx-3=0
Cosx=
8
735 (0,5đ)
x
63042’16” +k3600
x
-63042’16” +k3600
0,5
0,5
Bài 4: Biến đổi pttt sin(x-
)=
13
41
với
cos
=
5
41
13
sin
41
(0,5đ)
x
72055’47” +k3600
x
184023’23” +k3600
0.5
0.5