CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT NHÃ NAM MÔN THI: TOÁN 11
Thời gian làm bài: 180 phút
3
3
Câu I: (2 điểm).
(1 t anx)cos x (1 cot x)sin x
2sin 2x.
; của phương trình:
1.Giải phương trình:
2. Tìm các nghiệm trong khoảng
2
1 8sin 2x cos 2x.
4
2sin 3x
Câu II: (3 điểm).
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ
?
... C .C
C
0 C .C 5
k 2011
5 5
k 5 2011
k 2016
11
1
Chứng minh rằng: . 2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011. k 1 1 C .C 2011 5
10
1 9
u
n, n N.
1
n
n
u u
3.Cho dãy số (un) xác định bởi :
Tìm công thức tính un theo n.
1
1
1
Câu III: (2 điểm).
2 1)(n
(n
2)
2 2.3
2 ..... 3.4
Un
1. Cho Pn=
n
lim
2
(x
3 2012) 1 2x
2012 4x 1
Gọi Un là số hạng tổng quát của Pn. Tìm
lim x 0
x
2. Tìm giới hạn:
Câu IV: ( 3 điểm).
Trang | 1
1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.
2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho
MA + MB + MC nhỏ nhất.
Trang | 2
-------------Hết-------------
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
ĐÁP ÁN
Nội dung Điểm Câu
2.0 I
0. Khi đó pt trở thành:
1. (1.0 đ). ĐK: sin x cos x
0.25
cos x
2 sin x cos x
. (1) sinx
dẫn tới
0
0;cos x
0.
ĐK: sinx cos x 0.25 sinx
Khi đó:
sin 2x 1
x
k .
4
0.25 (1)
KL nghiệm :
2m .
4
0.25 x
0.
4
(1) 2. (1.0 đ).ĐK: sin 3x 0,25
Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt:
sin 2x
1 2
x
k ;
x
k
12
5 12
Trang | 3
0.25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
; ta nhận các giá trị :
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
Trong khoảng 0.25
x
;
x
x
.
12
11 12
5 12
7 12
; ; x
Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là:
0,25
x
.
12
7 12
; x
II 3.0
1. (1.0 đ).
TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0.
5.C .C .5! 36000
2 4
3 5
Số các số tìm được là (số).
0.5
3
TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0. 0.25
5C .C .6! 28800
3 4
Số các số tìm được là (số).
5
2011
2016
Đ/ số 36000 28800 64800 số. 0.25
1 x
1 x
; và 2. (1.0 đ) Dễ thấy
1 x
2
4
5
3 C x C x
0.25
M 1 x
5
1 1 C C x C x 5
0 5
2 5
4 5
3 5
5 C x 5
1
k
C
N 1 x
2011
0 2011
1 C x 2011
k ... C x 2011
2011 2011 . ... C x 2011
k
2016
P
C
C x ... C x
... C x
.
0.25
1 x
2016
0 2016
1 2016
k 2016
2016 2016
k
kx trong P là
2016C
Trang | 4
0.25 Ta có hệ số của .
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
5 5 k 5 k 5 C x C x 2011 5
k 2011
1 5
0 5
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 kx trong M.N là : 4 4 k 4 k 4 3 3 k 3 k 3 C x C x C x C x 2011 2011 5 5 , mà số hạng chứa 2 2 k 2 k 2 C x C x 2011 5
Vì P M.N k 1 k 1 k C .C x C xC x 2011
nên
... C .C
C
0 C .C 5
k 2011
1 C .C 5
k 1 2011
5 5
k 5 2011
k 2016
0.25
3. (1 điểm)
11 10 1
u
1
10 11 1 9 102 100 2
.
u
2
Ta có:
10 102 1 9 2 1003 1000 3
.
.
u
3
0.25
0.25 Dự đoán: un = 10n + n (1)
Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 , công thức (1) đúng với n=1 0.25 Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : uk = 10k + k
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Công thức(1) đúng với n=k+1
0.25 Vậy un = 10n + n, n N.
III 2.0
1
1. (1 đ)
2 1)(k
1)(k
2)
(k
2)
(k
k(k
3)
Ta có:
0.25
Cho k=1,2,3,…,n ta được
....
nS
1.4.2.5.3.6 2.3.3.4.4.5
n(n 3) (n+2)(n 1)
Trang | 5
0.25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
(n 3) 3(n 1)
Un
Un= 0.25
lim
n
n
lim
(n 3) 3(n 1)
1 3
= 0.25
3
3
2.(1 điểm)
2012
2012
x
0
1 2x 1 x
4x 1 1 x
L Lim x 1 2x
. 0
3 Lim x 1 2x x
0
3
2x
2
2
2
3
3
Lim x 0
Lim x 0
Lim x 0
3
3
1 2x 1 x
2` 3
x(
(1 2x)
1 2x 1)
(
(1 2x)
1 2x 1)
Ta có . 0.25
2
Lim 0 x
Lim 0 x
Lim x 0
4x 1 1 x
4x x( 4x 1 1)
4 4x 1 1
0.5
L 0 2012
2012.2
2 3
16096 3
Vậy 0.25
IV 3.0
1.(2 đ)
MN NP
+) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành. 0.5
MP NQ
+) MNPQ là hình vuông M là trung điểm của AB và a
b .
1.0 = c.
21 4
+) Lúc đó SMNPQ = 0.5
Trang | 6
0.25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’
Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng. 0.5
Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200
0.25 Ta được vị trí của M trong tam giác ABC.
Trang | 7
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
-
Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.
- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ
động thời gian học tập của mình.
- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.
- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề
nhanh hơn - hiệu quả hơn.
- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.
Trang | 8
- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.
